Funcoes de varias variaveis calculo 2

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  • 1. Notas de aula --- Parte II FUNES DE VRIAS VARIVEISEscritas pelo Professor Wilson CanesinUtilizada na disciplina Matemtica C para o curso de Cincias Aeronuticas da UniversidadeBraz Cubas
  • 2. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1- FUNES DE VRIAS VARIVEIS Em muitas situaes prticas, o valor de uma certa quantidade,depende dos valores de duas outras ou de trs outras. Ento, usualrepresentar estas relaes como funes de vrias variveis. Por exemplo, numa fbrica, uma quantidade chamada deproduo (P), depende do nmero de homens-hora (L) e do nmerode mquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentao funcional dessa relao P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer nmero devariveis.1.2 Funes de duas variveis Seja D um subconjunto (regio) do espao R2 (plano) . Chama-se funo f de D toda relao que associa, a cada par (x,y) D, umnico nmero real, representado por f(x,y). O conjunto D o domnioda funo. zAssim, f(x,y)D o domnio da funo em R2 ,f a funof(x,y) o valor da funo calculado em (x,y). y x z (x,y) DExemplos de valores de funo de 2 variveis:Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , ento f(2,3) = 22 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32Domnio das funes de duas variveis O domnio dessas funes segue as mesmas regras do domniode funes de uma varivel, ou seja, o domnio a regio D R2 , talque os valores calculados da funo,para todo (x,y) D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).Ex.1- Achar o domnio da funo f(x,y) = y xA condio de existncia dessa funo y-x 0 (real) , portanto o seudomnio D ={ (x,y) R2 / y - x 0 }.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 18
  • 3. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva x2Ex.2 Ache o domnio da funo f(x,y) = , a funo finita 2x yquando 2x-y 0. Assim, domnio D (xy) o conjunto de pontos, taisque, z D D ={ (x,y) R2 / y 2x }. y x z D x2Ex.3 - Ache o domnio da funo f(x,y) = , a funo finita 3x yquando 3x - y > 0. O domnio o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) R2 / 3x - y > 0 }.1.3 - Grfico de uma funo de 2 variveis J vimos que para as funes de uma varivel, o grfico noplano x,y e y=f(x). Para funes de 2 variveis o grfico em R3 e z = f(x,y). Umafuno de 2 variveis sempre gera uma superfcie no espao R3. X Y Z A superfcie obtida 0 0 para cada par x,y , 0 1 fixando um valor de 0 2 x e variando y, em 0 3 1 0 seguida fixa um 2o 1 1 valor de x e varia y , 1 2 depois fixa um 3o x e 1 3 Y varia y ,etc., at 2 0 variar x e y em todo 2 1 o domnio. 2 2 X 2 3 3 0 3 1 ... ...Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 19
  • 4. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva Exemplos de funes de 2 variveis: Z Ex.1 A funo z = f(x,y) = 5 5 A superfcie um plano infinito, paralelo Y a x,y e passando por z=5 X Ex.2 - A funo z = f(x,y) = 6 2 x + 3 y . Esta funo pode ser escrita na forma 2x 3y + z = 6 que a equao de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, so fazer : Z a) x =0 e y =0 z = 6 b) x =0 e z = 0 y = 2 (0,0,6) c) y =0 e z = 0 x = 3 Portanto, o grfico de f no X plano (0,2,0) (3,0,0) Y Ex. 4 - A funo Ex.3 A funo z = f(x,y) = x2 + y2 z = f(x,y) = 1 x y 2 2 Z A superfcie Z um parabolide A superfcie gerada de revoluo. uma semi-esfera de centro na origem. Y Y X X Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 20
  • 5. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.4 Limite e Continuidade de Funes de 2 Variveis O limite da funo f(x,y), quando (x,y) tende para um valor(x0,y0), o nmero L (se existir) e representado por lim f ( x, y ) = L ( x, y ) ( x 0 , y 0 )Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),dizemos que a funo contnua neste ponto. Caso contrrio afuno ser descontnua no ponto. O mesmo vlido para umintervalo, isto , a funo contnua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral fcil verificara continuidade das funes, por simples inspeo da mesma. Nas funes abaixo o limite existir sempre,com exceo nasrestries.Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 xy , contnua para todo par x,yEx.2 f(x,y) = x3y2 xy + y3 + 6, contnua x , y x2 + y2Ex.3 f(x,y) = contnua x.y 1 ou y 1/x x y 1 y D X x+ yEx. 4 f(x,y) = contnua se x y x y y y=x D XUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 21
  • 6. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.5 f(x,y) = ln(x-y) contnua x,y tal que x - y > 0ou y > x y y>x xEx.6 f(x,y) = 1 x 2 y 2 contnua se 1-x2-y2 0 ,ou x2+y2 1 y O domnio uma circunferncia de D centro na origem x e de raio r 1Ex.7 f(x,y) = y 1 / x a funo contnua se y 1/x 0 , y 1/xQue resulta no grfico: y xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 22
  • 7. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.5 Derivadas de Funes de 2 Variveis A definio de derivada parcial de uma funo de 2 variveis amesma que a de funes de uma varivel. A nica diferena aqui que , como se tem duas variveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se d acrscimos para a outra. Assim, seja a funo f(x,y) ,sua derivada em relao a x f = f ( x + x , y ) f ( x , y ) incremento da funo f f ( x + x, y ) f ( x , y ) = taxa de variao da funo x x lim f f x0 = = f x ( x, y ) Derivada parcial em x x x Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relao a y l i m f f = = f y ( x, y ) Derivada parcial em y y 0 x y1.6 Interpretao geomtrica da derivada parcial Nas funes de uma varivel, a derivada mede a inclinao dareta tangente curva no ponto dado. Nas funes do tipo f(x,y) deduas variveis, a derivada em relao a x, mede a inclinao da retatangente superfcie, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seo paralelaao eixo x, com y constante, e numa seo paralela a y e com xconstante. z Assim, tan = fx(x0,y0) = f / x y0 y tan = fy(x0,y0) = f / y x0 x Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 23
  • 8. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais) Nmero Funo f = f(x,y) Derivada fs = f/s , s = x,y 1 f=k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 2 f= x ou f=y fs = 1 s = x ou y 3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=u/(x,y) 4 f = n um m us Ds n u m = n um nu 5 f = ln u us Ds ln u = u 6 f = lga u us Ds lga u = u ln a 7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu D s e u = eu u s 9 f =uv fs = v us + u vs 2 10 f=u/v , us=u/(x,y) fs =(v us u vs ) / v 11 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.usUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 24
  • 9. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.6.1- A tcnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relao a "x" , considera y comoconstante, enquanto que a derivada parcial em relao na "y"considera x como constante.fx = f / x y=constantefy = f / y x=constanteEx.1- Derivar a funo f(x,y) =3 x3y2fx = (3x3y2) / x = 9x2y2 fy = (3x3y2) / y = 6x3yEx.2 - Derivar a funo f(x,y) = x2 + y2fx = ( x2 + y2) / x = 2x fy = (x2 + y2) / y = 2yEx.3 - Derivar a funo f(x,y) =x /( x2 + y2 )f=u/v , u =x e v = x 2 + y2 fs = [ v us u vs ]/v2fx =[(x2 + y2).1 x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2fy =[(x2 + y2).0 x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2Ex.4 Calcular a inclinao da reta tangente interseo dasuperfcie z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).Soluo: Para derivar em relao a x, mantm y constante. z = (4 x 2 y ) (x y3 ) = 8 x y y 3 x x xmas no ponto x=3 e y=2 , tem-se f (3,2) = 40 = tan (40) = 88,57 -1 tan = xEx. 6 Calcular a inclinao da tangente interseo da superfciez = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 25
  • 10. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva f = 3x2 + 2y x f (1,1) = 5 = tan (5) = 78,69 -1tan = xEx. 7 Achar as derivadas parciais da funo f(x,y) =( x2 + y3).senx f (u.v) u v = = .v + u. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx x x x x f (u.v) u v = = .v + u. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx y y y y1.7 Diferencial total de uma funo de 2 ou mais variveis A condio para que uma funo seja diferencivel que suasderivadas parciais existam. Assim, dada a funo z = f(x,y) , suadiferencial total : f f dz= dx + dy x yEx.1 diferenciar a funo z = 3x3y2 2xy3 +xy 1 f f = 9x2y2 2y3 +y e = 6x3y 6xy2 + x x yassim, a diferencial da funo df = (9x2y2 2y3 +y ) dx + (6x3y 6xy2 + x) dyA funo de vrias variveis diferencivel se suas derivadas parciaisforem contnuas. A diferencial de uma funo F(x1,x2,...xn) de nvariveis : F F F n F dF = x1 dx1 + x 2 dx2 +......+ x n dx n = x i =1 dxi iEx.2-Calcule a diferencial da funo F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2yUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 26
  • 11. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy 2ydz1.8 Derivada de funes compostas Seja a funo f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . Aderivada desta funo em relao a t d f f d x f d y = + dt x dt y dtEx.1 Calcular a derivada da funo F(x,y) = x2 + 3y 5 ,onde x(t) = et e y(t) = t3 . a) A funo pode ser posta em funo de t , F(t) = e2t +3t3 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 b) Calcula-se pelas derivadas parciais f f d x t d y 2 = 2x ; =3; =e ; = 3t x y dt dt Assim dF = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2 dtSe a funo tiver mais de 2 variveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),x2(t),...xn(t) , so funes de t, ento a sua derivada em relao a t dada pela regra da cadeia df n f d xi f d x1 f d x 2 f d xn = = + + ... + dt i =1 x d t x1 d t x 2 d t xn d tEx.2 Dada a funo f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2td f = 2. cos t + 3.e t 4tdtUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 27
  • 12. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaExerccios propostos: achar as derivadas df/dt 1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t31.9 Derivada de uma funo implcita de 2 ou mais variveis Uma funo est na forma implcita, quando no est resolvidapara uma varivel especfica. As funes resolvidas para uma varivelso chamadas de explcitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na formaimplcita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc. A derivada de uma funo implcita do tipo f(x,y)=0, em relao ax f dx f dy f f dy + =0 + =0 x dx y dx x y dx f ou, dy x f = = x dx f f y yEx.1 Derivar a funo f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente afrmula acima, f = x = dy 4x dx f 15 y 2 yEx.2 Derivar a funo f(x,y) = 4y2 6xy = 0 f = x = dy 6y dx f 8 y 6x y Para mais de 2 variveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) ediferenciando, e aps algumas consideraes teremosUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 28
  • 13. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva z f x f z f y fy = = x e = = x f z fz y f z fzEx.3 - Achar as derivadas z x e z y , da funo x2+y3- z=0.Soluo;z f x 2x = = = 2xx f z 1z f y 3x 2 = = = 3y2y f z 1Exerccios propostos: Derivar as funes implcitas e achar z x e z y , nas expresses abaixo1) 2 x3- 4 y2 6 z = 02) x2 + xy2 + xyz3 3 =01.10 Derivadas parciais de segunda ordem Se f uma funo de duas variveis x e y, suas derivadasparciais so fx =f /x e fy = f /y . Se derivarmos essas derivadasmais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,que so representadas por 2 f 2 f 2 f 2 f f xx = , f xy = , f yx = , f yy = x2 x y y x y xQuando a funo e suas derivadas so contnuas, as derivadascruzadas so iguais , ou seja fxy = fyx .Ex.1 Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 6xy fx =f /x = 8x 6y e fy = f /y = 6y 6xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 29
  • 14. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva 2 f 2 f f xx = =8 ; ; f yx = = -6 x2 y x 2 f 2 f f xy = = -6 ; f yy = = -6 x y y xEX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5yfx =f /x = 2e2x+5y fy = f /y = 5e2x+5y 2 f 2 f f xx = = 4e2x+5y ; f yx = = 10e2x+5y x 2 y x 2 f 2 f f xy = = 10e2x+5y ; f yy = = 25e2x+5y x y y x Note que fxy = fyxEX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) 2x 2y Ufx =f /x = ; fy = f /y = = x + y2 2 x +y 2 2 V 2 f V . U x U . Vx 2( y 2 x 2 ) 2 f 4 xy f xx = = = ; f yx = = 2 2 2 x 2 V2 (x2 + y 2 )2 y x (x + y ) 2 f V . U y U . Vy 4 xy 2 f 2( x 2 y 2 ) f xy = = = 2 2 2 ; f yy = = x y V 2 (x + y ) y x (x2 + y 2 )2Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 30
  • 15. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.11 Derivadas Parciais de Funes de Vrias VariveisAs derivadas parciais tm a mesma definio j vista para 2 variveise so representadas da mesma forma.Exemplos: 1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx 2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) 2 3 fx = ; fy = 2x + 3y z 2 + t 2 2x + 3 y z 2 + t 2 2z 2t fz = ; ft = 2x + 3y z 2 + t 2 2x + 3y z 2 + t 2Exerccios propostos - Derivar as funes: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz x+ y 3) f(x,y,z) = xz 4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)1.12 Derivadas de Ordem SuperiorSeja a funo f de n variveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas deordem superior so calculadas a partir de suas primeiras derivadas.fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.Ex.1 f(x,y,z) = x2 + 4xy2 3y2z3fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0fy = 8xy 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x 6 z3 ; fyz =-18yz2fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 zUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 31
  • 16. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.2 Calcule as derivadas de ordem superior da funo : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us 1fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = -2 ( x ) = -1.x = -1/x 2 xfxy = 0 ; fxz = 0 fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = -2 (2 y 1 ) = -2y = -2 / y 2 y fyz = (2 y 1 ) = 0 zfz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2EXERCCIOS -Derivar as funes a seguir (c/respostas)1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 x+ y2) f(x,y,z) = ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 yzfxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)33) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z);fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z); fzz= 18(x+2y+3z) .4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 32
  • 17. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silvafzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 .5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2;fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)26) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2)fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) x 2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z37) f(x,y,z) = e ; fx=2x e ; fy=2y e ; fz=3z2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fxx=2 e +4x2 e ; fxy=4xy e ; fxz=6xz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fyx=fxy ; fyy=2 e + 4y2 e ; fyz= 6yz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z e +9z4 eUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 33
  • 18. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.13 Mximos e mnimos para funes de duas variveis Uma importante aplicao do estudo de derivadas parciais, ada otimizao de funes. Otimizar uma funo, significa encontrarseu desempenho mximo ou mnimo. Como para as funes de umavarivel, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontosextremos que podem ser mximos ou mnimos. Para saber de que tiposo esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessianocalculado no ponto (x0,y0 ), que definido a seguir. f xx f xy H(x0,y0 ) = f f yy yx ( x0 , y 0 )Assim ,Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) um extremo, ea) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) 0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 ento (x0,y0) um mnimo.c) H(x0,y0 ) 0 que corresponde a um ponto de mnimo da funo.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 36
  • 21. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaSubstituindo os valores x = y = 10 na funo f(x,y) vemos que vai darzero, e portanto a funo tem um mnimo nesse ponto. Isso confirmado pelo grfico tridimensional da funo. Note que nos pontos x =10 e y =10, a funo tem um de seus mnimos. 0.5 0 0 0.5 5 10 15 0 5 10 15 M Grfico 3D da funo senoEx.3 Achar os extremos da funo, com os mesmos valores doexemplo 2, para uma exponencial. e 0,0225( x + y )+0 , 45( x + y )+ 4 , 5 2 2 f(x,y) = = ef(x,y) e0,0225( x + y )0 , 45( x+ y )+ 4 , 5 2 2fx = [-0,045 x + 0,45] . e0,0225( x + y )0 , 45 ( x+ y )+ 4 , 5 2 2fy = [-0,045 y + 0,45] .fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)No ponto x=y=10, tem-se:fxx + fyy < 0que corresponde a um ponto de mximo, conforme pode serverificado no grfico da funo.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 37
  • 22. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva 1 0.8 0.6 0.4 0 0.2 10 0 20 10 20 M Grfico 3D da funo exponencialEx.4 A temperatura T (C) em cada ponto de um painel plano dada pela equao T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nospontos mais quentes e mais frios da regio.fx = ( f / x) =32x +24 ; fy = ( f / y) = 80yOs pontos extremos so calculados para fx =0 e fy =0 , resultando x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 . f xx f xy 32 0 H(x0,y0 ) = f = yx f yy ( x0 , y 0 ) 0 80 ( 3 / 4, 0) > 0 H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 um ponto de mnimo. O ponto de mnimo (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outroponto na vizinhana dele, a temperatura j ser maior, conformemostra o grfico da superfcie.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 38
  • 23. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva 0 1 2 8 -1 1.2 49.6 9 -1 1.6 94.4 10 -1 2 152 11 -0.8 -2 151.04 12 -0.8 -1.6 93.44 13 -0.8 -1.2 48.64 100 14 -0.8 -0.8 16.64 mnimo XYZ = 15 -0.8 -0.4 -2.56 0 20 0 16 -0.8 0 -8.96 15 5 10 10 17 -0.8 0.4 -2.56 5 15 0 20 18 -0.8 0.8 16.64 Escala em y =y-10 Escala em x = x-10 19 -0.8 1.2 48.64 X , Y, Z 20 -0.8 1.6 93.44 Ponto de mnimo: (x,y) =(-0,75 , 0) 21 -0.8 2 151.04 22 -0.6 -2 151.36Ex.5 Achar os pontos crticos da funo f(x,y) =x2 + y2 2x .Os pontos crticos de f(x,y) , so a soluo do sistema:fx = 2x 2 = 0 , ou x=1fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto (x,y) =(1,0)Por outro lado,fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2 f xx f xy 2 0H(1,0) = = = 4 >0 f yx f yy 0 2fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto um mnimo de f(x,y).1.14 Mximos e mnimos (locais) de funes de vrias variveis Seja f uma funo de n variveis x1,x2,...xn , diz-se que um pontoP0(x10,x20,...xn0) um ponto de mximo local de f(x1,x2,...xn), quandof(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinhode P0(x10,x20,...xn0).Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 39
  • 24. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) um ponto de mnimo localde f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)vizinho de P0(x10,x20,...xn0). O ponto P0 encontrado, pela soluo das equaes: fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes superfcie no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de mximo oude mnimo, para o caso de n variveis dado por: f x1x1 ( P0 ) f x1 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) H(P0) = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 )Alm disso necessrio calcular os n determinantes 0 =1 1 = f x x ( P0 ) 1 1 f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) 2 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) f x1x3 ( P0 ) 3 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x2 xx3 ( P0 ) f x3 x1 ( P0 ) f x3 x2 ( P0 ) f x3 x3 ( P0 ) .................................................................. f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) n = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 )Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 40
  • 25. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEnto, se: a) 0, 1, 2,...,n forem todos positivos, P0 um ponto de mnimo de f . b) 0, 1, 2,...,n so alternadamente positivos e negativos, P0 um ponto de mximo de f.Ex.1 Achar os pontos crticos da funo f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 everificar se so de mximos ou de mnimos. fx = 2x = 0 x =0 fy = 2y = 0 y =0 P0(0,0,0) ,que o nico ponto crtico fz = 2z =0 z =0 fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2 2 0 0H(0,0,0) = 0 2 0 = 8 0 0 2 2 0 0 2 00=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = =4; 3 = 0 2 0 =8 0 2 0 0 2todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) um ponto de mnimo de f.Ex.2 Estudar a funo f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . Os pontos crticos da funo so:fx = -2x = 0 x =0fy = -2y+4 = 0 y =2 P0(0,2,1) ,que o nico ponto crticofz = -2z=2 =0 z =1fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0fUniversidade Braz Cubas Bacharelado em zx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2 Tecnologia em Cincias Aeronutica 41
  • 26. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva 2 0 0H(0,2,1) = 0 2 0 =-8 0 0 2 2 0 0 2 00=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = =4; 3 = 0 2 0 =-8 0 2 0 0 2Os sinais dos (s) so alternados, logo o ponto P0(0,2,1) um pontode mximo da funo f.Ex.3 Estudar os extremos da funo: f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2 fx = x2 6x +8 = 0 x1=4 e x2 =2 fy = 2y 20y + 42 = 0 y1=7 e y2=3 2 fxx =2x-6 , fxy =0 , fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . existem pontos que podem ser crticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3) 2x 6 0O Hessiano calculado nestes pontos H(x,y) = 0 4 y 20 2 0 2 0H(4,7) = >0 e 0=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = =4; 0 8 0 8O ponto de mnimo. 2 0H(4,3) = 0 e 0=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = = 16 0 8 0 8Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 42
  • 27. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaO ponto de mximo.Exerccios propostos:1 - Achar os extremos da funo f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 y3/3 +1 Resp. P1(0,0) mnimo e P4(4,6) mximo e P2(0,6) e P3(4,0) so selas.2 - Achar os extremos da funo f(x,y)=senx + sen(y+/2) Resp. P1(/2,0) mximo.3- Achar os extremos da funo f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 Resp. P1(5,-3) mnimo.4- Achar os extremos da funo f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1 Resp. P1(2,4) e P2(2,2) so de mximo.Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 43
  • 28. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.15 Operadores especiais da fsica1.15.1 - Gradiente Define-se o gradiente de uma funo escalar f(x,y,z), erepresenta-se por grad f ou f, a expresso: f f f grad f = f = i + j + k x y zO gradiente um vetor e i , j , k so os vetores unitrios.1.15.2 - Divergncia r Denomina-se divergncia de um vetor V = V x i + V y + V z k j , erepresenta-se por div V ou . V , a expresso Vx V y Vz div V = . V = + + x y zUma aplicao de divergncia em aerodinmica, no escoamento deum fluido, onde V = v , ou seja, o produto da densidade pelavelocidade ento div ( v) representa o escoamento por unidade devolume num ponto do fluido.1.15.3 - Rotacional O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou V definido por i j k rot V = V = x y z Vx Vy Vz Vz V y Vx Vz V y Vx = i + z x j + x y k y z O rotacional em mecnica dos fluidos, mede a velocidade de rotao() do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma = (1/2). rot ( v)Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 44
  • 29. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16 Integrais mltiplas As integrais mltiplas podem ser definidas ou indefinidas, oupodem ser mistas. Porm, seguem as mesmas regras das integraissimples e por isso relembremos aqui as principais frmulas deintegrao simples: u n +1 csu du = ln cscu - cotu + C n u dx = +C , onde u =f(x) e n +1 n 1 cotu du = ln senu + C du u = ln u + C sec u du 2 = tanu + C eudu = eu + C csc u du 2 = - cotu + C audu = au / lna + C secu tanu du = secu + C cosu du = senu + C cscu cotu du = -cscu + C senu du = -cosu + C sen 2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C tanu du = -ln|cosu + C cos 2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C secu du = ln secu + tanu + C A integral mltipla mais simples a integral dupla para calcular area de uma figura plana. y A rea infinitesimal dA = dx. dy f(x) obtida integrando de x1 at x2 dA x2 [y ] x2 f ( x) A= dx.dy = f ( x) 0 dx dy x1 0 x1 dx x2 A = f ( x )dx x1 x1 x2 xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 45
  • 30. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEx.1 Achar a rea sob a funo y= -2x2 + 18 , de x=0 at x=3. 2x3 [ ]3 x2 f ( x) x2A = x dx.dy = f ( x )dx = 3 1 0 x1 0 ( 2 x 2 + 18) dx = 3 + 18 x 0A = - 18 + 54 = 46 (unid2)Outros exemplos de integrais so: x2Ex. 2 Calcular a integral mltipla mista (definida e indefinida) xydxdy xSoluo: x2 x2 x4 x2 xydxdy = x. y dx = x. 2 2 dx = 2 x6 x4 x 2 x 12 8 +c xEx.3 Calcular a integral mltipla mista sen( x + y)dxdy o x sen( x + y)dxdy = [ cos( x + y )]0 dx = - [cos( 2 x) cos x]dx = x o 1= sen( 2 x) + sen x + c 2As integrais mltiplas so muito usadas para calcular integrais devolume de slidos, conforme mostra a figura z O volume do slido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo: a b c dz V = dxdydz y 0 0 0 dx dy xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 46
  • 31. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva1.16.1- Volume de slidos de revoluo Um slido de revoluo se forma girando uma figura plana emtorno de uma reta fixa. Girando o grfico de uma funo f(x) em tono do eixo x, tem-se: r = f(x) y y = f(x) dV = r2 dx dV = [f(x)]2 dx b V = [ f ( x)]2 dx a a b x Figura plana girando em x Clculo do elemento de volumeEx1: Usando o mtodo do disco circular, calcule o volume do slidogerado pela revoluo da regio sob a funo y = f(x) = x3, no intervalo[1,2]. (2,8) y (2,8) (1,1) r y = x3 x (1,1) R 1 2 x 2 2 2 x7 2 127 V = [f ( x )]2 dx = [ x 3 ]2 dx = x 6 dx = = (unid) 3 1 1 1 7 1 7Ex2: Achar o volume gerado pela funo f(x) = a 2 x 2 em [-a, a]Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 47
  • 32. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva y y= a2 x2 = r -a a x Semi-crculo em rotao Slido (esfera) gerado pela rotao do semi-crculo a a 2 x3 a V = [f ( x )]2 dx = [ a 2 x 2 ]2 dx = [a 2 x 2 ]dx =a 2 x a a 1 3 a a 3 3 a 3 3 a3 a3 3 2a 3 = a 3 a + = a + a3 = 2a 3 3 3 3 3 = 2a3 1 = a3 1 4 que o volume da esfera gerada. 3 3Ex3: Calcule o volume gerado pela parbola y = x2 girando em tornodo eixo de y, no intervalo [0,4]. y y 4 y = x2 x= y 0 x x Slido gerado pela parbola Seo plana parbola de revoluo girando em y b b 4 4 y 2 4V = r 2 dy = [g( y)]2 dy = [ y ]2 dy = ydy = = 8 = 25,13 unid3. a a 0 0 2 0Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 48
  • 33. Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da SilvaEXERCCIOS PROPOSTOS1) Calcule o gradiente da funo (x,y,z)= x2+2xy+z3Resp. grad = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k2) Dada a funo vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule asua divergncia.Resp. div V = 6x2 + 3xz23) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 kResp. rot V = 5z2 i + 2y k x4) Calcular a integral ( x + y)dxdy 0 Resp. x3 / 2 = C a b5) xydxdy 0 0 Resp. a2b2 / 46) Integrar as expresses do centride de uma figura plana,transformando integral dupla em integral simples. As expresses em x2 f ( x ) x2 f ( x )integral dupla so: xc = (1/A) x dxdy x1 g ( x ) e yc = (1/A) y dxdy x1 g ( x ) x2 x2Resp. xc =(1/A). [ f ( x) g ( x)]x.dx e yc =(1/2A). [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx x1 x17) Calcular o volume gerado pela hiprbole y =1/x , girando em x e de0,5 at 3 3 3 1 2Resp . V = [ f ( x)] dx = [ 2 ] dx = 8,34 unid 3 0,5 0,5 xUniversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 49