MATEMÁTICA 2º BÁSICOPROFESSOR: Patric Machado de Menezes.

Escola Érico Veríssimo – Erechim-RS

HORÁRIO

segunda terça quarta quinta sexta

1º

2º

3º

4º

5º

AVALIAÇÕES E TRABALHOS

NOME:___________________________________________________________________________

SÉRIE: ________ TURMA:__________ Nº_____________

ENDEREÇO: __________________________________________________________ N°: ______

COMPLEMENTO: ____________

E-mail: _________________________________ FONE: ____________

SEQUÊNCIAS E PADRÕES

Nesta atividade, você via trabalhar com sequências que tem regularidade, que lhe permitem perceber padrões e fazer generalizações.

TRABALHANDO COM SEQUÊNCIAS FIGURAIS

1. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:

a) Qual o próximo quadrado da sequência? E o seguinte? Desenhe-os.

b) Quantos quadrados tem o contorno do 3º quadrado ?

c) Como você calculou a quantidade de quadrinhos do contorno do 3º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo?

d) Como você pode calcular a quantidade de quadradinhos do contorno do 4º quadrado?

e) E do 5º quadrado?

f) Sem desenhar os quadradinhos, como você calcularia o total de quadradinhos do contorno do 6º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo?

g) E do 9º quadrado? E do 20º?

Os Padrões e a Matemática

O mundo ao seu redor está repleto de padrões. Os padrões são encontrados nos papéis de parede, nas rendas que enfeitam as prateleiras, nos azulejos e mosaicos que ornamentam as fachadas das casas, os templos e os monumentos. Percebemos regularidades numa espiga de milho, nas escamas de um peixe ou nos batimentos cardíacos. Os padrões são utilizados por pintores e poetas em suas criações, onde formas, cores ou palavras combinam-se harmoniosamente. Padrões são encontrados em sequência regulares, irregulares ou até caóticas e são objeto de estudo da Matemática. “A Matemática, a ciência dos padrões, é uma forma de contemplar o mundo em que vivemos” (DEVLIN, 2002, p.12).

http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicio-frisos.htm

h) Quantos quadradinhos existem no contorno de um quadrado numa posição qualquer?Represente a posição qualquer pela letra n, complete o quadrado abaixo e escreva a expressão matemática que expressa essa relação.

Posição do quarado na sequência 1 2 3 4 5 6 ... 9 ... 20 ... n

Número de quadradinhos do contorno

2. Agora, observe a sequência de figuras abaixo que são formadas por pontos e responda:

a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.

b) E a seguinte? Desenhe-a.

c) Como cada figura se transforma na figura seguinte?

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d) Quantos pontos tem a 6º figura? .........................................................................................................

e) E a 10º figura? Quantos pontos ela tem? (desenhe-a, se você achar necessário)

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f) Como é a 28º figura? Quantos pontos ela tem? ...................................................................................

g) Quantos pontos tem uma figura numa posição qualquer? Para responder a essa pergunta, complete a tabela abaixo com os dados que você já tem, represente a posição qualquer pela letra n, e escreva a expressão matemática a ela correspondente.

Posição do quarado na sequência 1 2 3 4 5 6 ... 10 ... 28 ... n

Número de quadradinhos do contorno

3. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda:

a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a.

b) Escreva a expressão matemática que represente o número de quadradinhos em uma posição qualquer.

SEQUÊNCIA

Ao ordenarmos os elementos de um conjunto formamos uma sequência ou sucessão.

Exemplo:

Vamos considerar algumas medidas de temperatura do ar atmosférico, no período do dia:1º medida de 11°C2º medida de 15°C3º medida de 18°C4º medida de 21°C5º medida de 17°C6º medida de 16°C

Dizemos que os valores de temperaturas formam, nesta ordem, uma sequência e cada um desses valores chamamos de termos da sequência, podendo indicá-los da seguinte forma:

• primeiro termo: a1=11ºC

• segundo termo: a2=15ºC • terceiro termo: a3=18ºC

Indicamos os elementos por a1 , a2 , a3 , e assim por diante, até um termo qualquer que indicaremos por an , também chamado de termo geral.

• Finita: (a1 , a2 , a3 , ... , an)

• Infinita:(a1 , a2 , a3 , ...)

PROGRESSÕES ARITMÉTRICA (PA)

Temos uma sequência de números reais:

(2, 5, 8, 11, ...)

Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao número 3:

a1 a2 a3 a4

(2, 5, 8, 11, ...)

2 + 3 5 + 3 8 + 3

De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (PA) a toda sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão (r).

Representação: (a1 , a2 , a3 , ... , an)

• a1 : primeiro termo• n : número de termos• r : razão

Exemplos:

1) (1, 3, 5, 7, 9) PA finita, onde {a1=1r=2n=5

2) (3, 7, 11, ...) PA infinita, onde {a1=3r=4

3) (−8,−5,−2, 1, 4, 7) PA finita, onde {a1=−8

r=3n=6

4) (12

,76

,116

, ...) PA infinita, onde {a1=12

r=23

5) (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9) PA finita, onde {a1=9r=0n=7

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

• Crescente → Uma PA é crescente quando a razão (r) é positiva.r > 0 Exemplo: ( 2 , 7, 12, ... ) PA crescente pois r >0 (r=5)

• Constante → Uma PA é constante quando a razão (r) é zero.r = 0 Exemplo: ( 3 , 3, 3, 3, 3, 3, 3... ) PA crescente pois r >0 (r=0)

• Decrescente → Uma PA é decrescente quando a razão (r) é negativa.r < 0 Exemplo: ( 9 , 4, -1, ... ) PA crescente pois r >0 (r=-5)

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Descrevendo alguns termos de uma PA, obtemos a fórmula do termo geral:a1=a1

a2=a1+ra3=a1+2ra4=a1+3r

. . . . . .

. . .an=a1+(n−1)r

Para determinar a razão de uma PA, basta identificarmos a diferença entre um termo, a partir do segundo, a seu antecessor.

Notando que o coeficiente de r em cada termo é uma unidade inferior ao índice do termo considerado, obtemos a fórmula do termo geral

Exercícios resolvidos

R1) Determine o décimo termo da PA (2, 5, 8, ...)...........................................................................................................................................................................

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R2) Determine o primeiro termo de uma PA em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5...........................................................................................................................................................................

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R3) Determine a razão de uma PA, em que o décimo termo quarto termo é igual a 136 e o primeiro termo é igual a 6...........................................................................................................................................................................

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R4) Determinar o número de termos da PA (8 , 13, 18, ... , 93)...........................................................................................................................................................................

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an=a1+(n−1)r

R5 ) Calcular a razão de uma PA, sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que a23=50...........................................................................................................................................................................

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R6) Sabendo que (x+1) ,(3x−2)e (2x+4) formam, nesta ordem, uma PA, calcular o valor de x e a razão desta PA...........................................................................................................................................................................

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R7) (Mack-SP) Calcular a razão de uma PA de 12 termos, cujos extremos são −28 e 60.

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Exercícios

1) Determine o décimo segundo termo da PA (4, 6, 8, ...).

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2) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15, ...).

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3) Determine o décimo sétimo termo da PA (−6,−1, 4, ...) .

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4) Determine o oitavo termo da PA (1,32

, ...) .

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5) Obtenha o primeiro termo de uma PA, sendo o décimo termo igual a 51 e a razão igual a 5.

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6) Obtenha a razão de uma PA, sendo o vigésimo termo igual a 192 e o primeiro termo igual a 2.

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7) Qual é o primeiro termo de uma PA em que a16=53 e r=4.

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8) Qual é a razão e uma PA em que a26=140 e a1=10?

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9) Determine o número de termos da PA (−6,−9,−12, ... ,−66) .

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10) Numa PA o primeiro termo é igual a razão e a14=84 . Calcule a1 e a razão.

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11) Escreva a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93.

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12) Escreva a PA em que a razão é a terça parte do primeiro termo e o nono temor é igual a −11.

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13) Determine o valor de x, de modo que os termos (x+3) ,(4x−2)e (x−1) formem, nesta ordem,

uma PA.

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PROPRIEDADES DE UM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

PROPRIEDADE 1

Sendo a PA (a, b, c, ...), temos:

Exemplo:

Dados três termos em PA (4,9,14), temos:

PROPRIEDADE 2:

Sendo a PA (2, 5, 8, 11⏟

8+11=19

, 14⏟

5+14=19

, 17⏞Extremos : 2+17+19

)

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Em uma progressão aritmética, ao considerarmos três termos consecutivos, o termo do meio é igual à medida aritmética dos extremos.

b=a+c

2

9=4+14

2

A soma de dois números equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual a soma dos extremos.

Sn=(a1+an) .n

2

R9) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...).

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R10) Determinar a soma dos números naturais pares compreendidos entre 1 e 101.

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R11) Determinar a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 7 e 121.

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Exercícios

14) Determine a soma dos 18 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...).

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15) Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA (−7,−9,−11,...) .

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16) Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA (−15,−11,−7, ...) .

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17) Qual é a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares?

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18) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100?

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19) Qual é a soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1000?

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20) Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.

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21) Escreva a PA em que o primeiro termo é igual à razão e o vigésimo termo é igual a −100.

Determine, também, a soma de seus vinte primeiros termos.

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Progressão geométrica é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao

produto do seu termo precedente por uma constante, denominada razão q da progressão geométrica.

Exemplos:

1) (2, 4, 8) PG finita razão q=2

2) (5, 15, 45,...) PG infinita razão q=3

3) (−1,−4,−16, ...) PG infinita razão q=4

4) (13

,215

,4

75, ...) PG infinita razão q=

25

5) (−7, 14, 28, 56) PG finita razão q=−2

Para achar a razão de uma PG dada através de uma sequência de número não-nulos, basta dividir qualquer termo a partir do segundo pelo seu antecessor.

Escrevendo uma sequência de termos (a1 , a2 , a3 , a4) em uma PG, a razão q pode ser escrita

como:

a4

a3

=a3

a2

=a2

a1

=q

Exemplo :

Considerando a PG (7, 21, 63, 189) , temos:

q=18963

=6321

=217

=3 ou q=3

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

• Crescente: quanto cada termo a partir do segundo é maior que seu antecessor:

(2, 6, 18, ...) q=3

• Decrescente: quando cada termo a partir do segundo é menor que seu antecessor:

(40, 10, 20, ...) q=12

• Constante: quando cada termo a partir do segundo é igual a seu antecessor:

(5, 5, 5, 5,....) q=1

• Oscilante: quando cada termo a partir do segundo tem sinal contrário ao seu antecessor:

(−7, 21,−63,...) q=−3

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Escrevendo a PG (a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an) , vimos que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu antecessor pela razão q:

a2=a1 .qa3=a1.q²a4=a1.q³

. . . . . .

an=a1 .qn−1

Exercícios resolvidos

R12) Representar a progressão geométrica de cinco termos, sendo: {a1=5q=2

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R13) Representar a progressão geométrica de infinitos termos, sendo: {a4=5

q=12

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R14) Determinar o sétimo termo da PG (1, 3, 9, ...).

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R15) Determinar o décimo termo da PG ( 2, 4, 8, ...).

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R16)Determinar o nono termo da PG (81, 27, 9, ...).

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R17) Determinar o primeiro termo de uma progressão geométrica, sendo a6=96 e q=2.

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R18) Qual é a razão de uma progressão geométrica, em que a1=5 e a4=135 ?

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R19) Determinar o número de termos da PG (−1,−2,−4, ... ,−512).

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R20) Obter o valor de x de modo que a sequência 8, x , 2 forme, nesta ordem, uma progressão

geométrica.

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R21)(PUC-SP) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+a , x−1 é uma PG?

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Exercícios

22) Represente a progressão geométrica de seis termos, sendo a1=3 e q=2.

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23) Represente a progressão geométrica de cinco termo, sendo a1=−181

e q=3.

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24) Represente a progressão geométrica de infinitos termos, sendo a1=14

e q=−4.

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25) Determine o décimo primeiro termo da PG (1, 2, 4, ...).

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26) Determine o oitavo termo da PG (1, 3, 9, ...).

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27) Determine o nono termo da PG (1

16,

18

,14

, ...) .

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28) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a7=320 e q=2.

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29) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a8=1 e q=12.

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30) Qual a razão de uma PG em que a1=−3 e a9=−768?

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31) (UGF-RJ) Calcule a razão de uma progressão geométrica, na qual o primeiro termo é 12

e o quarto

termo é 127

.

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32) Qual é o número de termos de uma PG cujo primeiro termo é igual a 12

, a razão é igual a 2 e o

último termo é igual a 128?

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33) Quantos termos tem uma PG cujo primeiro termo é 19

, a razão é 3 e o último termo é igual a 127?

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34) Qual e o termo igual a 192 na PG (3, 6, 12, ...)?

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35) Qual é o termo igual a 125 na PG (125

,15

, 1, ...)?

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36) Sendo 1, x, 9, três primeiros termos consecutivos de uma PG, determine o valor de x.

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37) Obtenha o valor de x de modo que a sequência 6, x, 24 forme, nessa ordem, uma progressão

geométrica crescente.

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38) Qual o valor de x, se a sequência 4x , 2x+3, x+5 é uma PG?

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39) Qual o valor de n, se a sequência n−1, 2n+1, 4n é uma PG?

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SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Escrevendo a PG de n termos, PG (a1 , a2 , a3 , ... , an) podemos demonstrar a fórmula para o

cálculo da soma desses n termos, que é a seguinte: Sendo:

para q≠1

Sn :Soma don termosa1: primeiro termon :número de termosq : razãoda PG

Sn=a1 .( 1−qn

1−q )

Exercícios resolvidos

R22) Calcular a soma dos nove primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...).

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R23) Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é 162 e que a

razão é igual a 3.

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Exercícios

40) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (1, 3, 9, ...).

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41) Calcular a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 4, 8, ...).

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42) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (−3,−6,−12, ...).

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43) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG (1

81,

127

,19

, ...) .

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44) Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG (132

,1

16,

18

, ...) .

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45) Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG, sabendo que o sexto termo é 160 e que a

razão é igual a 2.

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46) Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é −81

e que a razão é igual a 3.

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47) Determine a soma dos sete primeiros termos de uma PG, sabendo que o sétimo termo é igual a 320 e

que a razão é igual a 2.

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48) Determine a soam dos dez primeiros termos de uma PG, sabendo que o décimo termo é igual a 1 e

que a razão é igual a −1.

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SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA

Dada uma PG infinita (a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) , sendo a razão q diferente de zero (q≠0) , e

−1<q<1.

Exemplo:

(1,13

,19

,127

, ...) onde {a1=1

q=13

Observe que, quando o número de termos (n) aumenta indefinidamente, o termo (an) tende a

zero.

Em símbolos:

limn→∞

an=0 ou seja, o limite de an , para n tendendo a infinito, é igual a zero, onde a soma (S)

dos infinitos termos pode ser obtida aplicando a fórmula:

onde {a1 é o primeiro termoq é arazão

Exercícios

R24) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,13

,19

,1

27, ...)

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R25) Calcular a soma (10−1+10−2

+10−3+...)

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R26) (FEI-SP) Determine x na igualdade x+x2+

x4+

x8+ ...=20.

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S=a1

1−q

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49) Determine a soma dos termos da PG infinita (1,12

,14

, ...) .

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50) Determine a soma dos termos da PG infinita (15

,1

20,

180

, ...) .

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51) Determine a soma dos termos da PG infinita (1 ,−13

,19

, ...).

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52) (PUC-SP) Calcule a soma S=3 +32

+34

+38

+ ...

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53) Calcule a soma S=1+10−1 +10−2+ ...

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54) (Mack-SP) Calcule S=110

+2

102+

3

103+

4

104+ ...

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55) Determine o valor de x na igualdade : x +x3

+x9

+x

27+=12

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56) Numa PG de infinitos termos, o primeiro termo é igual a 152

e a soma (S) dos termos é igual a 15.

Determine o valor da razão (q).

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

A análise combinatória é uma ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que

consiste basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no

cálculo das probabilidades, sendo instrumento vital importância para a ciências, como na Genétrica e na

Estatística.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Sabendo que um acontecimento ocorre em duas situações e independentes, temos:

1º situação: ocorre de a maneiras.

2º situação: ocorre de b maneiras.

O número total de possibilidades de ocorrência de acontecimento é dado pelo produto a.b

Exemplo:

Um rapaz possui quatro gravatas e três camisas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir?

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Exercícios Resolvidos

R1) Três estudantes, Renato, José e Cristina, disputam um torneio de xadrez onde são atribuídos prêmios

ao campeão e a o vice-campeão. De quantas maneiras os prêmios poder ser distribuídos?

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R2) Em quantas ordens diferentes 4 pessoas poem se sentar num sofá de 4 lugares?

X X X = 24

A árvore mostra todos os modos possíveis de as 4 pessoas se sentarem num sofá de 4 lugares, ou

seja:

4 . 3 . 2 . 1 = 24 24 possibilidades

P1

P2

P3

P4

P1

P2 P3

P4

P1

P2P3

P4

P1

P2

P3

P4

P4P3

P4

P4

P2

P2

P3

P3

P4

P4

P3

P1

P1

P4

P4

P1

P2

P1

P2

P1

P2

P1

P2

P3

P3

P3

P2

P3

P2

P4

P4

P3

P1

P3

P1

P4

P4

P2

P4

P1

P2

P1

P2

P1

P2

P1

P3

P3

4 3 2 1

Exercícios

1) Uma moça possui cinco blusas e duas saias. De quantos modo diferentes ela pode se vestir?

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2) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?

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3) Num clube existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Um sócio do clube pretende ir

à sala de jogos, que está situada no 6º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras

diferentes poderá fazê-lo?

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4) Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal?

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5) Uma pessoa possui dez envelopes diferentes e oito selos diferentes. De quantos modos essa pessoa

pode enviar uma carta, utilizando um envelope e um selo?

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6) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?

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7) (Unicamp-SP) Sabendo que número de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos

diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.

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8) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar a 5 letras

da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas

com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?

a) 4 b) 36 c) 28 d) 120 e) 24

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9) (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S1 e S2 e 3 ruas ligando os supermercados

S2 e S3 . para ir de S1 a S3 , passando por S2 , o número de trajetos diferentes que podem

ser utilizados é:

a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3

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10) (Mack-SP) Com números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles,

são divisíveis por 5:

a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números

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FATORIAL

Considerando um número n, sendo n∈N e n > 1, temos:

onde

Exemplos:

1) 2! = ...................................................... 3) 4!=......................................................

2) 3! = ...................................................... 4) 5!=......................................................

Exercícios resolvidos

R2) Simplificar as expressões:

a) 3!2!

b)12!10 !

c)4 !+5 !

4 !d)

(n+1) !(n−1) !

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R3) Resolver a equação: (x+2)!

x !=6

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n !=n.(n−1) .(n−2). ... .1 {a leitura do símbolo n !é n fatorialn !é o produto de todos os números den até 1 por definição :

0!=11!=1

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11) Calcule o valor dos seguintes números fatoriais:

a) 0! g) 3 !−2!

b) 1! h) 0 !+1!

c) 4! i) (2!) (3!)

d) 5! j) (0!) (5!)

e) 1!+3 ! l) ( 0!) (5!)

f) 1!+4 ! m) 0 !+1!

12) Simplifique as seguintes expressões:

a)8!9!

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b) 15 !13 !

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c) 4 !6 !

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d)6 !

5 !2 ! .......................................................................................................................................................

e) 8!

4 !6 !.......................................................................................................................................................

f) 2 . 4 !4 !4 !

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13) Simplifique as seguintes expressões:

a)n !

(n−1)!....................................................................................................................................................

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b) x !

(x−2)!..................................................................................................................................................

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c) (x+1)!

n !..................................................................................................................................................

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d)(2x+2)!(2x)!

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e) x !(x+2)!

(x−1)!(x+1)!......................................................................................................................................

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f) (n−1) !+(n−2)!

n!...................................................................................................................................

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14) Determine o valor de x, de modo que se tenha:

a) x !=1 b) x!=24 c) x !=720 d) x !=x

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15) Resolva as seguintes equações:

a) (x+1)!(n−1)!

=12

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16)n !

(n−2)!=20

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17)(n−1) !(n+2)!

n !(n+1)!=2

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PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutação de um número n de elementos distintos é qualquer grupo ornado desses n elementos.

Para cálculo das permutações simples, usamos:

Leitura: Permutação de n elementos distintos é igual a n fatorial.

Exemplo:

Calcular o número de anagramas da palavras LÁPIS.

Observação: Anagramas são palavras com ou sem sentido.

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R4) Considere a palavra DILEMA e determine:

a) O número total de anagramas;

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b) O número de anagramas que começam com a letra D;

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c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A;

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d)O número de anagramas que começam por vogal.

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18) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO?

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19) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO que começam por vogal?

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20) Quantas são os anagramas da palavra LIVRO que começam por consoantes?

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Pn=n !

21) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ADESIVO?

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22) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam a letra D?

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23) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam com a letra D e terminam com a letra

V?

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24) Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?

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25) De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em cinco cadeiras, em fila?

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ARRANJO SIMPLES

Chamamos de arranjo simples a todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos

formar com n elementos distintos, sendo p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do

outro pela ordem ou natureza de seus elementos.

Para cálculo do número de arranjos simples, usamos:

Leitura An , p : Arranjo de n elementos tomados de p a p.

Exemplo:A5, 2= .........................................................................................................................................................

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Exercício resolvidos:

R5) Resolver a equação:

An , 2=6

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An , p=n !

(n− p)!

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R6) Uma escola possui 18 professores. De quantas maneiras podem ser escolhidos: um diretor, um vice-

diretor e um coordenador pedagógico?

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Exercícios

26) Calcule:

a) A4, 3 b) A5, 2 c) A12, 3 d)A4, 2

A6, 5

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27) Resolva as equações:

a) An , 2=30 b)An , 4

An , 3

=8

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28) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto

E={1, 2, 3, 4, 5}.

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29) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, dos quais serão escolhidos três para os cargos

de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?

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30) Um pintor deseja pintar as letras da palavra LIVRE em um cartaz de publicidade usando cores

diferentes. E quantos modos pode ser feito, se dispõe de 8 tintas de cores diferentes?

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31) Em um ônibus, há sete lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem duas pessoas se sentar?

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32) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4

lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigia uma vez. Combinaram

também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número

de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é:

a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 e) 162

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33) De quantos modos podem-se arrumar 4 livros de Matemática, 3 de Geografia e 2 de Biologia, numa

estante, de modo que:

a) fiquem dispostos em qualquer ordem?

b) os livros de mesmo assunto fiquem juntos?

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COMBIANÇÃO SIMPLES

Chamamos de combinação simples, todos agrupamentos simples de p elementos que podemos

formar com n elementos distintos, sendo p⩽n , onde cada um desses agrupamentos se diferencia do

outro, apenas pela natureza de seus elementos.

Para o cálculo do número de combinações simples usamos:

Leitura Cn , p : Combinação de n elementos tomados de p a p.

Exemplo:C5, 2= .........................................................................................................................................................

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Exercício resolvidos:

R7) Resolver a equação:

C x , 2=6

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Cn , p=n !

p !(n− p)!

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R8) Uma escola possui 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um

congresso. De quantos modos pode ser feita a escolha ?

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34) Calcule:

a) C5, 3 b) C7, 5 c) C6, 2 d)C10, 3

C5, 3

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35) Resolva as equações:

a) Cn , 2=6 b) Cn , 4=4 C n, 3

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36) De quantos modos podemos iluminar um galpão que possui 10 lâmpadas, sabendo que ficam acesas

sempre 4 lâmpadas?

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37) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuiu um conjunto de 6 elementos?

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38) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes?

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39) Uma papelaria possui 8 cadernos diferentes. Querendo comprar apenas três, de quantas maneiras

pode ser feita a escolha das cores?

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40) O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n.

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41) (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lugas que podem ser

realizadas entre os inscritos é:

a) 12 b) 24 c) 33 d) 66 e) 132

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42) Qual a diferença entre arranjo simples e combinação?

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43) Resolva os problema de arranjo simples, permutação e combinação simples.

a) Quantos números de dois algarismos podem ser escritos com os algarismos 2, 3 e 4 ?

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b) O diretório acadêmico de uma faculdade possui 12 membros, dos quais serão escolhidos 4 para os

cargos de presidente, vice-presidente, tesoureiro e secretário. De quantas maneiras pode ser feita a

escolha?

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c) Um estudante possui 9 folhas de papel, de cores diferentes e que encapar 3 cadernos, um de cada cor.

Quantas são as maneiras possíveis?

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d) Determine o número de diagonais do pentágono (polígono de 5 lados).

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PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Um conjunto foi escrito com n elementos. Um dos elementos foi repedido α (alfa) vezes, outro

elemento foi repetido β (beta) vezes e assim por diante, até um elemento γ (gama) vezes.

O número de permutações que se pode obter com os elementos é:

Exemplo:

Qual é o número de anagramas que podemos forma com as letras da palavra INFINITO?

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44) Qual é o número de anagramas podemos formar com as letras da palavra URUGUAY?

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45) (Unicamp-SP) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção

leste-oeste. Um trabalhador, que reside numa das esquinas dessa cidade, trabalha numa firma localizada

em outra esquina, 2 quadras ao sul e 3 quadras a leste. Quantos caminhos (possíveis) o trabalhador pode

seguir de sua casa à fábrica, percorrendo sempre a menor distância?

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pn(α , β , ... , γ)

=n !

α !β ! , ..., γ !

NÚMERO BINOMIAIS

Se n e p são dois números, tais que {n , p}⊂N e n⩾p , chama-se número binomial de classe

p do número n ao número:

Notamos que : (n0)=Cn , p

Exemplos:

1) (62)= ........................................................................................................................................................

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2) (43 )= ........................................................................................................................................................

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CASOS NOTÁVEIS

1)

Exemplo:

(30)= ...........................................................................................................................................................

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2)

Exemplo:

(21)= ............................................................................................................................................................

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(np)= n!

p !(n−p) !

(n0)= n !0 ! (n−0)!

=n !

1 . n !=1

(n1)= n !1 !(n−1)!

=n !(n−1)!(n−1) !

= n

3)

Exemplo:

(55)= ............................................................................................................................................................

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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS

PROPRIEDADE 1:

Se (np)=(nq) temos :{

p=qou

p+q =n

Exemplo:

(53)=(52) ......................................................................................................................................................

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PROPRIEDADE 2:

Relação de Stifel

(np)+( n

p+1)=(n+1p+1)

Exemplo:

(64)+(65)=(75)

Exercícios resolvidos

R9) Determinar:

a) (53)= b) (30)+(41)+(55)

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(nn)= n !n !(n−n)!

=n !

n! 0 !=1

R10) Resolver a equação: (5x)=(52)

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R11) Determinar (86)=(87)

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Exercícios

45) Calcule:

a) (62) ..........................................................................................................................................................

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b) (54) ..........................................................................................................................................................

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c) (76) ..........................................................................................................................................................

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d) (108 ) .........................................................................................................................................................

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46) Simplifique as expressões:

a) (20)+(77) .................................................................................................................................................

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b) (41)−(80) .................................................................................................................................................

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c) (50)+(51)+(55) ..........................................................................................................................................

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47) Simplifique as expressões aplicando a relação de stifel:

a) (52)−(53) b) (107 )−(10

8 )..........................................................................................................................................................................

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48) Determine o conjunto verdade das equações:

a) (7x)=(73) ................................................................................................................................................

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b) (26)=(8x ) ................................................................................................................................................

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c) (x6)=( x

4) ................................................................................................................................................

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(Sugestão: Comparar com a relação de Stifel.)

d) (x2)+( x

3)=(73) ........................................................................................................................................

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e) (x4)+(x

5)=(75) ........................................................................................................................................

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BINÔMIO DE NEWTON

Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.

Isaac Newton (1642-1727)

Supondo um número natural n, n ∈ N , podemos considerar a expressão:

Considere alguns valores para n, temos:a) n=0

(x+a)0=(00)

b) n=1

(x+a)1=(10) x1 a0

+(11) x0a1

c) n=2

(x+a)2=(20) x2 a0

+(21) x1a1

+(22) x0a2

(x+a)n=(n0) xn a0

+(n1)xn−1 a1+(n2) xn−2a2

+ ...+(nn) x0a0

d) n=3

(x+a)3=(30) x3a0

+(31)x2 a1

+(32)x1 a2+(3

3) x0 a3

TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON

Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão:

Exemplo:

Determinar o termo x3 no desenvolvimento do binômio (x+4)5 .

Exercícios

49) Desenvolva os seguintes binômios:

a) (x+1) ³ ...................................................................................................................................................

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b) (x+3)⁴ ...................................................................................................................................................

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c) (x+2)⁵ ...................................................................................................................................................

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T p+1=(n0) xn− p . ap

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d) (x−1) ³ ...................................................................................................................................................

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e) (x−3) ² ...................................................................................................................................................

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f) (x−2)⁴ .....................................................................................................................................................

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50) Determine o termo em x³ no desenvolvimento dos binômios:

a) (x+2)6

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b) (x+3)8

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51) Determine o termo em x5 no desenvolvimento dos binômios:

a) (x+2)7

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b) (x−1)6

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TRIÂNGULO DE PASCAL

A determinação de números binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático

chamado triângulo de Pascal, que é construído com base na teoria e propriedades dos números binomiais.

p0 1 2 3 4 5 6

n

0 (00)1 (10) (11)2 (20) (21) (22)3 (30) (31) (32) (33)4 (4

0) (41) (4

2) (43 ) (4

4)5 (50) (51) (52) (53) (54) (55)6...

(60)...

(61)...

(62)...

(63)...

(64)...

(65)...

(66)...

Verifique no triângulo de Pascal as seguintes propriedades:

1º) Um “cateto” e a “hipotenusa” do triângulo de Pascal são formados por 1.

2º) Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais.

3º) A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha seguinte,

4º) A soma dos elementos de cada linha do triângulo é um potência de 2, cujo expoente é o número da

linha.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3 3

4 6 4

5 10 10 5

6 15 20 15 6

ou