Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 1 Clculo diferencial das funes reais de varivel real. Acrscimo do argumento e acrscimo da funo. Seja) (x f y =uma funoreal de varivel real definida no domnio fDe seja fD x 0. Passamos para outro valorfD x .Definio1.Chama-seacrscimodoargumento(ouincrementodoargumento)no ponto fD x 0adiferena 0x x edenota-seporx (ouporh ),isto, 0 0, x x h x x x = = . Definio2.Chama-seacrscimodafuno(ouincrementodafuno)noponto fD x 0,correspondenteaoacrscimox ,adiferena) ( ) (0x f x f edenota-sepor ) (0x f ou pory , isto,. ) ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ), ( ) ( ) (0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0x f h x f y x f h x f x fx f x x f y x f x x f x fx f x f y x f x f x f + = + = + = + = = = . Oacrscimodoargumentoeoacrscimodafunopodemtomarvalores positivos e negativos.Nota.Na base da definio da funo continua e da definio do infinitsimo resulta a veridicidade da afirmao: a funo) (x f y = continua no ponto fD x 0 se e s se ( ) 0 ) ( ) (0 00 0= + = x f x x f yim l im lx x. Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 2 Definio da derivadada funo. Seja) (x f y = umafunorealdevarivelrealdefinidanointervaloI eseja I x 0. Definio3.Chama-sederivadadafuno) (x f y = nopontoI x 0,edenota-se por) (0x f |||

\|=0x xx df dou ,olimiteemR darazo(razoincremental)entreo acrscimo da funo e o acrscimodo argumento no pontoI x 0 quando 0x x x = tende para 0, isto , |||

\| += xx f x x fxx fim l im lx x) ( ) ( ) (0 0000. Portanto||

\| +=|||

\| +== hx f h x fxx f x x fxx fx fim l im l im lh x x) ( ) ( ) ( ) ( ) () (0 000 00000. ||

\| +=|||

\| +== =hx f h x fxx f x x fxx fx df dim l im l im lh x x x x) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 000 00 0000. Levando em conta que0 00 0 x x x x x , temos: |||

\|== 0000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x. A operao de clculo da derivada de uma funo diz-se derivao. Portantoparacalcularaderivadadeumafunonumponto fD x 0necessriode efectuar os seguintes passos. 1)Passardoponto 0x paraoutropontox x x + =0( h x x + =0)comum acrscimo x ( ouh ) arbitrrio. 2)Calcular acrscimo correspondente da funo: ) ( ) ( ) (0 0 0x f x x f x f + = . 3)Formar a razo incremental xx f ) (0. 4)Calcularolimitedarazoincremental xx f ) (0quando0 x (ou0 h ), isto ,||

\| +|||

\| + hx f h x fouxx f x x fim l im lh x) ( ) ( ) ( ) (0 000 00. Exemplo 1. a)Calculemos a derivada da funo3) ( x x f =no ponto20 = x . 1) Passamosdoponto20 = x paraoutropontoh x + = 2 comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 3 2 3 3 2 2 3 3 36 12 2 2 3 2 3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( h h h h h h f h f f + = + + + = + = + = . 3)Formamos a razo incremental hh hhf26 12 ) 2 ( +=. 4)Calculamosolimitedarazoincremental hh hhf26 12 ) 2 ( += quando0 h , isto ,( ) . 12 0 6 12 6 12) 6 12 (00 6 120 020= + = + =||

\| + =||

\|=|||

\| + hhh hinao eterm indhh him l im l im lh h h Portanto a derivada da funo3) ( x x f =no ponto20 = x igual 12. b)Calculemos a derivada da funo ) 2 ( ) ( x sen x x f =no ponto 40= x . 1)Passamosdoponto 40= x paraoutropontoh x + =4comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: = ||

\| ((

||

\|+ ||

\|+ = ||

\| ||

\|+ = ||

\|424 424 4 4 4 sen h sen h f h f f = ||

\|+ ||

\|+ = ||

\| ||

\|+ ||

\|+ =422 4 2 422 4 h sen h sen h sen h( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + ||

\|+ = ((

||

\|+ ||

\| ||

\|+ =42 0 2 cos 14 4222 cos2 4 h sen h h h sen os c h sen h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 cos 1 2 cos4 42 cos 2 cos4 42 cos4h h h h h h h h + = + = ||

\|+ = 3)Formamos a razo incremental( ) ( ) ( )hh h hhf2 cos 1 2 cos44 + =||

\|. 4)Calculamos o limite da razo incrementalquando0 h , isto , ( ) ( ) ( )= ||

\|=|||||

\| + 002 cos 1 2 cos40inao eterm indhh h him lh Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 4 ( ) ( )( )( )( ) =|||||

\|+ =|||||

\|+ = hhh sen h h sen hhh hhhim l im lh h2 coscos cos42 cos1 2 cos42 2 2 20 0 ( ) ( ) =|||||

\|+ =|||||

\|+ = h h senhh senhhh senim l im lh h2 cos22 cos2020 ( ) ( ) ( ) . 1 1 0 120 0 122 cos20 0 0= + = + = + ||

\| = os c sen h h senhh senim l im l im lh h h Portanto a derivada da funo ) 2 ( ) ( x sen x x f =no ponto 40= x igual 1. c)Calculemos a derivada da funo x n l x x f + =2) (no ponto20 = x . 1) Passamosdoponto20 = x paraoutropontoh x + = 2 comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: 2 ) 2 ( 4 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (2 2 2n l h n l h h n l h n l h f h f f + + + = + + + = + = . 3)Formamos a razo incremental hn l h n l h hhf 2 ) 2 ( 4 ) 2 (2 + + +=. 4)Calculamos o limite da razo incrementalquando0 h , isto , =||

\|=|||

\| + + +00 2 ) 2 ( 420inao eterm indhn l h n l h him lh =|||||

\|||

\|++ + =|||||

\|||

\| +++=|||||

\|||

\| ++ += hhn lhhhn lhh hhhn l h him l im l im lh h h214224 22402020 ( ) ( ) .291210 42212140 0 0= + + =|||||

\|||

\|+ + + = hhn lhim l im l im lh h h Portanto a derivada da funo x n l x x f + =2) (no ponto20 = x igual 29. Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 5 Interpretao geomtricada derivadada funo . Veremosqualosignificadogeomtricodaderivadadafuno) (x f y = num ponto 0x .Consideramosumacrscimoarbitrriodoargumento,x ,calculamos) (0x f y = ,) (0x x f y + =e o acrscimo da funo ) ( ) (0 0x f x x f y + = . Representandograficamenteosvaloresobtidosnumsistemadecoordenadas cartesianasy xO (figura1),onde( ) ) ( ,0 0x f x A = e( ) ) ( ,0 0x x f x x B + + = . observamos que tgxy=, onde onguloentrearectasecante, ec sr ,eoeixox O .Supomosquenoponto ( ) ) ( ,0 0x f x possveltraararectatangente, an tr .Quando0 x opontoB do grficodafunodesloca-sesobreogrficoaproximando-sedopontoAearecta secante fazendo uma rotao com o centro em A aproxima-se da recta tangentee ) (00 0x f tg tgxyim l im lx x = = = . Portanto o valor da derivada da funo calculada no ponto com abcissa 0x igual ao declive da recta tangente traada ao grfico da funo no ponto com abcissa 0x . Na base disso conclumos que a equao da recta tangente traada ao grfico da funo numponto( ) ) ( ,0 0x f x A = ) ( ) ( ) (0 0 0x x x f x f y + = . Realmente, como a equao de uma recta no plano b x k y + =e o declive da rectatangentenopontocomabcissa 0x ) (0x f k = obtemosb x x f y + = ) (0. Porque( ) ) ( ,0 0x f x A = um ponto da recta tangentetemos 0 0 0 0 0 0) ( ) ( ) ( ) ( x x f x f b b x x f x f = + =e portanto Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0 0 0 0x x x f x f x x f x f x x f yt + = + = . Analogamenteconclumos que a equao darecta normal traadaaogrfico da funo numponto( ) ) ( ,0 0x f x A =0 ) ( , ) () (1) (0 000 = x f x xx fx f yn. Derivadas lateraisda funo. Porque a derivada de uma funo um limite de um modo naturaldefinem-seas derivadas laterais. Definio4.Chama-sederivadalateralesquerdadafuno) (x f y = noponto I x 0,edenota-sepor) (0 x f ( ) ) (0x f oue ,olimiteemR darazo(razo incremental)entreoacrscimodafunoeoacrscimodoargumentonoponto I x 0quando 0x x, isto ,=|||

\|== 000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x xe .) ( ) ( ) ( ) (0 000 00||

\| +=|||

\| += hx f h x fxx f x x fim l im lh x Definio 5.Chama-se derivada lateral direitada funo ) (x f y =no pontoI x 0, edenota-sepor) (0+ x f ( ) ) (0x f oud ,olimiteemR darazo(razoincremental) entreoacrscimodafunoeoacrscimodoargumentonopontoI x 0quando +0x x, isto ,=|||

\|== ++000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x xd ||

\| += ||

\| +++ hx f h x f x f x x fim l im lh x) ( ) ( ) ( ) (0 000 0 00. Notamosquedadefiniodaderivadaedasdefiniesdasderivadaslaterais num pontoI x 0 resulta veridicidade da afirmao: A funo) (x f y =definida numa vizinhana do ponto 0x , ) (0x V, tem derivada neste ponto se e s se tem derivadas lateraisiguais,) ( ) (0 0x f x fd e = . Se a funo definida num segmento[ ] b a, , ento ( ) ||

\| +=|||

\|= hx f h x fx xx f x fx f b a xim l im lh x x) ( ) ( ) ( ) () ( ,0 00 0000 0, ||

\| += ||

\|= ++ha f h a fa xa f x fa fim l im lh a x) ( ) ( ) ( ) () (0,Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 7 ||

\| += ||

\|= hb f h b fb xb f x fb fim l im lh b x) ( ) ( ) ( ) () (0. Exemplo 2. Calculemosaderivadadafuno +< + =, 1 , 1, 1 , 2 ) 2 () (x se xx se x x n lx f no ponto com abcissa10 = x . Neste caso o ponto10 = x ponto da mudana da expresso analtica da funo. Calculemos em10 = xa derivada lateral direita aplicando a definio. 1)Passamosdoponto10 = x paraoutropontoh x + =1 comum acrscimo 0 > h arbitrrio. 2)Nestecasonospontos10 = x eh x + =1 afunotemmesma expressoanaltica1 ) ( + = x x f .Calculamosoacrscimoda funo: 2 2 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + = + + + = + = h h f h f f . 3)Formamos a razo incremental hhhf 2 2 ) 1 ( +=. 4)Calculamosolimitedarazoincremental hhhf 2 2 ) 1 ( += quando +0 h , isto , ( )( )( ) ( )=+ + +=+ ++ + += ++++ 2 22 22 22 2 2 2 2 20 0 00h hhh hh hhhim l im l im lh h x ( ) 2 212 2 012 212 20 0=+ +=+ +=+ +=+++h h hhim l im lh h. Portanto a derivada lateral direita da funo no ponto10 = x igual 2 21. Calculemos em10 = xa derivada lateral esquerda aplicando a definio. 1)Passamosdoponto10 = x paraoutropontoh x + =1 comum acrscimo 0 < h arbitrrio. 2)Neste caso nos pontos10 = xeh x + =1as expressesanalticas da funosodiferentes.Em10 = x tem-se1 ) ( + = x x f eemh x + =1 tem-sex x n l x f 2 ) 2 ( ) ( + = .Calculamosoacrscimo da funo: h h n l h h n l f h f f + = + + + = + = 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( . 3)Formamos a razo incremental Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 8 2 ) 1 ( 2 ) 1 (1 2 ) 1 ( ) 1 (1+((

= + = + =hh n l h n lh hh h n lhf. 4)Calculamos o limite da razo incremental 2 ) 1 () 1 (1+((

=hh n lhf quando 0 h , isto ,= +|||

\|||

\| =|||

\|+||

\|2 1 2 101010im l im l im lhhhhhh n l h n l(aplicando a continuidade da funo logartmica e o limite notvel kx Ua xe x U k m i l = ||

\| +) (1) ( 1se0 ) ( =x U m i la x obtemos) 2 1 2 2 1101+ = + = +|||

\|||

\| =e n l h im lim l n lhh. Portanto a derivada lateral esquerda da funo no ponto10 = x igual 2 1+ . Porqueasderivadaslateraisnoponto10 = x sodiferentes,2 1 ) 1 ( + = ef e 2 21) 1 ( = df , conclumos que a funo +< + =, 1 , 1, 1 , 2 ) 2 () (x se xx se x x n lx fno diferencivel neste ponto. Chama-se a ateno que a funo continua no ponto10 = xmas no tem derivada neste ponto. Funo diferencivel . A condio necessria dediferenciabilidade. Funo derivada. Definio 6.Afuno) (x f y =diz-se diferencivel noponto I x 0 se tem derivadafinitanesteponto.Osubconjuntodospontosdodomniode) (x f ondea funo diferencivelchama-se domnio de diferenciabilidade da funo. A condio necessria de diferenciabilidade dada no seguinteTeorema1.(condionecessriadediferenciabilidade)Seafuno) (x f y = diferencivel num pontofD x 0, ento a funo continua neste ponto. Portantoacontinuidadedeumafunonumpontocondionecessriade diferenciabilidade,masnoumacondiosuficiente.Comovimosnoexemplo2a funo +< + =, 1 , 1, 1 , 2 ) 2 () (x se xx se x x n lx fMatemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 9 nodiferencivelnoponto10 = x ,mas,facilmente,conclumosqueafuno continua em10 = x . Realmente temos: ( ) 2 2 1 1 2 ) 1 2 ( 2 ) 2 (1= + = + = + n l n l x x n lim lx e ( ) 2 1 1 11= + = +++xim lx. Definio7.Afuno) (x f y = diz-sediferencivelnumintervaloI se diferencivel em qualquer ponto deste intervalo. O subconjunto dos pontos do domnio de) (x f ondeafunodiferencivelchama-sedomniodediferenciabilidadeda funo. Obviamente,afuno) (x f y = diferencivelnumsegmento[ ] b a, se diferencivelnointervalo( ) b a, ,diferenciveldireitaema ediferencivel esquerda emb .Geralmente,aderivadadeumafunofazcorresponderaoponto fD x 0,no qual a funo diferencivel, um nico valor numrico, ) (0x f , e portanto a derivada de) (x ftambm uma funo.Definio8.Chama-sefunoprimeiraderivadadafuno) (x f y = e denota-sepor) (x f afuno,cujovaloremcadapontox ,ondeafuno diferencivel, ||

\| += hx f h x fx fim lh) ( ) () (0. Portanto para calcular a funo derivada de uma funo necessrio calcular a derivada dela num ponto genrico fD x efectuando os seguintes passos: 1)Passardopontogenrico x paraoutropontox x + ( h x + )comum acrscimo x ( ouh ) arbitrrio. 2)Calcular acrscimo correspondente da funo: ) ( ) ( ) ( x f x x f x f + = . 3)Formar a razo incremental xx f ) (. 4)Calcularolimitedarazoincremental xx f ) (quando0 x (ou0 h ), isto , ||

\| +|||

\| + hx f h x fouxx f x x fim l im lh x) ( ) ( ) ( ) (0 0. Exemplo 3. Aplicando a definio, calculemos a funo derivada da funo x n l x x f = ) ( . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 10 Odomniodafuno +R .Calculemosafunoderivadanumpontogenrico += R D xf efectuando os passos indicados:1)Passardopontogenricox paraoutropontox x + ( h x + )comum acrscimo x ( ouh ) arbitrrio.2)Calcular acrscimo correspondente da funo: = + + + = + + = + = x n l x h x n l h h x n l x x n l x h x n l h x x f x x f x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( h x n l hxh xn l x h x n l h x n l h x n l x + + ||

\| + = + + + = . 3)Formar a razo incremental . ) ( 1 ) () () (h x n lxhn l h x n lhxh xn l xhh x n l hxh xn l xhx fhx+ +||

\|+ = + +||

\| +=+ + ||

\| += 4)Calcular o limite da razo incremental) ( 1) (h x n lxhn lhx fhx+ +||

\|+ = quando 0 h , isto ,||||

\|+ + ||

\|+) ( 10h x n lxhn lhxhim l. No primeiro termo sob o limite temos a indeterminao 1e aplicando o limite notvel: se0 ) ( =x U m i la x, entokx Ua xe x U k m i l = ||

\| +) (1) ( 1 , com xhx U = ) ( e a continuidade da funo logartmicaobtemos ( ) = + +||||

\|||

\|+ =||||

\|+ + ||

\|+ ) ( 1 ) ( 10 0 0h x n lxhh x n lxhn lim l im l n l im lhhxhhxh ( ) . 1 ) 0 (1nx l x n l e n l + = + + = Portanto a funo derivada da funox n l x x f = ) (x n l x f + = 1 ) ( . Regras de derivao.Derivada da funo composta. Tabela das derivadas. Calcularafunoderivadadeumafuno,aplicandoadefiniodaderivada, noumatarefaagradvel.Paracalcularafunoderivadadeumafunoso aplicadasasregrasdederivaoeumatabeladederivadasdalgumasfunesqueso consideradas a priori conhecidas. Teorema 2.(regras de derivao)Se as funes) (x fe) (x gsodiferenciveis num pontog fD D x I 0, ento:a) ) ( ) ( x g x f + diferencivel em g fD D x I 0 e tem-se ( ) ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x g x f x g x f + =+ . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 11 b) ) ( ) ( x g x f diferencivel em g fD D x I 0 e tem-se ( ) ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x g x f x g x f = . c) ) ( ) ( x g x f diferencivel em g fD D x I 0 e tem-se ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (0 0 0 0 0 0x g x f x g x f x g x f + =. d)) () (x gx f diferencivel em g fD D x I 0 e tem-se ( )200 0 0 000) () ( ) ( ) ( ) () () (x gx g x f x g x fx gx f =|||

\|, se0 ) (0 x g . e) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0)0(0 01 )0(0 00) (x f n l x g x f x f x f x g x fx g x gxx g + =,se 0 ) (0> x f . A generalizao deste teorema Teorema3.(regrasdederivao)Se) (x f e) (x g soasfunesderivadas, respectivamente, das funes ) (x fe) (x gnum domnio g fD D I I , ento:a)( ) ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f + =+ . b) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f = . c) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x g x f + = . d) ( )2) () ( ) ( ) ( ) () () (x gx g x f x g x fx gx f =|||

\|,(nospontosonde0 ) ( = x g afuno derivada de ) () (x gx f no existe). e) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( 1 ) ( ) (x f n l x g x f x f x f x g x fx g x g x g + =,se0 ) ( > x f . Teorema4.(derivadadafunocomposta)Seafuno) (x f diferencivelno ponto fD x 0eafuno) (u g diferencivelnoponto gD x f u = ) (0 0,entoa funo composta( ) )) ( ( ) ( x f g x f g = o diferencivel em fD x 0 e tem-se [ ] ) ( )) ( ( )) ( (0 0 0x f x f g x f g =, isto,aderivadadafunocomposta)) ( ( x f g calculadanoponto fD x 0igual derivadadafuno) (u g ,calculadaemrelaovarivelu noponto) (0 0x f u = , multiplicadapeladerivadadafuno) (x f ,calculadaemrelaovarivel independentexno ponto 0x x = . Portanto temos:( ) [ ] ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ()) ( (0 00 000 0x f x f gx df du dg dx f g x f gdxddxx f g dx ux x = == = . A generalizao deste teorema Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 12 Teorema 5.(derivada da funo composta)Se) (x f a funo derivada da funo ) (x f nodomnio fD I ,afuno) (u g afunoderivadadafuno) (u g no domnio gD J eJ I f ) ( ,entoafunocomposta( ) )) ( ( ) ( x f g x f g = o diferencivel em fD I e tem-se [ ] ) ( )) ( ( )) ( ( x f x f g x f g =. No teorema 5 considerando que) (u g a funo principal e) (x f u = a funo intermediar temos que a funo derivada da funo composta)) ( ( ) ( x f g u g = igual funoderivadadafunoprincipal,calculadaemrelaofunointermediar, multiplicadapelafunoderivadadafunointermediar,calculadaemrelao varivel independente (argumento da funo).Portanto temos:( ) [ ] ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ()) ( (x f x f gx df du dg dx f g x f gdxddxx f g d = == = . Nota. As regras de derivaoa) , b) podem sergeneralizadas para uma somaalgbrica denfunes e a regra c) pode ser generalizada para um produto denfunes: SeasfunesN n x f x f x f x fn n), ( ), ( , ), ( ), (1 2 1L sodiferenciveisnum pontoIniifD x10= , ento:( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n n++ ++=+ + + + L L . ( ) + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n nL L= + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n nL L L=||

\| =nin n ix f x f x f x f x f10 0 1 0 0 2 0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( L Para funes diferenciveis num domnio a generalizao : SeasfunesN n x f x f x f x fn n), ( ), ( , ), ( ), (1 2 1L sodiferenciveisnum domnioIniifD I1 = , ento:( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 1 2 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n n++ ++=+ + + + L L . ( ) + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 1 2 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n nL L= + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 1 2 1x f x f x f x f x f x f x f x fn n n nL L L=||

\| =nin n ix f x f x f x f x f11 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( L . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 13 TABELA DAS DERIVADAS. const C =(constante) ,R e ) ( ), ( x v x ufunes diferenciveis em v uD DI . 1 0 =C 12 ( ) [ ] uuu tg c ar +=211 2 ( ) u C u C = 13 ( ) [ ] uuu tg cc ar + =211 3 ( ) u u n un n =1 14 ( ) [ ] uu uu ec cs ar =112 4 ( ) [ ] ( ) [ ]u u os c u sen = 15 ( ) [ ] uu uu ec os cc ar =112 5 ( ) [ ] ( ) [ ]u u sen u os c = 16 ( ) ( )( ) ); (; ;a n l u a au e e e eu uu u x x = == 6 ( ) [ ] ( ) [ ] u u ec s uu os cu g t = = 221 17 ( ) ( )( ) ;1;1;1una l uu og luuu n lxx n la = == 7 ( ) [ ] ( ) [ ] u u ec os c uu senu g ct = = 221 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; u u sh u ch u u ch u sh = = 8 ( ) [ ]( ) u u ec s u tgu u senu os cu ec s == =) () (12 19 ( ) ( ) ;1;12 2uu shu cth uu chu th = = 9 ( ) [ ]( )u u ec os c u ctgu u os cu senu o c == =) () (1sec2 20 ( ) [ ] uuu sh g ar +=112 10 ( ) [ ] uuu sen c ar =211 21 ( ) [ ] uuu ch g ar =112 11 ( ) [ ] uuu os c c ar =211 22 ( ) [ ] uuu th g ar =211 Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 14 As regras de derivao e as frmulas da tabelademonstram-se com a aplicao da definio da derivada e com aplicao das frmulas deduzidas anteriormente.Provamos algumas das frmulas apresentadas. ( ) [ ] ( ) [ ]u u os c u sen =. Aplicando a definio demonstremos que ( ) [ ] ( ) x os c x sen =.1)Passardopontogenricox paraoutropontox x + ( h x + )comum acrscimo x ( ouh ) arbitrrio. 2)Calcular acrscimo correspondente da funo: = + = + = x sen h x sen x f x x f x f ) ( ) ( ) ( ) (Aplicando a frmula 2 22y xos cy xsen seny senx+= temos: .2 222cos22 ) ( ||

\|+ =+ + += + =hx os chsenx h x x h xsen x sen h x sen . 3)Formar a razo incremental hhx os chsenhx f||

\|+ ||

\|= 2 22) (. 4)Calcular o limite da razo incrementalquando 0 h , isto ,x os c x os chx os chhsenhhx os chsenim l im lh h= ||

\|+ =(((((

||

\|+ |||||

\|||

\|=|||||

\|||

\|+ ||

\| 201222 2 220 0. Sabendoque( ) [ ] ( ) x os c x sen =eaplicandoaregradederivaodafunocomposta obtemos:( ) [ ] ( ) [ ]u u os c u sen =. Provamos que[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( 1 ) ( ) (x f n l x g x f x f x f x g x fx g x g x g + =,se0 ) ( > x f . Porque[ ] ( )[ ]|||

\|= ||

\| ) () () () (x gx f n lx ge x f e( ) u e eu u =calculemos,separadamente,a derivada[ ] ( ) ( ) =(((

=(((

) ( ) ( ) () (x f x g x fn l n lx g Aplicando a regra de derivao de um produto de duas funes vem [ ] ( ) ( ) ( ) ) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x gx fx fx f x g x g x f x f x gn l n l n l+ = (((

+ = . Portanto [ ] [ ]( ) =|||

\|+ ((

=((

||

\|||

\|) () () () ( ) () () ( ln) () ( lnx gx fx fx f x g e en lx gx fx gx f Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 15 [ ] ( ) =|||

\|+ = ) () () () ( ) ( ) () (x gx fx fx f x g x fn lx g [ ] ( ) [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (x g x f x f x f x g x fx g x gn l + =. As regras de derivao e a tabela das derivadas facilitam o clculo das derivadas. Exemplo 4. Calcular as derivadas das funes: a) ( ) ) 1 ( 3 ) (2 3+ + = x n l x sen x f . ( ) [ ] =+ + = ) 1 ( 3 ) (2 3x n l x sen x fAfunoprincipalafunopotncia[ ]3) (x u eafunointermediar ( ) ) 1 ( 3 ) (2+ + = x n l x sen x u . Portanto temos ( ) [ ] =+ + + + = ) 1 ( 3 )) 1 ( 3 ( 32 2 2x n l x sen x n l x senAfunoprincipalafunoseno) (x u sen eafunointermediar ) 1 ( 3 ) (2+ + = x n l x x u : ( )( ) =+ + + + + + = ) 1 ln( 3 ) 1 ln( 3 )) 1 ( 3 ( 32 2 2 2x x x x os c x n l x sen ( ) ( ) ( ) =((

+ + + + + + = ) 1 ln( 3 ) 1 ln( 3 )) 1 ( 3 ( 32 2 2 2x x x x os c x n l x sen ( ) ( ) =((

+ ++ + + + + = 1113 ) 1 ln( 3 )) 1 ( 3 ( 3222 2 2xxx x os c x n l x sen ( ) .123 ) 1 ln( 3 )) 1 ( 3 ( 322 2 2||

\|++ + + + + =xxx x os c x n l x sen b) [ ] ( )xx sen x f32 ) 1 2 ( ) ( + + = . [ ] ( ) =+ + = xx sen x f32 ) 1 2 ( ) ( [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) = + + + + ++ + + + =2 ) 1 2 ( 3 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 33 1 3x sen n l x x sen x sen x sen xx x [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = + + + + + ||

\|++ + + =2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 3 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 33 1 3x sen n l x sen x sen x sen xx x [ ] ( ) [ ] ( ) = + + + + ++ + + + =2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 3 1 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 33 1 3x sen n l x sen x x os c x sen xx x [ ] [ ] ( ) 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 3 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 63 1 3+ + + + + + + + =x sen n l x sen x os c x sen xx x. Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 16 Diferenciabilidade de umafuno. EstudarumafunoR R D x ff : ) ( quantodiferenciabilidadesignifica determinarospontosdodomniodafunonosquaisafunodiferencivel,isto, determinarodomniodediferenciabilidadedessafuno.Nestecasosoaplicadosos teoremas relativos diferenciabilidade. Nos pontos onde os teoremas no so aplicveis utilizamosadefiniodaderivada(geralmentenospontosondesetemamudanada expresso analtica da funo.Notamosqueasfuneselementares,asfunestrigonomtricaseassuas inversas,asfuneshiperblicaseassuasinversassodiferenciveisnosseus domnios. Emcertoscasosaaplicaodoteoremaseguintepermiteevitarousoda definio para calcular a derivada da funo. Teorema: Seja) (x f uma funo contnua em[ ] b a,e diferencivel em] [ b a, : se existir) (x fim la x+ ento) ( ) ( x f a fim la xd =+, se existir) (x fim lb x ento) ( ) ( x f b fim lb xe =. Exemplo 5.Estudar quanto diferenciabilidade as funes: a)) 1 ( ) ( x x sen x f + = . { } { } [ [ + = = = , 1 1 : 0 1 : x R x x R x Df. Afunodiferencivelnoseudomnioporquecompostadafunoseno (diferencivel em R ) com a soma das funes1 x(diferencivel em[ [ + , 1 ) ex(diferencivel em R ). b) = ||

\|=. 0 , 0, 0 ,1) (x sex sexsen xx f R Df= . Aplicando os teoremas relativos diferenciabilidade do produto de duas funes e o teorema relativo a diferenciabilidade da funo composta obtemos ||

\| ||

\|= xos cx xsen x f1 1 1) ( e conclumos que) (x f diferencivel{ } 0 \ R x . No ponto0 = xtemos: Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 17 ||

\|====hsenhhsen hhf h fhf h fx fim l im l im l im lh h h he11) 0 ( ) ( ) 0 ( ) () (0 0 0 0no existe; ||

\|====++++hsenhhsen hhf h fhf h fx fim l im l im l im lh h h hd11) 0 ( ) ( ) 0 ( ) () (0 0 0 0no existe. Portanto a funo no diferencivel em0 = x . Derivadas de ordemN n n > , 1 . Classe de uma funo. Porque a derivada de uma funo) (x f tambm uma funo ) (x f (a funo primeiraderivada)repetindoosmesmospassos,efectuadosparacalcularaprimeira derivada, podemos calcular a derivada de) (x f . Definio 9.Chama-sesegundaderivada da funo ) (x f y =e denota-se por ) (x f (ou 22) 2 (), (dxf dx f )a funo,cujo valor em cada pontox ||

\| + =hx f h x fx fim lh) ( ) () (0) 2 (. Generalizandoadefiniodadapodemosdefiniraderivadadequalquerordem N n n > , 1 . Definio10.Chama-sederivadadeordemN n n > , 1 ,dafuno) (x f y =e denota-se por) () (x fn (ou nndxf d)a funo,cujo valor em cada pontox |||

\| += hx f h x fx fn nhnim l) ( ) () () 1 ( ) 1 (0) (. As derivadas da funo) (x f y = , a partir da segunda derivada dizem-se derivadas de ordem superior primeira. Da definio resulta que:( )=) ( ) () 1 ( ) (x f x fn n, isto , para calcular a derivada de ordemnde uma funo necessrio derivar a funo e depois efectuar) 1 ( npassos derivando no passon i , , 3 , 2 L =a funo obtida no passo) 1 ( i .Exemplo 6.Calculemos a segunda derivada da funosenx x x f =2) ( . ( ) ( ) ( ) x os c x senx x senx x senx x senx x x f + = + = = 2 2 2 22 ) ( ; ( ) ( ) ( ) = + = + = x os c x senx x x os c x senx x x f2 22 2 ) (( ) ( ) ( ) = + +((

+ = x os c x x os c x senx x senx x2 22senx x x os c x senx senx x x os c x x os c x senx + = + + =2 24 2 2 2 2 . Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 18 Exemplo 7. a)Calculemos a derivada de ordem N n n > , 1da funoR a e x fx a =, ) ( . ( ) ( )x a x a x ae a x a e e x f = == ) ( ; ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a x ae a x a e a e a e a x f x f = = = = = 2) ( ) ( ; ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a x ae a x a e a e a e a x f x f = = = = =3 2 2 2 ) 3 () ( ) ( ; ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a x ae a x a e a e a e a x f x f = = = ==4 3 3 3 ) 3 ( ) 4 () ( ) ( ; MFacilmente conclumos que ( ) ( ) ( ) ( )x a n x a n x a n x a n n ne a x a e a e a e a x f x f = = = ==1 1 1 ) 1 ( ) () ( ) ( . b)Calculemos a derivada de ordem N n n > , 1da funox sen x f = ) ( . ( )||

\|+ = == 2) (x sen x os c x sen x f . ( ) ( ) ( )||

\| + = + = == = 22 ) ( ) ( x sen x sen x sen x os c x f x f ; ( ) ( )||

\| + = = = =23 ) ( ) () 3 (x sen x os c x sen x f x f ; ( ) ( )||

\| + = = ==24 ) ( ) () 3 ( ) 4 (x sen x sen x os c x f x f , Observamos que a derivada de ordemnda funox senformalmente se reduz ao aumento do argumento com o valor 2 ne portanto( )||

\| + = =2) () ( ) (n x sen x sen x fn n. Analogamente obtm-se que( )||

\| + =2) (n x os c x os cn. c)CalculemosaderivadadeordemN n n > , 1 dafuno v u x v x u x f = = ) ( ) ( ) ( . ( ) v u v u v u x f + = = ) ( ; ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = + = + = = v u v u v u v u v u v u v u v u x f x f ) ( ) (v u v u v u + + = 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = = v u v u v u v u v u v u x f x f 2 2 ) ( ) () 3 ( ( ) ( ) ( ) = + + + + + =) 3 ( ) 3 (2 v u v u v u v u v u v u) 3 ( ) 3 (3 3 v u v u v u v u + + + = ; ( ) = + + + =) 3 ( ) 3 ( ) 4 (3 3 ) ( v u v u v u v u x f( ) ( ) ( ) ( ) = + + + =) 3 ( ) 3 (3 3 v u v u v u v u Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 19 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + =) 4 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 (3 3 v u v u v u v u v u v u v u v u = + + + + =) 4 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 (4 6 4 v u v u v u v u v u ) 4 ( ) 3 ( 3424) 3 ( 14) 4 (v u v u C v u C v u C v u + + + + = ; MFacilmente obtm-se ( ) ==) ( ) () 1 ( ) (x f x fn n

) 4 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 4 (v u v u C v u C v u C v u C v un nnn nnnnnn + + + + + + = L , Onde1 ! 0 ; ) 1 ( 3 2 1 ! ,! k) - (n ! k!= == n n nnCknL . Observamosqueasomaobtidanaderivadadeordemn semelhanteasomaquese obtm no desenvolvimento do binmio( )nv u + , a diferena que em vez de potncias de uevconsideramos as derivadas deuev . d)Calculemos a derivada de ordem N n n > , 1da funox n l x f = ) ( . ( )xx n l x f1) ( == ; ( )21 1) ( ) (x xx f x f =||

\|= = ; ( )3 2) 3 (121) ( ) (x xx f x f =||

\| = = ; ( )4 3) 3 ( ) 4 (1612 ) ( ) (x xx f x f =||

\| == ; MFacilmente conclumos que ( ) ( )( )nn n nxnx f x f! 11 ) ( ) (1 ) 1 ( ) ( == . Todasfrmulasobtidasnoexemplo7podemserdemonstradascomaaplicao do mtodo da induo matemtica. e)Calculemos a derivada de ordem 10 = nda funo 3 2) ( x e x fx =. Seja3 2; x v e ux= =. Levando em conta que ( )x nnx ne e u = =2) (2 ) (2(exemplo a)) eN k k v v x v x vk = = = = , 4 , 0 , 6 , 6 , 3) ( ) 3 ( 2, aplicando a frmula obtida no exemplo d) temos: Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 20 [ ] ( ) = =) 10 (3 2 ) 10 () ( x e x fx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = ) 3 (3) 7 (2 7103) 8 (2 8103) 9 (2 9103) 10 (2x e C x e C x e C x ex x x x = + + + = 6 2 120 6 2 45 3 2 10 22 7 2 8 2 2 9 3 2 10 x x x xe x e x e x e( ) 92160 69120 1536 10242 3 2+ + + =x x x ex; Definio11.AfunoR R D x ff : ) ( diz-sen vezescontinuamente diferencivelnumintervalo fD I seafunoassuasderivadasatordemn , inclusivamente, so continuas. CasoumadasextremidadesdointervaloI pertenceaointervalo,entonas extremidadesdevem ser continuas as derivadas laterais. Levando em conta a condio necessria de diferenciabilidade, continua x f vel diferenci x f ) ( ) ( , equeaexistnciadaderivada) () (x fnpressuponhaaexistnciadaderivada ) () 1 (x fnconclumosqueumafunon vezescontinuamentediferencivelnum intervalo fD I se a funo tem derivada de ordemncontinua emI . Definio12.AfunoR R D x ff : ) ( diz-sedeclasse kC nointervalo fD I e denota-se por) ( ) ( I C x fk , se a derivada de ordemk continua emI . Teorema6.Seasfunes) (x u e) (x v sodeclasse kC nointervaloI entoas funes ) ( ) ( x v x u + , ) ( ) ( x v x u , ) ( ) ( x v x u e ) 0 ) ( ( ,) () ( x v sex vx utambm so de classe kCno intervaloI . Teorema7.Seasfuno) (x u declasse kC nointervaloI eafuno) (x v de classe kC nointervalo) (I u J = entoafunocomposta)) ( ( x u v u v = o declasse kCno intervaloI . Definio13.AfunoR R D x ff : ) ( diz-sedeclasse C nointervalo fD I e denota-se por) ( ) ( I C x f , se a funo indefinidamente diferencivel em I , isto , tem derivadas continuas de qualquer ordemN n . Exemplos: 1) senx x x f =2) ( , ) ( ) ( R C x f ; 2) x n l x f = ) ( ,) ( ) (+ R C x f ; 3) x sen x f = ) ( , ) ( ) ( R C x f ; Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 21 4) R a e x fx a =, ) ( , ) ( ) ( R C x f ; 5) = ||

\|=0 , 0, 0 ,1) (x sex sexsen xx fdeclasse) (0R C masnodeclasse) (1R C porquecontinuamasno diferencivelem0 = x .