Funcoes de varias variaveis calculo 2

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<ul><li> 1. Notas de aula --- Parte II FUNES DE VRIAS VARIVEISEscritas pelo Professor Wilson CanesinUtilizada na disciplina Matemtica C para o curso de Cincias Aeronuticas da UniversidadeBraz Cubas </li> <li> 2. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1- FUNES DE VRIAS VARIVEIS Em muitas situaes prticas, o valor de uma certa quantidade,depende dos valores de duas outras ou de trs outras. Ento, usualrepresentar estas relaes como funes de vrias variveis. Por exemplo, numa fbrica, uma quantidade chamada deproduo (P), depende do nmero de homens-hora (L) e do nmerode mquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentao funcional dessa relao P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer nmero devariveis.1.2 Funes de duas variveis Seja D um subconjunto (regio) do espao R2 (plano) . Chama-se funo f de D toda relao que associa, a cada par (x,y) D, umnico nmero real, representado por f(x,y). O conjunto D o domnioda funo. zAssim, f(x,y)D o domnio da funo em R2 ,f a funof(x,y) o valor da funo calculado em (x,y). y x z (x,y) DExemplos de valores de funo de 2 variveis:Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , ento f(2,3) = 22 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32Domnio das funes de duas variveis O domnio dessas funes segue as mesmas regras do domniode funes de uma varivel, ou seja, o domnio a regio D R2 , talque os valores calculados da funo,para todo (x,y) D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).Ex.1- Achar o domnio da funo f(x,y) = y xA condio de existncia dessa funo y-x 0 (real) , portanto o seudomnio D ={ (x,y) R2 / y - x 0 }.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 18 </li> <li> 3. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva x2Ex.2 Ache o domnio da funo f(x,y) = , a funo finita 2x yquando 2x-y 0. Assim, domnio D (xy) o conjunto de pontos, taisque, z D D ={ (x,y) R2 / y 2x }. y x z D x2Ex.3 - Ache o domnio da funo f(x,y) = , a funo finita 3x yquando 3x - y &gt; 0. O domnio o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) R2 / 3x - y &gt; 0 }.1.3 - Grfico de uma funo de 2 variveis J vimos que para as funes de uma varivel, o grfico noplano x,y e y=f(x). Para funes de 2 variveis o grfico em R3 e z = f(x,y). Umafuno de 2 variveis sempre gera uma superfcie no espao R3. X Y Z A superfcie obtida 0 0 para cada par x,y , 0 1 fixando um valor de 0 2 x e variando y, em 0 3 1 0 seguida fixa um 2o 1 1 valor de x e varia y , 1 2 depois fixa um 3o x e 1 3 Y varia y ,etc., at 2 0 variar x e y em todo 2 1 o domnio. 2 2 X 2 3 3 0 3 1 ... ...Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 19 </li> <li> 4. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva Exemplos de funes de 2 variveis: Z Ex.1 A funo z = f(x,y) = 5 5 A superfcie um plano infinito, paralelo Y a x,y e passando por z=5 X Ex.2 - A funo z = f(x,y) = 6 2 x + 3 y . Esta funo pode ser escrita na forma 2x 3y + z = 6 que a equao de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, so fazer : Z a) x =0 e y =0 z = 6 b) x =0 e z = 0 y = 2 (0,0,6) c) y =0 e z = 0 x = 3 Portanto, o grfico de f no X plano (0,2,0) (3,0,0) Y Ex. 4 - A funo Ex.3 A funo z = f(x,y) = x2 + y2 z = f(x,y) = 1 x y 2 2 Z A superfcie Z um parabolide A superfcie gerada de revoluo. uma semi-esfera de centro na origem. Y Y X X Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 20 </li> <li> 5. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.4 Limite e Continuidade de Funes de 2 Variveis O limite da funo f(x,y), quando (x,y) tende para um valor(x0,y0), o nmero L (se existir) e representado por lim f ( x, y ) = L ( x, y ) ( x 0 , y 0 )Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),dizemos que a funo contnua neste ponto. Caso contrrio afuno ser descontnua no ponto. O mesmo vlido para umintervalo, isto , a funo contnua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral fcil verificara continuidade das funes, por simples inspeo da mesma. Nas funes abaixo o limite existir sempre,com exceo nasrestries.Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 xy , contnua para todo par x,yEx.2 f(x,y) = x3y2 xy + y3 + 6, contnua x , y x2 + y2Ex.3 f(x,y) = contnua x.y 1 ou y 1/x x y 1 y D X x+ yEx. 4 f(x,y) = contnua se x y x y y y=x D XUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 21 </li> <li> 6. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.5 f(x,y) = ln(x-y) contnua x,y tal que x - y &gt; 0ou y &gt; x y y&gt;x xEx.6 f(x,y) = 1 x 2 y 2 contnua se 1-x2-y2 0 ,ou x2+y2 1 y O domnio uma circunferncia de D centro na origem x e de raio r 1Ex.7 f(x,y) = y 1 / x a funo contnua se y 1/x 0 , y 1/xQue resulta no grfico: y xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 22 </li> <li> 7. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.5 Derivadas de Funes de 2 Variveis A definio de derivada parcial de uma funo de 2 variveis amesma que a de funes de uma varivel. A nica diferena aqui que , como se tem duas variveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se d acrscimos para a outra. Assim, seja a funo f(x,y) ,sua derivada em relao a x f = f ( x + x , y ) f ( x , y ) incremento da funo f f ( x + x, y ) f ( x , y ) = taxa de variao da funo x x lim f f x0 = = f x ( x, y ) Derivada parcial em x x x Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relao a y l i m f f = = f y ( x, y ) Derivada parcial em y y 0 x y1.6 Interpretao geomtrica da derivada parcial Nas funes de uma varivel, a derivada mede a inclinao dareta tangente curva no ponto dado. Nas funes do tipo f(x,y) deduas variveis, a derivada em relao a x, mede a inclinao da retatangente superfcie, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seo paralelaao eixo x, com y constante, e numa seo paralela a y e com xconstante. z Assim, tan = fx(x0,y0) = f / x y0 y tan = fy(x0,y0) = f / y x0 x Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 23 </li> <li> 8. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais) Nmero Funo f = f(x,y) Derivada fs = f/s , s = x,y 1 f=k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 2 f= x ou f=y fs = 1 s = x ou y 3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=u/(x,y) 4 f = n um m us Ds n u m = n um nu 5 f = ln u us Ds ln u = u 6 f = lga u us Ds lga u = u ln a 7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu D s e u = eu u s 9 f =uv fs = v us + u vs 2 10 f=u/v , us=u/(x,y) fs =(v us u vs ) / v 11 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.usUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 24 </li> <li> 9. Matemtica C prof. W...</li></ul>