Capítulo 1 - Semelhança 1. Os lados destes polígonos são respectivamente paralelos, isto é, AB//A'B', BC//B'C', etc. Suas medidas estão indicadas na figura.

Os polígonos são semelhantes? Justifique sua resposta.

2. Uma indústria naval está projetando um novo tipo de navio, cujo casco terá 127,5 m de comprimento. No laboratório da empresa, foi construído um modelo em escala reduzida, semelhante à embarcação verdadeira. Essa miniatura, usada em testes num tanque de provas, tem 85 cm de comprimento e 23 cm de largura. Que largura terá o navio real?

3. Você já sabe: dois cubos são sempre semelhantes. Considere o cubo I, de arestas iguais a 2 cm, e o cubo II, de arestas iguais a 6 cm.

a) Complete a tabela:

cubo I cubo II

Comprimento da diagonal da face (cm)

Soma das áreas de todas as faces (cm²)

Volume (cm3)

b) Do cubo I para o cubo II, as medidas das arestas e das diagonais das faces foram multiplicadas por 3, certo? Por quanto foi multiplicada a soma das áreas de todas as faces?c) O volume do cubo II é quantas vezes o volume do cubo I?

Triângulos semelhantes

4. No quintal de uma casa existe uma árvore que corre o risco de cair. Chamados para cortá-la, os bombeiros ficaram num dilema, pois seria necessário medi-la para

que não houvesse perigo de atingir alguém. Nesse instante, a sombra projetada pela árvore é de 9,9 m e a do bombeiro, 2,2 m. Qual é a altura da árvore, sabendo-se que o bombeiro mede 1,70 m?

5. A garota está sendo fotografada:

A imagem será impressa de ponta-cabeça no filme. Qual é sua altura aproximada?

6. Na figura, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, e o ponto M é médio do lado AB.

Com base nessas informações, faça uma dedução e conclua que DM é o triplo de PM. Para isso, siga o roteiro:a) Explique por que os triângulos AMP e CDP são semelhantes.b) Explique por que os lados do triângulo CDP medem o dobro dos correspondentes do AMP.c) Para concluir que DM é o triplo de PM, copie e complete:DM = DP + PM = __ × PM + PM = __ × PM

Semelhança no triângulo retângulo

7. Você conhece esta figura e estas fórmulas:

m² = a × xxt = m × rr² = h × x

t² = a × h

Use-as para calcular y nestes casos:

a)

ABCD é retânguloAD = 5 cmDC = 12 cmAC = 13 cm

b)

Sugestão: comece calculando z.?

8. João desenhou e recortou, em cartolina, dois triângulos retângulos iguais com lados de 8 cm, 15 cm e 17 cm. Depois, compôs um paralelogramo, juntando-os assim:

9. Em todos estes triângulos retângulos, suponha que a altura perpendicular à hipotenusa meça 6 cm:

Note que, aumentando x, diminui y. Preencha a tabela:

x 1 2 3 4 5 6

(cm)

y (cm)

Ajuda:h² = m × n

O teorema de Pitágoras

10. Seu Joaquim precisa de uma ripa de madeira para fazer um reforço diagonal num portão de 2 m de altura por 0,8 m de comprimento. Qual deve ser o comprimento da ripa? (Saresp)

11.O trapézio da figura é isósceles porque seus lados AD e BC medem ambos 5 cm. Suas bases medem 8 cm e 14 cm.Calcule a área desse trapézio. Siga o roteiro:

a) Desenhe as alturas AP e BQ, perpendiculares a DC.b) Sabendo que AB = 8 cm, qual é a medida de PQ?c) Esse trapézio tem um eixo de simetria e, por isso, os seguimentos DP e QC são iguais. Quanto mede cada um?d) O triângulo ADP é retângulo. Use o teorema de Pitágoras e calcule a medida de AP.e) Usando a fórmula a seguir, calcule a área do trapézio ABCD.

12. Se uma reta toca apenas um ponto da circunferência, dizemos que ela a tangencia. Nesse caso, a reta faz 90º com o raio, no ponto de tangência.

Sabendo que PO = 13 cm e que a circunferência tem 5 cm de raio, calcule o comprimento do segmento de reta PT.Capítulo 2 - A quinta e a sexta operações

Potências e notação científica

1. A cidade de Nova Iorque, nos Estados Unidos, joga fora a maior quantidade per capita diária de lixo - aproximadamente 1,8 kg por habitante. A população mundial é atualmente avaliada em cerca de 6,1 bilhões de pessoas. Suponha que os padrões de consumo dessa metrópole americana fossem os mesmos em todo o planeta. Qual seria a produção diária de lixo em toneladas? Dê a resposta em notação científica.

2. Você conhece os prefixos centi, mili e quilo. Eles são usados nas unidades de medida do Sistema Internacional de Unidades (SI). Conheça mais alguns desses prefixos (a tabela não está completa):

Nome Símbolo

Fator pelo qual a unidade é multiplicada

Giga G 109

Mega M 106

Quilo k 103

Deci D 10-1

Centi C 10-2

Mili M 10-3

Micro m* 10-6

Nano N 10-9

Pico P 10-12

* Letra grega: lê-se mi.

Assim, 1 kg = 103 g (um quilograma equivale a mil gramas) e 1 Gm = 109 m (um gigametro equivale a um bilhão de metros).Copie e complete as igualdades, usando potências de base dez:a) 1 Mm = __ m = __ mmb) 1 mg = __ g = __ kgc) 1 ns = __ sd) 1 Gm = __ m = __ km

3. Leia o texto:

Os prefixos giga e mega, usados na informática, correspondem a números diversos (embora próximos) daqueles com que são usados

no Sistema Internacional de Unidades (SI). Assim, 1 megabyte corresponde a 1 048 576 bytes. Este número, que é próximo de 106, é igual a 220. A troca de base dez pela base dois justifica-se: os computadores trabalham com sistema numérico de base dois.Nos dois contextos (SI e informática), valem estas regras: quilo × quilo = mega e quilo × mega = giga.

Agora, copie e complete:Na informática, o prefixo quilo corresponde à potência 2? = 1 024 e o prefixo giga corresponde à potência 2? = ?

Cálculos com radicais

4. Você conhece a fórmula que relaciona a altura de um triângulo eqüilátero e o seu lado.

O trapézio da figura é composto por três triângulos eqüiláteros iguais. Calcule sua área.

5. Deduza uma fórmula para calcular a medida d da diagonal de um bloco retangular cujas dimensões a, b e c são conhecidas. Siga o roteiro:

a) Observe este bloco retangular, onde estão traçadas a diagonal AC de uma face e a diagonal EC do bloco.

b) Como as faces do bloco são retângulos, o triângulo ABC tem um ângulo reto em B. Aplique o teorema de Pitágoras e calcule AC em função de a e b.c) Como a aresta AE é perpendicular à base do bloco, o triângulo ACE

é retângulo em A. Aplique o teorema de Pitágoras e calcule a medida d da diagonal, em função de a, b e c.

6. Consultando um livro, Gilda viu esta fórmula para calcular a medida d da diagonal de um bloco retangular cujas dimensões são a, b e c:d = [fig. 2 - 4]Achou então que a fórmula poderia ser simplificada, ficando assim:d = a + b + c (fórmula de Gilda)Argumento usado por ela: "Elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada são operações que se neutralizam".Estará correta a fórmula de Gilda? É válido o seu argumento? Discuta essas questões. Se quiser, use exemplos numéricos.

Mais cálculos com radicais

7. Primeiro, simplifique cada expressão. Depois, usando os valores da tabela, dê o seu valor aproximado.

8. As dimensões de um retângulo são cm e cm.a) Calcule seu perímetro.b) Calcule sua área.

9. Descubra o valor de x, que é um número positivo, sabendo que:

Capítulo 3 - Equações e fatoração Equação de 1º grau

1. Resolva as equações:

2. Resolva a seguinte equação:

3. Num polígono de n lados, sendo s a soma das medidas dos ângulos internos, temos: s = 180º (n - 2).Use essa fórmula e descubra:a) Quantos lados tem o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é 1 800º?b) Quantos lados tem o polígono regular em que cada ângulo interno mede 170º?

Vários tipos de equações

4. Descubra o valor de x, sabendo que a área do quadrado ABCD é 25:

5. De um quadrado, de lado x, são eliminados, em cada canto, quadradinhos de lados 2 cm, como mostra o desenho:

A figura resultante, em forma de cruz, tem área igual a 65 cm2. Descubra o valor de x.

6. Resolva as equações:

Equações resolvidas por fatoração

7. Fatore o trinômio quadrado perfeito e resolva as equações:

8. Colocando o fator comum em evidência, simplifique as expressões:

Fatorando o trinômio quadrado perfeito

9. Encontre as medidas dos lados destes retângulos:

10. Primeiro, coloque o fator comum em evidência; depois, fatore o trinômio quadrado perfeito. Assim, você conseguirá resolver estas equações:a) x3 - 4x2 + 4x = 0 b) x4 + 6x3 + 9x2 = 0 c) 9y3 - 42y2 + 49y = 0

11. Para resolver a primeira equação, acrescente 49 nos seus dois lados. Para resolver as demais, descubra o número que deve ser somado nos dois lados delas.a) t2 + 14t = -24b) x2 - 10x = 11c) 4y2 - 12y = -5

12. Para resolver a equação x2 - 4x = 9, uma pessoa começou somando 16 em cada lado da igualdade: x2 - 4x + 16 = 9 + 16. Depois, prosseguiu assim:x2 - 4x + 16 = 25(x - 4)2 = 25x - 4 = ± 5x - 4 = 5 ou x - 4 = -5x = 9 x = -1

a) Verifique se os números encontrados, 9 e - 1, são, de fato, soluções da equação inicial.b) Notou o erro na resolução? Descubra-o.c) Agora, encontre a solução correta.

Capítulo 4 - Medidas Sistemas decimais e não decimais

1. Imagine uma cidade planejada na qual os quarteirões são quadrados de lados iguais a 100 m. Despreze a largura das ruas e responda: nessa localidade, 1 km2 corresponde a quantos quarteirões aproximadamente?

2. Nos Estados Unidos, a milha é mais usada que o quilômetro. Assim, nas estradas, as placas que indicam limite de velocidade referem-se a milhas por hora. Sabendo que 1 milha ~ 1 609 m, responda: a velocidade de 50 milhas por hora corresponde a cerca de quantos quilômetros por hora?

3. Flávia disse a seu pai que estudou, em média, 2 horas por dia. Veja as anotações que ela fez sobre seus horários de estudo na última semana.

Dia 2ªf 3ªf 4ªf 5ªf 6ªf sab domInício 13h 14h 13h 14h15 13h15 13h 14h15

Término 13h45 15h15 16h05 15h40 15h40 14h45 17h

Afinal, a afirmação de Flávia é correta? Quantas horas ela estudou, em média, por dia?

Calculando áreas e volumes

4. Observe a seqüência:

Nesta montagem, de cada vez, acrescenta-se um cubinho de arestas iguais a 1 cm. Complete a tabela:

Volume (cm3) 1 2 3 4 5 6 7 8Área total (cm2) 6 10          

5. Uma empresa está estudando a embalagem que usará para certo produto. Veja as planificações (simplificadas) das alternativas A e B:

medidas em centímetros

a) Calcule as áreas totais desses dois blocos retangulares.b) Calcule as capacidades de cada embalagem.c) Simplificando a situação, podemos comparar o gasto de matéria-prima de cada alternativa comparando as áreas totais dos blocos. Então, responda: em A gasta-se quanto por cento a mais que em B?d) Agora compare as capacidades: a de A é quanto por cento a mais que a de B?e) Nessa análise simplificada, qual é a embalagem mais econômica para a empresa?

6. Observe as vistas de uma peça de certa máquina:

medidas em centímetrosa) Calcule o volume da peça, em centímetros cúbicos.b) Essa peça é de ferro e a densidade desse metal é de 7,8 g/cm3, isto é, 1 cm3 tem 7,8 g de massa. Quantos gramas tem a peça?

Capítulo 5 - Estatística Contando possibilidades

1. Num microcomputador para abrir determinado arquivo, um usuário deve digitar 4 sinais (# * \ ^) numa certa ordem sem repeti-los. Se não conhece a senha e procura acertá-la ao acaso, quantas tentativas no máximo, ele fará?

2. Num hospital, há 3 portas de entrada, que dão para um saguão com 4 elevadores. Um visitante, que se encontra na rua, deve dirigir-se ao 5o andar utilizando um deles. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?(Dica: organize um diagrama das possibilidades.)

3. Se o código de barras a ser usado numa embalagem for composto de cinco barras, cada uma podendo ser branca ou preta, quantas possibilidades teremos?

Chance e estatística

4. Um baralho comum tem 52 cartas, igualmente distribuídas entre 4 naipes: ouros, copas, espadas e paus. Imagine que vamos sortear cartas de um baralho comum.a) Qual é a chance de sortearmos uma carta do naipe ouros?b) Se a primeira carta sorteada foi ouros, qual é a chance de a segunda ser do mesmo naipe?

5. Numa gaveta há 6 lenços pretos e 9 brancos.

a) Vou pegando os lenços, sem olhar, um a um, até ter certeza de que tenho dois brancos. Quantos deles devo pegar, no mínimo?b) Qual a chance de o primeiro sorteado ser um lenço preto?

6. Em certa cidade, em 1980, havia 5 000 pessoas com 50 anos. Em 2000, 1 000 delas haviam morrido. Com base nesses dados estatísticos, qual é a chance de um indivíduo de 50 anos chegar aos 70 anos nessa localidade?

Amostras

7. Muitas vezes fazemos pesquisa estatística sem perceber. As pessoas que conhecemos constituem uma amostra. Responda às perguntas seguintes pensando nessas amostras que estão à sua volta.a) Com que idade é mais comum que as mulheres se casem: entre 16 e 22, entre 23 e 29 ou entre 30 e 36?b) Quanto tempo costuma durar um resfriado: até uma semana, entre uma e duas ou mais de duas?c) No ensino fundamental (de 1a a 8a série), quantos professores são mulheres: pelo menos 40 %, 60 % ou 70 %?d) Em que período do dia há mais televisores ligados no país todo?

8. Ao entrar num estádio para assistir a um show de Chitãozinho e Xororó, 1 000 pessoas, escolhidas ao acaso, recebem cupons para um sorteio. Mais tarde, um pesquisador entrevista 100 pessoas e constata que 8 delas têm os bilhetes. Estime o total de pessoas que foram ao espetáculo.

9. Carlos é dono de uma barraca de tiro ao alvo num parque de diversões. Ele contratou 5 bons atiradores e cada um deu 3 tiros. Veja o alvo e os resultados.

atirador 1 2 3 4 5pontos 50 100 60 40 70

Responda:a) Qual é a média dos pontos obtidos pelos atiradores?b) Com base na amostra fornecida, Carlos anunciou que daria prêmios para quem obtivesse 70 ou mais pontos com 3 tiros. É fácil obter esse resultado?c) A amostra de pontos obtidos é viciada. Explique por que e diga qual é o interesse de Carlos nisso.

Capítulo 6 - Equações e sistemas de equações de 2º grau A fórmula de Bhaskara

1. Uma pessoa resolveu a equação x2 - 4x + 3 = 0 aplicando a fórmula de Bhaskara. Acompanhe:

a) Verifique se os números encontrados, -1 e -3, são, realmente, soluções da equação.b) Percebeu que houve algum engano nessa resolução? Descubra-o.c) Resolva a equação corretamente.

2. Considere a equação 2x2 - 10x = 0. Resolva-a:a) colocando o fator comum em evidência;b) aplicando a fórmula de Bhaskara.

3. Resolva as equações usando as sugestões:

Sistemas de equações

4. Resolva os sistemas de equações:

5. Um retângulo tem área igual a 11 cm2 e perímetro igual a 24 cm. Encontre as medidas de seus lados.

6. Sabe-se que a soma dos quadrados de dois números é igual a 29 e a diferença entre os seus quadrados é 21. Encontre os dois números.Atenção: Há quatro pares de números que satisfazem essas condições. Descubra todos eles.

Problemas

7. O jardim e o canteiro de flores têm forma retangular:

A área ocupada pelas flores é de 84 m2 e a do gramado é de 66 m2. Descubra os valoresde x e y.

8. Dois números inteiros são consecutivos.a) A diferença de seus quadrados é igual a 31. Quais são esses números?b) A diferença de seus quadrados pode ser igual a 20? Justifique sua resposta.c) Mostre que a diferença entre os quadrados de dois números inteiros e consecutivos é sempre um número ímpar.

9. Luís comprou um belo terreno retangular de 20 m de frente por 30 m de fundo e nele deseja construir uma ampla casa térrea. A área construída será de 336 m2 e ele pretende deixar, em toda a volta da casa, uma faixa livre de mesma largura. Descubra a largura x dessa faixa.

Capítulo 7 - Geometria dedutiva Matemática, detetives e dedução

1. Quatro homens, um dos quais cometeu um furto, são interrogados.Alberto diz: Bruno é o culpado.Bruno diz: David é o culpado.Carlos diz: Eu não sou culpado.David diz: Bruno mentiu.Se apenas uma dessas quatro declarações é verdadeira, quem é o culpado?

2. Cinco livros de cores diferentes formam uma pilha. O verde está abaixo do amarelo e acima do azul. O vermelho está acima do marrom e este fica abaixo do verde. O amarelo e o verde se encostam, assim como o verde e o marrom. Qual é o livro do topo da pilha?

3. No hexágono regular da figura, prove que x = 90º. (Lembre-se de que cada ângulo interno do hexágono regular mede 120º.)

Ângulos nos polígonos

4. Veja o traçado:

Prolongam-se os lados de um triângulo...

...formam-se novos triângulos.

Agora, descubra: quanto dá a soma das medidas dos ângulos ?

5. Num triângulo retângulo, o menor ângulo mede 20º. Traçam-se a altura relativa à hipotenusa e a bissetriz do ângulo reto. Que ângulo elas formam entre si? Sugestão: faça uma figura.

6. Em um pentágono regular ABCDE, prove que o ângulo DÂC mede 36º. Sugestão: comece calculando o ângulo CÂB.

Ângulos na circunferência

7. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo AOB, sendo O o centro do círculo.

8. Na ilustração, O é o centro do círculo. Descubra as medidas x e y.

9. Considere a figura.

medidas em centímetros

a) Encontre dois ângulos do DABP que sejam iguais a dois ângulos do DCDP.b) Ao resolver a parte a), você deve ter percebido que os dois triângulos são semelhantes. Use esse fato e calcule a medida de PC.

Paralelismo

10. Na figura, XYZC é um paralelogramo. Prove que os triângulos AXY e YZB são semelhantes.

11. Na figura, M, N, P são pontos médios dos lados do triângulo ABC:

a) Qual é a razão entre os medidos de NM e CB?b) Sendo AB = 14 cm, BC = 15 cm e AC = 13 cm, obtenha o perímetro do triângulo MNP.

12. Desafio! Tomamos um triângulo ABC, eqüilátero, e marcamos um ponto P em seu interior. Por esse ponto, traçamos paralelas aos lados do triângulo ABC, formando os triângulos PRS, PXY e PMN, como se vê na figura.

Escolha um dos triângulos (PRS, PXY ou PMN) e prove que ele é eqüilátero.

Capítulo 8 - Matemática, comércio e indústria Produção e proporcionalidade

1. Uma pessoa digitou certo texto em 10 dias, trabalhando 6 horas por dia, com uma velocidade média de 60 toques por minuto. Alguém menos experiente, em 4 horas por dia, com a velocidade média de 50 toques por minuto, precisaria de quanto tempo para fazer o mesmo trabalho?

2. Uma aplicação financeira remunera o investidor da seguinte maneira: o ganho é diretamente proporcional ao capital investido e ao tempo que o capital permanece aplicado. Complete a tabela. Todos os cálculos podem ser feitos mentalmente.

Capital investido (R$)

Tempo da aplicação (mês)

Ganho do investidor (R$)

1 000,00 1 10,001 000,00 2 15h152 000,00 22 000,00 3

3 30,003 000,00 30,00

3. Uma indústria metalúrgica produz chapas de uma liga metálica. A chapa de 2,50 m de comprimento por 1,20 m de largura e 3 mm de

espessura tem 72 kg de massa. Quantos quilos tem a peça, feita com a mesma liga, de 2,00 m de comprimento por 0,80 m de largura e 5 mm de espessura?

Juros

4. Carlos estava precisando de um empréstimo e sabia que a amiga Natália possuía uma caderneta de poupança. Propôs então: Você me empresta R$ 2 000,00 e eu lhe devolvo dois meses depois, pagando os mesmos juros que o banco. A moça concordou e, na data de aniversário de sua poupança, sacou R$ 2 000,00 para o amigo.Nos dois meses seguintes, a poupança rendeu 0,83 % e 0,86 %. Carlos cumpriu a palavra. Quanto devolveu a Natália?

5. Calcule o montante produzido por um capital de R$ 20 000,00 em 4 meses, à taxa de juros compostos de 3 % a.m.

6. José ganhou um prêmio de R$ 60 000,00 na loteria e decidiu aplicá-lo em investimentos de risco durante um trimestre. Inicialmente, ele teve sorte: no primeiro mês, a aplicação rendeu 6,5 %. Ele não fez nenhuma retirada, e o segundo mês foi ainda melhor: 7,2 %. No terceiro mês, entretanto, as ações despencaram, e o rendimento foi de apenas 0,2 %. Qual foi o montante do rapaz após os três meses?

Problemas variados

7. A microempresa de dona Janete recolhe um imposto único, chamado Simples, de 4 % ao mês sobre a receita bruta, que no mês retrasado foi de R$ 3 250,00.a) Qual era o valor do Simples a ser pago pela microempresa?b) No dia do vencimento, dona Janete não tinha o dinheiro e só conseguiu pagar o imposto 30 dias depois, acrescido de multa e juro. O Ministério da Fazenda cobra multa de 0,33 % por dia de atraso e 1 % de juro ao mês. Quanto a microempresária acabou pagando?

8. Dona Marlene trabalha na casa de dona Lúcia, recebendo salário mensal de R$ 295,00. De acordo com as normas atuais do INSS - Instituto Nacional do Seguro Social -, na guia de recolhimento do contribuinte deve constar uma alíquota de 19,82 %, da qual a empregada paga 8 % e a empregadora, o restante. Que valor, em reais, compete a cada uma delas?

9. No Brasil, em 2001, o imposto sobre a renda de pessoas assalariadas era calculado de acordo com a seguinte tabela:

Tabela de cálculo do IR mensal

Salário em reais Alíquota Parcela a deduzir em reais

Até 900 Isento -900,01 a 1 800,00 15 % 135,00Acima de 1 800,00 27,5 % 360,00

Abatimento por dependente

3 90,00

Dona Arlete e seu Osvaldo são assalariados. Ela recebe R$ 2 300,00 por mês e ele, R$ 1 500,00. O casal possui três filhos menores e declara seus rendimentos separadamente.Examine estas possibilidades:· colocar os três filhos como dependentes dela;· colocar os três filhos como dependentes dele;· colocar dois filhos como dependentes dela e o outro como dependente dele;· colocar dois filhos como dependentes dele e o outro como dependente dela.Não se esqueça de que, no cálculo do imposto, começa-se descontando do salário o valor correspondente aos dependentes. Sobre o saldo, aplica-se então a alíquota. Qual é a opção mais vantajosa para o casal?

Capítulo 9 - Trigonometria Medindo o que não se alcança

1. Deu cupim no pé da árvore e agora, infelizmente, será preciso derrubá-la. Antes, os bombeiros deverão estimar sua altura para saber se, na queda, ela não atingirá as casas vizinhas.

Qual é a altura aproximada da árvore?Informação: tg 32º ~ 0,62

2. Para obter a altura do morro, os técnicos mediram os ângulos OÂT e e a distância AB, como mostra a figura.

a) Represente por y a medida desconhecida de OA. Escreva uma fórmula relacionando x com y. Informação: tg 35º = 0,70.

b) No triângulo retângulo BOT, temos:

Agora são duas equações relacionando as incógnitas x e y. Resolva esse sistema e encontre a altura do morro.

3. Considere estes pontos A, B e C na malha quadriculada:

Vamos ligar A com B e B com C:

Será que os pontos A, B e C estão sobre uma mesma reta? Para responder, considere os triângulos ABM e BCN:

Razões trigonométricas

4. No triângulo isósceles ABC sabe-se que AB = AC = 7 cm e BC = 6 cm.a) Desenhe o triângulo ABC (basta um rascunho, sem precisão) e trace a altura AM do triângulo.b) Calcule a medida de AM.c) Calcule sen , cos e tg .d) Consulte a tabela das razões trigonométricas e faça uma estimativa para o ângulo .e) Qual é a medida aproximada do ângulo desse triângulo?

5. O trapézio da figura tem um eixo de simetria.

a) Desenhe a altura AH, perpendicular à base DC, e calcule sua medida.b) Calcule a área do trapézio.c) Descubra as medidas aproximadas dos ângulos do trapézio. Para isso, calcule alguma razão trigonométrica e consulte a tabela.

6. A Secretaria de Turismo de Vale Verde quer instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas que circundam a cidade.

São conhecidas as altitudes das montanhas: ponto A - 978 m; ponto B - 1 025 m. Os técnicos verificam que a linha AB forma 15º com a horizontal em A.a) Calcule a medida de AB. Consulte a tabela das razões trigonométricas.b) O cabo de aço que sustentará o teleférico tem curvatura e, por isso, seu comprimento é 7 % maior que a medida do segmento de reta AB. Calcule o comprimento do cabo.

Polígonos inscritos e circunscritos

7. Na figura, as seis circunferências têm raios iguais, e o triângulo que as envolve é eqüilátero. Calcule o lado l do triângulo em função do raio r dessas circunferências. Comece percebendo algumas relações:

Agora calcule x em função de r.

Como = x + 2r, você pode, finalmente, calcular l em função de r.

8. Desenhe à mão livre, mas com capricho:· uma circunferência e um hexágono regular nela inscrito;· um quadrado circunscrito a ela.Agora, responda: se os lados do quadrado medirem 15 cm cada um, quanto medirão os lados do hexágono regular?

9. Observe a figura. As cinco circunferências têm raios iguais a r e o quadrilátero que as envolve é um quadrado de lado L. Calcule L em função de r. Para isso, explore a simetria axial da figura.

Calcule AC em função de r. Depois, note que:OA = OB = r + r + AC = 2r + ACSubstituindo AC pelo valor encontrado, você terá OA e OB em função de r.Finalmente, aplique o teorema de Pitágoras no triângulo AOB e obtenha L em função de r.

Capítulo 10 - Funções Funções, suas tabelas e suas fórmulas

1. Veja a tabela correspondente a uma função:

x 3 6 9 15y 4 3 2 0

a) Qual é a fórmula da função:

b) Justifique sua resposta anterior.

2. Considere duas engrenagens ligadas. A maior tem 36 dentes e a menor, 12. Cada dente da maior "empurra" um dente da menor, fazendo a transmissão do movimento.

a) Complete a tabela:

voltas da maior (x)

1 3 5 7

voltas da menor (y)

b) O número de voltas y é função do número de voltas x. Qual é a fórmula dessa função?

3. Nesta questão deve-se usar calculadora.Um engenheiro está testando quantos gramas suporta um cabo feito

com certo material.

Após centenas de testes, o profissional obteve estes resultados:

Experimento d diâmetro do cabo (mm) m massa máxima suportada (g)

1 0,75 1,962 1,15 4,493 1,75 10,724 2,15 15,725 2,80 27,44

Ele acha que m é uma função de d com fórmula m = k × d2. Esse k é um número fixo que se multiplica pelo quadrado do diâmetro do cabo para obter o valor da massa.a) Usando uma calculadora e a fórmula, determine k em cada um dos 5 experimentos.b) É correto pensar que m = kd2? Escreva suas conclusões. Atenção: se o valor de k variou um pouco só de um experimento para outro, isso é normal devido a errinhos na medição.

Funções e seus gráficos

4. Num mesmo sistema de eixos, construa o gráfico de duas funções: y = x + 1 e y = -x + 6.Sabendo que os gráficos dessas funções são retas que se interceptam num certo ponto, determine as coordenadas desse ponto.

5. Observe o gráfico da função y = -x2 + 14x - 13. O ponto V é "o mais alto" dessa parábola. Será que observando o gráfico e usando a fórmula da função você descobre as coordenadas de V?

6. Esboce o gráfico de y = x2 - 6x + 5 e descubra seu valor mínimo.

Usando funções

7. Estes são os dados referentes à população de uma cidade:

Ano (a) População (p)1999 60 0002000 70 0002001 82 000 2002 92 500

Represente as informações no plano cartesiano, colocando o ano no eixo horizontal. Crie uma escala adequada: por exemplo, no eixo horizontal faça 1999 corresponder a 1, 2000 a 2 e no eixo vertical faça 60 000 corresponder a 6, 120 000 a 12, etc.a) Certamente P é função de a. O gráfico dá a impressão de que P é uma função de 1º grau ou de 2º grau?b) Faça uma projeção de qual será a população da cidade no ano 2010.

8. Uma empresa está lançando um novo produto e fez a previsão do lucro mensal que obterá com ele. Veja o gráfico obtido:

No início, a empresa terá mais gastos que recebimentos e o lucro será negativo. Mas ele cresce e, depois, se estabiliza.a) Qual será o lucro no 6º mês após o lançamento do produto?b) E o lucro acumulado nos 8 meses seguintes ao lançamento?c) Dê sua opinião: por que o lucro é negativo nos primeiros meses?

Capítulo 11 - Construções geométricas Simetrias

1. Em 1967, o artista Chotenovsky criou este cartaz comemorativo dos 50 anos da revolução russa.

Que tipo de simetria você observa nesse desenho?

2. Neste prisma de bases quadradas, as faces laterais são retângulos.

Plano horizontal da basea) Ele possui 4 planos de simetria verticais, perpendiculares ao plano da base. Mostre um deles com um desenho.b) Ele possui um outro plano de simetria horizontal, paralelo ao plano da base. Mostre-o num desenho.c) Ele possui um eixo de simetria para uma rotação de 90º. Mostre-o num desenho.

3. Desenhe um cubo e mostre, no desenho, um de seus planos de simetria e um de seus eixos de simetria.

Dá para construir?

4. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F):a) Conhecendo apenas a medida dos lados de um losango, não se pode saber quais são as medidas de seus ângulos.b) Conhecendo apenas a medida dos lados de um triângulo regular, não se pode saber quais são as medidas de seus ângulos internos.c) A medida dos ângulos internos de um hexágono regular não depende da medida de seus lados.d) Conhecendo apenas o comprimento e a largura de um retângulo, é possível determinar a medida de suas diagonais.e) Conhecendo apenas as medidas de dois lados de um triângulo e a medida do ângulo que eles formam, não é possível determinar a

medida do terceiro.

5. É impossível construir um quadrilátero cujos lados meçam 3 cm, 5 cm, 6 cm e 20 cm. Justifique.

6. Desenhe um retângulo com lados de 3 cm e 5 cm.a) Construa a circunferência que passa pelos quatro vértices do retângulo.b) É possível construir uma outra circunferência, inscrita no retângulo, que tangencia seus quatro lados?

Desenhando em 3 D

7. Veja o desenho do pódio. Faça uma vista em perspectiva variando o ângulo sob o qual você vê o pódio.

8. Nessa perspectiva, a peça está à esquerda e abaixo dos olhos do observador. Faça outra perspectiva em que a peça esteja à direita e acima dos olhos do observador.

 

9. Veja o desenho da cruz. Desenhe uma vista em perspectiva

usando dois pontos de fuga.

Capítulo 12 - Círculo e cilindro Perímetro e área do círculo

1. Na figura, as três circunferências iguais têm centros nos vértices de um triângulo eqüilátero cujos lados medem 8 cm. Dê a área da região em preto. Siga o roteiro:

Determine a altura do triângulo eqüilátero (você pode usar o teorema de Pitágoras ou razões trigonométricas). Calcule a área do triângulo.Agora, subtraia as áreas dos três setores circulares cujos ângulos centrais medem...

2. Os cabos de cobre que transmitem energia elétrica são revestidos com uma capa plástica.

medidas em mmImagine um pedacinho desse cabo com 10 mm de comprimento. "Planificando" a capa plástica, obtemos, aproximadamente, um bloco retangular de altura 1 mm.

medidas em mma) Calcule o volume desse pequeno bloco retangular. Para a largura do bloco, use o perímetro da circunferência interna da capa plástica.b) Qual o volume de plástico necessário para revestir 1 km desse fio?c) Suponha que a densidade desse material plástico seja de 1,2 g/cm3. Qual é a massa do material plástico usado no revestimento de 1 km de fio?

3. Numa tubulação de água, o número de metros cúbicos que atravessam certo ponto dela, em cada segundo, chama-se vazão. A vazão é calculada assim:

Considere duas tubulações: a primeira com 5 cm de diâmetro e a segunda com 10 cm de diâmetro. Em ambas, a velocidade de escoamento da água é de 6 m/s.a) Calcule as vazões em cada uma delas.b) Da primeira tubulação para a segunda o diâmetro dobrou. Aconteceu o mesmo com a vazão?c) Uma tubulação de 10 cm de diâmetro deve ser substituída por outra, de modo que dobre a vazão, sem alterar a velocidade de escoamento da água. Qual deverá ser o novo diâmetro?

Volume do cilindro

4. Uma empresa está analisando a forma da embalagem que abrigará certo produto. Veja as planificações (simplificadas) de duas alternativas:

a) Calcule as áreas totais do bloco retangular I e do cilindro II.b) Calcule a capacidade da embalagem I.c) Para calcular a capacidade da embalagem II, use esta informação: O volume de um cilindro se obtém multiplicando a área da base pela altura.d) Compare as áreas totais das duas embalagens e responda: a área de II é quanto por cento a mais que a de I?e) Compare as capacidades: a capacidade de II é quanto por cento a mais que a de I?f) Nessa análise simplificada, qual é a embalagem mais econômica para a empresa?

5. Num posto de combustíveis, o tanque que armazena gasolina tem forma cilíndrica e está enterrado em posição horizontal.

Periodicamente, um funcionário avalia a quantidade de combustível no tanque, usando uma régua, como mostra a figura. Suponha que o tanque, quando cheio, comporte 20 000 litros. Seja x a altura da parte da régua que fica imersa e V o volume de combustível no tanque. Qual destes gráficos representa melhor a variação do volume V em função de x? Justifique sua resposta.

6. Num cilindro circular de raio da base r e altura h, o volume é V. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Mantendo r e dobrando h, o volume dobra.b) Mantendo h e dobrando r, o volume dobra.c) Dobrando r e dobrando h, o volume multiplica por 8.d) Mantendo r, o volume V é diretamente proporcional a h.

Capítulo 13 - Classificação dos números Conjuntos

1. Considere o seguinte diagrama:

a) Pinte de amarelo a região cujos pontos satisfazem esta condição: x A n B e x C.b) Pinte de azul a região caracterizada por: x Î A e x Ï B e x Ï C.

2. Num município, há 1 650 adultos e, desses, 900 trabalham na cidade e 250, no campo. Sabe-se ainda que 50 trabalham nos dois lugares.a) Represente essa situação num diagrama.b) Quantos adultos trabalham apenas no campo?

3. Apesar das aparências, este exercício é sério. Saiba que:· todo fleps é svlin;· alguns fleps também são clones;· alguns clones não são svlins.Com essas informações, faça um diagrama representando os conjuntos F (dos fleps), S (dos svlins) e C (dos clones).

Conjuntos numéricos

4. Escreva na forma de fração e simplifique-a:a) 0,125 b) -12,5c) 0,555...:d) 1,252525... e) 1,2525

5. Observe o diagrama:

a) O diagrama mostra que todo número natural é inteiro ou que todo número inteiro é natural?b) Escreva no diagrama (no local certo!) os seguintes números: 2; - 2;

0,2; - ; .

6. Pequeno desafio: usando régua e esquadro e pensando no teorema de Pitágoras, desenhe um segmento cuja medida é x cm!

Reta numérica

7. Desenhe uma reta numérica. Nela, marque aproximadamente o

ponto correspondente aos números -1,5; -0,01; ; ; 2,999...

8. Observe a reta numérica:

Os pontos A, B e C representam três dos números seguintes:

Agora diga qual número corresponde ao ponto A, qual corresponde a B e qual corresponde a C.

9. Observe a figura:

a) A diagonal do retângulo da figura mede cm. Prove que isso é verdade por meio de um cálculo.b) Use um compasso e encontre na reta numérica o ponto correspondente a .

Capítulo 14 - Técnica algébrica Produtos notáveis e fatoração

1. Use os produtos notáveis e efetue estas multiplicações:a) (1 - 3a)(1 + 3a) b) (2y - 5)2 c) (3m + 2)(3m - 2)d) (a2+b2)2 e) (2b2x + 5)(2b2x - 5) f) (3 - a3)2

2. Fatore as expressões.Sugestão: comece verificando se é possível colocar fator comum em evidência.a) 4x2p3 + 8xp2 b) 49a2 - 36 c) 9b2 + 24b + 16d) x3 - 6x2 + 9x e) x3 - 81x f) y3 - 9y

3. Observe estas subtrações envolvendo números de dois algarismos:

92 - 29 = 63; 61 - 16 = 45; 85 - 58 = 27

Nos números em negrito, o algarismo das dezenas trocou de lugar com o das unidades. Note que, nos três casos, a diferença (63, 45, 27) é um múltiplo de 9. Você vai provar que esse fato é geral. Siga o roteiro:

a) Se um número tem dois algarismos, sendo a o das unidades e b o das dezenas, podemos escrevê-lo assim: 10b + a. Escreva dessa forma o número que se obtém trocando de lugar os algarismos a e b.b) Fazendo cálculos algébricos, encontre a diferença entre esses dois números. Fatore o resultado.c) Analise a expressão resultante e mostre que ela é sempre um múltiplo de 9.

Equações fracionárias

4. Resolva as equações. Atenção: não deixe de verificar se algum valor encontrado anula o denominador.

5. Resolva os sistemas de equações:

6. As despesas de um condomínio totalizam R$ 1 500,00. Dois condôminos, não dispondo de recursos para pagar a sua parte, fazem com que cada um dos demais eleve a sua cota em R$ 25,00. Quantos são os condôminos?