· disciplina de cálculo diferencial e integral i prof. salete souza de oliveira buffoni 91...

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni

91

CAPÍTULO 6 - INTEGRAL INDEFINIDA E TÉCNICAS DE PRIMITIZAÇÃO

6.1- Definição

Na matemática freqüentemente ocorre conhecermos a derivada de uma função, e desejarmos encontrar a

própria função. Exemplo, conhecemos a velocidade dt

dsv = de uma partícula e necessitamos encontrar a sua

posição ( )tfs = . Para resolver esse problema precisamos “desfazer” a derivação ( ou diferenciação), isto é, temos

que anti-diferenciar (ou integrar) a função.

Para achar a anti-diferencial ou integral de uma função temos efetuar a operação inversa da diferenciação. Por

exemplo, tomando a função 2xy = , sua derivada é obtida, multiplicando o x pelo expoente 2 e em seguida

subtraindo uma unidade do expoente de x , ou seja x2y =′ e a diferencial é xdx2dy= . A operação inversa (integral)

seria obtida dividindo a derivada pelo expoente e somando uma unidade no expoente, da forma: Integral (de x2 )

Cx2

x2 211

+==+

. Note que a função recuperada contém uma constante indeterminada, pois se derivarmos

( )x2

dx

Cxd 2

=+ que é a mesma derivada da qual partimos.

A operação inversa da diferenciação pode ser representada por um símbolo conhecido como integral ( )∫ que

se parece com um “ s ” alongado. Assim, dada uma diferencial de uma função, ( )dxxfdy ′= , aplicando nela a operação

inversa, isto é, a integral tem-se

( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ′=→′=→′= dxxfydxxfdydxxfdy

Portanto, as operações fundamentais no cálculo integral são representadas por

( )dxxfdy ′= (diferencial de uma função)

e

∫ += cydy , que é a integral de uma diferencial da função mais uma constante.

( )∫ += cxfdy ,esta expressão é conhecida como a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. A

constante indeterminada que aparece na integração é que dá origem ao nome de “integração indefinida”.

Exercícios

1) Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ?Resposta: y = x2 + c.

2) Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ?Resposta: y = sen x + c.

3) Qual a função cuja diferencial é ex.dx ?Resposta: y = ex + c.

DisciplinaProf. Sale

ou seja

∫ +=

∫ +=

∫ +=

cxe.dxxe

csenx x.dxcos

c2x2x.dx

Definição:

Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x)

∫ =⇔+= f(x)(x)g'cg(x)f(x)dx , onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também

chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.

Exercícios

1) Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seuspontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1,3).

Determinar: y = f (x) / dx

dy= 2x

dy = 2x.dx

∫ ∫= 2x.dxdy

y = x2 + c → Família de curvasPasse pelo ponto P (1, 3)

3 = 1 + cc = 2y = x2 + 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).

6.2- Integral Indefinida de Funções de Uma Variável

Se a derivada de uma função é nxdx

dy= , sua diferencial dy será dxxdy n= e sua integral

∫ ∫ +== cdxxydy n, que resultará em

1nparac1n

xcdxx

1nn −≠+

+=+∫

+

Note-se que a expressão acima não é válida para 1−=n , pois teria-se ∞===∫ −

0

1

0

xdxx

01 , isto é, a integral fica

não definida. Porém, esta integral é definida como segue:

Observaç

e esta fun

Dentre de

escolha d

dx

de Cálculo Diferencial e Integral Ite Souza de Oliveira Buffoni

92

ão: Para resolver-se este problema foi necessário encontrar uma função cuja derivada fosse igual a ela mesma,

ção é xe .

todas as possíveis bases para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para este propósito. Na

a base a para a função xay = pesa muito a forma com a qual ela cruza o eixo Y .

( ) cxnx

+=∫ l


93

6.3- Propriedade das Integrais

a) ∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dwdvdudw)dv(du .

b) ( ) ( )∫ +=+′ cxfcdxxf

c) ∫ +=+ cxcdx

d) ( ) ( )∫ ∫= xdxfadxxaf sendo a uma constante.

e) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xdxgbxdxfadxxbgxaf ∫∫ ∫ +=+ (distributiva)

Exemplo:

1) ∫ + x).dxcos(4x

∫ ∫ +++=+→

→∫ ∫ ∫ ∫+=+→

1csenxc22xcosx.dx2x.dx2aaplicando

cosx.dx2.2x.dxcosx.dx4x.dxdaplicando

(c+c1)=c2 → 2x2 + sen x + c2

Exercícios:

1) ∫ += c4

4xdx3x

2) c3

x2xc

3

3x2c

2

3

23

xdx2

1

xdxx +=+=+∫ =∫ =

3) c6

64)(2x

2

1du5u

2

12dx

54)(2x

2

1

2.dxdu

42xudx

54)(2x +

+∫ ==∫ +→

=

+=→∫ +

1. ∫ dxxx

x3x2xe

Y

1

0

( ) ( )1tan

0

===x

x

dx

edθ

θ

( ) ( )1,1

3tan

0

===x

x

dx

dθ

( ) ( )7.0

2tan

0

===x

x

dx

dθ

A função natural xe cruza o eixo y com uma inclinação igual a 1


94

2. ∫ 3 x

dx

3. ∫ +− dx)1xx6( 2

4. ∫ + dx.x)4x( 32

5. c4

xc

13

xdxx

4133 +=+

+=

+

∫

6. c6

x7dxx7

65 +=∫

7. cxx3

2x

3

2

2/3

x

12/1

xdxxdxx 3

2/312/12

1+===

+==

+

∫ ∫

8. cx

2x2

15

x8dxx8dx

x

84

415

55

+−

=−=+−

== −+−

−∫ ∫

9. ( ) cx22

x4

3

x3dx2xdx4dxx3dx2x4x3

2322 +++=++=++ ∫∫∫ ∫

10. ( ) cx7xx3

2x

2

5x7

2/3

x

2

x5dx7dxxxdx5dx7xx5 2

2/322

1+−+=−+=−+=−+ ∫∫ ∫ ∫

11. cxx5

2x

5

2

2/5

xdxxdxxxdxxx 22 5

2/52

32

1+====⋅= ∫∫ ∫

12. cx

2

2/1

xdxxdxxdxxxdx

x

x 2/12

322122

1

2+−=

−===⋅=

−−−− ∫∫∫ ∫

13. ( ) ( ) cxxxxxxxxxx

dxxxxxdxxxx ++=+=+=+

++

=⋅+⋅=+++

∫∫ 3223 753/72/513/412/3

31213

7

3

5

2

7

3

5

2

3/72/513/412/3

14. cxx8

3x

8

3

3/8

xdxxdxxxdx

x

x 3 223 83/8

35312

3

2

+====⋅= ∫∫∫

todos esses exemplos só envolvem o x elevado a um expoente. Agora vamos generalizar essa fórmula para o

caso de se ter nu ao invés de só x , sendo ( )xfu = .

6.4- Integração por substituição de variáveis

Para calcular uma integral do tipo ( )∫ + dx5xx1002

, se o método convencional fosse usado, teria de

desenvolver-se o binômio ( )1002 5x + , o que resulta em 101 termos, a serem integrados termo a termo, o que seria no

mínimo enfadonho.


95

Pelo método da substituição, faz-se:

5xu 2 +=x2

dudxxdx2du =⇒=⇒

que substituída na integral dá:

( ) c202

u

101

u

2

1duu

2

1

x2

duuxdx5xx

1011011001001002 +=⋅==⋅=+ ∫∫∫

voltando para x tem-se

( ) ( )c

202

5xdx5xx

10121002 ++

=+∫

6.4.1- Regra geral para integrais do tipo ( )∫ + sdxaxx qp

Outros problemas que podem ser resolvidos por substituição. Exemplo, descobrir os valores dos expoentespara que a expressão seja integrável

( )∫ + sdxaxx qp, faz 1

1−

− =⇒=⇒+=q

qq

qx

dudxdxqxduaxu

Substituindo na integral vem

duxuq

1

x.q

duux 1qps

1qp +−

− ∫∫ =⋅ ⇒ para que x desapareça, temos duas condições:

1a ) 01qpou01qp =−==+− , então a integral para ser integrável tem que ser do tipo

( ) dxaxxsq1q∫ +−

2a ) condição é p1qp =+− (neste caso qx é obtido de axu q += ) Então, 1q2p −= que substituído na integral

resulta

( )dxaxx q1q2∫ +−

Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer.

Exercícios

1- ( ) dxx4du9xudx9xx 34743 =∴+=⇒+∫

substituindo-se vem

∫∫ = duu4

1

x4

duux 7

373

32

)9x(

8

u

4

1 848 +==

( ) c32

)9x(dx9xx

84743 ++

=+∫

2- dx2x

x6

5

∫+

( ) dxx6du2xudx2xx 562

165 =∴+=⇒+= ∫

− substituindo-se tem-se


96

∫∫−−

= duu6

1

x6

duux 2

1

52

15 ( )2

162

1

)2x(3

1

21

u

6

1+==

c)2x(3

1dx

2x

x 6

6

5

++=+

∫

3- ∫ + dxaxx 35 ( ) dxx3duaxudxaxx 232

135 =∴+=⇒+= ∫

2233

x3

dudxdxx3dueauxaxu =⇒=−=⇒+=

substituindo-se vem

( ) duuau3

1duux

3

1

x3

duux 2

12

132

215 ∫∫∫ −==

( ) ∫∫∫∫∫ −=−=− duu3

aduu

3

1duau

3

1duu.u

3

1duuau

3

1 2/12/32/12/121

+−+=

−=− ∫∫ 2/332/53

2/32/52/12/3 )ax(

3

a2)ax(

5

2

3

1

2/3

au

2/5

u

3

1duu

3

aduu

3

1

c)ax(9

a2)ax(

15

2dxaxx 335335 ++−+=+∫ .

4- ( ) xdx2du,axudxaxxdxax

x 22

123

2

3

=+=⇒+=+

∫∫−

x2

dudxxdx2dueauxaxu 22 =⇒=−=⇒+= ,

substituindo-se tem-se:

( ) duuau2

1duux

2

1

x2

duux 2

12

122

13 −−− ∫∫∫ −==

( ) ∫∫∫∫∫−−−−

−=−=− duu2

aduu

2

1duau

2

1duuu

2

1duuau

2

1 212/12

12

12

1

+−+=

−− ∫∫

− 2/132/332/12/3

212/1 )ax(a2)ax(

3

2

2

1

2/1

au

2/3

u

2

1duu

2

aduu

2

1

c)ax(a)ax(3

1)ax(a2)ax(

3

2

2

1 2/132/332/132/33 ++−+=

+−+

caxa)ax(3

1dx

ax

x 333

2

3

++−+=+

∫ .

5- ∫ + dx21)(3x


97

∫ ++

=++

=+=

=+=

c9

31)(3xc

3

31)(3x

3

13dx21)(3x

3

1

3dxdu

13xu

6- ∫ dx3(2x)

∫ ∫ +===

∫ +=+==

==

c4

4x.32dx3x32dx3.x32

ou

c8

4(2x)c

4

4(2x)

2

12dx3(2x)

2

1

2dxdu

2xu

7- ∫ + dx24)(x

∫ +++=++=

++

=

c16x2

28x

3

3x16)dx8x2(x

ou

c3

34)(x

8- ∫ x.dx2x.sec3tan

c4

x4tan

3n

x.dx2secdu

tanxu

+=

==

=

9- ∫ dxsenx.cosx.

c2

x2cos

dxsen x du

xcosu

dx)sen x cosx.(dx.sen x x cos

ou

c2

x2sen

dx x cosdu

senxu

+−

−==

∫ −−=∫

+=

==

10- ∫ x.dx2tanx.sec


98

c2

xsec

dx.xtan.x

2

+=

+=

=

=

+=

=

=

∫

∫

x x.tan x.d x.secsec

ou

c2

x2tan

x.dx2secdu

tan xu

2sec

ou

c2

x2tan

x.dx2secdu

tanxu

11- ∫+3 2x

dx

( ) c2

3 22)(x3.c

32

32

2)(xdx3

12x +

+=+

−=∫

−+=

12- ∫x

x.dx5ln

∫ +==

=

=

c6

x6lndx

x

1x.5ln

dxx

1du

lnxu

13- ∫+3 2 4x

dx.x

c4

)4x(.3c

32

)4x(

2

1

dx.x.2du

4xu

dx.x.2.)4x(2

1

3 22322

2

312

++

=++

=

=+=

+= ∫−

14- ∫ 3x

dx∫ +−=+

−==

−− c

x

1c

2

xdx.x

2

23

15- ∫ x

dxcxln +=


99

16- ∫ −+

+dx

)7x5x(

)5x2(2

c)7x5xln(

dx)5x2(du

7x5xu

2

2

+−+=

+=−+=

17- ∫ dx.xtan

xsec 2

cxtanln

dx.xsecdu

xtanu2

+=

=

=

18- ∫ +dx.

e5

ex

x

c)e5ln(

dxedu

e5u

x

x

x

++=

=

+=

19- ∫ +dx

4e

ex2

x2

c)4eln(2

1

dxe.2du

4eu

dx4e

e.2

2

1

x2

x2

x2

x2

x2

++=

=

+=

+= ∫

OBS.: →∫ dx)x(Q

)x(P → ∫ ∫ ∫+=→+=

)x(Q

)x(r)x(q

)x(Q

)x(P

)x(Q

)x(r)x(q

)x(Q

)x(P

20- ∫ −+

dx4x

2x

∫ ∫ ∫ −+=

−+

→−

+=−+

4x

dx.6dxdx

4x

2x

4x

61

4x

2x

c)4xln(6x +−+=

21- ∫ −

++−dx

2x

2xx3x2

24

dx.2x

x.2

2

1dx).1x(dx

2x

2xx3x

2x

x1x

2x

2xx3x

22

2

24

22

2

24

∫ ∫ ∫ −+−=

−

++−−

+−=−

++−

c)2xln(2

1x

3

x 23

+−+−=

P (x) Q (x) r (x) q (x)

x+2 x-4-x+4 1 6

x4-3x2+x+2 x2-2-x4+2x2 x2-1 -x2+x+2 x2 -2 x


100

22- ∫ ++

dx1x

1x 2

23- ∫−

dxx56

x23 2

6.4.2- Principais Fórmulas

1) ∫ += cudu

2) c1n

uduu

1nn +

+=

+

∫

−≠=

1n

f(x)u

3) clnuu

du+=∫

4) ∫ += cedue uu

5) clna

adua

uu +=∫

6) ∫ += csenucosu.du

7) ∫ +−= ccosusenu.du

8) ∫

++−

=clnsecu

clncosutanu.du

9) ∫ += clnsenucotu.du

10) ( )∫ ++= ctanuseculnsecu.du

11) ∫ +−= ccotu)ln(cossecucossecu.du

12) ∫ += ctanuu.du2sec

13) ∫ +−= ccotuu.ducossec2

14) ∫ +=⋅⋅ csecudutanusecu

15) ∫ +−=⋅⋅ ccossecuducotucossecu

16) ∫ +⋅=+

ca

uarctan

a

1

au

du22

17) ∫ ++−

⋅=−

cau

auln

2a

1

au

du22


101

18) ∫ +=−

ca

uarcsen

ua

du22

19) ∫ +=−

ca

uarcsec

a

1

auu

du22

** Exercícios:

1) ∫ .2.dx2xa2

1

caln

x2a+=

==

2

1

2dxdu

2xu

2) ∫ .3.dx3xe3

1

c3xe3

1

3.dxdu

3xu

+=

==

3) ∫ dx2x

x1

e

cedx2x)..(x1

e)(

dx2xdu

1xu

x1

+−=−−−=

−−=

−=

∫

4) ∫− 2x.dx.(-6)sen 2x 3.cose6

1

cx2cos.3e6

1

dx.x2sen6dx.2.x2sen.3du

x2cos.3u

+−=

−=−==

5) ∫

dx2

1x

2

1sen2

cx2

1cos2cx

2

1cos2 +

−=+

−=

=

=

dx2

1du

x2

1u

6) ∫ dx.3.x3cos3

1


102

cx3sen3

1

dx3du

x3u

+=

==

7) dx.x.10.)x5sen(10

1 2∫c)x5cos(

10

1 2 +−=

8) ∫ dx.2.x2tan2

1

cx2secln2

1

dx2du

x2u

+=

==

9) ∫ dxxcot.x.22

1 2

cxsenln2

1

xdx2du

xu

2

2

+=

==

10) ∫ dyycos

ysen2

cyseccycos

dy)ysen(ycos

dy.ycos.ysen

1

2

2

+=+=

=−−=

=−−=

−

−

−

∫∫

11) ∫ + dx.2).1x2sen(2

1

c)1x2cos(2

1

2du

1x2u

++−=

=+=

12) ∫ + dx)xtan1( 2

cxtanxsecln2

cxxtanxsecln2x

dxxsecxsecln2x

dx)1x(secxsecln2x

xdxtanxdxtan2dx

dx)xtanxtan21(

2

2

2

2

++==+−++=

=−++=

=−++=

=++=

=++=

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

13) ∫ + 2x9

dx


103

c3

xarctan

3

1

xu

9a22

2

+=

=

=

14) ∫ +

−dx

9x

7x22

c3

xarctan

3

7)9xln(

9x

dx7c)9xln(

9x

dx7

9x

xdx2

2

22

22

+−+=

=+

−++=+

−+

= ∫∫ ∫

15) ∫ −1x

dx2

cln2

1

1a

xu

1x1x

2

22

+=

=

=

+−

16) ∫ − 4x

dx2

c2x

2xln

4

1

4a

xu2

22

++−

=

=

=

6.5- Generalização da integração por substituição de variáveis

Em geral esse método funciona sempre que se tiver uma integral que possa ser escrita na forma

( )( ) ( )dxxgxgf ′∫ . Observe-se que se fF =′ , então

( )[ ] ( ) ( )[ ] CxgFdxxgxgF +=′′∫ ,

pois, pela regra da cadeia

( )[ ]{ } ( )[ ] ( )xgxgFxgFdx

d ′′=

Fazendo–se a mudança de variável ( )xgu = , obtém-se:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′=+=+=′′ duuFCuFCxgFdxxgxgF

e voltando a Ff ′= , fica

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ =′

′=′ duufxg

duxgufdxxgxgf .

Observe-se que a Regra de Substituição de Variáveis foi provada usando a Regra da Cadeia para diferenciação,

ou seja, se ( )xgu = , então ( )[ ] ( )dxxgdxxgdx

ddu ′== . Assim, a regra geral que acabou de ser provada pode ser escrita

como segue.

DP

E

1

2

3

4

d

5

6

7

6

Regra geral da substituição de Variáveis: Se ( )xgu = for uma função diferenciável cuja variação

ocorre em um intervalo I e f for contínua em I , então

( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′ duufdxxgxgf

isciplina de Cálculo Diferencial e Integral Irof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

104

xercício

- Encontre ( )( )∫ +++ dx6x42x3xcot 2

Solução: Fazendo ( ) ( )3x2

dudxdx3x2du2x3xu 2

+=∴+=⇒++=

( )( ) ( ) ( )( ) ( )duucot2du

3x2

6x4ucotdx6x42x3xcot 2 ∫∫∫ =

++

=+++

( ) ( ) c2x3xsenn2cusenn2 2 +++=+ ll

( )( ) ( )[ ] c2x3xsenndx6x42x3xcot 222 +++=+++∫ l .

- ( )

dux2dxx2

dxduxudx

x

xcos=⇒=∴=⇒∫

( ) ( ) ( ) cxsen2cusen2duucos2 +=+=∫

- ( ) ( )15

dudxdx15dux15udxx15tanx15sec =⇒=∴=⇒∫

( ) ( ) ( ) ( ) cx15sec15

1cusec

15

1duutanusec

15

1+=+=∫

- ( ) ( )

( )[ ]( ) ( ) ( )dxxcotxcscduxcsc1u

xcsc1

dxxcotxcsc4

−=∴+=⇒+∫

( ) ( ) ( ) ( )xcotxcsc

dudxdxxcotxcscu −=⇒−=

c)xcsc1(3

1

3

uduuduu

3

344 +

+−=

−−

=−=−−

−− ∫∫ .

- ( )dx4x2dux4xudx)2x)(x4xsen( 22 +=∴+=⇒++∫( ) ( ) ( ) cx4xcos

2

1cucos

2

1duusen

2

1 2 ++=+=∫

- dxx15dux5udx)x5(cscx 23322 =∴=⇒∫

- ( ) ( ) ( ) ( ) cx5cot15

1cucot

15

1duucsc

15

1

x15

duucscx 32

222 +=+== ∫∫

.6- Métodos de Integração


105

6.6.1- Decomposição em Frações Parciais

Integração das funções racionais dx∫Q(x)

P(x), onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). Decomposição

em funções parciais1o Passo:

Fatorar Q(x).a) Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos;b) Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos;c) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos;d) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.

2o Passo:a) Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)

naxnA

...2ax

2A

1ax1A

Q(x)

P(x)

−++

−+

−=

OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.

3o Passo:Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.

4o Passo:Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.

Exemplo:

1) Decompor em frações parciais3x

C

2x

B

x

A

x62x3x

1x

++

−+=

−+

+

6

1A

1A6

1C2B3A

)3(0CBA

A6x)C2B3A(2x)CBA(1x

Cx22CxBx32BxA6Ax2Ax1x

)3x).(2x.(x

)2x).(x(C)3x).(x(B)3x).(2x(A

x62x3x

1x

)3x).(2x.(x)6x2x.(xx62x3x

−=

=−=−+

−×=++

−−++++=+

−+++−+=+

+−−++++−

=−+

++−=−+=−+


106

c)3xln(15

2)2xln(

10

3xln

6

1

3x

dx

15

2

2x

dx

10

3

x

dx

6

1

x6xx

1x

3x15

2

2x10

3

x6

1

x6xx

1x

10

3B

15

2C

1C53

2

1C2B36

1

0C3B32

1

23

23

++−−+−=

+−

−+−=

−+

++

−+

−+

−=

−+

+

=

−=

=−

=−+−

=−−

∫∫∫∫

b) Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidosQ(x)=(x-a)n

n)ax(

nA...

2)ax(

2A

1)ax(

1A

)x(Q

)x(P

−++

−+

−=

Exemplo:

1) 212 )1x(

C

)1x(

B

)1x(

A

)1x).(1x(

5x3

−+

−+

+=

−++

2

1B

2

1A4C

8C2

3CA2

5CA2

5CBA

3CA2

BA0BA

CCxBBxAAx2Ax5x3

)1x).(1x(

)1x(C)1x).(1x(B)1x(A

)1x).(1x(

5x3

22

2

2

2

−===

==+−=+

=+−=+−

−=→=+

++−++−=+

−+

++−++−=

−+

+

∫∫∫∫

+−−

+−−+=

−+−

−+

=−+

+−

+−

−+

+=

−+

+

−

−

c1

)1x(4)1xln(

2

1)1xln(

2

1

dx)1x(41x

dx

2

1

1x

dx

2

1

)1x).(1x(

5x3

)1x(

4

1x2

1

1x2

1

)1x).(1x(

5x3

1

22

22

c) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintosQ(x)=(a1x

2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn)

nn2

n

nn

222

2

22

112

1

11

cxbxa

BXA...

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

)x(Q

)x(P

++

+++

++

++

++

+=

Exemplo:


107

1) )1x2x(

CBx

)1x(

A

lirredutíveforma

)1x2x().1x(

22x

++

++

−=

++−

+

43421

c

4

3

2

1x

arctan

4

3

1)1xln(

)1xx)(1x(

2x

a

uarctan

a

1

au

du:lembrar

4

3

2

1x

dx)1xln(

)1xx)(1x(

2x

)1xx(

dx

)1x(

dx

)1xx)(1x(

2x

)1xx(

1

)1x(

1

)1xx)(1x(

2x

1C0B1A

2CA

1CA2

2CA

0CBA

1BA

)1xx)(1x(

CCxBxBxAAxAx

)1xx)(1x(

2x

2

2

2222

2

22

2

22

2

2

22

2

2

+

+

−−=++−

+

=+

⇒

+

+

−−=++−

+

++−

−=

++−

+

++

−+

−=

++−

+

−===

=−=+

=−=+−

=+

++−

−+−+++=

++−

+

∫

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

d) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos

Q(x) = n

lirredutíve

c)bx2(ax44 344 21++

n2nn

2222

211

c)bx(ax

BxA...

c)bx(ax

BxA

c)bx(ax

BxA

)x(Q

)x(P

++

+++

++

++

++

+=


108

Exercício:

1) 22222

2

)3x2x(

DCx

)3x2x(

BAx

)3x2x(

2xx

++

++

++

+=

++

++

c1

)3x2x(

2

1

2

)1x(arctan

2

1

dx)3x2x)(1x(22

1

)3x2x(

dx

)3x2x(

2xx

)3x2x(

)1x(

)3x2x(

1

)3x2x(

2xx

1D1C1B

2DB3

1CB2A3

1BA2

0A

)3x2x(

DCxB3Bx2BxAx3Ax2Ax

)3x2x(

2xx

12

22222

2

22222

2

22

223

22

2

+++

++

=

+++−++

=++

++

++

−−+

++=

++

++

−=−==

=+=++

=+=

++

+++++++=

++

++

−

−∫ ∫∫

Exercícios:Resolva as integrais:

1) ∫+

+−dx

x32x

6x43x

2) dx2x3x24x

12x6∫

++

−

6.7- Integração das Potências Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

1)

−=

−=

u2sen1u2cos

u2cos1u2sen

2)

+=

−=

)u2cos1(2

1u2cos

)u2cos1(2

1u2sen

3)

−=

−=

1u2seccosu2cot

1u2secu2tan

4)

5)

+=

+=

u2cot1u2seccos

u2tan1u2sec


109

a) Integrais da forma ∫ ∫ uduncosouudunsen

i) Se n for ímpar

• ∫ − du.usen.

1identidade

u1nsen 43421

• ∫ − du.ucos.

1identidade

u1ncos 43421

Exercícios:

1) ∫ dx.x3cos

c3

x3senxsen

dx.xcos.x2sendx.xcos

dx.xcos).x2sen1(

dx.xcos.

.ident

x2cos

+−=

∫ ∫−=

∫ −=

∫= 321

2) ∫ dx.x5sen

c5

x5cos

3

x3cos2xcos

dx.xsen).(x4cos)(dx.xsen).(x2cos)(2dx.xsen

dx.xsen)x4cosx2cos21(

dx.xsen.2)x2cos1(

dx.xsen.x4sen

+−+−=

∫ −−+∫ ∫ −−−=

∫ +−=

∫ −=

∫=

3) ∫ dx.x53cos

c15

x53senx5sen

5

1

c3

x53sen

5

1x5sen

5

1

dx.x5cos.5.x52sen5

1dx.5.x5cos

5

1

dx.x5cos).x52sen1(

dx.x5cos.x52cos

+−=

+−=

∫−∫=

∫ −=

∫=

ii) Se n for par:

• ∫ du.

2identidade

unsen 321

• ∫ du.

2identidade

uncos 321


110

Exercícios

1) ∫ dx.x32cos

[ ]cx6sen

6

1x

2

1

dx.x6cosdx2

1

dx)x6cos1(2

1

+

+=

+=

+=

∫ ∫

∫

2) ∫ dx.

.ident

x54sen 43421

[ ]

+++−=

+

++−=

++−=

++−=

+−=

+−=

−=

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

c40

x20sen

2

x

5

x10senx

4

1

c20

x20sen

2

1

2

xx10sen

10

2x

4

1

dx.x20cos2

1dx

2

1x10sen

10

2x

4

1

dx)x20cos1(2

1x10sen

10

2x

4

1

dx.x10cosdx.x10cos2dx4

1

dx)x10cosx10cos21(4

1

dx)x10cos1(2

1

2

2

2

b) Integrais da forma: ∫ du.umcos.unsen

i) Se n ou m for ímpar:• Suponha m ímpar:

∫ − du.ucos.

1identidade

u1mcos.unsen 43421

Exercício:

1) ∫ dx.x2sen.x2cos 36

∫= dx.x2sen.

.ident

x22sen.x26cos 43421

∫ ∫∫

−=

−=

dx.x2sen.x2cosdx.x2sen.x2cos 86

dx2x).sen2x.cos2x.(1cos 26

c9

x2cos

2

1

7

x2cos

2

1 97

++−=

ii) Se n e m forem pares:

• ∫ du.

2identidade

umcos.

2identidade

unsen 43421321


111

Exercício

1) ∫ dx.xcos.xsen 22

[ ]

cx4sen4

1x

2

1x

4

1

dx).x4cos1(2

1x

4

1

dx.x2cosdx4

1

dx).x2cos1(4

1

dx).x2cos1(2

1)x2cos1(

2

1

2

2

+

+−=

+−=

−=

−=

+⋅−=

∫

∫ ∫

∫

∫

c) Integrais da forma ∫ ∫ du.uncotoudu.untan

• ∫ − du.

3identidade

u2tan.u2ntan 321

• ∫ − du.

3identidade

u2cot.u2ncot 321

Exercícios:

1) ∫ dx.

.ident

x52tan 43421

cxx5tan5

1

dxx5sec

dx)1x5(sec

2

2

+−=

−=

−=

∫ ∫∫

2) ∫ dx.x3tan3

cx3secln3

1

2

x32tan

3

1

dx.x3tandx.x32sec.x3tan

dx)1x32(secx3tan

dx.

.ident

x32tan.x3tan

+−=

∫ ∫−=

∫ −=

∫= 43421

3) ∫ dx.xcot 4

cxxcot3

xcot

dx)1xsec(cos3

xcot

dx.xcotdx.xseccos)(xcot

dx)1xsec.(cosxcot

dx.xcot.xcot

3

23

222

22

22

+++−=

−−−=

−−−=

−=

=

∫

∫ ∫∫∫


112

d) Integrais da forma ∫ ∫ u.duncossecouu.dunsec

i) Se n for ímpar: (Integra por partes)

ii) Se n for par:

• ∫ − du.u2sec.

4identidade

u2nsec 43421

• ∫ − du.u2seccos.

4identidade

u2nseccos 4434421

Exercícios:

1) ∫ dx.xsec4

∫= dx.x2sec.

.ident

x2sec 321

c3

x3tanxtan

dx.x2sec.x2tandx.x2sec

dx.x2sec)x2tan1(

++=

∫ ∫+=

∫ +=

2) ∫ dx.x2seccos 6

c5

x2cot

2

1

3

x2cotx2cot

2

1

dx.2)..(x2seccos.x2cot)2

1(dx.2)..(x2seccos.x2cot)

2

2(dx.x2seccos

dx.x2seccos)x2cotx2cot21(

dx.x2seccos.)x2cot1(

dx.x2cos.x2seccos

53

24222

242

222

24

+−+−=

−−+−−−=

+−=

−=

=

∫∫ ∫

∫∫∫

e) Integrais da forma: ∫ ∫ du.ucot.useccosoudu.utan.usec mnmn

i) Se n for par:

• ∫ − du.u2sec.umtan.

4identidade

u2nsec 43421

• ∫ − du.u2seccos.umcot.

4identidade

u2nseccos 4434421

Exercícios:

1) ∫ dx.xtan.xsec 64


113

c9

xtan

7

xtan

dx.xsec.xtandx.xsec.xtan

dx.xsec).xtanx(tan

dx.xsec.xtan).xtan1(

dx.xsec.xtan.xsec

97

2826

286

262

262

++=

+=

+=

+=

=

∫∫∫∫∫

2) ∫ dx.x5cot.x5seccos 26

c7

x5cot

5

1

5

x5cot

5

2

3

x5cot

5

1

dx).5.(x5seccos.x5cot5

1dx).5.(x5seccos.x5cot

5

2dx).5.(x5seccos.x5cot

5

1

dx.x5seccos.x5cot).x5cotx5cot21(

dx.x5seccos.x5cot.)x5cot1(

dx.x5seccos.x5cot.x5seccos

753

262422

2242

2222

224

+−−−=

−

−+−

−+−−=

++=

+=

=

∫ ∫ ∫

∫∫∫

ii) Se m for ímpar:

• ∫ −− du.utan.usec.

3identidade

u1mtan.1nsec 43421

• ∫ −− du.ucot.useccos.

3identidade

u1mcot.u1nseccos 43421

Exercícios

1) ∫ dx.xtan.xsec 33

c3

xsec

5

xsec

dx.xtan.xsec.xsecdx.xtan.xsec.xsec

dx.xtan.xsec).1x.(secxsec

35

24

22

+−=

−=

−=

=

∫ ∫∫∫ x x.tan x.dx.secx.tansec 22

iii) Se n for ímpar e m for par:(Integração por partes)

Exercícios

1) ∫ dx.x4sen2

2) ∫ dx.x4cos3

6.7.1- Integração por Substituição Trigonométrica

Se o integrando contiver qualquer das expressões: 222222 uaouau;ua +−− onde a é constante e u é

uma função em x.


114

Da trigonometria temos:

Identidades:• cos 2 θ = 1 – sen 2 θ• sec 2 θ = 1 + tan 2 θ• tan 2 θ = sec 2 θ – 1

1o Caso:

θ=− cos.a2u2a

Substituição:u = a . sen θ

θ=θ=θ−=θ−=θ−=− a.cos2cos . a)2sen(1 . a)2sen(12a2.sen2a2a2u2a

du = a . cos θ. d θ

2o Caso:

θ=− tan.a2a2u Substituição:

u = a . sec θ

θ=θ=−θ=−θ=−θ=− a.tan2tan . a)12(sec . a)12(sec2a2a2.sec2a2a2u

du = a . sec θ . tan θ . d θ

3o Caso:

θ=+ sec.a2a2u

Substituição:u = a . tan θ

θ=θ=+θ=+θ=+ a.sec2sec . a12tan . a2a2.tan2a2a2u

du = a . sec 2 θ . d θ

Resumo:

• θ

θθ=θ=

− cos.ad.cos.adu

sen.au2u2a

• θ

θθθ=θ=

− tan.ad.tan.sec.adu

sec.au2a2u

• θ

θθ=

θ=+ sec.a

d.2sec.adu

tan.au2a2u

u

a2a2u −a

2u2a −

u

u

a2u2a +

θ θ θ

Disciplina de Cálculo DProf. Salete Souza de O

Exercícios

1) dxx

x42

2

⋅−

∫Subst.:

θθ=θ=θ=θ−=−

θ=

d.cos.2dx

cos.22cos.22sen442x4

sen.2x

2x4cot

−=θ

arcsx

2x4

ccot

d.2seccos

d).12sec(cos

d.2cot

2sen.4

d.cos.2.cos.2

−−

−=

+θ−θ−=∫ ∫−θθ=

∫ −θ=

∫ θθ=

∫θ

θθ=

2) ∫+ 4x

dxx2

3

Subst.:

θθ=

=+

θ=

d.2sec.2dx

2tan.442x

tan.2x

[

∫

∫∫∫∫∫

=

+

+=

−=

=

−=

=

=

=

x(8

4x

dxx

2

4xsec

sec3

sec8

t.sec.sec8

se).1(sec8

ta.sec.tan8

d.sec.tan8

sec.2

sec.2.tan.8

2

2

3

2

3

2

2

2

3

23

θ

θθ

θθ

θ

θθ

θθ

θθ

4−

x
2
xx
θ
iferencial e Integral Iliveira Buffoni

115

2sen =θ

c2

xen

d

+

θ

θ

θ

θ=θ=+=+θ sec.22sec2)12(tan44

]∫

+

−

+

+

−

+ c24

)4

c

d.tan.secd.an

d.tan.c

d.n

d.

2)4x(

23

212

θθθθθ

θθθ

θθ

θ

θθ

2x


116

3) dyy

9y 2

∫−

Subst.:

θθθ=

θ=−θ=−

θ=

d.tan.sec.3dy

tan.392sec.992y

sec.3y

[ ][ ]

c3

ysecarc

3

9y3

ctan3

dd.sec3

d)1(sec3

d.tan3

sec.3

d.tan.sec.3.tan.3

2

2

2

2

+

−

−=

+−=

−=

−=

=

=

∫ ∫∫∫∫

θθ

θθθ

θθ

θθ

θθθθθ

6.8- Integração por Partes

∫ ∫∫ ∫ ∫

+=

+=

du.vdv.uv.u

du.vdv.u)v.u(d

∫ ∫−= du.vv.udv.u → Fórmula da Integração por Partes

Exercícios

1) {∫ +43421

dv

dx5)4x(.

u

x

=

+=+= ∫

dx.1du6

)4x(dx)4x(v

65

c7

)4x(

6

1

6

)4x(x

dx)4x(6

1

6

)4x(x

76

66

++

−+

=

+−+

= ∫

2) {∫ 43421dv

dx.xsen.

u

x

=−=

dx.1du

xcosv

cxsenxcos.x

dx.xcosxcos.x

++−=

+−= ∫

3) {∫ 43421dv

dx.xsen.

u

2x


117

=−=

dx.x2du

xcosv

{

( )c)xcosxsen.x.(2xcos.2x

dx.xsenxsen.x.2xcos.2x

dx.1du

xsenv

dv

dx.xcos.

u

x.2xcos.2x

+++−=

∫−+−=

==

∫+−= 43421

4) {∫ 321dv

dx.xe.u

2x

{

cxexe.x2xe.2x

dx.xexe.x2xe.2x

dx.1du

xev

dv

dx.xe.

u

x2xe.2x

dx.x2.xexe.2x

dx.x2du

xev

+

−−=

∫−−=

==

∫−=

∫−=

==

321

5) {{∫dv

dx.uxln

cxxln.x

dxx

xxln.x

dxx

1du

xv

+−=

−=

=

=

∫

6) }

∫ 43421dv

dx.uxln.2x

c3

x

3

1

3

x).x(ln

dx.x3

1

3

x).x(ln

dxx

1

3

x

3

x).x(ln

dxx

1du

3

xv

33

23

33

3

+⋅−=

−=

−=

=

=

∫

∫


118

7) {∫dv

dx.

u

xarctan43421

c)x1(ln2

1xarctan.x

x1

dx.x2

2

1x).x(arctan

dxx1

1du

xv

2

2

2

++−=

+−=

+=

=

∫

8) ∫ 44 344 21

48476

dv

dx.

u

xarcsen.2x

{

c3

22

3

)2x1(3

1

)2x1(2x3

1

3

3x)x(arcsen

dx.x2)..(2

1

)2x1()(3

1

)2x1(2x3

1

3

3x)x(arcsen

dx.x2du

2

1

)2x1(v

dv

dx.x.21

)2x1(u

.2x3

1

3

3x)x(arcsen

2x1

dx3x

3

1

3

3x)x(arcsen

dx2x1

1du

3

3xv

+

⋅−−−−−=

∫ −−−+−−−=

=−−=

∫

−−−=

∫−

−=

−=

=

444 3444 21

9) ∫ dx.xsec3

{

[ ] c)xtanxln(secxtan.xsec2

1dx.x3sec

)xtanxln(secxtan.xsecdx.x3sec2

dx.xsecxtan.xsecdx.x3secdx.x3sec

dx.xsecdx.x3secxtan.xsec

dx.xsec).1x2(secxtan.xsec

dx.xsec.x2tanxtan.xsec

dx.xtan.xsecdu

xtanv

dv

dx.x2sec.u

xsec

+∫ ++=

++=∫

∫ ∫+=∫ +

∫ ∫+−=

∫ −−=

∫−=

==

∫= 43421


119

10) {∫ 43421dv

dx.xsenu

.xe

{

∫ +

+−=

∫ +−=

∫−+−=

=

=

∫+−=

=

−=

cxsen.xexcos.xe2

1dx.xsen.xe

xsen.xexcos.xedx.xsen.xe2

dx.xe.xsenxsen.xexcos.xe

dx.xedu

xsenv

dv

dx.xcosu

.xexcos.xe

dx.xedu

xcosv

43421

6.9- A Mudança de Variável 2

xtgu =

A mudança de variável 2

xtgu = é recomendável sempre que o integrando for da forma ( )xcos,xsenQ , onde ( )v,uQ é

um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v.Antes de passarmos aos exemplos, vamos relembrar duas identidades trigonométricas importantes.

2

xcos

2

xcos

2

xsen

22

xcos

2

xsen2xsen 2==

Assim,

2

xtg1

2

xtg2

xsen2+

=

Por outro lado,

2

xtg1

2

xtg1

2

xtg2

2

xsec

2

xcos

2

xsen21xcos

2

2

2222

+

−=

−=−=

Exercícios:

1- Calcule ∫ dxxcos

1

2- Calcule dxxsenxcos1

1∫ +−

3- Calcule ∫ +dx

xcos1

x2sen

· disciplina de cálculo diferencial e integral i prof. salete souza de oliveira buffoni 91...

Documents