mat progressoes geometricas 001
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Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática – Ensino Médio
Título: Progressão Geométrica e Funções Exponenciais
Tópicos
Habilidades
11. Progressão Geométrica
11.1. Identificar o termo geral de uma progressão
geométrica.
12. Função exponencial
12.1. Identificar exponencial crescente e exponencial
decrescente. 12.2. Resolver problemas que envolvam uma função do
tipo xakxy =)( .
12.3. Reconhecer uma progressão geométrica como uma
função da forma xakxy =)( definida no conjunto
dos números inteiros positivos.
Introdução
As progressões geométricas e as funções exponenciais aparecem
naturalmente em vários contextos significativos, entre eles: crescimento
populacional, matemática financeira, cálculo do valor da prestação de um
financiamento, e em várias situações em que uma grandeza varia a uma taxa
proporcional ao valor da grandeza em cada instante (desintegração radioativa
e Lei de Resfriamento de Newton são alguns exemplos).
Para compreender ainda mais a importância do entendimento das
progressões geométricas e das funções exponenciais, veja as seguintes
situações que serão modeladas e resolvidas através destes conceitos:
• Em uma aplicação financeira, o dinheiro aplicado aumenta 2% a cada
mês. Se forem aplicados R$ 100,00 nesta aplicação financeira, após
um período de 12 meses essa quantia terá aumentado para qual
valor?
2
• Em uma aplicação financeira, o dinheiro aplicado aumenta 2% a cada
mês. Se forem aplicados R$ 100,00 nesta aplicação financeira, após
quantos meses esse valor terá aumentado para mais de R$ 1.000,00?
• Uma televisão que custa, a vista, R$ 900,00 pode ser paga em 12
prestações iguais. Se a loja cobra 2% de juros ao mês por este
financiamento, qual o valor de cada uma das 12 prestações?
• Uma população de bactérias dobra a cada hora. Se em um
determinado instante existem 200 indivíduos nesta população, após 24
horas qual será o número de indivíduos nesta população de bactérias?
Estes exemplos ilustram que é muito importante saber aplicar os conceitos de
progressões geométricas e funções exponenciais para a modelagem
matemática e a resolução de problemas. Neste Módulo Didático
apresentaremos as definições e as propriedades destes conceitos, além de
mostrar como eles podem ser aplicados para a resolução de uma ampla
classe de problemas.
Progressão Geométrica
Exemplo 1: Considere a seguinte seqüência de números inteiros:
31 =a , 62 =a , 123 =a , 244 =a , 485 =a , 966 =a e 1927 =a .
Você consegue imaginar alguma regra na formação destes números? Pense
um pouco. Você percebeu que estes números foram dobrando? Isto é, a
partir do segundo número cada um é o dobro do número anterior? Observe: 6
é o dobro de 3; 12 é o dobro de 6. 24 é o dobro de 12; 48 é o dobro de 24; 96
é o dobro de 48; 192 é o dobro de 96. Isto significa que cada termo desta
seqüência é igual ao termo anterior multiplicado por 2:
12 2326 aa ×=⇒×=
23 26212 aa ×=⇒×=
34 212224 aa ×=⇒×=
3
45 224248 aa ×=⇒×=
56 248296 aa ×=⇒×=
67 2962192 aa ×=⇒×=
O comportamento desta seqüência de números, a regularidade apresentada
neste exemplo (cada número ser igual ao anterior multiplicado por uma
constante, 2 neste exemplo) caracteriza uma progressão geométrica. Assim,
neste exemplo específico temos uma seqüência de números que é uma
progressão geométrica, de acordo com a seguinte definição.
Uma seqüência de números naaa ,,, 21 K é uma progressão
geométrica se existir um número real q tal que a partir do
segundo termo da seqüência, cada um deles é igual ao termo
imediatamente anterior multiplicado por q . Isto é, se
qaa ii ×= −1 .
Neste caso dizemos que 1a é o primeiro termo e que a
constante q é a razão da progressão geométrica naaa ,,, 21 K .
Observação: costuma-se utilizar a abreviação PG para progressão
geométrica.
Exemplo importante: Se considerarmos todas as potências inteiras e positivas
de um número real b obtemos uma progressão geométrica de primeiro termo
b e razão também igual a b .
KK ,,,,, 3
3
2
21
n
n babababa ====
De fato, nesta seqüência, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado
por b .
4
Observação: como cada termo de uma progressão geométrica é igual ao
termo anterior multiplicado por b , vemos que todos os termos de uma
progressão ficar determinados a partir do primeiro termo e da razão.
Vejamos agora algumas situações que exemplificam esse fato.
Exemplo 2: Os seis primeiros termos da progressão geométrica de primeiro
termo 41 =a e razão 3=q são:
41 =a 12342 =⋅=a 363123 =⋅=a 1083364 =⋅=a
32431085 =⋅=a 97233246 =⋅=a
Exemplo 3: Uma progressão geométrica tem primeiro termo 321 =a e razão
2
1=q . Os doze primeiros termos desta progressão são:
321 =a 162
1322 =⋅=a 8
2
1163 =⋅=a 4
2
184 =⋅=a
22
145 =⋅=a 1
2
126 =⋅=a
2
1
2
117 =⋅=a
4
1
2
1
2
18 =⋅=a
8
1
2
1
4
19 =⋅=a
16
1
2
1
8
110 =⋅=a
32
1
2
1
16
111 =⋅=a
64
1
2
1
32
112 =⋅=a
Exemplo 4: Observe que se naaa ,,, 21 K são os termos de uma progressão
geométrica, então o quociente de um termo pelo termo imediatamente
anterior é igual à razão da progressão. De fato, de qaa ii ×= −1 concluímos
que qa
a
i
i =−1
.
5
Exemplo 5: Vamos verificar que os números 3, 12, 48 e 192 são termos
consecutivos de uma progressão geométrica. Para fazer isso, de acordo com
o exemplo anterior, devemos mostra que o quociente de dois termos
consecutivos da progressão é sempre o mesmo. Mas, neste caso, isso é
verdade, pois
448
192
12
48
3
12=== .
Portanto 3, 12, 48 e 192 são termos de uma progressão geométrica de
primeiro termo 3 e razão igual a 4.
Exemplo 6: Os números 2, 4, 8, 16 e 48 são termos consecutivos de uma
progressão geométrica? Para responder a esta pergunta devemos proceder
igual ao exemplo anterior: devemos verificar se o quociente de dois termos
consecutivos sempre é o mesmo. Mas observe que
22
4= , 2
4
8= , 2
8
16= e 3
16
48= .
Como esses quocientes não são todos iguais, concluímos que os números
dados não são termos consecutivos de uma progressão geométrica.
O Termo Geral de uma Progressão Geométrica
Exemplo 7: Considere a progressão geométrica de primeiro termo 51 =a e
razão 3=q . Qual é o centésimo termo desta progressão? Isso é, qual é o
número 100a ?
Solução: Pela definição de progressão geométrica, se conhecemos o seu
primeiro termo e sua razão, podemos escrever todos os termos da
progressão: basta irmos multiplicando cada termo da progressão pela razão
para encontrar o próximo termo.
Assim, podemos calcular 153512 =⋅=⋅= qaa , 4531523 =⋅=⋅= qaa ,
13534534 =⋅=⋅= qaa e assim sucessivamente. Entretanto, observe que para
6
calcular o número 100a seguindo esses passos, devemos calcular todos os
termos anteriores da progressão, isto é, devemos calcular 2a , 3a , 4a , 5a ....
até 99a e só depois disso podemos calcular
100a . Assim, vemos que esse
método de determinação de um termo específico de uma progressão
geométrica é pouco eficiente. Vamos mostrar agora então, um jeito mais
rápido e prático para a determinação de um termo qualquer de uma
progressão geométrica.
Então vamos considerar uma progressão geométrica de primeiro termo 1a e
de razão igual a q . Pela definição de P.G., podemos calcular os próximos
termos da progressão do seguinte modo.
qaa ⋅= 12 .
2
1123 )( qaqqaqaa ⋅=⋅⋅=⋅=
3
1
2
134 )( qaqqaqaa ⋅=⋅⋅=⋅=
4
1
3
145 )( qaqqaqaa ⋅=⋅⋅=⋅=
5
1
4
156 )( qaqqaqaa ⋅=⋅⋅=⋅=
Observando a regularidade destas expressões concluímos que, para todo
1≥n , 1
1
−⋅= n
n qaa . Esta expressão é chamada de termo geral da progressão
geométrica de primeiro termo 1a e razão q .
Uma progressão geométrica de primeiro termo 1a e de
razão igual a q tem termo geral igual a 1
1
−⋅= n
n qaa .
Utilizando a expressão do termo geral, podemos calcular qualquer termo da
progressão sem a necessidade do cálculo de todos os termos anteriores a
ele.
7
Exemplo 8: Vamos determinar o décimo e o centésimo termo da progressão
geométrica de primeiro termo 31 =a e razão 2=q .
Solução: O termo geral desta progressão é dado por 11
1 23 −− ⋅=⋅= nn
n qaa .
Assim o décimo termo é igual a 153651232323 9110
10 =⋅=⋅=⋅= −a , e o
centésimo termo é igual a 991100
100 2323 ⋅=⋅= −a . Observe que esse número
100a está calculado, e que podemos deixá-lo escrito em termos de um
potência de 2 pois, sendo 992 um número muito grande, em geral, não é
conveniente efetuarmos todas essas multiplicações.
Exemplo 9: Determine o primeiro termo e a razão da progressão geométrica
cujo termo geral é igual a n
na 35 ⋅= .
Solução: Para o cálculo do primeiro termo, basta substituir n pelo número 1
na expressão do termo geral. Assim concluímos que o primeiro termo é igual
a 15351 =⋅=a . Para o cálculo da razão podemos efetuar:
335
335
35
35 1
1 =⋅
⋅⋅=
⋅
⋅==
++
n
n
n
n
n
n
a
aq .
Exemplo 10: Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são
61 =a , 42 =a e 3
83 =a . Determine o termo geral desta PG.
Solução: A razão desta PG pode ser calculada do seguinte modo:
3
2
6
4
1
2 ===a
aq , ou então
3
2
12
8
4
3
8
2
3 ====a
aq . Substituindo 61 =a e
3
2=q na
expressão 1
1
−⋅= n
n qaa do termo geral, concluímos que 1
3
26
−
⋅=n
na .
Entretanto, efetuando algumas manipulações algébricas, podemos escrever
esse termo geral de várias formas diferentes, tais como:
8
21
1
1
11
3
2
3
223
3
26
3
26
−−
−
−
−−
=⋅⋅
=⋅
=
⋅=n
n
n
n
n
nn
na .
Exemplo 11: Os dois primeiros termos de uma progressão geométrica são
31 =a e 22 −=a . Determine o termo geral desta PG.
Solução: A razão desta PG é igual a 3
2
3
2
1
2 −=−
==a
aq . Substituindo 31 =a e
3
2−=q na expressão 1
1
−⋅= n
n qaa concluímos que o termo geral desta PG é
igual a 1
3
23
−
−⋅=n
na . Observe que, sendo a razão um número negativo, os
termos desta progressão geométrica vão alternando de sinal: um é positivo, o
outro é negativo, o seguinte é positivo e assim por diante.
No próximo exemplo ilustramos que, através da expressão do termo geral, se
conhecemos dois termos de uma progressão geométrica podemos, em geral,
determinar o seu primeiro termo e sua razão.
Exemplo 12: Uma progressão geométrica naaa ,,, 21 K é tal que 244 =a e
1927 =a . Determine o primeiro termo, a razão e o termo geral desta PG.
Solução: O termo geral da progressão é 1
1
−⋅= n
n qaa . Tomando 4=n e
depois 7=n , dos dados do problema, vemos que 243
14 =⋅= qaa e
1926
17 =⋅= qaa . Portanto os números 1a e q satisfazem o seguinte sistema
de equações:
=⋅
=⋅
192
24
6
1
3
1
qa
qa.
Dividindo a segunda equação pela primeira obtemos 24
1923
1
6
1 =⋅
⋅
qa
qa, isto é,
83 =q ⇒ 2=q . Substituindo esse valor na primeira equação do sistema,
9
concluímos que 38
24242 1
3
1 ==⇒=⋅ aa . Portanto a progressão geométrica
dada tem primeiro termo 31 =a e razão 2=q . Substituindo esses valores na
expressão do termo geral, concluímos que seu termo geral é 123 −⋅= n
na .
Observação: Para terminar esta seção vamos observar os seguintes fatos
que são facilmente demonstrados:
• Se 1>q os termos da progressão geométrica de razão q forma uma
seqüência crescente: LL <<<<< naaaa 321 .
• Se 10 << q os termos da progressão geométrica de razão q forma
uma seqüência decrescente: LL >>>>> naaaa 321.
Algumas situações-problema que envolvem progressões geométricas
O conceito de progressão geométrica é utilizado com muita freqüência na
matemática financeira. Veremos então nesta seção alguns problemas de
matemática financeira que podem ser resolvidos com o auxílio da progressão
geométrica. Recomendamos fortemente que o aluno estude o tópico 13 do
CBC (matemática financeira) simultaneamente a resolução destes problemas.
Entretanto, antes de tratar desses problemas, vamos definir o que significa a
taxa de crescimento de uma grandeza.
“A taxa de crescimento entre dois valores a e b de uma grandeza é a razão
entre o aumento da grandeza b − a e o seu valor inicial a”.
Um exemplo, disso é o seguinte: a taxa de crescimento de uma grandeza que
passa de 4 para o valor 5 é igual a 2504
1
4
45,==
− ou 25%. Observe que isto
significa que ocorreu um acréscimo de 25% no valor inicial da grandeza para
ela passar do valor 4 para o valor 5. De fato:
10
4 mais 25% de 4 é igual a 51444
144
100
254 =+=⋅+=⋅+ .
Além disso, em várias situações é muito importante observar que, por
exemplo, para dar um acréscimo de 36% a um valor x , basta multiplicar x
por 1,36. De fato,
xxxxx 36,136,0%36 =+=+ .
De modo geral, dar um acréscimo de %t a um valor x é equivalente a
multiplicar x por 100
1t
+ .
Vamos agora aos problemas propriamente ditos.
Exemplo 13: Em uma aplicação financeira, o dinheiro aplicado aumenta 2% a
cada mês. Se forem aplicados R$ 100,00 nesta aplicação financeira, após um
período de 12 meses essa quantia terá aumentado para qual valor?
Solução: Lembramos que para dar um acréscimo de 2% a um valor x é
suficiente multiplicar x por 1,02. Assim concluímos que:
• Após um mês os R$ 100,00 terão aumentado para 00,10210002,1 =⋅
reais.
• Durante o segundo mês, estes 102 reais sofrerão um aumento de 2%
e passarão ao valor 04,10410202,1 =⋅ reais.
E esse comportamento vai continuar durante os 12 meses que o dinheiro
ficará aplicado. Então vamos modelar o problema do seguinte modo: vamos
representar por 0M o dinheiro aplicado inicialmente (neste caso, 1000 =M ) e
vamos representar por nM o valor que está aplicado decorridos n meses de
aplicação. Como o dinheiro sofre um aumento de 2% ao mês, das
considerações anteriores concluímos que
11
02,101 ⋅= MM .
( )20012 02,102,1)02,1(02,1 ⋅=⋅⋅=⋅= MMMM
( )30
2
023 02,102,1)02,1(02,1 ⋅=⋅⋅=⋅= MMMM
e assim sucessivamente. Portanto, concluímos que os números
1221 ,,, MMM K formam uma seqüência tal que a partir do segundo termo,
cada termo é igual ao anterior multiplicado por 1,02. Isso significa que esses
termos formam uma progressão geométrica de primeiro termo 02,101 ⋅= MM
e razão igual a 1,02. O termo geral dessa progressão é então dado por
( ) ( ) nnn
n MMMM 02,102,102,102,1 0
1
0
1
1 ⋅=⋅⋅=⋅= −−
Como, neste exemplo 1000 =M , vemos que ( )nnM 02,1100 ⋅= . Após 12 meses
de aplicação, portanto, a quantia aplicada será igual a ( )1212 02,1100 ⋅=M .
Como o auxílio de uma calculadora vemos que esse valor é
aproximadamente igual a R$ 126,82.
Observação: este exemplo pode ser generalizado do seguinte modo.
Suponhamos que um valor inicial 0M seja aplicado em uma aplicação que
rende %t de juros ao mês. Então, após um período de n meses esta quantia
0M terá aumentado para o valor n
n
tMM
+⋅=100
10 . No exemplo numérico
anterior, 1000 =M e 2=t . Isto significa que os valores mensais
KK ,,,, 21 nMMM formam uma progressão geométrica.
Exemplo 14: Em uma aplicação financeira, o dinheiro aplicado aumenta 2% a
cada mês. Se forem aplicados R$ 100,00 nesta aplicação financeira, após
quantos meses esse valor terá aumentado para mais de R$ 1.000,00?
Solução: Como vimos no exemplo anterior, após um período de n meses, os
R$ 100,00 terão aumentado para o valor ( )nnM 02,1100 ⋅= . Então desejamos
12
saber o valor de n para o qual se tem ( ) 100002,1100 >⋅ n , ou seja,
( ) 10002,1 >n . Mas como procedemos para resolver uma desigualdade como
essa? Um jeito simples é por tentativa. Com o auxílio de uma calculadora
calcule n02,1 para valores diferentes de n e procure, através deste
experimento, o menor valor de n tal que ( ) 10002,1 >n . Efetuando este
experimento, você pode produzir uma tabela com a seguinte, em que
mostramos valores aproximados de n02,1 .
n n02,1 n n02,1
1 1,02 200 52,48
2 1,04 201 53,53
3 1,06 220 77,99
4 1,08 230 95,07
100 7,24 231 96,97
101 7,39 232 98,90
150 19,50 233 100,88
151 19,88 234 102,90
Esta tabela nos mostra que ( ) 10002,1 >n somente para 233≥n . Portanto
somente após 233 meses os R$ 100,00 terão aumentado para um valor
superior a mil reais. Observe que 233 meses é igual a 19 anos e 5 meses, ou
seja, é muito, muito tempo.
Exemplo 15: Uma população de bactérias dobra a cada hora. Se em um
determinado instante existem 200 indivíduos nesta população, após 24 horas
qual será o número de indivíduos nesta população de bactérias?
Solução: Vamos representar por 2000 =P a população inicial de bactérias, e
vamos representar por nP essa população decorridas n horas da contagem
da população. Pelos dados do problema vemos que os números
13
KK ,,,, 21 nPPP formam uma progressão geométrica, pois a cada período de
uma hora a população dobra, isto é,
201 ⋅= PP
( ) 2
0012 2222 ⋅=⋅⋅=⋅= PPPP
( ) 3
0
2
023 2222 ⋅=⋅⋅=⋅= PPPP
( ) 4
0
3
034 2222 ⋅=⋅⋅=⋅= PPPP
E continuando desse modo, fica evidente que n
n PP 20 ⋅= . Como 2000 =P
concluímos que n
nP 2200 ⋅= . Portanto após 24 horas a população será de
200.443.355.32200 24
24 =⋅=P bactérias.
Observação: nas referencias bibliográficas indicamos textos que trazem
várias outras aplicações de progressão geométrica e função exponencial.
Funções exponenciais: introdução
Para motivar a necessidade da definição das funções exponenciais observe a
seguinte situação:
Exemplo 16: Uma caixa d’água inicialmente com 1000 litros de água começa
a ser continuamente esvaziada por uma torneira aberta em seu fundo. Neste
exemplo vamos considerar que a cada hora o volume de água na caixa se
reduza pela metade. Após quantas horas existirão exatamente 200 litros de
água na caixa?
Solução: Para compreende o problema, podemos começar construindo a
seguinte tabela, que nos mostra o volume de água na caixa ao passar de
algumas horas da torneira ter sido aberta.
14
Tempo que a torneira
está aberta (horas)
Volume de água na caixa
(litros)
0 1000
1 5002
1000=
2 2502
500=
3 1252
250=
4 5,642
125=
Como a água está vazando continuamente da caixa, da tabela acima,
percebe-se que existirão 200 litros de água na caixa em um instante entre 2 e
3 horas da torneira ter sido aberta. Mas qual é este instante exato? Para
determinar este instante vamos modelar o problema do seguinte modo.
Vamos representar por nV o volume de água na caixa após n horas de a
torneira ter sido aberta. Analisando a tabela acima, vemos que
2
110001 ⋅=V .
2
122
11000
2
1
2
11000
2
1
⋅=⋅
⋅=⋅=VV
32
232
11000
2
1
2
11000
2
1
⋅=⋅
⋅=⋅=VV
E continuando desse modo percebe-se que n
nV
⋅=2
11000 . Esta expressão
implica que os números KK ,,,, 21 nVVV formam uma progressão geométrica de
razão 2
1.
Mas, observe que no contexto de progressão geométrica somente temos a
quantidade de água na caixa para valores inteiros do tempo que a torneira
15
ficou aberta: 1 hora, 2 horas, 3 horas, etc. Entretanto, a torneira está aberta
continuamente, e assim, precisamos admitir valores não inteiros de n na
expressão n
⋅2
11000 . Considerando isso, definimos a função
x
xV
⋅=2
11000)( que é igual ao volume de água na caixa após x horas da
torneira ter sido aberta (aqui x é um número real positivo qualquer, e não
apenas um número inteiro n ). Assim, para resolver o problema proposto
precisamos encontrar x tal que 2002
11000)( =
⋅=x
xV , ou seja, 52 =x .
Evidentemente a solução desta equação não é um número inteiro e, com a
ajuda de uma calculadora, experimentando valores fracionários de x ,
percebe-se que 9,42 3,2 = , aproximado com uma casa decimal. Assim,
existirão 200 litros de água na caixa aproximadamente após 2,3 horas de a
torneira ter sido aberto. (2,3 horas é igual a 2 horas e 18 minutos)
Assim, neste exemplo, precisamos generalizar a progressão geométrica
n
nV
⋅=2
11000 (que só faz sentido para K,3,2,1=n ) para uma função
x
xV
⋅=2
11000)( que faz sentido para qualquer valor real de x . Uma função
como essa é do tipo exponencial, que começaremos a estudar a seguir.
Função exponencial: definição
A função exponencial de base 0>b é a função
definida pela seguinte lei de formação: xbxf =)( .
16
Observe que se calculamos os valores da função exponencial xbxf =)( para
números inteiros positivos x obtemos os termos de uma progressão
geométrica de primeiro termo b e razão também igual a b :
bf =)1( , 2)2( bf = , 3)3( bf = , K , nbnf =)( , K
Entretanto, como x pode assumir valores não inteiros, podemos reconhecer
a progressão geométrica definida acima como uma função exponencial
xbxf =)( definida no conjunto dos números inteiros positivos.
Generalizando um pouco também podemos considerar:
Uma função do tipo função exponencial é uma
função definida por uma lei de formação como
xbkxf ⋅=)( .
Como anteriormente, observe que se calculamos os valores da xbkxf ⋅=)(
para números inteiros x obtemos os termos de uma progressão geométrica
de primeiro termo bk ⋅ e razão igual a b :
bkf ⋅=)1( , 2)2( bkf ⋅= , 3)3( bkf ⋅= , K , nbknf ⋅=)( , K
Assim, como x pode assumir valores não inteiros, podemos reconhecer a
progressão geométrica definida acima como uma função do tipo exponencial
xbkxf ⋅=)( definida no conjunto dos números inteiros positivos.
Observação: Muitas pessoas costumam utilizar a terminologia “função
exponencial” para indicar tanto a função xbxf =)( quanto a função
xbkxf ⋅=)( . Desde que não se faça confusão sobre qual destas funções está
17
sendo empregada num contexto específico, em nível de Ensino Médio, existe
nenhum problema em se utilizar este abuso de linguagem.
O gráfico da função exponencial
Nestes primeiros exemplos, vamos estudar o gráfico de uma função
exponencial de base b tal que 1>b .
Exemplo 17: Vamos construir o gráfico da função exponencial xxf 2)( = .
Solução: para fazer o gráfico de uma função é conveniente construir uma
tabela de valores, como a indicada a seguir.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
xxf 2)( = 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
Agora, utilizando um papel quadriculado podemos marcar estes pontos num
plano cartesiano para obter alguns pontos de gráfico da função xxf 2)( = .
18
Analisando esta figura acima fica evidente que o gráfico da função
exponencial xxf 2)( = não é uma reta. Marcando mais alguns pontos neste
plano cartesiano ou utilizando um programa computacional que faz o gráfico
da função xxf 2)( = , vemos o esse gráfico tem o seguinte aspecto:
Analisando este gráfico, podemos concluir que:
• a função exponencial xxf 2)( = é sempre positiva.
• ela é crescente: quanto maior for o valor de x maior é o valor de )(xf .
• ela assume valores arbitrariamente grandes.
• quanto maior for o valor de x mais próximo esta função está do
número zero.
Exemplo 18: Neste exemplo vamos ilustrar que as funções exponenciais de
base maior ou igual a um têm um gráfico semelhante ao apresentado na
figura acima. Então vamos construir, num mesmo plano cartesiano, os
gráficos das funções xy 2= , xy 3= e xy 4= . Para isso, podemos construir
uma tabela de valores como a indicada no exemplo acima.
19
x -3 -2 -1 0 1 2 3
xy 2= 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
xy 3= 27
1
9
1
3
1 1 3 9 27
xy 4= 64
1
16
1
4
1 1 4 16 64
Analisando esses pontos vemos que as funções xy 2= , xy 3= e xy 4=
possuem as mesmas quatro propriedades da função xy 2= listadas na
página anterior. Assim, marcando esses pontos num papel quadriculado, e
depois conectando esses pontos por uma curva, ou ainda, utilizando um
programa computacional que desenha gráficos de funções, vemos que os
gráficos destas funções têm os seguintes aspectos:
20
Exemplo 19: De modo geral, para todo 0>k e todo 1>b pode-se mostrar
que o gráfico da função xbkxf ⋅=)( tem o seguinte aspecto:
É importante observar os seguintes aspectos deste gráfico:
• se 0>k e todo 1>b , então a função a função xbkxf ⋅=)( é sempre
positiva.
• ela é crescente: quanto maior for o valor de x maior é o valor de )(xf .
• ela assume valores arbitrariamente grandes.
• quanto menor for o valor de x mais próximo esta função está do
número zero.
• Como kf =)0( e kbf =)1( o gráfico desta função passa pelos pontos
),0( k e ),1( kb .
Nos próximos exemplos, vamos estudar o gráfico de uma função exponencial
de base b tal que 10 << b .
Exemplo 20: Vamos construir o gráfico da função exponencial x
xf
=2
1)( .
Solução: Primeiramente valos construir uma tabela de valores, como a
indicada a seguir.
21
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
xf
=2
1)( 16 8 4 2 1
2
1
4
1
8
1
Agora, utilizando um papel quadriculado podemos marcar estes pontos num
plano cartesiano para obter alguns pontos de gráfico da função x
xf
=2
1)( .
Procedendo como nos exemplos anteriores, marcando mais pontos deste
gráfico ou utilizando um programa computacional que faz gráfico de funções
vemos que o gráfico de x
xf
=2
1)( tem o seguinte aspecto:
22
Pergunta: você reparou alguma semelhança entre os gráficos das funções
xy 2= (do exemplo 17) e x
y
=2
1 (do exemplo 20)? Observe esses dois
gráficos desenhados em um mesmo plano cartesiano:
Agora você reparou que esses gráficos são simétricos em relação ao eixo y ?
Isto é, se a gente imaginasse o eixo y como sendo um espelho, a imagem
refletida neste espelho do gráfico da função xy 2= e o gráfico da função
x
y
=2
1. Isto significa que se o ponto )2,( xx pertence ao gráfico de xy 2= ,
então o ponto )2,( xx− pertence ao gráfico de x
y
=2
1. De fato, isto é
verdade pois x
x
22
1=
−
.
Procedendo do mesmo modo, pode-se verificar que se 1>b e 0>k então o
gráfico das funções xbky ⋅= e x
bky
⋅=1
também são simétricos em
relação ao eixo y . Uma vez que já estudamos o gráfico da função xbky ⋅=
23
com 1>b e 0>k no exemplo 19, podemos utilizar a simetria citada acima
para concluir que o gráfico de x
bky
⋅=1
tem o seguinte aspecto:
É importante observar os seguintes aspectos deste gráfico:
• se 0>k e todo 1>b , então a função a função x
bkxf
⋅=1
)( é
sempre positiva.
• ela é decrescente: quanto maior for o valor de x menor é o valor de
)(xf .
• ela assume valores arbitrariamente grandes.
• quanto maior for o valor de x mais próximo esta função está do
número zero.
Observe que sendo 1>b temos que 11
0 <<b
. Portanto a figura acima
apresento aspecto do gráfico de uma função exponencial de base entre 0 e 1.
Além disso, como 11 −= bb
, costuma-se escrever a função exponencial
x
bkxf
⋅=1
)( de base 11
0 <<b
do seguinte modo: xbkxf −⋅=)( .
24
Problemas envolvendo funções exponenciais
Agora veremos alguns exemplos que mobilizam as habilidades desejadas
neste Módulo Didático. Uma vez que todos estes problemas estão
acompanhados de solução, sugerimos que o aluno tente fazer cada um deles
antes de ler as soluções propostas.
Problema 1: Considere a função dada por xxf 32)( ⋅= . Para cada inteiro
positivo n defina )(nfan = . Mostre que os números KK ,,,, 21 naaa são os
termos de uma progressão geométrica. Determine o primeiro termo e a razão.
Solução: Para mostrar que os números KK ,,,, 21 naaa são os termos de uma
progressão geométrica devemos mostrar que a razão n
n
a
a 1+ é constante. De
fato, temos que 332
332
32
32 1
1 =⋅
⋅⋅=
⋅
⋅=
++
n
n
n
n
n
n
a
a. Isto mostra que KK ,,,, 21 naaa
são os termos de uma progressão geométrica de razão 3=q e primeiro
termo 6)1(1 == fa .
Problema 2: Considere a progressão geométrica KK ,,,, 21 naaa de primeiro
termo 51 =a e razão 3
2=q . Determine uma função do tipo exponencial
xbkxf ⋅=)( tal que nanf =)( para todo inteiro positivo n .
25
Solução: o termo geral desta progressão geométrica é igual a
1
1
13
25
−−
⋅=⋅=n
n
n qaa . Efetuando algumas manipulações algébricas, vemos
que
nnnnn
na
⋅=
⋅⋅=
⋅
⋅=
⋅
⋅=
⋅=−−−
3
2
2
15
3
2
2
35
3
2
3
25
3
2
3
25
3
25
111
.
Comparando as expressões n
na
⋅=3
2
2
15 e xbkxf ⋅=)( , vemos que para
2
15=k e
3
2=b , temos que nanf =)( para todo inteiro positivo n . Logo
x
xf
⋅=3
2
2
15)( .
Problema 3: Classifique cada uma das funções exponenciais a seguir como
crescente ou decrescente.
x
xf
⋅=3
45)( xxg 2
3
1)( ⋅= xxh 32)( ⋅=
x
xt
⋅=8
3
4
1)( .
Solução: Sabemos que uma função do tipo exponencial xbkxf ⋅=)( (com
0>k ) é crescente se 1>b , e que esta função é decrescente se 10 << b .
Como 13
4> , 12 > e 13 > vemos que as funções f , g e h são crescentes. E
como 18
3< vemos que a função t é decrescente.
No exemplo 4 e 5 a seguir vamos ilustrar que se conhecemos dois pontos do
gráfico de uma função do tipo exponencial xbkxf ⋅=)( então podemos
calcular os valores de k e b .
26
Problema 4: Uma função do tipo exponencial xbkxf ⋅=)( é tal que 3)0( =f e
4)1( =f . Determine os valores de k e b .
Solução: Substituindo os valores 0=x e 1=x na expressão de f , e
utilizando os dados do problema, concluímos que 3)0( 0 ==⋅= kbkf e
4)1( 1 ==⋅= bkbkf . Daí segue que 3=k e 4=bk . Portanto concluímos que
3=k e 3
44==
kb .
Problema 5: Na figura a seguir vemos o gráfico de uma função do tipo
exponencial xbkxf ⋅=)( . Considerando os pontos marcados desse gráfico,
determine os valores de k e b .
Solução: Substituindo os valores 1−=x e 2−=x na expressão de f , e
utilizando os dados do problema, concluímos que 2)1( 1 =⋅=− −bkf e
3)2( 2 =⋅=− −bkf . Daí vemos que 21 =⋅ −bk e 32 =⋅ −bk . Estas igualdades
implicam que kb =2 e kb =23 . Assim vemos que bb 23 2 = e, como 0≠b ,
concluímos que 3
2=b . Substituindo esse valor em kb =2 obtemos
3
4=k .
Logo o gráfico apresentado é o da função x
xf
⋅=3
2
3
4)( .
27
Para finalizar veremos três situações “contextualizadas” do uso das funções
exponenciais. Observamos que outras destas aplicações podem ser
consultadas nas referencias bibliográficas citadas ao final deste Módulo
Didático.
Problema 6: As substâncias radioativas tem a propriedade de se
decomporem ao passar do tempo. Além disso, sabe-se que se a massa inicial
de uma substância radioativa é igual a 0M , então ao passar de t anos essa
massa será igual a tbMtM −⋅= 0)( em que 1>b é uma constante que
depende da substância. Ou seja, a massa da substância radioativa decai
segundo uma função exponencial decrescente.
Para certa substância radioativa, constatou que ao passar de 2 anos
sua massa diminuiu para um terço da sua massa inicial. Qual o valor de b
para esta substância?
Solução: A massa da substância radioativa é dada por tbMtM −⋅= 0)( .
Segundo o experimento, tem-se que 03
1)2( MM = . Daí concluímos que
0
2
03
1MbM =⋅ − . Logo 33
3
1 22 =⇒=⇒=⋅ − bbb .
Problema 7: Após se tomar um medicamento, a droga entra na corrente
sanguínea. Ao passar pelo fígado e rins ela é metabolizada. Parte da droga é
então absorvida pelo organismo e parte é eliminada. Neste processo, a
concentração da droga no sangue vai diminuindo ao passar do tempo. Sabe-
se que essa concentração é dada por uma função do tipo tbCtC −⋅= 0)( , em
que 0C é a concentração inicial, calculada no momento de aplicação da
droga, e que b é uma constante. Desse modo, a concentração da droga no
sangue decresce segundo uma função exponencial.
28
Agora considere que em alguma situação sabe-se que após 3 horas
de aplicado um antibiótico na corrente sanguínea de num animal, sua
concentração cai para 10
1 da concentração inicial. Calcule o valor de b para
este caso.
Solução: Sabemos que a concentração do antibiótico na corrente sanguínea
do animal passadas t horas de sua aplicação é igual a tbCtC −⋅= 0)( .
Entretanto, segundo o problema, sabe-se que 010
1)3( CC = . Logo podemos
escrever que 0
3
010
1CbC =⋅ − . Portanto,
10
13 =−b e 103 =b , ou seja, 3 10=b .
Problema 8: A Lei do resfriamento (ou do aquecimento) de Newton afirma
que a diferença de temperatura entre um objeto e o meio que o cerca decai
como uma função exponencial. Mais especificamente, se a temperatura inicial
do objeto é igual a 0T e a temperatura do meio é M (constante) e, após um
instante t , a temperatura do objeto é )(tT então a diferença de temperatura
MtT −)( , entre o objeto e o meio, é dada por tbkMtT −⋅=−)( , em que
MTMTk −=−= 0)0( é a diferença de temperatura inicial, e 1>b é uma
constante que depende do objeto e do meio.
Considere agora a seguinte situação. Uma panela de água fervendo é
levada a uma sala em que o ar está a uma temperatura de 20 graus
Centígrados. Após uma hora a sua temperatura é de 60 graus. Quanto tempo
a mais é necessário para que temperatura esfrie a 40 graus?
Solução: Vamos considerar como sendo o instante inicial 0=t aquele em
que a panela é tirada do fogão e levada para sala. Nesse instante a
temperatura da panela é 1000 =T e a temperatura constante da sala é
20=M . Pela Lei do Resfriamento de Newton sabemos que em um instante
0>t a temperatura )(tT da panela é tal que tbkMtT −⋅=−)( , em que
29
20=M e 8020100)0( 0 =−=−=−= MTMTk . Logo tbkMtT −⋅=−)( implica
que tbtT −⋅=− 8020)( , ou seja, tbtT −⋅+= 8020)( .
Entretanto, passada uma hora a temperatura da panela é 60 graus.
Isso é 60)1( =T , ou seja, 608020 1 =⋅+ −b ⇒ 2=b . Portanto podemos
escrever que ttT −⋅+= 28020)( . Agora queremos saber em qual instante t
teremos 40)( =tT . Este é o caso se 4028020 =⋅+ −t . Resolvendo esta
equação para t obtemos
2424
12202804028020 =⇒=⇒=⇒=⋅⇒=⋅+ −−− ttttt .
Portanto a temperatura da panela será de 40 graus após 2 horas de a panela
ter saído do fogão e levada para a sala.
Bibliografia:
• Orientação Pedagógica relativa ao tópico 11 do CBC do Ensino Médio.
• Orientação Pedagógica relativa ao tópico 12 do CBC do Ensino Médio.
• Roteiro de Atividade número 16 disponível no site do CRV. Título:
Sobre a absorção de medicamentos pelo organismo.
• Roteiro de Atividade número 25 disponível no site do CRV. Título:
Calculando a espessura de um tira de papel dobrada várias vezes.
• Roteiro de Atividade número 32 disponível no site do CRV. Título: Um
modelo para o crescimento populacional.
• O livro “Logaritmos” de Elon Lages Lima, publicado pela Sociedade
Brasileira de Matemática (SBM) apresenta várias aplicações
interessantes das funções exponenciais: desintegração radioativa,
método do Carbono 14 para a determinação da idade de um fóssil e a
Lei de Resfriamento de Newton.