Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

números e funções

Caixa de papel

Objetivo da unidadeDiscutir com o aluno o conceito de volume aliado ao comportamento de funções.

Guia do professor

SinopsePara a realização deste experimento, os alunos, trabalhando em grupo, construirão no mínimo seis caixas de papel e tentarão descobrir qual delas tem maior volume. Só depois, fazendo os cálculos, verificarão se sua intuição estava certa. Por fim, eles usarão os dados coletados para esboçar um gráfico do volume obtido em função da medida x do corte usado na confecção da caixa, sendo novamente instigados a responder: qual o maior volume possível?

ConteúdosPolinômios – Funções polinomiais, Gráficos e Propriedades; �

Geometria espacial – Problemas de otimização; �

Unidades de medida. �

ObjetivoDiscutir com o aluno o conceito de volume aliado ao comportamento de funções.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoExperimento: � Qual o Cone de Maior Volume?;Software: � Otimização de Cones.

Caixa de papel

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Introdução

Este experimento lida com a otimização de embalagens, peças, recipientes etc, assunto que é uma preocupação frequente na indústria de maneira geral. Além disso, o interesse da Matemática por esse tipo de questão já rendeu, e ainda rende, discussões muito frutíferas em diversas áreas. O problema pode ser resumido em duas variações:

Obter o maior volume interno possível, consumindo uma quantidade fixa 1. de material para as superfícies;Construir um objeto com determinado volume, consumindo a menor quan­2. tidade possível de material para as superfícies.

Na maioria das vezes o objetivo é minimizar gastos, mas há outros fatores utilizados para determinar o formato de uma embalagem. Por exemplo:

O encaixe da embalagem na mão do consumidor pode ser mais importante �

do que ter o maior volume interno. Imagine uma embalagem cilíndrica (como a lata de óleo, por exemplo), cujo raio seja tão grande que dificulte seu manuseio;A aparência e a diferenciação em relação a outras marcas podem compen­ �

sar o maior custo relativo. Embalagens com curvas suntuosas aumentam o custo de produção, mas se diferenciam das marcas concorrentes;Transporte e empilhamento podem trazer outros custos mais relevantes; �

Outros fatores? Promova uma discussão breve com os alunos. �

Neste experimento vamos otimizar o volume a partir de uma quantidade fixa de material da embalagem. Ao final, propomos outras formas de tratar da otimização de volumes.

Motivação

O experimento aborda uma aplicação importante de otimização que envolve uma etapa bastante prática e simples de construção. Com conteúdos mate­máticos de Ensino Médio (gráfico de polinômio e conceito de máximo de uma função) e usando materiais simples, simularemos situações de pro­dução de volume a partir de placas, lâminas ou tábuas. Podemos mencionar, por exemplo, o esforço da indústria automobilística para conseguir o maior o espaço interno de um carro, com a mesma quan­tidade de material para a lataria e vidros. Outro exemplo semelhante é o da otimização do espaço interno de um forno.

fig. 1 Interior de um carro valorizando o espaço interno.

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A folha A4 faz parte de uma família de tamanhos de folha de papel na qual a razão entre o lado maior e o menor é uma aproximação para

√2.

Etapa 1 Construção

Observe com os alunos que x deve ser menor que a metade do menor lado da folha (lado de medida a) e maior que zero. Isto é:

0 < x < a/2

Se x = a/2 ou x = 0, não há volume algum. Professor, estimule a cooperação entre os alunos de cada grupo e valorize o capricho. Nesta etapa os alunos de cada grupo devem classificar em ordem crescente ou decrescente as caixas de acordo com a percepção visual de cada um. É importante que os alunos registrem o valor de x nas caixas corres­pondentes.

O experimento

Comentários iniciais

O objetivo é encontrar um corte apropriado de medida x para obter, por dobra duras e colagens simples, o maior volume possível de uma caixa sem tampa usando a folha de papel A4.

A folha A4 tem medidas dos lados padronizadas em 210 mm e 297 mm de lado. O experimento usou medidas 21 cm e 30 cm, que é uma boa aproxi­mação. Aqui usamos as medidas em milímetros, mas o professor deve orientar os alunos a medir de fato os lados da folha que eles forem usar.

fig. 2

fig. 3

x

x

x

xx

x

x

x

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Cuidado professor: o gráfi co acima inclui valores de x tais que V < 0. A interpretação de volume não permite valores negativos e isso já deve estar claro pela prática, que impede valores de x > a/2. Os pontos tabelados pelos alunos vão fornecer valores onde V > 0, ou seja, na “montanha” do gráfi co. Quanto mais pontos, melhor fi ca o gráfi co. Procure não ligar os pontos, pois o importante é que os alunos percebam que há um ponto de máximo. Esse é o ponto da otimização do volume da caixa.

Agora vamos encontrar o ponto de máximo analiticamente usando cál­culo diferencial, que não é assunto para os alunos de Ensino Médio, mas o incluímos aqui para sua comodidade, professor. A função derivada de V, pela regra de diferenciação do produto, é:

V = −2 · (b− 2x) · x− 2 · (a− 2x) · x+ (a− 2x) · (b− 2x)

Etapa 2 Medida

O volume da caixa é o produto:

V = A ·B · C

onde A, B e C são as medidas dos lados do paralelepípedo. No caso da construção feita a partir de uma folha de lados a e b, temos:

A = a− 2x

B = b− 2x

C = x

em que podemos identifi car x como sendo a altura da caixa. Assim, concluímos que o volume da caixa é:

V = (a− 2x) · (b− 2x) · x

Este é um polinômio de terceiro grau, cujas raízes são x = 0, x = a/2 e x = b/2. Agora, vamos usar os valores de a e b. A4 é um tamanho padronizado de folha de papel que tem lados de medida 210mm e 297mm, e área aproximada de 1/16m2. Com esses valores, o gráfi co de V em termos de x, no intervalo 0 < x < b/2, está na figura 4.

� ∤ ��⁵

�� �� �� �� ��� ���

� ∤ ��⁵

� ∤ ��⁵

� ∤ ��⁵

� ∤ ��⁵

� ∤ ��⁵

fig. 4

Curiosidade

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Problemas de bagagemVamos apresentar um problema parecido como o desenvolvido acima que envolve a otimização de um volume sob algumas restrições. A diferença entre eles é que agora precisamos encontrar o máximo de uma função quadrática. Apresentamos esse problema como contraponto de encontrar o valor máximo de uma função cúbica . Algumas companhias de transporte estabelecem limites para peso e dimensões das embalagens que podem ser transportadas. Elas formularam uma regra a partir do maior comprimento da embalagem em uma dimensão e do perímetro das outras duas: o objeto a ser transportado deve ter o maior comprimento menor que um valor L e o perímetro das outras dimensões deve ser menor que P . A razão para que a limitação seja dessa forma talvez seja a simplicidade de se medir a embalagem ou o objeto com uma fita métrica, mesmo que os objetos não sejam caixas. A empresa deve ter calculado o volume máximo que essas regras permi tiriam. Qual é o maior volume que pode ser transportado com essas restrições? No caso de um paralelepípedo de lados de comprimento A, B e C, supondo A ≥ B ≥ C, as regras seriam escritas assim:

A ≤ L e 2(B + C) ≤ P

Vamos substituir A e C na expressão do volume:

V = ABC ≤ LB(P2−B) = −LB2 + 1

2LPB

Assim, temos que o volume é uma função quadrática da variável B. O ponto máximo desta função acontece para

Bm =P4

e Vm = 116LP 2

Se L = 2m e P = 2m, poderíamos ter um paralelepípedo de compri­mentos 2, ½ e ½ metros nos lados e volume de 0,5 m³.

que pode ser simplificada para:

V = 12 · x2 − 4 · x · (a+ b) + a · b

Nos pontos de máximo e mínimo de V a função derivada deve ser nula. Assim, obtemos uma equação quadrática:

12 · x2 − 4 · x · (a+ b) + a · b = 0

cuja solução é:

x =a+ b−

√b2 − a · b+ a2

6

A outra solução vai fornecer volume negativo e não nos interessa. Substi­tuindo os valores para a folha A4, temos aproximadamente, as medidas da caixa em milímetros (mm):

x = 40, 4; A = 129, 2; B = 216, 2

e o volume otimizado em milímetros cúbicos (mm³) é arredondado para

V = 1, 13 · 106

Vamos lembrar que um mililitro (ml) é um milímetro cúbico (mm³). Assim, o volume da caixa otimizada comporta 1130 ml, isto é 1,13 litros! O valor encontrado no arquivo do experimento é aproximadamente 1,14 litros pois as medidas usadas foram um pouco diferentes das usadas aqui. A caixa de papel feita no experimento não tem muita firmeza para rece­ber líquidos, mas podemos verificar que nela caberia um pouco mais 1,13 litros pois as suas superfícies laterais facilmente se curvam com a pressão do líquido, aumentando sua capacidade de volume.

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Variações

No experimento proposto, a folha de papel A4 teve quatro quadrados de lado x retirados ou cortados. Esses quadrados são úteis para colar a caixa, mas representam também algum desperdício no procedimento de cortar. Uma proposta alternativa é cortar dois retângulos, do meio da folha, de lados x e 2x.

Neste caso o volume da caixa é dado por

A = a/2− x

B = b− 2x

C = 2x

Mas as companhias tentam simplificar ainda mais o procedimento de decidir as limitações sobre os volumes a serem transportados. Atualmente, a grande maioria das companhias aéreas cobra tarifa extra para transportar bagagem se houver excesso de peso ou se a soma das três medidas equivalentes a largura, comprimento e largura exceder um determinado valor. Por exemplo, peso maior que 23 kg ou A+B + C ≥ 157 cm. Podemos mostrar que, nesse caso, o maior volume que satisfaz essa limi­tação é um cubo!

Proposta de fechamento

Como está no experimento, os alunos devem confrontar suas percepções visuais com as medidas. O professor pode aproveitar a oportunidade do gráfico plotado no quadro negro para construir com os alunos a expressão polinomial do volume V acima e iniciar o estudo de gráficos de funções cúbicas ou polinomiais de maneira geral.

Na folha do aluno foi posta a pergunta: “Existe uma caixa com um volume maior do que o dado por vocês? Se sim, construam essa caixa”. Achamos essa pergunta pertinente porque é pouco provável que os grupos façam uma caixa otimizada na primeira etapa. Porém, depois de organizar os dados na forma de um gráfico, eles poderão estimar melhor qual medida de x resultaria na caixa de maior volume e também conseguirão construí­la mais facilmente.

fig. 5 Recorte na folha de papel A4.

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Bibliografia

Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; Machado, Nilson José, Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 8, (3a Edição) pg 177­H. São Paulo: Atual Editora ltda, 1983.

Marinho, Fundação Roberto. Telecurso 2000 – Matemática – 2º grau. Volume 3 ∙ Aula 64. Disponível em http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/t2k.php?cod=_matematica_mat2g64. Acesso em 20 de janeiro de 2009.

Nrich Maths Org, Cubboid challenge, Mathematics Enrichment. Disponível em http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=6399. Acesso em 20 de janeiro de 2009.

O que entendemos por altura da caixa será A.

O experimento pode ser feito com as mesmas etapas acima. O valor obtido para o volume otimizado neste recorte é o mesmo obtido no recorte dos quadrados nas pontas da folha. Mesmo considerando que há duas possibilidades de retirar o retângulo: pelo lado de maior (veja as fotos figura 5, 6 e 7) ou de menor comprimento. O volume máximo também é de aproximadamente 1,13 litros.

fig. 6

fig. 7

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

Secretaria de Educação a Distância

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresSamuel Rocha de Oliveira e Leonardo Barichello

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto

Fotografia do interior de um carroGary Lerude