apostila de cálculo diferencial e integral 1

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ

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Apostila de Cálculo

Diferencial e Integral 1

2013

Professora Gabriele Granada Veleda




1 Continuidade de uma função real

Definição: Dizemos que uma função real é contínua em 𝑥 = 𝑎 se, e somente se,

as seguintes condições forem satisfeitas:

1) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) existe;

2) 𝑓(𝑎) existe;

3) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Exemplo: Verifique se as funções 𝑓(𝑥) = {𝑥2−9

𝑥+3, 𝑒 𝑥 ≠ −3

4, 𝑠𝑒 𝑥 = −3 e 𝑔(𝑥) =

1

𝑥−2 são

contínuas, em seguida, faça um esboço dos gráficos.

DE MANEIRA GERAL, PODEMOS DIZER QUE UMA FUNÇÃO É CONTÍNUA SE

CONSEGUIRMOS DESENHAR SEU GRÁFICO SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL.




2 Exercício 1: Observe os gráficos a seguir e diga se eles representam um função contínua ou descontínua. Caso seja descontínua, indique o ponto de descontinuidade e justifique sua resposta utilizando as três condições para que uma função seja contínua.

a) b)

c) d)

e) f)




3 Exercício 2: Verifique se as funções a seguir são contínuas em seu domínio.

a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1

2, 𝑠𝑒 𝑥 = 1

b) 𝑔(𝑥) = {|𝑥 − 3|, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3

1, 𝑠𝑒 𝑥 = 3

c) ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5

d) 𝑗(𝑥) = √𝑥2 − 3

e) 𝑞(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1

𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

Tipos de descontinuidade

Podemos caracterizar a descontinuidade de uma função em:

Descontinuidade removível: quando lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎), a descontinuidade pode ser

removida redefinindo a função de modo a termos lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Descontinuidade essencial (ou de salto): quando lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) não existir, ou seja, o

gráfico da função possui um salto.

Exercício 3: Classifique a descontinuidade das funções dos exercícios 1 e 2. Em

caso de descontinuidade removível, redefina a função de modo a torná-la contínua.




4 O problema da velocidade instantânea

Suponha que uma bola é solta do topo de um prédio de 450m de altura. Determine

a velocidade da bola após 5 segundos de queda.

Para resolvermos este problema, precisamos lembrar da descoberta de Galileu: a

distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do

tempo de queda. Chamando o tempo de t, a distância percorrida s depende do tempo

de queda, logo, uma função que descreve a situação é 𝑠(𝑡) = 4,9𝑡2.

Após 5s, a distância percorrida será 122,5m, pois 𝑠(5) = 4,9 ∙ (5)2 = 122,5.

Temos, então que a velocidade média (vm) da bola é calculada pela equação:

𝑣𝑚 =𝑠(𝑡)

𝑡=

122,5

5= 24,5

Isto é, a velocidade média da bola é de 24,5m/s.

Porém, não é isto o que o problema pede, o problema pede para calcular a

velocidade no instante 5s (chamada de velocidade instantânea). Para isso, podemos

calcular a velocidade média sobre um breve intervalo de tempo, por exemplo, do tempo

de 5s até 6s, e irmos diminuindo este intervalo, conforme mostra a tabela a seguir.

Tempo

inicial (ti)

Tempo

final (tf)

Intervalo de tempo

(∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖)

𝑠(𝑡𝑖) 𝑠(𝑡𝑓) 𝑣𝑚 =

𝑠(𝑡𝑓) − 𝑠(𝑡𝑖)

∆𝑡

5 6 1 122,5 176,4 53,9

5 5,1 0,1 122,5 127,449 49,49

5 5,05 0,05 122,5 124,9623 49,24

5 5,01 0,01 122,5 122,9905 49,049

5 5,001 0,001 122,5 122,549 49,0049

Quanto mais encurtamos o tempo de queda da bola, mais a velocidade média se

aproxima de 49m/s, ou seja, conforme t se aproxima de 5, a velocidade média se

aproxima de 49. Essa segunda ideia nos remete a ideia de limite, portanto, podemos

escrever: lim𝑡𝑓→𝑡𝑖

𝑣𝑚 = 49, ou ainda, lim𝑡𝑓→𝑡𝑖

𝑠(𝑡𝑓)−𝑠(𝑡𝑖)

∆𝑡= 49. Para deixarmos o limite




5 em função de ∆𝑡 basta lembrarmos que ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖, 𝑡𝑖 = 5 e 𝑡𝑓 = 5 + ∆𝑡, e o

limite fica:

lim∆𝑡→0

𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5)

∆𝑡= 49

Vamos resolver o limite e verificar que o seu valor é 49.

lim∆𝑡→0

𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5)

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

4,9 ∙ (5 + ∆𝑡)2 − 4,9 ∙ (5)2

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

4,9 ∙ (25 + 10∆𝑡 + ∆𝑡2) − 122,5

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

122,5 + 49∆𝑡 + ∆𝑡2 − 122,5

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

49∆𝑡 + ∆𝑡2

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝑡(49 + ∆𝑡)

∆𝑡= lim

∆𝑡→049 + ∆𝑡⏞

0

= 49

Exercícios

1. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 40pés/s, e sua altura em pés

após t segundos é dada por 𝑦 = 40𝑡 − 16𝑡2.

a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quanto 𝑡 =

2 e dura:

i) 0,5𝑠 ii) 0,1𝑠 iii) 0,05𝑠 iv) 0,01𝑠

b) Encontre a velocidade instantânea no tempo 2 segundos.

2. O deslocamento (em pés) de uma certa partícula movendo-se em linha reta é

dado por 𝑠(𝑡) = 𝑡3

6⁄ , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade instantânea

da partícula no tempo 1 segundo.




6 Construindo a reta tangente em um ponto de um gráfico no Geogebra

Vamos construir a ideia de reta tangente no Geogebra:

1. Digite no campo “entrada” a função 0.5x^2 e tecle enter.

2. Marque o ponto A(2,2) e o ponto B(4,8).

3. Crie uma reta perpendicular ao eixo x que passe por B e uma reta perpendicular

ao eixo y que passe por A. Marque a intersecção das duas retas (ponto C) e apague-

as.

4. Crie os segmentos AC, BC e AB. Renomeie o segmento AC para ∆𝑥 e a reta

BC para ∆𝑦.

5. Crie uma reta que passe pelos pontos A e B.

6. Crie a reta 𝑦 = 0, marque o ponto D (4,0) e o ponto E, intersecção desta reta

com a reta criada no item anterior.

7. Marque o ângulo DÊA e o ângulo CÂB.

8. Crie a variável m, definida da seguinte forma: 𝑚 =∆𝑦

∆𝑥.

9. Movimente o ponto B para próximo do ponto A e, utilizando uma calculadora,

calcule o a tangente do ângulo CAB, para auxiliar, complete a tabela a seguir.

Medida de CAB tg(CÂB) Medida de (DÊA) Valor de m

Agora, responda as perguntas:

a) O que ∆𝑥 e ∆𝑦 representam? Como é possível calculá-los.

b) O que acontece quando aproximamos o ponto B do ponto A?

c) Por que o ângulo CÂB é igual ao ângulo DÊA? Por que tg(CÂB) é igual a m?

d) Conforme ∆𝑥 tende a zero, para qual valor a imagem da função se aproxima?

e) Reescreva o item e como o limite de uma função e verifique se esse limite

tende ao valor que você respondeu no item anterior.




7 Determinando a inclinação da reta tangente em um ponto do gráfico

Observe o gráfico de uma função na figura

ao lado.

Note que que é possível criar uma reta que

passa pelos pontos P e Q e, pelas propriedades

do triângulo retângulo, temos que 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

𝑥2−𝑥1

define o valor da tangente da inclinação da reta

em relação ao eixo x.

Para determinarmos a reta tangente no ponto P, basta aproximarmos o ponto

𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), ou seja, o valor de 𝑥2 será muito próximo (tende) de

𝑥1 e, com isso 𝑓(𝑥2) se aproxima de 𝑓(𝑥1), de modo que podemos determinar a reta

tangente no ponto P pelo limite:

lim𝑥2→𝑥1

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1

Como o ponto P é fixo, podemos deixar o limite acima em função de 𝑥1, que é um

valor conhecido, para isso, basta tomarmos ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, o que segue, 𝑥2 = 𝑥1 +

∆𝑥. Logo, quando 𝑥2 tende a 𝑥1, segue que ∆𝑥 tende a zero, e o limite pode ser

reescrito da seguinte forma:

lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)

∆𝑥




8 Exemplo: Dada a parábola 𝑦 = 𝑥2,

a) Ache a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (2;4) e (3,9); (2;4) e

(2,1;4,41); (2;4) e (2,01; 4,0401)

b) Determine a inclinação da reta tangente no ponto no ponto (2;4)

c) Faça um esboço do gráfico e da reta tangente no ponto (2;4)

a) 𝑚1 =9−4

3−2= 5; 𝑚2 =

4,41−4

2,1−2=

0,41

0,1= 4,1;

𝑚3 =4,0401−4

2,01−2=

0,0401

0,01= 4,01

b) lim∆𝑥→0

𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

(2+∆𝑥)2−4

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

4+2∙2∙∆𝑥+∆𝑥2−4

∆𝑥=

lim∆𝑥→0

∆𝑥(4+∆𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→04 + ∆𝑥⏟

0

= 4

c)




9 Exercícios

1. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 4 no

ponto (𝑥1, 𝑦1).

2. Ache uma equação da reta tangente à curva do exercício 1 no ponto (2,6).

Lembre-se que a equação geral de uma reta é dada pela equação 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1).

3. Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um paciente após

uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos cardíacos após t minutos. Quando

os dados na tabela são colocados em um gráfico, a inclinação da reta tangente

representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto.

t (min) 36 38 40 42 44

Batimentos cardíacos 2530 2661 2806 2948 3080

O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta secante. Use os

dados da tabela para estimar a taxa de batimentos cardíacos após 42 minutos usando

a reta secante entre 𝑡 = 42 e os outros tempos dados. Quais são as suas conclusões?




10 Derivada

Observe que no problema da velocidade instantânea e na determinação da

inclinação da reta tangente a ideia de construção é semelhante: escolhemos um ponto

𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) diferente do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), dado no problema e aproximamos Q de

P, modo a diminuir a distância entre os valores do domínio, isto é, fazemos 𝑥2 tender a

𝑥1. Chamando a diferença entre 𝑥2 e 𝑥1 de ∆𝑡 (∆𝑡 = 𝑥2 − 𝑥1), segue que 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑡,

e a resposta ao problema proposto é obtida resolvendo o seguinte limite:

lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)

∆𝑥

Este limite, por ser usado na resolução de diferentes problemas, pode ser dito

especial, e por isso, recebe o nome de derivada.

Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12.

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

3(𝑥 + ∆𝑥)2 + 12 − (3𝑥2 + 12)

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

3𝑥2 + 6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2 + 12 − 3𝑥2 − 12

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑥(6𝑥 + ∆𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→06𝑥 + ∆𝑥⏟

0

= 6𝑥

Portanto, a derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥.

Definição: A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu valor

em qualquer número 𝑥 do domínio de f seja dado por

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

se esse limite existir.

O SÍMBOLO 𝑓′ FOI INTRODUZIDO PELO MATEMÁTICO LAGRANGE, NO SÉCULO XVIII.

EXISTEM OUTRAS NOTAÇÕES : 𝑦′, 𝑑𝑦

𝑑𝑥,

𝑑

𝑑𝑥(𝑦), E REPRESENTAM A DERIVADA DA

FUNÇÃO 𝑦 EM RELAÇÃO À VARIÁVEL 𝑥 Leithold, 1994.




11 Observação: Se 𝑥1 for um determinado número do domínio de 𝑓, podemos calcular

a derivada neste ponto utilizando a seguinte equação:

𝑓′(𝑥1) = lim𝑥→𝑥1

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1)

𝑥 − 𝑥1

Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 no ponto 2.

Como foi calculado no exemplo anterior 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, aplicando 𝑥 = 2, segue que

𝑓′(2) = 6 ∙ 2 = 12

Utilizando a fórmula da observação acima, podemos realizar o seguinte cálculo:

𝑓′(2) = lim𝑥→2

(3𝑥2 + 12) − 24

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

3𝑥2 − 12

𝑥 − 2

= lim𝑥→2

3(𝑥2 − 4)

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2= lim

𝑥→23(𝑥 + 2) = 3 ∙ 4 = 12

Exercícios:

1. Calcule a derivada das funções dadas:

a) 𝑦 = 8 − 𝑥3 d) 𝑦 = 7𝑥 + 3 g) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥

b) 𝑦 = 𝑥3 e) 𝑦 = 3𝑥2 + 4 h) 𝑦 =1

𝑥

c) 𝑦 = √𝑥 f) 𝑦 = 3𝑥2 − 6 i) 𝑦 = −2

2. Ache a equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado.

a) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5; (−2,7) c) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥3; (−2,4)

b) 𝑦 =6

𝑥; (3,2) d) 𝑦 = −

8

√𝑥; (4, −4)




12 Derivabilidade e continuidade

O processo do cálculo da derivada é chamado derivação. Assim, a derivação é a

operação de derivar uma função 𝑓′ de uma função 𝑓.

Se uma função possui uma derivada em 𝑥1, a função será derivável em 𝑥1. Uma

função será derivável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número

deste intervalo aberto.

Exemplo 1: A derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. Como o domínio

de 𝑓(𝑥) são todos os reais e 6𝑥 pode ser calculado para qualquer número real, dizemos

que 𝑓(𝑥) é derivável em todos os reais.

Exemplo 2: A derivada da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 é a função 𝑔′(𝑥) =1

2√𝑥−3. Note que

o domínio de 𝑔(𝑥) é o intervalo [3, +∞[, no entanto, não podemos calcular 𝑔′(3), pois

o valor do denominador seria zero, logo, a função 𝑔(𝑥) não é derivável em todo o seu

domínio, porém, 𝑔(𝑥) é derivável no intervalo (3, +∞).

Exemplo 3: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥1

3⁄ , resolva o que se pede.

a) Ache 𝑓′(𝑥).

b) Mostre que 𝑓′(0) não existe, mesmo que 𝑓(𝑥) seja contínua nesse número.

c) Faça um esboço do gráfico de 𝑓.




13 Teorema: Se uma função 𝑓 for derivável em 𝑥1, então 𝑓 será contínua em 𝑥1.

Demonstração:

Observe que, pelo teorema, segue que toda função é derivável é necessariamente

contínua. Entretanto, conforme o exemplo 3, nem toda função contínua é derivável.




14 Exercícios:

1. Calcule a derivadas das funções a seguir e diga o que é possível concluir.

a) 𝑦 = 3 b) 𝑦 = −3 c) ) 𝑦 = 5 d) ) 𝑦 = −√2

e) 𝑦 = 𝑥 f) 𝑦 = 𝑥 + 2 g) 𝑦 = 𝑥 − 4 h) 𝑦 = −𝑥

i) 𝑦 = 𝑥2 j) 𝑦 = 𝑥2 − 1 k) 𝑦 = 𝑥2 + 2 l) 𝑦 = 𝑥2 − 7

2. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 3 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 9, calcule as derivadas indicadas e

diga se há alguma regularidade:

a) 𝑓′(𝑥) b) 𝑔′(𝑥) c) 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) d) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′

e) 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) f) [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ g) 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) h) [𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)]′

i) 𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) j) [𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)]′ k) 𝑔′(𝑥)/𝑓′(𝑥) l) [𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥)]′




15 Teoremas de derivação de funções contínuas

Considerando 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) funções contínuas e uma constante real c, são

válidos os seguintes teoremas:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1

3. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑐

4. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + ℎ′(𝑥)

5. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) − ℎ′(𝑥)

6. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + ℎ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

7. 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)⇒ 𝑓′(𝑥) =

𝑔′(𝑥)∙ℎ(𝑥)−ℎ′(𝑥)∙𝑔(𝑥)

[ℎ(𝑥)]2 , com ℎ(𝑥) ≠ 0

8. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥

9. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥

Exercícios:

1. Calcule a derivada das funções a seguir utilizando os teoremas e, em seguida,

confirme o resultado calculando pela definição.

a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 5

b) 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥2

c) ℎ(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 + 1

2. Calcule a derivada das funções indicadas utilizando os teoremas de derivação.

a) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥

b) 𝑦 = (𝑥2 + 1)3(𝑥 − 4)

c) 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥

d) 𝑓(𝑥) =1

2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

e) 𝑤(𝑥) =5𝑥

(2𝑥)3 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥

3. Determine 𝑓′(1) se 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 1.




16 4. O limite abaixo representa o limite de uma função em um ponto a, ou seja,

𝑓′(𝑎). Determine f(x) e o valor de a.

limℎ→0

√(4 + ℎ) + 2

ℎ

5. Dada a função 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, mostre que 𝑓′(𝑥) =𝑥

√𝑥2+1.




17

Derivada da função composta

10. Regra da cadeia: 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(ℎ(𝑥)) ∙ ℎ′(𝑥)

Exemplo 1: Seja 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 5𝑥2 + 4)10, calcule 𝑓′(𝑥).

Exemplo 2: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) calcule 𝑓′(𝑥).

Exercícios:

1. Utilize a regra da cadeia para derivar as seguintes funções:

a) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 2)2

b) 𝑔(𝑡) = √2𝑡2 + 5𝑡

c) ℎ(𝑥) =3

(2𝑥−5)2

2. Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação 𝑠(𝑡) = √4 + 3𝑡2,

onde s é dado em metros e t em segundos.

a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2].

b) Determine a velocidade do corpo no instante t = 2s.




18 Outros teoremas de derivação de função contínua

11. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑔(𝑥) ∙ ln 𝑐 ∙ 𝑔′(𝑥)

Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2+𝑥

Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = √3𝑠𝑒𝑛𝑥+15

12. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑔(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)

Exemplo: 𝑓(𝑥) =𝑒cos(𝑥

2⁄ )+1

𝑠𝑒𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥2

2⁄ )]

13. 𝑓(𝑥) = log𝐶 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)∙ln 𝑐

Exemplo: 𝑓(𝑥) = log3(5𝑥2 + 3𝑥)

14. (𝑥) = 𝑙𝑛 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)

Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑛2 (5𝑥−1

4−3𝑥))

apostila de cálculo diferencial e integral 1

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