7.9 – exercÍcios – pg. 333 - wordpress.com · 608 7.9 – exercÍcios – pg. 333 nos...
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608
7.9 – EXERCÍCIOS – pg. 333
Nos exercícios de 1 a 14, calcular a integral indefinida.
1. ( )
( )dx
xxsen
xsen∫ +
+
cos1
1
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
( )( )
( )
( ) ( )∫∫∫
∫∫
+=
+=
+
+
++
=
+
−++
+
++
++
=
+
−+
+
+
++
=
dtt
tdt
t
tdt
t
t
t
tt
t
tt
t
t
t
dt
t
tt
t
t
t
t
dt
t
t
I
22
22
22
2
2
22
2
22
2
2
2
2
22
1
2
1
4
12
1
4
1
212
1
11
1
21
2.
1
21
1
11
1
2
1
2
1
21
Cx
tgx
tg
xtg
Cttt
dtt
t
dtt
tt
+++=
+
++=
++=
++=
∫
∫
2ln
2
1
242
ln222
1
12
2
1
12
2
1
2
2
2
2. ∫ ++ xxsen
dx
cos1
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
609
Cx
tg
Ctt
dt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
++=
++=+
=
+=
+
−+
++
+=
∫
∫∫
12
ln
1ln1
22
2
1
1
1
21
1
2
2
2
2
2
3. ∫ + xtgxsen
dx2
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
33
22
2
22
222
2
2
22
2
2222
11.
1
4
11
12121
4
1
1.
1
2
1
21
2.2
tttt
tt
t
dt
tt
ttttt
dt
t
t
t
t
t
t
t
dt
I
++−
−+
+=
−+
++−+
=
−
+
++
+
+=
∫
∫
∫
( )
C
xtg
xtg
Ct
t
dttt
dt
dtt
t
dtt
t
+−=
+−=
−=
−=
−=
∫ ∫
∫
∫
2
2
2ln
2ln
1
4
14
2
2
2
2
4. ∫ + x
dx
cos54
610
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
2
2
2
2
22
2
222
2
22
2
2
2
9
1.
1
2
1
9
1.
1
2
1
5544
1.
1
2
1
554
1.
1
2
1
1.54
1
2
t
t
t
dt
t
tt
dt
t
ttt
dt
t
tt
dt
t
t
t
dt
I
−
+
+=
+
−+=
+
−+++=
+
−+
+=
+
−+
+=
∫
∫
∫
∫∫
Cx
tg
xtg
Ct
t
Ct
t
t
dt
+
−
+
=
+−
+=
+−
+=
−= ∫
32
32ln
3
1
3
3ln
3
1
3
3ln
3.2
1.2
9
22
5. ∫ + x
dx
cos3
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
∫ ∫+
−+++=
+
−+
+=
2
222
2
2
2
1
133
1.
1
2
1
13
1
2
t
ttt
dt
t
t
t
dt
I
611
C
xtg
tgarc
Ct
tgarct
dt
+=
+=+
= ∫
2
22
2
22
2
24
22
6. ∫ − x
dx
cos1
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
Cx
tg
Ct
t
dt
t
dt
tt
t
t
dt
t
t
t
dt
I
+−
=
+−
=
==
+−+
+
+=
+
−−
+=
−
∫∫
∫∫
2
1
1
2
2
11
1.
1
2
1
11
1
2
1
22
22
2
2
2
2
2
7. ∫ −
+dx
xsen
x
1
cos1
Fazendo:
2
xtgt =
Temos:
612
( ) ( )∫
∫
∫
∫
+−=
++−=
+
+
−+
+
−++
=
+
+−
+
−+
=
22
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
11
4
1
2.
12
2
1
2.
1
21
1
11
1
2.
1
21
1
11
tt
dt
t
dt
tt
t
dt
t
tt
t
tt
t
dt
t
tt
t
I
( ) ( ) ( ) 11111
42222
+
++
−+
−=
+− t
DCt
t
B
t
A
tt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 11114 −+++++−≡ tDCttBttA
2241 =∴=⇒= BBt
( ) ( ) ( )DDtDtCtCtCtBBtAAtAtAt
ttDCtBBttttA
+−++−+++−−+≡
+−++++−−+≡
22
1214
223223
2223
=++−
=−+
=+−+−
=+
4
02
02
0
DBA
DCA
DCBA
CA
0,2,2,2 ===−= DCBA
( )
( )
Cx
tgx
tg
xtg
Ctt
t
dtt
t
ttI
+++
−
−−−=
+++−
−+−−=
++
−+
−
−=
−
∫
12
ln
12
21
2ln2
1ln1
121ln2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
22
613
8. ∫ + xsen
dx
23
Fazendo
dxdu
xu
2
2
=
=
e
2
utgt =
Temos:
∫
∫
∫∫
∫ ∫
+
+
=
+
+
=
++
=
++=
+
++
+=
++
+=+
=
C
t
tgarc
t
dt
tt
dt
tt
dt
t
tt
t
dt
t
tt
dt
usen
du
I
3
8
3
1
8
3.
3
1
9
8
3
13
1
13
23
1
323
1
2331
2
2
1
1
23
1
2
2
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cxtg
tgarc
C
utg
tgarc
Ct
tgarc
C
t
tgarc
++
=
+
+
=
++
=
+
+
=
8
13
8
1
8
12
3
8
1
8
13
8
1
8
3
13
8
1
9. ( )
( )∫ −−
−dt
t
t
12cos2
12cos
614
Fazendo:
dtdu
tu
2
12
=
−=
e
2
utgt =
Temos:
( )( )
( )
( )( ) ( )dt
tt
tdt
tt
t
dtt
t
t
t
t
tt
dtt
t
t
t
t
dt
t
t
du
u
uI
∫∫
∫∫
∫
++
−=
++
−=
+
+
+
−=
+
+−+
+
−
=
+
−−
++
−
=
−=
3
11
1
3
1
131
1
13
1.
1
1
1
122
1
12
2
1
1
12
1
2.
1
1
2
1
2.
cos2
cos
22
2
22
2
2
2
22
2
2
22
22
2
2
2
22
2
Usando:
( )( ) 3/113/11
12222
2
+
++
+
+=
++
−
t
DCt
t
BAt
tt
t
( )( ) ( ) ( )222 13/11 tDCttBAtt +++++≡−
2,0,3,0
13
1
03
1
1
0
==−==
=+
=+
−=+
=+
DCBA
DB
CA
DB
CA
615
.2
123
3
2
2
12
)3(3
2
3/1
2
1
3
3
122
Ct
tgarctgt
tgarctg
Ctarctgarctgt
dttt
I
+
−+
−−=
++−=
++
+
−= ∫
10. ∫ ++ tsent
dt
cos3
Fazendo :2
utgt =
∫∫
∫
∫
+
+
=++
=
++
+
+=
+
−+
++
+=
4
7
2
12
422
1.
1
2
1
1
1
23
1
2
22
2
2
2
2
2
2
2
u
du
uu
du
uu
u
u
du
u
u
u
u
u
du
I
C
ttg
tgarc
Cu
tgarc
C
u
tgarc
+
+
=
++
=
+
+
=
7
12
2
7
2
7
12
7
2
2
7
2
1
2
7
1
11. ∫−
xx
x
eesen
dxe
cos34
Fazendo
dxedu
eu
x
x
=
=
∫ −=
uusen
duI
cos34
616
Fazendo :2
utgt =
∫
∫ ∫
∫
−+
=
−+=
+
+−
+=
+
−−
+
+=
13
83
2
383
2
1
3381
2
1
1.3
1
2.4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tt
dt
tt
dt
t
ttt
t
t
t
t
tt
dt
I
Fazendo
3
131
3
83
2
2−
++
=
−+ t
B
t
A
tt
( ) ( )33
13
2++−≡ tBtA
51
31 =⇒= Bt
513 −=⇒−= At
Temos:
( )
Ce
tge
tg
Cu
tgu
tg
Ctt
dttt
I
xx
+−++−=
+−++−=
+−++−=
−+
+
−
= ∫
3
1
2ln
5
13
2ln
5
1
3
1
2ln
5
13
2ln
5
1
31ln
5
13ln
5
1
3/1
51
3
51
12. ∫ + θ
θθ
cos1
cos d
617
Fazendo :2
θtgt =
( )( ) ( )
( )dt
t
t
t
t
tt
t
dtt
t
tt
dt
t
t
2
1.
1
12
1
11
1
12
1
11
1
2.
1
1
2
22
2
2
22
22
2
2
2
22
2
+
+
−=
+
−++
−
−
=
+
−+
++
−
=
∫∫
∫
Ctgtgarctg
Cttgarct
dtt
dtt
t
+
+−=
++−=
+
−+−=
+
−=
∫
∫
22
2
2
1
21
1
1
2
2
2
θθ
13. ∫ + xxsen
dx
cos
Fazendo :2
xtgt =
∫
∫
∫
−−−=
+
−+
+=
+
−+
+
+=
12
2
1
12
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tt
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
( ) ( )212112
12
+−+
−−=
−− t
B
t
A
tt
( ) ( )21211 −−++−≡ tBtA
618
22
1
22
1
−=
=
B
A
Cx
tgx
tg
Ctt
Ct
dt
t
dtI
++−+−−−=
++−+−−−=
+
+−−
−−−= ∫∫
212
ln2
121
2ln
2
1
21ln2
121ln
2
1
2122
1
2122
12
14. ∫ +− θθ
θ
cos4 sen
d
Fazendo :2
θtgt =
∫∫
∫
∫
∫
+
−
=
+−
=
+−=
−+−+
+
+=
+
−+
+−
+=
9
14
3
1
3
2
3
5
3
23
2
523
2
1244
1.
1
2
1
1
1
24
1
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
t
dt
tt
dt
tt
dt
ttt
t
t
dt
t
t
t
t
t
dt
I
C
tg
tgarcCt
tgarc
C
t
tgarc
+
−
=+−
=
+
−
=
14
12
3
14
2
14
13
14
2
3
14
3
1
3
14
1
3
2
θ
619
15. Calcular a área sob a curva xsen
y+
=2
1, de 0=x a
2
π=x .
A figura que segue mostra a região dada.
π/2
0.2
0.4
0.6
x
y
∫ +=
2
02
π
xsen
dxA
∫ +=
xsen
dxI
2
Fazendo :2
xtgt =
∫
∫∫
∫
+
+
=
++=
++=
+
++
+=
++
+=
4
3
2
1
1222
2
1
2221
2
1
22
1
2
2
22
2
2
2
2
2
t
dt
tt
dt
tt
dt
t
tt
t
dt
t
tt
dt
I
620
C
xtg
tgarc
Ct
tgarc
C
t
tgarc
+
+
=
++
=
+
+
=
3
12
2
3
2
3
12
3
2
2
3
2
1
2
3
1
..9
3
6
2
3
2
633
2
6.
3
2
3.
3
2
3
1
3
2
3
3
3
2
3
102
3
2
3
14
2
3
2
3
12
2
3
2
2
0
au
tgarctgarc
tgtgarc
tg
tgarc
xtg
tgarcA
πππ
ππ
ππ
π
π
=−
=
−=
−=
−=
+−
+
=
+
=
16. Calcule a área limitada pelas curvas x
ycos2
1
+= e
xy
cos2
1
−= entre
2π− e
2π
A figura que segue mostra a região dada.
621
-π/2 π/2
0.5
1
x
y
dxxx∫
−
+−
−
2
2
cos2
1
cos2
1π
π
dxxx
I ∫
+−
−=
cos2
1
cos2
1
Fazendo :2
xtgt =
∫∫
∫∫
∫
+−
+=
+
+
+−
+
+
+=
+
+
−+
−
+
−−
=
32
3/13
2
3
1.
1
2
13
1.
1
2
1
2
1
12
1
1
12
1
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
t
dt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dt
t
t
t
tI
( )
Cx
tgtgarcx
tgtgarc
Ct
tgarcttgarc
+
−
=
+−+=
23
1
3
2
23
3
2
33
123
3
2
622
Portanto,
( )
.. 9
32
33
2
6.
3
2
3.
3
2
6.
3
2
3.
3
2
3
1
3
23
3
2
3
1
3
23
3
2
23
1
3
2
23
3
22
2
au
tgarctgarctgarctgarc
xtgtgarc
xtgtgarcA
ππ
ππππ
π
π
==
−+−=
−+−−−=
−
=
−
Nos exercícios de 17 a 33 calcular a integral indefinida:
17. ∫−− 65 2xxx
dx
Fazendo
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3
2
3
2
32
.232
.265
.265
2
2
2
22
222
2
−
−=
−
−=
−
−−−=
−=−−−
−=−−
−=−−
x
xt
x
xt
x
xxt
txxx
txxx
txxx
temos que:
( )dt
t
tdx
t
tx
22
2
2
1
2
1
32
+
−=
+
+=
( )
2
2
1
.265
t
t
txxx
+=
−=−−
Assim,
623
( )
( )( )
Cx
xtgarc
Cttgarc
t
dt
t
t
t
t
dtt
t
I
+−
−−=
+−
=
+
−=
++
+
+
−
=
∫
∫
23
32
3
2
3
2
6
2
32
2
2
2
1.
1
32
1
2
2
22
2
22
18. ( )∫
+++ 944 2xxx
dx
Fazendo:
t
tx
txxx
24
9
94
2
2
−
−=
+=++
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
24
1882
24
18248
24
29224
−
−+−=
−
−+−=
−
−−−−=
Temos:
624
( )
( ) ( )
Cxxx
xxx
Ct
t
Ctt
dttt
tt
dt
dttttt
tt
t
ttt
t
tt
dtt
tt
I
+−−++
−−++=
+−
−=
+
−−−=
−−
−=
+−=
−+−+−
−+−=
−
−+−
−
−+−
−
−+−
=
∫
∫
∫
∫
194
794ln
3
1
1
7ln
6
2
1ln6
17ln
6
12
1
61
7
61
2
782
9478
1882
24
49
24
8169
24
1882
2
2
2
22
2
222
2
2
19. ∫−+ 34 2
xxx
dx
Fazendo:
( )dt
t
ttdx
t
tx
txtxxx
txxx
2
2
2
222
2
41
1242
41
3
4434
234
−
+−=
−
+=
++=−+
+=−+
Temos:
625
( )
Cxxx
tgarc
dtt
dt
tt
t
t
t
t
tt
I
+
−−+=
+=
+
−
+
−
+
−
+−
=
∫
∫
3
234
3
2
3
2
41
3.2
41
3
41
1242
2
2
22
2
2
20. ∫++
21 xx
dx
Fazendo:
( )
t
tx
ttx
ttxx
txtxxx
txxx
21
1
121
12
21
1
2
2
2
222
2
−
−=
−=−
−=−
++=++
+=++
( ) ( )( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
21
222
21
2242
21
)2(1221
−
−+−=
−
−+−=
−
−−−−=
t
ttxx
21
11
22
−
−+−=++
Temos:
( )
Cxxx
Ctt
dt
dttt
t
t
ttI
++++−−=
+−−=−
=
−+−
−
−
−+−=
∫
∫
2121ln
21ln21
2
1
21.
21
222
2
22
2
626
21. ∫−+
22 xxx
dx
Fazendo:
( )
( )dtt
tt
t
ttdx
t
tx
txtx
xttxxx
xtxx
21
22
1
22222
1
221
221
2222
22
2
2
22
2
2
2
222
2
−+
++−=
+
−−=
+
−=
+=−
++=−+
+=−+
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( )
( )C
x
xx
Ct
t
dt
dt
t
tt
t
t
t
tt
I
+−−+
−=
+−=
−
−=
+
++−
+
−
+
++−−
=
∫
∫
22221ln
2
1
221ln2
1
221
2
1
22.
1
221
1
222
2
2
2
2
22
2
22. ( )
dxxxxx
x∫
++
+
22 22
1
Fazendo:
( )dt
t
ttdx
t
tx
txxx
2
2
2
2
22
42
22
2
−
+−=
−=
+=+
t
ttxx
22
22
22
−
+−=+
627
t
ttx
22
221
2
−
+−=+
( )( )
( )2
2222
22
22
t
tttxxx
−
+−=+=+
Temos:
( )
( )( )
( )( )
( )
Cxxxxxx
Ctt
dtt
dtt
dttt
tt
dt
t
tt
t
tt
t
tt
t
tt
I
+−−+
−−+
−=
+−
−−
=
−+=
+−
+−=
−
+−
−
+−
−
+−
−
+−
=
∫∫
∫
∫
22
1
2
1
2
11
2
21
221
2
2
222
22
2.
22
2
22
42.
22
22
22
22
22
2
2
2
22
2
222
23. ( )∫
−−− 321 2xxx
dx
Fazendo:
txxx +=−− 322
22
3 2
+
−−=
t
tx
( )dt
t
ttdx
2
2
22
642
+
+−−=
22
32
22
332
222
+
−+=+
+
−−=−−
t
ttt
t
txx
22
521
22
31
22
+
−−−=−
+
−−=−
t
tt
t
tx
Temos:
628
( )
Cxxx
tgarc
Ct
tgarc
tt
dt
tt
dt
t
tt
t
tt
dtt
tt
I
++−−−
=
++
=
+++=
−−−
−=
+
−+
+
−−−
+
+−−
=
∫
∫
∫
2
132
2
1
2
1.2
52
2
52
2
22
32
22
52
22
642
2
2
2
22
2
2
24. ∫++
++−dx
xxx
xx
22
2
12
11
Fazendo:
( )
( )( )2
222
22
2
2
2
2
21
1
21
11
21
222
21
1
1
t
tx
t
ttxx
dtt
ttdx
t
tx
txxx
−
−=
−
−+−=++
−
−+−=
−
−=
+=++
t
tttxxx
21
23111
22
−
+−=−−=++−
Temos:
629
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )dt
ttt
dttt
t
dttt
tt
dtt
tt
dt
t
tt
t
t
t
tt
t
tt
I
∫
∫
∫
∫
∫
++
++
−
−
=
+−
−=
+−
−−=
−
+−=
−
−+−
−
−
−
−+−
−
+−
=
2
22
22
22
2
2
2
22
2
22
1
23
14
1
14
1
11
2
11
21
1
232
2
1
21
1
21
1
21
222.
21
23
2
1
( ) ( )( )
( )
( )C
xxxxxx
xxx
Ctt
t
Ct
tt
++−++
−−−++
+−++=
++
−−
+=
+−
++++−
−=
−
112
3
11
11ln
4
1
12
3
1
1ln
4
1
1
1
2
31ln
4
11ln
4
1
22
2
1
25. ∫++ 232 xx
dx
Fazendo:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
22
22
2
22
2
1
2
21
2
12
121
123
t
tx
ttx
ttxx
txx
txxx
txxx
−
−=
−=−
−=−
+=+
+=++
+=++
630
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
t
dtt
tttt
dtt
ttttdx
22
22
33
22
22
1
2
1
4222
1
2221
−
−=
−
−+−=
−
−−−−=
( )
2
2
22
2
22
1
1
12
11
223
t
t
t
ttt
tt
txx
−
−=
−
−+−=
+
−
−=++
Temos:
( )
dttt
dtt
dttt
tdt
t
t
t
t
I
∫
∫
∫∫
++
−=
−=
−=
−
−
−
−
=
1
1
1
1
1
2
1.
1
2
1
1
2
2
2
2
22
Cxxx
xxx
C
x
xx
x
xx
Ct
t
Ctt
+++−+
++++=
+
+
++−
+
+++
=
+−
+=
+++−=
231
231ln
1
231
1
231
ln
1
1ln
1ln1ln
2
2
2
2
26. ∫−+ 322 xx
dx
Fazendo:
631
t
tx
txtx
txtxxx
txxx
22
3
322
232
32
2
2
222
2
−
+=
+=−
++=−+
+=−+
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
22
642
22
6244
22
23222
−
++−=
−
++−=
−
−+−−=
t
tt
t
ttt
tt
txx
22
32
22
223
22
332
2
22
22
−
++−=
−
−++=
+−
+=−+
Temos:
( )
( )
Cxx
Cxx
Ct
dtt
dt
t
tt
t
tt
I
+−−−+−=
+−−+−−=
+−−=
−=
−
++−
−
++−
=
∫
∫
1322ln
32222ln
22ln
22
2
22
32
22
642
2
2
2
27. ( )∫
++ xxx
dx
4412 2
( )∫
++=
xxx
dxI
2122
1
Fazendo:
632
t
tx
txtx
txtxxx
txxx
21
2
2
2
2
222
2
−=
=−
++=+
+=+
( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
21
22
21
242
21
2221
−
+−=
−
+−=
−
−−−=
t
tt
t
ttt
tt
txx
21
21
2
21
2
22
22
−
+−=
−
−+=
+−
=+
t
tt
t
tx
21
212
121
.212
2
2
−
−+=
+−
=+
Temos:
( )
∫
∫
∫
∫
+
−
=
+−
=
+−=
−
+−
−
+−
−
+−
=
4
1
2
12
1
2
12
1
122
21.
21
122
21
22
2
1
2
2
2
22
2
2
t
dt
tt
dt
tt
dt
dt
t
tt
t
tt
t
tt
I
633
( )( )( ) Cxxxtgarc
Cxxxtgarc
Ct
tgarc
C
t
tgarc
+−−+=
+−−+=
+−
=
+
−
=
122
12
1
12
2
12
1
2
1
1.
2
1
2
2
28. ∫++ 5129 2 xx
dx
Fazendo:
t
tx
txtx
txtxxx
txxx
612
5
5612
695129
35129
2
2
222
2
−
−=
−=−
++=++
+=++
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
612
30246
612
3061224
612
652.612
−
−+−=
−
−+−=
−
−−−−=
t
tt
t
ttt
tt
txx
612
15123
612
612153
612
5.35129
2
22
22
−
−+−=
−
−+−=
+−
−=++
Temos:
634
( )
Cxx
Ct
dtt
dtt
dt
t
tt
t
tt
I
++++−−=
+−−
=
−−=
−=
−
−+−
−
−+−
=
∫
∫
∫
351292ln3
1
2ln3
1
2
1
3
1
612
2
612
15123
612
30246
2
2
2
2
29.
( )∫
+−−4
512 2xxx
dx
Fazendo:
12
4
5
4
52
24
5
45
2
2
222
2
+
−
=
−=+
++=+−
+=+−
t
t
x
txxt
txtxxx
txxx
( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
ttt
dx
2
2
2
22
2
2
2
12
2522
12
22
524
12
2.4
5212
+
−−−=
+
+−−−
=
+
−−−+
=
635
122
322
12
1222
5
112
45
.212
22
2
−
+−−=
−
−−−=
−+
−=−
t
tt
t
tt
t
tx
Temos:
( )
( )( )
dtt
dtt
dtt
B
t
A
tt
dt
tt
dt
dttttt
tt
dt
t
ttt
t
tt
t
tt
I
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
+
−
+−
=
++
−=
−+=
+−−
−=
+++−−
−−−=
+
++−
−
+−−
+
−−−
=
232
1
212
1
23
21
43
2322
2
45
2322
2522
12
24
5
.12
2322
12
2522
2
2
22
2
222
2
2
Cxxx
xxx
Ct
tC
t
t
Ctt
+
+−+−
−−+−=
++
−=+
+
−=
++−−=
324
52
124
52ln
2
1
32
12ln
2
1
23
21
ln2
1
2
3ln
2
1
2
1ln
2
1
2
2
30. ∫−+ 32 xxx
dx
Fazendo:
t
tx
txtx
txtxxx
txxx
21
3
32
23
3
2
2
222
2
−
+=
+=−
++=−+
+=−+
636
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
21
622
21
6242
21
23221
−
++−=
−
++−=
−
−+−−=
t
tt
t
ttt
tt
txx
21
3
21
23
21
33
2
22
22
−
++−=
−
−++=
+−
+=−+
Temos:
( )
( ) ( )
Cxxx
tgarc
Ct
tgarc
t
dt
dtttt
tt
dt
t
tt
t
t
t
tt
I
+−−+
=
+=
+=
++−+
++−=
−
++−
−
+
−
++−
=
∫
∫
∫
3
3
3
2
33
1.2
3
2
33
622
21
3.
21
3
21
622
2
2
22
2
22
2
2
31. ∫−− 442 xxx
dx
Fazendo:
42
4
442
244
44
2
2
222
2
+
−−=
−−=+
++=−−
+=−−
t
tx
txxt
txtxxx
txxx
637
( ) ( ) ( )( )
( )
( )dt
t
tt
dtt
ttt
dtt
tttdx
2
2
2
22
2
2
42
882
42
2884
42
24242
+
+−−=
+
++−−=
+
−−−−+=
42
44
42
424
42
444
2
22
22
+
−+=
+
++−−=
++
−−=−−
t
tt
t
ttt
tt
txx
Temos:
( )
Cxxx
tgarc
Ct
tgarc
t
dt
dt
t
tt
t
t
t
tt
I
+−−−
=
+=
−−
−=
+
−+
+
−−
+
+−−
=
∫
∫
2
44
22
2
4
2
42
44.
42
4
42
882
2
2
22
2
2
32. dxxx
x∫
+
+
2
3
2
Fazendo:
t
tx
txtx
txtxxx
txxx
22
22
22
2
2
2
222
2
−=
=−
++=+
+=+
( )dt
t
ttdx
2
2
22
42
−
+−=
638
t
ttx
t
ttxx
22
663
22
22
2
22
−
−+=+
−
+−=+
Temos
( )
( )( )
( )∫
∫
∫
∫
−
+−+=
+−
+−+=
−
+−=
−
+−
−
+−
−
+−
=
dtt
t
dttt
t
dtt
tt
dt
t
tt
t
tt
t
tt
I
2
2
2
2
2
2
22
14
54
4
12
484
54
4
12
22
662
22
2
22
42.
22
66
( )
( )
( ) Cxxx
xxxxxx
Ct
tt
dtt
tt
+−−+
−−−+−−+=
+−
−+−−=
−
+−+=
−
∫
12
1
2
112ln22
2
1
1
1
2
11ln2
2
1
1
54
2
1
2
1
2
22
1
2
33. ∫−−
223 xx
dx
Fazendo:
1
322
323
2
2
+
−−=
+=−−
t
tx
xtxx
( )dt
t
ttdx
22
2
1
32432
+
−+=
1
32323
2
22
+
+−−=−−
t
ttxx
639
Temos:
( )
Cx
xxtgarc
Cttgarc
dtt
dt
t
tt
t
tt
I
+−−−
−=
+−=
+
−=
+
+−−
+
−+
=
∫
∫
3232
2
1
2
1
323
1
32432
2
2
2
2
22
2