Capítulo 2

Minimização de Circuitos Lógicos

2.1 Constantes e variáveis booleanas.2.2 Tabela da verdade.2.3 Operações lógicas.2.4 Descrição algébrica de circuitos lógicos.2.5 Simplificação usando álgebra booleana.2.6 Universalidade das portas NAND e NOR.2.7 Formas padrões de expressões booleanas.2.8 O mapa de Karnaugh.2.9 Minimização usando o mapa de Karnaugh.

Constantes e Variáveis Booleanas• Em 1854 George Boole publicou um artigo em que

apresentava um esquema para a descrição de processos relacionados com a lógica. Posteriormente, este esquema e seus refinamentos ficaram conhecidos como Álgebra Booleana.

• No final da década de 1930, Claude Shannon mostrou que a álgebra Booleana fornecia um meio efetivo para descrever circuitos constituídos por chaves, como os circuitos lógicos.

• Na álgebra Booleana, constantes e variáveis possuem apenas dois valores permitidos, 0 e 1, sendo que o 0 e 1 não são números de fato, mas representam o estado do nível de tensão de uma variável, ou, como é chamado, o seu nível lógico.

Portas OR

(a) Tabela da verdade que define a operação OR; (b) Símbolo para uma porta OR de duas entradas.

Portas OR

(a) Símbolo e tabela da verdade para uma porta OR de três entradas.

Portas AND

(a) Tabela da verdade para a operação AND; (b) Símbolo para uma porta AND de duas entradas.

Portas AND

(a) Símbolo e tabela da verdade para uma porta AND de três entradas.

Portas NOT (Inversor)

(a) Tabela da verdade; (b) Símbolo para o Inversor (NOT); (c) Formas de onda.

Portas NOR

(a) Símbolo da porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela da verdade.

Exemplo 3-8 – Determine a forma de onda da saída de uma porta NOR para as formas de onda mostradas na figura.

Portas NAND

(a) Símbolo da porta NAND; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela da verdade.

Exemplo 3-10 – Determine a forma de onda da saída de uma porta NAND para as formas de onda mostradas na figura.

Teoremas Booleanos (teoremas com apenas uma variável)

X é uma variável lógica que pode ser igual a 0 ou 1

Simplificação Usando Álgebra Booleana

Teoremas Booleanos(teoremas com apenas uma variável)

X é uma variável lógica que pode ser igual a 0 ou 1

Teoremas Booleanos

(Teoremas com mais de uma variável)

• Leis da comutatividade:

• Leis da associatividade:

• Leis da distributividade:

Teoremas Booleanos

(Teoremas com mais de uma variável)

Teoremas de DeMorgan

Portas NAND usadas para implementar qualquerfunção booleana

Universalidade das portas NAND e NOR

Portas NOR usadas para implementar qualquerfunção booleana

Representação Alternativa das Portas Lógicas

Porta XOR (Função OU-Exclusivo)

Porta XNOR (Função NOU-Exclusivo)

• A lógica estruturada é baseada na capacidade de escrever equações booleanas de maneira que ela utilize vários tipos de formas regulares e repetidas. Dois tipos de formas struturadas são especialmente úteis em um projeto lógico. Elas são conhecidas como “Soma de produtos” e “Produto de somas”.

• Uma expressão em soma de produtos consiste em efetuar operações OR sobre termos contendo operações AND. A expressão em produto de somas consiste em efetuar operações AND sobre termos contendo operações OR.

Formas Padrões de Expressões Booleanas

• Forma de Soma-de-Produtos

• Forma de Produto-de-Somas

Formas Padrões de Expressões Booleanas

Formas Canônicas

• Uma equação pode estar no formato soma de produtos, mas não estruturada em sua forma canônica, ou seja, com todos os termos apresentando todas as variáveis disponíveis. A equação pode ser colocada em sua forma canônica da seguinte forma:

Mintermos e Maxtermos

• Quando estamos trabalhando com expressões descritas em termos de soma de produtos, é conveniente introduzirmos o conceito de Mintermo. O mintermo é formado com a operação AND aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares.

• Esta expressão pode ser expressa em termos de mintermos utilizando a seguinte forma, onde o símbolo de somatório () indica a operação OR aplicada aos mintermos listados dentro do parêntese.

Mintermos e Maxtermos

• Com funções expressas no formato produto de somas, utiliza-se o conceito de Maxtermo, que consiste na operação OR aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. Na função expressa em maxtermos, o símbolo de produtório () indica a operação AND aplicada nos maxtermos listados.

Mapas de Karnaugh• Regras para minimização de funções usando mapas de Karnaugh:

- Escrever a função no Mapa de Karnaugh;- Reunir o maior número possível de células com “1”, de forma simétrica, sendo que o número total de células deve ser 2n (1,2,4,8,16,32...). As células devem ser adjacentes entre si;- Enquanto existirem células com “1” não pertencentes a nenhum dos grupos formados, devemos repetir o procedimento anterior para a formação de novos grupos;- Obter, através da “Soma de Produtos”, a função resultante da simplificação; cada grupamento de “1” irá representar um produto dentro da Soma. A identificação do produto será dada pelas variáveis que permaneceram constantes para o grupamento.

• OBS: Duas células dentro do mapa de Karnaugh serão adjacentes, se de uma célula para outra somente uma variável de identificação mudar de estado.