capítulo 2 - omnipax

Capítulo 2

Modelagem Matemática Simplificada doProcesso de Transferência de Calor em Alimentos

Usando o Algoritmo de Evolução Diferencial

Rubens Gedraite∗, Davi Leonardo de Souza e Leo Kunigk

Resumo: A modelagem matematica de processos de transferencia de calor tem um papel fundamentalno desenvolvimento cientıfico e tecnologico em diversas areas com aplicacoes em engenharia e areas afins.Dentre estas, a identificacao do modelo matematico no processo de transferencia de calor em alimentose de fundamental importancia para uma melhor caracterizacao dos processos, objetivando, entre outrosaspectos, no aumento da vida de prateleira dos produtos. Neste contexto, o presente capıtulo propoe umametodologia para a identificacao do modelo matematico simplificado do processo de transferencia de caloraplicado ao processo de proteına texturizada de soja utilizando o Algoritmo de Evolucao Diferencial.

Palavras-chave: Modelagem Matematica, Transferencia de Calor em Alimentos, Evolucao Diferencial.

Abstract: The mathematical modeling of heat transfer processes is very important in scientific andtechnologic development with applications in various fields of engineering and science. Among these,the model identification in process of food heat transfer is of fundamental importance for a bettercharacterization of process, aiming, among others, the increasing the shelf life of products. In this context,the present contribution proposes a methodology for the identification of a simplified mathematical modelof textured soybean protein process using the Differential Evolution Algorithm.

Keywords: Mathematical Modeling, Food Transfer Heat, Differential Evolution.

Conteúdo

1 Introducao ................................................................................................................................ 122 Procedimento Experimental do Processo de Transferencia de Calor em Alimentos................. 133 Modelagem Matematica do Processo de Transferencia de Calor em Alimentos....................... 164 Algoritmo de Evolucao Diferencial........................................................................................... 17

4.1 Inicializacao ..................................................................................................................... 174.2 Operador de mutacao ...................................................................................................... 174.3 Operador de cruzamento.................................................................................................. 184.4 Operador de selecao ......................................................................................................... 18

5 Resultados e Discussao............................................................................................................. 186 Conclusoes................................................................................................................................ 20

∗Autor para contato: [email protected]

Lobato et al. (Ed.), (2014) DOI: 10.7436/2014.tica.02 ISBN 978-85-64619-15-9

[email protected]

12 Gedraite et al.

1. Introdução

Um dos principais objetivos da industria de alimentos e o aumento da vida de prateleira dosprodutos alimentıcios fabricados. Esta meta so pode ser alcancada atraves do emprego de tecnicas depreservacao que inibam as transformacoes quımicas, bioquımicas e microbiologicas que normalmenteocorrem nos mesmos, em associacao com modelos matematicos que os carac- terizem. O ramoda tecnologia de alimentos tem por finalidade estudar os processos industriais empregados para aconservacao dos produtos alimentıcios. Dentre esses pode-se citar: os que empregam o calor, ofrio e/ou os que removem o conteudo de agua do alimento, cuja principal finalidade e eliminar osesporos de bacterias presentes em alimentos industrializados (Gedraite, 2005; Gedraite & Leonhardt,1997). Estes microorganismos presentes nos alimentos sao capazes de produzir toxinas que, mesmoem quantidades muito reduzidas sao patogenicas ao ser humano, podendo mesmo serem letais seingeridas (Germer, 1997). Especificadamente, o processamento termico de alimentos industrializadosconsiste no aquecimento de embalagens em autoclaves pressurizadas, que podem ser estacionarias ourotativas, verticais ou horizontais, e/ou contınuas ou descontınuas. O processamento termico deveser especificado por especialistas que, para cada sistema equipamento/embalagem/alimento definamas condicoes de processo: tempo de processo, temperatura de processo, temperatura mınima inicialdo alimento, perfil de pressao e programa de desaeracao da autoclave (Germer, 1997).

Face aos requisitos de qualidade e de seguranca anteriormente citados, grande cuidado e tomadono calculo dos tempos de processamento, assim como no controle do tempo e da temperatura vigentesdurante os mesmos, de modo a evitar que o alimento seja submetido a um sub-processamento ou aum sobre-processamento. Embora os processos possam ser criteriosamente definidos, a sua aplicacaono dia-a-dia da producao industrial foge da idealidade. Isto se deve a problemas operacionais comopor exemplo a falta de energia, a queda na geracao de vapor de agua e a falha nos sistemas decontrole, causando desvios no processo pela flutuacao da temperatura do meio de aquecimento, entreoutros aspectos. Outros desvios de processo podem ocorrer quando ha alteracao de parametros doprocesso, tais como: temperatura inicial do produto, tempo de processo mais curto e temperaturado meio de aquecimento uniformemente mais baixa. Quando estes desvios acontecem, o lote,em geral, e reprocessado ou segregado para analise dos registros por um especialista que devetomar decisoes quanto a liberacao deste ou o seu descarte. Do ponto de vista pratico, taisprocedimentos sao dispendiosos, demorados e quando a opcao e feita pelo reprocessamento, resultamnum comprometimento da qualidade do alimento (Germer, 1997).

Outro aspecto relevante em tais processos e que a atividade enzimatica e microbiologica presenteem um produto alimentıcio industrializado e funcao da temperatura. Quando um produto alimentıcioe submetido a temperaturas superiores as maximas em que se verificam essas atividades, osmicroorganismos e as enzimas sao destruıdas. Foi com base nesse comportamento que as tecnicasdenominadas como processamento termico foram desenvolvidas. O processo de conservacao maisimportante que utiliza esta tecnologia e o enlatamento. Neste contexto, a etapa de esterilizacaode um produto alimentıcio se configura como uma das mais importantes neste processo. Quandoprodutos alimentıcios sao colocados numa embalagem, que por sua vez e colocada numa autoclave,este e processado termicamente atraves da condensacao do vapor de agua saturado, sendo que ataxa de transferencia de calor e funcao dos seguintes fatores (Teixeira & Balaban, 1996): coeficientesde transferencia de calor, propriedades fısicas do produto alimentıcio e da embalagem, diferenca detemperatura entre o produto alimentıcio e autoclave, e tamanho da embalagem.

Ressaltada a importancia da caracterizacao de processos de transferencia de calor em alimentos,deve ser mencionado que para esta finalidade faz-se necessario o conhecimento de modelosmatematicos, mesmo que simplificados, que sejam capazes de predizer satisfatoriamente o processoem funcao de alteracoes nas condicoes de processo, para fins da determinacao do perfil detemperaturas e do calculo do ındice de letalidade. Este ultimo e definido como um problemainverso. Tradicionalmente, tais problemas de otimizacao sao resolvidos atraves da aplicacao detecnicas fundamentadas no uso de derivadas. A partir do desenvolvimento de estrategias deotimizacao fundamentadas em analogias com processos quımicos, fısicos e/ou biologicos, os metodosdenominados heurısticos passaram a configurar como uma interessante alternativa para a resolucaodestes problemas, e, mais especificamente, de problemas inversos. Dentre estes metodos, destaca-seo algoritmo de Evolucao Diferencial (ED) proposto por Storn & Price (1995). A ideia basica portras do algoritmo de ED e o esquema proposto para atualizacao de cada indivıduo, a saber, por meioda realizacao de operacoes vetoriais. A diferenca ponderada entre dois indivıduos da populacao eadicionada a um terceiro indivıduo da mesma populacao. Assim, o indivıduo gerado atraves desteesquema e avaliado segundo a funcao objetivo, podendo inclusive substituir indivıduos mal sucedidosnas geracoes seguintes. Na literatura especializada, inumeras aplicacoes usando o algoritmo de ED

Modelagem matemática simplificada do processo de transferência de calor em alimentos 13

podem ser encontradas, dentre as quais pode-se citar a determinacao do perfil otimo de alimentacaode substrato em fermentadores (Kapadi & Gudi, 2004); a determinacao das condicoes operacionais deum reator industrial utilizado para a producao de estireno (Babu et al., 2005); a otimizacao multi-objetivo de vigas (Lobato & Steffen Jr, 2007), a determinacao do perfil otimo de alimentacao desubstrato em um problema de controle otimo com ındice flutuante (Lobato et al., 2007), a estimacaode parametros cineticos em um secador rotatorio (Lobato et al., 2008); o uso de tecnicas de meta-modelagem associada ao enfoque multi-objetivo para o tratamento de um problema de interacaofluido-estrutura (Lobato, 2008), entre outras aplicacoes (Price et al., 2005).

Especificamente na area de alimentos pode-se citar como exemplos de aplicacoes em otimizacao:a estimacao de propriedades fısicas e termicas de feijao (Martins & Silva, 2004), a estimativa dacondutividade termica e da capacidade termica de macas (Mendonca et al., 2005) e de morangos(na etapa de super-resfriamento) (Martins & Lopes, 2007), a determinacao da difusividade termicade frutas (Mariani et al., 2008) e de legumes (durante o processo de congelamento) (Mariani et al.,2009), e a determinacao do coeficiente de transferencia de calor e da condutividade termica da popade coco (Ramsaroop & Persad, 2012), dentre outras.

Diante do que foi apresentado, o presente capıtulo tem por objetivo a identificacao de um modelomatematico simplificado aplicado ao processo de transferencia de calor para a producao de proteınastexturizadas de soja atraves da formulacao e resolucao de um problema inverso usando o algoritmoED. Este capıtulo esta estruturado como segue: nas Secoes 2 e 3 aao apresentados o procedimentoexperimental e o modelagem matematica do processo, respectivamente. Na Secao 4 e apresentada,de forma simplificada, aspectos gerais do algoritmo de ED. Na Secao 5 sao apresentados os resultadosobtidos com a aplicacao da metodologia proposta. Finalmente, as conclusoes e perspectivas paratrabalhos futuros sao descritas na ultima Secao.

2. Procedimento Experimental do Processo de Transferência de Calor em Alimentos

No processo de transferencia de calor em alimento, o controle da temperatura do produto alimentıcioe o ponto crıtico. Basicamente, existem duas estrategias de controle para se alcancar este objetivo.Uma delas envolve a medicao da temperatura do produto e o ajuste da temperatura do meiode aquecimento/resfriamento para se alcancar e manter a temperatura do produto alimentıciono valor desejado. A outra consiste exclusivamente no controle da temperatura do meio deaquecimento/resfriamento, assumindo que a temperatura do produto seguira o curso definido pelosestudos previos de penetracao de calor.

A primeira alternativa permite tanto o ajuste em tempo real das temperaturas dos meios deaquecimento/resfriamento como do tempo de processamento necessario para se considerar quaisquerdesvios. As temperaturas do produto podem ser transformadas em taxas de letalidade e a letalidadeacumulada avaliada em tempo real, de forma a permitir que se encontre o instante mais adequadopara a finalizacao do processamento termico. A temperatura do produto alimentıcio acondicionadonuma embalagem durante o processamento termico e medida por meio de um elemento sensor detemperatura adequadamente instalado no ponto mais frio do mesmo. O sinal de saıda geradopelo elemento sensor de temperatura e enviado a um sistema digital de controle, em cuja base dedados encontra-se configurado um bloco de funcao que executa, em tempo real, o calculo do ındicede letalidade do produto alimentıcio. Esta abordagem nao requer um conhecimento previo domecanismo de transferencia de calor ou das propriedades fısicas e termicas do produto alimentıcio.Contudo, exige-se a preparacao de unidades de teste para a instalacao em cada carregamento daautoclave, no ponto de aquecimento mais lento, o que nao e facilmente exequıvel na pratica. Eimportante ressaltar o fato de que a colocacao de unidades de teste no carregamento da autoclave e amanipulacao dos fios dos res- pectivos elementos sensores por ocasiao do fechamento e da abertura damesma, podem causar atrasos na programacao de operacao das autoclaves, que acarretem diminuicaoda produtividade. As unidades de teste podem, tambem, exibir parametros de penetracao de calorvariaveis; assim sendo, os processamentos termicos poderao variar quando baseados nas mesmas.Alem do mais, a medicao direta e difıcil, ou mesmo impossıvel, no caso de autoclaves contınuas,implicando, tambem, numa recalibracao frequente do sistema de medicao de temperatura (Larousse& Brown, 1997).

A segunda alternativa baseia-se na previsao da temperatura do produto alimentıcio a partir datemperatura do meio de aquecimento/resfriamento. Com base em modelo matematico que descrevacom precisao o fluxo de calor, em regime transiente, pode-se executar o controle do processo deesterilizacao deste. Esta metodologia e mais vantajosa porque dispensa a medicao da temperaturano interior do produto alimentıcio. A sua desvantagem mais marcante e a necessidade de se conhecer

14 Gedraite et al.

as propriedades termofısicas do produto alimentıcio considerado, que nem sempre sao constantes e/ouconhecidas em literatura. Porem, este fato nao impede que estas propriedades sejam determinadasexperimentalmente e/ou que se considere um valor medio global para as mesmas quando daelaboracao do modelo. Larousse & Brown (1997) afirmam que os dois mecanismos predominantes detransferencia de calor envolvidos no processamento termico de alimentos enlatados sao a conducaoe a conveccao. Afirmam, tambem, que, na pratica, o mecanismo de aquecimento condutivo econsiderado mais restritivo para efeito de modelamento matematico da transferencia de calor parao alimento enlatado, apesar do fato dos modelos desenvolvidos com base neste ultimo mecanismoparecerem operar igualmente bem no caso de aquecimento convectivo de produtos alimentıcios. Porse estar trabalhando com transporte de calor por conducao, a complexidade do modelo matematico foiconsideravelmente reduzida, pois este mecanismo de transporte faz uso de equacoes significativamentemais simples do que aquelas utilizadas pelo mecanismo da conveccao.

De um modo geral, a industria de alimentos tem procurado utilizar forma mais intensivaos sistemas de automacao nos processos de enlatamento, com a finalidade de garantir que oprocessamento termico imposto elimine, com seguranca, os microorganismos indesejaveis no produtoalimentıcio. Para se alcancar tal meta e essencial que o processamento termico sofra um rıgidocontrole toda vez que for empregado. As Figuras 1 (a) e (b) (Gedraite, 2005; Gedraite & Leonhardt,1997) apresentam a autoclave estacionaria vertical e o respectivo sistema de controle utilizados nosexperimentos conduzidos. Ja na Figura 2 e apresentado o fluxograma do processo e instrumentacaodo referido equipamento.

(a) Autoclave. (b) Sistema de Controle.

Figura 1. Procedimento experimental para a coleta de pontos (Gedraite, 2005).

A cronometragem do perıodo de exaustao e do perıodo de manutencao na temperatura necessariapara a analise de letalidade dos microorganismos indesejaveis e feita por meio de um controladorlogico programavel. Uma vez alcancada a esterilizacao desejada, deve-se proceder ao resfriamentoda autoclave por meio da injecao de agua. Nesta etapa do processo e muito importante o controleda pressao no interior da autoclave, para evitar que os recipientes que contenham o alimento sejamdanificados. A malha de controle de pressao, mostrada na Figura 2, ira atuar apos o termino daetapa de aquecimento, ajustando a vazao de ar comprimido que e alimentado a autoclave.

Tanto o controle da temperatura como o controle da pressao no interior da autoclave sao feitospor um controlador e indicador eletronico microprocessado com capacidade para ate quatro malhasde controle fechadas por realimentacao. O intertravamento da autoclave e executado por meio deum controlador logico programavel e tem por finalidade principal impedir a colocacao da mesma emoperacao se a tampa nao estiver fechada e travada, alem de impedir a abertura da tampa se a pressaointerna for superior a pressao atmosferica. A autoclave esta equipada com sensores de temperatura,que podem ser montados internamente aos recipientes que contem o produto alimentıcio, de modoa permitir a avaliacao experimental da curva de penetracao de calor no mesmo. Para a medicaoda pressao e das temperaturas foram instalados transmissores eletronicos microprocessados, quepermitem a obtencao de maior confiabilidade e maior precisao nas medicoes efetuadas.

A autoclave estudada emprega um sistema de controle totalmente digital, e que utiliza umcontrolador e indicador eletronico microprocessado acoplado a um controlador logico programavelinterligados a um computador empregado para a supervisao do processo. Este computador executa


S

S

S

S

S

vapor

água

arcomprimido

alívio

dreno

PIC 1

PT 1

I

PY1

ZHS 1

PV1

I/P

Π

3

Π

5Π

2

Π

4

Π

6

Π

1 I

I

A1

A1XV2

XV1

A1

I/P

I

Π

1

TY1

TCI1

Figura 2. Fluxograma de processo e instrumentacao da autoclave vertical.

o aplicativo de supervisao que permite o acompanhamento das condicoes de processo atraves de telasgraficas pre-programadas. O sistema de controle da autoclave e empregado visando gerar o perfil detemperatura desejado para a mesma em funcao do tempo. Podem-se distinguir, fundamentalmente,tres fases tıpicas de operacao de uma autoclave, a saber: aquecimento, esterilizacao e resfriamento.A fase de aquecimento compreende as etapas de exaustao e de aquecimento propriamente ditas. Aetapa de exaustao tem por finalidade a eliminacao do ar existente no interior da autoclave, enquantoque a etapa de aquecimento visa atingir a temperatura pre-fixada para a esterilizacao.

A primeira atividade a ser executada quando do inıcio da operacao da autoclave e a etapa deexaustao (muitas vezes denominada de desaeracao ou remocao do ar). Considerando que o vaporde agua e utilizado como meio de transferencia de calor em autoclaves, devido, entre outras razoes,aos maiores coeficientes de transferencia de calor verificados, para que possamos tirar vantagem deseu uso, devemos eliminar o ar presente no interior da autoclave. A presenca do ar, nao somentereduz a transferencia de calor, mas, quando a exaustao nao for total, o ar restante ao redor dosrecipientes podera agir como isolante e provocar a corrosao e queima de sua superfıcie. Mesmoquando a autoclave se encontre com sua capacidade maxima ocupada, a maior parte do espaco totaldisponıvel e preenchida pelo ar. Em autoclaves horizontais, apos seu preenchimento, 80% do seuespaco se encontra ocupado pelo ar. Em autoclaves verticais, 60% da sua capacidade e tomada peloar. Para removermos todo este ar e necessario algum tempo de circulacao do vapor com as valvulasde exaustao abertas, pois o ar deve ser desalojado dos espacos formados entre os recipientes. Poroutro lado, devemos lembrar que, devido a superfıcie dos recipientes se encontrar em temperaturasinferiores a de saturacao do vapor, ocorrera uma condensacao inicial. Por esta razao, a velocidadede fornecimento de vapor deve ser elevada para compensar as possıveis condensacoes, eliminar o arpresente e para que a temperatura de esterilizacao seja alcancada rapidamente (Gedraite, 2005).

Uma vez que a temperatura recomendada para a exaustao seja atingida, deve-se manter aautoclave nesta temperatura pelo tempo necessario para se assegurar a eliminacao do ar presente e,em seguida, providenciar que a valvula de exaustao seja fechada. Geralmente este intervalo de tempoe determinado experimentalmente e esta baseado na concordancia entre o valor da pressao lida nomanometro e a temperatura indicada no termometro de mercurio, ambos instalados no corpo daautoclave. Este procedimento nao e uma indicacao segura de que todo ar foi eliminado, no entanto,enquanto esta concordancia nao for verificada, deve-se prosseguir com a desaeracao. A seguir, deve-se continuar o fornecimento de vapor de agua, ate que seja alcancada a temperatura adequada paraa esterilizacao do produto alimentıcio. A partir deste ponto, deve-se iniciar o fechamento gradual davalvula de controle que e empregada para ajustar o valor da vazao de vapor de aquecimento. Este

16 Gedraite et al.

procedimento evita uma diminuicao acentuada da temperatura, que geralmente ocorre quando estavalvula e fechada abruptamente. A partir deste ponto, tem inıcio a cronometragem do tempo deprocessamento, o que e feito pelo sistema de automacao da autoclave. Durante a fase de esterilizacao,os seguintes cuidados sao necessarios (Gedraite, 2005):

• Manter a temperatura da autoclave 1 ◦C acima da temperatura recomendada, para compensarflutuacoes;

• Verificar periodicamente, atraves do termometro de mercurio, a temperatura da autoclave;

• Verificar se, em todos os sangradores, o vapor esta escoando normalmente;

• Verificar o tempo de processamento e, uma vez esgotado este tempo, iniciar imediatamente aoperacao de resfriamento.

O resfriamento do sistema e conduzido na propria autoclave, sob pressao controlada. Esta pressaoe mantida praticamente constante com a introducao de ar comprimido, obedecendo-se ao seguinteprocedimento: terminada a etapa de esterilizacao, interrompe-se o fornecimento do vapor de aguae fecha-se a valvula de dreno. Tem inıcio a injecao de ar comprimido pelo topo da autoclave, demodo a se obter a pressao desejada, apos o que tem inıcio o fornecimento de agua de resfriamentopela base. Naturalmente, a tendencia da pressao e diminuir com o tempo, daı a necessidade de umcontrole adequado da pressao interna da autoclave. No instante em que a agua atinge o topo, osistema de automacao abre a valvula de dreno, mantendo a pressao estipulada para o resfriamento.O relaxamento da pressao, que sera realizado de acordo com o tipo de produto, so deve se iniciarapos a temperatura do produto ter atingido 70 ◦C. E importante ressaltar o fato de que a vazao deagua, bem como sua circulacao, deve ser aquela necessaria e suficiente para encher a autoclave em,no maximo, 5 minutos (Gedraite, 2005).

3. Modelagem Matemática do Processo de Transferência de Calor em Alimentos

A Figura 3 apresenta um esquema tıpico de uma embalagem cilındrica usada no acondicimento dealimentos.

H

R

r

y

Figura 3. Sistemas de coordenadas para uma embalagem cilındrica.

Matematicamente, o processo de transferencia de calor em uma embalagem de altura H e raio R,e com difusividade termica constante, e dada pela seguinte equacao diferencial parcial (Chapman,1984):

∂T

∂t= α

(∂2T

∂r2+

1

r

∂T

∂r+∂2T

∂y2

)(1)

onde T e a temperatura do produto, t e o tempo de processamento, r e a cota na direcao radial, y ea cota na direcao axial e α e a difusividade termica do produto.

Em termos praticos, de posse do perfil de temperatura, e possıvel calcular o ındice de letalidadeatraves da seguinte equacao


F0 =

∫ tf

0

1

10Tr−T

z

dt (2)

onde Tr e a temperatura de referencia para um dado alimento, tf e o tempo total de processamentoe z e a diferenca de temperatura necessaria para reduzir o tempo requerido em 10 vezes a populacaode microorganismos. Neste contexto, esta equacao nos permite avaliar o tratamento termico queocorre nas secoes de aquecimento, resfriamento e retencao (Aguiar, 2009).

E importante ressaltar que, apesar da Equacao 1 poder ser resolvida numericamente, a suaavaliacao em termos de otimizacao exige um alto custo computacional, desde que e necessario, a cadaiteracao, da resolucao de uma equacao diferencial parcial. Alem disso, em se tratanto da etapa decontrole de processo, onde exige-se a avaliacao do modelo matematico on-line, um modelo compostopor uma equacao diferencial partial nao o favorece. Neste contexto, como ressaltado anteriormente,a presente contribuicao tem por objetivo a determinacao de um modelo matematico simplificadodeste processo. Para essa finalidade, foram consideradas as seguintes hipoteses simplificadoras(Gedraite, 2005; Gedraite & Leonhardt, 1997): a temperatura do produto e uniforme no instantet=0, a temperatura da embalagem cilındrica e igual em qualquer ponto depois de t=0 (nao havariacao entre dois pontos distintos da embalagem), o coeficiente de transferencia de calor, externoa embalagem, foi assumido apresentar amplitude significativamente superior em relacao aos demaiscoeficientes que participam do sistema embalagem/produto, as propriedades de transporte de calorforam consideradas constantes em relacao a temperatura, e nao existe headspace (espaco livre entreo conteudo acondicionado dentro da embalagem e o produto) no interior da embalagem.

4. Algoritmo de Evolução Diferencial

O algoritmo de ED baseia-se na realizacao de operacoes vetoriais na qual a diferenca ponderadaentre dois indivıduos distintos, adicionada a um terceiro indivıduo, e o responsavel pela geracaode candidatos. O algoritmo de ED apresenta as seguintes operacoes: inicializacao da populacao,mutacao, cruzamento, selecao, e criterio de parada. A seguir sao descritas cada uma destas operacoes.

4.1 Inicialização

O processo de inicializacao consiste na geracao de indivıduos de forma aleatoria. Neste caso, deposse do numero de indivıduos da populacao e do domınio de cada variavel de projeto, geram-senumeros aleatorios que serao aplicados a esse intervalo, obtendo-se assim um vetor de indivıduos dapopulacao, como mostrado a seguir:

xi,j = xi,L + rand (xi,U − xi,L) (3)

onde xi,L e xi,U sao os limites inferiores e superiores das j-esimas variaveis de projeto,respectivamente, e rand e um gerador de numeros aleatorios entre 0 e 1.

4.2 Operador de mutação

Neste operador, o algoritmo de ED realiza as operacoes de mutacao e recombinacao para a geracao deuma nova populacao com NP indivıduos. Este operador adiciona a um vetor de referencia, escolhidoaleatoriamente na populacao, um vetor diferenca obtido a partir de outros dois vetores tambemescolhidos aleatoriamente na populacao, como descrito a seguir:

vi,g = xr0,g + F (xr1,g − xr2,g) (4)

onde vi,g e um novo vetor (candidato), o escalar F (taxa de perturbacao) e um numero real quecontrola a magnitude do vetor diferenca obtido em cada operacao, e os vetores xr0,g, xr1,g e xr2,gsao escolhidos aleatoriamente na populacao, como ilustrado na Tabela 1.

A convencao utilizada nesta tabela e DE/X/Y/Z, onde X representa o vetor que sera perturbado(best ou rand). Y e o numero de pares de vetores que sao considerados durante a perturbacao eZ e o tipo de cruzamento usado para a geracao do candidato, bin no caso binomial e exp no casoexponencial. Os subscritos κi (i=1,..., 5) sao ındices escolhidos aleatoriamente na populacao. xbest eo melhor indivıduo da populacao na geracao anterior e xold e um indivıduo escolhido aleatoriamentedentro da populacao na geracao anterior.

18 Gedraite et al.

Tabela 1. Mecanismos de mutacao no algoritmo de ED.

Estrategia Representacao Mecanismo

1 xj+1=xjbest + F (xjκ1 − xjκ2) DE/best/1/exp

2 xj+1=xjκ3 + F (xjκ1 − xjκ2) DE/rand/1/exp

3 xj+1=xjold + F (xjbest − xjold) + F (xjκ1 − xjκ2) DE/ran-to-best/2/exp

4 xj+1=xjbest + F (xjκ1 − xjκ2) + F (xjκ3 − xjκ4) DE/best/2/exp

5 xj+1=xjκ5 + F (xjκ1 − xjκ2) + F (xjκ3 − xjκ4) DE/rand/2/exp

6 xj+1=xjbest + F (xjκ1 − xjκ2) DE/best/1/bin

7 xj+1=xjκ3 + F (xjκ1 − xjκ2) DE/rand/1/bin

8 xj+1=xjold + F (xjbest − xjold) + F (xjκ1 − xjκ2) DE/rand-to-best/2/bin

9 xj+1=xjbest + F (xjκ1 − xjκ2) + F (xjκ3 − xjκ4) DE/best/2/bin

10 xj+1=xjκ5 + F (xjκ1 − xjκ2) + F (xjκ3 − xjκ4) DE/rand/2/bin

4.3 Operador de cruzamento

Neste operador, o vetor vi,g gerado anteriormente pode ou nao ser aceito na proxima geracao deacordo com a seguinte condicao:

ui,g =

{vi,g se rand ≤ CR ou j = jrandxi,g caso contrario

(5)

onde CR e denominada probabilidade de cruzamento, definida pelo usuario e pertencente ao intervalo[0, 1]. De forma geral, tal parametro controla as informacoes dos pais que serao transmitidas aosfilhos. Para determinar qual a contribuicao de um determinado vetor gerado, o cruzamento comparaCR com o gerador de numeros aleatorios rand. Se o numero aleatorio gerado e menor ou igual aCR, o vetor vi,g (com posicao jrand) e aceito, caso contrario, o vetor xi,g e mantido na populacaoatual.

4.4 Operador de seleção

Se o vetor ui,g tem melhor valor de funcao objetivo (f) em relacao ao vetor xi,g, ele o substitui naproxima geracao; caso contrario, xi,g e mantido na populacao por mais uma geracao, como mostradoa seguir:

xi,g+1 =

{ui,g se f(ui,g) ≤ f(xi,g)xi,g caso contrario

(6)

Finalmente, uma vez completado o processo de atualizacao da populacao, este processo e repetidoate que um determinado criterio de parada seja satisfeito. Neste capıtulo, o criterio de paradaadotado foi o numero maximo de geracoes.

Com relacao a escolha dos parametros do algoritmo de ED, Storn & Price (1995) aconselham ouso dos seguintes valores: numero de indivıduos da populacao como sendo igual a um valor entre 5e 10 vezes o numero de variaveis de projeto, taxa de perturbacao F entre 0,2 e 2,0, probabilidadede cruzamento CR entre 0,1 e 1,0, e estrategia DE/rand/1/bin Babu et al. (2005). E importanteressaltar que outros valores para esses parametros podem ser atribuıdos de acordo com uma aplicacaoparticular.

5. Resultados e Discussão

O produto alimentıcio considerado neste trabalho foi a proteına texturizada de soja (PTS),industrializada na forma de granulos, por empresa do segmento alimentıcio. A PTS foi acondicionadaem embalagem metalica de geometria cilındrica com 73,3 mm de diametro por 111 mm de altura. Atemperatura no centro do produto alimentıcio foi medida por meio de elemento sensor de temperaturado tipo DATA TRACEr. Numa outra embalagem, com as extremidades abertas, foi instalado


outro elemento sensor de temperatura da mesma marca para medir a temperatura da autoclavepropriamente. A seguir, foi executado o processamento termico do produto em questao conformedeterminado no procedimento operacional da empresa.

As Figuras 4 e 5 apresentam o diagrama de blocos do processo da malha de controle baseada emmodelos e os resultados experimentais obtidos por (Gedraite, 2005), respectivamente.

C V P

Modelomatemático

Cálculo de devido ao

resfriamentoLiga/desliga

aquecimento daautoclave

Elemento finalde controle

Controlador

Sinal discreto F0

F0Cálculo de no instante t

+ ++

+

+

-TRSP

TR

TRCV

MV

Carga (U)

TC

ε

F0alvo

F0total

Figura 4. Diagrama de blocos tıpico para uma malha de controle antecipatorio baseada em modelo.

0 750 1500 2250 3000 3750 45000153045607590105120135

Autoclave Produto

Tempo (s)

Tem

pera

tura

(o

Figura 5. Perfis de temperatura da autoclave e do produto.

De posse dos perfis de temperutura da autoclave e do produto, e possıvel propor modelosaproximados e de baixa ordem para descrever o comportamento dinamico do processo nas etapas deaquecimento e resfriamento. Segundo Aguirre (2007); Astrom & Hagglung (1995), tais modelos saosuficientemente precisos para aplicacoes industriais, alem de fornecer uma ideia bastante adequada dosistema estudado. Ainda segundo este autor, a entrada normalmente mais usada para identificar umprocesso de forma nao-parametrica e a excitacao em degrau. Neste caso, estes ensaios normalmentepermitem gerar, graficamente, modelos empıricos dinamicos representados por urna funcao detransferencia de baixa ordem (1a ou 2a ordem, eventualmente incluindo um tempo morto) com,no maximo, quatro parametros a serem determinados experimentalmente. Alem disso, Astrom &Hagglung (1995) afirmam que muitos dos processos podem ser representados pela combinacao de

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quatro elementos tipicamente encontrados em processos industriais, a saber, i) ganho, ii) atraso detransporte, iii) atraso de transferencia e iv)elemento integrador.

Diante do que foi discutido, o modelo matematico simplificado (Πcal) proposto neste trabalho e umsistema superamortecido de 1a ordem mais tempo morto, representado pela funcao de transferenciaa seguir (Aguirre, 2007)

Gp(s) =Kp

τps+ 1exp(−θps) (7)

onde Kp representa o ganho no estado estacionario do sistema estudado, τp representa o atraso detransferencia e θp representa o atraso de transporte.

De posse do modelo simplificado do processo, a proxima etapa e a definicao do problema inverso,que neste caso, consiste na minimizacao do funcional Q (minimizacao da diferenca entre os valores“experimentais” (Πexp) e os valores calculados pelo modelo matematico simplificado que rege ofenomeno em analise). Matematicamente, tem-se:

Q =

Nd∑i=1

(Πical − Πi

exp)2 (8)

onde Nd representa o numero total de dados experimentais.Para a resolucao deste problema inverso usando o algoritmo ED foram utilizados os seguintes

parametros: populacao inicial com 10 indivıduos, probabilidade de cruzamento igual a 0,5, taxa deperturbacao igual a 0,8, estrategia DE/rand/1/bin, 100 geracoes e 10 execucoes para a obtencao dosresultados apresentados nas tabelas. Para avaliar a qualidade dos resultados obtidos pelo algoritmode ED, sera utilizado o algoritmo de Levenberg-Marquardt (LM) (com estimativa inicial [Kp=1,τp=100 e θp=100] para as fases de aquecimento e resfriamento, e tolerancia da ordem de 10−7);e o Metodo de Miller (Miller et al., 1967), que permite identificar a funcao de transferencia querepresenta o comportamento dinamico de um sistema com base na curva de resposta deste a umaperturbacao do tipo degrau no sinal correspondente a variavel de entrada associada ao mesmo. Eleesta baseado na reta tangente tracada no ponto de inflexao da curva de resposta do processo, a partirda qual se obtem os parametros de ganho, atraso de transferencia e atraso de transporte, se houver.

A Tabela 2 apresenta os parametros do modelo obtidos pelo Metodo de Miller.

Tabela 2. Parametros do modelo matematico obtido aplicavel ao processo (etapas de aquecimento e deresfriamento) usando o Metodo de Miller.

Parametros Valor

Kp (◦C/◦C) 0,95

τp (s) 570

Ja na Tabela 3 sao apresentados os parametros do modelo identificado para as etapas aquecimentoe resfriamento usando os algoritmos ED e LM. E importante ressaltar que, a partir de execucoesinicias de ambos os algoritmos, foi possıvel observar que os resultados obtidos com o modelo propostoconsiderando todo o tempo de operacao nao eram satisfatorios, isto e, o perfil de temperaturasimulado era bem diferente do perfil experimental. Desta forma, optou-se por propor um modelopara a fase de aquecimento e outro para a fase de resfriamento.

Ja na Figura 6 sao apresentados os perfis de temperatura obtidos com os Metodos de Miller, EDe LM em comparacao com os dados experimentais empregados para no processo de identificacao.

Como pode ser observado na Tabela 3 e na Figura 6, os melhores resultados foram obtidos pelosalgoritmos ED e LM, os quais consideram um modelo para a fase de aquecimento e outro para afase de resfriamento, respectivamente. Ja o Metodo de Miller, como e uma abordagem baseada nacurva de reacao do processo, este tem muita incerteza asssociada, nos conduzindo desta forma pararesultados inferiores aos obtidos pelos algoritmos ED e LM.

6. Conclusões

Este capıtulo teve por objetivo a identificacao de um modelo matematico simplificado aplicadovia formulacao e resolucao de um problema inverso de transferencia de calor aplicado ao processode producao de proteına texturizada de soja usando o algoritmo de Evolucao Diferencial. Neste


Tabela 3. Parametros do modelo matematico para as etapas de aquecimento e de resfriamento usando ED e LM.

Aquecimento Resfriamento

Parametros Valor Q Parametros Valor Q

Kp (◦C/◦C) 0,81 172,042 Kp (◦C/◦C) -5,13 156,012

ED1 τp (s) 475,32 τp(s) (s) 1000θp 80

Kp (◦C/◦C) 0,82 172,03 Kp (◦C/◦C) -5,11 155,98LM3 τp (s) 475,29 τp(s) (s) 1000

θp 80

11010 avaliacoes da funcao objetivo, 2desvio padrao medio da ordem de 10−5 e319 avaliacoes da funcao objetivo.

0 750 1500 2250 3000 3750 45000153045607590105120135

Autoclave Produto Miller ED LM

Tempo (s)

Figura 6. Comparacao entre os perfis de temperatura obtidos com os Metodos de Miller, ED e LM em relacaoaos dados experimentais.

contexto, o algoritmo mostrou-se eficiente quando comparado com Levenberg Marquardt e superiorao Metodo de Miller. Como justificativa para a obtencao de um modelo simplificado, valido paraa faixa experimental considerada, e nao de um modelo fenomenologico tradicional, ressalta-se a suaaplicabilidade na area de controle de processo, exigindo uma rapida resposta do mesmo. Comoperspectivas de trabalhos futuros pode-se citar a determinacao do calculo de letalidade atraves daformulacao de um problema de otimizacao.

Agradecimentos

Todos os autores agradecem o suporte financeiro da FAPEMIG, Fundacao de Amparo a Pesquisa deMinas Gerais, e do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico.

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capítulo 2 - omnipax

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