Cap. 4. Deformação

1. Deslocamento2. Gradiente de deslocamento

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar2.2 Significado físico da rotação pura

3. Tensor de deformação de Lagrange4. Tensor das pequenas deformações

4.1 Caracter tensorial das deformações4.2 Teoria geometricamente linear4.3 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)4.3.2 Variação do ângulo4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário5. Deformação volúmica6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas7. Equações de compatibilidade8. Forma matricial das equações introduzidas9. Estados de deformação10. Vector das deformações

Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento

Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicaçãodo carregamento muda:a sua posição (translação e rotação)o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação)

vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MCnão é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento

1. Deslocamento Tw,v,uu

Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,ao contrário de tensão, que é a nossa ficção

s

s

Pu

Qu

s

u Tz,y,xs

PQ uuu

uss

Q,Pss Não há deformação, comportamento do corpo rígido

zz

uy

y

ux

x

uu

Escolhe-se ponto P,e Q na vizinhança

elementar de P

2. Gradiente de deslocamento M

P

Q

P

Q

analogamente ...v ...w

Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,assim o vector que os liga tem as componentes:

PQ xxx PQ yyy PQ zzz

x0

z

y

Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido

0antisimy

w

z

v

2

10

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

z

wsim

y

w

z

v

2

1

y

vx

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

M

uss ...sMs expansão de Taylor

sI...sMsIs

TranslaçãoRotação

Deformação

Posição Forma e volume

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

TMM2

1

p. desviatórica

p. volúmica

z

wsim

y

w

z

v

2

1

y

v

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u

z

yzy

xzxyx

sim

Translação pura sIs

Rotação pura

Deformação pura

sIs

sIs

0antisimy

w

z

v

2

10

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

0antisim

0

0

yz

xzxy

P

QQ

PPP

PP

PP

0u

su

su

2.2 Significado físico da rotação pura

Plano (x,y)

tgy

u

y

u

x

v0xy

x

v

y

u

2

1xy

x

ys

P

sQ

uy

vx

0u

1

Q

P

x

y

y

x

0

0

v

u

0yx

00

kji

su z

DCR

0

0

0

xy

xz

yz

sBy

x

cossin

sincos

y

x

1

1

y

x

0

0

10

01

y

xs

As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotaçãodo corpo rígido, quando as componentes << 1

Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial.

ss

s

s

Q

Q

PP

u

v

Desprezando a condição 1

Das relações em cima:

Rotação finita tem que usarfunções trigonométricas

Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normasdos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação,ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas

ssususss TT22

sMsMsMsssM TTT

sMMssMssMs TTTTT

ss2sMMMMs LTTTT

Tensor de deformação de Lagrange

MM2

1 TL

uuussu TTT

MM2

1 T

3. Tensor de deformação de Lagrange

Joseph Lagrange (1736-1813)

Termo de ordem maior,ou seja desprezável

L

4. Tensor das pequenas deformações

1M ij Quando componentes do gradiente de deformação

4.1 Caracter tensorial das deformações

MM2

1 TL

chama-se tensor das pequenas deformações

Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)obtém-se um tensor da 2ª ordem

Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...

A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico

são tensores simétricos, como se viu da definição

Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:

Le

A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandesa limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadasExemplos: translação pura, rotação pura

4.2 Teoria geometricamente linear

Teoria das pequenas deformações

Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-seigual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-separa a forma não-deformada.

Teoria dos pequenos deslocamentos pequenas deformações

Lquando , usa-se então

Teoria da II ordemChama-se teoria geometricamente linearIgualmente teoria da I ordem

As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)escrevem-se na forma deformada

Estabilidade

As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6

4.3 Significado físico das pequenas deformações

x

ux

Extensão, ou sejaComponente normal

Positiva quando aumenta o comprimento

Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento

L infinitesimal

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

A definição corresponde à variação do comprimento projectado

na direcção original LP

Q

QP

LL

Q~

L

L

PQ

PQQPlim

PQ

PQQ~

Plim

x

u0PQ0PQ

P

Px

x

Px1L

L

LLLLLL

ângulo é pequeno

LL Px

11x

xs111

x

s1

x

s

x

xs2

2222

pequeno

2x

T2222

x2ss2xsss

xx

xs

s

ss

Queremos provar, que:

Para as pequenas deformações temos:

xx2xxx2

2x 1111211211x

x2

Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x de comprimento original Δx, ou seja

T0,0,xs

Prova

Voltando a relação anterior:

sin

cosnn2 Bn

An

BTA

Pode-se provar que

AAA nMnn

BTABTABTA

BTTABTA

BTTA

BTTABTABTA

BBTAABTA

nn2cosnn2nn

nMMnnn

nMMn

nMnnMnnn

nMnnMnnn

BBB nMnn

4.3.2 Variação do ângulo

Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores , An Bn

Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação

Não depende do referencial

cossincosnn2cos Bn

An

BTA

cossinnn2 Bn

An

BTA

sin

cosnn2 Bn

An

BTA

cossincossincos

sincossincos

sincos11

sinsincoscos1n1n

cosnnnn

Bn

An

Bn

An

Bn

An

Bn

An

Bn

An

Bn

BAn

A

BABTA

Ângulo originalmente recto BTA nn2 2

Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação

Comparando

DistorçãoComponente tangencial, angular

v

u

x

y

Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,assim os dois ângulos são positivos e somam-se

4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

x

v

y

uxy

xyPode-se provar, que

x

y

BTA nn2 Já foi provado, que

TA 0,0,1n TB 0,1,0n

xy

BTA 2nn2

A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se

Introduzindo ,

A representação da deformação angular “pura” tem que ser de modo que cada um dos ângulos correspondesse a esta média, ou seja tem que seretirar a rotação do corpo rígido

2x

v

y

u

2

1yxxy

Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis)pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho)xy

v

u

x

y

Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulosxy

y

utg

x

vtg

xyxy2x

v

y

u

Distorção “de engenharia”

Componente tensorial

tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto

2

2

4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

yxu xyx xyv xyy

0,0,0:caso xyyx

Retira-se a translação e a rotação, dimensões unitárias elementares (infinitesimais)

xxy

y

xy

A

rotação

deformação

Rectânguloelementar

A’inicial

xy

translação

x

y

B

B’

C

C’

xx

vv

xx

uu

yy

uu

Ajustar os ângulos

0,0 0,1

1,0 1,1

u

v

yy

vv

zyx2221

zyx111V

321323121321

321

5. Deformação volúmica

Volume depois da deformação:

Campo do deslocamento linearCampo de deformações uniforme

Planos transformam-se para planos, rectas para rectas

Referencial principal

Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas)

zyxV Paralelepípedo elementar: volume inicial:

Variação do volume:

VIzyx222VVV 1321323121321

Deformação volúmica: 321zyx1V I VV V

Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume

As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma

6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

Podem-se medir apenas as extensões

ab

c

x

x

Devido ao sistema de coordenadas introduzido: xa

cossin2sincos xy

2

y

2

xc

cossin2sincos xy

2

y

2

xb

Sabemos: incógnitas:cba ,, xyyx ,,

As medições têm que corresponder a 1 ponto ou a distribuição das deformaçõestêm que ser uniforme

Base de medição: L

Comprimento novo: L+ΔL

7. Equações de compatibilidade

2

y

2

2x

2xy

2

xyyx

zyxxzy2 xyzxyzx

2

2

y

2

2x

2xy

2

xyyx

Em 2D

Mais duas equações pela “permutação” positiva

Equações de integrabilidade

Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios

deslocamentos deformações

deslocamentos deformações???

6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886

Verificação da possibilidade física

Mais duas equações pela “permutação” positiva

introduzindo

0xy

x0

z

yz0

~

0~~ T

Equações de compatibilidade

0x/y/z/00

x/0z/0y/0

y/z/000x/

Equações deformações - deslocamento Equações de equilíbrio

0f uT

introduzindo

8. Forma matricial das equações introduzidas

Componentes de tensãoe deformação na forma vectorial

T

xyxzyzzyx ,,,,,

T

xyxzyzzyx ,,,,,

02

nt

n̂t

0nnn00

n0n0n0

nn000n

n̂

xyz

xzy

yzx

Tz/,y/,x/

0f

Equações de equilíbrio

Vector das tensões

introduzindo

9. Estados de deformação

extensão pura

deformaçãovolúmica pura

distorção pura

as componentes do tensor das deformações não variam com a posiçãosão constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear

10. Vector das deformações

n

Não se usa a componente tangencial, mas a variação do ângulo entre as fibras originalmente rectasdefinidas pelos versores ,

distorção puramas com a rotação

Componentes cartesianas não se usam muito

Componentes intrínsecas

Componente normal equivale a extensãoda fibra na direcção definida por {n} nnnn TT

n

BA nn2 An Bn

Homogéneo ou uniforme:

Não dependem do referencial