cálculo diferencial e integral 2 unidade 01- integral indefinida- conceitos e propriedades

7/23/2019 Cálculo Diferencial e Integral 2 Unidade 01- Integral Indefinida- Conceitos e Propriedades

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Ensino Superior

1 Integral Indefnida

Conceitos e Propriedades

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2



Derivada e Antiderivada



P(x1,y1)

Q(x2,y2)

y1

y2

x1 x2 x

y

∆x

∆y

O coeciente angular da reta s é dadoor!

x

y

x x

y ytg

∆

∆=

−

−=

12

12α

s





A reta "angente #anten$a P xo e fa%a Q se mover no sentido anti&$or'rio

sore a curva em dire%o a P*

Percea +ue a inclina%o da reta s ir' variar*

A medida +ue Q vai se aroximando cada ve mais de P,a inclina%o da secante tende ara um valor limite*

-sse valor limite, é c$amado inclina%o da reta tangente. curva no onto P*




P(x1,y1)/ Q(x2,y2)

x1/ x2 x

y

y1/ y2




Deni%o! Dada uma curva y / f(x), se0a P(x1, y1) um ontosore ela* A inclina%o da reta tangente . curva no onto P édada or!

Quando o limite existe* aendo , odemosescrever a e+ua%o acima como!

12

121

)()(limlim)(

12 x x

x f x f

x

y xm

x x P Q

−

−=

∆

∆=

→→

x x x ∆+= 12

x x f x x f xm

x ∆ −∆+= →∆)()(lim)( 11

01




-xemlo! -ncontre a inclina%o da reta tangente . curva

no onto (x1, y1)*

e

122 +−= x x y

122)(21)(2)()(

,12)(

,12)(

1

2

1

2

11

2

11

1

2

11

2

+∆−−∆+∆+=+∆+−∆+=∆+

+−=

+−=

x x x x x x x x x x x x f

e x x x f

então x x x f




-xemlo! 3sando a deni%o de coeciente angular de uma reta,

temos!

x

x f x x f xm

x

∆

−∆+=

→∆

)()(lim)( 11

01

x

x x x x x x x x xm

x ∆+−−+∆−−∆+∆+

=→∆

)12(122)(2lim)( 1

2

11

2

1

2

1

01

x

x x x x

xm x ∆

∆−∆+∆

= →∆

2)(2

lim)(

2

1

01

22)22(

lim)( 11

01 −=

∆−∆+∆

=→∆

x x

x x x xm

x




A reta "angente Portanto, a inclina%o da reta tangente . curva

no onto (x1, y1) é m(x1) / 2x1 & 2*122 +−= x x y




Derivada de uma fun%o num onto A derivada de uma fun%o f(x) no onto x1, simolicamente

designada or f 4(x1), é denida elo limite!

-ste limite nos d' a inclina%o da reta tangente . curva y /f(x) no onto (x1, f(x1))* Portanto, geometricamente, aderivada de uma fun%o reresenta o coeciente angularda reta tangente . curva neste onto*

Devemos esta deni%o ao ilustre matem'tico Pierre deermat*

x x f x x f x f

x ∆−∆+=

→∆)()(lim)(' 11

01




Pierre de ermat




-xemlo 1 -ncontre o coeciente angular da reta tangente . curva y

/ x2 no onto (1, 1)* 3tiliando a deni%o, temos +ue!

5asta alicar os ontos na regra +ue dene a fun%o*

x

x f x x f x f

x ∆−∆+

=→∆

)()(lim)(' 11

01




22lim

)2(lim

1)(21lim

1)1(lim

)1()1(lim)1('

0

0

2

0

22

0

0

=∆+∆

∆+∆∆ −∆+∆+

∆−∆+

∆−∆+=

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

x

x

x x

x

x x

x

x

x f x f f

x

x

x

x

x

Portanto, a derivada de y / x2 no onto P / (1, 1) é igual a 2*

imolicamente! ara f(x) / x2, f 4(1) / 1 (ou, y6 / 2)*




-xemlo 2 -ncontre o coeciente angular da reta tangente . curva y /

x7 8 2x no onto (x, x7 8 2x)* 3tiliando a deni%o, temos +ue!

5asta alicar os ontos na regra +ue dene a fun%o*

x

x f x x f x f

x ∆−∆+

=→∆

)()(lim)(' 11

01




23233lim

)233(lim

222)()(33lim

]2[)](2)[(lim

)()(lim)('

2220

22

0

33223

0

33

0

0

==+∆+∆+

∆+∆+∆+∆

∆−−∆++∆+∆+∆+

∆+−∆++∆+

∆−∆+=

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

x x x x x

x

x x x x x

x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x x f x x f x f

x

x

x

x

x

Portanto, a derivada de y / x2 no onto P / (x, x2) é igual a2x*

imolicamente! ara f(x) / x2

, f 4(x) / 2x (ou, y6 / 2x)*




Derivada

Pelas colunas, é oss9vel erceer +ue a 1*: e a 7*: colunasdeterminam uma nova fun%o* -sta nova fun%o, derivada da fun%o original f, ser' denotada or f 4 e c$amada dederivada de f*

x y =(x)

y’ = ’(x)

1 x2 2

x x2 2x

x ;7 8 2x 7x2 8 2




Derivada Diferenciar uma fun%o é oter sua

derivada* Por exemlo! Otemos 1 derivando x< Otemos x derivando <

Otemos x2 derivando <

Otemos x7 derivando < -m geral,

Otemos xn derivando

2

2 x

3

3 x

4

4 x

1

1

+

+

n

xn




Derivada Dada a taela aaixo!

Derivar uma fun%o imlica em encontrar a fun%o +uereenc$e a terceira coluna a artir da segunda*

ignica, ortanto, alicar a deni%o de ermat ou asregras de deriva%o arendidas na discilina de ='lculo >*

x y

x (x)

dx

dy




Antiderivada Dada a taela aaixo!

?osso interesse agora na discilina de ='lculo >> é oinverso!"rata&se de como reenc$er a segunda coluna aartir da terceira*

-sta é a oera%o do c'lculo integral, denida or @einiem 1B*

x y

x (x)dx

dy




Cottfried il$elm von@eini




Antiderivada A oera%o do ='lculo integral consiste no rolema de

determinar uma antiderivada ara uma fun%o* Assim,saemos +ue!

x é a antiderivada de 1<

é a antiderivada de x<

é a antiderivada de x2<

é a antiderivada de x7

< -m geral!

é a antiderivada de xn*

2

2 x

3

3 x

4

4 x

1

1

+

+

n

xn




Antiderivada aendo disso, é oss9vel encontrar antiderivadas de muitas

fun%Ees cu0a regra envolve otFncias* Assim! 3ma antiderivada de G72 é &72x< 3ma antiderivada de G72x é G1x2< 3ma antiderivada de H G 72x é Hx G 1x2< 3ma antiderivada de 1 8 Hx G Bx2 é x 8 2x2 G 7x7*

Diemos IumaJ em ve de IaJ antiderivada or+ue $'geralmente mais de uma antiderivada ara uma dada

fun%o*

-ncontrando uma, ode&se facilmente encontrar outraacrescentando uma constante a +ue 0' existe*




-xemlo 1e é uma antiderivada de f, ento 6 / f e 8 = tamém

ois a derivada de uma constante é ero* Assim! G72x<

&72x G K< &72x 8 π< &72x 8 =<

o todas antiderivadas de &72* A menos +ue se eseci+ue, com alguma informa%o

adicional, exatamente +ue antiderivada se +uerdeterminar, no odemos falar da antiderivada, mas deuma antiderivada*




-xemlo 2=onsidere a fun%o f(x) / &72 com dom9nio L ≤ x* -ncontre!

a) Uma antiderivada de f<b) A antiderivada de f +ue assume o valor H +uando x é

igual a L<c) A antiderivada de f +ue assume o valor &HL +uando x é

igual a M<

olu%oa) Qual+uer fun%o da forma G72 x 8 = ser' uma antiderivada

de f, ois = ode ser +ual+uer constante (inclusive L)*b) Para resonder b), devemos lemrar da taela e do +ue

consiste a oera%o de encontrar a antiderivadax !(x)

(x)

" #$

x %&2




?este item a 1*: lin$a da taela nos d' informa%osuciente ara saer +ue a antiderivada é Nnica* Peloitem a) saemos +ue!

(x) / &72x 8 =<

-, ela rimeira lin$a da taela devemos ter!

(L) / H<

ustituindo na e+ua%o geral, temos!(L) / &72*(L) 8 =<

(L) / = → = / H<

Portanto, a antiderivada de f +ue assume o valor H+uando x / L é (x) / &72x 8 H*

c) aer o item c) como exerc9cio*




>#PO"A?"- A roosi%o!

e f6(t) / L, ento f(t) / =,

sendo = uma constante +ual+uer, s é verdadeira se f(t) for

cont9nua em seu dom9nio* O gr'co aaixo mostra +ue emora f 6(t) / L, f(t) no éconstante, ois $' IfurosJ no seu dom9nio*

f(t)

Dom9niodescontinuo




Princ9io undamental do ='lculo >ntegrale0am A e F fun%Ees cont9nuas denidas num mesmo

dom9nio e assuma +ue a derivada de A em rela%o a t éigual a derivada de F em rela%o a t , ou se0a!

-nto, A(t) = F(t) + C, ara +ual+uer C constante*

dt

dF

dt

dA=




Alica%Ees Aesar de astrato o Princ9io undamental do ='lculo >ntegraltem alica%Ees r'ticas* -la é Ntil semre +ue +ueremos saer ataxa de varia%o de uma certa +uantidade e a rria+uantidade* 3m exemlo disso é fornecido no estudo dos corpos

em queda livre*

Os coros em +ueda livre se referem ao movimento vertical deo0etos rximos a suerf9cie da "erra* A gravidade é a Nnica for%a aagir no coro e a resistFncia do ar é ignorada*

=onsidere +ue a velocidade de um coro em +ueda livre so o efeitoda acelera%o da gravidade aumente a cada segundo* -nto, o efeitoda gravidade é denido ela e+ua%o!10−=

dt

dv




-ssa e+ua%o fornece a taxa de aumento da velocidade* e+uisermos saer o valor da velocidade, o rinc9io fundamentaldo c'lculo nos di +ue!

Para alguma constante =*

e tivéssemos informa%Ees adicionais oder9amos determinar ovalor de =* Por exemlo, se fosse fornecido +ue a velocidadeinicial era de 2L mRs, ento !

e, or outro lado, souéssemos +ue a velocidade é de &1H mRs+uando t / Ms, ento!

C t v +−= 10

2010

+−= t v

3610 +−= t v




-xemlo 7 3ma edra é arremessada ara cima a artir do solo

com uma velocidade inicial de 2L mRs* =onsidere aedra como um coro em +ueda livre e resonda!a) Qual é a altura m'xima alcan%ada ela edraS) Onde est' a edra 7 segundos as o lan%amentoSc) Quando e com +ue velocidade ela atingir' o soloS

olu%o aemos +ue a velocidade v é dada or v / 1Lt 82L*

#as, a velocidade de suida é igual a varia%o da alturaelo temo, ortanto!

2010 +−= t dt

dh




-ntretanto, elo rinc9io fundamental!

Para alguma constante =* #as +uanto vale = S

3ma ve +ue a edra foi arremessada do solo, saemos+ue, nesta situa%o a altura $ / L* =omo t, nesteinstante, tamém é L, ento!

@ogo,

C t t h ++−= 205 2

C ++−= )0.(20)0.(50 2

0=C

t t h 205 2 +−=




a) Quando a edra atinge sua altura m'xima, avelocidade é ero, ou se0a!

Portanto a edra atinge sua altura m'xima +uando otemo é aroximadamente t/2s*

5asta sustituir o valor do temo na e+ua%o da altura!

t t h 205 2 +−=

0=dt

dh02010 =+− t

)2(20)2(5 2 +−=h

)2.(20)4.(5 +−=h

smh /20=




) As t / 7s a edra est' a uma altura de!

- continua a cair atingindo o solo aroximadamente+uando t / Hs*

c) A edra atinge o solo com velocidade aroximada de 2L mRs*

t t h 205 2 +−=

)3.(20)3.(5 2 +−=h

)3.(20)9.(5 +−=h

mh 15=

t

temo

'

altura

velocidade

a

acel*da grav*

t $ H &72

dt

dh

dt

dv




-xemlo H 3ma ola é lan%ada de um edif9cio de Lm de altura com

uma velocidade inicial de &1M mRs* -ncontre uma exressoalgérica ara reresentar a altura da ola em fun%o dotemo as o lan%amento, considerando a ola como um

o0eto em +ueda livre* olu%o

?este exemlo, odemos iniciar a resolu%o destacando asinforma%Ees +ue o texto fornece em uma taela!

t

temo

'

altura

velocidade

a

acel*da grav*

L L &1M

t S S &1L

dt

dh

dt

dv




As colunas com interroga%o so as duas antiderivadas +uedevemos encontrar*

aemos +ue uma antiderivada de G1L é! G1Lt 8 =, logo!

Precisamos agora encontrar o valor da constante =* =omo oexerc9cio fornece a velocidade inicial! &1M mRs, temos +ue!

Agora recisamos ac$ar a antiderivada de! v = -10t – 15, +ue

é!

T esta e+ua%o fornece o valor de $ em fun%o de t*

Pergunta! em +uanto temo a ola atinge o soloS

C t v +−= 10

1510 −−= t v

60155 2 +−−= t t h




O método usado nos exemlos 7 e H fornecem um ImodeloJmatem'tico caa de rever o movimento de um coro em+ueda livre*

O valor utiliado ara a acelera%o da gravidade foi

arredondado ara 1L mRs2

, mas o valor mais aroximado daacelera%o da gravidade é de B,K2U mRs2*




3sando antiderivadas ara calcular distVncias O método ara calcular coros em +ueda livre no se alica

a o0etos automotores como motocicletas, carros ouro0éteis<

=ontudo, as antiderivadas odem ser Nteis +uando se dese0aconverter as leituras do veloc9metro m distVncia ercorrida*

uon$a +ue nas cartas de um navegador as leituras doveloc9metro registrem +ue ele varia a cada $ora<

=omo o navegador ode determinar, a artir de sua carta,distVncia ercorrida durante a Nltima $oraS




-xemlo M 3m foguete atravessa o rmamento numa 0ornada

diretamente além da "erra* ?um certo dia . tarde onavegador lF o veloc9metro do foguete como fun%o do

temo, e conclui +ue ele é dado or! f (t) = 100t – !00t" + #00t , onde t é o temo em $oras* e a fun%o ffornece a velocidade em WmR$, encontre a distVnciaercorrida elo foguete!

a) -ntre o in9cio da tarde e as duas $oras<

) -ntre uma e H $oras da tarde*




olu%o A leitura do veloc9metro é a taxa de varia%o

instantVnea da distVncia em fun%o do temo* aendo+ue s é a distVncia da "erra, temos +ue!

e disusermos os dados numa taela, teremos!

t t t dt

ds800400100

23 +−=

)(t f dt ds =




t

temo

s

distVncia

velocidade

L S

1 S

2 S

H S

t (t) f(t)

dt ds

=on$ecemos a exresso f(t), recisamos encontrar suaantiderivada (t), +ue é!

C t t t

t F ++−=2

800

3

400

4

100)(

234




Precisamos agora determinar o valor de =< =ontudo, sustituindo o valor de t or L, 1, 2 e H na exresso ,

odemos facilmente resonder o +ue se ede no item a)!

a) A distVncia ercorrida entre t / L e t / 2 é igual a!

(osi%o ara t/2) menos (osi%o ara t/L)s / (2) G (L)

=alculemos ento +uando t/2!C t t t

t F ++−=2

800

3

400

4

100)(

234

C F

C F

C F

C F

+=

++−=

++−=

++−=

33,933)2(

160066,1066400)2(

2

4.800

3

8.400

4

16.100)2(

2

)2(800

3

)2(400

4

)2(100

)2(

234




Agora vamos calcular +uando t/L!

aendo temos!

C t t t

t F ++−=2

800

3

400

4

100)(

234

C F

C F

C F

=

++−=

++−=

)0(

000)0(

2

)0(800

3

)0(400

4

)0(100)0(

234

)0()2( F F s −=

km s

C C s

33,933

33,933

=

−+=




) A distVncia ercorrida entre t / 1 e t / H é igual a!

)1()4( F F s −=

C F

C F

C F

C F

+=++−=

++−=

++−=

67,4266)4(

400.633,8533400.6)4(

2

16.800

3

64.400

4

256.100)4(

2

)4(800

3

)4(400

4

)4(100

)4(

234

C F

C F

C F

C F

+=

++−=

++−=

++−=

67,291)1(

40033,13325)1(

2

1.800

3

1.400

4

1.100)1(

2

)1(800

3

)1(400

4

)1(100)1(

234

km s

C C s

F F s

3975

67,29167,4266

)1()4(

=−−+=

−=

l d id



ntideria*+o e Integra*+o Antideriva%o é uma oera%o +ue consiste em encontrar uma

fun%o (x), cu0a derivada 6(x) é uma fun%o con$ecida f(x)*e a fun%o (x) existir, ela é c$amada antiderivada de f(x)*

>ntegral >ndenida

C x x F += 3

31)(

2)( x x f =

2)(' x x F =

-xemlo

e0a * 3ma antiderivada de f(x) é!

, ois

=ostuma&se c$amar a oera%o de antideriva%o

tamém or integra%o e a antideriada de integral*



Antiderivação e Integração Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento

“ +C ” em sua solução pois muitas funções têm a mesma

derivada;

A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida

um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou

família de funções;

A integral definida é aquela definida dentro de um certo

intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um

número.

>ntegral >ndenida

l d id



Integral Indefinida A oera%o +ue envolve uma integral indenida consiste

em ac$ar sua rimitiva, ou se0a, é a mesma oera%o +ueconsiste em ac$ar uma antiderivada* O +ue muda entoS

A nota%o Para denotar a integral de uma fun%o assaremos a

utiliar a seguinte nota%o!

e0a * 3ma rimitiva de f é!

Pois * Assim, a nova nota%o estaelece +ue!

2)( x x f = C x x F += 3

3

1)(

)()(' x f x F =

c x F dx x f +=∫ )()(

>ntegral >ndenida

> t l > d id



-xemlo A integral de é!2

)( x x f = C x

dx x +=∫ 3

32

>ntegral >ndenida

x x f sen)( = C x xdx +−=

∫ cossen

A integral de é!

xe x f =)( C edxe x x +=∫

A integral de é!

x x f cos)( = C x xdx +=∫ sencos A integral de é!

> l > d id



utro !"emplo

A função é uma primitiva da função

f#"$ % cos&", pois .

'a(endo,

)ão é uma tarefa muito f*cil encontrar a primitiva de

certas funções, mas e"istem métodos para isto e iremos

aprender alguns deles.

C x x F += 2sen2

1)(

)(2cos02cos2.2

1)(' x f x x x F ==+=

C x xdx +=

∫ 2sen

2

12cos

>ntegral >ndenida

> t l > d id



Definição simbólica +e F(x) é uma primitiva de f(x), a e"pressão F(x) + C

é camada integral indefinida da função f(x) e érepresentada pela e"pressão-

símolo /dx0 que aparece na f1rmula serve para

identificar a vari*vel sore a qual se processa aintegração.

∫ += C x F dx x f )()(

>ntegral >ndenida

> l > d id



!"emplo

+ignifica que a operação de integração incide sore avari*vel /x0.

+ignifica que a operação de integração incide sore avari*vel /y0.

dx x∫ 2

dy y x∫ 32.

>ntegral >ndenida

>ntegral >ndenida



Integral de uma função constante 2ma primitiva de uma função constante f(x) !, é a

função linear F(x) !"x, pois F#(x) (!"x)# !.

3ogo-

!"emplo

C xk dxk +=∫ ..

C xdx +=∫ .5.5

>ntegral >ndenida

> t l > d id



Integral de uma função $ot%ncia

+e4a, por e"emplo, f#"$ % "5.

2ma primitiva de f#"$ é pois '6#"$ % "5.

3ogo-

7ortanto, uma primitiva da função f#"$ % "n, com

n ≠ 89, é a função

:

: x x F =)(

C n xdx x

nn +

+=

+

∫ 1.

1

C x

dx x +=∫ :

:

5

1)(

1

+=

+

n

x x F

n

>ntegral >ndenida

> t l > d id



Caso es$ecial de Integral de uma função $ot%ncia +e4a, por e"emplo, f(x) x&' 'x.

2ma primitiva de f(x) 'x é a função F(x) lnx,portanto-

C xdx

x

+=∫ ln1

>ntegral >ndenida

> t l > d id



Integral de un*+o exponencial

Integrais de un*,es trigono-.tricas

C edxe x x +=∫

C x xdx +=∫ sencos

C x xdx +−=

∫ cossen

C tgx xdx +=∫ 2sec

>ntegral >ndenida

C xdxtgx x +=∫ sec..sec

C gxdx x +=

∫ cot.seccos &

C xdx gx x +=∫ seccos.cot.seccos

>ntegral >ndenida



Integral das un*,es inersas

C xdx x

+=−

∫ arcsen.1

1

2

C arctgxdx x

+=+∫ .

1

12

>ntegral >ndenida

> t l > d id



*ro$riedades

Integral da soma

!"emplo

∫ ∫ ∫ +=+ dx x g dx x f dx x g x f )()()].()([

∫ ∫ ∫ ∫ ++=++ dx xdxdx xdx x x 4)4( 22

3

3 x

2

2 x x48 8 8 =

>ntegral >ndenida

>ntegral >ndenida



*ro$riedades Integral da diferença

!"emplo

∫ ∫ ∫ −=− dx x g dx x f dx x g x f )()()].()([

∫ ∫ ∫ −=− dx xdx xdx x x 2424 )(

5

5 x

3

3 x& 8 =

>ntegral >ndenida



>ntegral >ndenida



/i0liografa utiliada lemming, D* #* X Con%alves, #* 5* C$lculo A* Person

-ducation* o Paulo, 1BB2* Adounur, O* Y* X ZariWi, * #atem'tica Alicada* araiva*

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ringer&\erlag* ?e[ ]orW, 1BKB* -ves, Z* Foudatios ad Fudametal Cocepts o,

atematics* Dover, 1BBL*

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cálculo diferencial e integral 2 unidade 01- integral indefinida- conceitos e propriedades

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