Aula 9: 29 e 30/03/2012

Casos especiais de escoamento 8.1. Sistemas no isotrmicos 8.2. Dimetro equivalente 8.3. Dimetro econmico 8.4. Grfico de Karman TA 631 OPERAES UNITRIAS I *

CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO8.1. Sistemas no isotrmicosOs mtodos para clculo do fator de atrito descritos at agora so aplicveis aos casos onde no h transferncia de calor (aquecimento ou resfriamento) entre a parede e o fluido.No entanto, quando um fluido aquecido ou resfriado durante o escoamento, existe uma alterao nas suas propriedades fsicas e o perfil de velocidades muda com o gradiente de temperatura existente no sistema. *

Sistemas no isotrmicosEste fenmeno mais pronunciado nos lquidos cujas propriedades reolgicas variam sensivelmente com a temperatura. Existem teorias bastante elaboradas para o efeito da transferncia de calor sobre a distribuio de velocidades, porm para clculos de engenharia pode-se utilizar um mtodo simples tanto para gases como lquidos. *

Descrio do mtodo:a) Calcular o nmero de Reynolds com valores de parmetros reolgicos e densidade temperatura mdia. A temperatura mdia a mdia aritmtica das temperaturas mdias do fluido na entrada e sada da tubulao.Newtoniano:Lei da potncia: n*

b) Com o valor do nmero de Reynolds e com o parmetro de rugosidade do tubo possvel obter o fator de atrito (Fanning ou Darcy) temperatura mdia aritmtica.Diagrama de Moodyou Diagrama de Dodge-MetznerFluido Newtoniano Reg. TurbulentoFluido de Lei da Potncia Reg. Turbulento*

c) O fator de atrito obtido corrigido mediante uma correlao da viscosidade que leva em conta o tipo de processamento trmicoonde:*Valido para k, ndice de consistncia do fluido.

Valor da constante B para a correo do fator de atrito em sistemas no-isotrmicos*

Tipo de processo trmicoBRegime laminarRe < 2100Regime turbulentoRe > 2100Aquecimento0,380,17Resfriamento0,230,11

EXERCCIO:Considere um fluido lei da potncia escoando com vazo de 152 m3/h em um tubo liso de dimetro interno de 2,5. A temperatura do fluido na entrada do tubo de 20C e, aps passar por um sistema de aquecimento, alcana 50C na sada do tubo. Na parede do tubo a temperatura de 60C. Obtenha o fator de atrito para este sistema.Dados: 17Brix (considere que o Brix no varia com T)

8.2. Dimetro Equivalente em tubos no cilndricosAt agora vimos o clculo das perdas por atrito em tubos de seo cilndrica, no qual o lquido ocupa totalmente a rea de escoamento. Em tubos ou canais cuja seo no circular ou onde o escoamento ocorre em dutos parcialmente cheios, se o escoamento turbulento e o fluido newtoniano, as tcnicas anteriormente descritas podem ser usadas, apenas se usa o dimetro equivalente. O dimetro equivalente definido, tradicionalmente, como 4 vezes o raio hidrulico.*

Por sua vez, o raio hidrulico pode ser definido como:rea da seo transversal de escoamento Permetro molhadoPortanto:O permetro molhado a poro da parede numa seo transversal do tubo, na qual existe contato com o fluido.*

Diferentes situaes de clculo do dimetro equivalente:Tubo circular cheio*

Tubos circulares concntricos (rea anular):Tubo de seo quadrada:*

Tubo circular cheio at metade= D*

Nesse caso, a energia de atrito total calculada atravs da equao de Fanning usando o dimetro equivalente:* A velocidade nas equaes a velocidade mdia efetiva, calculada sem usar o dimetro equivalente:O fator de atrito ser obtido do diagrama de Moody*

Por exemplo, no caso de lquido dentro do anel existente entre dois tubos concntricos, a velocidade efetiva :*

Exemplo: Dimetro equivalenteDeseja-se saber qual ser o tipo de tubulao que dar menor perda de carga para a distribuio de ar: seo circular ou quadrada? Suponha rea de seo com 1 m2; modelo newtoniano; relacione as perdas de carga atravs de: *

Agora, precisamos encontrar os dimetros das sees*Supondo inicialmente que a velocidade seja a mesma o fator de frico muito similar, temos

Supondo uma rea de seo de 1m2

Seo quadradaA = L21 = L2L = 1mD eq = 1mSeo circularA = R21 = R2R = 0,5641 mD = 1,128 m*

A energia perdida por atrito por unidade de massa em uma tubulao com seo circular , geralmente, 12% menor que na seo quadrada.*

8.3 VELOCIDADE E DIMETRO ECONMICOA escolha do dimetro da tubulao deve levar em considerao os parmetros econmicos e a disponibilidade de dimetros dos tubos comerciais. Na escolha do dimetro, dois fatores so importantes:O custo da tubulao a ser instalada (custos fixos ou depreciao do investimento inicial). Este custo aumenta a medida que se escolhe dimetros maiores.O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no bombeamento do fluido diminui com o aumento do dimetro da tubulao (custos operacionais).*

Custo totalCusto da tubulaoCusto de bombeamentoDimetroFigura: Determinao do dimetro timo A soma dos custos fixos mais os operacionais apresenta um valor mnimo que denominado dimetro econmico, aquele que minimiza os custos totais de uma tubulao.*

$/ano por metro de tubulao

D timo

O dimetro econmico pode ser determinado atravs de duas metodologias:1. Atravs de equaes obtidas da derivao da equao resultante da soma dos custos fixos e dos operacionais. Este mtodo exige dados reais de tubulaes e a obteno de equaes, porm fornece o verdadeiro valor do dimetro timo. No caso de sistemas complexos de alto custo, este mtodo o mtodo a ser seguido.2. Atravs da velocidade aconselhvel ou velocidade econmica. Este mtodo adequado para pequenas e mdias instalaes e ser o mtodo que usaremos nesta disciplina.*

Obteno do dimetro econmico atravs da equao de custos mnimosSoluo para fluidos newtonianos:Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.Soluo para fluidos newtonianos, da lei da potncia e plsticos de BinghamDarby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum economic pipe diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 11-21.Soluo para fluidos Herschel-BulkleyGarcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for pumping Herschel-Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food Process Engineering, 8, 117-136.*

Obteno do dimetro econmico atravs da velocidade econmicaUsa-se a velocidade aconselhada para um dado regime de escoamento, considerando a viscosidade ou a densidade. Com essa velocidade calcula-se o dimetro. Este mtodo se baseia no fato de que as velocidades de fluidos que escoam em tubos com dimetros econmicos, esto dentro de uma estreita faixa de valores. Esses valores de velocidade variam em funo da densidade, quando o escoamento turbulento e da viscosidade, quando o regime laminar.*

Tabela: Valores de velocidade econmica para tubos com dimetro igual ou inferior a 4 polegadas.Escoamento LaminarEscoamento TurbulentogualeoLquido viscoso*

(cP) 101001000 v (m/s)10,3 - 0,80,1 - 0,24

(kg/m3 )0,121,2128001200v (m/s)12,5 - 15,55,5 - 7,73,2 - 4,01,6 - 2,00,79 - 1,0

Escolhida a velocidade aconselhvel atravs da tabela anterior, para um fluido de densidade ou viscosidade conhecidas, o dimetro econmico ser obtido pela expresso:Aps o clculo do dimetro econmico, se consulta o catlogo de tubulaes para determinar a dimenso real do tubo. O dimetro escolhido corresponde a um dos dimetros-padro e gera a velocidade efetiva.*

Regra prtica para a determinao do dimetro timo (vlido para linhas de recalque): A partir do dimetro econmico calculado, procura-se em tabelas de tubulaes comerciais o valor do dimetro interno mais prximo. No caso das linhas de recalque, pode-se escolher o valor do dimetro interno igual ou inferior ao dimetro econmico. No caso de linhas de suco devemos usar outro critrio, pois a perda de carga na suco crtica e precisamos escolher dimetros maiores que o dimetro econmico. E, tambm, linhas de comprimento com o menor comprimento possvel.*

Exemplo: Dimetro econmico

Deseja-se transportar leo de soja a uma vazo de 1,72 litros/s.

Qual dimetro de tubulao deve ser empregado?

Qual a velocidade real do sistema?Dados: = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3 = 0,0336 kg/m.s*

Supondo regime turbulento para o fluido newtoniano, com o auxlio da tabela abaixo podemos estimar uma velocidade econmica de 1,5 m/s.

Deco = 3,82.10-2 m

Deco = 1,5 inO dimetro econmico calculado por: = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3*

(kg/m3 )0,121,2128001200v (m/s)12,5 - 15,55,5 - 7,73,2 - 4,01,6 - 2,00,79 - 1,0

Agora, devemos verificar se nossa suposio inicial (regime de escoamento turbulento) est correta:

Re = Dv/Re > 4000 = regime turbulento

Re = 1620

Regime laminar!

Suposio inicial no satisfeita !

Recalcular como regime laminar !*

Supondo regime laminar para o fluido newtoniano, com o auxlio da tabela abaixo podemos estimar uma velocidade econmica de 0,9 m/s (lembrando que 0,0336 kg/m.s = 33,6 cP).Deco = 4,93.10-2 m

Deco = 1,94 inO dimetro econmico calculado por:* = 33,6 cP

(cP) 101001000 v (m/s)10,3 - 0,80,1 - 0,24

Agora, devemos verificar se nossa suposio inicial (regime de escoamento laminar) est correta:

Re = Dv/Re < 2100 = regime laminarAgora, pode-se escolher um dimetro comercial atravs de um catlogo.Re = 1254 Considera-se regime laminar ! Suposio inicial satisfeita !*

*Deco = 4,93.10-2 m

Deco = 1,94 inTubo selecionado, considerando srie 80: Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m

Dnominal = 2 in = 0,05080 m

*Clculo da velocidade real do sistema:

A vazo conhecida e no se altera: Ento, a velocidade real obtida com:Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m Onde, para o clculo da rea usa-se o dimetro interno do tubo comercial selecionado:Velocidade real = 0,903 m/s

Exerccio para fazer em sala e entregar:

Deseja-se transportar um fluido a uma vazo de 3 litros/s.

Qual dimetro de tubulao deve ser empregado?

Qual a velocidade real do sistema?Dados: = 1200 kg/m3 = 10 cP*

*Tabela: tubos comerciais

8.4. Grfico de Karman (fluidos newtonianos)Geralmente se conhece a vazo, o dimetro, as caractersticas do fludo ( e ) e do meio (rugosidade) e pode-se calcular Re. Com esses valores obtm-se o fator de frico com o grfico de Moody e se calcula a energia perdida no atrito com a parede.Nmero de KarmanEm certas ocasies a energia utilizada para vencer o atrito viscoso (Ef) pr-determinada e se conhece o dimetro. Neste caso para calcular a vazo se utiliza o mtodo interativo aproveitando o grfico que correlaciona o nmero de Karman () com 1/fD A velocidade calculada com a equao obtida da definio de energia friccional:*

Grfico de Karman*

Exemplo:gua a 43C flui atravs de um tubo de ao comum ( = 4,6.10-5m), de dimetro nominal de 2 e comprimento de 20m. Os manmetros indicam 30 psig no incio da tubulao e 15 psig no final. A diferena de altura 3 m. Aplicando o balano de energia temos:Reagrupando temos:P.1P.2*Eq. 1

Inserindo no nmero de Karman obtemos:*Eq. 2

*Calculando cada termo da equao 2:

29,40 m2/s2103,425 m2/s2371,74589666,67 s/m*Substituindo os valores na equao 2:

Grfico de Karman*

Agora podemos calcular a velocidade mdia atravs da equao 1:Do grfico de Karman:*

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