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  • Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exerccios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Clculo 2
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  • 01 de37 Unidade 1.3 Integral Indefinida (Reviso) Integrao: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS Tcnicas de Integrao (Primitivao) uma breve reviso de Funes de Uma Varivel Amintas Paiva Afonso
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  • 02 de37 Tcnicas de Integrao (Primitivao) OBJETIVO: Apresentar tcnicas para determinar a funo F(x) conhecida como primitiva tal que F(x) = f(x) ou: As principais tcnicas de primitivao, conforme visto no curso FUNES DE UMA VARIVEL (BC 0201) so: Seguem algum exerccios onde estas tcnicas so aplicadas. INTEGRAO POR SUBSTITUIO DE VARIVEL INTEGRAO POR PARTES INTEGRAO POR DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS INTEGRAO UTILIZANDO SUBSTITUIES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMTRICAS
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  • EXERCCIO 01 Calcular Soluo Seja u = x 2 + 1 Logo: 2x dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: 03 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO
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  • EXERCCIO 02 Calcular Soluo Seja u = x + 9 Logo: dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: 04 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO
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  • EXERCCIO 03 Calcular Soluo Seja u = sen(x) Logo: cos(x) dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: 05 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO
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  • EXERCCIO 04 Calcular Soluo Ento Seja u = Logo: = du Antes da substituio, a funo dada ser escrita de outra forma. 06 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO
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  • Assim, a integral dada pode ser escrita como: Ou seja: outra maneira de chegar aqui sem manipular a funo dada fazendo (pgina 08): 07 de37
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  • EXERCCIO 05 Calcular Soluo Seja u = x 1 Logo: dx = du Se u = x 1 Ento x = u + 1 x 2 = (u+1) 2 x 2 = u 2 + 2u + 1 Assim, a integral dada pode ser escrita como: 08 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO
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  • ou: Portanto: 09 de37
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  • Finalmente: Escrevendo em termos de x: 10 de37
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  • EXERCCIO 06 Calcular Soluo A integral dada deve ser escrita na forma. Seja, portanto: Deste modo: a constante C pode ser includa apenas no final. INTEGRAO POR PARTES Ento:
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  • EXERCCIO 07 Calcular Soluo Seja: Assim: Portanto: 12 de37 INTEGRAO POR PARTES
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  • A ltima integral semelhante original, com a exceo de que x 2 foi substitudo por x. ou: (1) Outra integrao por partes aplicada a completar o problema. Seja: 13 de37
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  • Assim: Portanto: ou: (2) Substituindo (2) em (1) resulta: 14 de37
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  • Portanto: 15 de37
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  • O integrando uma frao prpria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: 16 de37 Determinar EXERCCIO 08 Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fraes prprias
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  • Pela regra do fator (quadrtico) repetido, o fator (x 2 + 2) 2 presente no denominador introduz os termos: Assim, a decomposio em fraes parciais do integrando : Multiplicar os dois lados da equao por (x + 2)(x 2 + 3) 2 17 de37
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  • que resulta: Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta: Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtm-se um sistema de cinco equaes algbricas lineares em 5 incgnitas: 18 de37
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  • A soluo deste sistema resulta: Portanto: 19 de37
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  • Logo: 20 de37
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  • E, finalmente: 21 de37
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  • Sejam as identidades trigonomtricas: Assim, 22 de37 EXERCCIOS 09 INTEGRAO DE POTNCIAS QUADRTICAS DAS FUNES TRIGONOMTRICAS SEN(X) E COS(X)
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  • Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonomtrica: A integral pode ser resolvida fazendo: 23 de37
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  • 24 de37
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  • Soluo EXERCCIO 10 Determinar Seja u = x 2 + 4x 6 Ento: INTEGRAO POR SUBSTITUIO 25 de37
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  • Logo, seja: Assim, Sabe-se que: TABELA Mas: 26 de37
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  • Ento: Portanto: 27 de37
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  • Soluo EXERCCIO 11 Determinar Seja u = x 2 + x + 1 Ento: Na integral original, fazer: INTEGRAO POR SUBSTITUIO 28 de37
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  • Mas: 12 1 INTEGRAO POR SUBSTITUIO ver detalhes na pgina anterior 29 de37
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  • A segunda integral a ser resolvida est (ou pode ser colocada) na forma acima: 2 TABELA onde: 30 de37
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  • Portanto: Ento, finalmente: 31 de37
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  • Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fraes imprprias EXERCCIO 12 Determinar O primeiro passo realizar uma diviso no integrando e fazer aparecer fraes prprias. frao prpria 32 de37
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  • DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS 33 de37
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  • A = 2 B = 1 C = 7 34 de37
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  • Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fatores lineares no repetidos EXERCCIO 13 Determinar Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x1 )( x+2 ) e rearranjando resulta: 35 de37
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  • Portanto: E, finalmente: Logo: 36 de37
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  • crdito da figura de fundo Catedral de Saint-Nazaire Carcassonne, Frana 37 de37
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