Capítulo 6

Estimativa Bayesiana dePropriedades Acústicas em Tubos de Kundt

Mario Olavo Magno de Carvalho∗, Marcus Vinicius Girão de Moraise Alberto Carlos Guimarães Castro Diniz

Resumo: Por meio de uma abordagem Bayesiana, resolve-se o problema da identificacao das propriedadesde absorcao de amostras de material submetidas a ondas unidimensionais de pressao acustica em tubosde Kundt. Aplica-se um metodo de Monte Carlo via cadeia de Markov, em um algorıtmo de Metropolis-Hastings, para a solucao do problema inverso. As solucoes sao buscadas em um espaco de funcoes Splines,acelerando a convergencia sem perda de generalidade. Sinais de pressao independentes foram simuladospara construir o modelo a priori. Apresentam-se os conceitos fundamentais da metodologia proposta; quee analisada quanto a sua precisao e estabilidade em um experimento simulado.

Palavras-chave: Modelagem estocastica, Funcoes splines, Otimizacao, Tubo de impedancia.

Abstract: A Bayesian approach was applied to solve an identification problem of some absorptionproperties of material samples subjected to one-dimensional acoustic pressure waves in a Kundt’s Tube.A Markov Chain Monte Carlo sampling approach, implemented in the form of the Metropolis-Hastingsalgorithm, was used to solve the inverse problem. The solutions were searched in a spline functions space,accelerating the convergence without loss of generality. Pressure signals were simulated to construct theprior model. The fundamental concepts of the proposed methodology are presented, and it is analysed toits accuracy and stability in a simulated experiment.

Keywords: Stochastic modeling, Spline functions, Optimization, Impedance tube.

Conteúdo

1 Introducao ................................................................................................................................ 682 Abordagem Bayesiana na solucao de problemas inversos......................................................... 68

2.1 Estimativas usando metodos de Monte Carlo via cadeia de Markov ............................... 693 O Modelo Matematico do Tubo de Impedancia....................................................................... 69

3.1 Formulacao teorica........................................................................................................... 704 Processo de Otimizacao e Implementacao Numerica ............................................................... 72

4.1 Otimizacao usando aproximacao ponto-a-ponto .............................................................. 724.2 Otimizacao utilizando funcoes splines ............................................................................. 724.3 Simulacao do problema direto.......................................................................................... 724.4 Implementacao numerica ................................................................................................. 73

5 Resultados Obtidos .................................................................................................................. 745.1 Tubo excitado por uma funcao impar.............................................................................. 745.2 Tubo excitado por uma funcao Gaussiana....................................................................... 77

6 Conclusao ................................................................................................................................. 77

∗Autor para contato: molavo@unb.br

Lobato et al. (Ed.), (2014) DOI: 10.7436/2014.tica.06 ISBN 978-85-64619-15-9

68 Carvalho et al.

1. Introdução

O tubo de Kundt, tambem chamado de tubo de impedancia, e muito usado em ensaios para adeterminacao das propriedades acusticas de materiais (coeficiente de absorcao, impedancia acustica,

etc). E constıtuido por um tubo com um autofalante posicionado em uma de suas extremidades eum corpo de prova na outra. Microfones sao usados para medir a pressao acustica das ondas que sepropagam dentro do tubo. As ondas medidas pelos microfones sao a combinacao da onda incidente(emitida pelo autofalante) e da onda refletida pela amostra testada. Conhecendo-se os sinais medidospelos microfones e possıvel determinar as caracterısticas das ondas incidente e refletida e, assim,determinar as propriedades do material testado.

A determinacao das propriedades de absorcao de materiais testados em tubos de Kundt a partirdos sinais medidos nos microfones e um problema de identificacao de parametros, que esta incluıdoem uma classe, mais geral, de problemas inversos. Para resolver este problema inverso, foi utilizadoum metodo estatıstico com base na abordagem Bayesiana, que apresenta uma maior estabilidadeno tratamento de dados incompletos e sujeitos a incertezas, do que os metodos determinısticostradicionais. Utilizar uma abordagem estocastica para resolver um problema inverso envolve aotimizacao de uma funcao (ou parametro) que minimiza a dispersao dos resıduos no problema diretoassociado, e exige metodos eficientes para amostragem. Um algoritmo que se adapta muito bemaos problemas de otimizacao estatısticos e o algoritmo de Metropolis-Hastings, usando o metodo deMonte Carlo via cadeia de Markov (MCMC, do ingles Markov Chain Monte Carlo) para realizar aamostragem. A utilizacao dos metodos MCMC permite, naturalmente, uma analise mais robusta dasolucao, e um calculo mais preciso das estimativas de erro.

Este trabalho propoe uma estrategia de otimizacao que faz uso de aproximacao por funcoes splines,que sao muito adequadas para a solucao de problemas de engenharia, tanto por suas caracterısticas,como pelo seu baixo custo computacional, em um algoritmo de otimizacao de Metropolis-Hastings,para resolver o problema inverso estocastico. Para comparacao e usada uma otimizacao comaproximacao ponto-a-ponto dos sinais de interesse.

Um programa, desenvolvido na plataforma Matlab, resolve o problema inverso para os dadossimulados e analisa o desempenho da otimizacao usando funcoes splines; comparando os resultadosobtidos aqueles obtidos pelo metodo tradicional de aproximacao ponto-a-ponto.

Na sequencia sao apresentados a modelagem do problema da medicao de propriedades acusticasem tubos de Kundt, a metodologia e o algoritmo desenvolvido, bem como os resultados obtidos.Esses sao analisados e discutidos, com enfase na qualidade da representacao das ondas incidente erefletida e na capacidade de reconstrucao dos sinais dos microfones.

2. Abordagem Bayesiana na solução de problemas inversos

A identificacao de sinais faz parte dos chamados problemas inversos. De acordo com uma definicaosuficientemente ampla (Engl et al., 1996), “resolver um problema inverso e determinar causasdesconhecidas a partir de efeitos observados ou desejados”. Problemas inversos sao matematicamenteclassificados como mal postos por nao atenderem uma das tres condicoes de Hadamard, que definemos problemas bem postos (Isakov, 2006).

A solucao de um problema bem posto deve satisfazer as condicoes de existencia, unicidade eestabilidade no que diz respeito aos dados de entrada. Quanto aos problemas inversos, a existenciade uma solucao pode, em muitos casos, ser assegurada com base em argumentos fısicos. Por outrolado, a unicidade da solucao pode ser matematicamente demonstrada apenas para alguns casosespeciais de problemas inversos e, em geral, as tecnicas convencionais, sao extremamente instaveisem relacao aos dados de entrada, exigindo tecnicas especiais para garantir a estabilidade da solucao.

Existem varias metodologias para se resolver problemas inversos, que podem ser divididas emdois grupos principais (Kirsch, 2011): regularizacao classica e abordagem por inversao estatıstica.

Metodos de regularizacao classicos visam basicamente a minimizacao da norma dos mınimosquadrados dos resıduos do modelo. Nesses metodos busca-se uma solucao aproximada que seja suave(regular) e compatıvel com os dados observados para um determinado nıvel de ruıdo. Dois tipos deregularizacao sao mais frequentemente utilizados: a tecnica de regularizacao de Tikhonov (Tikhonov& Arsenin, 1977) e o metodo de maxima entropia (Jaynes, 1957), que procura uma regularidadeglobal, produzindo reconstrucoes suaves para os mesmos dados observados.

A inversao estatıstica baseia-se na abordagem Bayesiana em que modelos (distribuicao deprobabilidade) das medicoes e das incognitas sao construıdos separadamente e de forma explıcita.O objetivo geral da inversao estatıstica e atualizar a distribuicao de probabilidade (modelo) a prioriem uma distribuicao (modelo) posterior, quando novas informacoes (dados observados) tornam-se

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 69

disponıveis. A solucao do problema inverso e reformulada na forma de inferencia estatıstica dadensidade da probabilidade a posteriori , a qual e o modelo para a distribuicao de probabilidadecondicional dos parametros desconhecidos dadas as medicoes. O modelo de medicao incorporando oserros de medicao e as incertezas associadas e chamado de verossimilhanca, ou seja, a probabilidadecondicional das medicoes, dados os parametros desconhecidos (Kirsch, 2011). O modelo para asincognitas que reflete toda a incerteza dos parametros, sem a informacao veiculada pelas medicoes,e chamado modelo anterior. O mecanismo formal para combinar a nova informacao (medicoes) coma informacao previamente disponıvel (a priori) e conhecido como Teorema de Bayes (Lee, 2004).

2.1 Estimativas usando métodos de Monte Carlo via cadeia de Markov

Os metodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) sao versoes iterativas do tradicionalmetodo de Monte Carlo (Robert & Casella, 2004). A ideia basica e a obtencao de uma amostra dadistribuicao a posteriori e calculo de estimativas amostrais de caracterısticas dessa distribuicao (Lee,2004). A amostragem baseada nos metodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov e a tecnica maisviavel para o calculo das estimativas, especialmente nos casos em que o numero de incognitas nao emuito grande. Neste trabalho fazemos uso de um metodo MCMC para a solucao do problema inverso.O algoritmo MCMC mais comum e o algoritmo de Metropolis-Hastings (Kaipio & Somersalo, 2004).

Uma Cadeia de Markov e um processo estocastico {P0,P1, ...,Pn} tal que a distribuicao de Pt,dados todos os valores previos {P0,P1, ...,Pt−1}, depende apenas do valor imediatamente anteriorPt−1. Assim, para um subconjunto A:

P(Pt ∈ A | P0,P1, ...,Pt−1) = P(Pt ∈ A | Xt−1) (1)

O Algoritmo de Metropolis-Hasting satisfaz as condicoes dadas pela Equacao 1 e e um dos maisutilizados para inferencia Bayesiana. A ideia basica do algoritmo de Metropolis-Hasting e simularum caminho aleatorio no espaco P que converge para uma distribuicao estacionaria na qual se estainteressado (Kaipio & Somersalo, 2004).

A inferencia Bayesiana incorpora informacoes a priori sobre os parametros e as medicoes naformulacao do problema.

Os metodos MCMC de estimativa por inferencia Bayesiana implicam necessariamente no usode tecnicas de amostragem de funcoes densidade de probabilidade e de um criterio de avaliacao demaxima verossimilhanca. Esses metodos permitem obter uma grande amostragem de combinacoespara o vetor de parametros a partir de uma funcao densidade de probabilidade. Estas amostras saotestadas, aceitas ou rejeitadas em um algoritmo, a exemplo do de Metropolis-Hastings (Gamerman &Lopes, 2006). Com uma amostragem suficientemente grande a sequencia {P0,P1, ...,Pn} convergepara a solucao do problema inverso.

E importante notar que, com esse metodo, o problema direto precisa ser resolvido paracada amostra do vetor de parametros, exigindo um grande numero de calculos. Assim, apenasrecentemente, com o aumento da capacidade e velocidade de calculo dos computadores e que aaplicacao pratica desses metodos em problemas mais complexos tornou-se viavel.

3. O Modelo Matemático do Tubo de Impedância

O tubo de impedancia e um metodo padronizado para a determinacao da impedancia acustica e docoeficiente de absorcao de um material especıfico. Este aparato experimental consiste de um longotubo conectado a uma fonte acustica (alto-falante). A geometria tubular serve como guia de ondaspara suportar a propagacao de uma onda plana para uma banda de frequencia entre a frequenciade corte da fonte acustica e a primeira frequencia transversal da cavidade. Para essa banda defrequencias, as ondas planas incidem sobre o material acustico localizado na extreminada do tubooposta a fonte acustica. As condicoes de contorno podem ser simplificadas sobre a superfıcie domaterial atraves de uma impedancia especıfica z = p/v onde p e a pressao acustica e v e a velocidadeacustica.

Existem varios metodos para determinar os coeficiente de absorcao por meio de ondasestacionarias dentro de um tubo. Podemos citar o metodo da razao de onda estacionaria, definidopela norma ISO 10534-1:1996 (ISO, 1996), e o metodo de funcao de transferencia, definido pelanorma ISO 10534-2:1998 (ISO, 1998).

O metodo de funcao de tranferencia, primeiramente formulado por Chung e Blaser (Chung &Blaser, 1980a,b), desacopla os campos acusticos incidentes e refletidos a partir da hipotese de ondasplanas. Assim, a partir da funcao de transferencia da pressao acustica de dois pontos, ele permitedeterminar a razao entre as ondas refletida e incidente no material.

70 Carvalho et al.

A Figura 1 ilustra um esquema experimental para determinar o coeficiente de absorcao acustica eimpedancia acustica pelo metodo de funcao de transferencia. Diversos laboratorios no paıs possuemou desenvolveram aparatos experimentais para a determinacao do coeficiente de absorcao pelometodo de funcao de transferencia. Melo Filho (2010) desenvolveu uma bancada experimental paradeterminar o coeficiente de absorcao acustica de materiais usando uma variante do metodo de funcaode transferencia para um unico microfone (Chu, 1986).

Figura 1. Esquema geometrico do tubo de impedancia aplicando o metodo de funcao de transferencia.

3.1 Formulação teórica

A Figura 2 apresenta um esquema simplificado da geometria do tubo de impedancia aplicando ometodo de funcao de transferencia.

O modelo fısico propoem, atraves da hipotese de ondas planas, que a informacao e composta porduas ondas: a onda incidente pi propagando-se na direcao-x positiva e a onda refletida pr progando-sena direcao-x negativa ao longo do tubo.

As pressoes acusticas referentes a cada uma das componente incidentes e refletidas sao indicadaspor: p1,i (t) e p2,i (t) para as ondas incidentes, e p1,r (t) e p2,r (t) para as ondas refletidas. Destaforma, a pressao acustica pi em cada microfone (i = 1, 2) e dada pelas expressoes:

p1 (t) = p (x, t)cx=−(L+s) = p1,i(t) + p1,r(t) e,

p2 (t) = p (x, t)cx=−L = p2,i(t) + p2,r(t)(2)

Figura 2. Pressoes incidentes e refletidas nos microfones do tubo de Kundt.

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 71

A funcao de transferencia no domınio da frequencia pode ser definida para a pressao total entredois pontos em termos da transformada de Fourier, bem como para as componentes incidentes erefletidas:

H12 (f) =p2(f)

p1(f)=p2,i(f) + p2,r(f)

p1,i(f) + p1,r(f), (3)

e,

H12i (f) =p2,i(f)

p1,i(f)e, H12r (f) =

p2,r(f)

p1,r(f)(4)

sendo p(f), com os subscritos apropriados, a Transformada de Fourier da pressao acustica temporal.Alem disso, os coeficientes de reflexao (no domınio da frequencia) em cada ponto podem ser definidoscomo:

R1 (f) =p1,r(f)

p1,i(f)e, R2 (f) =

p2,r(f)

p2,i(f)(5)

neste caso,

H12 (f) = H12i (f)1 +R2(f)

1 +R1(f)(6)

O coeficiente de reflexao no ponto 2 pode ser escrito em termos do ponto 1,

R2 (f) =

[H12,r(f)

H12,i(f)

]R1(f) (7)

e, entao, a equacao (6) pode ser resolvida para R1(f),

R1 (f) =

[H12(f)−H12,i(f)

H12,r(f)−H12(f)

](8)

Ao assumir o tubo sem perdas, a funcao de transferencia entre os microfones e facilmentedeterminada por um delay de propagacao. No microfone #1, a pressao acustica incidente e refletidasao descritas, respectivamente, como,

p1,i(t) = po exp (ıωt) exp (−ık[−(L+ s)]) (9)

e,p1,r(t) = R po exp (ıωt) exp (−ık(L+ s)) . (10)

Entao, no microfone #2, a pressao acustica e descrita como,

p2,i(t) = po exp (ıωt) exp (−ık[−L]) = p1,i(t)exp (−ıks) (11)

e,p2,r(t) = R po exp (ıωt) exp (−ıkL) . = p1,r(t)exp (ıks) (12)

Entao,H12i (f) = exp (−ıks) e, H12r (f) = exp (ıks) (13)

Por esta mesma razao, estas expressoes podem ser extendidas para permitir a expressao docoeficiente de reflexao R(f) na superfıcie da amostra em termos de R1(f), ou seja,

R (f) = R1(f) exp [ı 2k(L+ s)] (14)

Finalmente, usando (8), (13), e (14),

R (f) = exp [ı 2k(L+ s)]

[H12(f)− exp(−ıks)H12(f)− exp(+ıks)

](15)

O coeficiente de absorcao de incidencia normal e entao dado por αn = 1− |R(f)|2, ou ainda,

αn (f) = 1−∣∣∣∣H12(f)− exp(−ıks)H12(f)− exp(+ıks)

∣∣∣∣2 (16)

72 Carvalho et al.

4. Processo de Otimização e Implementação Numérica

A busca de convergencia da Cadeia de Markov, no problema descrito, constitui-se, claramente, emum processo de otimizacao de funcoes. Como a otimizacao exige a solucao do problema diretoum grande numero de vezes, tem-se um elevado custo computacional associado. Assim, diferentesestrategias de otimizacao podem ser adotadas. A seguir sao apresentadas duas estrategias que foramusadas para resolver o probelma inverso para determinacao das ondas incidentes e refletidas no tubode Kundt: o metodo tradicional, usando aproximacao ponto-a-ponto, e um metodo com aproximacaopor funcoes splines. Em ambos os casos e usada a abordagem estocastica bayesiana.

4.1 Otimização usando aproximação ponto-a-ponto

O numero de passos requerido para a convergencia de um problema inverso cresce diretamente coma dimensao do espaco de solucao procurado. Em um processo de otimizacao usando aproximacaoponto-a-ponto muitos pontos devem ser considerados a fim de atingir uma solucao mais precisa,aumentando o tamanho do vetor da funcao tentativa e, consequentemente, o numero de passosnecessarios para a convergencia do problema inverso.

Como criterio de aceleracao da convergencia pode-se afirmar que, a qualquer tempo, ao longo deum processo de otimizacao, a perturbacao aleatoria imposta a melhor aproximacao disponıvel ateo momento em questao deve guardar uma relacao direta com a dispersao (avaliacao de maximaverossimilhanca) apresentada por essa solucao. Assim, para dispersoes grandes, que aparecemnos primeiros passos da Cadeia de Markov (que se encontra longe da convergencia), convem seutilizar perturbacoes grandes, que devem ser reduzidas a medida que se aproxima da convergencia(solucao procurada). Contudo, mesmo adotando-se esta estrategia para a evolucao da perturbacao,o custo computacional da otimizacao utilizando a tecnica tradicional de aproximacao ponto-a-pontopermanece elevado.

4.2 Otimização utilizando funções splines

Tendo em vista a grande incerteza envolvida nos primeiros passos da Cadeia de Markov, alemda estrategia de se evoluir com a amplitude das perturbacoes aplicadas ao longo do processo deotimizacao, aplicou-se tambem uma tecnica de modificacao da dimensao do espaco de solucao.Inicialmente adota-se uma aproximacao mais grosseira da solucao buscada, de forma a se terum espaco vetorial de menor dimensao e, portanto, uma convergencia mais rapida. Garantida aconvergencia inicial (no espaco reduzido), inicia-se a etapa seguinte pesquisando uma solucao maisrefinada num espaco maior (o espaco da solucao procurada). Assim, o processo de convergencia noespaco da solucao desejada e mais rapido, pois se inicia com uma solucao ja proxima da procurada.

Para tornar esse processo mais eficaz, busca-se uma representacao utilizando um espaco de funcoessplines (ou funcoes polinomiais por partes) da classe C2, que se mostram mais convenientes pararepresentacao de problemas fısicos reais.

Inicialmente desenvolvidas para a modelagem de formas suaves utilizadas na industria naval, coma evolucao dos recursos computacionais, as aplicacoes das funcoes splines se expandiram para outrasareas da computacao cientıfica devido a sua simplicidade, precisao e flexibilidade para representargeometrias complexas (Schumaker, 2007). Autores como Biloti et al. (2001) e Steffens (2005), dentreoutros, exploraram as propriedades das funcoes splines em algoritmos de interpolacao e de otimizacao.Do ponto de vista matematico uma spline e uma funcao polinomial definida por intervalos. Dentre asfamılias de curvas splines, a mais difundida e a Spline Cubica Natural (Natural Cubic Splines - NCS)

de grau 3 e de continuidade C2 (Biloti et al., 2003; Mota et al., 2010). E conveniente interpretar asfuncoes splines como formando um subespaco vetorial de <, frequentemente designado por Sr

n(p),onde p e o vetor dos nos, definidos pelas extremidades dos intervalos de interpolacao; n e o grau dopolinomio de interpolacao (n = 3 para o caso de splines cubicas) e o vetor r indica a suavidade daspline ou o grau de continuidade das derivadas nos pontos definidos pelo vetor p (Schumaker, 2007).

Assim, este trabalho usa uma estrategia de otimizacao, com aproximacao por Splines, que alemde evoluir com a amplitude da perturbacao, aplicada a cada passo de aproximacao, de acordo com aCadeia de Markov, evolui tambem com a classes da funcao spline, adotando classes mais completasa medida que a dispersao identificada, pelo criterio de maxima verossimilhanca, vai sendo reduzida.

4.3 Simulação do problema direto

O problema direto foi modelado considerando a propagacao de ondas unidimensionais em tubos, ondea solucao classica e composta de duas ondas que se propagam em sentidos opostos ao longo de todo

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 73

o tubo. Adotando como origem a superfıcie da amostra testada, temos a propagacao de uma ondaincidente, no sentido da direita para a esquerda, e uma onda refletida, da esquerda para a direita,conforme Figura 2. A amplitude da onda refletida diferere da amplitude da onda incidente de umfator R, que caracteriza as propriedades de absorcao do material da amostra no tubo. Assumindo ahipotese de linearidade, essas duas ondas sao adicionadas. O resultado dessa composicao de ondas eassumido conhecido no modelo proposto e simula a medicao dos microfones no domınio do tempo.

Apesar de que, no presente caso, foram usados dois microfones, nao ha limitacao para a avaliacaoda resposta quanto ao numero ou a posicao dos microfones. Se um numero maior de microfonesfor utilizado existira mais informacao disponıvel e a solucao do problema inverso sera mais eficiente(seguindo o princıpio bayesiano), embora isso implique em um maior custo experimental.

Uma vez conhecidas as ondas incidente e refletida, o valor das propriedades de absorcao (R) domaterial da amostra testada pode ser estimada.

4.4 Implementação numérica

Ambas as estrategias de otimizacao, por aproximacao ponto-a-ponto e por funcoes splines usam umaaproximacao estatıstica para obter uma solucao para o problema inverso do tubo de impedancia. AFigura 3 mostra o fluxograma do algoritmo computacional desenvolvido para ambas as estrategias.A diferenca entre estas estrategias esta limitado apenas a classe de funcoes admissıveis utilizadas.

O algoritmo proposto arbitra uma funcao teste inicial para resolver o problema direto. Entao, adispersao da resposta e estimada e a funcao teste e modificada ate que a dispersao seja menor que umvalor ε especificado. Nos primeiros passos, utiliza-se como funcao teste uma spline de baixa ordem(pertencente a um espaco de dimensao reduzida). Com a nova etapa proposta para o algoritmo, epossıvel implementar um segundo teste que aumenta a classe da funcao spline quando a dispersaoaproxima-se do valor ε, aumentando a qualidade da representacao (Figura 3).

Figura 3. Fluxograma para solucao do problema inverso do tubo de Kundt.

Foi implementado, em linguagem Matlab, um programa que, usando o algoritmo proposto, avaliae compara o erro para o ajuste das funcoes que representam as ondas de pressao incidente e refletida.

74 Carvalho et al.

Foram realizadas duas otimizacoes para diferentes casos (considerando-se diferentes tipos de ondasincidentes), usando aproximacao por funcoes ponto-a-ponto e aproximacao por funcoes splines.

5. Resultados Obtidos

Apresenta-se a seguir a comparacao dos resultados obtidos, aplicando-se o algoritmo proposto paraos dois tipos de aproximacao: ponto-a-ponto e por funcoes splines, em condicoes equivalentes. Saoconsiderados dois casos tıpicos: um primeiro com uma onda incidente impar e um segundo com umaonda incidente par (funcao Gaussiana).

5.1 Tubo excitado por uma função impar

O primeiro caso considera uma onda incidente do tipo impar em um tubo de 1 m, com dois microfonesposicionados a 0,1 m e 0,8 m da extremidade onde esta fixada a amostra testada.

Na Figura 4(a) e apresentado o sinal incidente, simulando a onda emitida pelo autofalante.Considerando um coeficiente de absorcao uniforme igual a R = 0, 5, espera-se que o sinal refletidoseja como o mostrado na Figura 4(b). Usando, entao, esses dois sinais foi resolvido o problema diretoe gerado os sinais que teoricamente seriam medidos pelos microfones, como mostra a Figura 5. Estessinais serao usados como referencia para a verificacao da qualidade da solucao do problema inverso.

(a) onda incidente (b) onda refletida

Figura 4. Sinais simulados no tubo de impedancia - onda impar.

Figura 5. Composicao dos sinais capturados pelos microfones (simulacao).

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 75

A aplicacao do algoritmo, apresentado na Secao 4.4, implica em se arbitrar funcoes que tentemrepresentar os sinais incidente e refletido existentes no tubo para, resolvendo o problema inverso,reconstruir os sinais “medidos” pelos microfones (mostrados na Figura 5). Partindo das funcoesarbitradas para os sinais incidente e refletido, o algoritmo procede a aplicacao de uma perturbacaoaleatoria sobre essas funcoes ate atingir aquelas que melhor representam os sinais compostos,“medidos” pelos microfones. Ao se atingir o nıvel de qualidade de aproximacao exigido para arepresentacao dos sinais dos microfones, usa-se as funcoes representativas dos sinais incidente erefletido para determinar o coeficiente de absorcao da amostra testada.

As Figuras 6(a) e 6(b) mostram a qualidade da aproximacao dos sinais incidente e refletido apos500 iteracoes (apos um tempo de calculo de 7 s). Nas figuras podemos ver a funcao de partida(indicada pelo tracejado verde), a funcao aproximada (tracejado azul) e a solucao esperada (linhavermelha).

Deve-se notar que nestas figuras as solucoes esperadas sao mostradas apenas a tıtulo decomparacao, visto que o algoritmo considera, para verificar a convergencia, a qualidade daaproximacao dos sinais nos dois microfones, mostrada na Figura 6(c), onde a aproximacao numericae mostrada pelo tracejado azul e a solucao esperada (“medida” pelo microfone) em vermelho.

(a) onda incidente (b) onda refletida

(c) Sinais recuperados nos microfones

Figura 6. Evolucao da aproximacao dos sinais apos 500 iteracoes.

76 Carvalho et al.

Transcorridos 13,12 min. de simulacao, o algoritmo convergiu para os resultados resumidosna Figura 7, que foram obtidos com 10.000 iteracoes. Na Figura 7 pode-se ver a qualidade daaproximacao dos sinais “medidos” nos microfones, os quais permitem determinar com exatidao ossinais incidente e refletido no tubo e com estes e possıvel calcular a coeficiente de absorcao do materialtestado.

Figura 7. Resultado da aproximacao dos sinais nos microfones apos 10.000 iteracoes, usando funcoes splines.

A tıtulo de comparacao, repetiu-se o mesmo procedimento adotando agora uma aproximacaoponto-a-ponto. Foram repetidas as mesmas condicoes de simulacao e usado o mesmo algoritmo,contudo sem o passo de refinamento da funcao de aproximacao.

De forma a abreviar o texto, a Figura 8 resume o resultado final da otimizacao (apos 10.000iteracoes) mostrando as ondas incidente e refletida, bem como a aproximacao dos sinais nosmicrofones. As aproximacoes numericas sao apresentadas em linhas tracejadas azuis e as solucoesesperadas em linhas vermelhas.

Figura 8. Identificacao numerica de um sinal de entrada impar usando aproximacao ponto-a-ponto.

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 77

5.2 Tubo excitado por uma função Gaussiana

Neste segundo caso considera-se uma onda incidente do tipo Gaussiana (onda par). Sao adotadosos mesmos valores para as dimensoes do tubo e para o posicionamento dos microfones. Considera-setambem o mesmo valor para o coeficiente de absorcao da amostra: R = 0, 5.

Adotando-se o mesmo procedimento do caso anterior, o algoritmo foi inicialmente aplicadoconsiderando uma aproximacao por funcoes splines e, em seguida, repetido usando aproximacaoponto-a-ponto. De forma a evitar repeticoes e alongar o texto, apresentam-se apenas os resultadosfinais das simulacoes.

A Figura 9 mostra, em sua parte superior, o resultado obtido para a identificacao das ondasincidente e refletida no tubo de impedancia e, na parte inferior, a aproximacao dos sinais nosmicrofones. As aproximacoes sao mostradas pelas linhas tracejadas azuis e as solucoes exatas pelaslinhas vermelhas. Para um resıduo quadratico inferior a 0, 3%, a solucao por splines converge em274 iteracoes apos 12,0 segundos, em media. Enquanto, para o mesmo resıduo quadratico inferiora 0, 3%, a solucao ponto-a-ponto converge em 29566 iteracoes apos 125,2 segundos, em media. Assimulacoes foram efetuadas em um computador Pentium Core2 1, 86GHz 1Gb RAM, WindowsXP2002 SP3 e MatLab 7.6.0 (R2008a).

Figura 9. Identificacao numerica de um sinal de entrada gaussiano usando aproximacao por funcoes splines.

Os resultados para a aproximacao ponto-a-ponto sao resumidos na Figura 10, onde, como nasdemais, o tracejado azul mostra o resultado da simulacao e o tracejado vermelho a solucao exata.

6. Conclusão

A identificacao de propriedades acusticas de coeficiente de absorcao e impedancia acustica de umaamostra testada em um tubo de impedancia (Tubo de Kundt) caracteriza um problema inverso emacustica.

O problema bem posto foi adequadamente modelado. A aplicacao de uma abordagem estocasticapor meio de um metodo de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) resultou numa solucaoadequada, robusta e estavel. As ondas incidente, emitida pela fonte sonora, e refletida pela amostratestada, foram recuperadas a partir dos sinais de saıda obtidos por dois microfones (simulando dadosmedidos).

A abordagem de aproximacao por funcoes splines mostrou-se mais adequada, considerando aforma e suavidade das curvas das ondas procuradas. Deve-se atentar para o nıvel de discretizacaodas funcoes splines usadas.

78 Carvalho et al.

Figura 10. Identificacao numerica de um sinal de entrada gaussiano usando aproximacao ponto-a-ponto.

Uma vez que as ondas incidente e refletida sao conhecidas e possıvel calcular o coeficiente deabsorcao α do material testado no tubo de impedancia. A despeito de que este trabalho objetiveapenas uma aplicacao da metodologia de otimizacao MCMC a um problema de acustica, vislumbra-sea aplicacao alternativa a norma ISO 10534-1:1996 (ISO, 1996). Por exemplo, dado um coeficiente deabsorcao α(f) para uma determinada faixa de frequencia, compara-se a simulacao do sinal acusticodos microfones com relacao ao sinal experimental obtido por tubo de impedancia. Utiliza-se ametodologia de otimizacao MCMC a fim de aprimorar o resultado numerico ate um limite pre-estabelecido.

Deve-se notar ainda que o coeficiente de absorcao acustica α das amostras testadas dependedo espectro de frequencia escolhido. Sinais incidentes com diferentes espectros conduzirao adeterminacao do coeficiente de absorcao para diferentes bandas de frequencia.

ReferênciasISO 10534-1:1996 Acoustics - Determination of sound absorption coefficient and impedance in impedance tubes - Part

1: Method using standing wave ratio. ISO, 1996. .

ISO 10534-2:1998(E) Acoustics - Determination of sound absorption coefficient and impedance in impedance tubes -Part 2: Transfer-function method. ISO, 1998. .

Biloti, R.; Santos, L. & Tygel, M., Layered velocity model from kinematic. In: International Congress of the BrasilianGeophisical Society. v. 2, p. 1055–1058, 2001.

Biloti, R.; Santos, L. & Tygel, M., Automatic smoothing by optimal splines. Brazilian Journal of Geophysics, 21((2)),2003.

Chu, W.T., Transfer function technique for impedance and absorption measurements in a impedance tube using asingle microphone technique. Journal of the Acoustical Society of America, 80(2):555–560, 1986.

Chung, J. & Blaser, D., Transfer function method of measuring in-duct acoustic properties. i. theory. Journal of theAcoustical Society of America, 63(3):907–913, 1980a.

Chung, J. & Blaser, D., Transfer function method of measuring in-duct acoustic properties. ii. experiment. Journal ofthe Acoustical Society of America, 63(3):914–921, 1980b.

Engl, H.; Hanke, M. & Neubauer, A., Regularization of Inverse Problems: Mathematics and its Applications. Kluwer,1996.

Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt 79

Gamerman, D. & Lopes, H.F., Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference. 2a edicao.Chapman and Hall/CRC, 2006.

Isakov, V., Inverse Problems for Partial Differential Equations. 2a edicao, v. 127 de Applied Mathematical Sciences.Springer, 2006.

Jaynes, E., Information theory and statistical mechanics. Physics Review, 106, 1957.

Kaipio, J. & Somersalo, E., Statistical and Computational Inverse Problems. v. 160 de Applied Mathematical Sciences.Springer, 2004.

Kirsch, A., An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems. 2a edicao, v. 120 de Applied MathematicalSciences. Springer, 2011.

Lee, P., Bayesian Statistics. Oxford University Press, 2004.

Melo Filho, N.G.R., Caracterizacao Experimental de Materiais Acusticos para Uso Automotivo. Projeto de Graduacaodo curso de Engenharia Mecanica, Universidade de Brasılia, 2010.

Mota, C.; Orlande, H.; Carvalho, M.; Kolehmainen, V. & Kaipio, J., Bayesiam estimation of temperature-depedentthermophysical properties and transient boundary heat flux. Heat Transfer Engineering, 31(7):570–580, 2010.

Robert, C. & Casella, G., Monte Carlo Statistical Methods. Springer, 2004.

Schumaker, L.L., Spline Functions: Basic Theory. 3a edicao. Cambridge University Press, 2007.

Steffens, L.M., Desenvolvimento de uma metodologia integrada para otimizacao de forma de mecanica dos fluidos.Dissertacao de mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Florianopolis, 2005.

Tikhonov, A. & Arsenin, V., Solution of Ill-Posed Problems. John Wiley & Sons, 1977.

80 Carvalho et al.

.