ensino superior 1.3- integral indefinida exercícios resolvidos amintas paiva afonso cálculo 2

39
Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

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Page 1: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Ensino Superior

1.3- Integral Indefinida

Exercícios Resolvidos

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Page 2: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

01 de37

Unidade 1.3 Integral Indefinida (Revisão)

Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Amintas Paiva Afonso

Page 3: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

02 de37

Técnicas de Integração (Primitivação)

OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

F(x)dx f(x)

As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:

Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL

– INTEGRAÇÃO POR PARTES

– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

Page 4: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 01

Calcular dx2x1)(x 502

Solução

Seja u = x2 + 1

Logo: 2x dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

du(u)50

C51

1)(xC

51

udu(u)

5125150

03 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

2xdx

du

Page 5: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 02

Calcular dx9)sen(x

Solução

Seja u = x + 9

Logo: dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

dusen(u)

C9)cos(xCcos(u)dusen(u)

04 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

1dx

du

Page 6: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 03

Calcular dxcos(x)(x)sen2

Solução

Seja u = sen(x)

Logo: cos(x) dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

duu2

C3

(x)senC

3

uduu

332

05 de37

cos(x)dx

du

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Page 7: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 04

Calcular dxx

e x

Solução

Entãox2

1

x

1

2

1x

2

1x

dx

d

dx

du

2

12

1

2

1

Seja u = x

Logo: = du dxx2

1

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.

06 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Page 8: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

Ce2Ce2due2du2e xuuu

dxx2

12edx

x2

2

1

edx

x

e xxx

du2edxx2

12e ux

Ou seja: Ce2dxx

e xx

du2dxx

1dudx

x2

1

outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):

07 de37

Page 9: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 05

Calcular dx1xx2

Solução

Seja u = x – 1

Logo: dx = du

Se u = x – 1

Então x = u + 1

x2 = (u+1)2

x2 = u2 + 2u + 1

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

08 de37

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Page 10: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

duu1)2u(u2

ou:

duu2uu

du1uu2uuuduu1)2u(u

2

1

2

3

2

5

2

1

2

1

2

122

12

Portanto:

C1

21u

123u

21

25u

duu2uu

12

11

2

31

2

5

2

1

2

3

2

5

09 de37

Page 11: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cu3

2u

5

4u

7

2duu2uu 2

3

2

5

2

7

2

1

2

3

2

5

Finalmente:

Escrevendo em termos de x:

C)1(x3

2)1(x

5

4)1(x

7

2dx1xx 2

3

2

5

2

72

10 de37

Page 12: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 06

Calcular dxex x

Solução

A integral dada deve ser escrita na forma . dvu

Seja, portanto:

dxex x

xu dxedv x

Deste modo:

Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

dxdu

xxx edxevdxedv

Então:

Page 13: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

EXERCÍCIO 07

Calcular dxex x2

Solução

Seja:2xu dxedv x

Assim:

dx2xdu

xxx edxevdxedv Portanto:

2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2

12 de37

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Page 14: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.

ou:

dxex2exdxex xx2x2 (1)

Outra integração por partes aplicada a

completará o problema.

dxex x

Seja:

xu dxedv x

13 de37

Page 15: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Assim:

dxdu

xxx edxevdxedv

Portanto:

dx)e(exduvuvdvudxex xxx

ou:

1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)

Substituindo (2) em (1) resulta:

14 de37

Page 16: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

1

xxx2

1xxx2

xx2x2

C2e2ex2ex

Ceex2ex

dxex2exdxex

Portanto:

Ce)2x2x(dxex x2x2

15 de37

Page 17: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.

Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:

2x

A

16 de37

Determinar

dx3)2)(x(x

920x16x4x3x22

234

EXERCÍCIO 08

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

Page 18: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:

222 3)(x

EDx

3x

CBx

Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:

22222

234

3)(x

EDx

3x

CBx

2x

A

3)2)(x(x

920x16x4x3x

Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2

2222

222

2222

23422

3)(x

EDx3)2)(x(x

3x

CBx3)2)(x(x

2x

A3)2)(x(x

3)2)(x(x

920x16x4x3x3)2)(x(x

17 de37

Page 19: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

que resulta:

E)2)(Dx(x

C)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234

Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:

E)29A(6C

xE)2D3C(6B

xD)2C3B(6A

xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2

34234

Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

18 de37

Page 20: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

9E26C9A

20E2D3C6B

16D2C3B6A

4C2B

3BA

A solução deste sistema resulta:

0E4D0C2B1A

Portanto:

22222

234

3)(x

4x

3x

2x

2x

1

3)2)(x(x

920x16x4x3x

19 de37

Page 21: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Logo:

dx3)(x

4xdx

3x

2xdx

2x

1dx

3)2)(x(x

920x16x4x3x22222

234

C2xlnCulnduu

1dx

2x

1

dxdu1dx

du

2xu

dx3)(x

x4dx

3x

2xdx

2x

1222

C3xlnCulnduu

1dx

3x

2x

dx2xdu2xdx

du

3xu

22

2

20 de37

Page 22: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

C3)2(x

1

2u

1

12

u

2

1duu

2

1dxx3)(x

dxx2

dudx2x du3xu

dx3)(xxdx3)(x

x

2

12222

2

2222

dx3)(x

x4dx

3x

2xdx

2x

1222

E, finalmente:

C3x

23xln2xlndx

3)2)(x(x

920x16x4x3x2

222

234

21 de37

Page 23: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Sejam as identidades trigonométricas:

2

cos2x1xcos

2

cos2x1xsen 22

Assim,

dxcos2x2

1dx

2

1dx

2

cos2x1dxxsen2

2

sen2x

2

1

10

x

2

1 10

Cusen2

1

duucos2

1dxcos2x

dx2

du2

dx

du

2xu

dxcos2x

C4

2xsen

2

xxsen2

22 de37

EXERCÍCIOS 09

INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

Page 24: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:

C4

2xsen

2

xxcos2

A integraldxxcosxsen 22

pode ser resolvida fazendo:

dxcos2x12

1cos2x1

2

1

dx2xcos14

1 2

dx2

cos2x1

2

cos2x1dxxcosxsen 22

23 de37

Page 25: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

dx2xcos14

1 2

dx2xcos4

1dx1

4

1 2

8

4xsen

2

x

8

2usen

4

u

4

2usen

2

u

2

1duucos

2

1dx2xcos

dx2

du2xu

dx2xcos

22

2

8

sen4x

2

x

4

1

4

x

C32

sen4x

8

x

24 de37

Page 26: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Solução

EXERCÍCIO 10

Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Seja u = x2 + 4x – 6

Então:

42xdx

du

dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

25 de37

Page 27: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Logo, seja: dx 2)(x 2

du

Assim,

du sen(u)2

1

2

dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Sabe-se que:

Ccos(u)du sen(u) TABELA

Mas:

dx 6)4xsen(x 2)(x 2

26 de37

Page 28: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Então:

C)cos(u)(2

1dx 6)4xsen(x 2)(x 2

C6)4xcos(x2

1dx 6)4xsen(x 2)(x 22

Portanto:

27 de37

Page 29: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Solução

EXERCÍCIO 11

Determinar dx

1xx

x2

Seja u = x2 + x + 1

Então:

12xdx

du dx 1)(2xdu

Na integral original, fazer:

dx

1xx

112x

2

1dx

1xx

2x

2

1dx

1xx

x222

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

28 de37

Page 30: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Mas:

dx

1xx

1

2

1dx

1xx

12x

2

1dx

1xx

112x

2

1222

1 2

uu

21

u

2

1

121

u

2

1du u

2

1du

u

1

2

1 2

12

11

2

1

2

1

C1xxdx 1xx

12x

2

1 2

2

1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

du

u

1

2

1dx

1xx

12x

2

12

ver detalhes na página anterior

29 de37

Page 31: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:

2 TABELA

Cuaulnduua

1 22

22

du au

1

2

1dx

23

21

x

1

2

1dx

1xx

1

2

122222

onde:

2

3a dx du

2

1xu

30 de37

Page 32: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Portanto:

C2

1x

4

3

2

1xln

2

1dx

1xx

1

2

12

2

Então, finalmente:

C2

1x

4

3

2

1xln

2

11xxdx

1xx

x2

2

2

31 de37

Page 33: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias

EXERCÍCIO 12

Determinar

dxxx

13x9x23

3

O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.

13x9x

9 9x9x

xx13xx09x

2

23

2323

23

2

23

3

xx

13x9x9

xx

13x9x

fração própria

32 de37

Page 34: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

dx

xx

13x9x9dx

xx

13x9x23

2

23

3

dxxx

13x9xdx 9

23

2

dx)1(xx

13x9xdx 9

2

2

)1(x

C

x

B

x

A

)1(xx

13x9x22

2

)1(x

C)1(xx

x

B)1(xx

x

A)1(xx

)1(xx

13x9x)1(xx 2

222

2

22

BxB)A(xC)(A13x9x 22

DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

33 de37

Page 35: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

1B

3BA

9 CA

A = 2 B = – 1 C = 7

dx)1(x

7

x

1

x

2dx 9

2

dx)1(xx

13x9xdx 9

2

2

dx)1(x

7dx

x

1dx

x

2dx 9

2

C1xln7x

1xln2x9

34 de37

Page 36: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos

EXERCÍCIO 13

Determinar dx

2xxx

123

2)1)(x(xx

1

2)x(xx

1

2xxx

1223

2)(x

C

1)(x

B

x

A

2)1)(x(xx

1

2AxC)2B(AxC)B(A1 2

Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:

35 de37

Page 37: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

12A

0C2BA

0CBA

Portanto:

6

1C

3

1B

2

1A

2)6(x

1

1)3(x

1

2x

1

2)1)(x(xx

1

E, finalmente:

Logo:

dx2x

1

6

1dx

1x

1

3

1dx

x

1

2

1dx

2xxx

123

C2xln6

11xln

3

1xln

2

1dx

2xxx

123

36 de37

Page 38: Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exercícios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

crédito da figura de fundo

Catedral de Saint-Nazaire

Carcassonne, França

37 de37

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