aula15 - circuitos elétricos - capítulo 6 - solução de problemas(1-2014)

07/05/2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMACURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - CIRCUITOS ELÉTRICOS

Nilsson, J.W., Riedel, S.A. Circuitos Elétricos, 8 ed. PEARSON Prentice Hall, São Paulo, 2009, 564p.



AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. Sumário do Capítulo 6 (REVISÃO)

6.1 Indutor

6.2 Capacitor

6.3 Combinações de indutância e capacitância em série e em paralelo

6.4 Indutância mútua

6.5 Um exame mais detalhado da indutância mútua





AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. 6.1 – Indutor (REVISÃO)

A indutância é um elemento de circuito cujo valor (L) temcomo unidade o Henry (H):

� � � ��

�- tensão em Volts (V)�- indutância em Henry (H)- corrente em Ampères (A)- tempo sem segundo (S)

� � �. �

� � �. 1��

��

� � �� ⇒

Potência no indutor:

��

� ��

Energia no indutor:

��

� � 12 ��

� � �� ⇒

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AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. 6.2 – Capacitor (REVISÃO)

� � � ��

A capacitância é um elemento de circuito cujo valor (C) tem comounidade o Farad (H).

�� !

� 1� � ��

�� 1� � �� !

��

� � �. � � �� "!Potência:

� � � 1� � �� 0!�

��

A tensão nos terminais do capacitor:

⇒

Energia:

� � ��

� � 12��

��

�





AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. 6.3 – Combinações de indutância e capacitância... (REVISÃO)

‒ Indutores:LIGAÇÃOEM SÉRIE

LIGAÇÃO EM PARALELO

�$% � & �'(

')* 1�$% � & 1

�'

(

')*

‒ Capacitores:

LIGAÇÃO EM SÉRIE

LIGAÇÃO EM PARALELO

1�$% �& 1

�'

(

')*�$% � & �'

(

')*

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AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. 6.4 – Indutância mútua (REVISÃO).

Método de convenção do ponto – define a formacom os sinais algébricos das tensões auto-induzidase mutuamente induzida aparecem nos terminais dosindutores com acoplamento magnético.

+�, ��*-* � �*��*�� + . �� 0 Circuito

de entrada ��-� � �� + . ��*�� 0 Circuito

de saída

� � ℘0� �* � 0*� ℘*.�* � 0�0*℘�*�� .�*

��*��

�� 0�� ℘�.*� � 0*0�℘*��* � .*�

�� . � 1. �*��

.*� �.�*� .





AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. 6.5 – Um exame mais detalhado... (REVISÃO).

b) Energia armazenada em enrolamentosmagneticamente acoplados:

a) Cálculo para procedimento #1:- Inicialmente �* � �� 0ou " � 0!;- Aumenta-se a corrente �* de 0 a 5* (" � "*);- Mantendo-se �* � 5*, aumenta-se a corrente ��

de 0 a 5�;

" � 12�*5*� �12 ��5�� 5*5�.*�

b) Cálculo para procedimento #2:- Inicialmente �* � �� 0ou " � 0!;- Inverte-se o procedimento de excitação

dos enrolamentos.

" � 12 �*5*� �12 ��5�� 5*5�.�*

Para acoplamento linear: .*� �.�*� .Equação de energia:

� �! � 12 �*�*� �12 �� .�*��

a) correntes obedecendo as polaridadesmarcadas:

� � � 12�*�*� �12 �� +.�*��

b) corrente em um dos indutores nosentido contrário ao marcado.

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AULA 15 – INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA. Solução de Problemas.

Solução:

PROBLEMA 6.3

Sabe-se que a corrente no indutor de 4 mH da figura ao lado é de 2,5 Apara � 6 0. A tensão no indutor para � 7 08 é dada pela expressão�� 30:;<�=>. Faça um gráfico para �� e �� para � 7 08.

�? �10<4 �30. 10;<:;<A�� 2,5

�

�� 7,5:;<A

+3 E � 2,5 � 7,5 +:;<�3 � 1

3 � 2,5 � 5 + 2,5:;<�F






Solução: a)

PROBLEMA 6.17

A corrente mostrada no gráfico ao lado é aplicada a umcapacitor de 0,25 µF. A tensão inicial no capacitor é zero.a) Determine a carga no capacitor em � � 30GH.b) Determine a tensão no capacitor em � � 50GH.c) Qual é a energia armazenada no capacitor por essa

corrente.

� � �I��

� � 5. 10<�FPara 0 J t J 10GH:

� � 50. 10;<FPara 10GH J t J 30GH:

I � � 5. 10<��*�LM�

� � 50. 10;<��<�LM*�LM

I � 5. 10< ��2 E � 50. 10;< �

1NI � 2,5. 10< 10. 10;O � � 50. 10;<. 20. 10;O

I � 1,25G�

� � 200. 10;< + 5. 10<�Fb) Para 30GH J t J 50GH:

I �;P�LM! �I �;<�LM! �I <�;P�LM!I �;P�LM! � 1,25. 10;O �

�� 200. 10;< + 5. 10<�P�LM<�LM

��

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PROBLEMA 6.17

IP�LM � 1,25. 10;O � � 200. 10;< + 5. 10<�P�LM<�LM

��IP�LM � 1,25. 10;O � 200. 10;<� + 5. 10< ��

2 IP�LM � 1,25μ� � 0 � 1,25G� � � I �⁄� � 1,25. 10;O

0,25. 10;O � � 5V

� � +300. 10;< � 5. 10<�Fc) Para 50GH J t J 60GH:

I �;O�LM! �I �;P�LM! �I P�;O�LM!

I �;O�LM! � 1,25. 10;O � � +300. 10;< � 5. 10<�O�LMP�LM

��I �;O�LM! � 1G�

�O�LM � 1. 10;O0,25. 10;O � 4>

� � �2�� 0,25. 10;O. 4 �

2� � 2GU






Solução:

PROBLEMA 6.20

Suponha que a energia inicial armazenadanos indutores da figura abaixo seja zero.Determine a indutância equivalente emrelação aos terminais <a,b>. �$%* � 10|| 15 � 25 � 8X

�$%� � �$%*||12 � 4,8X�$%< � 44|| 1,2 � �$%�! � 5,28X�$% � �$%< � 21||4!�$% � 5,28 � 3,36�$% � 8,64X

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PROBLEMA 6.29

Para o circuito da figura ao lado, calcule:a) a energia inicial armazenada nos

capacitores;b) a energia final armazenada nos

capacitores;c) a energia total fornecida à caixa preta;d) a porcentagem da energia armazenada que

é fornecida à caixa preta; ee) O tempo, em milissegundos, necessário

para fornecer 5 GU à caixa preta.

�+�Y

�+ �Z

�

+

�Y

�+ �[

Do problema anterior (P6.28) sabe-se que acorrente resultante que entra no terminalpositivo da caixa preta ( �\ ) é�\ � 50:;�P��GF para � ] 0 e �[ 0! � 15V,�Z 0 � +45V e �Y 0 � 40V.

a)

� � � 12 . �[ �[ � � 12 . �Y �Y � � 1

2 . �Z �Z �

�[ � 12,5G^, �Y � 1 � 1,5 G^ � 2,5G^�Z � 50G^






PROBLEMA 6.29

�+�Y

�+ �Z

�

+

�Y

�+ �[� 0 �12 . 12,5. 10;O 15 � � 12 . 2,5. 10;O 40 �

�12 . 50. 10;O +45 �

� 0 � 54,03GUb)

�[ � + 10_12,5� 50. 10;O:;�P�[�` � 15�

��[ � +200 :;�P�[

12,5 E � 15�[ � 16 :;�P�� + 1 � 15 � 16:;�P�� + 1

�Z � +4:;�P�� + 41 �Y � 80:;�P�� + 40Usando-se o mesmo cálculo, obtêm-se:

�[ � → ∞ � +1> �Z � → ∞ � +41>�Y � → ∞ � +40>

� � → ∞ � 12 . 12,5. 10;O +1 � �12 . 2,5. 10;O +40 � � 1

2 . 50. 10;O +41 � � 44,03GU

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PROBLEMA 6.29

�+�Y

�+ �Z

�

+

�Y

�+ �[c) usando o mesmo raciocínio do cálculo do item b, obtém-se: �\ � 100:;�P��VA energia total fornecida pode ser calculada integrando a potência entregue à caixa preta para � ] 0:

� � � �� \�\ ��c

�c

�

� � 5. 10;< � :;P�� c�

� 10GU� � � 100:;�P�� . 50. 10;O:;�P��!��c

�

d) A variação de energia na caixa preta é (item c):

∆� � � � � 0 + � � → ∞ � 10GU∆� % � 10 54,03!⁄ . 100% � 18,5%

e) usando o cálculo da energia desenvolvido (item c):

� �! � 5. 10;< � :;P��[ �`��

� � � 10;P 1 + :;P�� 5. 10;OU:;P�� 0,5 � � ln 2! 500 � 1,39=H⁄






PROBLEMA 6.42

Dois enrolamentos acoplados magneticamente são enrolados em um núcleo não-magnético.A auto-indutância do enrolamento 1 é 250 mH, a indutância mútua é 100 mH, oacoplamento magnético é 0,5 e a estrutura física dos enrolamentos é tal que ℘** � ℘��.a) Determine �� e a razão 0* 0�⁄ do número de espiras.b) Se 0* � 1.000, qual é o valor de ℘** e ℘�� ?

Solução:

�� .�1��* � 0,1�

0,5�. 0,25! � 160=X

Dados: �* � 0,25X, . � 0,1=X, 1 � 0,5a) . � 1. �*��

0*0� � �* ��⁄ � 250 160⁄ � 1,25

℘** � �*0*� � 0,250

1.000!� � 0,25. 10;O"i/Fb)

℘�� 0�� 0,16

800!� � 0,25. 10;O"i/F

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Solução:

PROBLEMA 6.47

As auto-indutâncias dos enrolamentos do circuito ao ladosão �* � 25=X e �� 100=X. Se o coeficiente deacoplamento for 0,8, calcule a energia armazenada nosistema em Joules quando: a) �* � 10F e �� 15F; b)�* � +10F e �� +15F; c) �* � +10F e �� 15F; ed) �* � 10F e �� +15F;

. � 1. �*�� 0,8 0,025 . 0,1! � 40=Xa) �* � 10F e �� 15F " � 0,5.0,025. 10 � � 0,5.0,025. 15 � � 0,04.10.15 � 18,5 J

b) �* � +10F e �� +15F " � 0,5.0,025. +10 � � 0,5.0,025. +15 � � 0,04. +10 . +15 � 18,5Jc) �* � +10F e �� 15F " � 0,5.0,025. +10 � � 0,5.0,025. 15 � � 0,04. +10 . 15 � 6,5Jd) �* � 10F e �� +15F " � 0,5.0,025. 10 � � 0,5.0,025. +15 � � 0,04.10. +15! � 6,5J

" � 12�*5*� �12 ��5�� 5*5�.�*






Solução:

PROBLEMA 6.48

O coeficiente de acoplamento do problema anterior éaumentado para 1,0.a) Se �* � 10 A, qual será o valor de �� que resultará emenergia armazenada zero?b) Há qualquer valor fisicamente viável de �� que possafazer a energia armazenada ser negativa?

a) . � 1,0 0,025. 0,1 � 50 mH

� � � 12�*�*� �12 �� .�*�� 0

50�� 500�� 1250 � 0�� + 10

2 k 102

�+ 25 � +5F

b) Considerando a possibilidade de " 6 0Tem-se: 50�� 500�� 1250 6 0�� 10�� 25 6 0

http://www.youtube.com/watch?v=68PtGAhelLQ

A parábola tem a = 50 (concavidade para cima) evértice com ordenada + ∆ 4. ` � 0⁄ . Logo nãoexiste valor para �� que satisfaça " 6 0.

→ ∆� 10 2⁄ � + 25 � 0

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