cecília rocha # 12001/2002 i nvestigaÇÃo o peracional 8ª aula 8ª aula método simplex aplicado...

2001/2002Cecília Rocha # 1

IINVESTIGAÇÃONVESTIGAÇÃO OOPERACIONALPERACIONAL

8ª Aula8ª Aula Método Simplex aplicado ao Problema de Transportes

Como os Problemas de Transportes são um dos tipos de problemas de programação linear, por isso, é possível resolvê-los pelo método Simplex dado nas 2 aulas anteriores. No entanto, dada a especificidade destes problemas, o método simplex pode ser simplificado – Método Simplex dos Transportes.

Preparação do Método

Após construir o quadro dos coeficientes das restrições para o método simplex, converter a função objectivo para a forma de maximização e introduzir as variáveis artificiais z1, z2, ..., zm+n, obter-se-á o seguinte quadro simplex:

Variáveis Básicas Equação

Coeficientes Lado DireitoZ ... xij ... zi ... zm+j ...

Z (0) -1 cij M M 0

(1)

...

zi (i) 0 1 1 si

...

zm+j (m+j) 0 1 1 dj

...

(m+n)



8ª Aula 8ª Aula (cont.)(cont.)


Falta agora realizar algumas operações algébricas antes da 1ª iteração para eliminar os coeficientes das variáveis (artificiais) básicas iniciais da linha (0) que sejam diferentes de zero.

Após essas operações, a nova linha (0) terá a seguinte forma:

Onde: uuii – múltiplo da linha original (i) que tem de ser subtraído (directa ou indirectamente) à linha original (0)

no método simplex, durante todas as operações que levam ao quadro actual vvjj – múltiplo da linha original (m+j) que tem de ser subtraído (directa ou indirectamente) à linha original

(0) no método simplex, durante todas as operações que levam ao quadro actual Se xij é uma variável não básica, então cij – ui – vj é interpretada como a taxa a que Z se irá alterar à

medida que xij aumenta

Variáveis Básicas Equação

CoeficientesLado Direito

Z ... xij ... zi ... zm+j ...

Z (0) -1 Cij – ui - vj M - ui M - vj

n

1jjj

m

1iii vdus





Em primeiro lugar, não são necessárias variáveis artificiais porque se pode obter uma solução básica inicial com métodos auxiliares simples

A linha (0) pode ser obtida sem utilizar qualquer outra linha, calculando os valores actuais de ui e vj directamente. Dado que cada variável básica tem de ter coeficiente zero na linha (0), os valores de ui e vj podem ser obtidos pela resolução de um conjunto de equações:

A variável básica de saída pode ser identificada facilmente sem utilizar os coeficientes das variáveis básicas de entrada, assim como, a nova SBA pode ser detectada imediatamente sem se realizarem nenhumas operações algébricas.

Deste modo podemos prescindir de quase todo o quadro do método simplex. Além dos dados de base (parâmetros cij, oferta si e procura dj), o método simplex dos transportes só

precisa da SBA inicial, dos valores actuais de ui e vj e dos valores resultantes da operação cij – ui – vj para as variáveis não básicas xij. Estes dados podem ser organizados num quadro denominado – Quadro Simplex dos TransportesQuadro Simplex dos Transportes.

cij – ui – vj = 0 para cada i e j em que xij é variável básica





Formato do quadro simplex dos transportes

Origem

Iteração?

Destino

Oferta ui = cij - vj1 2 ... ... n

1c11 c12 c1n

s1

2c21 c22 c2n

s2

...

mcm1 cm2 cmn

sm

Procura d1 d2 dn

Z = Vj = cij - ui

cij cij

cij – ui - vj

xijVariável Básica Variável Não Básica




Inicialização do Método dos Transportes e de Distribuição

O objectivo da inicialização é obter uma Solução Básica Admissível (SBA) inicial.Antes de começar este processo de inicialização, temos de garantir que:

A razão para esta situação é que as restrições têm a forma de igualdades e o conjunto das m+n restrições tem uma que é dispensável (por exemplo, uma das restrições de procura é igual à soma das restrições de oferta menos as outras restrições de procura). Assim, qualquer solução básica aparece no Quadro dos Transportes com m+n-1 variáveis rodeadas com um círculo, em que a soma em linha e coluna, corresponde à oferta e procura, respectivamente.

Procedimento para obter uma Solução Básica Inicial

Das linhas e colunas em consideração seleccionar a próxima VB, de acordo com algum critério Atribuir à VB um valor que corresponda à oferta ou procura remanescente, a que for menor Eliminar essa linha ou coluna dos cálculos seguintes (se a linha e colunas se anularem em simultâneo, escolha

a linha para ser eliminada, posteriormente, a coluna servirá para atribuir o valor zero a uma variável degenerada) Se só resta uma linha ou coluna, então o processo termina com a consideração de todas as variáveis

ainda sem valor atribuído.

Número de Variáveis Básicas = m + n - 1




Exercício Exemplo (recordar)

Suponha que Inglaterra, França e Espanha produzem todo o trigo, cevada e aveia disponível no mundo. A procura mundial de trigo corresponde à produção de 125 milhões de acres de solo. Com o mesmo objectivo são necessários 60 milhões de acres para cevada e 75 milhões de acres para aveia. O total de solo agrícola disponível para este propósito, em Inglaterra, França e Espanha é de, respectivamente, 70 milhões, 110 milhões e 80 milhões de acres. O número de horas de trabalho necessárias para produzir 1 acre de trigo é de 18h em Inglaterra, 13 em França e 16 em Espanha. No caso do cevada são necessárias 15h em Inglaterra e 12h em França e em Espanha. Para o aveia são precisas 12h em Inglaterra, 10 em França e 16 em Espanha. O custo da hora de trabalho para produção de trigo é de 3 u.m., 2.4 u.m. e 3.3 u.m., respectivamente em Inglaterra, França e Espanha. Para a produção de cevada o custo da hora de trabalho será de 2.7 u.m., 3.0 u.m. e 2.8 u.m. em Inglaterra, França e Espanha. No caso da aveia haverá um custo da hora de trabalho de 2.3 u.m. em Inglaterra, 2.5 u.m. em França e 2.1 u.m. em Espanha. O problema é definir a melhor distribuição da produção em cada país, de forma a satisfazer as necessidades mundiais de trigo, cevada e aveia mas minimizando o custo de produção total.

a) Formular este problema como um Problema de Transportes, construindo o quadro de custos e requisitos;b) Utilize uma rotina automática do SOLVER para encontrar um solução óptima para o problema;c) Utilize o método de Vogel e o método do Custo Mínimo para determinar uma solução básica admissível inicial;

d) Resolva pelo Método dos Transportes.



Alternativas para escolher uma Solução Básica Inicial

Método do Canto Noroeste

Começar pela variável x11

Se houver ainda oferta disponível, passar para a variável xi+1, j

Se só houver procura disponível, passar para a variável xi, j+1

Prosseguir até obter todas as variáveis básicas (as que têm um círculo) e todas as outras variáveis (não básicas) serão zero.

O valor da Função Objectivo Z = 54*70 + 31.2*55 + 36*55 + 33.6*5 + 33.6*75 = 10 164 u.m.


DestinosOferta ui1 2 3

Origens

154 40.5 27.6

70

231.2 36 25

110

352.8 33.6 33.6

80

Procura 125 60 75Z = 10 164

vj

70

55 55

5 75


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Método de Vogel Calcular as diferenças, em linha e coluna, entre os 2 valores menores Seleccionar a maior diferença global (considerando as linhas e colunas em conjunto) Na coluna da maior diferença, escolher o menor custo e atribuir à variável correspondente o menor valor entre a

oferta e a procura Eliminar a linha ou coluna respectiva Repetir o procedimento

DestinosOferta Diferença entre

linhas1 2 3

Origens

1 54 40.5 27.6 70 40.5 – 27.6 = 12.9

2 31.2 36 25 110 25 – 31.2 = 6.2

3 52.8 33.6 33.6 80 33.6 – 33.6 = 0

Procura 125 60 75 Seleccionar x21 = 110

Diferença entre colunas 52.8 – 31.2 = 21.6 36 – 33.6 = 2.4 27.6 – 25 = 2.6 Eliminar a linha (2)Destinos

Oferta Diferença entre linhas1 2 3

Origens

1 54 40.5 27.6 70 40.5 – 27.6 = 12.9

23 52.8 33.6 33.6 80 33.6 – 33.6 = 0


Diferença entre colunas 54 – 52.8 = 1.2 40.5 – 33.6 = 6.9 33.6 – 27.6 = 6.0 Eliminar a linha (1)





Método de Vogel

DestinosOferta Diferença entre

linhas1 2 3

Origens

123 52.8 33.6 33.6 80 33.6 – 33.6 = 0


Diferença entre colunas

Seleccionar x32 = 60

Seleccionar x33 = 5

Z = 8 340

(repetido)Destinos

Oferta Diferença entre linhas1 2 3

Origens

1 54 40.5 27.6 70 40.5 – 27.6 = 12.9

23 52.8 33.6 33.6 80 33.6 – 33.6 = 0


Diferença entre colunas 54 – 52.8 = 1.2 40.5 – 33.6 = 6.9 33.6 – 27.6 = 6.0 Eliminar a linha (1)





Método do Custo Mínimo Seleccionar o menor custo de todo o Quadro de Custos (atribuir à variável x23 = 75) Procurar sequencialmente os menores valores possíveis

(x13 não pode ser, dado que já se satisfez toda a procura) (x21 = 35, valor excedente da oferta) (x32 = 60, satisfaz toda a procura) ( x12 e x22, não podem ser, dado que já se satisfez toda a procura) (x31 = 20, valor excedente da oferta) (x11 = 70, valor da oferta)

DestinosOferta

1 2 3

Origens

1 54 40.5 27.6 702 31.2 36 25 1103 52.8 33.6 33.6 80

Procura 125 60 75 Z = 9 819

75 35

90

60 2020

70

7035




Exercício Exemplo (recordar)

Suponha que Inglaterra, França e Espanha produzem todo o trigo, cevada e aveia disponível no mundo. A procura mundial de trigo corresponde à produção de 125 milhões de acres de solo. Com o mesmo objectivo são necessários 60 milhões de acres para cevada e 75 milhões de acres para aveia. O total de solo agrícola disponível para este propósito, em Inglaterra, França e Espanha é de, respectivamente, 70 milhões, 110 milhões e 80 milhões de acres. O número de horas de trabalho necessárias para produzir 1 acre de trigo é de 18h em Inglaterra, 13 em França e 16 em Espanha. No caso do cevada são necessárias 15h em Inglaterra e 12h em França e em Espanha. Para o aveia são precisas 12h em Inglaterra, 10 em França e 16 em Espanha. O custo da hora de trabalho para produção de trigo é de 3 u.m., 2.4 u.m. e 3.3 u.m., respectivamente em Inglaterra, França e Espanha. Para a produção de cevada o custo da hora de trabalho será de 2.7 u.m., 3.0 u.m. e 2.8 u.m. em Inglaterra, França e Espanha. No caso da aveia haverá um custo da hora de trabalho de 2.3 u.m. em Inglaterra, 2.5 u.m. em França e 2.1 u.m. em Espanha. O problema é definir a melhor distribuição da produção em cada país, de forma a satisfazer as necessidades mundiais de trigo, cevada e aveia mas minimizando o custo de produção total.

a) Formular este problema como um Problema de Transportes, construindo o quadro de custos e requisitos;b) Utilize uma rotina automática do SOLVER para encontrar um solução óptima para o problema;c) Utilize o método de Vogel e o método do Custo Mínimo para determinar uma solução básica admissível inicial;d) Resolva pelo Método dos Transportes.




Teste de Optimização

Assim, só é necessário calcular todos os valores de cij – ui – vj

Deve-se iniciar o cálculo pela linha ou coluna que tenha mais variáveis básicas, como forma de facilitar os cálculos

Esta já é a Solução Óptima, no caso de utilizarmos como Solução Básica Inicial a obtida pelo Método de Vogel

Uma Solução Básica Admissível é óptima se e só se cij – ui – vj 0,

para todo (i, j) em que xij é variável não básica.


Origens

154 40.5 27.6

70U1 = C13-V3

7.2 12.9 0 = -6

231.2 36 25

110U2 = C21-V1

0 24 13 = -21.6

352.8 33.6 33.6

80 U3 = 00 0 0

Procura 125 60 75Z = 8 340

vj V1 = 52.8 V2 = 33.6 V3 = 33.6

56015

70

110




Processo Iterativo Teste de Optimização

Ainda não é a solução óptima !

Escolher a VB Entrada Como cij – ui – vj representa a taxa a que a função objectivo irá evoluir à medida que a variável não básica x ij

aumenta, a VBE deverá ter um coeficiente cij – ui – vj negativo para diminuir o custo total. A VBE será a que tem coeficiente cij – ui – vj mais negativo, ou seja, x13


Origens

154 40.5 27.6

70 U1 = 540 5.7 -7.2

231.2 36 25

110 U2 = 31.20 24 0

352.8 33.6 33.6

80 U3 = 52.80 0 0

Procura 125 60 75Z = 9 819

vj V1 = 0 V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2 V3 = 33.6 – 52.8 = -19.2

35

20

70

60

75




Processo Iterativo Escolher a VB Saída

Aumentar a VBE irá provocar uma reacção em cadeia, na cadeia por nós definida. Assim, passaremos a ter células receptoras e células fornecedoras, representadas no Quadro dos Transportes

pelos sinais + e – Neste caso iremos utilizar a cadeia marcada a vermelho O valor a transferir das células fornecedoras para as receptoras é dado pelo mínimo (x11 = 70, x23 = 75), ou seja, 70

VBE = x11


Origens

154 - 40.5 27.6 +

70 U1 = 540 5.7 -7.2

231.2 + 36 25 -

110 U2 = 31.20 24 0

352.8 33.6 33.6

80 U3 = 52.80 0 0

Procura 125 60 75Z = 9 819

vj V1 = 0 V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2 V3 = 33.6 – 52.8 = -19.2

35

20

70

60

75




Processo Iterativo Identificar a nova SB Admissível


Origens

154 40.5 27.6

70U1 = C13-V3

20.2 25.9 0 = 33.8

231.2 + 36 25 -

110 U2 = 31.20 24 0

352.8 - 33.6 33.6 +

80 U3 = 52.80 0 -13

Procura 125 60 75Z = 8 405

vj V1 = 0 V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2 V3 = 25 – 31.2 = -6.2

105

20 60

5

70


Origens

154 40.5 27.6

70U1 = C13-V3

7.2 12.9 0 = 46.8

231.2 36 25

110 U2 = 31.20 24 13

352.8 33.6 33.6

80 U3 = 52.80 0 -13

Procura 125 60 75Z = 8 340

vj V1 = 0 V2 = 33.6 – 52.8 = -19.2 V3 = 33.6 – 52.8 = -19.2

110

15 60

70

5

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