UNIDADE I – INTEGRAIS

Referencial didático para o desenvolvimento da

disciplina de Cálculo Integral

Professora: Maricélia Soares.

Curso: Engenharia de Produção

SÃO PAULO

2014/2

LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIESUNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI

UNIDADE 1 – INTEGRAIS

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. É

o resultado de um trabalho coletivo, que envolveu muitos personagens, durante um longo período de tempo, mas, em

particular, tem grande embasamento nas contribuições de Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm

Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na Matemática, Química, Física Clássica, Física Moderna,

Economia, dentre outras áreas. O estudante de Cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da Matemática,

como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O Cálculo tem inicialmente três "operações-

base", ou seja, possui áreas fundamentais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de

diferenciais.

1. Introdução2

Fon

te: h

ttp:

//w

ww

.cep

a.if

.usp

.br/

e-ca

lcul

o/m

enu

A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas linhas com

interpretações distintas: trata-se de um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo de áreas

sob uma curva.

Inicialmente trataremos da integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação, e suas técnicas

operatórias. Em seguida, veremos a integral definida – que é a integral propriamente dita – e sua relação com o

problema de determinar a área de uma figura plana, depois o Teorema Fundamental do Cálculo, que é peça chave de

todo Cálculo Diferencial e Integral, pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. Finalmente,

estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes e abordaremos as integrais impróprias.

2. Integral Indefinida

2.1. Definição 1:

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I

(ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo x I, temos F´(x) = f(x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre

algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f,

entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.

Exemplos:

a) F(x) = é uma primitiva da função = x2, pois F´(x) = .

b) As funções G(x) = , H(x) = também são primitivas da função = x2, pois G´(x) = H´(x) =

.

c) A função F(x) = , onde c é uma constante, é primitiva da função .

d) A função F(x) = é uma primitiva da função f(x) = em qualquer intervalo que não contém a origem, pois,

para todo x 0, temos F´(x) = f(x).

Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais de uma primitiva. Temos, então,

os seguintes teoremas associados.

3

2.2. Teoremas

Teorema 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c

também é primitiva de f(x).

Demonstração: Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F´(x) = f(x).

Assim: G´(x) = (F(x) + c)´ = F´(x) + 0 = f(x), o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).

Teorema 2: Se f´(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.

Demonstração: Sejam x, y I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo

Teorema do Valor Médio, existe z (x, y), tal que:

.

Como f´(z) = 0, vem que f(y) – f(x) = 0 ou f(y) = f(x). Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é

constante em I.

Teorema 3: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) –

F(x) = c, para todo x I.

Demonstração: Se H(x) = G(x) e F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos F´(x) = G´(x) = f(x),

para todo x I. Assim:

H´(x) = G´(x) – F´(x) = f(x) – f(x) = 0, para todo x I.

Pelo Teorema 2, existe uma constante c, tal que H(x) = c, para todo x I.

Logo, para todo x I, temos G(x) – F(x) = c.

Pelo Teorema 3, concluímos que, se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma G(x) =

F(x) + c, onde c é uma constante.

Assim, o problema de determinar as primitivas de f se resuma em achar uma primitiva particular.

Exemplo: Sabemos que [sen(x)]´= cos(x). Assim, F(x) = sen(x) é uma primitiva da fundação f(x) = cos(x) e toda

primitiva de f(x) = cos(x) é da forma G(x) = sen(x) + c, para alguma constate c.

2.3. Definição 2:

Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada

integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

4

De acordo com esta notação, o símbolo é chamado sinal de integração, f(x) é função integrando e f(x) dx

integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx

que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.

Da definição de integral indefinida, decorre que:

(i)

(ii) representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).

A figura abaixo mostra uma família de primitivas da função integrando f(x) = x + 1. Observamos que o valor da

constante, para a figura apresentada assumiu os valores c = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

2.4. Propriedades da integral definida

Sejam f e g: I , funções contínuas em I, e k um número real não nulo. Então, são válidas as seguintes

propriedades operatórias:

5

(i) =

(ii) =

(iii) =

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

2.5. Tabela de Integrais Imediatas

O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função nós

queremos descobrir a função. Podemos obter uma tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das

funções elementares.

1. 9.

6

2.

3. (m é constante -1)

4.

5.

6.

7.

8.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos calcular a integral indefinida de

algumas funções.

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

Exercícios de Fixação

Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para

conferir os resultados.

1)

2)

6)

7)

7

3)

4)

5)

8)

9)

10)

Nos exercícios de 11 a 27, calcular as integrais indefinidas.

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = , que satisfaça F(1) = 1.

29) Determinar a função f(x) tal que .

30) Encontrar uma primitiva da função , que se anule no ponto x = 2.

31) Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade , determinar .

8

32) Encontrar uma função f tal que e f(0) = 2.

33) Utilizando a tabela de integrais, obtenha as integrais indefinidas.

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

e) Resposta:

f) Resposta:

g) Resposta:

h) Resposta:

i) Resposta:

j) Resposta:

k) Resposta:

l) Resposta:

m) Resposta:

n) Resposta:

o) Resposta:

p) Resposta:

q) Resposta:

r) Resposta:

s) Resposta:

9

3. Métodos ou Técnicas de Integração

3.1. Método de Integração por Substituição ou Mudança de Variável

Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função aplicando uma das fórmulas básicas depois

de ser feita uma mudança de variável. Esse processo é análogo à Regra da Cadeia para derivação e pode ser justificado

como segue.

Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) = f(x).

Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos

considerar a função composta Fg.

Pela Regra da Cadeia, temos:

, isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) g´(x).

10

Temos, então: . (1)

Fazendo u = g(x), du = g´(x) dx e substituindo (1), vem:

Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja mais

simples. Para melhor ilustrar, vamos resolver alguns exemplos.

Exemplos:

a)

Primeiramente fazemos a mudança de variável:

Consequentemente:

Assim temos:

b)

Primeiramente fazemos a mudança de variável:

Consequentemente:

Assim temos:

c)

Vamos resolver esta integral pelo método da substituição, apesar de haver outras formas possíveis de resolução.

Primeiramente fazemos a mudança de variável, de forma conveniente: .

Consequentemente:

Assim temos:

d)

Primeiramente fazemos a mudança de variável, de forma conveniente: .

11

Consequentemente:

Assim temos:

Exercícios de Fixação

01. Resolver as seguintes integrais usando o método da substituição:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

n)

o)

p)

q)

12

h)

i)

j)

k)

l)

m)

r)

s)

t)

u)

v)

x)

y)

z)

02. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição:

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

e) Resposta:

f) Resposta:

g) Resposta:

h) Resposta:

i) Resposta:

13

j) Resposta:

k) Resposta:

l) Resposta:

m) Resposta:

n) Resposta:

o) Resposta:

p) Resposta:

q) Resposta:

r) Resposta:

s) Resposta:

3.2. Método de Integração por Partes

O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos de diferentes tipos de funções,

tais como f(x) = xcos(x), que é um produto entre um polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este

método, a diferencial dada deve ser pensada como um produto udv. A parte chamada dv deve ser algo que possamos

integrar e a parte chamada u deve ser usualmente algo que é simplificado por derivação.

A técnica de integração por partes é oriunda da regra do produto para derivação, conforme segue.

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I.

Temos:

[f(x) g(x)]´ = f(x) g´(x) + g(x) f´(x) ou

f(x) g´(x) = [f(x) g(x)]´ g(x) f´(x).

Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos:

ou ainda,

14

Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do

desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem ser representadas por uma única constante c, que introduziremos

no final do processo.

Na prática, costumamos fazer:

u = f(x) du = f´(x) dx

e

v = g(x) dv = g´(x) dx.

Substituindo em (1), vem:

Vejamos alguns exemplos.

 

Exemplos:

a)

Antes de resolver essa integral, queremos salientar que a escolha de u e dv são feitas convenientemente. Nesse

exemplo, escolhemos u = x e dv = . Temos:

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

Calculando a última integral, vem:

15

(1)

u = x du = dx

dv = v =

Observamos que, se tivéssemos escolhido u = e dv = x dx, o processo nos levaria a uma integral mais

complicada.

b)

Temos que:

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

c)

Temos que:

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

d)

Temos que:

16

u = x du = dx

dv = v =

u = ln(x) du = dx

dv = v =

u = 3x + 7 du = 3 dx

dv = cos(x) dx v =

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

e)

Temos que:

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

f)

Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes.

Temos que:

Aplicamos a fórmula da integração por partes , obtemos:

A integral deve ser resolvida também por partes. Fazemos:

17

u = 2x – 1 du = 2 dx

dv = ex dx v =

u = x2 du = 2x dx

dv = sen(x) dx v =

u = x du = dx

dv = cos(x) dx v =

Aplicamos a fórmula da integração por partes novamente, obtemos:

3.2.1. Cálculo da Integral de ln(x)

Seja a integral . Pelo método de Integração por Partes, temos:

Fazendo as devidas substituições em du vvudv u , obtemos:

3.2.2. Curiosidade

Ao utilizarmos o método de integração por partes em uma integral do tipo , sempre devemos

escolher quem será a função u entre as funções f(x) e g(x) do integrando acima. Surge então a pergunta: "Como fazer

esta escolha?"

Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções u e dv através do

acróstico LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical

Monthly, a qual descreveremos abaixo.

Considere o acróstico com as funções elementares abaixo:

18

LogarítmicasInversas de

TrigonométricasAlgébricas Trigonométricas Exponenciais

u = ln(x) du =

dv = dx v =

As letras do acróstico LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é a

de escolher como função u, a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial  dv,

escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E.

Vejamos alguns exemplos:

a) Na integral , escolhemos u = x (algébrica) e dv = cos(x) dx (trigonométrica), pois no acróstico

acima, A precede T.

b) Na integral , escolhemos u = ln(x) (logarítmica) e dv = x2 dx (algébrica), pois L precede A no

acróstico acima.

c) Na integral , escolhemos u = arcsen(x) (inversa trigonométrica) e dv = x dx (algébrica), pois I

precede A no acróstico acima.

Procure exercícios de integração por partes e verifique a validade deste acróstico.

Exercícios de Fixação

01. Resolver as seguintes integrais usando a técnica da integração por partes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

19

k)

l)

m)

n)

o)

02. Calcule as integrais, utilizando o método de integração por partes:

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

e) Resposta:

f) Resposta:

g) Resposta:

h) Resposta:

i) Resposta:

j) Resposta:

k) Resposta:

l) Resposta:

m) Resposta:

n) Resposta:

o) Resposta:

20

3.3. Método de Integração por Frações Parciais

3.3.1. Fatores Lineares

Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma função do tipo ,

onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q 0, são facilmente integráveis por substituição ou por partes, ou mesmo

diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculado ou mesmo impossível por

estes métodos. Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais.

O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples, de modo

que a integração seja, necessariamente, mais simples. A decomposição é feita a partir da fatoração do polinômio  q(x)

que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais.

Um polinômio em x é uma função da forma: a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an, onde os coeficientes são constantes, a0

0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo.

Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à variável nos

dois polinômios são iguais.

Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores

lineares reais, da forma ax + b e fatores de segundo grau, irredutíveis, da forma ax2 + bx + c.

Uma função , onde f(x) e g(x) são polinômios, é chamada de fração racional. Se o grau de f(x) for

menor que o grau de g(x), F(x) é uma fração racional própria; caso contrário, F(x) é denominada imprópria.

Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional

própria. Por exemplo:

21

Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de frações mais

simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma:

e , onde n Z.

Podemos ter quatro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam.

Vejamos cada caso individualmente.

Caso 1: Fatores Lineares Distintos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria,

corresponde a uma fração parcial da forma , onde A é uma constante a determinar.

Exemplos:

a) Calcular a integral .

Primeiramente, fatoramos o denominador: .

Fazemos (1)

Temos então que:

1 = A(x + 2) + B(x – 2)

1 = Ax + 2A + Bx – 2B

1 = x(A + B) + (2A – 2B) (2)

Agora, vamos determinar as constantes A e B. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (2) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da

igualdade, podemos montar um sistema de equações: .

Resolvendo o sistema, obtemos: A =  e B = .

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no

segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = -2. Assim,

substituímos estes valores em (2), obtendo:

Para x = 2: 1 = 4A + 0 A = Para x = -2: 1 = 0 – 4B B =

22

Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral.

Agora, vamos reescrever a integral como:

Pelas propriedades dos logaritmos, temos: .

b) Calcular a integral .

Primeiramente, fatoramos o denominador: .

Fazemos (1)

Temos então que:

x + 1 = A(x – 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2) (2)

x + 1 = (A + B + C)x2 + (A + 3B – 2C)x – 6A (3)

Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da

igualdade, podemos montar um sistema de equações: .

Resolvendo o sistema, obtemos: A = , B = e C = .

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no

segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 2 e x = –3. Assim,

substituímos estes valores em (2), obtendo:

Para x = 0: 1 = -6A A =

Para x = 2: 2 + 1 = 10B B =

Para x = -3: -3 + 1 = 15C C =

Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral.

Agora, vamos reescrever a integral como:

23

Pelas propriedades dos logaritmos, temos: .

Caso 2: Fatores Lineares Repetidos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria,

corresponde a uma soma de n frações parciais da forma , onde A1, A2, ..., An são

constantes a determinar.

Exemplos: 

a) Calcular a integral .

Primeiramente, fatoramos o denominador: .

Veja que o fator que se repete é (x – 1), pois (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1).

Como aparece duas vezes, fazemos: (1)

Temos então que:

3x + 5 = A(x – 1)2 + B(x + 1)(x – 1) + C(x + 1) (2)

3x + 5 = (A + B)x2 + (C – 2B)x + (A – B + C) (3)

Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da

igualdade, podemos montar um sistema de equações: .

Resolvendo o sistema, obtemos: A = , B = e C = 4.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no

segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. Assim,

substituímos estes valores em (2), obtendo:

Para x = -1: 2 = 4A A =

24

Para x = 1: 8 = 2C C = 4

Ainda falta determinar a constante B. Para isso, atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já

determinados para A e C. Vamos supor x = 0:

5 = A – B + C

5 = 2

1 B + 4

B =

Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral.

Agora, vamos reescrever a integral como:

Pelas propriedades dos logaritmos:

b) Calcular a integral .

Veja que neste caso, o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador.

Fazemos a divisão:

Fazemos: (1)

Temos então que:

(2)

25

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no

segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são  x = 0, x = 1 e x = –2. Assim,

substituímos estes valores em (2), obtendo:

Para x = 0: 2 = -2A A = -1

Para x = 1: -3 = 3B B = -1

Para x = -2: 18 = 6C C = 3

Agora, vamos reescrever a integral como:

Pelas propriedades dos logaritmos:

26

3.3.2. Fatores Quadráticos Irredutíveis

No item 3.3.1 sobre Integração por Frações Parciais, vimos a técnica para integrar quando o integrante é uma

fração racional e o denominador é um fator linear. Vamos ver agora como proceder se o denominador da fração

racional do integrante é um fator quadrático irredutível.

Caso 3: Fatores Distintos do Segundo Grau

A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2  + bx + c que aparece uma vez no denominador de uma

fração raciona própria, corresponde a uma fração parcial da forma , onde A e B são constantes a

determinar.

Exemplo:

a) Calcular a integral .

Primeiramente, fatoramos o denominador: .

Fazemos: (1)

Temos então que:

(2)

(3)

Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em

ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações .

Resolvendo o sistema, obtemos: A = 1, B = 0 e C = –1.

Agora, vamos reescrever a integral como:

27

Completando quadrado, para o denominador do integrando, temos que: .

Assim:

Fazemos integração por substituição, onde: , então:

A integral: . Dessa forma, concluímos:

Retornando à variável x:

Caso 4: Fatores Repetidos do Segundo Grau

A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2  + bx + c que aparece n vezes no denominador de uma

fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma:

,

onde A1, A2, ..., An e B1, B2, ..., Bn são constantes a determinar.

Exemplo

28

a) Calcular a integral .

Primeiramente, fatoramos o denominador.

Veja que o fator que se repete é o . Como aparece duas vezes, fazemos:

(1)

Temos então que: (2)

(3)

Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos

os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: .

Resolvendo o sistema, obtemos: A = 0, B = 1, C = –1 e D = –1.

Agora, vamos reescrever a integral como:

Para a primeira integral, completamos quadrado e, para resolver as duas integrais, aplicamos o método de integração

por substituição, encontrando:

29

Exercícios de Fixação

01. Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por frações parciais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

30

3.4. Integração por Substituição Trigonométrica

Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral, devemos identificar qual o melhor dos

métodos a aplicar. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses

métodos.

No caso de integração por substituição trigonométrica, um integrante que contenha uma das formas:

(I)

(II)

(III)

sendo a uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional, pode ser transformado numa integral

trigonométrica mais familiar, utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável.

Para os três casos acima, utilizamos as identidades trigonométricas:

(1)

(2)

(3)

Vamos ver cada um desses casos separadamente.

Caso I: Para uma integral que envolva um radical do tipo  , fazemos a mudança de variável de x para θ.

A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo:

31

Temos que:

Assim,   substitui   por  , pois:

Pela identidade trigonométrica dada em (1), obtemos: .

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos: , justificando a

substituição.

Caso II: Para uma integral que envolva um radical do tipo  , fazemos a mudança de variável de x para θ.

Observando o triângulo retângulo:

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos: , justificando a substituição.

Caso III: Para uma integral que envolva um radical do tipo  , fazemos a mudança de variável de x para θ.

Observando o triângulo retângulo:

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos: , justificando a substituição.

Com base nos resultados obtidos, podemos montar uma tabela:

32

Temos que:

Assim,   substitui   por  , pois:

Pela identidade trigonométrica dada em (2), obtemos: .

Temos que:

Assim,   substitui   por  , pois:

Pela identidade trigonométrica dada em (3), obtemos: .

Veja que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo, o radical ficará sempre

no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica:

Caso I: Usa-se x = asen(θ); logo, o radical aparece no cateto adjacente a θ.

Caso II: Usa-se x = atg(θ); logo, o radical aparece na hipotenusa.

Caso III: Usa-se x = asec(θ); logo, o radical aparece no cateto oposto a θ.

Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método.

Exemplos:

a) Calcule a integral .

Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Assim, escrevemos:

Assim:

33

Devemos agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo,

devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima.

Assim: .

Portanto, reescrevendo a integral e fazendo as substituições adequadas, temos:

b) Calcular a integral .

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

  Assim, escrevemos:

Assim:

Vamos, agora, reescrever o resultado em termos da variável original x.

Observando o triângulo, encontramos as relações:

34

Assim:

Como c é uma constante arbitrária e ln(a) também é uma constante, podemos reescrever o resultado como:

c) Calcular a integral .

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

 

Assim, escrevemos:

Assim:

Vamos reescrever o resultado em termos da variável original x.

Observando o triângulo encontramos as relações: .

35

Assim:

d) Calcular a integral .

Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

Assim, escrevemos:

Assim:

Agora, reescrevemos o resultado em termos da variável original x.

Observando o triângulo retângulo, encontramos a relação: , assim:

e) Calcular a integral .

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

 

Assim, escrevemos:36

 

Assim:

Reescrevendo o resultado em termos da variável x e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo,

fazemos: .

Assim:

f) Calcular a integral .

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

 

Assim, escrevemos:

37

Assim:

Integrando cos2(θ), obtemos:

Agora, representamos o resultado em termos da variável original x.

Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações: .

Assim:

g) Para ilustrar o uso desse método, vamos determinar a equação da tractriz, que é uma curva definida pela trajetória de

um objeto arrastado ao longo de um plano horizontal por um fio de comprimento constante quando a outra extremidade

do fio se move ao longo de uma reta no plano. A palavra tractriz provém do latim tractum, que significa draga. Vamos

considerar um plano formado por eixos ortogonais xy e o objeto comece no ponto (a, 0) com a outra extremidade do fio

na origem. Se esta se move para cima ao longo do eixo y:

38

 

Quando x = a, y = 0 e c = 0, temos: que é a equação da tractriz.

Se as extremidades do fio movem-se para baixo no eixo y, então uma outra parte da curva é gerada.

Se girarmos essas duas partes em torno do eixo y, a superfície resultante será uma pseudo-esfera, com forma de uma

“corneta dupla”, conforme figura abaixo.

Exercícios de Fixação

39

O fio será sempre tangente à curva e o comprimento da tangente entre o eixo

y e o ponto de contato será sempre igual a a.

O coeficiente angular da tangente é dado pela fórmula:

Separando as variáveis e usando o resultado do exemplo (a), temos:

01. Resolver as seguintes integrais usando a técnica de substituição trigonométrica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

Tabela: Identidades Trigonométricas

1.

2.

14. 27.

28.

40

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

Referências Bibliográficas

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[02] BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002,

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integração. 6ª Ed. Revista e Ampliada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 448 p.

[04] GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2001.

[05] STEWART, James. Cálculo. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.

[06] SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. 2ª Ed. São Paulo: Makron Books, 1995.

42