Capítulo 10

Projeto de Robôs Manipuladores 3R OrtogonaisUsando Técnicas de Otimização Heurísticas

Paulo Roberto Bergamaschi e Romes Antonio Borges∗

Resumo: Na engenharia moderna, o estudo dos mecanismos roboticos e de grande importancia devido asua aplicabilidade em industrias. A utilizacao de robos manipuladores vem substituindo gradativamentea mao-de-obra humana na realizacao de tarefas repetitivas, complexas e, muitas vezes, perigosa para ooperador. Neste sentido, o conhecimento do espaco de trabalho dos robos se faz necessario para o calculodo volume de trabalho, sendo fundamental por causa do impacto sobre o projeto do manipulador e oseu posicionamento no ambiente de trabalho. Neste contexto, o presente trabalho tem por objetivo adeterminacao dos parametros otimos de um manipulador robotico 3R que correspondem a um volume detrabalho especificado utilizando tecnicas de otimizacao heurısticas.

Palavras-chave: Projeto otimo, Robos manipuladores, Tecnicas de otimizacao heurısticas.

Abstract: The study of robotic mechanisms is very important in modern engineering due to its applicabilityin several industries. Human work is being gradually replaced by the use of robot manipulators in industryto perform repetitive and often dangerous tasks for the operator. The behavioral study and analysis ofmechanical systems is very important, especially for the construction of suitable models to represent thereality of the physical system. In this sense, knowledge of the workspace of the robot is needed for calculatingthe volume of work being essential due to the impact over the project of the manipulator and its positioningin the working environment. This work seeks to develop a study of a 3R robotic arm manipulator based onthe formulation of an optimization problem using heuristic optimization techniques to identify the optimalvalues of the parameters that lead to the expected volume workspace.

Keywords: Optimal design, Robotic manipulator, Heuristic optimization techniques.

Conteúdo

1 Introducao ................................................................................................................................1222 Robos Manipuladores 3R e Espaco de Trabalho ......................................................................123

2.1 Modelagem geometrica de robos manipuladores utilizando o metodo de Denavit-Hartenberg .......................................................................................................................124

2.2 Espaco de trabalho de manipuladores 3R........................................................................1253 Tecnicas de Otimizacao Heurısticas .........................................................................................127

3.1 Algoritmos geneticos ........................................................................................................1273.2 Recozimento simulado......................................................................................................1293.3 Colonia de vagalumes.......................................................................................................130

4 Projeto Otimo para o Manipulador Robotico 3R.....................................................................1315 Conclusoes................................................................................................................................131

∗Autor para contato: romes@ufg.br

Lobato et al. (Ed.), (2014) DOI: 10.7436/2014.tica.10 ISBN 978-85-64619-15-9

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1. Introdução

O desenvolvimento tecnologico observado nos dias atuais motivou a criacao de maquinas queefetuassem tarefas antes realizadas somente pelo homem. Apos a Revolucao Industrial, as industriasiniciaram a construcao de ins- trumentos que fossem capazes de realizar tarefas especıficas,culminando com a criacao dos robos.

O interesse das industrias em buscar novas tecnologias visando melhorar a sua produtividade ea qualidade de seus produtos aumenta ano apos ano, tornando evidente que se trata de uma eraespecial, a da informatizacao e da robotica. Para o estudo da robotica sao necessarios conhecimentosinterdisciplinares, envolvendo diversas areas, tais como controle, otimizacao, matematica, inteligenciaartificial, programacao de sistemas, cinematica, dinamica, computacao grafica, dentre outras. Estasareas se interligam fazendo da robotica uma area de pesquisa cientıfica multidisciplinar.

Segundo Oliveira (2012), robos sao maquinas controladas por computadores e programadas paramover, manipular objetos e efetuar trabalhos enquanto interagem com o ambiente a sua volta. Emum robo manipulador, o efetuador (ou orgao terminal), objeto responsavel pela execucao da tarefafinal de aplicacao do robo, e precedido por um conjunto de segmentos (elementos ou corpos), querealizam seus movimentos por meio de servo-motores (atuadores - responsaveis pela movimentacaode um elemento em relacao ao outro). As conexoes entre os elementos sao chamadas de juntas (ouarticulacoes) (Tsai, 1999).

Uma das principais caracterısticas de um robo manipulador e o seu espaco de trabalho, definidopelo conjunto dos pontos atingıveis pelo efetu- ador. Neste sentido, diversos trabalhos tem sidodesenvolvidos para a sua analise. Ceccarelli & Lanni (1999) estudaram o projeto de manipuladorescomo um problema de otimizacao que leva em consideracao as caracterısticas do espaco de trabalho.Este mesmo problema foi investigado e solucionado por Lanni et al. (2002) aplicando duas diferentestecnicas numericas, a primeira fazendo uso da programacao quadratica sequencial (SQP) e a segundautilizando a tecnica conhecida como Recozimento Simulado (RS) (Simulated Annealing). Umaformulacao para o espaco de trabalho usada para o projeto de manipuladores foi apresentadapor Ceccarelli & Lanni (2004), na qual considera-se dois objetivos, a maximizacao do volume ea minimizacao das dimensoes do manipulador.

Bergamaschi et al. (2006) obtiveram a formulacao algebrica para a ca- racterizacao da fronteira doespaco de trabalho de robos manipuladores 3R considerando a existencia de vazios e singularidadesno espaco de trabalho. Tal formulacao foi utilizada no desenvolvimento do projeto otimo daestrutura considerando como objetivo a maximizacao do volume de trabalho. Ja Oliveira et al.(2007) propuseram uma metodologia hıbrida para a maximizacao do volume do espaco de trabalhode manipuladores 3R quaisquer. Nesta metodologia, inicialmente aplicava-se metodos sequenciais ea seguir o Algoritmo de Evolucao Diferencial (ED), obrigando o espaco de trabalho a ocupar o maiorconjunto de pontos dentro de uma regiao pre-estabelecida, isto e, um cilindro cujo eixo coincidiacom o eixo de rotacao do espaco de trabalho. Bergamaschi et al. (2008) formularam um problemade otimizacao em que o volume de trabalho de manipuladores 3R e a funcao objetivo. Todavia,neste trabalho, penalidades foram impostas para minimizar os vazios e controlar a area total dasecao radial plana do espaco de trabalho, forcando-a a ocupar uma regiao pre-estabelecida. Para aresolucao do problema de projeto foram empregados diferentes metodos, a saber, SQP, AlgoritmosGeneticos (AG), ED e Otimizacao por Enxame de Partıculas. Mais recentemente, Oliveira (2012)propos a formulacao de um problema multi-objetivo cuja finalidade foi maximizar o espaco detrabalho de robos manipuladores 3R, maximizar a rigidez do sistema de juntas e otimizar a destrezado manipulador sem a imposicao de restricoes. Alem disso, o problema de otimizacao sujeito apenalidades que controlam a topologia, tornando possıvel a obtencao de solucoes que obedecam astopologias pre-estabelecidas foi analisado.

Com o exposto, fica evidente a aplicabilidade de tecnicas de otimizacao visando melhorar oprojeto de robos. Tal ferramenta e de grande importancia na engenharia moderna, pois com ocontınuo avanco da tecnologia e o aumento da capacidade dos computadores digitais, cresce autilizacao das mais variadas tecnicas de otimizacao para a construcao de projetos cada vez maisrobustos, associados a tendencia de se optar por estruturas cada vez mais refinadas a fim de sediminuir as tolerancias de projeto. Segundo Vanderplaats (1999) pode-se entender otimizacao comosendo o processo de ajuste de caracterısticas de um dado projeto, visando encontrar valo- res querepresentem convenientemente seu desempenho. Varias tecnicas de otimizacao tem sido empregadasvisando melhorar diversos tipos de projetos de engenharias e areas afins. O conjunto de tecnicas deotimizacao e, basicamente, formado por tecnicas fundamentadas pelo calculo diferencial e tecnicasde computacao inspiradas em fenomenos que ocorrem na natureza. As primeiras sao denominadasde tecnicas classicas (determinısticas) de otimizacao que, na sua maioria, fazem uso do calculo do

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gradiente para orientar o processo iterativo, sendo altamente dependente de uma “boa” estimativainicial para comecar a busca. Ja a segunda classe de metodos e baseada em conceitos inspirados nanatureza, denominadas de tecnicas heurısticas ou evolutivas.

Diante do que foi apresentado, o presente trabalho tem por objetivo o projeto de um manipulador3R ortogonal, isto e, cuja estrutura apresenta angulos retos entre os eixos de suas juntas, atraves daidentificacao de valores dos parametros de projeto via conhecimento do volume de trabalho usandoTecnicas de Otimizacao Heurısticas, a saber, AG, RS, e o Algoritmo de Colonia de Vagalumes (ACV).Este Capıtulo esta estruturado como segue. As Secoes 2 e 3 apresentam aspectos gerais sobre robosmanipuladores e Tecnicas de Otimizacao Heurısticas, respectivamente. Ja a Secao 4 apresenta aformulacao do problema de projeto, bem como os resultados obtidos. Finalmente, as conclusoes saoapresentados na Secao 5.

2. Robôs Manipuladores 3R e Espaço de Trabalho

Denominam-se robos manipuladores seriais aqueles que controlam o movimento do efetuador atravesde uma cadeia cinematica, desde a base ate a extremidade livre onde se localiza o efetuador. Assimsendo, suas estruturas tem a forma de uma cadeia aberta. Ja os manipuladores paralelos sao osque controlam o movimento do efetuador por intermedio de duas ou mais cadeias cinematicas, cujasestruturas cinematicas tem a forma de uma cadeia fechada. Os ditos hıbridos sao compostos pelosdois tipos de cadeias (Bergamaschi, 2004; Oliveira, 2012). O tipo das juntas e um dos fatores quecontribuem para o aspecto do espaco de trabalho de robos manipuladores, sendo as mais empregadasa prismatica (deslizante) e a de revolucao (rotacional). Nas juntas prismaticas, Figura 1(a), omovimento e linear, enquanto que nas rotacionais, Figura 1.(b), o movimento e angular (Bergamaschi,2004). Outros tipos de juntas podem ser encontradas em Tsai (1999).

Figura 1. Junta prismatica (a) e Junta rotacional (b).

Na literatura podem ser encontradas diferentes estruturas para um manipulador robotico. Estasdependem do tipo e da ordem das juntas cine- maticas empregadas nas conexoes entre os segmentosconstituintes de sua estrutura (Megahed, 1993). Considerando que P representa a junta prismaticae R a rotacional, podem-se citar alguns tipos, tais como: robos cartesianos (PPP), robos cilındricos(PRP, RPR, RPP, PRR); robos esfericos (RRP) e robos de revolucao (RRR ou 3R).

Um esquema cinematico dos robos manipuladores 3R, os quais possuem tres juntas rotacionais,pode ser observado na Figura 2 (Bergamaschi, 2004). Acoplado a terceira junta encontra-se oefetuador, que pode ser uma pistola de solda, de pintura ou uma ferramenta qualquer. Conformedescrito anteriormente, um manipulador 3R e dito ortogonal quando os eixos de suas juntas saoortogonais entre si, o que significa que os angulos αi sao angulos retos.

Figura 2. Esquema cinematico de um robo manipulador 3R e seus parametros cinematicos.

A capacidade de um robo desenvolver uma determinada tarefa depende da sua arquitetura eda dimensao de seus membros, assim como da posicao por ele assumida no ambiente de trabalho.

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Estas caracterısticas devem ser consideradas no projeto dos manipuladores roboticos, ou melhor,na definicao de sua geometria. No caso de manipuladores com juntas puramente rotacionais, osparametros de projeto sao a1, a2, a3, d2, d3, α1 e α2 (representados na Figura 2 (Bergamaschi,2004)); os termos θ1, θ2 e θ3 representam as variaveis cinematicas. Note que os parametros a1, a2,a3, d2, d3 sao os responsaveis pela dimensao do manipulador.

O calculo exato do espaco de trabalho e muito importante, pois influi no projeto dimensional, noposicionamento do manipulador no ambiente de trabalho e na sua destreza para executar tarefas.Neste estudo, a determinacao do volume do espaco de trabalho necessita do conhecimento da areade sua secao transversal em um plano radial, a qual e obtida por aproximacao atraves de suadiscretizacao em uma malha retangular.

2.1 Modelagem geométrica de robôs manipuladores utilizando o método de Denavit-Hartenberg

Um dos metodos mais usados para descrever geometricamente um robo e aquele que utiliza arepresentacao de Denavit e Hartenberg (Saramago & Steffen, 1999), cujo esquema e exibido naFigura 3 (Bergamaschi, 2004). Basicamente, esta tecnica consiste em construir a matriz detransformacao homogenea, T i

i−1, que representa o sistema XiYiZi, de origem Oi e associado aoi-esimo membro do robo, em relacao ao sistema Xi−1Yi−1Zi−1, de origem Oi−1 e associado ao (i-1)-esimo membro, para cada i variando de 1 a n, sendo n o grau de liberdade do robo.

Atraves da Figura 3 observa-se que a representacao do sistema XiYiZi em relacao ao sistemaXi−1Yi−1Zi−1 percorre quatro etapas bem definidas, representadas pelos quatro parametros αi−1,ai−1, di e θi, que sao conhecidos por parametros de Denavit-Hartenberg. Consequentemente, amatriz de transformacao homogenea T i

i−1 depende da maneira como essas etapas sao percorridas.Neste trabalho, a matriz de transformacao homogenea generica e dada por:

T ii−1 = Rot(αi−1, Xi−1)Trans(ai−1, 0, 0)Trans(0, 0, di)Rot(θi, Zi)

=

Cθi −Sθi 0 ai−1

SθiCαi−1 CθiCαi−1 Sαi−1 diSαi−1

−SθiSαi−1 −CθiSαi−1 Cαi−1 diCαi−1

0 0 0 1

(1)

sendo que Rot(αi−1, Xi−1) significa uma rotacao horaria de um angulo αi−1 em torno do eixo Xi−1,

Figura 3. Representacao de Denavit e Hartenberg para robos manipuladores.

Trans(ai−1, 0, 0) uma translacao de ai−1 unidades sobre o eixo Xi−1, Trans(0, 0, di) uma translacaode di unidades sobre o eixo Zi e Rot(θi, Zi) uma rotacao anti-horaria de um angulo θi em torno doeixo Zi, a0=α0=0, d1=0, Sθi=sen(θi), Cθi=cos(θi), para i=1, 2, 3; Sαj=sen(αj) e Cαj=cos(αj),para j= 1, 2.

A matriz de transformacao homogenea que representa as coordenadas do efetuador em relacao abase, Tn

0 , pode ser obtida atraves da seguinte expressao (Saramago & Steffen, 1999):

Tn0 = T 1

0 · T 21 · T 3

2 · . . . · Tnn−1 (2)

Seja H um ponto escolhido como o centro do efetuador e, portanto, um ponto no sistema X3Y3Z3.Assim, ele sera denotado por H3 e representado por:

H3 = [ a3 0 0 1 ]T

(3)

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sendo que T indica o transposto do vetor. Utilizando a Equacao 2, a repre- sentacao vetorial de H3

em relacao a base, denotada por H0, e obtida da seguinte forma:

H0 = T 10 T

21 T

32H3 (4)

Expandindo a Equacao 4 pode-se obter

H2 =

Hx2

Hy2

Hz2

1

= T 32H3 =

a3Cθ3 + a2

a3Sθ3Cα2 + d3Sα2

−a3Sθ3Sα2 + d3Cα2

1

(5)

H1 =

Hx1

Hy1

Hz1

1

= T 21H2 =

Hx2Cθ2 −Hy

2Sθ2 + a1

Hx2Sθ2Cα2 +Hy

2Cθ1Cα1 +Hz2Sα1 + d2Sα1

−Hx2Sθ2Sα1 −Hy

2Cθ2Sα1 +Hz2Cα1 + d2Cα1

1

(6)

e, por fim

H0 = T 10H1 =

Hx1Cθ1 −Hy

1Sθ1

Hx1Sθ1 +Hy

1Cθ1

Hz1

1

(7)

2.2 Espaço de trabalho de manipuladores 3R

O espaco de trabalho de um ponto H situado na extremidade do robo manipulador e o conjunto detodos os pontos que H ocupa quando as variaveis de junta percorrem os seus domınios de definicao(Gupta & Roth, 1982). Ele pode apresentar vazios que sao regioes dentro do espaco de trabalhoque nao sao atingıveis pelo efetuador. A Figura 4(a) exibe o espaco de trabalho seccionado de umparticular manipulador 3R (Bergamaschi, 2004).

Figura 4. Espaco de trabalho de um particular robo 3R (a) e Secao radial plana (b).

Um procedimento para investigar o espaco de trabalho e variar os angulos θ1, θ2 e θ3 sobre seusdomınios de definicao e estimar as coordenadas do ponto H com relacao a base do manipulador.Desta maneira, obtem-se a posicao do orgao terminal, tendo como resultado a representacao vetorialdada por H0 na Equacao 7.

Como pode ser visto na Figura 4(a), o espaco de trabalho de um manipu- lador 3R e um solidode revolucao, tendo Z1 como o seu eixo de revolucao. Desta forma, e natural imaginar que o espacode trabalho e o resultado da rotacao, em torno do eixo Z1, de uma secao radial plana que funcionecomo uma secao geratriz. A Figura 4(b) esboca a secao radial relativa ao espaco de trabalho exibidona Figura 4(a).

Desta forma, o espaco de trabalho de robos com estrutura 3R pode ser obtido por intermedioda extensao radial r e da extensao axial z com relacao a base (Ceccarelli, 1996; Ceccarelli & Lanni,1999). Para esta representacao, r e a distancia de um ponto generico do espaco de trabalho ao eixoZ1 e z e a distancia desse mesmo ponto ao plano X1Y1 (Figura 4(b)). Assim, usando a Equacao 7,as equacoes parametricas (de parametros θ2 e θ3) do lugar geometrico descrito pelo ponto H sobreum plano radial sao: {

r2 = (Hx1 )2 + (Hy

1 )2

z = Hz1

(8)

Ao variar os parametros θ2 e θ3 em intervalos de tamanho 2π gera-se uma famılia de curvas quepreenche a regiao dada pela secao radial plana, como exibido na Figura 5 (Bergamaschi, 2004).

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Figura 5. Famılia de curvas que compoem a secao radial plana do espaco de trabalho de um particularmanipulador 3R.

Por se tratar de um solido de revolucao, o volume de trabalho (V ) pode ser avaliado usandoo Teorema de Pappus-Guldin (Beer & Johnston, 1994), em acordo com o esquema mostrado naFigura 6 (Bergamaschi, 2004), atraves da equacao:

V = 2πrgA (9)

sendo A e rg, respectivamente, a area e o baricentro da secao radial plana que e coberta pela famıliade curvas.

Figura 6. Esquema para o calculo do volume de trabalho de manipuladores 3R.

O calculo da area da secao radial e realizado a partir da discretizacao da area em uma malharetangular, conforme proposto por Oliveira et al. (2007). Inicialmente, deve-se obter os valoresextremos dos vetores r e z:

rmin = min {r}rmax = max {r}zmin = min {z}zmax = max {z}

(10)

Adotando-se nr e nz como a quantidade de sub-intervalos desejados para a discretizacao ao longode r e z, respectivamente, pode-se calcular as dimensoes das areas elementares da malha a partirdas seguintes expressoes:

∆r =rmax − rmin

nr

∆z =zmax − zmin

nz

(11)

A Equacao 8 permite calcular todos os pontos da famılia de curvas que compoem a secao radial doespaco de trabalho. Dado um determinado ponto (r, z), determina-se sua posicao dentro da malha

Projeto de robôs manipuladores 3R ortogonais 127

de discretizacao, conforme visto na Figura 7 (Oliveira et al., 2007), atraves do seguinte controle deındices:

i = int

(r − rmin

∆r

)+ 1

j = int

(z − zmin

∆z

)+ 1

(12)

sendo que int(w) e a funcao maior inteiro, ou seja, que assume o maior inteiro menor ou igual a w.

Figura 7. Discretizacao da secao radial usando malha retangular.

Conforme mostrado no esquema da Figura 7, o ponto da malha que pertence ao espaco de trabalho(ET) sera identificado como Pij=1, do contrario tera valor nulo, conforme a equacao a seguir:

Pij =

{0 se Pij /∈ ET (H)1 se Pij ∈ ET (H)

(13)

Desta forma, a area total sera obtida pela soma de todas as areas ele- mentares da malha queestao contidas, totalmente ou parcialmente, na secao radial. Na Equacao 14, observa-se que apenasos pontos pertencentes a secao radial plana contribuem para o calculo da area. Ja a coordenada dobaricentro, conforme a Equacao 15, e calculada considerando a soma dos baricentros de cada areaelementar, dividida pela area total da secao radial plana

A =

imax∑i=1

jmax∑j=1

(Pij∆r∆z) (14)

rg =

imax∑i=1

jmax∑j=1

(Pij∆r∆z)((i− 1)∆r + ∆r

2 + rmin

)A

(15)

Finalmente, conhecendo-se os valores da area e do baricentro da secao radial, pode-se calcular ovolume do espaco de trabalho do manipulador usando a Equacao 9.

3. Técnicas de Otimização Heurísticas

3.1 Algoritmos genéticos

A area de Computacao Natural, tambem conhecida como Evolutiva consiste em uma linhade pesquisa e desenvolvimento de tecnicas computacionais essencialmente fundamentadas emconceitos baseados em processos que ocorrem na natureza (Borges et al., 2013). As tecnicas deotimizacao naturais reproduzem de modo artificial os principais componentes dos sistemas evolutivos:populacoes de indivıduos, aptidao, a nocao de mudancas dinamicas nas populacoes devido aonascimento e morte dos indivıduos e conceitos de variabilidade e hereditariedade, admitindo que os

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principais fatores evolucionistas sao: a mutacao, a recombinacao genica e a selecao natural (Holland,1975).

Dentre as inumeras estrategias ja propostas para a resolucao de proble- mas de otimizacaorestritas ou irrestritas, os AG (Holland, 1975) foram os primeiros a serem utilizados para esssafinalidade. Basicamente esta metodologia esta fundamentada nos seguintes aspectos (Holland, 1975):i) trabalham com uma codificacao do conjunto de parametros, ii) trabalham com uma populacaoe nao com um unico ponto, como acontece com os metodos baseados em gradiente, iii) nao fazemuso de informacoes do gradiente da funcao objetivo e restricoes para a atualizacao da populacaoe iv) utilizam regras de transicao probabilısticas. Segundo Borges (2003), como princial vantagempode-se citar a capacidade de escapar de otimos locais, o que a caracteriza como um metodo de buscaglobal. Por outro lado, como principal desvantagem pode-se citar o elevado numero de avaliacoes dafuncao objetivo requerida para a resolucao do problema e da dificuldade no tratamento de restricoes(Borges, 2003).

Os AG contemplam a formalizacao matematica e a explicacao dos processos de adaptacao emsistemas naturais, iniciando o desenvolvimento de sistemas artificiais, simulados em computador,conservando os mecanismos originais encontrados nos sistemas naturais, onde a variabilidade entreindivıduos de uma populacao de organismos que se reproduzem sexualmente e produzida pelamutacao ou pela recombinacao genetica (Holland, 1975). A seguir sao apresentados, de formaresumida, os principais aspectos dos AG.

Os AG podem ser codificados usando parametros contınuos ou parame- tros discretos (binarios).Em ambas vertentes as modelagens para a recombinacao genetica e de selecao natural seguem omesmo padrao. Neste contexto, sera exposto uma breve introducao a esta tecnica tendo como basea codificacao binaria.

Seguindo o que diz a evolucao biologica, os AG inicializam-se com uma populacao inicialconstituıda por indivıduos gerados aleatoriamente dentro do espaco de projeto definido pelo usuario.Nesta populacao inicial, as caracterısticas dos melhores indivıduos sao codificadas numa sequencia denumeros binarios. Nesta populacao, dois candidatos sao selecionados aleatoriamente para gerar doisnovos descendentes (candidatos a solucao do problema de otimizacao). A nova sequencia binariados descendentes contem porcoes das sequencias dos dois indivıduos anteriormente selecionados.Estes novos indivıduos substituem os que nao foram selecionados e, por isso, descartados. Novosdescendentes sao gerados ate que se tenha uma popu- lacao com o tamanho da inicial, definida pelousuario. O processo itera- tivo garante que, a cada iteracao, os melhores indivıduos com as melhorescaracterısticas sejam selecionados.

Como qualquer algoritmo de otimizacao, os AG sao estruturados numa sequencia de passos,inicializando pelas definicoes da funcao objetivo, sendo finalizado no instante em que o criteriode parada adotado for satisfeito. Tradicionalmente podem ser empregados os seguintes criteriospara finalizar o algoritmo: i) valor da funcao objetivo, ii) numero maximo de avaliacoes da funcaoobjetivo, iii) numero maximo de geracoes permitidas e iv) tempo de processamento.

Os AG partem da criacao de uma populacao inicial a partir da definicao do tamanho da populacao.Uma populacao inicial suficientemente grande aumenta o custo computacional, porem eleva o nıvelde desempenho do metodo, fornecendo uma cobertura mais ampla do espaco de busca, isto e,assegurando uma nao convergencia prematura do algoritmo. Durante a aplicacao dos operadoresde mutacao e cruzamento, responsaveis pela geracao de novas populacoes de candidatos, os melhorescromossomos sao selecionados para produzir novos “descendentes” que substituirao os que seraodescartados. Alem disso, especificamente no operador de cruzamento, o algoritmo explora o espacode projeto usando as combinacoes dos bits presentes nos cromossomos que constituem a populacaoinicial. A forma mais comum de cruzamento envolve dois cromossomos que produzirao dois novosdescendentes como mostrado na Tabela 1.

Tabela 1. Emparelhamento e cruzamento no processo do ponto unico do cruzamento.

Cromossomo Famılia Codigo binario

1 selecionado1 00100110011101

2 selecionado2 01010110000100

3 descendente1 00100110011100

4 descendente2 01010110000101

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Alem do cruzamento, uma populacao pode ser modificada a partir da mutacao. O operadorde mutacao consiste na segunda forma de exploracao do espaco de projeto feita pelo algoritmo.Aleatoriamente, uma pequena porcentagem dos bits da lista de cromossomos e alterada introduzindo-se caracterısticas que nao dependem da populacao original e tentam impedir a convergenciaprematura do algoritmo para mınimos locais. Assim, este operador e responsavel por introduzire manter a diversidade genetica da populacao, alterando arbitrariamente um ou mais componentesde uma estrutura escolhida, como ilustrado na Tabela 2.

Tabela 2. Exemplo da aplicacao do operador de mutacao.

Antes da Mutacao 1111010100011Depois da Mutacao 1111010110011

Desta forma, tal mecanismo assegura que a probabilidade de se chegar a qualquer ponto do espacode busca nunca sera zero, permitindo com essa pequena alteracao que mınimos locais possam serevitados (Holland, 1975).

O numero de geracoes depende do alcance da solucao desejavel ou do numero maximo pretendidopelo projetista, ou seja, apos certo tempo, se todos os cromossomos e seus respectivos custostornarem-se os mesmos, deve se interromper o algoritmo. Mais detalhes sobre os AG podem serencontrados no trabalho de Borges (2003).

O fluxograma apresentado na Figura 8 ilustra o esquema de implementacao da tecnica.

Figura 8. Fluxograma para os AG binarios.

3.2 Recozimento simulado

O recozimento (annealing) e o tratamento termico aplicado aos metais para a obtencao de estadosde baixa energia em sua estrutura interna. De forma geral, esse procedimento consiste emaumentar a temperatura do metal ate a fusao, forcando os atomos a vibrarem violentamente.Se resfriado repentinamente, a microestrutura se organiza em um estado randomico instavel.Entretanto, se resfriado lentamente, os atomos tendem a entrar em padroes relativamente estaveispara as respectivas temperaturas. Metropolis et al. (1953) introduziram um metodo numerico pararepresentar o estado de um conjunto de atomos em equilıbrio a uma temperatura, baseiando-se noprocesso de recozimento utilizado na metalurgia.

Do ponto de vista da otimizacao, o RS tem por objetivo encontrar novos pontos dentro doespaco de projeto atraves da aplicacao de operadores estatısticos para a obtencao de novos pontosque orientam a busca dos valores otimos dentro deste espaco. Neste sentido, a tecnica executauma perturbacao aleatoria que modifica as variaveis independentes, armazenando o melhor valor dafuncao objetivo em cada iteracao. Apos algumas itera- coes, o conjunto que produz o melhor valorem termos da funcao objetivo e tomado como sendo o centro sobre o qual a perturbacao acontecerana proxima reducao de temperatura.

A fim de escapar do provaveis otimos locais, o algoritmo reinicia a busca partindo de variassolucoes iniciais diferentes, utilizando a melhor solucao encontrada como solucao do algoritmo. Estaestrategia aumenta a independencia a solucao inicial, mas acrescenta uma dificuldade quanto adecidir quando interromper o algoritmo, sendo necessario o estabelecimento de adequados criteriosde convergencia.

No algoritmo de RS, a escolha das temperaturas e de essencial importancia, uma vez que todasas iteracoes sao executadas segundo estas temperatu- ras e, completadas estas iteracoes para umadada temperatura, os melhores valores as variaveis de projeto definirao o centro das iteracoes para

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a proxi- ma temperatura. Considerando-se a evolucao da temperatura inicial para a final, pode-sedefinir um criterio para a reducao desta temperatura, que consiste na definicao da seguinte constante(Metropolis et al., 1953):

c = exp(stop/start

n− 1

)(16)

onde start e stop sao as temperaturas inicial e final, respectivamente, e n e o numero de temperaturasutilizadas.

No inicio do algoritmo quando a temperatura ainda e muito alta, as solucoes sao aceitasindependentemente de serem ou nao de boa qualidade, mas apos algumas iteracoes, com a reducaoda temperatura, as solucoes que nao sao boas tem menor probabilidade de serem aceitas. No criterioproposto por (Metropolis et al., 1953), um ponto x pode ser aceito ou rejeitado de acordo com:

• se 4f ≤0, entao aceita-se o novo ponto e esta configuracao e usada com ponto de partida paraa proxima iteracao.

• se 4f ≥0, a probabilidade de aceitar o novo ponto e dada pela seguinte equacao:

p(4f) = exp(−4f/(kT )) (17)

onde T e o parametro de temperatura e k e a constante de Boltzmann.

Esse processo iterativo continua ate que uma temperatura suficientemente baixa, na qual nao seobserva nenhuma melhoria no valor da funcao objetivo, e encontrada.

3.3 Colônia de vagalumes

O ACV foi proposto por Xin-She Yang na Universidade de Cambridge em 2007 (Yang, 2008),sendo amplamente aplicada em problemas de otimizacao dos mais variados generos. Esta tecnicade otimizacao e inspirada na caracterıstica de bioluminescencia dos vagalumes, a qual e empregadapara comunicacao, como isca para atracao de eventuais presas, como mecanismo de alerta a possıveispredadores e para a atracao de potenciais parceiros na reproducao (Yang, 2008).

Para a implementacao definida por Yang (2008), tres regras foram definidas com a finalidade dedelinear o funcionamento do algoritmo: (1) os vagalumes nao possuem sexo, assim qualquer vagalumepode atrair ou ser atraıdo; (2) a atratividade e proporcional ao brilho emitido e decai conforme adistancia entre os vagalumes aumenta e (3) o brilho emitido por um vagalume e determinado pelasua avaliacao, isto e, pelo valor da funcao objetivo.

Matematicamente o ACV pode ser descrito por equacoes que modelam a atratividade, aluminosidade e a movimentacao em relacao a distancia. A intensidade de emissao de luz de umvagalume e proporcional a funcao objetivo que decai em funcao da distancia entre os vagalumes,devido a absorcao de luz pelo meio:

I(r) = I0 exp( γr2) (18)

onde I e a intensidade luminosa vista por um vagalume qualquer, r e a distancia euclidiana destevagalume ate a fonte de luz I0 e γ e o coeficiente de absorcao de luz no meio, ou seja, qualquer fatorque interfira na visualizacao entre os vagalumes.

A equacao abaixo representa a atratividade sofrida por um vagalume qualquer, onde β0 e aatratividade em r=0 e, em algumas situacoes, pode ser fixada em β0=1:

β(r) = β0 exp(−γr2) (19)

A movimentacao em um dado espaco de tempo t do vagalume i na direcao do melhor vagalumej, em termos da funcao objetivo, e definida como:

xti = x(it− 1) + β(x

(jt− 1)− x(

it− 1)) + α(rand− 0, 5) (20)

Na equacao acima, a segunda parcela do lado direito insere o fator de atratividade β, enquantoque a terceira parcela contem o parametro α, responsavel por regular a insercao de aleatoriedade nocaminho percorrido pelo vagalume, e rand e um numero aleatorio entre 0 e 1. O processo iterativocontinua ate que o numero maximo de iteracoes seja alcancado.

Projeto de robôs manipuladores 3R ortogonais 131

4. Projeto Ótimo para o Manipulador Robótico 3R

Neste trabalho sao estudados os manipuladores 3R ortogonais. Assim, considera-se α1=-90◦ eα2=90◦. Desta forma, o projeto otimo para o manipulador 3R ortogonal consiste da identificacaodos parametros do robo (a1, a2, a3, d2 e d3) que remetem a um volume do espaco de trabalhoespeficifado. Matematicamente, este problema pode ser definido como

min f(x) = |V (x)− Vdesejado| (21)

sujeito axinf ≤ x ≤ xsup (22)

onde V e o volume de trabalho calculado pelo vetor de variaveis de projeto x (definido pelos limitessuperior xsup e inferior xinf ), e Vdesejado e o volume de trabalho especificado pelo usuario. No

presente estudo foram assumidos os valores xinf=0 e xsup=3 (Bergamaschi, 2004).Recentemente, Oliveira (2012) obteve o volume de 2383,379 unidades de volume (u.v.) a partir de

um processo de otimizacao que considerava como objetivos o volume, a rigidez e a destreza usando oMetodo dos Objetivos Ponderados. Foi considerado d2=1,0 com peso de 80% para o volume e 10%para os outros dois objetivos e volume desejado (Vdesejado) o valor de 2800 u.v. Foram utilizados osseguintes parametros no AG: populacao de 100 indivıduos, probabilidade de mutacao igual a 0,01,probabilidade de cruzamento de 0,6 e 50 geracoes. No RS foram utilizadas 40 temperaturas com 100iteracoes para cada uma delas, sendo start=10 e stop=1. Ja no ACV foram utilizados os seguintesparametros: 20 vagalumes com 600 geracoes, sendo o fator de atratividade igual 1.

A Tabela 3 apresenta o projeto otimo obtido com a aplicacao das tecnicas de otimizacaoempregadas, onde Neval e o numero de avaliacoes da funcao objetivo.

Tabela 3. Valores das variaveis de projeto que conduzem ao volume desejado.

a1 a2 a3 d1 d2 Funcao Objetivo Neval

AG 2,9536 2,8737 2,5339 2,9826 2,9804 2E-5 5100RS 2,9012 2,8507 2,8766 2,3636 2,4734 1E-4 4000

ACV 2,9246 2,5860 2,9433 2,4761 2,4875 2E-5 12000

Nesta tabela observa-se que ambos ambos os metodos mostraram-se eficientes na busca pelo otimoda estrutura robotica em questao. Todavia, e importante ressaltar que no ACV o otimo foi obtidoas custas de um elevado numero de avaliacoes da funcao objetivo em relacao aos requeridos pelo AGe pelo RS.

A Figura 9 exibe a secao radial plana originaria da resolucao do proble- ma de projetoconsiderando os resultados obtidos via AG. Pode-se notar que os parametros de projeto obtidosdenotam um manipulador 3R ortogonal que nao apresenta vazios em seu espaco de trabalho,possibilitando uma boa ocupacao do ambiente de trabalho. Percebe-se tambem que a ordenadado ponto da secao radial e que e a projecao deste ponto sobre o eixo de rotacao do manipulador (z)assume valores negativos, indicando que o efetuador do robo atinge pontos abaixo do nıvel da basedo manipulador, o que na pratica e indesejavel. Tal adversidade e solucionada montando-se a basedo manipulador a uma altura do piso de modo que todo o espaco de trabalho fique acima do piso.Para isto, basta que a altura seja maior do que o valor absoluto do mınimo de z.

5. Conclusões

Foi desenvolvido um estudo introdutorio envolvendo Tecnicas de Otimizacao Heurısticas ondeprocurou-se destacar conceitos fundamentais. Foi apre- sentado a modelagem simplificada doproblema fısico, isto e, de um robo manipulador 3R. O projeto otimo proposto neste trabalho consisteda identificacao de parametros de um robo manipulador 3R ortogonal atraves da mininimizacaode uma funcao objetivo fundamentada no volume de espaco de trabalho. De maneira geral, ametodologia proposta mostrou-se eficaz para a aplicacao realizada. Percebe-se pelo resultado daotimizacao que os parametros tenderam aos valores maximos permitidos, principalmente a1, a2 ea3. Fisicamente, esta resposta era esperada ja que o objetivo do problema, implicitamente, foi o deobter um volume de esaco de trabalho maximo (especificado pelo usuario), o que conduz a maioresdimensoes possıveis do robo.

132 Bergamaschi & Borges

Figura 9. Secao radial plana proveniente da resolucao do problema inverso.

Agradecimentos

Os autores agradecem o suporte financeiro do CNPq, Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientıfico e Tecnologico.

ReferênciasBeer, F. & Johnston, E., Mecanica Vetorial Para Engenheiros. 1a edicao. Makron Books, Sao Paulo, Brasil, 1994.

Bergamaschi, P., Projeto Otimo de Robos Manipuladores 3R Considerando as Caracterısticas de seu Espaco de Trabalho.Tese de doutorado, Universidade Federal de Uberlandia, Uberlandia, 2004.

Bergamaschi, P.; Nogueira, A. & Saramago, S., Design and optimization of 3r manipulators using the workspacefeatures. Applied Mathematics and Computation, 172(1):439–463, 2006.

Bergamaschi, P.; Saramago, S. & Coelho, L., Comparative study of sqp and metaheuristics for robotic manipulatordesign. Applied Numerical Mathematics, 58(1):1396–1412, 2008.

Borges, R., Tecnicas Inteligentes de Otimizacao. Dissertacao de mestrado, Faculdade de Engenharia Mecanica,Universidade Federal de Uberlandia, 2003.

Borges, R.; Lobato, F. & Steffen, V., Application of three bioinspired optimization methods for the design of a nonlinearmechanical system. Mathematical Problems in Engineering, 1(1):1–12, 2013.

Ceccarelli, M., A formulation for the workspace boundary of general n-revolute manipulators. IFToMM Jnl Mechanismand Machine Theory, 31(5):637–646, 1996.

Ceccarelli, M. & Lanni, C., Sintesis optima de brazos manipuladores considerando las caracteristicas de su espacio detrabajo. Revista Iberoamericana de Ingenieria Mecanica, 3(1):49–59, 1999.

Ceccarelli, M. & Lanni, C., A multi-objective optimum design of general 3r manipulators for prescribed workspacelimits. Mechanism and Machine Theory, 39(2):119–132, 2004.

Gupta, K. & Roth, B., Design considerations for manipulator workspace. Journal of Mechanical Design, 104(2):704–711, 1982.

Holland, J., Adaptation in Natural and Artificial Systems. 1a edicao. MIT Press, Illinois Genetic Algorithm Laboratory.IlliGAL, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1975.

Lanni, C.; Saramago, S. & Ceccarelli, M., Optimal design of 3r manipulators by using classical techniques and simulatedannealing. Revista Brasileira de Ciencias Mecanicas, 24(4):293–301, 2002.

Megahed, S., Principles of Robots Modelling and Simulation. 1a edicao. Wiley, New York, 1993.

Metropolis, N.; Rosenbluth, M.; Rosenbluth, A. & Teller, E., Equation of state calculations by fast computing machines.J Chem Phys, 21(1):1087–1092, 1953.

Oliveira, G., Projeto Otimo de Robos Manipuladores 3R Considerando a Topologia do Espaco de Trabalho. Tese dedoutorado, Universidade Federal de Uberlandia, Uberlandia, 2012.

Oliveira, G.; Bergamaschi, P. & Saramago, S., Optimization of the workspace volume of 3r manipulators using a hybridmethodology. 19th International Congress of Mechanical Engineering, Proc. of COBEM2007 (CD-ROM), Brasılia,ABCM, 2007, p. 1–10, 2007.

Saramago, S. & Steffen, V., Dynamic optimization for the trajectory planning of robot manipulators in the presenceof obstacles. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, Brazil, XXI(3):371–383, 1999.

Tsai, L., Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators. 1a edicao. John Wiley & Sons, 1999.

Vanderplaats, G., Numerical Optimization Techniques for Engineering Design. 1a edicao. VR&D Inc., ColoradoSprings, CO, USA, 417 pages, 1999.

Yang, X., Firefly Algorithm - Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms. 1a edicao. Luniver Press: Cambridge, 2008.