S*cq{:ôn*ia* nurnórEe*sLlma função que associâ números nâturâis 1, 2,

3, . . . , n d núnero5 rears e oenominâdè, q Fn.," ousLìcessê0,

É usual indicar uma seqüênciâ âpenâs pelo seuconlunto Ìmagem, colocando-o entre parênteses. Porexemplo, a seqüêncÌâ:

(1930, 1934, 1938,... , 2002)

é a seqüênciâ dos ênos em que ocorreram campeo-nâtos mundiais de futebol. Fica subentendÌdo que1930 é imâgem do 1, 1934 é Ìmagem do 2, etc. Porissu, 1930éopr imeirorermodaseqüência,1934éosegundo, e âssim por dÌante.

Numâ seqúêncìâ qualquer, costumâ,se indicâr o0nne r0 iermo porar, o seg-.d0 ÌerÌ0 p0t oz, e âs-sim por diante. Desse forrna, uma seqüência dê r termos é indicadâ porl

(a1, a2, a3, .. . , an)

Hi siÌuaçòes em quê ê seqüencià e ^Í ̂ , Ìa. e arepresentaremos por (e1, a2, â3, ,,),

Em nosso estudo, os e ene^Ìo- oas \eqüe1ciã5serão sempTe númêros reais.

Formação dos elementos deuma seqüência

0s elementos de uma seqüência podem ser de-lerrnÌnados pela leide formação.

Vamos determinar os cinco pÍimeíros termosdã seqúénc à defrn dâ poÍ:

a =ln r2.nÉ\ '

o íepresenra o terro que ocupâ a n.éqimêposìção nâ seqúência, ern quê n = 1,2,3,.. . . Poresse Ínot ivo, c, é chamado terÌn0 :1efal dasequencla.

Atrib{rindo valores permitidos para n, encon,tramos os teímos orocL-ados:

n=1+a1=3 12+ 2 +a1= 5n=2:.è a2=3 ?z + 2=+ az= !4n=3+a3=3.32+2+a3=29n=4+a4=3 4z+2+a4=50n=5::+a5= J. 5.+ Z=as= / /:

Ass ír, â seqüencta píocurèdâ e:

(:5,14,29 50,72 )

outra maneira de deterrnìnarmos os elementosde uma seqüência é pela lei Ce fecc:.r-ênLìa. Essâ ei^os permire enconLrar um ter Ìo q-alquerda seqaén-cia a part ir do termo enterior.

Vamos construir a seqüência defìnida pelâsrelaçòes:

t"l-.'= "" -, ".1., t

N- G)

0eterminaremos o 29termo a paÍtìrdo 19, o39 a part ir dô 2?, e assim por diânte- Parâ isso,bâstâ âtriblrkmos vâlores para D em O:

n= 1 +a2= af + 2 +az= 5 + 2. :+ az= 7n= 2 +e3= a2+ 2 :+â3 = 7 + 2 + a3= In = 3 =a4= a3 + 2 =aa= I +? + a4= I tn =4+as =a4+ 2 +a5= 11+ 2 +as= 13

Assim, a seqüência procurâda é (5, Z 9, 11,

13,. . . ) .

Hffi Ël{1i1,{i:: il tl: ì f,} ïi; ffi. i I ,cre\à o\ qudtro pr imeiru, lcrmo\ dâ \egüèn

cì i ( le l r r rd.r poÍ an - J r /n-n_.ìc \

- .e jd i 'eqúe

. id def in.d; por d J rqn,

n € N*. Determine:

b) ar c) arÌ

:i. Uma seqtiênciâ é deÊnida, para n € N*, pelarelação ân = -37 + 6n. Verifique se os númerosseguintes pertencem à seqüência, deslacando,em caso afirmativo, süa posição:

a) -1 b) 46 c) 123 d) 251

.i. Construa, em cada caso, a seqüência defu'ÌidapeÌâ reÌação:

a) l " r ' ,n€N'la, .+ì=2.â, ,+3

b) 1" " - ,n€N*t â.+r = 2+xí

5i s.ju- 1u,,1 . 1U.1 auns seqilências defrnidas por:an= 86+7n e b.=104 3n,n€N..

a) Qual é o termo comuÌn às duâs seqúências?b) Qual é o le teÌmo positivo de 4o?c) QuaÌ é o le termo negatìvo de Õ.?

f, 1U. h Ouro Preto-Vr ' I c tamo\d 'eqüênrid ìu-

méricâ de FiboÍâcci é obtida por:

f (1)=f(2) = 1 e f (n) =f(n l )+f(n-2),pâran>3.

a) ÀpÌesente os seis primeiros tern'ìos da seqúéncia de Fibonacci.

br Frcr r.r i repre.enld\ro grrf i .r pdra n e \.

Frno rp cç11p e

ãt '{{ f f !#ïre as

l rogresrào arrl Ìnetica {PA.) é uma seqüênciâ denúTneros reâis em que a difeÍença entre um termoqualquer (a part ir do 29) e o termo antecedente ésempre a mesma (constante).

Essa constânte é chamada râ.àD. lâ PÀ. e éindÌcada porr. Vejamos alguns exemplos nâs progres-sões abâixol

De aco-do co-r o - inêlda -alà0, podemo. clds-sì Í lcar âs progressões ar i tmét icas da seguinteforma:

F' Ouando r > 0, cada termo é maior que o anterio[dizemos, entã0, que a PA. é qrescenle (verexem-plos em que r= 3 e r=4).

F- 0uando í 0, cada teÍmo é'renor que o ànrer'ondlzemos, então, que a PA. é decrescente (ver

exemÌl os em que r= - ier=-21.'Jt

È- Ouando r = 0, todos os termos dâ PA. são igLìais;dÌzemos, entã0, que ela é sonstanÌe (ver exem'plo em que r= 0).

Podemos obseÍvar ainda q!e, considerando trêstermos consecuìÌvos dâ seqü-Ância (1, 5,9, 13, 17,21, .. .), o termo cenlÍalé dado pela módiê êi i t Ìnéticaentre 0s oulros dors term0s:

(a1, a2, a);

0(1, s,9)

- I +q-2

(ar, a. , ao); (a3, aa,a5)

00(s, 9, 13) (e, 13, 17)

Temos:

È

(4, 7, 10, 13, 16, .. .), temos r = 3.

fo, 1,-3,-r, ì,".0.,= 1\ rJtr(-5, -1, 3, Z 11, ...), temos r = 4.(2, 7, Z, 7, ...), temos r = 0.(1s, 13, 11, 9, 7, ...), temos r=-2.

.^ 9+17--?

i : "3

"i'*1r,"lil i;lt:lil I r.:...r ir,r",

vamos ag0râ enc0ntrar uma expressão q!e nospermita obter !m termo qua quer dâ PA., conhecen.do apenas o l9termo e a razã0.

lsso é possÍvel graçes à obedlênciã dos terrnosde umâ PA. a uma regra especialde íormação.

Sejâ (a1, a2, aj, . . . , an) uma PA. de rezào r. Temos:

Determinemos x de modo que â seqüêncE(x + 5,4x - 1, x, - 1) seja uma pA.

UÌi l i /enoo d píoprieoâde oe médiè ê-itmeiicà(três termos consecutivos), podemos escrever:

'a) à,=T3 ar=â.+Í i

. â3 a2= r+ a3 =â2 + r+

. e4 Al=r=â4=ê3+T+

De modo gerâ1, o termo on, que ocupa a n-ésimaposição na seqüência, é dâdo por

, a"=a,+(n-1) r l

Essa expressão, conhecidê como i l i i r t l - ' i l , ilef i L, al, . : rÌ? a' l , permÌte-nos conhecer qlta quertermo dâ PA. em função de 01 e r. AssÌTn, por exern-plo, podemos escrever:

ãz=41+6r ârz=ar+11r aj2=ât+31r

Vamos calcular o 209 termo da PA. (26, 31,36,41,...).

Sabemos que a, = 26 e r=31 26=5.

UtiJizando a expressão do termo geral, pode-mos escreven

a2a= ar+ tgt . ) azl=26 + 19 5+â20=121

Vamos determinâr a PA. que possui as se-gurntes carâcterÍsticas: o 109 termo vale 16 e asoma do 59 com o 99termo é iguâla 2.

De acordo corn o enunciâdo, teÍnos:

la,"=16 iê +9r=16la5 +èq = Z l (a. + 4r)+ (a, +Br)= 2

fâ, + 9r= 16I2ar+\2t=2

Resolvendo o sistemâ, segue r= 5 e a1= 29.Assim, a PA. pêdidâ é ( 29,-24,-19, 14,...).

8x- 2 =x2+x+4+x2- 7x+ 6 = 0

,As raízes dessa equação são x = 1 ou x = 6.Podemos verif icar que, para x = 1, a PA. é

(6, 3, 0) e, para x = 6, a PA. é (11, 23, 35).

Vamos interpolar oito meios aritméticos en-Írc2e47.

Ìr , , , , , . , ou inserir oito meios arítmét,cusentre 2 e 47 sìgnif ica determinar oito númerosrêars de modo que se tenhâ uÍna PA. em quear= 2 e an = 4? e os oito números sêjâm a2,43, *, a9, C0mo mostrâ 0 êSqUemA âbaixol

(x+s)+(x 'z 1)

2È

r-.1L: .1! i-? | r

Daí:oto lêfmos 109lermo

afi = ar + 9(.+ 4? = 2 + 9r=+ 9r = 45 = r= 5

Assim, a seqüênciã procúÊdaé (?,?,12,17,22, 27, 32 , 37, 42, 4?) .

Vamos descobrirquantos múlt iplos dê 3 exis,tem entre 100 e 500.

Aseqüênciâdosmúlr ip losde3 (0,3,6,9, . . . )e Jmè PA, de .a7ão 3, mas o que nos inte.essa eestudar essa seqüência entre 100 e 500.

Parâ ìsso, temos:

. 0 pr imeiro múlt ip lo de 3 maior que 100 éal= 102

':, :l

. 0 últ imo múlt iplo de 3 pertencente ao inter"vâlo dâdo é 498, que ìndicaremos por dn, porsnèo conhecemos sJà posrceo na seqÜenciãAssìm, an = 498

flelonà1do. queÍenosdeterT nât 0 numPr0de termos (n) de seqüência (102, 105, .. . ,498).Peìo termo gerâl da PA., temosl

âh=41+ (n- 1) r498=102+(n-1) 3+n=133

Portanto, há 133 múhipÌos de 3 entre 100e 500.

aiffi l::',,i,: i i.. 1,,.. ì 1.,: ;:; ififfi&.Xffi4,

" Quais as seqúências que representam progres-sões alitméticas?

a) (21,25,29,33,37,. . . )

b) (0, -7, 7, -14, r4, . . .)

c) ( 8,0, 8, 16, 24, 32, .. .)

, , / t I , a 5 , \- \3 ' l ' l ' l ' - /

e) (-30, -36, 41, 45, .. .)

t) (fe z.fe:ú, +rZ ...t

Dclcrmined rdlào de..rda u rra J.r ' prugrc"or.

íÍitméticâs segujntes, classificando as enl crcscente, clecrescente ou constante:

a) 138, 35, 32, 29, 26, . . . )

b) ( 40, 34, 28, 22, 16,. . . )

, / r Ì Ì r \- ' \7 ' ,7 ' ,7 '7 ' , - ld) (90, 80, 70,60, s0, .. .)

\ f I

| ( \ l i 2, . /5,1,1f3, \5+ r , . . . )

. I -nÌr( la\aod P.A..5 ' .44. t r , .28. . . . .dercrrr ine:

a) seu l8lteÌmo b) ale + a-

l!.-t.i. Em uma PÀ., o 7r tenìo vale -49 e o 1! tern'Ìovale -73.

a) QuaÌ é a mzão dessd PÂ.?b) Qualé o seu 16! termo?

c) Qual ê o seu 19 termo positivo?

i, Ì" , iscreva a expressão ilo termo geral das seguin-tes prcgressões aritméticas:

a) (0, 5, 10, 15,20, . . . )b) (-4,2, 8, 14, 20, . . . ). l (83, 79, 75, 71, 67, . . . )

' on' idere a 'equercia de numero. Inleiro\ epositivos que são múÌtipÌos de 3.

a) Qual é o termo geral dessa seqüêrÌcia?b) QuaÌ é o 60e termo dessa seqúência?

Escreva a PA. ern qr.re o 49 termo vaÌe 24 e o 99

, Em un]ê PA. a3 + âs = 14 e a; = 2âro + 88.D€tenÌine:

â) a razão dâ PA. b) u,

Escteva os quatro pimeirostermos <1e uma PA.em que o 39 tenno é o quádrupÌo do l9 e o Ì09termo é -116.

I i., Em um treinanento aeróbico nensal, umestu-dante de fdu. rçao f i ' i , , r . orre.enrore J .ninLr

tos a mais do que correu no dia anterior. Se no59 dia o estudante corrcu 17 minutos, quantotempo correrá no 129 dia?

, O flnanciamento de um imóveÌ em dez anos pre-vê, para cada ano, doze pÌestações iguâis. O valorda prestação mensal em um determinado âÌÌo éR$ 20,00 a maìs que o vaÌor pago, mensaÌmente,no ano anterior. Sabendo que, no pÌimeirc êno,r pre' taçao men'aì era de R$ 200.00. derermine:

a) o vaÌor dâ prestação a ser paga durante o59 anoj

b) o totaÌ a ser pago no úÌtimo ano.

.. Os aprovados enr um concurso púbÌico fomm,ao Ìongo de um ano, convocados para ocuparos respectivos cargos. !m jaÌ1eiÌo, firram cha-madas 18 pessoasj em feverejrc, 30; em março,42, e assim po. diante.

J\ Qu Inld ' p( ' ,uJ, loranr con\ocJd, i \ no Ine'de agoslo?

b) Quântas pessoas foram chamadas no úÌtiÌno trimestre do âno?

,i.í.i, Em cada caso, a seclüência é uma PA. DeteÌmine o vaÌor de :r:

a) (3x 5, 3x + 1,25)ìr) (-5 x, x + 2,4x)c) (x + 3, xr,6x + l )

È

I -.: ;,

?L1, leterm;ne, em cada caso, o nilmero de Ìermosdâs seqüências âritméticas:

a) ( Ì31, 138, 145,. . . , s65)\

h) 12,+,+, . . . , r8 l\ r r I

âL.lm uma PA., a sona do 89 com o 10! termovale 83.

â) Determine o vaÌor da soma do 5! com o13'l terno.

b) QÌraLé o 9! termo da PA.?

a) 6 meios entre 62 e 97jb) 8 neios entre 52 e 16.

i1,ì. qun"tor números ímpâres existem enrre 72e 4ó8?

i1.4.. Quantos múltiplosde5 existcm entre 122 e 934?

il Ii" tr""."t-sp)â) Quantosmúltiplos de t háertre ì00 e 1 000?b) Quantos múÌtipÌos de 9 ou 15 há entÌe Ì00

e Ì 000,

ãì . r f i n- o. o,Èu. ' - r , r .onvocdçro do. tun(.ôn.rios de LÌma empresa paÌa o exame médico, de-cidiu-senumerá los de I a 500. Na pimeÌrasemanJ. Íôrrm convocado, o. fun, ionar io ' cujo.nÉmercs representavâm núÌtipÌos de 2 e, nasegunda semana, forarn convocados os ftincio-nãrios identificados por múÌtiplos de 3 e queainda não haviam s;do chamados. Qual é o número de funcionários que não hâf iâm siclo con-vocados após essas duâs semanâs?

:: Í . aor. ,dere J PA. í log 2\ . log 4\ . log 8\ . . . .1. emquex>0.

a) QuaÌ é a razão dessa PA.?b) Determine o valor de-r sâbendo que seu 10r

termo vale 3. (Use log 2 = 0,3.)

PL1. Duas lojas Á e B ofeÌecem â seus cÌientes o mesmo produto. Em um certo lnês, venderâm,.espectivamente, 134 e 231 unidades desse procluto. Suporüa que, a pârtir daí, o número deunidrdes menvi. vendida, nas lojr , Á e I r a. iesegundo piogressões arjtméticas de razôes 5 e 3,respectivamente. QuaÌ é o número mínimo deme\c\ nece..ar i05 pJr, i que r\ rendi. ' Ìcn.r i ,

i . ï . Lrc l<r_Ìrne r . ì l r Ì ì de qJe , t ' " t \ " /

log, (x + 4)) seja unla PA. Qual é a mzão?

; - ì i t t - -r l , \ ,cqu<nci.rde numero, i | | te i-o, po. i -tivos ar = 1, nr, 3. 6511 çm progressão âritméticâ com razão positiva. CaÌcule o menor valor deaÌ + a2 + ar para que a c!Ìua@o a1x2 + arr + a,, = 0tcnha du,ìs Ìaúes reais e distintâs.

È

lì P " Em cada caso, faça a inrerpoÌação aritmética d", ltlOtaçâí O íi S l3*{:[ â j

I4uitas vezes desejarnos determinâr uma PA. apàrl ir de Ío .nêçdes solrÍê 5eu5 e erìet toì.

Como jé vimos, pêla definição de PA. poctemosenconlrâr uma representâção convenÌente que nosfacÌ i te a resolução de alguns problemas.

a) Para três termos em PA., podemos escreven

(x-r , x, x+r)

b) Para cinco termos em PA., podemos escÍeven

(x 2r,x-1x,x+r,x+2r)

c) Pa ra quatro termos eÌn PA.,êfim deobtermosumãreo ecenÌacao ì -retncè. podênos -ier oseguin-te anifício:

(x-3U, x g, x+9, x+39)

em que r= (x V)-(x-39), istoé,Í=2"

Vamos construir uma PA. de quatroriermosem que a soma dos dois prìmeiios é -7 e â dosdoi- i l Ìr-no\ é 29.

0s termos procurâdos são (x - 3U, x v,x+ g,x+ 3V).

u=l "

Do

(x-("*

Re

o enu

-3u)+9)*

esolvl

IZX 4u=-/

|2r+Ar=2q

-729

lÌçã

vem:

r adÌr

c):V)

por

)ado

(x_ |(+3

dop

ìunc

t)*(+(x

Iven(

deÁ uÌtrapassem as de B?

ffi exerç!cr$s1 . À soma de três nirmeros que compõem uma PA.

é 72 e o produto dos termos extremos é 560.

Qual é a PA.?

32. Asoma dos quudrudos de trés númerosem PA.

dccrc 'cente e l20 e o l1 lermú e igur l " 'omddos outros dojs. QuaÌ é essa PÀ.?

5J.0 lningúo retangulo r \ao Ìâdo tem peúmeüo \-. _96 cm e área 384 cm'z. ,

i '\

OuJi\ sro 'ua' Ì Ìedicuì\, se r\. y. z, e. nessa - - - vordem, uma PA.?

jã. Lm unra PA. de qrrdLro lcrmo' . , ì .^md do' düi 'primeiÌos é zero e a soma dos dois últimos é 80.

Qual é a razão da PA.?

,45. o\ coef ic ienle\ d. ò. r dr equr! ;o dc .)9 grduax'z + bx + c = 0 são, nessa ordem, tellÌos deuma PÀ. de razão 2-

a) Mostre cÌue essâ equaçào adnrjte raízes reaÌspara exatamente 4 valoles inteiros de ú,determinando os.

b) Para cada vaÌor encontrado no item ante-rior determine as raízes dâ equação.

Ë

Soma dos n primeiros termos de urnâ RA.0bserve a seqúência dos cem primeiros números naturais posÍivos: (1, 2, 3, . . . , 100). Ìrata-se de uma

PA. de ralao I.Suponhamos que sê queira calculâr a soma dos teÍmos dessa seqüência, islo é, a somâ dos cem primei

ros números naturais.Temos:

S=1+2+3+.. .+100 O

EscÍevendo O em outra ordem, vem:

S=100+99+98+.. .+1 @

Fazendo@+ @de acordo com o esquema abaixo indicado,vem:

,O, S - L + 2 t 3 ' . . .'@ s - roo - 99 r 98 - . . . 1

anIef l0Í , Iem0s:

o5"=-€) sn =

J1101 + ... +

j i

101 + 101I

101 + 101

Assim,2 5=100 101.

. 100 101 , ^-^' -zDemodogeral,seãseqúência(a1,a2,43,... ,an z,ân 1, a J é u mâ PA. de razão r, podemos escÍevê-la na forma:

(a1, a, + r, a, + 2r, .., an - 2r, an r, an)

Vamos calculaia soìna dos n primeiros têÍmos desse PA., que indicaremos porSn. Repetindo o raciocínio

a" + (a, +,rf + (.a1+ 2'r) + ... + (a^-2fl + (a^,fi + a"a^ + (a^ ,rf + (a^-pj + ... + (ar+2fl + (a"+.{ + â1

-l*----j -l--.----i* '-"---r- '-(ar+a^) + (ar+a) + (ar+a")2 S" = (ã1+a") + (at+a") + (ar+a) + . . . +

í17

Notemos que o cálculo da soma dos n pnme rostermos de uma PA. depende do conhecÌmento dol9termo da PA. (oJ e do últ imotermo a sersomâclona PA. (oJ.

Em relação à sêqüência dos números natu-rars Ímpafes, vamos calculan

a soma dos cinqüenta primeiros termos;e somâ dos n primeiros termos.

A seqüência é (1, 3, 5, 7, . . .), com r = 2.

aso =â1+49r=aso= 1 +49. 2 =+ asa =99

' : : Pard J LUmDTJ de unrJ l \ poJ( ìe op.dr porum dos planos seguintes:. Plano alfa: entrâda de RS 400,00 e mâis t3

prestações mensais crescentes, sendo a pri-meira de Rg 15,00, a seguDda de R$ 50,00, aterceira dc R$ 65,00 e âssirn por dìante.

. l l . ,ao ber. , : aL ì , , ( ore.rJ\ôe, In.n,. Ì i . iB , ì i \a R$ 130,00 cada.

a) Em qu;rl dos pÌanos o desemboÌso totèl émaior?

b) QLraÌ deveria ser o 1'alor da entrâdâ do plâno aìfr p: a ,1u< marrrrd-, r ' J, r . rai , . nn-Ll i ,nc.. o, dc,. rnhUl.o, .or i i , rô, .(m equ,-vaÌeÌÌtes?

Na PA. (68, 62, 56, 50, ...), enconíe a sorÌa dc

a) seis primeiros termos;b) quatro dÌltimos termos, adnitindo clue a

seqúêncin tem dez termos.

I m unra . :dac<, | 2Orr tJrnr ' . ì . c i renr(. In,creveram se em um programa sociaÌ desenvolvidopeÌa prefeitum. Por não haver a verba totalinÌeclnta necessária para implementar o programa,decidir-se atender 180 faÌnílìas no primeiro mêse, en1 cadâ n]és subseqüeüte, t5 famíÌias ê menos que o número corÌespondente às famiìiasassistidâs no més anterior.

a) Quantas famílias foram atendidas nos trêsprìmeiros mescs do progrâma?

b) QuâÌaporcentagenì defaÌníliâsinscritas']Aoassistidas ao ÊnaÌ de LÌm ano?

CalcuÌe:

l l iJ,5 + 0,8 + 1,1 +.. . + 9,2tr j 6,8 + 6,4 + 6,0 + . . . + ( ,14)

,rii.. e soma clos n prìmeiros termos tle urna pÀ.

é dada por S,, = 18n 3n,, sendo n € N*. Determine:

â) o lç ternlo da PA;b) a râzão da P^;c) o 10r terÌìro da PA.

rrill Uma cÍiêrìçâ orgaÌlizou suiÌs 1378 figurinhas,colocando 3 na primeiÌí fileiÌâ, 7 nâ segundafileira, 11 na terceirâ filcira e assìm por diante,até esgotá,lâs. Quantas fileirus a criança conseguru tomâri

2 S"=(er+a.) n+ I S"=(41+ anJ n I

2

â)

sso = ld+dilq = sso = laïIlq

Sso = 2 5oo

b) a"=6ra(n 1).r .àa"=1+(n 1).2an=-1+ 2n

Da Í:

s"= (41+ aJn +s"=

Podemos veríficar a resposta encontrade no itemb do exemplo 9, atr ibuindo valores para n (n € N,n>1):

. n = 1: a seqüêncÌâ é (1) e, assÌm, 51 = 1z = 1.

. n - 2:d sequènc ã e ( l , 3) , cuiâ sona e S -2 4.S=4

. n = 3raseqüêncìa é.(1,3,5),cujasomâé53 = 32=9.

â)b)

. r i; , CaÌcuÌe a soma dos quìnze primeiros termos daPA. (-45, 41, 37, -33, . . . ) .

::- : ::

43 , Co- u- fio de co-primento -L constói se umaseqüência de 16 quadÌados em que o Ìado d€câdâ quadrado, a partiÌ do segundo, é 2 cmmaior que o Ìado do quâdrado anterìor. Sabendo que pâra a construção do sétimo quadrado

são necessários 68 cm, determine o valor de L.

:r ' i , Quantos termos da PA. (140, Ì34, 128, 122,. . . )devemos considerar para que a soma dos pri

a) iguâl â 1634;b) i$1al a -350;c) um númeÌo negêtivo.

45. 1uf-cr) u-o ptogressão aritmética é tâlque a

somâ dos '?

pdneiros termos é f, lara todo

ìnteiro po' ìr ivo r . Determine a pro8re\\ão.

46. q"ule o vato. d.1ogro,, (10]}.105 103 ... 103':X

47. Considere um triângulo eqüitátero TÌ de lado íProlongando se en 1 cm cadalado de Tr obtém-se o tiânguÌo 12. Prolongândo-se em 1 cm cadalado de ?r, obtém se o triângüÌo Ïr, e assìm süces-

sivamente, âté constÌüirmos o tdângulo Ir2 De

teÌmine í, sabendo que â somâ dos perimetros

dos doze triângulos assim constrúdos é 342 cm.

4 8, 1ur n1 r"tp. .o-eça a escrever nrimercs Íatu rais em uma foÌha de papel muito grande, Ìrmal inha apos a outra. 'omo mo'tradu a 'eguir :

Frogr*ss#esgeÕmétricãs

0bserve a seqüêncìa:

(5, 10, 20, 40, 80, .. .)

Notemos que, a part ir do 2q teÍmo, dividindo um

termo qualquerdessâ seqüência pelo seu anteceden_

te, o resultado é sempre Ìguala 2:

e assim por diãnte.Temos também que, considerândo três termos

consecutivos dessa seqÚência, o quadrado do ter_

mo central é Ìgual eo pÍoduto dos outros doìs. Dize_

mos que o termo central é a mécila gecmétrríì3 dos

extrêm0s.ASStm, Ìemos:

(ar, a2, a3) <+ (5, 10, 20) e 10'z= 5 2o

(ar, a3, a, <+ (10, 20,40) e 20r = 10 40

(43, aa, a5) <+ (20,40, 80) e 402 = 20 B0

DefiniçãoProgressào geoméirica l .PG.) é â seqüência de

números reais não nulos em que o quoctente entre

umtermo qualquer (a partÌrdo 29) e otermo ãntece_

dente é sempre o mesmo (constante).

Essâ constante é chamada razão da PG. e é

indícada porq. 'Vejamos alguns exemplos:

. (4, 12,36, 108,...) é umâ PG. de razão q = 3.

. ( 3. 15, 75. -375, .. .) e umã qG. de râ7ao o - 5

. (22 9, 3, 1, . . .) e ume PG. de razào q +.'J

. (2, -6, 18, -54, .. .) é urna PG. de rezão q = 3.

> 0uando q < 0, dizemos quê â PG. é alternacia ouoscIanle,

> Ouando (ar > 0 e q > 1) ou (41 < 0 e 0 < q < 1),

a PG. é crescente.

> 0uando (a1 ) 0 e 0 ( q < 1) ou (ar < 0 e q > 1),

a PG. é decrescente.

r

a 1_0 z . , -4 z è4 .40 .e,5-al0-aZa'

l23 4345674 5 6 7I9105 6 7I910 11 l2 13678910 1Ì 12 13 14 15 16

Considerando que Felipe mantenlÌa o padúo

adotado em todâs as Ìinhas:

a) determine quantos números naturãrs ele

escreveú na 501Ìinha;b) determine a soma de todos os núúeros es

cÍitos na 501 Ìinhajc) prove qué a soma de todos os elementos de

uma linha é sempre o quadrado de umnúmero ímpar.

49 . calcul" o ,'ulor de:502 - 492 + 481- 472 +.. .+ 22 lz

1:"1

- ì : ' r . , ' Ì . . !1 . , t . . . í .

Vâmos âgorê encontrar uma expTessão que J.ìosperm ta obter um tefmo quêlquer da PG. conhecendo apenas o 19 termo (o) e a razão (q).

lsso é possível graças à obediência dos terrnosde uma PG. a uma ei especia de formação:

Seja (a1, â2, a3, .. . , aJ uma PG. de râzão q.Ìembs:

ar :"-- ' "- - ' :

a, i ' - ' - -" -:=q=a3=a2 q=,4:=âr.9.

ì {=q-6o=6. q- la, = a, qrdì . : - l l

: : :

De rìodo ge'dl, o tet ro o . q .e ocupd ê n.es rèposrção na seqüêncÌa, é dado por:

â^=a, qn 1| - -.-:. _: I

Essê expressã0, conhecida como i:,r,r: :r r ' l : :_jì . . t : ' : ì , ;r : t : , , permite-nos conhecer q!alquer ter-mo dâ PG. em função do 19 termo (oJ e da razão (q).

ASStm, Ìemos:

as=âr-9s ârr=ar '910 aae=âr 'g26

e âssim por dlante.

Numa PG., o 49 termo é iguaÌ â 32 e o 19 ter-

mo é iqualâ+. Vamos deterÌninar a razão dâ PG.

e, em seguida, obterseu 89termo.Como ao=ar-ql , vgnì;

.- -L. .=7 9 ' -q '=b4-q=4

usand0 novâmente a expressão do termogeral, determinemos o 89 termo:

aq =àr. q ' 3 ae ==.4'- à,= = 12..)- l " l

èÊ=-= =ae=2rj=BI92

16 ' ' - -

. Pàrâ q = 2, subsÌiÌr-t ndo em Q, vemr

ar '2?.(1+22)=

' Para q = 2, substituindo em O, vem:

a1(-2)'z [1 + (-2),] =+=+a1 =

eaPGé(+, ++,-+ )

Vâmos determinarx ã f im de que a seqüência/ ovl( \

L _-, x + 1, X- Z ISetâ Uma rLr.1

[Jt,Izd.do a proorieoède ctê mécJrè geo.rìer.ica(três termos consecutivos), podemos êscrever:

x+1 x-29x+5 x+1

2(x o t)'z = (^- 2) ÉI4l

\? l7xt L?x- 12=0

Dividindomembroa membro @ por @ vemr

541

do 39

99ter-

Vamos construìr a PG. em que a soma

com o 59termo é+e a soma do 79com o

terrno é 20_Do enunciado, vem:

Ía3+es=; + far92*a'q+=!

lar+as = 20 ' l a1q6 + a, ,q8 = 2O

. fa,qzrr*q '1=] 6-- [ " ,q ' r r*q1=zi g

I

ç1

4'16

1\eaPG é(*,+

t16

l . "

As râízes d essa4

equação são xj = 3 e Temos:

f

er =â1 q6+ 4BG =e. q6+ qE = 729+q =13

. e"ra q = :, " ec. e (f, z, a, rs, sa, rsz, +es).

. Para q = -3, a PG. é:

(-f ,-2,e, re,s+, roz,+ae)

parax=3,aPG.é(16,4,*,(-+';'-+)I Verif icãndo,

ç'^r.*= l,^

Vamos determinertrês núrneros em PG- cujoproduto seja 1000 e a soma do 19 com o 39 ter-mo seja iguala 52.

0!rândo queremos encontrar três termosem PC. e conhecemoq àlgumds in iormaçoessobre eles, é interessante escrevê-los ne forme

l1,x,x qì .\q I

Do enunciâdo, vem:l -+ x 'xq= 1000=xr= 1000-x= 10

11* " .q

= sz '10 19116q = 52 .-qq

[+ 10q'z- 52q + 10 = 0

Resolvendo essa equação do 29 gra!, vem1,

q=:ouq=5

- l. rarã q =t, temos (5U, lU, Z ).

. Para q = 5, temos (2, 10, 50).

Vamos intefpoler cinco meios geométncos

entre + e 486.

Devernos formar uma P6. de sete termos na

quâla j =:e à? =486:

/) \{+, - , - , - , - , - .486 |\J

- ,J /

iffi ?:ll:i',*i'{..ï1-, iü::Ì ffilili ldeltificlue as seqtlências quc rcÌìfesen!ânr fro

gÌessões geonìótricas:

a) (3, 12, a8, 192, .. .)b) ( 3, 6, 12,24, 4s, . . .)c) (s, 15, 75, 375, .. .)d) (ú,2,2ú 4, . . . ). , / r r Ì r \cr L --

- , : , . . , , . ,1

t+l

r ) 1. ,112ú,3úaú.. . )

: .i . CalcuÌe â razao de cada una das seguirtes progrcssoes geonìet cas:

a) ( Ì ,2,4,8, 16, . . . )

b) ( loro, 1orr, lo] ] , 104' i , . . . )

c) ( 2,8, 32, Ì28, . . . )

d) (5, -s, 5, s, 5, ...)c) (80,,10, 20, 10, 5, ...)f) (ro r, ro-r, 10 r, tor,...)

f r r r . lac"^. . PL. | 4. 1u. . . . ' , ( rcrmi ( :

a) o 6! lenno b) o 8c termo

. Lr ' r lc r ì rd(un_JPG.. I .ot . lcr .oct .l5 l l

Qual é o 2!ternÌo dessa PC.?

ii,r;. Em uma PG. cresccntc, o 19 teÌmo \laÌe 80 e o79, 5.Quâléseu 19termo?

' : Dctcrrr ; r ìe. Ddar c. ìd. ì .cqLr i , ì , iJ .eg.r inr<. ; <rpÌ€ssão de seu t€rmo gefalì

a) (2,6, 18, sa, . . . )b) (3r; , i r4, i r Ì ,3Ì3, . . . )c) (-2,8, 32, 128,. . . )

I .:-:.::

5 6 . Uma úvida deverá ser pagâ em 7 parcelaLs, de modoque elas constituam termos de uma PG. Sabe-seque os \'ãÌores dâ 39 e 6s parcelas são, respecti\râmenle. R$ I44.00 e R( 48o,00. Delennine:

a) o valor da 1+ parceÌa;b) o vaÌor da úÌtima parcela.

sJl5'[ , O número de consulràr a um r i /e de comer! io' eletrônico aumenta semanaÌmente (desde a

data em que o poÌtaÌ ficou acessível), segundouma PG. de razão 3. Sabendo que tla 6+ semand Íôrdm regictrada. | 458 \ isr td\ . derermìneo númeÌo de visitas ao iit€registrado na 34 se-

58, Considere a seqiiência cujo termo geral éa. = 0,25 3'', PaÌa n € N*.

â) Veriflque que (a") é uma PG., calcúlando

b) QuaÌ é o vaìor de a. + aa?c) Determine o menor valor de /r de modo que

an > 1000.

S9"Xscreva a PG. em <1ue o 2f termo vaÌe 200 e asomâ do 19co1n o 3!é 1040.

60.Apopuìaçao de algas cobriâ parte da superfícietìe um lago, ocupando uma árca de l0 000 m'?.Erh um certo rno. a agua do ì ;go foi contaminada por um materjaÌ quírnico que reduziu apopulação de algas, de modo que, em cada anoseguinte, a área coberta peÌas aÌgas passou a

reDretenldr ' a (ou 909o1 dd. lred cobeÌtJno' t0

Qual é a diferença, em m2, da árca coberta pelacolôniâ de âlgas do terceiro pâra o quarto anoapós a contaminação?

{!1. Considere um4 seqüência de quacìrados Qr,Q2, -., Q16 de modo que a área de cadâ qüaalrâdo, a partir do segundo, sejê o dobro da área doquadrado anterjor.

a) Determine a medida da diagonal de Qn,sabendo qúe o perímetro de Qo é l6rD cm.

b) QuaÌ é a razão da seqüência que representâas medidas dos Ìados desses qúadrados?

62.Para cada PG. seguinte, encontre o númerc de

a) (23t, 23t , 2Je,. . . , 2tr1)

. , / \ t r115ì\" ' \ü 'n 'Br ' " ?D)

-, I r I r 64\' ' f ì ro ú ' - ro ' 15 /

63. TnterpoÌando-se seis meios geométricos entrc

20 000 e:500, detemine:

a) a mzão da PG. obtida;b) o 4e termo daPG.

64. Em cada cu"o, u seqüênciâ é umaPG. Determi-ne o vaÌor de :r:

a) (4, x, 9)b) (x '?4,2x+a,6)c) (-2, x + 1, -4x+ 2)

65. Subtraindo-se um mesmo número de cada umdos termos da seqüência (2, 5, 6), ela se transforma em uma PC.

a) QuaÌ é esse númeto?b) QuaÌ é a razAo da PG.?

66.Iscreva três números em PG. cujo prcduio seja216 e a soma dos dois primeiros termos seja 9.

Ë7. (Vunesp-SP) Várias tábuas iguâis estão em umrmadeìreira. A espessura de cadâ tábua é 0,5 cm.Forma-se uma piÌha de tábuas colocando-seuma tábua ì1a primeira vez e, em cada uma dasreze. ,eSuinler. t , . rnt , : , quar i rd5 iJ e, te jdm nipilha.

pilha nâ ll vez piha na 2? vez piha na3, vez

DelerÌ ì ine. ao Êrdl de nove de\.d\ operáçoeç:

â) quantas tábuas terá a pilhalb) a altura, em metros, da piÌha.

6 8" Os rrúmeros qo. ..pressam âs medidas do laalo,do perínetio e da área de úm qüadrado podemestar,nessa ordem, emPG,? Em caso afrr-mativo, qual deve ser a medida do Ìado do<luadrado?

t

ti.ê3

rIïiì (rrunesp SP) Consjdere utntriânguÌo eqiiiláteroIr de árca 1613 cmr. Unindo-se os pontosmédios dos Ìados desse trìângulo, obtém-se umsegundo triângu1o eqüiÌátero L, qÌre rem ospontos médios dos Ìados de ?r cono vértices.Unindo se os pontos n,édios dos Ìados dessenovo t ânguÌo obtém-se unl terceiÌo trìânguloeqüiÌáteÌo ?r, e assim por diante, indefinidâ-nÌeÌÌte. DetermiÌ1e:

a) as medidas do Ìâdo e dê êltura do triânguloTì, em centiiÌetros;

b) as árcâs dos triânguÌos I, e Ir, cm cm,.

' Det<rmine ì d f i Ì Ì de que a ,equeìcir/ / r \ ìY - - \l l - l | " .4 ' l , ; . rumdPc.QualeJrJ. ,do\ \ / / I

dessa PG.?

I la Í: "1 i n a r; r"i o ;ì iì itr f : :-ì,,'1-! ! : i cr": it i i-r r.r..'í:n-i ir.,X. rl fl.{;

Há vár ios problemâs que envolvem, s imultanea me nte, seqüê nciâs a rit m éticas e geométricas. Pâ raresolvê-los, em gerâ1, usamos a propriedâde íunda-nênralque ca ècteri/d ' ada umè oessès qeqüèncias.

Quando x = 5, em @, encontraros g = 10;assim a PA. é (15, 10, 5) e a PG. é (3, 12, 4B).

Quando x = 12,2, em O, encontrâmosg =-1,1eteriamos a PA. (I5,-L,1,-17,2),quenão possuitodos os termos pos it ivos. Assim,esse câso não ocorre.

' i À seqüêÌÌciâ (8, 2, a, b, . . . ) é LÌma Ì 'G. e a11\

sequcncja lb. - : ,

c, . . . le umr P{.\ ru

a) QLÌal é o vaÌor de .?b) O número d pertence à PA.? Em caso afiÍ-

mativo, quaì ó a sua posição nessa seqiiência?

i::r'|. Sio dadas tÌuas progressões: urna PÀ. e outraPG. Sabe se que:. ambas têm 3 termos positivos;. em ambas, o 21r tetnìo é 8;. o 1! termo da PG. é igüal ao 39 termo da PÁ.;. a somâ dos t€rmos da PG. é 42.

QuaÌ é o 1! termo da PA.?

,i"l Em uma PA. nao constante, o 201r termo vâle105; sabe se que o 3!, o 51'e o 8! terÌnos dessâPÀ. são, sucessivâmente, os três primciÍos termos cle uma PG. Determine:

a) a razão da PG.;b) o 49 termo da PG.

{ 'equènciJ íà. b. l2 l e um,r P C. c . vqièni i l(16, b, a) é uma PG. Determine os valores de

i ' r Selam duas seqüências (a,,) e (b"), n e N-,dadas por a" = 3n + 4 e b" = 2". Verifique que(a") é uma PA. e (b,,) é uma PG., caÌcurancro

. rUF \( Sciam ,r , . rnra prng-e\\ io gcomelr i .a e íb, ì urrd proBrc. \ . o Jr i l rnel i .J ruj . ì

r . r /ao c l -0 d.r raz ro d l roÊre*ro g.ume

tricâ (an). Sabendo que a1 = b, = 2 e que a, = br,caÌcule a soma b, + b, + ... + br.

Vamos encontrar x e g de modo que â se-qüência (15, g, x) seja uma PA. de termos positi-vos e a seqüência (x 2, 12, 59 - 2) seja ume PG.

. se 115, u, x)e pA.. enrao u = 411 aD.z-

. Se (x 2, 12; 5V - 2) é PG., então12'? = (x-2). (ss ?) @.Substituindo @ em @, encontramos:

tqq= l ' -z l I 5x ! t5 z\\ t l

5x2+61x-430=0,x=5

tr= 12 321+x= -o '*" ' ( ou'x_ I7,Z

x4'1

-:qc i"n e r:lts n prirneiros ternìosrliÈ Ui"Íìã È'" tr.

Seja (ar, ar, . . . , a) uma PG. de razão q + 1.

oueremos encontrar uma expressão para:

tS,-aÌ â/ra . . . r aÍ_. âni( ,

r*r.*;;;;;.'ïo.l*,""'*.de acima e lembrando.a íormâção dos elementos deuma PG., vemì

q Sn = q(ar + ar + ar +. . . + an r+a)-=at q+a2-q+a3 q +. . .+ an 1 q+ên q

f

l--L-1,1-1-l 3r---: 1j 1 q I @Fazendo @ - @,temos,

q S, S, G -ar+. . . -an 1-an-an q\-

-(atüi+/+. . .+4 t+Ã)S" (q 1)=a" q 6,t

Como ân = a1 qn 1, vem

S" (q 1) = atqn I q - a1, isto é,

S. (q-1)=a,qn 3'1 ^ a,(q" - 1)' q-1

Àffi ffi,*l'üiillüs tuí , - . -alcuìe J ,oma do,,er, pr imeiro, termo.

PG. (-2, 4, 8, . . . ) .

I rr . ' arcurc a (omJ oo\ oe7 pf l .netro\ te-mo\PG. (n, m2, m3, ...) para:

a) m= Ìb) m=2

. l'2

ixfi. CuÌ..,Ie a somu dos oito primeiros ternos decada PG. seguinte:

a) (81,27, 9, . . . )

. , / r r l \" ' \ rooo' too 10 /

ãì ü " lona l,tarta reÌacionou, desde o começo do ano,seus 8a$os semanals no supermercaoo, comomostrrÌ a lista seguinte:

da

p- 0 cálculo dã somã dos n primeiros termosde uma PG., como vemos, depende doconhecirnento da razão da PG. e de seu 1sterm0.

l- \o1e que a eÍpíe'5ão enco"t.àdà é válioaapenaspâra q + 1.Seq= 1,â PG.temtodosos terÍnos iguais entre si (ela é constânte).Desse modo, se quisermos determinar ovâlor da soma de seus n primeiros termos,assrm procedeÍemos:

sn=ar+ar+.. .+3n ql

=:r Sn = ar + ar +. . . + ar + Sn=n.at

..avr"at\4 1: E1 ?QLeQt!!,::r.):!j 2: Í<+ 14.oQ.ew"t|^Ã 3: T?:+ aa,2a

e êssim por diante, dúrânte as quatoÌze primerras semanas do ano.

QuaÌ foì o total de gastos de doÌ1a Marta noper iodo mencionado? / t

'e a,rpror i rnacao1,057 = 1,4.)

3.Jì,*

i r

81. (un pa) Um cârro, cujo preço à vista éR$ 24 000,00,pode ser adquirido dando-seumaentndâ e o restânte em 5 parceÌas que se en-contram em progressão geométrica. Um clien'te qÌre optou por esse plano, ao pagar a entrada,foi informado que a segunda parceÌa seria deR$ 4 000,00 e a quaÌta pârceÌa de R$ r 000,00.QuànLu e\\e cl ienÍe pagou de entrada na aquìsição desse carro?

8?. Seja a seqriência defiÍida peÌo termo geraÌ

a- =*,n e N' .

QuaÌ é o valor de a. - ao?QuaÌ é o vaÌor da soma dos seis primeirostermos de (an)?

13 . (Vunesp-SP) Da<1o rqr = 1, uma seqúência ale números x1, x2) x3, , . . sât isfaz â condiçãox" - à\ r , pdra lodü inteìÍo n L em que d euma constante não nula.

a) Quando a = 2, obtenha o temo ÌÌr dessaseqüência.

b) Quando a = 3, caÌcuÌe o vaÌor da somâxl + x2 +., . l - x3,

84, t Ín Lrm Ld\ ' ino. exi \ le umr miquinJ ca\r-nr-quel em que o prêmio pago ao âpostador é vintevezes o valor da aposta, Começando com cncocentavos de dólar, úm tuÌista jogou oito vezessucessivamente, quadriplicaldo, em cada aposta, o vaÌoÌ da aposta anterior.Suponha que esse turista tenha"vencido" a 11, â41e â 5i rodadas. Determine:a) o valor total investido nas oito .odadas;b) a quantia recebida peÌo tuÍista e seu Ìucro

(ou prejuízo)jc) o seu lì.rcro, caso tivesse desistido de jogar

após a 5? rcdada.

Vamos enalisar dois exêmplos./ , , , \ r

Seja a PC { 1, +, +, i , . . . lde razao q - j . Cal\ .+o / .

culemos a soma de sêus n primeiros termos paraalg!nsvalores de n:

'[(+)'-']

' ]

t t1[/1ì"

_L_ r?-

l fra\"a)hì

J2C

- , ]- l

Podemos notar que, à medida que n aumenta, ovâlor de Sn fìca cada vez maìs próximo de 2. Dize-mosque, paravaloresdentão grandes quanlo se

11queira,asoma 1 - ; . T t . . -or .ÊrÊe paÍa 2,

ou, ainda, l +; + t +. . = 2.

. Sêjâ â PG (2,4, 8, 16, .. .) de râzão q = 2.

Celculândo alguns valores de Sn, temos:

Ss=62; S1o = 2 046 5zo = 2 097150podemos notaí que, â medida quê n êume.ìtâ, Sntâmbe-n âumenG. isto e. o valor deSn f icâ tào grân-de quanto se queira- Dizemos que a soma 2 + 4 ++ B + 16 +... diverge.

Nosso objetivo é estudar âpênas as séries geo-Ìnétncâs ccnvergenies,

Sejã a PG. (a1, az, a3, ...) cuje razão q é tal que:

1r?'

Série geométricaconvergenÌe

Dâda uma PG. íâ r, è/, a... . .), ct-ama-se se iegeométrica a soma S = a1 + a2 + â3 +...

Vejamos o seguinte problema:0 que acontece com a soma dos termos de uma

PG. quando levemos em conta um número cada vezmaior de termos a serem somados?

Assim, gn é um númeÍo cada vez mâis próximodezero à medida que o expoenten aumenta.

Entã0, quando calculamos q para n suficientemente grànde, temos:

,-= ",(4: lrr - 5-= ãr '(0 1)' q] qr

'q I ]q

Esse é o valor para o qual a soma converge.

i45

Dai:0bservemos o esqueJìâ abajxo:

q.1l. . ' ' ' , ' . ' . ]

VèTos cêlculaÍ o va or d" 2 i o

0ueremos somaÍ os "ÌnfÌnitos" termos dâ PG.

\ ' '5 's ' /Trâtâ-se de uma série geométrica convergen-

te, pois q =i ( 1<q<1).

ASSrm, a soma c0nverge parâ:

- â, ? 2

rqf - -

.

Vamos obter â f râção geratr iz dê díztma0,2222.. .

Seja x, = 0,2222... . Podemos escrever x nalorma:

x= 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 +. . .

0bservemos que x repfesenta a soma dostermos de unâ PG. n i^ Ia. ' -Jo l9Ìermo é

è1 = 0,2 e ê razào e q = !rY1 = 0,1.' u, t

Assim, â série converge pêra:

a, 0.2 21 q 1-0,1 I

uma bola é atiradâ ao chão de uma âkure cle200 m. Ao atinglro solo pela primeiÍa vez, ela sobeâté uma altura de 100 m, cai e atinge o solo peÌaseglnda vez, subindo até lma a tLrra de 50 m, easslm por diante até perder eneÍgia e cessãro mo-vimento.Ouantos metros â bola percorre aotodo?

200 m1i..,,,*

Apartirdo instante em que a bola tocâ o chãopela prirneirã vez, ãs distârìcias "percorridas" porela são:

(200, 100,50.. . . ) :q =1( 1<o<I)'z

Á qoÍnà dos te-ro- de:sa P6 inÍ in i la é

:y: = 400.1;

Ass,m, ào Ìodo. a bo ê peíLorre Lrna disÌà.-cia de 200 +400 = 600 m.

,'r.ïillïÌÌ ', "Íi;$Sffiffihj l l r . Qoal é o vlÌor de:

a) 20+10+5+2,5+.. .?

h) e0+q+ l0 +1fr+. . .?

c) t0 i+10 1+ Ì{ l : +. . . ?

d) 25-5 1I l - . . . r525

i'i lÌr, Encontre a fr-ação geratriz de caila uma das se-gLÌint€s dizinlas periódicas:

d) 0,44,1...

b) r ,177.. ..) 0,27d) 2,36

Considcrc un1 barbante de cornprimento 1,44 Ìtìe o scguinte pÌocedimenlo:divide se o barbâÌÌteen dr a ' p.rr t .* r . . r \ In\dh i ì e\ret,rn n.ì rr , / rode 2: Ì, a nrâiorpaúe é dcixa<]a de 1âdo e, com amenoÌ parle, repete se o plocedlmel1lo,i . c. . . c,n.r r r r . ia prdc .er rep<r da urr r runì€Io infiÌìito de vczes, qual é o vator da somaclos conprinìcntos de todos os pedaços do bar-bante qtc foram deixados dc lado?

88. Resolva, em R, as seguintes equações:

,Xlatx_+2+4+S+,, .

b) x. . ,Ç. ïx. !x . . . = a

. , " - I+_! _t . =' "4 l t )64'

89, (U. p. ouro Preto-MG) considerc ê seqüênciâde figuras, na qual a área do primeiro quadradoés.

90.Considere uma seqüência infinita de quadra-dos {Qr, Qr, Qr, ...} em que a medida do ladode cada quadrado é a décima parte da medidado lado do quadrado antedor. Sabendo que oÌado de Q, vale 10 cm, determine:

a) a soma dos perímetrcs de todos os quadrâdos da seqüêncìâ;

b) a soma das áreas de todos os quadrados daseqüência.

9 I . Seja um trianguÌo eqttìlátero de lado I cm. Unin-do-se os pontos médios de seus Ìâdos, obtém-seoutro triânguÌo eqüiláteÌo. Unindo-se os pontosmédios desse úÌtimo t ânguÌo, construimos ou-tro triângulo e âssim indefinidamente. Sabendo

çlue a soma dos perímetÌos de todos os triângulosassìm constÌuidos é 216 cm, determine:

a) o vaÌor de {;b) a soma das áreas de todos os trìânguÌos

assim constÌuidos,

3

4a

Í

ques, $â pequenas contas bÌilhmtes que dispõe daseguinte maneirar no vértice do leque, primenâ Ê:le i rà. .oìo. . dpend\ Jra cont" : na,egunda f i le i rahor i /ontdì posrer ior . oìo. a dru. . ont* : r r tercerrufiÌeira horizontal coloca quatro; na quarta fileira ho-nnntJ di .poe oiro Lonldi e ô. im .uces.vdmenle.Considere que MãÌlene possui 515 contas brilhantespara enfeitar um leque. Com base nessas úforma. oe,. e co, reto r f i rmar que o numero marimo de f ileirar completas nesse leque é:

a)7b) 8

c)e e) 11d) 10

ffirydruQual é a soma de todas as áreas coloidas daseqúência?

rGF{rs de vestibulares -1. Qnifesp-SP) A soÌnâ dos termos que são númeÌos

pdmos da seqüênciâ cujo termo geral é dado pord 3n - 2. pir i , nrrur l . vJ- iddo de I J c. e:

a) 10 c) 28 e) 3ób) 16 d) 33

2. (Iaiec-sP) As Ìnedidas dos lados de um tÌiangulorerl nguio. em .en bFer.o'. 'ao n.ünericamen te igua Laos teÌmos de uma progÌessão arjtmética de razão 4.Se a área desse triângulo é de 96 cmr, o perimetrodesse triânguÌo, em centímetros, é:a) 52 c) a2 e) 36b) 48 d) 38

3 . Qnifesp-SP) se os prineiÌos quatÌo t€rmos de umaprogessão ditmética são a, b, 5a, d, então o quo. d, . ,creDÌete'sua'a:

â) ; .) 2 e) 5

ol- o l -

4. ,r+-nl ,cn,t Tr ied. i lh Gdus l-77 18551 econ' iderâdo un dos naioÌes matemáticos de todos os tem-pos. Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma soÌuçãog€1úl pan somar os núÌÌreros jnteiros de 1 a 100. Asolução apresentaú por Gauss fri 5050, obtidâ mtdtl-p[ündo 'e 10. por s0. como sugeÌe a 6gura a seguiÍ.

5. (U. E. LondÌina pR)Mdlene confeccionaleques artesanais.om o fornato deum seÌor cÌrcutaÌ,como repÌesentadona figuÌa ao lado.Para enfeitar os Ìe-

14"1 |

Usarìdo â idéia de Ga!$ como inspirâçãq ÌespondâqÌranto \Ìúe o produto 1x2x4x 8x Ì6x32 x64x 128.a) aD, b) a1,3 c) Ì29a d) r28a

L_rglrT

l,4i

b)ó d)

í. (UF MÂ) Â solÌrção

+-+ . . .= 196 é.

a) 49b) sl

a) r0b) 15

a) 30b) 40

c) 47 e) 4sd) 53

c) 2D e) t0d) 2s

c) 20d) 10

")+4

lx 9xoa equaçao x + 4

+;+

O. 'U. L IL i / de Io- . \ .4Cì Umd progre-"o aÍ | | mérkre Lmd 8eoÌerr i rJ .ém o -umero 2 como p. in]erÍoteÌmo. Seus quintos termos também coincidem e ârâzão da PG. é 2. Sendo assim, a raão da P.A. e:

a) Se n € N*,otermo geÌal daseqüência (2,8,32,128' . )éa,=2r"* '

b oeirermod,ì .equPn,. í l ] . ì' \1 s 16 25 /, l

100c) Se o 3s e o 6e ternos de uma progressão geomé-

trica são, respectivâmente, 1 e 8, a razao dessaprogressâo é 2.

d ' A \omd do\ r ì I i rú. re-mo. dd progre*dol . t t \ -7\ ' 8 'ôa' / '8

e) Se a seqúência (a, b, c) é uma progressão âdiné-tìca de razão 1, então 3r. 3b. 3. = 27?.

lJ, UÌ RN \ ,eqiélc id de fgu.d. "bJ;o 'Fp'e,en .

o. . inco pr imeiro, pa*o' d, colr l ç;ro do, or junto de SieÌ?inski. Os véÌtices dos tdángulos brancosconstruídos são os pontos nédios dos lados dosr i lngr ro coloÍrdo. dr f ig!rd ra.e- io- . nenoÌninr

mos dr, dr, dri ar e ar, respectivament€, as áreas darregiões coÌoridas da p meirã, segunda, terceira, quar,ta e qunÍa flgurâs dâ seqüência.

l+. UI-Pq { t rcfe rura de n Ì !u i . Ìp io. preocufaaacon1 o êxodo rüÌâ1, inplãDtou um projeto de incen-tivo à agricüÌtura oÌgânica, com pÌevisão de três ânos,pâIa manter âs pessoas no caÌÌìpo. Observoü-se após! impÌantação que Ì2 fãmíliashaviamsidobeneficia-das no primeirc n1ês, 19 fãnílias, no segundo mês e26 Ídrìrd, . no rer. e ro ìe\ \egundo o. recni .o. . dprevisão é de que o núÌ€Ìo de famílias beneficiadasmensalmente aumentará na mesma razão dos mesesânteriores. DeDtÌo dessas pre\'ìsões, o número de fa-mí1ias que serão beneficiadas no útino més de exe

t

8. (lu-sp) s"r(")=:" 2,vx € R, então, paran e N,í(i) + f(2) + f(3) + ... + f(n) rãle:

, r n(3n- l ) _r n( ln+ l ) - , r - )- 2 ' ' 2

b) n2+n d) nr-n

q (Ur-cB) A so-a dos l5 primeiros termos de umaprogÌessão arihnéti.a é 150. O 8e termo desta P.A. é:

J.U. íUl-RNì .dLx, : . r lo e npibad* de modo que. r i . .tas do topo parâ bairo, se observa o seguinte: umafica en1 ciÌìâ de duas, duas em cima de três, trés emcima de quâtro e assim s!Ìcessivamente. Um funcìo-nário eÌperiente sabia que, para obter o totaÌ de cai-xa.! num empiÌhmento desse tipo, bastava contarquantâs havia na base. Para coníerir que enstiam 210cai\âs enpilhadas, ele constatou que, na bâse, o nu'nero de caixas era:

A,A. i ì .^ .s"" ,Lf-f.Ã^i,riiã.n"*;l

Podemos afirmar que aÌ, d2, dr, /r4 e d5 esião, nessaordem, em progressão geométrica de razão:

") i o, + .r j u, +

11. (unicap-PE) No conjunto dos reais classifique asseguintes âÌternativas como verdadeúas (y) oufaìsas (4:

. l Ì l l1" ' ; r ' t t - - r - ", . Ì Ì I 1

ct t l r . r12 i r Ì . . . , - ,nn-

= 10050, , r r . r , , 1, , 1, , t , , - . , r . 'o ' L [ f . -1 2,Jr : rJr ,2-r . . .1. '0,- ' - ,

e) Em toda pÌogressão geométrica, a soma de doìstermos eqüìdìstântes dos eÍÌemos é igual à somados eì'tremos.

12. 1ul-er) ,lrrnli.u ur ufirmações a segun, cÌassìÍican-do ar como verdâdeiÌâs (y) ou falsas (F):

l l . íPUí Rl ì l * ' nr rero.e.rdoeÍÌ progrestod r-mética. A soma dos três números é 2r. AssinâÌe aopção que apresenta o vaÌor correto do termo do

cução deste projeto é:'à) 245b) 257c) 269

a)2b)6.)7

d) 281e) 293

d)5e) zrE

1"4$

15. tpuc I(D N.rm periodo de 14 dias de treinamento,un, màÍdton; ld co"e.ada dia r00 mel-o. r mai.que o dia anteÌiol Ao ÊnaÌ dos 14 dias, ele percorreuÌrÌn total de 66,s qüìlômeiros. O Dúmero de metrosque ele coneú no último djafoi:

a) 6 200b) 6650c) 1000

17. lruc'rr1s";u N = ur,c um número de três arsarìsmos em que í, b e c estão em progressão geométÌtcâ.

Sâbendo-se, aìém disso, que:

IÌ. cba abc = 594

Quanto vale o produto a b.c?

d) 18

18. (puc sp) sou." *.asar de um srânde tabuleiro dexâdrez devem ser colocados grãos de arroz, em qür-

r iaade. qr e obedc!rm d umJ le i de forr Í"cdo

seqüocial, confoÌme é mostrado nâ figura seguinte.

À quantidade de grãos de arroz que devem ser colocados nâ casn em que se encontra o ponto de iÌrter'

rogação é um número compÌeendido entre:

d) l8s e Ì90e) r90 e 195

3 700I6502 750

20,lrsrnr-sr) s. uo-.ntarmos 1 unidãde a cada umdo te-mo' de ura PÁ. de ralJo ' . o pÍ imeiro. osegundo e o quario teÌmos d€ssâ novâ seqüêncja formarn uma PG. Pode se âtumâr que a soma dos Ì0prìmeiros termos daqueÌâ P.A. vâle:

d) 9175e) 7 100

a) 235Ì,) 245c) 255

d) 26se) 27s

19. (u. E s*tu l,tura ts) No hecho de maìoÌ movi-mento de uma Ìodoviâ, ou seja, enire o Ì<m 35 e o

km 41, foram colocados ortdoors educativos de 300em 300 metros. Como o Ì!'lòi coÌocado satâmenre

a 50 metros após o kÌì 35, a distàn.ia entre o 13eordoof e o km 41 é, em metros:

d) 2150e) 2 Ì50

21. (uni'lo-nt) pu"*ao em uma saÌa de aúa, .^ alunov€riflcou que, no quadro negro, o professoÌ haviaescrito os números naturais impares dâ seguinte

13579t1

13 15 17 1921 23 25 27 29

O aluno achou interessant€ e continuou a escÌever,âté a décima linha. Somândo os números dessa Ìinìn,

a) 800bl 900c) 1000d) 1 Ì00e) r 200

ZZ.í fuven \Pr l rê\numero,po,;r \o. . .u jd 'omJeJ0.estão em progressao âritmética. Somando se, respec-tivamente, 4, - 4 e -9 aos pÌimeiro, segÈdo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos tÌêsnúm€Ìos em progressão geométrìcâ. Enião, um dosteÌmos da progressão aÌitmêtica é:

â) 9b) 11c) 12d) 13

23. (ur-sc) x,l""t" uG) proposição(Ões) corera(sJ.

a) O vigésimo teÌmo da progressão âÌitmética(Ì , x+ Ì0, xr, . . . ) com x < 0 é 186.

b) A soma dos,', primenos nrimeros naturais ímPa-res é n'z+ 1.

c srbeìoo que r srce. \ ro r \ . \ . 10, e umaP.A. crescente e a sucessão (x, y, l8) é uma PG.crescente, então xy =12.

d o 'J"rde\nJigudìdadex r r t - . . . 12.

na quaÌ o pÌìneiro membro é a soma dos termosde una PG. infinitâ, é r0.

c, o r" ' -" ; - enconÌra*e nr de. i r lesunddI024

.I \po' içàonapÍogre. \ iogeomêrr icà12.1. . . . . . ' .' \ t l

Í

a) 128b) 64c) 32

à) )70 e r75b) r7s e 180c) 180 e i85

b)

:4"1

4+. / lLrc. . \ l ì \p,dm ,e.rr . Ì ì , - e po. i l . ro, .o i \ a lp og d . o8 JÌog, àr, Ìosr a1, log, a5 fornam, nessa oÌddr, urra

prog. eço, r i mer i . , . e raz,o I se u, - - q, . r r .^ .- )vâloÌ da soma aì + ar + ar + ij + â5 é jguãl a:

d) 28 + Ì2úe) 2s + Ì8ú

25. (Cefer-Àtc) somando-sc m mesÌÌìo númcro a.âdaelemeDto dâ seqüéncìâ (ì, 2, 3), obréÌn se uÌnap'ogre. .Jn r ,eom{rr . . . \ rd ldo J( . . . , p ngr- . \ 'oencoDtrâda é iguaÌ â:

26, (r,,tackenzie-se) se o produto

e)+d;

d) :

a) 24+!2b) 24 + 2rEc) 24 + tz"[t

r-+

r,F.i/ïF.i/i,F....

d) 2ú

oü

tem infinitos fatores, cujos expoenres estãoprogressão geométrica, seu vâlor é:

r,) +

" tú'5

o) +d +\D

1. (U. L Uberlândia, adaptãdo) Esrimava-se que, no início do âÌìo de 2003, as reservas mun<tiais de carvaosedâm equival€ntes a 6 . Ì0r, toneÌadas. Comiderando que no ano de 2003 foram consumidos nundiaÌ-mente 2,s . 103 toneÌâds de carvão, que, eÌn cãda ano subseqüente, poderá haveÌ um aumento de 5zo noconsÌrmo aDuaÌ de câÌïao em reÌação âo âno anterior e que logr0 1201 = 3,08 etogro 1,05 = 0,02, determin€por quantos anos as ÌeseÌvas arüais de carvão poderão suprir ar necessidades de consumo Ììundial.

Z, IUF RI)A rrtsião frrdaÌ Ì:, con\rÌurda d prÍür de m quadrado de Ìado I cn, é constituida por umâ infinidadeìe quadrados e conslruída en uma infinidâde de erapar. A cada nova erapa consideram_se os quâdrados de menor lado (?) acrescentados na etapa mterior e acÌescentâÌn-se, para cadâ um destes, rrês novos

. quadrados de lado i. As tÌês primeiras erapâs de consrrução de F são apresentâdâs ã seguir.

, []IE-itÌ;ti li;ïlï!ti,-1ij'1il: [:ii.ri'iÌt':-Í]i [i:ï-,Ìi,u,.iÏI | ' jÌ1tÌ:a itr:ïJ +l

i t *i êlapa lI

I cur.or. u e."" a" nl^I 5. QuaÌeovalorde !+

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