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Aula Teórica 6: Estabilidade – Critério de Routh
. Critério de estabilidade de Routh
Erro de estado estacionário (Desempenho em Regime Permanente)
Critério de Estabilidade de Routh
É um método fácil que permite saber se o sistema é ou não estável
Estabilidade absoluta
Também permite limitar a fila em que devem estar alguns parâmetros para que o sistema seja estável
Considere a seguinte função de transferência de malha fechada:
)()(1 sHsG
elimina-se qualquer raiz zero0na
Primeiro passo Escreva a equação polinomial
onde
Nota: Se algum dos coeficientes é zero ou negativo em presenca de pelo menos um coeficiente positivo há uma raiz ou raízes imaginárias ou que tem partes reais positivas.
O sistema não é estável e se interrompe o método aqui
Montar a seguinte tabela:
Se todos os coeficientes forem positivosSegundo passo
Terceiro passo Aplicar o critério do Routh que diz
“O número de raízes da equação característica com partes
reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos
coeficientes da 1a coluna da tabela”.
EXEMPLO:
Duas raízes com parte real positiva
Duas mudanças
Sistema Instável
Casos Especiais
a) Primeiro termo de uma linha é nulo:
-Substituir o termo nulo por um número positivo muito pequeno e continuar a completar a tabela ou - Multiplicar o polinômio por (s+1) e construir a tabela
EXEMPLO:
Duas mudanças
Duas raízes com parte real positiva
Sistema Instável
b) Todos os coeficientes em uma linha são nulos:
- O resto da tabela pode ser continuado formando um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e usando os coeficientes da derivada deste polinômio na linha seguinte.
EXEMPLO:
derivando
Uma mudança
Uma raíz com parte real positiva
Sistema Instável
Determinar os valores de K para os quais o sistema de controle de malha fechada abaixo seja estável
A análise do desempenho em regime permanente de um sistema consiste no estudo do comportamento da resposta do sistema quando o tempo tende a infinito.
Desempenho em Regime Permanente
Este comportamento tem muita relação com uma classificação para os sistemas de controle que até agora vocês não conhecem
Podemos classificar um sistema de controle acordo com a sua habilidade para seguir entradas em degrau, rampa, parábola, etc...
OUTRA CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS
Considerando um sistema em malha fechada da forma:
O número de integradores é freqüentemente chamado de TIPO do sistema (N).
EXEMPLOS
43
5)(
2
SSsGH
)4(
5)(
SSsGH
2
5)(S
sGH
)43(
5)(
2
SSSsGH
)43(
5)(
22
SSSsGH
segunda ordem tipo zero
segunda ordem tipo um
segunda ordem tipo dois
terceira ordem tipo um
terceira ordem tipo dois
A especificação que denota o comportamento em estado estacionário ou de regime é
ERRO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
ssE
Dá-se uma ordem para que um motor troque sua velocidade de
EXEMPLO
começa a mudança e ao estabilizar-se de novo a velocidade é
X rpm Y rpm
rpm 5.2Y Qual é Ess?
Voltando para laço fechado
o erro atuante Ea(s) é dado por:
Muito importanteEstá aqui não em outro lugar do laço
Aplicando o teorema do valor final, temos que o erro atuante estacionário ou de regime é dado por:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
A entrada está na expressão do engano por isso este último dependerá entre outras coisas dela
1ro
O erro de regime para uma entrada degrau de magnitude A é:
Entrada Rampa2do
O erro de regime para uma entrada rampa de inclinação A é:
Definindo a constante de erro de velocidade estático (Kv) como:
2do
3ro
Resumindo até aqui
Que relação guarda isto com o tipo de sistema?
)1)........(1)(1(
)1...().........1)(1()(
2321
BSASSTSTS
STSTSTKsGH
baN
Suponha esta função de transferência de um sistema
O valor de N definirá o tipo de sistema
0N
1N
2N
3N
Vejamos como é que o erro ante cada entrada segundo o tipo do sistema
Tipo zero
0N
Um sistema tipo zero segue a uma entrada degrau com um erroe nunca seguirá a uma rampa ou uma parábola
Tipo um
1N
Um sistema tipo um segue com total exatidão a entrada degrau, pode seguir uma entrada rampa com um erro e nunca seguirá uma parábola
Tipo dois
2N
Um sistema tipo dois pode seguir com exatidão uma entrada degrau e uma entrada rampa mas a uma parábola a segue com um erro
Resumo