Q(s) = s5 + s

4 +10s3 + 72s

2 +152s+ 240

Q(s) = s4 + s

3 + 2s2 + 2s+5

Q(s) = s4 + 7s

3 +15s2 + (25+ K )s+ 2K

Sinais e Sistemas Mecatrónicos

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Licenciatura em Engenharia e Arquitetura Naval

Área Científica de Controlo, Automação e Informática Industrial

Semestre de Inverno de 2016/2017

Série de Problemas #6

Critério de Estabilidade de Routh e Análise no Tempo O objetivo desta sexto série de problemas é a análise de estabilidade de sistemas LIT, com

base no critério de Routh e a sua resposta do tempo

Problema I – Critério de Estabilidade de Routh Estude a estabilidade de sistemas com equações características: i) ii)

Como aparece um zero na coluna pivot, pode substituir-se por um valor épsilon, positivo,

arbitrariamente pequeno, que permite completar a tabela e concluir que existem duas mudanças de sinal.

iii)

´ Logo para que todos os elementos da coluna pivot serem positivos temos de ter K<80. O

elemento de s^1 leva a que –K^2-43K+2000 tenha de ser positivo. Como esta quadrática tem duas raízes K=-71.1 e K=28.1 e é positiva entre elas, tem-se que K deve pertencer a ]0, 28.1[

Problema II – Análise no Tempo

Neste problema pretende-se fazer o estudo de um sistema de acostagem, num ponto pré-estabelecido (r), a instalar num pequeno submarino, onde a sua posição é descrita pela coordenada x(t), como ilustrado na figura acima. Considere os valores aproximados de 10 m.s-2 para a aceleração da gravidade e de 1500 m.s-1 para a velocidade do som na água. Tendo em consideração que a função de transferência do sistema é dada por:

X(s)

U(s)=

β

Ms2 +αs

,

onde os sinais U(s) e X(s) representam a transformada de Laplace dos sinais de entrada u(t) e a posição do submarino x(t), respetivamente. Recorrendo a um tanque de testes, encontraram-se os seguintes valores para os parâmetros desconhecidos: M=100 kg, α=10 N.s.m-1e β=50. a) Para uma atuação correspondente a um degrau unitário na entrada u(t), qual a evolução temporal da velocidade v(t) e da posição x(t) do submarino? Esboce as respostas temporais respetivas.

0 x

v

r

Recorrendo a um sistema de controlo, a função de transferência Gaf (s), do sinal de referência R(s) para a posição X(s) passa a ser dada por

Gaf

(s) =0.5K

s2 + 0.1s+ 0.5K

.

b) Obtenha a evolução da posição do submarino na manobra de acostagem no ponto r=20 m, considerando que inicia a manobra em repouso e que se escolheu K=0.005. Esboce a resposta temporal.

c) Comente qualitativamente o desempenho do controlador de acostagem. O sistema ficou muito mais rápido e o erro vai para zero. Leitura Complementar:

• Modern Control Engineering, Cap. 5, 4ª Edição, K. Ogata. • Mechatronics: Electronic Control Systems in Mechanical and Electrical

Engineering, Cap. 12, 5ª Edição, W. Bolton.