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1
Série de Taylor
( )
0
( )2
( )( ) ( ) (́ )( )
!
´́ ( ) ( )( ) ... ( ) ...
2! !
kk
k
nn
f ax a f a f a x a
k
f a f ax a x a
n
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2
Série de Maclaurin
( ) ( )2
0
(0) ´́ (0) (0)(0) (́0) ... ...
! 2! !
k nk n
k
f f fx f f x x x
k n
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3
Polinômio de Taylor de ordem n
2
( ) ( )
´́ ( )( ) ( ) (́ )( ) ( ) ...
2!
( ) ( )( ) ... ( )
! !
n
k nk n
f aP x f a f a x a x a
f a f ax a x a
k n
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4
Resto de um polinômio de Taylor
( ) ( ) ( )n nf x P x R x
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5
Teorema de Taylor
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Exemplos
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Exemplos
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Funções de várias variáveis
Função de duas variáveis
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Notação
2:
( , ) ( , )
f D
x y z f x y
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Exemplo
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Solução
a) b)
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Exemplo (sensação térmica)
Obs: ver também UMIDEX
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Exemplo: função de produção de Cobb-Douglas
(1 )( , )P L K bL K
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Tabela dados Cobb-Douglas
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Exemplo
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Solução
Imagem é:
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Gráficos
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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23
Curvas de nível
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Topografia
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Temperaturas (curvas isotérmicas)
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Exemplo
73
56
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Exemplo
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Solução
ou equivalentemente
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Exemplo
2 2( , ) 4h x y x y
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Exemplo
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Continuação
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Exemplo
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33
Continuação
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Funções com três variáveis
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Exemplo
Determine as curvas de superfície da função: 2 2 2( , , )f x y z x y z
Solução:2 2 2 onde 0.x y z k k
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Exemplo
Case as funções com os gráficos:
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Continuação
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Exemplo
As curvas de nivel abaixo são de um cone e um
paraboloide. Qual é qual?
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Exemplo
Case as funções abaixo com os seus gráficos e com os seus
mapas de contorno:
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Continuação
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Continuação
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Limites
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Limites
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Limites
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Exemplo
2 2
2 2( , ) (0,0)
( )lim
x y
sen x y
x y
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Exemplo2 2
2 2( , ) (0,0)lim
x y
x y
x y
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Observação importante
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Exemplo
2 2( , ) (0,0)lim
x y
xy
x y
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Exemplo2
2 4( , ) (0,0)lim
x y
xy
x y
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Exemplo
2
2 2( , ) (0,0)
3lim 0
x y
x y
x y
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Continuidade