cálculo diferencial e integral i · pdf fileperíodo: 1º semestre/ano:...

Cálculo Diferencial e

Integral I

Profª Paula Reis de Miranda

2012

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOINSTITUTO FEDERAL SUDESTE DE MINAS GERAIS - Campus Rio Pomba

Cálculo I

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS GERAIS

PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA

CAMPUS: Rio PombaCURSO:PERÍODO: 1º SEMESTRE/ANO: 1º/2012DISCIPLINA:

Cálculo Diferencial e Integral ICÓDIGO: MAT 151

PROFESSOR RESPONSÁVEL PELA DISCIPLINA:

Paula Reis de Miranda

PROFESSOR (ES) COLABORADOR (ES):CARGA HORÁRIA TOTAL: 66 Nº TOTAL DE AULAS: 72

Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS: 22 Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS: 50

PRÉ-REQUISITO (S): CO-REQUISITO (S):

EMENTA

Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máximos e Mínimos. Integral indefinida. Integral definida. Teorema Fundamental do Cálculo.

OBJETIVOS

Desenvolver a intuição, a capacidade de raciocínio lógico, a observação, a investigação, a análise e o delineamento de conclusões do aluno, testando-os na resolução de problemas no decorrer do curso e na vida profissional.

Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 2


Cálculo I

CONTEÚDO PROGRAMÁTICON° AULAS

T P Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). 8 4

Limites e Continuidade de Funções Reais. 8 2

Derivadas. 8 4

Aplicações da derivada. 4 4

Máximos e Mínimos 2 2

Integral indefinida 8 2

Integral definida. 4 4

Teorema Fundamental do Cálculo. 8 0

METODOLOGIA DE ENSINO

O conteúdo será ministrado por meio de aula expositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos individuais e em equipes, listas de exercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a construir seu próprio conhecimento.

RECURSOS DIDÁTICOS

- Quadro branco, pincel e apagador;- Apresentação de slides, computador e TV.- Softwares educativos: Winplot e Graphmat - Apostilas e listas de exercícios- Livros da Biblioteca

AVALIAÇÃO

A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os seguintes critérios:

Iniciativa, interesse e autonomia; Participação nas atividades propostas; Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados.

• Provas individuais: 50 pontos• Provas em dupla e com consulta: 25 pontos• Trabalhos e seminários: 25 pontos



Cálculo I

BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8 ed. V.1. São Paulo: Editora Bookman, 2007.FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. 5 ed. São Paulo: Makron, 2006.STEWART, J. Cálculo. 5 ed. V.1. São Paulo: Pioneira, 2006.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO)ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1994. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001 HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2002. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância. Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 1995. Vol. 2. 1 DVD; (2h 55min). (DVD Escola, 23). SWOKOWSKY, E. W. Cálculo com geometria analítica. V.1. São Paulo: Makron Books, 1994.

Rio Pomba, 01 de fevereiro de 2012.

Assinatura do professor responsável pela disciplina



Cálculo I

0. Revisão

0.1 Produtos notáveisAs igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na

Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível.a) ( )a c d ac ad+ = +b) ( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = −

c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2a b a b a b a 2ab b+ + = + = + +

d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2a b a b a b a 2ab b− − = − = − +e) ( ) ( ) ( )2x a x b x a b x ab+ + = + + +f) ( ) ( ) ( )2ax b cx d acx ad bc x bd+ + = + + +

g) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b+ + + = + = + + +

h) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b− − − = − = − + −

i) ( ) 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2ac 2bc+ + = + + + + +

j) ( ) ( )2 2 3 3a b a ab b a b− + + = −

Observação:( ) ( )3 2 2 3 4 4a b a a b ab b a b− + + + = −

( ) ( )4 3 2 2 3 4 5 5a b a a b a b ab b a b− + + + + = −

Generalizando:( ) ( )n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n na b a a b a b ... ab b a b− − − − −− + + + + + = − , sendo n um inteiro positivo qualquer

k) ( ) ( )2 2 3 3a b a ab b a b+ − + = +

Observação:( ) ( )2 2 3 3a b a ab b a b+ − + = +

( ) ( )4 3 2 2 3 4 5 5a b a a b a b ab b a b+ − + − + = +

Generalizando:( ) ( )n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n na b a a b a b ... ab b a b− − − − −+ − + − − + = + , sendo n um inteiro positivo ímpar

Exercícios:

1) Determinar cada um dos seguintes produtos:a) ( )3x 2x 3y+

b) ( )2 3x y 3x 2y 4− +

c) ( ) ( )3 2 2 33x y 2xy 5 x y+ −

d) ( ) ( )2x 3y 2x 3y− +

e) ( ) ( )3 31 5x 1 5x− +

f) ( ) ( )3 2 3 25x x y 5x x y+ −

g) ( ) 23x 5y+

h) ( ) 2x 2+

i) ( ) 2ax 2by−

j) ( ) 24x 6+

k) ( ) 23y 2−

l) ( ) ( )x 3 x 5+ +m) ( ) ( )x 2 x 8− +n) ( ) ( )x 2 x 8+ −o) ( ) ( )2 2t 10 t 12+ −

p) ( ) 3x 2y+

q) ( ) 33x 2+

r) ( ) 32y 5−

s) ( ) 3xy 2−

t) ( ) 32 2x y y−



Cálculo I

2) Determinar cada um dos seguintes produtos:

a) ( ) ( )2x 1 x x 1− + +

b) ( ) ( )2 2x 2y x y 2xy 4− − +

c) ( ) ( )22x 1 4x 2x 1+ − +

d) ( ) 22x 3y z+ +

e) ( ) 23 2u v 2w− +

f) ( ) ( )5 4 3 2x 1 x x x x x 1− + + + + +

g) ( ) ( )4 3 2 2 3 4x 2y x 2x y 4x y 8xy 16y− + + + +

h) ( ) ( )4 3 2 2 3 43y x 81y 27y x 9y x 3yx x+ − + − +

i) ( ) 2x 2y z− +

j) ( ) ( )3 2s 1 s s s 1− + + +

k) ( ) ( )2 2 4 61 t 1 t t t+ − + −

l) ( ) ( )2 23x 2y 3x 2y+ −

m) ( ) ( )2 22 2x 2x 1 x 2x 1+ + − +

n) ( ) ( )3 3y 1 y 1− +

o) ( ) ( ) ( ) ( )2 4u 2 u 2 u 4 u 16+ − + +

Exercício 1: Respostasa) 26x 9xy+

b) 5 2 2 23x y 2x y 4x y− +

c) 5 5 3 4 2 33x y 2x y 5x y+ −

d) 2 24x 9y−e) 61 25x−f) 2 6 425x x y−

g) 2 29x 30xy 25y+ +h) 2x 4x 4+ +i) 2 2 2 2a x 4axby 4b y− +j) 8 4x 12x 36+ +

k) 4 29y 12y 4− +l) 2x 8x 15+ +m) 2x 6x 16+ −n) 2x 6x 16− −o) 4 2t 2t 120− −p) 3 2 2 3x 6x y 12xy 8y+ + +q) 3 227x 54x 36x 8+ + +r) 3 28y 60y 150y 125− + −

s) 3 3 2 2x y 6x y 12xy 8− + −

t) 6 3 4 4 2 5 6x y 3x y 3x y y− + −

Exercício 2: Respostasa) 3x 1−

b) ( ) ( )2 2 3 3xy 2 x y 2xy 4 x y 8+ − + = + Corrigida

c) 38x 1+d) 2 2 24x 9y z 12xy 4xz 6yz+ + + + +e) 6 4 2 3 2 3 2u v 4w 2u v 4u w 4v w+ + − + −f) 6x 1−g) 5 5x 32y−

h) 5 5243y x+

i) 2 2 2x 4xy 4y 2zx 4zy z− + + − +j) 4s 1−k) 81 t−l) 4 2 2 481x 72x y 16y− +m) 8 6 4 2x 4x 6x 4x 1− + − +n) 6 4 2y 3y 3y 1− + −o) 8u 256−

0.2 FatoraçãoOs métodos mais usuais são os seguintes:

a) Fator monônio comum( )ac ad a c d+ = +

Exemplos: ( )2 3 26x y 2x 2x 3y x− = − ( )3 2 2 22x y xy 3x y xy 2x y 3x− + = − +b) Diferença de dois quadrados

( ) ( )2 2a b a b a b− = + −

Exemplos: ( ) ( )2x 25 x 5 x 5− = + − ( ) ( )2 24x 9y 2x 3y 2x 3y− = + −c) Trinômio quadrado perfeito

( ) 22 2a 2ab b a b+ + = +



Cálculo I

( ) 22 2a 2ab b a b− + = −

Exemplos: ( ) 22x 6x 9 x 3+ + = + ( ) 22 29x 12xy 4y 3x 2y− + = −d) Outros trinômios

( ) ( ) ( )2x a b x ab x a x b+ + + = + +( ) ( ) ( )2acx ad bc x bd ax b cx d+ + + = + +

Exemplos: ( ) ( )2x 5x 4 x 4 x 1− + = − − ( ) ( )2 2x xy 12y x 3y x 4y+ − = − +

( ) ( )23x 5x 2 x 2 3x 1− − = − + ( ) ( )26x x 12 3x 4 2x 3+ − = − + ( ) ( )28 14x 5x 4 5x 2 x− + = − −

e) Agrupamento de termos( ) ( ) ( ) ( )ac bc ad bd c a b d a b a b c d+ + + = + + + = + +

Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( )2ax 4bx ay 2by 2x a 2b y a 2b a 2b 2x y− + − = − + − = − +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 2

x y y 8x 8 y x 1 8 x 1 x 1 y 8

x 1 x x 1 y 2 y 2y 4

− + − = − + − = − +

= − + + + − +

f) Fatores de n na b± . Observar os produtos notáveis (j) e (k)

Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 25 4 3 232x 1 2x 1 2x 1 2x 2x 2x 2x 1 2x 1 16x 8x 4x 2x 1 + = + = + − + − + = + − + − +

( ) ( )7 6 5 4 3 2x 1 x 1 x x x x x x 1− = − + + + + + +

Exercícios

1) Fatore os seguintes polinômiosa) 22x 3xy−b) 4x 8y 12z+ +c) 2 3 4 3 2 4 4 3 210a b c 15a b c 30a b c− +d) 2x 9−e) 2 225x 4y−f) 2 41 m n−g) 2 2 4x y 36y−h) 81 x−i) 3 3x y y x−j) 2x 8x 16+ +k) 21 4y 4y+ +

l) 2 2x 16xy 64y− +m) 2 216m 40mn 25n− +

n) 4 2 2 416a 72a b 81b− +o) 2x 6x 8+ +p) 2x 6x 8− +q) 2x 2x 8+ −r) 2x 2x 8− −s) 3 23x 3x 18x− −t) 4 2y 7y 12+ +

u) ( ) ( )2x 1 3 x 1 2+ + + +v) 23x 10x 3+ +w) 22x 7x 3− +x) 22y y 6− −

y) 2 26x xy 2y− −z) − − 210 x 3x

Respostas: a) ( )−x 2x 3y ; c) ( )− +2 2 2 2 25a b c 2bc 3ac 6a b ; f) ( ) ( )+ −2 21 mn 1 mn ; g) ( ) ( )+ −2y x 6y x 6y

h) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + −4 21 x 1 x 1 x 1 x ; i) ( ) ( )+ −xy x y x y ; j) ( )+ 2x 4 ; l) ( )− 2x 8y ; n) ( ) ( )+ −2 22a 3b 2a 3b ; o)

( ) ( )+ +x 4 x 2 ; s) ( ) ( )− +3x x 3 x 2 ; u) ( ) ( )+ +x 3 x 2 ; v) ( ) ( )+ +3x 1 x 3 ; w) ( ) ( )− −2x 1 x 3 ; x)( ) ( )+ −2y 3 y 2 ; y) ( ) ( )+ −3x 4y 2x 3y ; z) ( ) ( )− +5 3x 2 x

2) Fatore os seguintes polinômios:a) 3x 8+b) 3a 27−c) 6 6a b+d) 6 6a b−

l) ax ay x y+ + +

m) 2 2x 4y x 2y− + +

n) 3 2 2 3x x y xy y+ + +

w) 7 7u v+x) 9x 1+y) 2 2a b−z) 3 3a b−



Cálculo I

e) 9 9a b+f) 12 12a b+g) 3 364x 125y+

h) ( ) 3 3x y z+ −

i) ( ) 3 3x 2 8y− +

j) 6 3x 7x 8− −k) 2bx ab x ax− + −

o) 3 3 3 3x y y 8x 8− + −p) 3 2 2 3a 3a 5ab 2b b+ − + −q) 3 3a b+r) 364 y+

s) 3 6x 8y+

t) 5 51 x y+u) 5z 32+v) 10 10a b+

i) 3 327x y−ii) 31 x−iii) 5a 32−iv) 7 7y z−v) 6 6x a−vi) 9x 1−vii) 10 10x y−viii) 8 8u v−

Respostasa) 2(x 2)(x 2x 4)+ − +

b) 2(a 3)(a 3a 9)− + +

c) 2 2 4 2 2 4(a b )(a a b b )+ − +

d) 2 2 2 2(a b)(a ab b )(a b)(a ab b )+ − + − + +

e) 2 2 6 3 3 6(a b)(a ab b )(a a b b )+ − + − +

f) 4 4 8 4 4 8(a b )(a a b b )+ − +

g) 2 2(4x 5y)(16x 20xy 25y )+ − +

h) ( ) 2 2 2x y z (x 2xy y xz yz z )+ − + + + + +

i) ( ) 2 2x 2 2y (x 4x 4 2xy 4y 4y )− + − + − + +

j) 2 2(x 2)(x 2x 4)(x 1)(x x 1)− + + + − +k) (x a)(x b)− +l) (x y)(a 1)+ +m) (x 2y)(x 2y 1)+ − +

n) 2 2(x y)(x y )+ +

o) 2 2(x 1)(x x 1)(y 2)(y 2y 4)− + + + − +

p) 2 2(a b)(a ab b 3a 2b)− + + + −

q) 2 2(a b)(a ab b )+ − +

r) 2(4 y)(16 4y y )+ − +

s) 2 2 2 4(x 2y )(x 2xy 4y )+ − +

t) 2 2 3 3 4 4(1 xy)(1 xy x y x y x y )+ − + − +

u) 4 3 2(z 2)(z 2z 4z 8z 16)+ − + − +

v) 2 2 8 6 2 4 4 2 6 8(a x )(a a x a x a x x )+ − + − +

w) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6(u v)(u u v u v u v u v uv v )+ − + − + − +

x) 2 6 3(x 1)(x x 1)(x x 1)+ − + − +y) (a b)(a b)− +

z) 2 2(a b)(a ab b )− + +

i) 2 2(3x y)(9x 3xy y )− + +

ii) 2(1 x)(1 x x )− + +

iii) 4 3 2(a 2)(a 2a 4a 8a 16)− + + + +

iv) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6(y z)(y y z y z y z y z yz z )− + + + + + +

v) 2 2 2 2(x a)(x ax a )(x a)(x ax a )+ − + − + +

vi) 2 6 3(x 1)(x x 1)(x x 1)− + + + +vii)

4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4(x y)(x x y x y xy y )(x y)(x x y x y xy y )+ − + − + − + + + +

viii) 4 4 2 2(u v )(u v )(u v)(u v)+ + + −

0.3 LogaritmosDefinição: Se xb a= , sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de 1, o

expoente x é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se bx log a= .Exemplos: 23 9= , logo 2 é logaritmo de 9 na base 3, isto é, 32 log 9= .

2log 8 é o número x, a que se deve elevar a base 2 para obter 8, isto é, x2 8, x 3= = . Assim, 2log 8 3= .

Propriedades dos logaritmos:i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números, isto é:

c c clog ab log a log b= +

ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos números, isto é:

= −c c calog log a log bb

iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número, isto é:

=pc clog a p.log a



Cálculo I

Exemplos:a) = = +2 2 2 2log 15 log 3.5 log 3 log 5

b) = −17log log17 log2424

c) 37 7log 5 3log 5=

= =1

3 3 1log 2 log2 log23

iv) blog b 1=De fato, fazendo blog b x= tem-se: xb b x 1= ∴ =

v) blog 1 0=De fato, fazendo blog 1 x= tem-se: x 0b 1 b x 0= = ∴ =

vi) xblog b x=

De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: xb blog b x.log b x.1= = .

vii) Mudança de base*k

bk

log alog a , k, com k , k 1log b += ∀ ∈ ≠¡

Exercícios

1) Passar da forma exponencial para a logarítmica:i) = ⇒ =q

pp r q log r

ii) =32 8 iii) =24 16 iv) − =2 139

v) −

=2

3 184

2) Passar da forma logarítmica para a exponencial:i) = ⇒ =2

5log 25 2 5 25

ii) =2log 64 6 iii) =14

1log 216 iv) =3

alog a 3 v) =rlog 1 0

3) Calcular o valor dos logaritmos seguintes:

i) 4log 64 ii) 3log 81 iii) 12

log 8 iv) 3log 10 v) 5log 125 5

Respostas: i) 3; ii) 4; iii) − 3 ; iv) 13

; v) 72

4) Resolver as seguintes equações:

i) =3log x 2 ii) = −43log y2

iii) =xlog 25 2 iv) = −x9 2log4 3

v) ( )+ − =2log 3x 2x 4 0

Respostas: i) 9; ii) 18

; iii) 5; iv) 827

; v) − 51,3

5) Resolver (use logaritmos):i) + −=2x 2 5x 15 3 ii) − +=2x 1 x 24 5 iii) − −=x 1 1 3x3 4.5Respostas: i) 1,898; ii) 3,958; iii) 0,6907

6) Sabendo que 6 6log 5 0,898 e log 2 0,386= = calcular:



Cálculo I

a) 6log 10 b) 6log 2,5 c) 2log 5 d) 6log 20 e) 65log

12f) 6log 5

Respostas: a) 1,284; b) 0,512; c) 2,326; d) 1,67; e) 0,488− ; f) 0,449

1. Principais Funções Elementares

1.1 Função ConstanteDado um número real c, denominamos função constante à função f: IR → IR definida por

( )f x c= .Gráfico

Propriedades:a) D(f) = IRb) ( ) { }Im f c= ;c) f é função par, pois ( ) ( )f x f x c, x− = = ∀ ∈ ¡IR;d) f é limitada, pois ( )c f x c, x≤ ≤ ∀ ∈ ¡ IR.

1.2 Função IdentidadeDenominamos função identidade à função f: IR → IR definida por ( )f x x= .

GráficoPropriedades:a) ( )D f = ¡ IR,

b) ( )Im f = ¡ IR;c) f é função ímpar, pois IR;;d) f não é limitada.

1.3 Função AfimDados os reais a e b, a 0≠ , denominamos função afim à função f: IR → IR definida por

( )f x ax b= +Gráfico

Propriedades:a) ( )D f = ¡ IR;

b) ( )Im f = ¡ IR;c) Se b 0= , f é função ímpar, pois

( ) ( ) ( )f x a x ax f x , x− = − = − = − ∀ ∈ ¡ IR Se b 0≠ , f não é função par, nem ímpar;d) f não é limitada;e) O gráfico intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa

é a raiz da equação ax b 0+ = ; portanto em b ; 0a

− .

A interseção com o eixo y é ( )0; b .

1.4 Função QuadráticaDados os reais a, b e c, a 0≠ , denominamos função quadrática à função f: IR → IR definida

por ( ) 2f x ax bx c= + + .Gráfico



Cálculo I

2

Se a 0e b 4ac 0

>∆ = − >

Se a 0e 0

>∆ =

Se a 0e 0

>∆ <

Se a 0e 0

<∆ >

Se a 0e 0

<∆ =

Se a 0e 0

<∆ <

O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: v

bx2a−= e

2

vb 4acy

4a 4a− ∆ − += = .

Propriedades:a) ( )D f = ¡ IR;

b) ( ) { } )v vIm f y | y y y ; ,se a 0;= ∈ ≥ = + ∞ >¡ ou

( ) { } )v vIm f y | y y ;y ,se a 0;= ∈ ≤ = − ∞ <¡

c) Se a 0> , f tem um valor mínimo para vbx x

2a−= = ;

Se a 0< , f tem um valor máximo para vbx x

2a−= = ;

O valor mínimo (ou máximo) de f é vy4a− ∆= ;

d) Se b 0= , f é função par, pois ( ) ( ) ( )2 2f x a x c ax c f x , x− = − + = + = ∀ ∈ ¡ IR;e) f não é limitada;f) Quando 0∆ > , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos ( )1x ; 0 e ( )2x ; 0 onde 1x e 2x são raízes da equação 2ax bx c 0+ + = . Quando 0∆ = , o gráfico intercepta o eixo x nos pontos ( )1x ; 0 onde 1x é raiz da equação

2ax bx c 0+ + = . Quando 0∆ < , o gráfico não intercepta o eixo x.Em qualquer caso, a interseção com o eixo y é o ponto ( )0; c .

1.5 Função RecíprocaDado um número real x não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de

x é o real 1x

. Denominamos função recíproco à função f: IR* → IR definida por ( ) 1f xx

= .

Gráfico



Cálculo I

Propriedades:a) ( ) *D f = ¡ ;

b) ( ) *Im f = ¡ ;c) f é função ímpar, pois

( ) *1 1f x , xx x

− = = − ∀ ∈−

¡ IR*

d) f não é limitada.

1.6 Função ModularDenominamos função modular à função f: IR → IR definida por ( )f x x= .

Pela definição de módulo, ( ) x se x 0f x

-x se x 0≥

= <Gráfico

Propriedades:a) ( )D f = ¡ IR;b) Im(f) = IR +

c) f é função par, pois ( ) ( )f x x x f x , x− = − = = ∀ ∈ ¡ IR;

d) f não é limitada.

1.7 Função ExponencialDado um número real a positivo, a 0≠ , denominamos função exponencial de base a à

função f: IR → IR definida por ( ) xf x a= .Gráfico

Se a 1> Se 0 a 1< < Propriedades:a) ( )D f = ¡ IR

b) ( ) *Im f += ¡ IR+*c) f não é função par, nem ímpar;d) f não é limitada.

1.8 Função LogarítmicaDenominamos função logarítmica à função f: IR+*→ IR definida por ( ) af x log x= .

GráficoCaso a 1> Caso 0 a 1< < Propriedades:

a) D(f)= IR+*;b) Im(f) = IR;c) f não é função par, nem ímpar;d) f não é limitada.



Cálculo I

1.9 Função SenoDenominamos função seno à função f: IR → IR definida por ( )f x senx= .

Gráfico

Propriedades:a) D(f) = IR;b) ( ) { }Im f y | 1 y 1 1;1= ∈ − ≤ ≤ = − ¡ ;

c) f é função ímpar, pois ( ) ( ) ( )f x sen x senx f x , x− = − = − = − ∀ ∈ ¡ IR;

d) f é limitada, pois ( )1 f x 1, x− ≤ ≤ ∀ ∈ ¡ IR;e) f é periódica, de período p 2= π .

1.10 Função Co-senoDenominamos função co-seno à função f: IR → IR definida por ( )f x cos x= .

Gráfico

Propriedades:a) D(f) = IR;



Cálculo I

b) ( ) { }Im f y | 1 y 1 1;1= ∈ − ≤ ≤ = − ¡ ;

c) f é função par, pois ( ) ( ) ( )f x cos x cos x f x , x− = − = = ∀ ∈ ¡ IR;

d) f é limitada, pois ( )1 f x 1, x− ≤ ≤ ∀ ∈ ¡ IR;e) f é periódica, de período p 2= π .

1.11 Função TangenteDenominamos função tangente à função f: IR → IR definida por ( )f x tgx= , onde

( )2k 1D x | x ,k

2 + π = ∈ ≠ ∈

¢¡ .

Gráfico

Propriedades:

a) ( ) ( )2k 1D f x | x ,k

2 + π = ∈ ≠ ∈

¢¡ ;

b) Im(f) = IR;c) f é função ímpar, pois ( ) ( ) ( )f x tg x tgx f x , x D− = − = − = − ∀ ∈ ;d) f não é limitada;e) f é periódica, de período p = π .

1.12 Função definida por várias sentençasUma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D

diferente contido no domínio definido.Gráficos (Exemplos)

a) ( )1, se x 0

f x 2, se 0 x 11, se x 1

<= ≤ < ≥

b) ( ) 2

x, se x 0f x

x , se x 0− <=

≥

1 x

y

1

2

x

y

D(f) = IR e ( ) { }Im f 1,2= D(f) – IR e Im(f) R+

1.13 Funções polinomiais



Cálculo I

Dados os números reais 0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a− , denominamos função polinomial à função f: IR → IR definida por ( ) n n 1 n 2

0 1 2 n 1 nf x a x a x a x ... a x a− −−= + + + + + . Os números 0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a− são

os coeficientes.As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial.Demais comentários sobre as funções polinomiais serão vistos nas aplicações de derivadas,

ou no decorrer do curso.

Exercícios

1) Se ( )2x 3f xx 1

−=+

, achar (i) ( )f 0 , (ii) ( )f 4− , (iii) ( )f 2a , (iv)1fz

, (v) ( )f x 3− . R.: (i) 3− ; (ii)133

− ; (iii)

24a 32a 1

−+

; (iv) ( )21 3z

z 1 z−

+ ; (v)2x 6x 6

x 2− +

−

2) Se ( ) xf x 2= , mostrar que ( ) ( ) ( )15f x 3 f x 1 f x2

+ − − = .

3) Se ( )f x logx= , mostrar que ( ) ( ) ( )f 2x f x f 2= + .

4) Se ( ) a1f x logx

= , mostrar que ( )3f a 3= − e ( )1z 1f a

z−

= .

5) Se ( ) 2f x x 2x= + , achar ( ) ( )f a h f ah

+ −. R.: 2a 2 h+ +

6) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:i) ( )f x 3= −

ii) ( ) 5f x2

= −

iii) ( )f x 2x= −

iv) ( ) xf x2

=

v) ( )f x 2x 2= − +

vi) ( )f x 2x= −

vii) ( ) 2f x x 2x= −

viii) ( ) 2f x x x 6= + −

ix) ( ) 2f x x 6x 8= − − −

x) ( ) 2f x x 6x 9= − + −

xi) ( ) 2f x x 2x 4= + +

xii) ( ) xf x 3=

xiii) ( ) xf x e=

xiv) ( ) xf x e−=

xv) ( )x1f x

3 =

xvi) ( ) 3f x log x=

xvii) ( ) 13

f x log x=

xviii) ( )f x lnx=

xix) ( ) 1f x2x

=

xx) ( ) 2

1 se x 1f x x se 1 x 2

4 se x 2

<= < < >

xxi) ( ) 2

2x+3 se x 0f x x se 1 x 2

1 se x 2

<= ≤ < ≥

xxii) ( )( ) 2

1f xx 2

=−

xxiii) ( )( ) 3

1f xx 4

=−

xxiv) 2y 4 x= −

xxv) 1yx 2

=−

7) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual

excede o valor x (em real) é igual a 12

2

10x

. Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual

entre R$20.000,00 e R$50.000,00? R:2100.8) Seja f : →¡ ¡ tal que ( ) 2f x 1 x x 1− = − + para todo x real. Pede-se:

a) Calcular ( )f 1 ; R: 3



Cálculo I

b) Expressar ( )f x como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real x. R: ( ) 2f x x x 1= + +

9) Seja a função ( )f x ax b, x= + ∈ ¡ , onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não

nulos e tais que ( )( ) ( ) 2f f x b f x b+ = + para todo x real. R: a 1 e b 2= =10) Após x anos um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 21% ao ano dará um montante (capital + rendimento) ( ) ( ) xM x 1000 1,21= . Calcule:a) O montante após meio ano; R: R$1.100,00b) O rendimento em meio ano. R: R$100,0011) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por ( ) ( ) t

0V t V 0,9= , onde 0V é o valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao valor inicial). R: 10%12) Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t minutos é ( ) 0,7tN t 1000.3= . Verifique que em 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na cultura será superior a 2.000.000.13) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade inicial 0Q , suponha que a quantidade de radium existente após t anos seja dada por

( ) ( ) t1000

0Q t Q 1,5−

= .a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium existente após 1.000 anos, relativamente à

quantidade inicial. R: 66%b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 1000o e 2000o ano? R: 22%14) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade

0Q , a quantidade existente após t anos seja dada por ( ) 0,05t0Q t Q .e−= . Dado ln2 0,693= , calcule t

de modo que se tenha ( ) 0QQ t2

= . (Este valor de t é denominado meia-vida da substância). R: 14

anos15) Partindo de uma quantidade inicial de 0Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a quantidade existente é ( ) kt

0Q t Q .e= onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora, quanto tempo levará para se ter 1.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 bactérias? Dado log2 0,3= . R: 10 horas16) a) No crescimento exponencial ( ) ktf t c.e= , verifique que o valor da função no ponto médio de um intervalo qualquer é a média geométrica dos valores nos extremos desse intervalo.b) A população mundial em 1950 era de 2,6 bilhões e em 1975 era de 4 bilhões. Admitindo-se o crescimento exponencial, estime a população no ano 2000. R: 6,2 bilhões (Note que a média geométrica é n

1 2 3 nG x x x ... x= × × × × .)17) Sabendo que 2k 110 7+ = , log7 0,845= e log5 0,699= , calcule t para que se tenha kt 110 5+ = . R: 3,884.18) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois dele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula ( ) ( )= tN t 2 0,5 , onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se

o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use =log2 0,301. R: 43

hora.

19) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de x quilômetros

acima do mar, é dado por = +

26400W 606400 x

. A que altitude o peso do astronauta será inferior a

2kg? R: x 28.654,24368 km≅ .



Cálculo I

20) Partindo de uma quantidade inicial de 0Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a quantidade existente é ( ) = kt

0Q t Q .e onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora, quanto tempo levará para se ter 1.000.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 bactérias? Dados: =ln3 1,099 e 6ln10 13,816= . R: 12,57 horas21) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula T 2 c / g= π , onde g é

a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que c 281,3cm= e 2g 981,0cm/ s= . Tomar 2 6,283π = . R: T 3,365 segundos=

22) Resolver a seguinte equação de hidráulica: 1,3220,0 0,0613

14,7 x =

. R: x 0,0486=

23) Dada a fórmula T 2 c / g= π , achar c se T 2,75, 3,142 e g 32,16= π = = . R: 6,16

24) Dados A 0,0807, G 0,0056 e P 1250= = = encontre D na fórmula ( )3PD

05236 A G=

− . R: 31,7

2. Continuidade. Limites

2.1 Noção de ContinuidadeToda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua.São exemplos de função contínua:

a) uma função quadrática, como ( ) 2f x x 2x 3= + + , cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha geométrica contínua;

b) a função módulo, ( )f x | x |= , cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0);

c) a função seno, ( )f x senx= , cujo gráfico é a senóide;

d) uma função exponencial, como ( ) xf x 2= , cujo gráfico é também uma curva contínua sem interrupções.

2.2 Introdução ao Conceito de LimiteConsideremos a função ( )f x 2x 1= + , definida em ¡ . Ao estudar o seu comportamento

quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1, observam-se as duas situações:1o) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela esquerda:

x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 x 1−→( )f x 2x 1= + 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,98 2,998 2,9998 ( )f x 3→

2o) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela direita:

X 1,4 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 x 1+→( )f x 2x 1= + 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,02 3,002 3,0002 ( )f x 3→

Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de 1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1).

Simbolicamente, escreve-se: ( ) ( )x 1lim f x f 1

→= .

Assim, ( )x 1lim 2x 1 2.1 1 3

→+ = + =



Cálculo I

2.3 Definição de LimiteSeja uma função f real definida num intervalo contendo a, exceto talvez em a, ou seja, x a≠ .

Diz-se que ( )x alim f x L

→= quando para todo número real 0ε > podemos obter um número real 0δ > tal

que, se ( )x D f∈ e 0 | x a |< − < δ , então ( )| f x L |− < ε .Dando à definição uma forma que não contenha o símbolo do valor absoluto, basta notar que:

i) 0 | x a |< − < δ equivale a a x a− δ < < + δ e x a≠

ii) ( )| f x L |− < ε equivale a ( )L f x L− ε < < + ε

Observação: ( )f x pode ou não estar definida em x a= , mas precisa estar definida nos demais pontos de um intervalo contendo a. Dado qualquer número 0ε > (imagina-se ε muito pequeno), se tiver ( )| f x L |− < ε para todo x (do domínio de f) que esteja num intervalo aberto

a x a− δ < < + δ , x a≠ , então segue que ( )x alim f x L

→= . O número δ é o que precisa ser determinado,

para cada ε dado.Exemplos:

i) Determinar o intervalo ao qual x deve pertencer de modo que ( )f x 4x 8= − esteja próximo de - 4 com afastamento máximo de 0,0004ε = .Resolução:Tese: ( )0 | x a | | f x L |< − < δ ⇒ − < ε ( )δ = δ ε

( )| f x L | , 0− < ε ε > ⇒ | 4x 8 4 | 0,0004− + < ⇒ | 4x 4 | 0,0004− < ⇒ 4 | x 1| 0,0004− <

⇒ 0,0004| x 1|4

− < ⇒ | x 1| 0,0001− < ⇒ 0,0001 x 1 0,0001− < − < ⇒ 0,9999 x 1,0001< <

Resposta: A ( )f x 4x 8= − estará próxima de -4 com aproximação de 0,0004 se 0,9999 x 1,0001< < .



Cálculo I

ii) Determinar o valor de ( )δ = δ ε para que ( )f x 3x 5= − esteja próximo de 1 com afastamento máximo de 0,003ε = .Resolução:

( )| f x L | , >0− < ε ε

| 3x 5 1| 0,003− − < ⇒ | 3x 6 | 0,003− < ⇒ 3 | x 2 | 0,003− < ⇒ 0,003| x 2 |3

− < ⇒ | x 2 | 0,001− <

Resposta: Para que 0,0013εδ = = decorre a tese 0 | x a |< − < δ .

2.4 Limites LateraisQuando considera-se ( )

x 3lim f x

→ , está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas, suponha que tem-se uma função f como por exemplo, ( )f x x 3= − . Como ( )f x não existe

para x 3< , f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo x 3lim x 3

→− não tem

significado. Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de x 3− poderá torna-se zero quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso, deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito.

Desta forma, o limite de ( )f x quando x tende a a pela direita é L, e denota-se por:

( )x alim f x L

+→= , se, para todo 0ε > , existir um 0δ > tal que se 0 x a< − < δ então ( )| f x L |− < ε .

Da definição acima, segue que, x 3lim x 3 0

+→− = .

Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral esquerdo.

Assim, o limite de ( )f x quando x tende a a pela esquerda é L, e denotado por: ( )x alim f x L

−→= .

Por exemplo, seja a ( )f x 3 x= − . Logo faz sentido calcular o x 3lim 3 x

−→− . Portanto,

x 3lim 3 x 0

−→− = .

2.5 Limites de funções algébricasO processo anterior é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas.

Entretanto, a técnica utilizada não é aplicável a outras funções algébricas. Observe os exemplos a seguir:

( )2x x 2f xx 1+ −=

−, se x 1≠ , é permitido cancelar o fator comum x 1− no numerador e denominador.

Pois ( ) ( ) ( )x 1 x 2f x x 2

x 1− +

= = +−

. Segue que os gráficos das duas funções são os mesmos exceto

para 1=x . Especificamente, o ponto (1, 3) está no gráfico de ( )f x x 2= + , mas não está no gráfico

de ( )2x x 2f xx 1+ −=

−, conforme ilustrado.

Valor da função Gráfico Limite quando →x 1

( )f x x 2= + ( )x 1limf x 3

→=



Cálculo I

Valor da função Gráfico Limite quando →x 1

( )2x x 2g xx 1+ −=

−( )

x 1limg x 3

→=

( )2x x 2 , se x 1h x x 1

2, se x 1

+ − ≠= − =

( )x 1limh x 3

→=

Na ilustração precedente, o limite de cada função, quando x se aproxima de 1 é 3, mas no primeiro caso ( )f 1 3= , no segundo caso ( )g 1 não existe e no terceiro ( )h 1 2 3= ≠ .

Manipulações algébricas podem ser usadas para determinar certos limites, como por exemplo, nos casos:

i) ( )2

2

2x 5x 2f x5x 7x 6

− +=− −

, encontre o ( )x 2lim f x

→

Solução:Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função.

Fatorando-se o numerador e o denominador, obtém-se ( ) ( ) ( )( ) ( )x 2 2x 1

f xx 2 5x 3

− −=

− +.

Não pode cancelar o fator x 2− neste momento; todavia se tomar o limite de ( )f x quando x 2→ , tal cancelamento é permitido.

Assim, ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

2

2x 2 x 2 x 2 x 2

x 2 2x 1 2x 12x 5x 2 3lim f x lim lim limx 2 5x 3 5x 3 135x 7x 6→ → → →

− − −− += = = =− + +− −

ii) ( ) x 9f xx 3

−=−

, encontre o ( )x 9lim f x

→

Solução:Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador como se segue:

( )( ) ( )

( )x 9 x 9 x 9 x 9

x 9 x 3x 9 x 9 x 3lim f x lim lim . limx 9x 3 x 3 x 3→ → → →

− + − − += = = −− − + .

Pelo mesmo princípio de (i) pode-se continuar o processo, ou seja, cancelar x 9− .

( ) ( )( ) ( ) ( )x 9 x 9

x 9 x 3lim lim x 3 9 3 6

x 9→ →

− += + = + =

−.

2.6 Inexistência do Limite

Considere a função ( ) | x |f xx

= , cujo ( ) { }D f x IR / x 1 ou x 1= ∈ > < − e cujo gráfico é:



Cálculo I

Observe que os valores de ( )f x , quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L:

se x 0+→ , tem-se que ( )f x 1→ (ou seja, ( )x 0lim f x 1

+→= );

se x 0−→ , tem-se que ( )f x 1→ − (ou seja, ( )x 0lim f x 1

−→= − ).

Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe ( )x 0lim f x

→ . Note que os limites laterais existem.

O Teorema 1 a seguir estabelece a relação entre limites laterais e limites:( )

x alim f x L

→∃ = se e somente se ( ) ( )

x a x alim f x L lim f x

− +→ →= =

Outro exemplo:Considere o gráfico abaixo:

Os limites laterais são:• ( ) ( )

x 1 x 1lim f x lim 3 x 2

− −→ →= − =

• ( ) ( )2

x 1 x 1lim f x lim x 1 2

+ +→ →= + =

Como os limites laterais esquerdo e direito são iguais, decorre do Teorema 1 que ( )

x 1lim f x 2

→= .

Note que o valor da função ( )f 1 4= é irrelevante para a determinação do limite.

Exercícios

1) Usando a definição de limites, determine um 0δ > , dado o valor ε .a) ( )

x 4lim x 1 3; 0,2

→− = ε = b) ( )

x 2lim 2 5x 8; 0,002

→ −+ = − ε =

2) Calcule os limites indicados das funções:

i) 2x 2

x 2limx 4→

−−

ii)2

x 1

2x x 1limx 1→

− −−

iii)x

2

1limsenxτ→

iv)2

x 0

x x 1 1limx→

+ + −

v)2

x 2

x 6x 2xlimx 2→

+ −−

vi) 2x 7

2 x 3limx 49→

− −−

viii)x 4

x 4limx 29 5→ −

++ −

ix)x 0

1 x 1 xlimx→

+ − −

x)x 4

3 5 xlim1 5 x→

− +− −

xi)2 2

x a

x alimx a→

−−

xii)3

3 2x 2

x 8x 8lim3x 15x 6x 4→

− +− + +

xiii)3 2

2x 2

x x 5x 2lim3x 5x 2→ −

− − ++ −

xiv) 3

3 2x 4

x 18x 8lim3x 15x 16x 6→

− ++ + −

xv)x 3lim 2x 3

→+

xvi)2

3t 0

4t 3t 2limt 2t 6→

+ ++ −

xvii) ( ) 2x 1

1limx 1→ −

xviii) ( ) 3x 2

3limx 2−→ −

xix) ( ) 3x 2

3limx 2+→ −



Cálculo I

vii)x 0

x 4 3x 4limx 1 1→

+ − ++ −

3) Calcular as constantes a e b sabendo que ( )x 1lim ax b 5

→+ = e ( )

x 3lim ax b 7

→+ =

4) Verifique se existe limite das funções abaixo, usando limites laterais.

a)x 0

2limx→

b) 2x 0

3limx→

c) 3x 0

1limx→

d)x 4

1limx 4→ − +

e) 1x 2

1lim1x 2

→ −

f) 2x 1

1limx 1→ −

g)x

x 0lime

→

h) x 1

x 1lim2 −

→

5) Esboce o gráfico e ache o limite indicado:

i) ( )2 se x 1

f x 1 se x 13 se 1 x

<= − = − <

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1x 1 x 1

a lim f x ; b lim f x ; c limf x+ − →→ →

ii) ( ) 2 se x 0f x

2 se 0 x− <

= ≤( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x 0x 0 x 0a lim f x ; b lim f x ; c lim f x

+ − →→ →

iii) ( )2

2

x 4 se x 2f x 4 se x 2

4 - x se 2 x

− <= = <

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 2x 2 x 2

a lim f x ; b lim f x ; c lim f x+ − →→ →

iv) ( )2

2x 3 se x 1f x 4 se x=1

x 2 se 1<x

+ <= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1x x 1

a limf x ; b lim f x ; c lim f x+ − →→

v) ( )F x x 5= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 5x 5 x 5

a lim F x ; b lim F x ; c limF x+ − →→ →

6) Dada ( ) 3x 2 se x 4f x

5x k se 4 x+ <

= + ≤. Ache o valor de k para o qual ( )

x 4lim f x

→ existe.

7) Dada ( )2x se x 2

f x ax b se 2 x 22x 6 se 2 x

≤ −= + − < < − ≤

. Ache os valores de a e b, tais que ( )x 2lim f x

→ − e ( )x 2lim f x

→ ambos

existam.

8) As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos sejam o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e

( )0,80x se 0<x 50

C x 0,70x se 50<x 2000,65x se 200<x

≤= ≤

a) Faça um esboço do gráfico de C.Ache cada um dos seguintes limites: b) ( )

x 50lim C x

−→; c) ( )

x 50lim C x

+→; d) ( )

x 200lim C x

−→; e) ( )

x 200lim C x

+→

9) Seja f definida por: ( ) 2

x 5 se x 3

f x 9 x se 3 x 33 x se x 3

+ < −= − − ≤ ≤ − >

a) Faça o gráfico de f.



Cálculo I

b) Ache, se existirem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 3 x 3x 3 x 3 x 3 x 3

lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ;lim f x− + − +→ − →→ − → − → →

10) Calcule os limites:

i) x4

lim senxπ→

ii) x2

lim senxπ→

iii) x 0limcos x

→

iv) x2

lim cos xπ→

v) x4

lim tgxπ→

vi) x4

lim tgxπ→ −

vii) x 10lim logx

→

viii) 1x5

1limx→ −

ix) x 1lim logx

−→

x) x 1lim logx

+→

xi)2

x 0

x xlimx→

+

xii)4 2

2x 1

x 2x 1limx 2x 1→

− +− +

Respostas dos exercícios1 a) 0,2 b) 0,0004

2i)

14

ii)3 iii)1 iv)

12

v) 232

− vi)1

56− vii) -1 viii) 10 ix) 1 x)

13

−

xi) 4a a xii)0 xiii)117

− xiv)0 xv)3 xvi)13

− xvii) + ∞ xviii) − ∞ xix) + ∞

3 a 1; b 4= =

4 a) ∃ b) ∃ c) ∃ d) ∃ e) ∃ f) ∃ g) ∃ h) ∃

5 i) a) -3 b) 2 c) ∃ ii) a) 2 b) -2 c) ∃ iii) a) 0 b) 0 c) 0 iv) a) 3 b) 5 c) ∃ v) a) 0 b) 0 c) 06 k -6=

73a ; b 12

= − =

8 b)40 c)35 d)140 e)130

9 ( ) ( ) ( )x 3x 3 x 3

lim f x 2; lim f x 0; lim f x− + → −→ − → −

= = = ∃ ( ) ( ) ( )x 3x 3 x 3

lim f x 0 lim f x 0; lim f x 0− + →→ →

= = =

10 i) 22

ii)1 iii)1 iv)0 v)1 vi)-1 vii)1 viii)-5 ix)0 x)0 xi)1 xii)0

2.7 Definição de ContinuidadeDiz-se que ( )f x é contínua em x a= quando ( ) ( )

x alim f x f a

→= .

A função ( )f x é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir:i) ( )f a∃ , isto é, ( )f x é definida para x a=

ii) ( )x alim f x

→∃

iii) ( ) ( )x a

f a lim f x→

= .Exemplos:a) Descontinuidade no ponto x 2= b) Continuidade no ponto x 3=

c) Descontinuidade no ponto x 1= d) Descontínua no intervalo de 1 a 4 1, 4⇒



Cálculo I

Exemplo:Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados:

a) ( ) 2f x 2x x, no ponto x 2= + =

Condição (i): ( ) ( ) 2f 2 2 2 2 10= + =

Condição (ii): ( )2

x 2lim 2x x 10

→+ =

Condição (iii): ( ) ( )2

x 2f 2 lim 2x x

→= + , logo a função é contínua no ponto x 2=

b) ( )2x 2x 1f x , x 1

x 1− += =

−

Condição (i): ( ) ( )21 2.1 1f 1 f 1

1 1− += = ∃

−, como a condição (i) não foi aceita a função é descontínua em

x 1=

2.8 Propriedades dos Limitesa) x a

limc c→

= - limite de uma constante é uma constante

b) x alim x a

→= - limite de uma função linear quando x tende para a, a função também tende para a

c) Se ( )x alim f x

→ e ( )x alimg x

→ existem ambos, então:

( ) ( ) ( ) ( )x a x a x alim f x g x lim f x limg x

→ → → ± = ± - limite de uma soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença)

dos limites

( ) ( ) ( ) ( )x a x a x alim f x .g x lim f x .limg x

→ → → = - limite de um produto é igual ao produto dos limites

( )( )

( )( )

x a

x ax a

lim f xf xlim

g x limg x→

→→

=

, desde que ( )

x alimg x 0

→≠ - limite de um quociente é o quociente dos limites,

desde que o limite do denominador seja diferente de zero

( ) ( )x a x alim cf x c lim f x

→ → = - o limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o

limite da função

d) Se m, b e a são números reais, então:( )

x alim mx b ma b

→+ = + - para calcular este limite basta recorrer às propriedades anteriores

e) Se n é um inteiro positivo, então:

( ) ( )nn

x a x alim f x lim f x

→ → = - o limite de uma potência é igual à potência do limite

f) Se f é uma função polinomial e a é um número real, então:( ) ( )

x alim f x f a

→=



Cálculo I

g) Se a 0> e n é um inteiro positivo, ou se a 0≤ e n é um inteiro positivo ímpar, então:n n

x alim x a

→=

h) Se uma função f tem um limite quando x tende para a, então:

( ) ( )n nx a x alim f x lim f x

→ →= , desde que n seja inteiro positivo ímpar ou n seja um inteiro positivo par e

( )x alim f x 0

→>

Suponha-se que ( ) ( ) ( )f x h x g x≤ ≤ para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a.

Se ( ) ( )x a x alim f x L limg x

→ →= = , então ( )

x alimh x L

→= .

2.9 Limites que Envolvem Infinito

Observe os valores da função ( ) 1f xx

= , quando x tende a zero.

x 0+→ 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001

( )f x 2 10 100 1.000 10.000

x 0−→ -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

( )f x 2 10 100 1.000 10.000

Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de ( )f x .

Quando acontece uma situação dessas, diz-se que ( )f x cresce ilimitadamente quando x tende a zero.

Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de ( )f x ficam maiores que

qualquer número positivo considerado, diz-se então que ( )f x cresce ilimitadamente ou que existe o

limite infinito: ( )x alim f x

→= + ∞ .

Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de ( )f x ficam menores que qualquer

número negativo considerado, diz-se então que ( )f x decresce ilimitadamente ou que existe o limite

infinito: ( )x alim f x

→= − ∞ . Por exemplo, ao considerar ( ) 1f x

x= − , tem-se: ( )

x 0 x 0

1lim f x limx→ →

= − = − ∞ .

Observe o gráfico:

Note que para a função ( ) 1f xx

= , quando x tende a zero pela direita ( )f x cresce

ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda ( )f x decresce ilimitadamente:



Cálculo I

x 0

1limx+→

= + ∞

x 0

1limx−→

= − ∞

Neste caso, diz-se que ∃x 0

1limx→

.

2.10 Limites no InfinitoHá funções que, quando x → + ∞ ou x → − ∞ , crescem ou decrescem ilimitadamente. Em

resumo, podemos ter: ( )xlim f x→ + ∞

= + ∞ ; ( )xlim f x→ + ∞

= − ∞ ; ( )xlim f x→ − ∞

= + ∞ ; ( )xlim f x→ − ∞

= − ∞ .Exemplos:

( ) 2f x x= cresce ilimitadamente quando x → + ∞ e também quando x → − ∞ .

2

xlim x→ + ∞

= + ∞ e 2

xlim x→ − ∞

= + ∞ .

( ) 3f x x= cresce ilimitadamente quando x → + ∞ e decresce quando x → − ∞ .

3

xlim x→ + ∞

= + ∞ e 3

xlim x→ − ∞

= − ∞ .

( ) 2f x 4 x= −

( )2

xlim 4 x→ + ∞

− = − ∞ e ( )2

xlim 4 x→ − ∞

− = − ∞ .( ) xf x 1

2= −

x

xlim 12→ + ∞

− = − ∞ e

x

xlim 12→ − ∞

− = + ∞ .

Há funções que, quando x → + ∞ ou x → − ∞ , apresentam tendência para um número real

determinado. É o caso, por exemplo, da função ( ) 1f x 1x

= + . Nesta função observa-se que quanto

maior for o valor de x, 1x

tende a zero e, então, ( )f x tende a 1. Portanto, x

1lim 1 1x→ + ∞

+ = .



Cálculo I

Note também que x

1lim 1 1x→ − ∞

+ = .

Deve-se ter conhecimento que há funções que, quando x → + ∞ ou x → − ∞ , não apresentam tendência para nenhum número especificamente. É o caso, por exemplo, das periódicas ( )f x senx= , ( )f x cos x= e ( )f x tgx=

2.11 Limites Fundamentais

i)x 0

senxlim 1x→

=

Intuitivamente observa-se que quanto mais x aproxima-se de zero, por exemplo x 0,0001rad= , o

valor de sen0,0001 0,00009999= . Efetuando-se o quociente senx 0,00009999 0,99999 1

x 0,0001= = ≈ .

Desta forma, quanto mais próximo de zero estiver o arco x mais o limite aproximará de 1.

Exemplo: x 0 x 0 x 0 u 0

sen5x 5.sen5x sen5x senulim lim 5.lim 5lim 5.1 5x 5.x 5x u→ → → →

= = = = = .

Deste limite pode-se concluir também que x 0

tgxlim 1x→

= .

ii)x

x

1lim 1 ex→ ± ∞

+ =

Exemplo:2x x x x x

2

x x x x

1 1 1 1 1lim 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 e.e ex x x x x→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

+ = + + = + + = =

iii) ( )1x

x 0lim 1 x e

→+ =

Exemplo:

( ) ( ) ( )5 55 1 1

5x x xx 0 x 0 x 0lim 1 x lim 1 x lim 1 x e

→ → →

+ = + = + =

iv)x

x 0

a 1lim lna, para a 0x→

− = >

Exemplos:x x x

x 0 x 0 x 0

2 1 1 2 1 1 2 1 1lim lim lim ln24x 4 x 4 x 4→ → →

− − −= = = x x x

x 0 x 0 x 0

2e 2 e 1 e 1lim lim 2 2lim 2lne 2.1 2x x x→ → →

− − −= = = = =

v) ( ) a

x 0

1 x 1lim a

x→

+ −=

Exemplo:

( ) ( )2 2

x 0 x 0 x 0

42 2x 4 4 1 x 4lim lim lim

4x 4x→ → →

+ − + −= =

( )( )21 x 1

4

+ − ( ) 2

x 0

1 x 1lim 2

xx →

+ −= =



Cálculo I

Exercícios1) Calcule os limites:i) ( )3 2

xlim 2x 5x 2x 1

→ + ∞− + −

ii) ( )2

xlim 2x 5x 1

→ − ∞− +

iii) ( )xlim 4x 1

→ + ∞− +

iv) x

8x 1lim4x 5→ + ∞

+−

v) 2x

3x 2limx 5x 6→ − ∞

+− +

vi) 2

x

2x 7lim6x 1→ − ∞

− ++

vii) 2

x

2x 7lim6x 1→ + ∞

− ++

viii) 3 2

xlim 2x x x 1

→ + ∞− + +

ix) 2

2x

x 3xlimx 1→ + ∞

−−

x) 2

n

6n 1lim2n 3→ + ∞

− +

xi) ( )nlim n 1 n

→ + ∞+ −

Respostas: i) + ∞ ; ii) + ∞ ; iii) − ∞ ; iv) 2; v) 0; vi) + ∞ ; vii) − ∞ ; viii) + ∞ ; ix) 1; x) 9; xi) 0

2) Mostrar que:

i) ( )1x

x 0lim 1 x e

→+ =

ii) x

x

1lim 1 ex 3→ + ∞

+ = −

iii) 4 x3

3

x

1lim 1 e ex→ − ∞

+ =

iv) x

x

1lim 1 e2x→ − ∞

+ =

v) x a

x

1lim 1 ex

+

→ + ∞

+ =

vi) x

8

x

x 8lim ex→ + ∞

+ =

vii) x

k

x

klim 1 ex→ + ∞

+ =

viii) x

3

x

3lim 1 ex

−

→ − ∞

− =

ix) x 0

sen3xlim 3x→

=

x) x 0

sen3x 3lim2x 2→

=

xi) 2

2x 0

xsen14lim

x 16→

=

xii) x 0

tg5xlim 5x→

=

xiii) x

senxlim 1x→ π

= −− π

xiv) x 0

xlim 1senx→

=

xv) x

x 0

3 1 1lim ln32x 2→

− =

xvi) x 1

x 0

e e elim2x 2

+

→

− =

xvii) ( ) 2a

x 0

1 x 1lim 2a

x→

+ −=

xviii) x 0

2 1 x 2 1lim2x 2→

+ − =

13) Faça a análise matemática das funções abaixo, se são contínuas ou descontínuas nos pontos dados:

i) ( )2x 4f x para x 2 e x 3

x 2−= = =

− ii) ( ) 1 xf x para x 1e x 1

1 x−= = − =+

iii) ( ) 2

5xf x para x 2; x 3 e x 3x 9

= = = = −−

iv) ( )2x 2x 1f x , para x 2 e x 1

x 1− += = =

−

3. Derivadas

3.1 Fórmula da distância:A distância entre 1 2P e P é:

( ) ( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1d P ,P x x y y= − + −



Cálculo I

3.2 Fórmula do ponto médio:O ponto médio do segmento 1 2PP é:

1 2 1 2x x y yM ,2 2+ +



Cálculo I

3.3 RetasCoeficiente angular m Forma Ponto-Coeficiente

angularForma Coeficiente angular-

Intercepto2 1

2 1

y ymx x

−=−

( )1 1y y m x x− = − y mx b= +

Retas especiais: Vertical: m não definido

Horizontal: m 0=Paralelas: 1 2m m= Perpendiculares: 1 2m m 1= −

3.4 Introdução à DerivadaO conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras

aplicações práticas, tais como: determinação de máximos e mínimos e pontos de inflexão de uma função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico.

3.5 AcréscimosDefinição: Seja x uma variável independente qualquer e 1 2x e x dois valores particulares

desta variável. Chama-se acréscimo de 1x , a diferença 2 1x x− que representaremos por x∆ .

3.6 Acréscimo de uma funçãoSeja ( )y f x= uma função qualquer.Dando a x um acréscimo arbitrário x∆ , obteremos, para y, um acréscimo que

representaremos por y∆ .Graficamente teremos:



Cálculo I

Algebricamente obtemos:( ) ( )( ) ( )1 y f x

2 y y f x x

=

+ ∆ = + ∆Subtraindo (2) de (1) vem

( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −

Nota-se que y∆ é o acréscimo da função e x∆ é o acréscimo da variável.Exemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes:

a) ( )f x ax b= +

Solução:( ) ( )( ) ( )

y f x x f x

y a x x b ax b

y ax a x b ax by a x

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ + − +

∆ = + ∆ + − −∆ = ∆

b) ( )f x 3x 2= +Solução:

( ) ( )( ) ( )

y f x x f x

y 3 x x 2 3x 2

y 3x 3 x 2 3x 2y 3 x

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ + − +

∆ = + ∆ + − −∆ = ∆

Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável.

c) ( ) 2f x x=Solução:

( ) ( )( )

( )( )

2 2

22 2

y f x x f x

y x x x

y x 2x x x x

y x 2x x

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ + ∆ −

∆ = ∆ + ∆

3.7 Razão IncrementalÉ a razão entre o acréscimo sofrido pela função, y∆ , e pelo acréscimo dado à variável, x∆ .

yx

∆∆

: razão incremental. Como: ( ) ( ) ( )f x x f xy 1x x

+ ∆ −∆ =∆ ∆

A relação (1) que é a razão incremental, representa um valor numérico que nos indica a velocidade de variação de uma função num ponto.

Exemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções:i) y x, x= ∀ ∈ ¡Solução:

( ) ( ) ( )f x x f x x x xy x 1x x x x

+ ∆ − + ∆ −∆ ∆= = = =∆ ∆ ∆ ∆Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto.

ii) 2y x , para x 3 e x 1= = ∆ =Solução:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f x x f x x x x x 2x x x x 2x x x x 2x xy 2x xx x x x x x

+ ∆ − + ∆ − + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ ∆ + ∆∆ = = = = = = + ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆



Cálculo I

Assim para x 3 e x 1= ∆ = , temos: ( )y 2 3 1 7x

∆ = + =∆

Interpretação: a velocidade de variação da função no ponto x 3= é 7 vezes à da variável para um acréscimo de x∆ , ou seja, para x 1∆ = .

3.8 Derivada ou função derivadaChama-se derivada ou função derivada da função ( )y f x= em relação a x o limite da razão

incremental quando x 0∆ → .

Em símbolos: ( ) ( )

x 0 x 0

f x x f xdy ylim limdx x x∆ → ∆ →

+ ∆ −∆= =∆ ∆

Podemos encontrar na literatura: ( ) ( ) ( )x x

df xdy , y , f x , , d y, D f xdx dx

′ ′ , entre outras.

Exemplo: Achar a função derivada das seguintes funções:i) 2y x=Solução:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

f x x f x x x x x 2x x x xdy lim lim lim lim 2x x 2xdx x x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ − + ∆ + ∆ −= = = = + ∆ =

∆ ∆ ∆.

Logo, ( ) ( )2f x x f x 2x′= ⇒ =

ii) ( ) 2f x x 5x 6= − +Solução:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2

x 0 x 0

x x 5 x x 6 x 5x 6 x 2x x x 5x 5 x 6 x 5x 6dy lim limdx x x∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ + − − + + ∆ + ∆ − − ∆ + − + −= =

∆ ∆

( ) ( )2

x 0 x 0

2x x x 5 xlim lim 2x x 5 2x 5

x∆ → ∆ →

∆ + ∆ − ∆= = + ∆ − = −

∆. Logo, ( ) ( )2f x x 5x 6 f x 2x 5′= − + ⇒ = −

iii) ( )f x senx=Solução:

( )x 0 x 0 x 0

x x x x x x 2x x x2cos sen 2cos sensen x x senxdy 2 2 2 2lim lim limdx x x x∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ + + ∆ − + ∆ ∆ + ∆ − = = =

∆ ∆ ∆

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

x 1 xsen sen2x x 2x x 2x x 12 2 2lim 2cos . lim lim 2cos . lim lim 2 cos .

12 x 2 2 2x2

∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = = = ∆ ∆

iv) ( )f x cos x=Solução:

( )x 0 x 0 x 0

x x x x x x 2x x x2sen sen 2sen sencos x x cosxdy 2 2 2 2lim lim limdx x x x∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ + + ∆ − + ∆ ∆ − − + ∆ − = = =∆ ∆ ∆

x 0 x 0 x 0 x 0

2x x x x 2x x x2sen sen 2sen sen sen2 2x x2 2 2 2 2lim lim lim lim sen

2 xx 2 2x2 2

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ − − − + ∆ = = = ∆∆ ∆

x 0

2x x1. lim sen senx2∆ →

+ ∆ = − = −



Cálculo I

3.9 Derivada de uma função num pontoDefinição: Seja ( )f x uma função contínua no ponto ox x= . Chama-se derivada da função no

ponto ox x= o valor numérico (finito) da função derivada para ox x= .

Notações:

( ) ( )o ox xo

dyf x , y x ,dx =

′ ′

Exemplo: Calcular a derivada de ( ) 2f x x= no ponto x 2=

Solução: A derivada dessa função é y 2x′ = . Logo, no ponto dado o valor será ( )y 2 2.2 4′ = = .

Outra forma de calcular a derivada de uma função ( )f x no ponto ox x= é:

( ) ( ) ( )oo x xo

o

f x f xf x lim

x x→

−′ =

−

Exemplo: Sendo 2y x 5x 6= − + , calcular ( )y 2′ .

Solução: ( ) ( ) ( ) ( )2

x 2 x 2 x 2

x 2 x 3x 5x 6y 2 lim lim lim x 3 1x 2 x 2→ → →

− −− +′ = = = − = −− −

Observação: 1) Se o limite da razão incremental existir penas para ( )ox x x 0→ ∆ → , pela direita ou

pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. 2) Se ( ) ( )f x f x− +′ ′= diremos que a função ( )f x é derivável no ponto ox x= .

Notação: ( ) ( ) ( )o

ox xo o

f x f xlim f x

x x −−→

−′=

− (à esquerda) e

( ) ( ) ( )oo

x xo o

f x f xlim f x

x x ++→

−′=

− (à direita)

Exemplo: Calcular a derivada de ( )f x x= no ponto ox 0= .

Solução: ( ) ( ) ( )oo x 0 x 0 x 0

f x f x x 0 xf x lim lim lim

x 0 x 0 x→ → →

− −′ = = =

− −. Como chegamos em um limite sem resolução,

temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim, x 0

xlim 1

x+→= e

x 0

xlim 1

x−→= − . Logo,

( )f x x= não é derivável no ponto ox 0= .

3.10 Interpretação geométrica da DerivadaSeja ( )f x uma função cujo gráfico representaremos a seguir:

Considere o ponto ( )P x,y fixo. Dando a x um acréscimo x∆ obtemos para y um acréscimo y∆ e conseqüentemente um o ponto Q qualquer na curva. Traçando uma secante s em ______

PQ formará



Cálculo I

então um triângulo retângulo nos pontos PQR de onde tiramos: ______

______

QR y tgxPR

∆= = β∆

. Veja em detalhes no

triângulo abaixo:

Imaginemos que:x 0∆ → , logo Q P→ . Desde modo a secante s no ponto PQ → à tangente geométrica no

ponto P. Nota-se que β → α . E também s t→ .Em símbolos representaremos assim:

x 0

ylim limtg tgx∆ → β → α

∆ = β = α∆

Donde: x xo

dy tgdx =

= α .

Conclusão: a derivada de uma função ( )f x num ponto ox x= representa a tangente trigonométrica do ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P forma com o eixo positivo Ox. Observe o desenho a seguir:

Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: y ax b= + é a equação geral da reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, tgα . O ângulo formado pela reta tangente e o eixo x é α .

3.11 Propriedades das DerivadasVeremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a

definição de derivada.

Função Representação Derivada

Constante y c= y 0′ =

Afim y ax b= + y a′ =

Soma algébrica ( ) ( )y u x v x= ± ( ) ( )y u x v x′ ′ ′= ±

Produto ( ) ( )y u x .v x= ( ) ( ) ( ) ( )y u x v x v x u x′ ′ ′= +

Quociente( )( )

u xy

v x=

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

u x v x v x u xy

v x

′ ′−′ =



Cálculo I

Função Representação Derivada

Exponencial ( )a 0 e a 1> ≠ uy a= uy u a lna′ ′=

Logarítmica ( )a 0, a 1e x 0> ≠ > ay log u= a

uy log eu

′′ =

Seno y senx= y cos x′ =

Co-seno y cos x= y senx′ = −

Tangente y tgx= 2y sec x′ =

Cotangente y cot gx= 2y cossec x′ = −

Secante y sec x= y sec x.tgx′ =

Co-secante y cossec x= y cossec x.cot gx′ = −

Composta ( )( )y f g x=( )( ) ( )

( ) ( )

y f g x .g x ou

dy dy du f u g xdx du dx

′ ′ ′=

′ ′= =

Potência (expoente real) ( )* *e x +α ∈ ∈¡ ¡ y xα= 1y xα −′ = α

Exemplos: Achar a derivada das funçõesi) ( ) ( )f x 2 f x 0′= ⇒ =

ii) ( ) ( )2f x sen a f x 0′= ⇒ =

iii) ( ) ( ) ( )f x ln a b f x 0′= + ⇒ =

iv) ( ) ( )f x 2x 3 f x 2′= − ⇒ =

v) ( ) ( )f x 5x 2 f x 5′= − + ⇒ = −

vi) ( ) ( )6 5f x 5x f x 30x′= ⇒ =

vii) ( ) ( )f x x f x 1′= ⇒ =

viii) ( ) ( )2f x 2 senx x f x cos x 2x′= + − ⇒ = −

ix) ( ) ( )2 2f x x .senx f x 2x.senx x cos x′= ⇒ = +

x) ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 2

2 2

2x x 1 1.xx x 2xf x f xx 1 x 1 x 1

+ − +′= ⇒ = =+ + +

xi) ( ) ( )x xf x 2 f x 2 ln2′= ⇒ =

xii) ( ) ( )x x xf x e f x e lne e′= ⇒ = =

xiii) ( ) ( ) 1 1f x lnx f x lnex x

′= ⇒ = =

xiv) ( ) ( )2 2

1f x log x f x log ex

′= ⇒ =

xv) ( ) 2f x senx= . Primeiro façamos: 2 2 2dy dux u y senu y . cosu.2x cos x .2x 2x.cos xdu dx

′= ∴ = ⇒ = = = =

xvi) ( ) 3f x sen x= . Primeiro façamos: 3 2 2dy dusenx u y u y . 3u cos x 3sen xcos xdu dx

′= ∴ = ⇒ = = =

xvii) ( ) ( )2 2 113 3 32 2f x x f x x x

3 3− −

′= ⇒ = =

3.12 Derivadas SucessivasSendo ( )f x um função

( )f x′ - representa a derivada primeira da função ( )f x

( )f x′ ′ - representa a derivada segunda da função ( )f x



Cálculo I

( )f x′ ′ ′ - representa a derivada terceira da função ( )f x( ) ( )4f x - representa a derivada quarta da função ( )f x

...( ) ( )nf x - representa a derivada enésima da função ( )f x

Exemplos:i) Calcular a derivada segunda da função ( ) 4 3f x x 2x= − :

( )( )( ) ( )

3 2

2

f x 4x 6x

f x 12x 12x

f x 12x x 1

′ = −

′ ′ = −

′ ′ = −

ii) Calcular a derivada terceira da função ( )f x senx= no ponto x3π= .

( )( )( )

f x cos x

f x senx

f x cos x

1f cos3 3 2

′ =

′ ′ = −

′ ′ ′ = −

π π ′ ′ ′ = − = −

3.13 Aplicações3.13.1 Reta Tangente

Achar a equação da tangente geométrica à curva 2y x= no ponto x 3= .Solução:

( ) ( ) ( )2f x x f x 2x f 3 2.3 6 tg a 6′ ′= ⇒ = ∴ = = ∴ α = =

A reta tangente passa em: ( ) 2f 3 3 9= = . Portanto ( )P 3,9 .

Temos: ( ) ( )1 1y y a x x y 9 6 x 3 y 6x 9 0− = − ∴ − = − ∴ − + = . Logo, y 6x 9 0− + = é a equação da tangente no ponto x 3= .O gráfico para esta situação é:

3.13.2 Aplicação na FísicaSeja ( )S f t= a equação do espaço percorrido por um móvel qualquer.

No tempo ot o móvel percorreu o espaço oS . Se aumentarmos o tempo de t∆ o espaço aumentará de S∆ .



Cálculo I

Definições:

i) A velocidade média ( )Vm entre os instantes ot e t é a razão incremental St

∆∆

, Isto é:

( ) ( ) ( ) ( )o o o o

o o

f t t f t f t f t S S sVmt t t t t t

+ ∆ − − − ∆= = = =∆ − − ∆

.

A velocidade instantânea ( )Vi que a velocidade no instante ot , será o limite da velocidade média quando ot t→ . Ou seja,

t t t 0ot to

S dSVi limVm limt dt→ ∆ →

=

∆= = =∆ .

Logo, dada a equação horária ( )S f t= , a sua derivada t to

dSdt =

indica em cada instante a velocidade

do ponto do móvel.

ii) A aceleração média ( )ma entre os instantes ot e t é a razão incremental vt

∆∆

. Isto é: seja

( )dSv v tdt

= = e temos:

( ) ( ) ( ) ( )o o o om

o o

v t t v t v t v t v v vat t t t t t

+ ∆ − − − ∆= = = =∆ − − ∆

A aceleração instantânea que a é aceleração no instante ot , será o limite da aceleração média quando ot t→ . Assim,

i mt t t 0ot to

v dva lima limt dt→ ∆ →

=

∆= = =∆ .

Conclusão: a derivada t to

dvdt =

da função ( )v v t= indica em cada instante ot a aceleração do

ponto material.Observação: a derivada segunda da função ( )S f t= nos dá a aceleração no instante ot :

2

2

dv d dS d Sadt dt dt dt

= = = .

Exemplo: um ponto material se desloca numa reta e sua equação horária é 3 2S t t= + . Determinar nos instantes t 0 e t 2= = : a) a posição do móvel; b) a velocidade Vi ; c) a aceleração ia .Solução: a) para ( ) ( )3 2t 0 S 0 0 0 0 S 0 0m= ⇒ = + = ∴ =

para ( ) ( )3 2t 2 S 2 2 2 12 S 2 12m= ⇒ = + = ∴ =

b) para ( ) 22

t 0

dSt 0 Vi 3t 2t 3 0 2.0 0 Vi 0m/ sdt =

= ⇒ = = + = + = ∴ =

para ( ) 22

t 2

dSt 2 Vi 3t 2t 3 2 2.2 16 Vi 16m/ sdt =

= ⇒ = = + = + = ∴ =

c) para 2

2i i2

t 0

d St 0 a 6t 2 6.0 2 2 a 2m/ sdt =

= ⇒ = = + = + = ∴ =

para 2

2i i2

t 2

d St 2 a 6t 2 6.2 2 14 a 14m/ sdt =

= ⇒ = = + = + = ∴ = .

3.13.3 Derivadas ImplícitasUma função é implícita quando ela é definida pela equação: ( )f x,y 0= . Por exemplo

2 3x xy y 0+ + = é uma função implícita onde ( )y Q x= . Para derivar uma função implícita usamos dois processos:



Cálculo I

1º processo) Se as variáveis são de fácil separação, para a forma explícita que é ( )y Q x= derivamos normalmente.Exemplo: a derivada de ( )3y 2x 0 f x,y 0− = ⇒ = é encontrada explicitando a variável y. Assim,

( )3 2y 2x Q x y 6x′= ⇒ ∴ = .

2º processo) Se as variáveis são de difícil separação derivamos a função na forma implícita e em seguida tiramos o valor de y′ .Exemplo: achar a derivada da função ( )3 2y 2xy 5xy 2x y 0 f x,y 0+ − − + = ⇒ = . Sabemos que

( )y Q x= . Derivando com relação a x, vem:2 23y y 2y 2xy 5y 10xyy 2 y 0′ ′ ′ ′+ + − − − + =

( )2 2y 3y 2x 10xy 1 5y 2 2y′ + − + = + −2

2

5y 2 2yy3y 2x 10xy 1

+ −′ =+ − +

3.13.4 Taxa de VariaçãoSuponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t, ( ) ( )x f t e y f t= = . Assim

podemos interpretar as derivadas dx dyedt dt

como as taxas de variação de x e y em relação a t. Em

certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação como 2 3 2x y 2x 7y 2 0− − + − = . Diferenciando implicitamente em relação a t, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2d d d d d dx y 2x 7y 2 0dt dt dt dt dt dt

− − + − =

Aplicando a regra da potência com t como variável independente, temos:

( ) ( )

2

2

dx dy dx dy2x 3y 2 14y 0dt dt dt dt

dx dy2x 2 14y 3y 0dt dt

− − + =

− + − =

Exemplos:1) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e 2 m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 m3/min, calcule aproximadamente a razão na qual o nível de água está subindo quando a profundidade é de 1 m.Solução:Começamos fazendo um esboço da situação (figura ao lado), com r denotando o raio da superfície de água quando a profundidade é h. Note que tanto r como h são funções do tempo t.

Em seguida: Dado: 3dV 0,001m /mindt

= . Determinar: dhdt

quando

h 1m= .O volume V de água no tanque correspondente à profundidade h é

21V r h3

= π . Esta fórmula relaciona V, r e h. Antes de diferenciar

implicitamente em relação a t, expressemos V em termos de uma única variável. Observando a figura

ao lado e utilizando semelhança de triângulos, obtemos r 2 hou rh 4 2

= = . Conseqüentemente, à

profundidade h, 2

31 h 1V h h3 2 12

= π = π . Diferenciando em relação a t obtemos a seguinte relação

geral entre as taxas de variação de V e de h no instante t:2dV 1 dhh

dt 4 dt= π



Cálculo I

Se h 0≠ então: 2

dh 4 dVdt h dt

=π

. Finalmente, fazendo h 1= e 3dV 0,001m /mindt

= , obtemos

( )( ) 3

2

dh 4 . 1 1,27 .10 m/mindt 1

−≈ ≈π .

2) Imaginemos um petroleiro avariado cujo vazamento de óleo cubra uma área circular A de raio r (figura a seguir). Com o passar do tempo, estas grandezas crescem a taxas que estão relacionadas.

De fato, como 2A r= π , temos dA dr2 rdt dt

= π ou dr dA / dtdt 2 r

=π

. Isto

mostra que o raio r cresce a uma taxa inversamente proporcional a si mesmo. Por exemplo, se a área cresce, digamos, à taxa de 10.000 m 2 por

hora, então dr 10.000dt 6,2832.r

≈ . Assim, quando r for igual a 2 km, esse raio

estará se expandindo à metade: dr 5 80cm/hdt 6,2832

= ≈ . Quando r atingir

o valor de 4 km, a taxa de crescimento do raio estará reduzida à metade: dr 2,5 40cm/hdt 6,2832

= ≈ .

3.14 Máximos, Mínimos e Pontos Críticos

3.14.1 Teste da derivada primeiraUsando o sinal da derivada primeira classificaremos os extremos locais. Além disso, indicará

onde uma função é crescente ou decrescente em um intervalo.Para determinarmos os extremos de uma função f devemos:

i) encontrar ( )f x′

ii) encontrar os números críticos de f, isto é, os valores de x para os quais ( )f x 0′ = ou os valores que ( )f x′ não exista.

iii) aplicar o teste da derivada primeira. Concluir. Observe o esquema abaixo

Exemplo:Dada ( ) 3 2f x x 6x 9x 1= − + + faça um estudo completo desta curva.

Solução:i) ( ) 2f x 3x 12x 9′ = − +

ii) fazer ( )f x 0′ = . Isto é, 23x 12x 9 0− + = , cujas raízes são: x 1e x 3= = .



Cálculo I

iii)( )f x ( )f x′ Conclusão

x 1< + f é crescentex 1= 5 0 f tem um valor máximo

1 x 3< < − f é decrescentex 3= 1 0 f tem um valor mínimox 3> + f é crescente

3.14.2 Teste da derivada segundaSejam ( ) ( ) ( )f x , f x e f x′ ′′ funções contínuas deriváveis no intervalo J e seja ox J∈ . Se

( ) ( )o of x 0 e f x 0′ ′′= < , então ox é ponto máximo relativo de ( )f x . Se ( ) ( )o of x 0 e f x 0′ ′′= > , então

ox é ponto de mínimo relativo de ( )f x .

Determinação dos pontos de inflexão:Seja ( )f x uma função definida em um intervalo J e ox J∈ . Se ( ) ( )o of x 0 e f x 0′′ ′′′= ≠ , então:

i) Se ( )of x 0′ = , ox é abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente paralela ao eixo-x;

ii) Se ( )of x 0′ ≠ , ox é a abscissa de um ponto de inflexão com reta tangente oblíqua em relação ao eixo-x.

Critério geral que nos dá a conclusão. Seja ( )f x uma função contínua com derivadas sucessivas todas contínuas num intervalo J.I) Se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 1 n

o o o o of x f x f x ... f x 0 e f x 0−′ ′′ ′′′= = = = = ≠ então:

i) ( )of x é máximo relativo de ( )f x se n é par e ( ) ( )nof x 0< ;

ii) ( )of x é mínimo relativo de ( )f x se n é par e ( ) ( )nof x 0> ;

iii) ox é abscissa de ponto de inflexão de ( )f x com reta tangente paralela ao eixo-x se n é ímpar.

II) Se ( ) ( )o of x 0 e f x 0′ ′′≠ ≠ , ox é abscissa de ponto de inflexão com tangente oblíqua ao eixo-x,

desde que, depois de ( )of x 0′′ ≠ , a primeira derivada que não se anula é de ordem ímpar.

Exemplo: se ( ) 5 3f x x 5x= − , determine os extremos locais de f. Analise a concavidade, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f.Solução:Começamos por derivar ( )f x duas vezes:

( ) ( )( ) ( )

4 2 2 2

3 2

f x 5x 15x 5x x 3

f x 20x 30x 10x 2x 3

′ = − = −

′′ = − = −

Resolvendo a equação ( )f x 0′ = obtemos os números críticos 0, 3, 3− . Para achar os possíveis

pontos de inflexão, consideremos a equação ( )f x 0′′ = , daí obtemos as abscissas ,6 6, 0

2 2− .

Façamos, agora, os quadros para tirarmos conclusões sobre os pontos e sobre as concavidades da curva.



Cálculo I

3.15 Aplicação na EconomiaAs derivadas C , c , R e P′ ′ ′ ′ na Economia são

chamadas de custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal, respectivamente. O valor ( )C x′ é chamado custo marginal associado à produção de x unidades. Interpretando a derivada como taxa de variação, então ( )C x′ é a taxa na qual o custo varia em relação ao número x de unidades produzidas. O mesmo pode-se dizer de ( ) ( ) ( )c x , R x e P x′ ′ ′ .Exemplo: um fabricante de móveis estima que o custo

semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por ( ) 3 2C x x 3x 80x 500= − − + . Cada mesa é vendida por R$ 2.800,00 . Que produção semanal

maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?Solução: Como a receita obtida com a venda de x mesas é 2.800x, a função receita R é dada por

( )R x 2.800x= . A função lucro P é a diferença entre a função receita R e a função custo C, isto é,

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2P x R x C x 2.800x x 3x 80x 500 x 3x 2.880x 500= − = − − − + = − + + − .

Para achar o lucro máximo, derivamos, obtendo ( ) ( )2 2P x 3x 6x 2.880 3 x 2x 960′ = − + + = − − − .

Obtêm-se os números críticos de P resolvendo ( ) ( ) ( )23 x 2x 960 0, ou x 32 x 30 0− − − = − + = , o que

dá x 32 ou x 30= = − . Como a solução negativa é estranha, basta verificar x 32= . A derivada segunda da função lucro P é ( )P x 6x 6′′ = − + . Conseqüentemente ( ) ( )P 32 6. 32 6 186 0′′ = − + = − < . Logo, se forem vendidas 32 mesas semanalmente obtém-se lucro máximo. Cuja quantidade é

( ) ( ) ( ) ( )3 2P 32 32 3 32 2.880 32 500 61.964= − + + − = .

3.16 Problemas de OtimizaçãoNas aplicações, de uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de

fórmula ( )Q f x= , na qual f é uma função. Assim Q pode ser a temperatura de uma substância no instante x, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x, ou o volume de gás em um balão esférico de raio x. Esses valores extremos são às vezes chamados de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores valores ou os mais favoráveis valores da quantidade Q.

Exemplo: De uma longa folha de papel retangular de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?Solução:A figura ao lado representa o desenho da calha, x denota o número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha é 30 2x− cm. A capacidade da calha será máxima quando a área do retângulo de lados 30 2x− cm e x for máxima. Denotando esta área por ( )f x , temos

Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

Número crítico

( )f c′′ Sinal de ( )f c′′ Conclusão

3− 30 3−−

Máx. Local: ( ) 6f 33

− =

0 0 Nenhum Nenhuma3 30 3 +

Mín. Local: ( ) 6f 33

= −

Intervalo Sinal de ( )f x′′ Concavidade

( ), 6 / 2− ∞ − − Para baixo

( )6 / 2,0− + Para cima

( )0, 6 / 2 − Para baixo

( )6 / 2,+ ∞ + Para cima

41


Cálculo I

( ) ( ) 2f x x 30 2x 30x 2x= − = − . Como 0 2x 30≤ ≤ , o domínio de f é 0 x 15≤ ≤ . Se x 0 ou x 15= = ,

não se forma nenhuma calha. Assim, derivando ( ) ( )f x 30 4x 2 15 2x′ = − = − de onde o único número

crítico é x 7,5= . Como ( )f x 4 0′′ = − < é máximo local para f. Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade máxima.

Exercícios

1) Achar a derivada da função no ponto indicado:

i) para xy senx4

=π= . Resposta

2y4 2π ′ =

ii) 2y x , para x 2= = . Resposta ( )y 2 4′ =

iii) ( )f x cos x, para x3π= = . Resposta

3f3 2π ′ = −

iv) ( ) 2f x x 5x 6, para x 2= − + = . Resposta ( )f 2 1′ = −

2) Calcule a derivada das seguintes funções:

i) ( ) senxf xcos x

= . Resposta ( ) 2f x sec x′ =

ii) ( ) x 2f xx+= Resposta ( ) 2

2f xx−′ =

iii) ( ) 2f x 3x .cos x= Resposta ( ) 2f x 6x.cos x 3x .senx′ = −

iv) ( ) 3 2f x 7x 2x x 1= − + − . Resposta ( ) 2f x 21x 4x 1′ = − +

v) ( ) 4 3 21 2 1 1f x x x x2 3 2 4

= − + − + . Resposta ( ) 3 2f x 2x 2x x′ = − + −

vi) ( )f x 2x 3cos x= − . Resposta ( )f x 2 3senx′ = +

vii) ( ) 2f t t t= + . Resposta ( ) 1f t 2t2 t

′ = +

viii) ( ) 3f s s s= + . Resposta ( )23

1 1f ss3 s

′ = +

ix) ( )f x sen3x= Resposta ( )f x 3cos3x′ =

x) ( )f x cos6x= . Resposta ( )f x 6sen6x′ = −

xi) ( ) ( )f x ln senx= . Resposta ( ) cos xf xsenx

′ =

xii) ( ) ( )2f x log x 3x= − . Resposta ( ) 2

2x 3f x logex 3x

−′ =−

xiii) ( ) ( )22f x log 4x 8x 1= − + . Resposta ( ) ( )

22

8 xf x log e

4x 8x 1−

′ =− +

xiv) ( ) ( )22f x log x 2x 1= + − no ponto x 2= .Resposta ( ) 2

6f 2 log e7

′ =

xv) ( ) ( )2f x ln x 6x 8= − + nos pontos x 1e x 1= = − . Respostas ( ) ( )4 8f 1 e f 13 15

′ ′= − − = −

xvi) ( )2y x 5x 0 f x,y 0+ − = ⇒ = . Resposta y 5 2x′ = −

xvii) ( ) ( )cos x y senx 0 f x,y 0− = ⇒ = . Resposta 2y sec x′ =

xviii) 4 2 3x y y x 3x y 0− + − = , considere ( )y Q x= . Resposta 3 3 2

4 2

y 4x y 3y2x y 3xy 1

− −′ =− −



Cálculo I

3) Dada a função ( ) 3 4f x 1 4x x= − − calcular ( ) ( )4f x . Resposta ( ) ( )4f x 24= −

4) Dada a função ( ) 3 4f x 1 4x x= − − , resolver a equação ( )f x 0′′′ = . Resposta x 1= −

5) Calcule a derivada segunda de ( ) 4 3f x 4x 5x 2x 1, para x 0= − + − = . Resposta ( )f x 0′′ =

6) Se ( )f x senx cos x= + , determine ( )f x para x6π′′ = . Resposta

1 3f6 2π + ′′ = −

7) Determine a derivada segunda de ( ) 3 2f x 4x 5x 2x 1= − + − , para x 2= e x 2= − . Resposta

( ) ( )f 2 38 e f 2 58′′ ′′= − = −

8) Seja a função ( ) 3 2f x 4x 2x 5x 2= + − + calcule ( ) ( ) ( )f 0 f 0 f 0′ ′′ ′′′+ + . Resposta

( ) ( ) ( )f 0 f 0 f 0 23′ ′′ ′′′+ + =

9) Achar todas as derivadas da função 3 2y x 6x 3x 2= − + − . Resposta ( )4y 0=

10) Achar a derivada de ordem n da função 1yx

= . Resposta ( ) ( ) nn

n 1

n!y 1x +

= −

11) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. Resposta x 7,47 cm= .

12) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve-se ter a capacidade de 3375 cmπ . O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. Resposta raio: 5 cm e altura: 15 cm.

13) Determinar a derivada das funções usando a definição.

a) ( ) 2f x 3x= . Resposta dy 6xdx

=

b) ( ) 2f x x 2x= − . Resposta dy 2x 2dx

= −

c) ( ) 2f x x x, no ponto x 3= + = . Resposta ( )f 3 7′ =

d) ( ) 2f x x 5x 6, no ponto x 1= − + = . Resposta ( )f 1 3′ = −

e) ( ) 2 xf x , no ponto x 13 x

+= =−

. Resposta ( ) 5f 14

′ =

14) Calcule as derivadas das funções:



Cálculo I

a) ( ) 5f x x= b) ( ) 23f x x= c) ( ) 3

1f xx

= d) ( ) 5 / 2f x x= e) ( ) 3f x x −= f) ( ) 3 2f t 4t 5t 2t= − −

g) ( ) 3 2f s s 2s s 1= + − + h) ( ) 2f t t t= + i) ( ) 3f s s s= + j) ( ) 4 3 21 2 1 1f x x x x2 3 2 4

= − + − +

k) ( )f x 2x 3cosx= − l) ( ) ( ) ( )3 2f x x 7 2x 3= − + m) ( ) ( )3 2f x x 2x 3x= − n) ( ) ( )2 2f x x x 3x 2= − +

o) ( )f x 3x.senx= p) ( )f x senx.cos x= q) ( ) 2f x x cos x= r) ( )2

2

xf xx 1

=−

s) ( ) 4x 5f x3x 2

−=+

t) ( ) 2x 5f x4x

+= u) ( ) 2

xf xx 4

=−

v) ( )22x 3x 4f x2x 1

+ −=−

w) ( ) 1 senxf x1 senx

+=−

Repostas: a) ( ) 4f x 5x′ = b) ( )232 xf x

3x′ = c) ( ) 4

3f xx−′ = d) ( ) 5f x x x

2′ = e) ( ) 4

3f xx−′ =

f) ( ) 2f t 12t 10t 2′ = − − g) ( ) 2f s 3s 4s 1′ = + − h) ( ) tf t 2t2t

′ = + i) ( )3 s sf s3s 2s

′ = +

j) ( ) 3 2f x 2x 2x x′ = − + − k) ( )f x 3senx 2′ = + l) ( ) ( )3f x x 10x 9x 28′ = + − m) ( ) ( )3f x 2x 5x 6′ = −

n) ( ) ( )2f x x 4x 9x 4′ = − + o) ( ) ( )f x 3 senx xcos x′ = + p) ( ) 2 2f x cos x sen x′ = −

q) ( ) ( )f x x 2cos x xsenx′ = − r) ( )( ) 22

2xf xx 1

−′ =− s) ( )

( ) 2

23f x3x 2

′ =+ t) ( ) 2

5f x4x−′ =

u) ( ) ( )( )

2

22

x 4f x

x 4

− +′ =

− v) ( )

( )2

2

4x 4x 5f x2x 1

− +′ =− w) ( )

( ) 2

2cos xf x1 senx

′ =−

15) Calcule a derivadas exponenciais e logarítmicas:

a) ( ) xf x 3= b) ( )x1f x

2 =

c) ( ) 3x 1f x 3 += d) ( ) xf x 5.2= e) ( ) 2x 1f x 10 −= f) ( ) xf x 10.e=

g) ( ) 1f x lnx2

= h) ( ) 2f x 3log x= i) ( ) ( ) 2f x lnx= j) ( ) ( ) 2f x logx= k) ( ) 3f x 2log x=

l) ( ) ( )2f x log 3x 5x= + m) ( ) ( )f x ln cos x= n) ( ) ( )f x ln tgx= o) ( ) 22x 3xf x e +=

Respostas: a) ( ) xf x 3 ln3′ = b) ( ) ( )x1f x ln2

2 ′ = −

c) ( ) 3x 2f x 3 ln3+′ = d) ( ) xf x 5.2 ln2′ =

e) ( ) 2x 1f x 2x.10 ln10−′ = f) ( ) xf x 10.e′ = g) ( ) 1f x2x

′ = h) ( ) 2

3f x log ex

′ = i) ( ) 2lnxf xx

′ =

j) ( ) 2logx.logef xx

′ = k) ( ) 3

2f x log ex

′ = l) ( ) 2

6x 5f x loge3x 5x

+′ =+

m) ( )f x tgx′ = −

n) ( ) 1f xcos x.senx

′ = o) ( ) ( ) 22x 3xf x 4x 3 e +′ = +

16) Determine a equação da reta tangente à curva correspondente a cada equação:a) ( ) 3f x x 12x, no ponto x 4= − = . Resposta y 36x 128 0− + =

b) ( ) 2f x 5x 1, no ponto x 2= − = . Resposta y 20x 21 0− + =

c) ( ) 3f x x 12x, no ponto x 1= − = . Resposta y 9x 2 0+ + =

d) ( ) 2f x x 9x 20, no ponto x 2= − + = . Resposta y 5x 16 0+ − =

e) ( ) 2f x x 6x 5, no ponto x 0= − + = . Resposta y 6x 5 0+ − =

17) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea obedecendo a função horária ( )2s 3 6t t SI= − + .

a) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração. ( )v t s 2t 6′= = − ; ( ) 2a t s 2m/ s′′= =



Cálculo I

b) Calcule a velocidade do material no instante 10 s. ( )v 10 14m/ s=c) O espaço percorrido pós 10 s. s 43m=

18) Um corpo se desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária

( )35s t t SI2

= − .

a) Determinar as funções horárias da velocidade e da aceleração. ( ) 25v t s t 12

′= = − ; ( )a t s 15t′′= =

b) Calcule a velocidade e a aceleração do ponto material no instante 6 s. ( ) 2a 6 90m/ s=

c) Em que instante a velocidade do corpo é de 66,5m/ s ? t 3s=d) Qual a aceleração do corpo no instante 2 s? ( ) 2a 2 30m/ s=

19) Qual é a aceleração de um móvel que descreve uma curva segunda a função 2 3s 2t 4t= + (s em metros e t em segundos) no instante t 1,5s= ? ( ) 2a 1,5 40m/ s=

20) Um móvel tem a velocidade variável segundo a função 2v 6 2t= − + . Calcule sua aceleração no instante 5 s. ( ) 2a 5 20m/ s=

21) Calcule a derivada dydx

das seguintes funções:

a) 2

xy ln lnx 1

π −= − . Resposta

( )

( )

22

3 / 222

xx 2x 1 .lnx 1dy

dx x2 x 1 . x.x 1

π −− π + + =π −− π −

−

ou( )

( ) ( )

2

22

x 2x 1dydx x2 x 1 . x .ln

x 1

− π +=

π −− π − +

b) 2 3 2 23x y x y− − = − π . Resposta 23 3

2 / 3 2 4 2

4 4x x y 2xdy 3 3dx 2x 2 y 3y

− π −=

π − π −

c) 1/ 3

2/ 32

1 u 1y , u x1 u x

−= = − − . R.:

1 2 1 16 3 3 62 2 2 2

3 3 3 3232 1 3

3 3 22

232

3

1 1 1 1 1x 1 x 2 x 1 x2 x x x x

dy 1 1 2 1x x x

dx 3 3 2x11 xx

−

−− −

− − − − − − − − = − + − −

22) Escrever a equação da tangente à curva ( ) 2f x x 5x 6= − + que satisfaça as condições: (a) passar

pelo (vértice) e (b) ser paralela ao eixo-x. 1y4

= −

23) Escrever a tangente à curva anterior passando pelo ponto ( )t 4,2 . R.: x 3y 10 0+ − =

24) Determine as retas tangente e normal às seguintes curvas, nos pontos P indicados:a) ( )2 2 Px xy y 1, 2,3+ − = . Resposta: tangente: 7x 4y 2 0− − = e normal: 4x 7y 29 0+ − =

b) ( )2 2x y 25, P 3, 4+ = − . Resposta: tangente: 3x 4y 25 0− − = e normal: 4x 3y 0+ =

25) Equações das retas tangentes à curva 3y x 6x 2= − + paralela à reta y 6x 2= − . Resposta: y 6x 14= − e y 6x 18= +

26) A tangente à curva 3y x= , no ponto ( )P 1,1 corta a curva em algum ponto? Qual é esse ponto?

R.: ( )Q 2, 8− −

27) Aplicar o teste da derivada primeira nas funções a seguir e esboce o gráfico:



Cálculo I

a) ( ) 3 2f x x 6x 9x 1= − + + . Resposta ( ) ( )M 1,5 e m 3,1

b) ( )2x 4, se x 3f x

8 x, se x 3 − <

= − ≥

. Resposta ( ) ( )M 3,5 e m 0, 4−

c) ( ) 3 2f x 2x x 3x 1= − + − . Resposta: Não foram encontrados máximos e mínimos

d) ( ) 5 3f x x 5x 20x 2= − − − . Resposta ( ) ( )M 2,50 e m 2,46−

e) ( ) ( )23f x 2 3 x 4= − − . Resposta ( )M 4,2

f) ( ) 4 3f x 3x 4x 5= − + . Resposta ( ) ( )m 1,4 e I 0,5

g) 4 3 2y x 2x 3x 4x 4= + − − + . Resposta ( ) ( )1 81m 2,0 ; M , e m 1,02 16

− − h) ( ) 4 3 2f x x 4x 6x 4x 4= − + − + . Resposta ( )m 1,3

28) Dada a função real f de variável real x, definida por ( ) 4 3 2f x 3x 4x 36x= − − , pede-se:

a) interseção do gráfico de f com o eixo dos x. R.: 2 4 7x 0 e x3

±= =

b) interseção do gráfico de f com o eixo dos y. R.: y 0=

c) interseção em que f é crescente. R.: ] [ ] [2,0 ou 3,∞

d) interseção em que f é decrescente. R.: ] [ ] [, 2 ou 0,3− ∞ −

e) pontos críticos de f. R.: 2,0,3− (máximo e mínimos) e 1 193

± (inflexão)

f) gráfico cartesiano.

29) Calcule as coordenadas do ponto de inflexão da curva 3 2y x 3x 4x 12= − + − . ( )I 1, 10−

30) Encontre uma equação da reta tangente à curva ( )13y 6 2x= − em cada ponto:

a) ( )T 3,0 R.: ∃ ¨ b) ( )P 7, 2− R.: x 6y 5 0− − =

31) A função ( ) 3 2f x x 2x ax b= + + + apresenta um máximo no ponto ( )1,6− . Calcule o valor de b. R.: b 6=

32) Lança-se uma bola verticalmente para cima com a velocidade de 32 dm/seg; sua altura após t

segundos é dada por ( ) 21s 32t 9,81 t2

= − . Em que instante a bola atingirá a altura máxima? Qual será

essa altura? R.: t 0,326 seg; s 0,522 m= =

33) Faça um estudo completo sobre as seguintes curvas:a) ( ) 2 / 3 5 / 3f x 5x x= − R.: ] [ ] [ ] [ ( ) ( )3decresc. ,0 ou 2, ; cresc. 0,2 ; m 0,0 ; M 2,3 4− ∞ ∞

b) ( ) 1/ 3f x 3x x= − R.: ] [ ] [ ] [ ( ) ( ) ( )decresc. , 1 ou 1, ; cresc. 1,1 ; m 1, 2 ; M 1,2 ; I 0,0− ∞ − ∞ − − −



Cálculo I

34) Se ( ) 3 2f x ax bx= + , determine a e b, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( )1,2 . R.: a 1e b 3= − =

35) Se ( ) 3 2f x ax bx cx= + + , determine a ,b c, tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( )1,2 e tal que a inclinação da tangente no ponto de inflexão seja 2− . R.: a 4; b 12 e c 10= = − =

36) Se ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + , determine a, b, c, d tal que f tenha um extremo relativo em ( )0,3 e

tal que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( )1, 1− . R.: a 2; b 6; c 0 e d 3= = − = =

37) Determine os pontos da curva 2 2x 2xy 3y 3+ + = em que a tangente à mesma é perpendicular à reta x y 1+ = . R.: ( ) ( )2,1 e 2, 1− −

38) Calcule y e y′ ′′ , determine, em cada caso, o conjunto de valores de x para os quais:a) y cresce; b) y decresce; c) abscissas do ponto de inflexão.i) 2 / 3y 5 x= − R.: ] [ ] [a) ,0 ; b) 0, ;− ∞ ∞ c) nao tem ponto

ii) 2 1y x 4x −= + R.: { }3 3 3a) 2, ; b) , 2 0 ; c) 4 ∞ − ∞ − −

iii) 4y xx

= − R.: a) sempre crescente; b) nunca; c) nao tem ponto

iv) 3

2 xy x6

= − R.: ] [ ] [a) 0,4 ; b) ,0 ; c) 2− ∞

39) O custo para produzir x unidades de certa mercadoria por semana é ( ) 3 2C x 0,3x 5x 28x 200= − + + .

a) Determine o custo marginal ( ) ( )CM x C x′= . Plote as funções ( ) ( )C x e CM x no mesmo gráfico.

b) Determine o(s) valor(es) de x para os quais ( )C x 0′′ = . Qual a relação entre esse(s) ponto(s) e as

curvas de ( ) ( )CM x e C x ?

R.: a) ( ) ( ) 2CM x C x 0,9x 10x 28′= = − + ; b) ( )C x 1,8x 10 0; x 5,56′′ = − = = .

Esse ponto corresponde a um mínimo na curva de ( )CM x e a um ponto de

inflexão na curva de ( )C x .

40) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (de 8h ao meio dia) revela que um operário

que chega para trabalhar às 8h produziu ( ) 3 29Q t t t 15t2

= − + + unidades t horas mais tarde.

a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é máxima? t 1,5 (9h30min)=b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima? t 4 (12h)=

41) A receita total em reais proveniente da venda de q unidades de certo produto é ( ) 2R q 2q 68q 128= − + − ; a) para que nível de vendas a receita média por unidade é igual à receita

marginal? b) Verifique que a receita média é uma fração crescente se o nível de vendas for menor que o nível calculado no item (a). R.: a) ( ) ( )R q A q′ = para q 8= ; b) ( ) 2A q 2 128 / q′ = − + ; A é uma função crescente para 0 q 8< < ; A é uma função decrescente para q 8>

42) Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R$ 48,00? R.: 2 m por 2 m por 4/3 m



Cálculo I

43) Use o fato de que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico para determinar as dimensões de uma lata de refrigerante de 330 ml construída com a menor quantidade possível de metal. Compare as dimensões calculadas com as de uma lata de refrigerante comercial. A que você atribui a diferença? R.: r 3,74 cm; h 7,51cm= = ; ao fato de que a lata não é perfeitamente cilíndrica.



Cálculo I

4. Integrais

4.1 Introdução

Se ( )F x é uma função cuja derivada ( ) ( ) ( )F x f x , F x′ = é denominada uma integral de ( )f x .

Se ( )F x for uma integral de ( )f x , ( )F x c+ também o será, sendo c uma constante qualquer.

Por exemplo, 2 2 2x , x 5 e x 4+ − são integrais de 2x , porque ( ) ( ) ( )2 2 2d d dx x 5 x 4 2xdx dx dx

= + = − = .

A integral indefinida de ( )f x é a integral mais geral da função, isto é, ( ) ( )f x dx F x c= +∫

onde ( )F x é uma função tal que ( ) ( )F x f x′ = e c é uma constante qualquer.

4.2 Algumas Fórmulas Fundamentais de Integração

1) ( )u v dx udx vdx+ = +∫ ∫ ∫2) audx a udx=∫ ∫ , onde a é uma constante qualquer

3) n 1

n uu du c, se n 1n 1

+

= + ≠ −+∫

4) du lnu c, se u 0u

= + >∫

5) u

u aa du c, se a 0lna

= + >∫6) u ue du e c= +∫7) senudu cosu c= − +∫8) cosudu senu c= +∫Exemplos:

a) 6

5 xx dx c6

= +∫

b) −

−= = + = − +−∫ ∫

12

2

dx x 1x dx c c1 xx

c) = = + = +∫ ∫4 / 3

1/ 3 4 / 33 z 3zdz z dz c z c4 / 3 4

d) −= = + = +∫ ∫1/ 3

2 / 3 1/ 3

3 2

dx xx dx c 3x c1/ 3x

e) +

+= = + = ++ +∫ ∫

m /n 1n nm m /n n mx nx dx x dx c x c

m/n 1 n m

f) 5 55xxdx x c6

= +∫

g) −

−= = +−∫ ∫1 n

nn

kdx xk x dx k c1 nx

h) ( )− + = − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫2 2 3 22 52x 5x 3 dx 2 x dx 5 xdx 3 dx x x 3x c3 2

i) ( ) ( )− = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫1/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2 3 / 2 5 / 22 21 x xdx x x dx x dx x dx x x c3 5

j) ( ) ( ) + = + + = + + + = + + + ∫ ∫2 2 3 2 3 21 13s 4 ds 9s 24s 16 ds 9 s 24 s 16s c 3s 12s 16s c

3 2



Cálculo I

k) ( )−

−+ − = + − = + − + = + + +−∫ ∫

3 2 12 2 2

2

x 5x 4 1 4x 1 4dx x 5 4x dx x 5x c x 5x c2 1 2 xx

Exercícios

1) Resolva as integrais usando a fórmula +

= ++∫n 1

n uu du cn 1

.

a) 2

32 23

x dx 3 x x C8x

= +∫

b) 3 4 8 4 91x (x K) dx (x K) C36

+ = + +∫

c) 5 3 3 2 3 3 32 14x x 7dx (x 7) x 7 (x 7) x 7 C15 9

+ = + + − + + +∫

d) 4

5

5

x dx 2 x 9 C5x 9

= + ++

∫

e) 7 4

4 4

4

x dx (x 3) 3x 3 x 3 C6 2x 3+= + − + +

+∫

Exemplos:

a) = +∫dx lnx cx

b) = +∫x

x 22 dx cln2

c) = + = +∫x

x xee dx c e clne

d) = − +∫ senxdx cos x c

e) = +∫ cos xdx senx c

4.3 O Método da Substituição

Este método consiste em substituir uma expressão complicada por u. Assim, a integral ficará mais fácil de ser calculada, bastando, somente, aplicar as fórmulas já estudadas. È necessário observar qual expressão deverá ser substituída a fim de facilitar os cálculos. Veja os exemplos:

a) ( )+∫22 2x 2 3x dx , fazendo + =3x 2 u ; então = 2du 3x dx . Assim, ( )= + = + +∫

32 3 21 1u du u c x 2 c3 3

b) ( )+∫1/ 23 2x 2 x dx , fazendo + =3x 2 u ; então = ⇔ =2 2dudu 3x dx x dx

3. Assim, substituindo

devidamente, temos: ( )= + = + +∫3 / 2 3 / 21/ 2 31 1 u 2u du c x 2 c

3 3 3 / 2 9

c) ( )( )

( )− − − = + = = − + = − + + +

∫ ∫ ∫2 33 2 3 2

3 23 3

8x dx 1 8 8 1 48. x 2 3x dx u du u c c3 3 3 2x 2 3 x 2

d) −∫ 23x 1 2x dx pagina 128 exemplo 10.



Cálculo I

Noções de Integral DefinidaA integral é o inverso da derivada, e a integração é uma operação que implica processos de

limites. A integral de uma função f x( ) está extremamente relacionada com a área sob a curva y f x= ( ) representada graficamente em coordenadas retangulares. Para melhor entendermos isto, vamos observar a Figura 7, onde está ilustrado a função y f x= ( ) no gráfico cartesiano. Tentaremos calcular a área OACDO sobre a curva entre as ordenadas de limite AO em x = 0 e CD em x = b.

O cálculo desta área pode ser obtido dividindo-se a região em faixas de largura ∆x, como é mostrado. A área ∆A de qualquer uma dessas faixas, localizada a uma distância x da origem ao longo do eixo horizontal, será aproximadamente:

∆ ∆A f x x≅ ( ) , de onde: f x Ax

( ) ≅ ∆∆

.

Figura 7. Ilustração que originará a demonstração de integral.

A área total OACDO será calculada, pela soma de todas as contribuições ∆A que estão entre x = 0 e x = b, isto é

Área OACDO ≅ ==

=

=

=

∑∑ ∆ ∆A x f x xx o

x b

x

x b( ) ( )

0

No caso limite , em que o número de subdivisões aumenta de forma imoderada, a largura ∆x aproxima-se de zero e pode ser escrita como a quantidade diferencial dx. Neste limite, a quantidade ∆ ∆A x/ aproxima-se da derivada de uma função A(x) que expressa a área OAPQO como uma função de x. Neste limite, então:

dA x f x( ) ( )=ou

f x dA xdx

( ) ( )= (1)

ondeA(x) = área OAPQO (2)Neste limite, quando ∆ x → 0 ,

Área OACDO = lim ( ) lim ( )∆

∆∆

∆x

A xx

f x xx

x b

→=

→=

=

∑0 00

O valor limite das somas na equação 2 defini a integral da função f x( ) , convencionalmente

escrita usando-se o sinal ∫ da integral para denotar a utilização do processo de limite ∆ x → 0 ,

em que escrevemos ∆A e ∆x como quantidades diferenciais dA e dx. Podemos escrever, portanto



Cálculo I

área OACDO = = ∫∫ dA x f x dxbb

( ) ( )00

A integral acima estabelecida acima é denominada integral definida entre o limite inferior x=0 e o limite superior x=b. Seu valor depende não somente da forma específica da função f x( ) , mas também da localização dos limites inferior e superior.

Voltando agora, à área A x( ) = área OAPQO, é evidente que é uma área de função de x. A partir do modo como a integral foi definida diretamente acima, também fica claro que

A x( ) = área OAPQO =→ =

∑lim ( )∆

∆x

f x xx

x

0 0

ou

A(x)= f x dxx

( )0∫ (3)

Esta integral definida tem um limite fixo, ma um limite superior variável x. Se diferenciarmos agora a equação 3 com relação a x e recordarmos da relação expressa pela equação 1, vemos que

[ ]dA xdx

ddx

f x dx f xx( ) ( ) ( )= =∫ 0

Isto expressa umas das propriedades mais importantes das integrais definidas:A derivada de uma integral definida com relação a um limite superior variável é simplesmente

o integrando f x( ) .Ao calcular integrais, geralmente temos a função f x( ) e estamos procurando encontrar a

função A x( ) da área. Como foi mostrado na equação 1, A x( ) é simplesmente aquela função cuja derivada é f x( ) . É neste sentido que a função A x( ) é via de regra conhecida como antiderivada ou integral não definida de f x( ) . Em muitos casos, quando a forma de f x( ) é conhecida, é simples

achar A x( ) . Por exemplo, se f x x n( ) = , onde n é uma constante, então, como

d xdx

n x n f xn

n( ) ( ) ( ) ( )+

= + = +1

1 1

é que a antiderivada A x( ) corresponde a f x xn( ) = deve ser dada por

A x xn

n

( ) =+

+ 1

1Diz-se, portanto, que “a integral não definida da função xn é x nn+ +1 1/ ( ).” Infelizmente ,

contudo, há outras funções para as quais é difícil ou impossível escrever a integral em termo s de funções elementares simples. Um exemplo é função f x ex( ) =

2. Para a nossa sorte, a maioria das

funções elementares simples com as quais lidamos em Física e em outras Ciências são integráveis de forma fechada.

Suponha agora que desejemos encontrar a área EBCDE sob a curva y f x= ( ) entre as ordenadas BE em x=a e CD em x=b. Esta área será dada por:

Área EBCDE= lim ( ) lim ( )∆

∆∆

∆x

A xx

f x xx a

x b

x a

x b

→=

→ =

=

=

=

∑∑0 0Que é escrita, usando-se o sinal da integral para denotar o limite da soma, como:

Área EBCDE= f x dxa

b( )∫ (4)

Esta função estabelece a integral definida da função f x( ) entre o limite inferior x a= e o limite superior x b= . Contudo, a área OABEO pode ser encontrada simplesmente pela substituição de x a= na equação (3), afim de obter:

área OABEO= f x dx A aa

( ) ( )=∫ 0(5)

Mas como a área EBCDE é apenas a área OACDO menos a área OABEO a partir da equação 4, podemos escrever:



Cálculo I

Área EBCDE= dA xa

b( )∫

Área EBCDE= f x dxa

b( )∫

Área EBCDE= f x dx f x dxo

ab( ) ( )− ∫∫ 0

ou (6)

área EBCDE= f x dxb

a( )∫

área EBCDE= [ ]A b A a A x ab( ) ( ) ( )− = (7)

A área é encontrada calculando-se a integral não definida A x( ) nos dois limites x b= e x a= , e subtraindo-se o valor no limite inferior daquele obtido no limite superior. Assim, se por acaso a função f x( ) dada tiver a forma f x xn( ) = , da equação 7 obteríamos:

área EBCDE= [ ]x dx A xnab

a

b=∫ ( )

área EBCDE=x

nb a

n

n

a

b n n

+

= −

+1 1As equações (6) e (7) exibem duas propriedades importantes das integrais definidas, isto é:

f x dx f x f xa

b b a( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= −

0 0

e

[ ]f x dx A b A a A xa

b

ab( ) ( ) ( ) ( )∫ = − =

Tabela 2. Integrais não definidas importantes

dx x=∫dxx

x dx x= =−∫∫ 1 ln

[ ]d u x u x( ) ( )=∫dx

a bx ba bx

+= +∫

1 ln( )

x dx xn

desde que nnn

=+

≠ −+

∫1

11( ) ( ) ( ) ( )u v dx u x dx v x dx+ = + ∫∫∫

e dxa

eax ax=∫1 sen cosax dx

aax∫ = − 1

cos senax dxa

ax=∫1 tg ax dx

al ax

aax= − =∫

1 1ln(cos ) ln(sec )

Calcule as integrais:

a) ( )22

2x dx ln 1 x C1 x

= + ++∫ b) ( ) ( )31 32x x x1e 1 e dx e 1 C

32+ = + +∫

c) ( )1 4 2

1

22x 3x 1 dx5−

+ + =∫ d) 2

61

5 31dx32x

=∫e)

9

4

t 3 20dt3t

− =∫3) Calcular cada uma das seguintes integrais:



Cálculo I

a) 313

dx 2 2113 33x 2−

= −+∫ f) 2 x 2 x x xx e dx x e 2xe 2e C− − − −= − − − +∫

b) ( )1 2

0

1x x dx6

− =∫ g) 2 5x 2 5x 5x 5x1 2 2x e dx x e xe e C5 25 125

− − − −= − − − +∫c)

22

1

1 29x dxx 6

+ = ∫ h) 3 3 21 3 6 6x sen5xdx x cos5x x sen5x xcos5x sen5x C5 25 125 625

= − + + − +∫d)

0

14cos xdx 82

π=∫ i) 3x 3x 3x1 1xe dx xe e C

3 9= − +∫

e) ( )2 2 21y 9 y dy 9 y 9 y C3

− = − − − +∫ j) ( ) ( )3 52 22 4x x 2dx x x 2 x 2 C

3 15+ = + − + +∫

4) Ache a área compreendida entre os gráficos das funções y x 6− = ; 3y x 0− = ; 2y x 0+ = , integrando em: (a) relação a x e (b) em relação a y. R.: 22 ua

5) Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções: 2y 3 x= − e y x 1= + . R.: 92

ua

6) Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das funções: 3 2y x= e x 3y 4 0− + = .

(Sugestão: para encontrar os pontos de interseção fazer 32y x= , resolver em y e posteriormente

encontrar os pontos em x). R.: 2710

ua


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