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Capítulo 2

DDeeffoorrmmaaççããoo

DDeeffoorrmmaaççããoo

SSeemmpprree qquuee uummaa ffoorrççaa éé aapplliiccaaddaa aa uumm ccoorrppoo,, eessttaa tteennddee aa mmuuddaarr aa ffoorrmmaa ee oo ttaammaannhhoo ddeellee..

EEssssaass mmuuddaannççaass ssããoo ddeennoommiinnaaddaass ddeeffoorrmmaaççõõeess ee ppooddeemm sseerr aallttaammeennttee vviissíívveeiiss oouu pprraattiiccaammeennttee

iimmppeerrcceeppttíívveeiiss ssee nnããoo ffoorreemm uuttiilliizzaaddooss eeqquuiippaammeennttooss qquuee ffaaççaamm mmeeddiiççõõeess pprreecciissaass..

DDee mmooddoo ggeerraall,, aa ddeeffoorrmmaaççããoo ddee uumm ccoorrppoo nnããoo sseerráá uunniiffoorrmmee eemm ttooddoo oo sseeuu vvoolluummee ee,, ppoorrttaannttoo,, aa

mmuuddaannççaa nnaa ggeeoommeettrriiaa ddee ccaaddaa sseeggmmeennttoo ddee rreettaa nnoo iinntteerriioorr ddoo ccoorrppoo ppooddee vvaarriiaarr aaoo lloonnggoo ddee sseeuu

ccoommpprriimmeennttoo.. CCoomm iissssoo,, ppeerrcceebbeemmooss qquuee aa qquuaannttiiddaaddee ddaa mmuuddaannççaa eemm qquuaallqquueerr sseeggmmeennttoo ddee rreettaa

llooccaalliizzaaddoo eemm uumm ppoonnttoo ddiissttiinnttoo ddoo ccoorrppoo sseerráá ddiiffeerreennttee ddaa oobbsseerrvvaaddaa eemm qquuaallqquueerr oouuttrroo ppoonnttoo.. AAlléémm

ddiissssoo,, eessssaass mmuuddaannççaass ttaammbbéémm ddeeppeennddeemm ddaa oorriieennttaaççããoo ddoo sseeggmmeennttoo ddee rreettaa nnoo ppoonnttoo eemm qquueessttããoo..

DDeeffoorrmmaaççããoo nnoorrmmaall

OO aalloonnggaammeennttoo oouu ccoonnttrraaççããoo ddee uumm sseeggmmeennttoo ddee rreettaa ppoorr uunniiddaaddee ddee ccoommpprriimmeennttoo éé ddeennoommiinnaaddoo

ddeeffoorrmmaaççããoo nnoorrmmaall.. SSee aa ddeeffoorrmmaaççããoo nnoorrmmaall ffoorr ccoonnhheecciiddaa,, ppooddeemmooss uussaarr eessssaa eeqquuaaççããoo ppaarraa oobbtteerr oo

ccoommpprriimmeennttoo ffiinnaall aapprrooxxiimmaaddoo ddee uumm sseeggmmeennttoo ccuurrttoo ddee rreettaa nnaa ddiirreeççããoo ddee nn aappóóss aa ddeeffoorrmmaaççããoo.. TTeemmooss

Δs’ = (1 + ∊)Δs

Por consequência, quando ∊ é positivo, a reta inicial se alongará, ao passo que, se ∊ for negativo, a reta

se contrairá.

Deformação por cisalhamento

A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram

perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo é representado

por e medido em radianos (rad).

Análise de pequenas deformações

A maioria dos projetos de engenharia envolvem aplicações para as quais são permitidas somente

pequenas deformações. Por exemplo, quase todas as estruturas e máquinas parecem ser rígidas, e as

deformações que ocorrem durante a utilização dificilmente são percebidas. Além disso, ainda que a

deflexão de um elemento como uma chapa fina ou haste delgada seja aparentemente grande, o material

de que ele é feito poderá estar submetido somente a deformações muito pequenas.

77

PROBLEMAS

2.1. O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm. Se a pressão do ar em seu interior for

aumentada até o diâmetro atingir 175 mm, determine a deformação normal média na borracha.

Resolução

∊méd =

= 0,1667 mm/mm

2.2. O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375 mm. Se a fita for esticada ao redor de

um cano de diâmetro externo 125 mm, determine a deformação normal média na fita.

Resolução

Δs’ = 2πr ∊méd =

= 0,0472 mm/mm

2.3. A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga

provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal

desenvolvida nos cabos CE e BD.

Resolução

∊CE =

= 0,0025 mm/mm BD’ =

= 4,2857 mm

∊BD =

= 0,00107 mm/mm

78

*2.4. O diâmetro da parte central do balão de borracha é d = 100 mm. Se a pressão do ar em seu interior

provocar o aumento do diâmetro do balão até d = 125 mm, determine a deformação normal média na

borracha.

Resolução

∊méd =

=

= 0,25 mm/mm

2.5. A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga for

deslocada 10 mm para baixo, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD.

Resolução

BB’ = 4,2857 mm CC’ = 7,142857 mm (∊CE)méd =

= 1,79 x 10-3 mm/mm

(∊CE)méd =

= 1,43 x 10-3 mm/mm

79

2.6. A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformação admissível

máxima em cada cabo for ∊máx = 0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo da carga P.

Resolução

∊CE =

CC’ = 8 mm

=

d = 11,2 mm

2.7. Os dois cabos estão interligados em A. Se a força P provocar um deslocamento horizontal de 2 mm

no ponto em A, determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo.

Resolução

h = tang(30°) x 300cos(30°) = 150 mm CA’ = = 301,733 mm

∊AC =

= 0,00577 mm/mm

80

*2.8. Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento rígido CBD e um cabo

flexível AB. Se uma força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma rotação θ = 0,3º,

determine a deformação normal no cabo. Em sua posição original, o cabo não está esticado.

Resolução

(AB’)² = AC² + CB’² - 2 x AC x CB’ x cos(90,3°) AB’ = 501,25506 mm

∊AB =

= 2,51 x 10-3 mm/mm

2.9. Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento CBD e um cabo flexível

AB. Se uma força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma deformação normal no cabo

de 0,0035 mm/mm, determine o deslocamento do ponto D. Em sua posição original, o cabo não está

esticado.

Resolução

AB’ = (1 + ∊)AB = 501,75 mm ( AB’) ² = (AC)² + (CB’)² - 2 x (AC) x (CB) x cos(ϕ) ϕ = 90,418°

θ = ϕ – 90° DD’ = CDθ = 4,38 mm θ em rad

81

2.10. O cabo AB não está esticado quando θ = 45º. Se uma carga vertical for aplicada à barra AC e

provocar a mudança do ângulo para θ = 47º, determine a deformação normal no cabo.

Resolução

AB = L (CA’)² = (BC)² + (A’B)² - 2(BC)(A’B)cos(α)

BC = = L A’B = 1,4705L

α = 63,435° ∊AB =

= 0,0398 mm/mm

= 63,435° - 43° = 20,435°

2.11. Se a carga aplicada á barra AC provocar o deslocamento do ponto A para a esquerda de uma

quantidade ΔL, determine a deformação normal no cabo AB. Originalmente, θ = 45º.

Inserir fegura

Resolução

(A’B)² = (ΔL)² + ( L)² - 2 x ΔL x L x cos(135°) ∊AB =

=

- 1

A’B = ∊AB =

82

*2.12. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação por cisalhamento

ϒxy nos cantos A e B se o plástico se distorcer como mostra as linhas tracejadas.

Resolução

α =

= 0,00662252 rad β = θ =

= 0,00496278 rad

xy = α + β = 11,6 x 10-3 rad xy = - (θ + α) = - 11,6 x 10-3 rad

2.13. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação por cisalhamento

ϒxy nos cantos D e C se o plástico se distorcer como mostram as linhas tracejadas.

Resolução

xy =

) = - 11,6 x 10-3 rad xy =

) = 11,6 x 10-3 rad

2.14. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação normal média que

ocorrer ao longo das diagonais AC e DB.

83

Resolução

AC = 500 mm DC’ = = mm

=

) = 0,2843° DA’ = = mm

β =

) = 0,3794 A’C’ = 500,8 mm DB’ = = mm

θ = 89,3363° ∊AC =

= 1,6 x 10-3 mm/mm ∊DB =

= 12,8 x 10-3 mm/mm

2.15. Originalmente, o cabo de ancoragem AB de uma estrutura de edifício não está esticado. Devido a

um terremoto, as duas colunas da estrutura inclinam-se até um ângulo θ = 2º. Determine a deformação

normal aproximada do cabo quando a estrutura estiver nessa posição. Considere que as colunas são

rígidas e giram ao redor de seus apoios inferiores.

Resolução

x = 4sen(2°) = 0,1396 m A’B’ = = 5,0827 m

y = 4cos(2°) = 3,9976 m ∊AB =

= 16,6 x 10-3 m/m

x’ = sem(2°) = 3,49 m

84

*2.16. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados. Determine a deformação por

cisalhamento ao longo das bordas da chapa em A e B.

Resolução

θA =

) = 45° ( A = 2(θA’ – θA) = 0,05024 rad

θA’ =

) = 46,44° ( B = 2(θA’ – θA) = 0,05024 rad

2.17. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados. Determine as deformações

normais médias ao longo do lado AB e das diagonais AC e DB.

Resolução

AC = 500 mm ∊AC =

= 20 x 10-3 mm/mm

AC’ = 510 mm

AB = = mm ∊AB =

= - 4,686 x 10-3 mm/mm

A’B’ = = mm ∊DB =

= - 30 x 10-3 mm/mm

DB = 500 mm

D’B’ = 485 mm

85

2.18. O quadrado deforma-se até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a

deformação normal média ao longo de cada diagonal AB e CD. O lado D’B’ permanece horizontal.

Resolução

AB = = mm C’D’ =

AB’ = = 70,824 mm C’D’ = 79,6 mm

∊AB =

= 1,61 x 10-3 mm/mm ∊CD =

= 126 x 10-3 mm/mm

2.19. O quadrado deforma-se até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a

deformação por cisalhamento em cada um de seus cantos A, B, C e D. O lado D’B’ permanece horizontal.

Resolução

( xy = - 1,5° = - 0,0262 rad ( xy = - 11,7212° = - 0,205 rad

( xy = ( xy = 0,0262 rad ( xy = ( xy = 0,205 rad

86

*2.20. O bloco é deformado até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a

deformação normal média ao longo da reta AB.

Resolução

AB = = mm ∊AB =

= 0,0381 mm/mm

h = = mm

AB’ = = mm

2.21. Um cabo fino que se encontra ao longo do eixo x é deformado de tal modo que cada um de seus

pontos sofre um deslocamento Δx = kx² ao longo do eixo. Se k for constante, qual é a deformação normal

em qualquer ponto P ao longo do cabo?

Resolução

A deformação ao longo do cabo será:

∊ = Δx

=

=

∊’ = 2kx

87

2.22. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada. Determine a

deformação por cisalhamento média xy da chapa.

Resolução

tang(θ) =

= - tang-1(

) = - 1,1458° = - 0,02 rada

2.23. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a

deformação por cisalhamento média xy da chapa.

Resolução

= tang-1(

) = 0,02 rad

88

*2.24. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas. Determine as

deformações normais médias ao longo da diagonal AC e do lado AB.

Resolução

CD = = 150,03 mm A’C = 252,40642 mm

θ = arctang(

) = 88,854° ∊AB =

= 2 x 10-4 mm/mm

ϕ = 180° - 88,854° = 91,14576° ∊AC =

= 9,626 x 10-3 mm/mm

2.25. A forma original da peça de borracha é retangular. Determine a deformação por cisalhamento média

xy, se os cantos B e D forem submetidos a deslocamentos que provoquem a distorção da borracha

mostrada pelas linhas tracejadas.

Resolução

= tang-1(

) = 0,4297° )B = tang-1(

= 0,006667 rad

)D = 0,0075 rad = )B + )D = 0,0142 rad

89

2.26. A forma original da peça de borracha é retangular e ela é submetida à deformação mostrada pelas

linhas tracejadas. Determine a deformação normal média ao longo da diagonal DB e do lado AD.

Resolução

AD’ = = mm D’B’ = D B D B = 496,6 mm

AB’ = = mm ∊DB =

= - 0,00680 mm/mm

ϕ = arctng(

= 0,382° ∊AD =

= 0,0281 x 10-3 mm/mm

θ = arctng(

= 0,43° α = 90° - ϕ – θ = 89,1883°

2.27. O material é distorcido até a posição, como mostra a figura. Determine (a) as deformações normais

médias ∊x e ∊y e a deformação por cisalhamento xy em A e (b) a deformação normal média ao longo da

reta BE.

Inserir figura

Resolução

(a)

∊x = 0 ∊y =

= 0,00319 mm/mm xy = arctang(

= 4,574° = 0,0798 rad

(b) BB’ =

= 8 mm B’E’ = = mm

EE’ =

= 6 mm ∊BE =

= - 0,0179 mm/mm

BE = = mm

x’ = 80 + EE’ – BB’ = 78 mm

90

*2.28. O material é distorcido até a posição, como mostra a figura. Determine a deformação normal média

que ocorre ao longo das diagonais AD e CF.

Resolução

AD = CF = = mm AD’ = D D = 157,0032 mm

=tang-1(

= 6,843° ∊AD =

= 0,05791 mm/mm

FD’ = = mm

=tang-1(

= 4,574° C’F = = 143,2654 mm

AC’ = = mm ∊CF =

= - 3,465 x 10-2 mm/mm

2.29. O bloco é deformado até a posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por

cisalhamento nos cantos C e D.

Resolução

xy)C = sen-1(

= - 0,137 rad xy)D = xy)C = 0,137 rad

91

2.31. O raio original do tubo curvado é 0,6 m. Se ele sofrer aquecimento não uniforme que provoque uma

deformação normal ao longo de seu comprimento ∊ = 0,05cosθ, determine o aumento no comprimento do

tubo.

Resolução

d = ∊rdθ =

=

= 30 mm

*2.32. Resolva o Problema 2.31 considerando ∊ = 0,08senθ.

Resolução

d = ∊rdθ =

=

= 21,53 mm

92

2.33. Um cabo fino é enrolado ao longo da superfície cuja forma é y = 0,02x², onde x e y são dados em

mm. A posição original da extremidade B é x = 250 mm. Se o cabo sofrer uma deformação normal ∊ =

0,0002x ao longo de seu comprimento, determina mudança no comprimento do cabo. Dica: Para a curva y

= f(x), ds = (dy/dx)² dx.

Resolução

AB = ∊dL = 0,0002x

=

= 42,252 mm

2.34. A fibra AB tem comprimento L e orientação θ. Se suas extremidades A e B sofrerem deslocamentos

muito pequenos uA e vB, respectivamente, determine a deformação normal na fibra quando ela estiver na

posição A’B’.

Inserir Figura

Resolução

LA’B’ = =

∊AB =

=

- 1 =