critério de routh

J. A. M. Felippe de Souza 10 – Estabilidade

1

10 – Estabilidade

10.1 – Introdução à Estabilidade 3

Definição 10.1 – Estabilidade 3

Definição 10.2 - BIBO-estável 3

Teorema 10.1 – Localização dos polos 4

Exemplo 10.1 5

Exemplo 10.2 7

Exemplo 10.3 10

Exemplo 10.4 9

10.2 – Critério de Routh para estabilidade 11

Tabela de Routh 11

Observação 10.1 (sobre tabela de Routh �� > 0) 13

Observação 10.2 (sobre tabela de Routh multiplicação linhas) 14

Teorema 10.2 (número trocas sinal coluna pivô tabela de Routh) 14

Teorema 10.3 (Critério de Routh para estabilidade) 14

Exemplo 10.5 14

Exemplo 10.6 15

Exemplo 10.7 15

Teorema 10.4 (sobre coeficientes do polinómio característico) 18

Teorema 10.5 (sobre coeficientes do polinómio característico) 18

Exemplo 10.8 18

Exemplo 10.9 19

Exemplo 10.10 20

Exemplo 10.11 21

Exemplo 10.12 22

Exemplo 10.13 23


2

Exemplo 10.14 24

Exemplo 10.15 25

Exemplo 10.16 27

Exemplo 10.17 28

10.3 – Casos especiais no critério de Routh 29

Zero na coluna pivô da tabela de Routh 29 Exemplo 10.18 29

Exemplo 10.19 30

Exemplo 10.20 31

Exemplo 10.21 34

Exemplo 10.22 35

Teorema 10.6 (zeros na coluna pivô) 36

Exemplo 10.23 37

Exemplo 10.24 39

Exemplo 10.25 40

Exemplo 10.26 42

10.4 – Estabilidade Relativa 43

Teorema 10.7 (trocas sinal coluna pivô na estabilidade relativa) 45

Exemplo 10.27 45

Exemplo 10.28 47


3

Estabilidade

10.1 – Introdução Neste capítulo vamos analisar o problema da estabilidade de sistemas lineares e inva-riantes no tempo.

Fig. 10.1 – Diagrama esquemático de um sistema. Definição 10.1:

O sistema é estável se a resposta ao impulso → 0 quando � → ∞. Ou seja, se a saída �(�) do sistema satisfaz

lim�→� �(�) = 0 quando a entrada �(�) = impulso. � Equivalentemente, pode ser dada uma outra definição: Definição 10.2:

O sistema é estável se toda a entrada limitada tem uma resposta limitada. � Sistemas que são estáveis segundo esta definição 10.2 são comummente chamados de BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output). A entrada (input) de um sistema linear e invariante no tempo pode ser decomposta na soma de parcelas correspondentes, cada uma delas, a cada um de seus polos reais ou a cada par de polos complexos conjugados.


4

A saída (output) destes sistemas será também composta de parcelas, chamadas de ‘modos’, que são correspondentes às parcelas com que foi decomposta a entrada (input). Isso se deve ao facto de o sistema ser linear e ao conhecido Teorema da Superposição da matemática. A estabilidade de sistemas pode ser determinada pela localização dos polos do sistema no plano complexo.

Fig. 10.2 – Plano complexo. Cada polo no semiplano da direita (SPD) implica em um ‘modo’ crescente na saída (i.e., a resposta transitória aumenta indefinidamente ou oscila com amplitude crescente para entrada impulso). Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos serão sistemas instáveis. Cada polo no eixo imaginário implica em um ‘modo’ em que a resposta transitória per-manece constante ou oscila com amplitude constante (i.e., para entrada impulso, a resposta transitória não aumenta indefinidamente nem oscila com amplitude crescente, mas entretanto não decresce). Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos poderão não ser sistemas instáveis mas também não serão sistemas estáveis. Finalmente, cada polo no semiplano da esquerda (SPE) implica em um ‘modo’ dominante decrescente. Portanto, é necessário que TODOS os polos do sistema estejam no SPE para que ele seja um sistema estável. Um polo que não esteja no SPE causará um ‘modo’ crescente ou constante e isso arruína a estabilidade tornando-o um sistema instável. Teorema 10.1: Um sistema é estável se, e somente se, ele tem todos os seus polos com parte real negativa, isto é, localizados no semiplano da esquerda (SPE). �


5

Exemplo 10.1: Considere o sistema de 1ªordem � � = a� + �

� = � cuja função de transferência é dada por:

�(�)�(�) = 1

(� − a) . O único polo deste sistema está localizado em

� = a, que pode estar no SPE, no eixo imaginário ou no SPD, dependendo do valor de a (a < 0, a = 0 ou a > 0, respetivamente). Se a < 0 ⇒ polo � � SPE ⇒ Sistema é estável.

Fig. 10.3 – Caso a < 0, sistema é estável. Resposta ao impulso unitário (à esquerda) e resposta ao degrau unitário (à direita).

A figura 10.3 ilustra que neste caso (a < 0) a resposta ao impulso unitário → 0 quando � → ∞ e resposta ao degrau unitário é limitada. Se entretanto a = 0 ⇒ polo � � #$�% $&�'$(á�$% ⇒ Sistema não é nem estável nem instável.


6

Fig. 10.4 – Caso a = 0, sistema não é instável mas também não é estável. Resposta ao impulso unitário (à esquerda) e resposta ao degrau unitário (à direita).

A figura 10.4 ilustra que neste caso (a = 0) a resposta ao impulso unitário é constante (não tende para zero quando � → ∞) e resposta ao degrau unitário é não é limitada. Por outro lado, se a > 0 ⇒ polo � � SPD ⇒ Sistema é instável.

Fig. 10.5 – Caso a > 0, sistema é instável. Resposta ao impulso unitário (à esquerda) e resposta ao degrau unitário (à direita).

A figura 10.5 ilustra que neste caso (a > 0) a resposta ao impulso unitário → ∞ quando � → ∞ e resposta ao degrau unitário não é limitada. �


7

Exemplo 10.2: Considere o sistema de 2ªordem dado abaixo pela sua função de transfe-rência:

�(�)+(�) = 4

�- − 2� + 4

Claramente este sistema possui um par de polos complexos com parte real positiva,

� = 1 ± 0√3

e portanto os polos � SPD, como ilustra a figura 10.6. Logo, este sistema é instável. A figura 10.7 mostra que a resposta ao degrau unitário é oscilatória com amplitudes cada vez maiores, conforme � → ∞.

Fig. 10.6 – Plano complexo. Localização dos polos do sistema no SPD.

Fig. 10.7 – Sistema de segunda ordem com polos complexos no SPD. Resposta ao degrau unitário. Sistema instável. �


8

Exemplo 10.3: Considere agora o sistema de 2ªordem dado abaixo pela sua função de transferência:

�(�)+(�) = 4

�- + 2� + 4

Claramente este sistema também possui um par de polos complexos com parte real negativa, dados por

� = −1 ± 0√3

e portanto os polos � SPE, como ilustra a figura 10.8. Logo, este sistema é instável. A figura 10.9 mostra que a resposta ao degrau unitário é oscilatória que converge (ou estabiliza), conforme � → ∞.

Fig. 10.8 – Localização no plano complexo dos polos do sistema (ambos no SPE).

Fig. 10.9 – Sistema de segunda ordem com polos complexos no SPE. Resposta ao degrau unitário. Sistema estável.

�


9

O sistema de segunda ordem do exemplo 10.3 tem os seguintes parâmetros:

3 = 0,5 e 67 = 2 e portanto 0 < 3 < 1 . É possível se calcular o ‘overshoot’ (Mp = 65,8%) assim como o instante de pico �8 = 5,5787s, o tempo de acomodação, etc. Já o sistema de segunda ordem do exemplo 10.2 tem os seguintes parâmetros:

3 = −0,5 e 67 = 2 e portanto 3 < 0, o sistema nunca estabiliza, não tem ‘overshoot’, instante de pico, tempo de acomodação, etc. Exemplo 10.4: Considere os 4 polinómios característicos <=(�), <-(�), <>(�) e <?(�) abaixo:

<=(�) = �- + 5� + 6

<-(�) = �- − 5� + 6

<>(�) = �- + 5� − 6

<?(�) = �- − 5� − 6 As figuras 10.10, 10.11, 10.12 e 10.13 mostram a localização dos polos destes quatro polinómios.

cujas raízes (polos do sistema) são:

� = −2 � = −3


� = 2 � = 3


� = 1 � = −6


� = −1 � = 6


10

Fig. 10.10 – Localização dos polos de

<=(�): ambos no SPE. Fig. 10.11 – Localização dos polos de

<-(�): ambos no SPD. Fig. 10.12 – Localização dos polos de

<>(�): um polo no SPD e um polo no SPD.

Fig. 10.13 – Localização dos polos de <?(�): um polo no SPD e um polo no SPD.

Nitidamente <=(�) é o único dos quatro polinómios que representa um sistema estável pois é o único dos quatro polinómios que possui os seus polos no SPE. � Resumindo, vimos nesta secção que a estabilidade de sistemas lineares e invariantes no tempo depende apenas da localização dos seus polos, que devem estar todos no SPE para que o sistema seja estável. Logo, a estabilidade não depende da função de transferência toda, mas apenas do

polinómio característico <(�) do sistema. Se pensarmos na equação de estado � � = A� + A�, � = B� + C�, a estabilidade não depende de B, C ou D, mas apenas da matriz A que nos dá o polinómio característico <(�) e os polos do sistema.

-3 -2 0x x


11

10.2 – Critério de Routh para estabilidade O canadiano Edward John Routh (1831-1907) criou, ainda no século XIX, numa época que ainda não havia luz eléctrica, máquina de calcular ou computador, um método matemático para determinar o número de polos no SPD sem ter que calcular os polos. Dessa forma facilitou a determinação da estabilidade do sistema. O método é construído a partir do polinómio característico do sistema, a qual supomos que tem a seguinte expressão:

<(�) = ��7 + �=�7D= + �-�7D- + ⋯ + �7D=� + �7 , (�� > 0) A partir de <(�) começa-se a montar a tabela de Routh conforme ilustra a figura 10.14. A tabela terá n+1 linhas, às quais marcamos, pelo exterior da tabela, com �7, �7D=, �7D-,… �-, �= e ��. A tabela terá as suas duas primeiras linhas formadas pelos coeficientes de <(�), �H , �=,�- … �7D=, �7. Se <(�) é um polinómio ímpar, então o último elemento �7 cairá na segunda linha da tabela (linha �7D=). Se entretanto <(�) é um polinómio par, então o último elemento �7 cairá na primeira linha da tabela (linha �7), e devemos preencher o local vago logo abaixo, na segunda linha, com um zero (ou simplesmente deixamos em branco).

�7 �� - �? �I

�7D= �= �> �J �K

�7D-

�7D>

⋮

⋮

�-

�=

��

Fig. 10.14 – Tabela de Routh (início da formação da tabela). A figura 10.15 ilustra o preenchimento inicial da tabela de Routh para o caso do polinómio ímpar de 5º grau

<(�) = ��J + �=�? + �-�> + �>�- + �?� + �J


12

Esta tabela terá 6 linhas, marcadas exteriormente por �J, �?, �>, �-, �= e ��, e os coeficientes �H , �=, �-, �>, �? e �J do polinómio <(�) são distribuídos nas duas pri-meiras linhas terminando com na segunda linha. A figura 10.16 ilustra o preenchimento inicial da tabela de Routh para o caso do polinómio par de 4º grau

<(�) = ��? + �=�> + �-�- + �>� + �?. Esta tabela terá 5 linhas, marcadas exteriormente por �?, �>, �-, �= e ��, e os coefi-cientes �H , �=, �-, �> e �? do polinómio <(�) são distribuídos nas duas primeiras linhas terminando com na primeira linha.

�J �� - �? �? �� - �?

�? �= �> �J �> �= �> 0

�> �-

�- �=

�= ��

��

Fig. 10.15 – Tabela de Routh: início da for-

mação da tabela para um polinómio ímpar (do 5º grau).

Fig. 10.16 – Tabela de Routh: início da for-mação da tabela para um polinómio par (do 4º grau).

A primeira coluna (onde estão os elementos �H e �=) é chamada de coluna pivô. Os elementos desta coluna são chamados de pivôs. A figura 10.17 ilustra a tabela de Routh como ficará depois de completa. Os elementos seguintes da coluna pivô serão M=, N=, … ,O=, #= e P=. As linhas vão ficando cada vez mais curtas até que as duas últimas linhas terão apenas um elemento. Os elementos não preenchidos no final de cada linha têm o valor de zero, mas normalmente são deixados em branco mesmo.

�7 �� - �? �I

�7D= �= �> �J �K

�7D- M= M- M> M?

�7D> N= N- N> N?

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

�- O= O-

�= #=

�� P=

Fig. 10.17 – Tabela de Routh, depois de completa.


13

O cálculo dos elementos M=, M-, M> … da terceira linha está descrito abaixo. Observe que há uma divisão por �=, o pivô da linha anterior em todos os elementos desta linha.

M= = −1�=

∙ O#� R�� -�= �>S = �=�- − ��>�=

M- = −1�=

∙ O#� R�� ?�= �JS = �=�? − ��J�=

M> = −1�=

∙ O#� R�� I�= �KS = �=�I − ��K�=

O cálculo dos elementos N=, N-, N> … da linha seguinte está também descrito abaixo. Observe que há uma divisão por M=, o pivô da linha anterior em todos elementos desta linha.

N= = −1M=

∙ O#� R�= �>M= M-S = M=�> − �=M-

M=

N- = −1M=

∙ O#� R�= �JM= M>S = M=�J − �=M>

M=

N> = −1M=

∙ O#� R�= �KM= M?S = M=�K − �=M?

M=

Desta forma calcula-se também os elementos das demais linhas e colunas e a tabela de Routh fica completa. Note que, como já foi dito, as linhas vão ficando mais curtas a medida que não há mais elementos a serem calculados. Observação 10.1:

Note que a tabela de Routh foi construída supondo que �� > 0. Se o coeficiente �� do polinómio característico <(�)

<(�) = ��7 + �=�7D= + ⋯ + �7D-�- + �7D=� + �7 não for positivo (i.e., se �� < 0), então pode-se redefinir <(�) com todos os coeficientes do polinómio com os sinais trocados. Desta forma obtém-se �� > 0. � Isto ocorre devido ao facto, como é bem conhecido, que as raízes de um polinómio não se alteram quando todos os seus coeficientes são multiplicados por –1 (ou por qualquer outro valor constante ≠ 0).


14

Observação 10.2:

Para simplificar os cálculos, se desejar, pode-se multiplicar (ou dividir) todos os ele-mentos de uma linha qualquer da tabela de Routh por um número positivo. Isso não irá alterar os resultados a serem obtidos da tabela de Routh. �

A tabela de Routh permite descobrir quantos polos estão localizados no SPD. Teorema 10.2:

O número de trocas de sinal na coluna pivô da tabela de Routh é igual ao número de polos no SPD. �

A determinação do número de polos no SPD pode ser útil mas entretanto não nos dá um resultado para a estabilidade do sistema de imediato. Isso porque um sistema para ser estável tem que possuir todos os seus polos no SPE e, mesmo que o número de troca de sinais seja zero, o que significa que terão zeros polos no SPD, isso não garante estabili-dade pois poderá haver algum polo no eixo imaginário. No entanto, polos no eixo imaginário vão reflectir em zeros na coluna pivô, como será visto um pouco mais adiante. Isso permite escrever o seguinte resultado: Teorema 10.3: (Critério de Routh para estabilidade)

O sistema possui todos os polos no SPE se, e somente se, todos os elementos da coluna pivô da tabela de Routh são positivos. �

Exemplo 10.5:

Polinómio característico de sistemas de 2ª ordem

<(�) = ��- + M� + N

Fig. 10.18 – Tabela de Routh de <(�) = ��- + M� + N. Portanto, a estabilidade de um sistema de 2ªordem é equivalente a

� > 0, M > 0 e N > 0 �

�- � N

�= M

�� N


15

Logo, no caso de sistemas de 2ª ordem é possível determinar a estabilidade apenas olhando para os coeficientes do polinómio característico. Ou seja, quando o sistema é de 2ª ordem, os elementos da coluna pivô da tabela de Routh são os próprios coeficientes do polinómio característico. Exemplo 10.6:

Polinómio característico de sistemas de 3ªordem

<(�) = ��> + �=�- + �-� + �>

�> �� -

�- �= �>

�= �=�- − ��>�=

�� >

Fig. 10.19 – Tabela de Routh de <(�) = ��> + �=�- + �-� + �>.

É fácil de se verificar que os elementos da coluna pivô terão o mesmo sinal (positivo) quando

�� > 0, �= > 0, �- > 0, �> > 0 e

�=�- > ��>

Portanto, um sistema com polinómio característico

<(�) = �> + 5�- + 2� + 1

é estável, mas entretanto um sistema que tenha polinómio característico

<(�) = �> + 2�- + 3� + 8

não é estável. � Exemplo 10.7:

Retornando aos quatro polinómios característicos <=(�), <-(�), <>(�) e <?(�) do exem-plo 10.4:

<=(�) = �- + 5� + 6

<-(�) = �- − 5� + 6

<>(�) = �- + 5� − 6

<?(�) = �- − 5� − 6


16

Já vimos no exemplo 10.4 que <=(�) é o único dos quatro polinómios que representa um sistema estável pois é o único dos quatro polinómios que possui os seus dois polos no SPE. Vamos agora verificar este resultado usando a tabela e o critério de Routh (i.e., usando os teoremas 10.2 e 10.3). No caso do polinómio <=(�) a figura 10.20 ilustra a tabela de Routh, assim como a locali-zação dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como não há troca de sinais nos elementos da coluna pivô, então não há polos do sistema no SPD (pelo teorema 10.2) e além disso, o sistema é estável pois todos os elementos da coluna pivô são positivos (pelo teorema 10.3).

Fig. 10.20 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita)

do polinómio <=(�) = �- + 5� + 6. No caso do polinómio <-(�) a figura 10.21 ilustra a tabela de Routh, assim como a locali-zação dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como há duas trocas de sinais nos elementos da coluna pivô, então há dois polos no SPD (teorema 10.2). Neste caso, claramente, o sistema não é estável.

Fig. 10.21 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita) do polinómio <-(�) = �- − 5� + 6.

<=(�)

�- 1 6

�= 5

�� 6

<-(�)

�- 1 6

�= –5

�� 6

zero trocas de sinal (de elementos da coluna pivô)

zero raízes no SPD

2 trocas de sinal (de elementos da coluna pivô)

2 raízes no SPD

-3 -2 0x x

Plano Complexo

0 2 3x x

Plano Complexo


17

No caso do polinómio <>(�) a figura 10.22 ilustra a tabela de Routh, assim como a locali-zação dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como há apenas uma troca de sinal nos elementos da coluna pivô, então há apenas um polo no SPD (teorema 10.2). Neste caso, novamente, o sistema não é estável.

Fig. 10.22 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita) do polinómio <>(�) = �- + 5� − 6.

Finalmente, no caso do polinómio <?(�) a figura 10.23 ilustra a tabela de Routh, assim como a localização dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: aqui novamente há apenas uma troca de sinal nos elementos da coluna pivô, e portanto, há apenas um polo no SPD (teorema 10.2). Neste caso, mais uma vez, o sistema não é estável.

Fig. 10.23 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita) do polinómio <>(�) = �- − 5� − 6.

� Antes de apresentar outros exemplos do uso da tabela de Routh vamos apresentar mais um resultado. Já vimos nos exemplos 10.5 e 10.7 que se o polinómio característico p(s) de um determi-nado sistema é do 2º grau, então a coluna pivô da tabela de Routh é constituída pelos próprios coeficientes de p(s). Logo pode-se concluir se o sistema é estável ou não apenas olhando para os coeficientes de p(s).

<>(�)

�- 1 –6

�= 5

�� –6

<?(�)

�- 1 -6

�= -5

�� -6

1 troca de sinal (de elementos da coluna pivô)

1 raiz no SPD

1 troca de sinal (de elementos da coluna pivô)

1 raiz no SPD

0-6 1x x

Plano Complexo

0-1 6x x

Plano Complexo


18

O sistema será estável se os coeficientes foram todos positivos. O mesmo ocorrerá se p(s) for um polinómio do 1º grau. Entretanto, se o grau do polinómio p(s) for superior a dois, não é possível tirar conclusões sobre a estabilidade apenas olhando para os coeficientes. Torna-se necessário montar a tabela de Routh e analisar a coluna pivô. O exemplo 10.6 ilustra isso no caso de p(s) do 3º grau. O resultado a seguir permite descobrir alguns casos de sistema instáveis, apenas olhando para os coeficientes de p(s). Estes casos são quando algum coeficiente de p(s) for nulo ou negativo. Considerando novamente o polinómio característico p(s) do sistema com a expressão

<(�) = ��7 + �=�7D= + �-�7D- + ⋯ + �7D=� + �7 , (�� > 0) Teorema 10.4:

Se algum dos coeficientes �=, �-, … , �7D=, �7 do polinómio p(s) é nulo ou negativo, então p(s) terá raízes (pelo menos uma) no eixo imaginário e/ou no SPD. �

Este teorema permite de imediato concluir outro resultado Teorema 10.5:

� Portanto, para o sistema ser estável é necessário que todos os coeficientes �=, �-, … , �7D=, �7 sejam positivos. Mas isso não é suficiente pois, mesmo que isso ocorra, o sistema pode ser estável ou instável. O critério de Routh é que permitirá des-cobrir. Exemplo 10.8:

Considerando agora o polinómio característico do 4º grau

<(�) = �? + 2�> + 3�- + 4� + 5 Construindo-se a tabela de Routh obtém-se

Sistema é instável.

Se algum dos coeficientes

�=, �-, … , �7D=, �7

do polinómio característico p(s) é nulo ou negativo.


19

�? 1 3 5

�> 2 4 0

�- 1 5

�= −6

�� 5

Fig. 10.24 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�> + 3�- + 4� + 5. Logo, o sistema não é estável. Este é um exemplo de um sistema em que todos os coe-ficientes de p(s) são positivos mas, mesmo assim, o sistema é instável. Aqui poderia, por exemplo, para simplificar os cálculos, dividir a 2ªlinha (i.e., a linha �>) por 2 (fazendo o pivô da linha se tornar igual a 1). Isto não altera os resultados.

�? 1 3 5

�> 1 2 0

�- 1 5

�= −3

�� 5

Fig. 10.25 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�> + 3�- + 4� + 5 com a 2ªlinha (i.e., a linha �>) dividida por 2 para simplificar os cálculos (fazendo o pivô da linha se tornar igual a 1).

� Exemplo 10.9:

Analisar a estabilidade de malha fechada do sistema da figura 10.26. Ou seja, encontrar os valores de K para os quais que o de malha fechada do sistema da figura 10.26 é estável.

222

123 +++ sss

s

1

Fig. 10.26 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.9.

Construindo-se a função de transferência de malha fechada (FTMF), obtemos

2ª linha ÷ 2

2 trocas de sinal (de elementos da coluna pivô)

2 polos no SPD

Novamente tem-se 2 trocas de sinal (de elementos da coluna pivô)

2 polos no SPD


20

�(�)+(�) = U�

�? + 2�> + 2�- + 2� + U

Logo o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �? + 2�> + 2�- + 2� + U e portanto, a tabela de Routh para este polinómio p(s) é montada conforme se vê na figura 10.27.

�? 1 2 U

�> 2 2 0

�- 1 U

�= (2− 2U)

�� U

Fig. 10.27 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�> + 2�- + 2� + U. Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos (pelo teorema 10.3). Logo, fazendo-se

(2 − 2U) > 0 e U > 0 garante-se que os elementos da coluna pivô de ambas as linha �= e �� sejam positivos e portanto toda a coluna pivô será positiva. Portanto,

(2 − 2U) > 0U > 0 ⇒ 2U < 2

U > 0 ⇒ U < 1U > 0

e o sistema de malha fechada será estável para

0 < U < 1 � Exemplo 10.10:

Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.28 é estável.

462

123 +++ ssss

K



21

Aqui o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �? + 2�> + 6�- + 4� + U e portanto, monta-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) conforme vemos na figura 10.29.

�? 1 6 U

�> 2 4

�- 4 U

�= V4 − U2W

�� U > 0

Fig. 10.29 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�> + 6�- + 4� + U. Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos (pelo teorema 10.3). Logo, fazendo-se

V4 − U2W > 0 e U > 0

garante-se que os elementos da coluna pivô de ambas as linha �= e �� sejam positivos e portanto toda a coluna pivô será positiva. Portanto,

X4 − U2Y > 0

U > 0 ⇒ U < 8

U > 0

e o sistema de malha fechada será estável para

0 < U < 8 � Exemplo 10.11:


106

32 +− ss

1+Ks



22

Agora o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �- + (3U − 6)� + 13 e portanto, montando-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) obtemos o que é mostrado na figura 10.31.

Fig. 10.31 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �- + (3U − 6)� + 13. Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos. Logo, fazendo-se

(3U − 6) > 0 ⇒ U > 2 o que garante-se que toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será estável para

U > 2. � Exemplo 10.12:


165

42 −+ ssKs +2


Neste caso o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �- + 13� + (4U − 16) e portanto, a tabela de Routh para este polinómio p(s) pode ser montada e isso é mos-trado na figura 10.33.

�- 1 13

�= (3U − 6)

�� 13


23

Fig. 10.33 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �- + 13� + (4U − 16). Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos. Logo, fazendo-se

(4U − 16) > 0 ⇒ U > 4 e isso garante-se que toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será estável para

U > 4 � Exemplo 10.13:

Encontrar os valores de K1 e K2 para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.34 é estável.

22122

2 −− ss21 KsK +

Fig. 10.34 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.13. O polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �- + (2U= − 12)� + (2U- − 22) e portanto, monta-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) conforme se vê na figura 10.35.

Fig. 10.35 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �- + (2U= − 12)� + (2U- − 22).

�- 1 (4U − 16) �= 13

�� (4U − 16)

�- 1 (2U − 22) �= (2U= − 12)

�� (2U- − 22)


24

Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer

(2U= − 12) > 0(2U- − 22) > 0 ⇒ U= > 6

U- > 11

e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será estável para

U= > 6 e U- > 11 o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região do plano K1 x K2 ilustrado na figura 10.36.

Fig. 10.36 – Região do plano K1 x K2 onde existe estabilidade de malha fechada do para o sistema do exemplo 10.13.

� Exemplo 10.14:


4

22 −+ sss

KK 2

1 +

Fig. 10.37 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.14. O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �> + �- + (2U= − 4)� + 2U- e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s) e isso é visto na figura 10.38.


25

�> 1 (2U= − 4) �- 1 2U-

�= (2U= − 2U-− 4)

�� 2U-

Fig. 10.38 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + �- + (2U= − 4)� + 2U-. Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer

(2U= − 2U- − 4) > 0

2U- > 0 ⇒ U= − U- > 2U- > 0

e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será estável para U- < U= − 2 e U- > 0 o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região do plano K1 x K2 ilustrado na figura 10.39.


� Exemplo 10.15:



26

32

12 −− sss

KK 2

1 +

3+s

s


<(�) = �> + �- + (U= − 9)� + (U- − 9) e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s), o que pode ser visto na figura 10.41.

�> 1 (U= − 9) �- 1 (U- − 9) �= (U= − U-)

�� (U- − 9)

Fig. 10.41 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + �- + (U= − 9)� + (U- − 9). Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer

(U= − U-) > 0(U- − 9) > 0 ⇒ U- < U=

U- > 9


U- < U= e U- > 9 o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região assinalada do plano K1 x K2 ilustrado na figura 10.42.


27


� Exemplo 10.16:


9753

1234 −+++ ssss

K


O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por

<(�) = �? + 3�> + 5�- + 7� + (U − 9) e portanto, montamos a tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.44).

�? 1 5 (U − 9) �> 3 7

�- 8 3[ (U − 9)

�= 137 − 9U8

�� (U − 9)

�� (U − 9)

Fig. 10.44 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 3�> + 5�- + 7� + (U − 9).

K

K

9

K = 9

K = K


28


137−9U

8 > 0(U − 9) > 0 ⇒ U < 15,22

U < 9

e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será estável para 9 < U < 15,22 � Exemplo 10.17:


164

)1(2 ++

+ss

s

s

K

)1(

1

−s


<(�) = �? + 3�> + 12�- + (U − 16)� + U e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.46)

�? 1 12 U

�> 3 (U − 16)

�- 52 − U3

U

�= −U- + 59U − 832(52 − U)

�� U

Fig. 10.46 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 3�> + 12�- + (U − 16)� + U.


29


52−U3 > 0

−U2+59U−832\52−U] > 0

U > 0 ⇒

U < 5223,3 < U < 35,7

U > 0 e U < 52


23,3 < U < 35,7 �

10.3 – Casos especiais no critério de Routh Os casos especiais do critério de Routh se resumem ao aparecimento do valor ‘zero’ em um ou mais elementos da coluna pivô pois, nestes casos, não é possível calcular os elementos da próxima linha. Isso porque, claro, no cálculo de cada elemento da tabela de Routh, a partir da terceira linha, tem que se dividir pelo pivô da linha anterior. Na verdade o aparecimento de um valor ‘zero’ em algum elemento da coluna pivô da tabela de Routh para um polinómio característico p(s) de um sistema já implica que o mesmo não é estável (como já foi visto no Teorema 10.5). Entretanto, para que seja possível terminar de montar a tabela de Routh, contornando o problema da divisão pelo pivô com valor ‘zero’, é preciso seguir algumas regras que apresentamos a seguir. Desta forma pode-se descobrir-se quantos polos estão no SPD, no eixo imaginário, assim como no SPE. Na grande parte dos casos o problema de um zero na coluna pivô resolve-se com a subs-tituição do ‘zero’ por um ^ > 0. Exemplo 10.18:

Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir o número de polos do sistema no SPD.

<(�) = �> + 3�- + � + 3 A figura 10.47 mostra a tabela de Routh para este polinómio p(s).


30

Fig. 10.47 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + 3�- + � + 3.

Observe que para que seja possível terminar a construção da tabela de Routh foi neces-sário substituir o ‘zero’ na penúltima linha por um ^ > 0 e desta forma calcularmos o elemento da última linha. Como o ^ > 0, observamos que todos os elementos da coluna pivô são positivos, ou seja:

Na verdade este polinómio <(�) tem 2 raízes no eixo imaginário e 1 no SPE (e nenhuma no SPD).

Fig. 10.48 – Localização das raízes do polinómio <(�) = �> + 3�- + � + 3. � No exemplo anterior, um ‘zero’ na coluna pivô resultou em um par de polos simétricos no eixo imaginário (� = ±0). Mas estes 2 polos poderiam ter sido no eixo real, em vez de no eixo imaginário. Exemplo 10.19:


<(�) = �> + 2�- − � − 2 A tabela de Routh para este polinómio p(s) está ilustrada na figura 10.49.

�> 1 1

�- 3 3

�= 0 ≅ ^ > 0

�� 3

zero trocas de sinal (de elementos da coluna pivô)

zero raízes no SPD

As raízes de <(�) são:

� = ±0 � = −2

‘zero’ na coluna pivô


31

Fig. 10.49 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + 2�- − � − 2. Novamente, para que seja possível terminar a construção da tabela de Routh foi neces-sário substituir o ‘zero’ na penúltima linha (linha �=) por um ^ > 0 e desta forma calcu-larmos o elemento da última linha (a linha ��). Como o ^ > 0, observamos que há apenas uma troca de sinal na coluna pivô, ou seja:

Na verdade este polinómio <(�) tem 2 raízes simétricas no eixo real como pode ser observado na figura 10.50.

Fig. 10.50 – Localização das raízes de polinómio <(�) = �> + 3�- + � + 3. O ‘zero’ na coluna pivô resultou em um par de polos simétricos no eixo real (� = ±1). � Exemplo 10.20:


<(�) = �> + 2�- + a� + 2a Novamente aqui a tabela de Routh é facilmente construída (na figura 10.51), mesmo com o aparecimento de um zero na penúltima linha (linha �=) da coluna pivô, pois este é facilmente contornável substituindo-se o ‘zero’ ≅ ^ > 0.

�> 1 −1

�- 2 −2

�= 0 ≅ ^ > 0

�� −2

0-2xx-1

x1

uma troca de sinal (de elementos da coluna pivô)

uma raiz no SPD


� = ±1

� = −2



32

�? 1 a

�- 2 2a

�= 0 ≅ ^> 0

�� 2a

Fig. 10.51 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + 2�- + a� + 2a. Portanto, há um ‘zero’ na coluna pivô na 2ªposição de baixo para cima (linha �=) o indica simetria de 2 polos em relação à origem. 1º caso: a > 0 Se a > 0, não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.

A figura 10.52 mostra os polos do sistema (raízes de <(�)) e como se dá a simetria de 2 polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.

Fig. 10.52 – Localização das raízes de polinómio <(�), caso � > 0. 2º caso: a < 0 Se a < 0, há 1 troca de sinal na coluna pivô, e portanto, há 1 polo no SPD.

A figura 10.53 mostra os polos do sistema (raízes de <(�)) e como se dá a simetria de 2 polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto há apenas 1 polo no SPD.

Fig. 10.53 – Localização das raízes de polinómio <(�), caso � < 0.


� = ±0√� � = −2


aj−

aj

aa−


� = ±a � = −2


33

3º caso: a = 0 Se a = 0, não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD. Note que aqui surge mais um ‘zero’ na coluna pivô, na última linha (linha ��). Isso quer dizer que além de simetria de 2 polos em relação à origem, também há a simetria de 1 polo em relação à origem.

A figura 10.54 mostra os polos do sistema (raízes de <(�)) e pode-se ver que neste caso temos 2 polos na origem (polo duplo em � = 0). Também pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.

Fig. 10.54 – Localização das raízes de polinómio <(�), caso � = 0. � Nos exemplos 10.18, 10.19 e 10.20 acima, como o ‘zero’ na coluna pivô surgiu (em ambos os casos) na penúltima linha (2ª linha de baixo para cima), isso significa que tem-se 2 polos simétricos em relação a origem. Ora, simetria de 2 polos em relação a origem só pode ocorrer de 2 formas:

a) um par de polos simétricos no eixo imaginário (conforme foi o caso do exemplo 10.18 e exemplo 10.20 caso a > 0), ou

b) um par de polos simétricos no eixo real (conforme foi o caso do exemplo 10.19 e exemplo 10.20 caso a < 0).

Um polo duplo na origem (i.e., em � = 0) pode ser considerado como um caso particular tanto de (a) como de (b). Estes casos estão ilustrados na figura 10.55.

Fig. 10.55 – Simetria de 2 polos em relação a origem.

0x x

0

x

x

0xx

pólo duplo

em s = 0


� = 0 (duplo)

� = −2


34

Quando o ‘zero’ na coluna pivô aparece na última linha (1ª linha de baixo para cima, ou linha ��), isso significa que tem-se apenas 1 polo simétrico em relação a origem, isto é, um polo em � = 0, conforme ilustrado na figura 10.56.

Fig. 10.56 – Simetria de apenas 1 polo em relação a origem. Polo em � = 0. Exemplo 10.21:

Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir o número de polos do sistema no SPD, no eixo imaginário e no SPE.

<(�) = �J + 6�? + 13�> + 14�- + 6�

A tabela de Routh para este polinómio p(s) pode ser construída conforme ilustra a figura 10.57.

�J 1 13 6

�? 6 14 0

�> 32 3[ 6

�- 340 32[ 0

�= 6

�� 0

Fig. 10.57 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �J + 6�? + 13�> + 14�- + 6�. Não há trocas de sinais na coluna pivô, logo, não há polos no SPD. Mas, conforme pode-se observar existe um ‘zero’ na última linha da coluna pivô (1ª linha de baixo para cima), logo, temos um polo na origem. Portanto pode-se concluir que: <(�) não tem polos no SPD, tem apenas um polo no eixo imaginário e os 4 polos restantes no SPE. Isso pode ser verificado na figura 10.58.

0x



35

raízes de polinómio <(�) = �J + 6�? + 13�> + 14�- +Fig. 10.58 – Localização das 6�.

� Exemplo 10.22:

Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir o número de polos do sistema no SPD, no eixo imaginário e no SPE.

<(�) = �> − 3� + 2

A figura 10.59 ilustra a tabela de Routh para este polinómio p(s).

Fig. 10.59 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> − 3� + 2.

Aqui há 2 trocas de sinais na coluna pivô, logo, há 2 polos no SPD. Conforme pode-se observar existe um ‘zero’ na antepenúltima linha da coluna pivô (3ª linha de baixo para cima), logo, temos 3 polos simétricos em relação à origem. O terceiro tem que estar no SPE pois há uma simetria de 3 polos em relação à origem.

�> 1 −3

�- 0 ≅ ^ > 0 2

�= V−3 − 23W < 0

�� 2

zero trocas de sinal (de elementos da coluna pivô).

zero polos no SPD.

1 ‘zero’ na última linha da coluna pivô.

1 polo no eixo imaginário, em � = 0.

<(�) é do 5º grau, logo, o sistema tem 5 polos.

4 polo no SPE.


� = −1 ± 0 � = −1

� = −3 � = 0



36

Simetria de 3 polos em relação à origem pode ocorrer de diversas formas. Este caso encontra-se ilustrado na figura 10.60.

Fig. 10.60 – Localização das raízes de polinómio <(�) = �> − 3� + 2. A figura 10.61 mostra alguns casos possíveis de simetria de 3 polos em relação a origem.

Fig. 10.61 – Simetria de 3 polos em relação a origem. Os resultados dos exemplos 10.18, 10.19, 10.20, 10.21 e 10.22 acima servem para introduzir o resultado seguinte. �

2 trocas de sinal (de elementos da coluna pivô).

2 polos no SPD.


� = 1 (O�<a%)

� = −2

0xxx

pólo duplo

x xx

O terceiro polo não está no eixo imaginário pela simetria de 3 polos.

‘zero’ polos no eixo imaginário.

1 polo no SPE. O terceiro polo está no SPE pela simetria de 3 polos.


37

Teorema 10.6:

Zeros na coluna pivô correspondem a algum tipo de simetria das raízes em relação à origem.

O número de raízes envolvidas na simetria é a posição do ‘zero’ na coluna pivô (a contar de baixo para cima). e assim por diante … � A técnica de substituir o ‘zero’ na coluna pivô por um ε positivo (^ > 0) não funciona no caso de termos uma linha inteira de zeros na tabela de Routh e não apenas o elemento da coluna pivô. No exemplo 10.23 mostraremos como lidar com esta situação. Exemplo 10.23:


<(�) = �J + 3�? + 12�> + 36�- − 29� − 87 Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) obtém-se uma linha de zeros (linha �>), o que impede de prosseguir, mesmo substituindo por o ‘zero’ ≅ ^ > 0, como pode-se ver na figura 10.62.

�J 1 12 −29

�? 3 36 −87

�> 0 0 0

�-

Fig. 10.62 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �J + 3�? + 12�> + 36�- − 29� − 87.

‘zero’ na última linha da coluna pivô.

(1ª linha de baixo para cima, ou linha ��)

1 polo simétrico em relação à origem (polo em � = 0).

‘zero’ na penúltima linha da coluna pivô.

(2ª linha de baixo para cima, ou linha �=) 2 polos simétricos em relação à origem

‘zero’ na antepenúltima linha da coluna pivô.

(3ª linha de baixo para cima, ou linha �-) 3 polos simétricos em relação à origem

‘zero’ na 4ª linha de baixo para cima (ou linha �>) da coluna pivô

4 polos simétricos em relação à origem

linha de zeros

b(�) = 3�? + 36�- − 87


38

Nesta situação, de uma linha de zeros na tabela de Routh construímos o polinómio auxiliar q(s) obtido da linha imediatamente acima da linha de zeros (linha �?). Neste exemplo q(s) é dado por

b(�) = 3�? + 36�- − 87

Agora calcula-se a derivada b′(�)

bd(�) = ObO� = 12�> + 72�

que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.63. Desta forma é possível concluir a tabela de Routh.

�J 1 12 −29

�? 3 36 −87

�> 0 0 0

�- 18 −87

�= 130

�� −87

Fig. 10.63 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �J + 3�? + 12�> + 36�- − 29� − 87. Aqui há apenas 1 troca de sinal na coluna pivô, logo, há apenas 1 polo no SPD. O ‘zero’ na coluna pivô está na 4ªposição de baixo para cima, o que indica simetria de 4 polos em relação à origem. A figura 10.64 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver que, de facto só há 1 polo no SPD.

Fig. 10.64 – Localização das raízes de polinómio <(�). Simetria de 4 polos em relação à origem pode ocorrer de diversas formas. Alguns casos são mostrados na figura 10.65. �

12


� = ±1,44 � = ±3,750

� = −3

72 0

sai linha de zeros

entra linha bd(�)


39

Fig. 10.65 – Simetria de 4 polos em relação a origem. Exemplo 10.24:


<(�) = �J + 2�? + 15�> + 30�- + 27� + 54 Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.66) obtém-se de novo uma linha de zeros (linha �>), o que impede de prosseguir, mesmo se substituirmos o ‘zero’ por ≅ ^ > 0.

�J 1 15 27

�? 2 30 54

�> 0 0 0

�-

Fig. 10.66 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �J + 2�? + 15�> + 30�- + 27� + 54. Novamente construímos o polinómio auxiliar q(s) obtido da linha imediatamente acima da linha de zeros (linha �?), que neste exemplo é dado por

b(�) = 2�? + 30�- + 54

Agora calcula-se a derivada b′(�)

bd(�) = ObO� = 8�> + 60�

que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.67. Desta forma é possível concluir a tabela de Routh.

0xxx

pólo quádruplo em s = 0

x

linha de zeros

b(�) = 2�? + 30�- + 54


40

�J 1 15 27

�? 2 30 54

�> 0 0 0

�- 15 54

�= 32,33

�� 54

Fig. 10.67 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �J + 2�? + 15�> + 30�- + 27� + 54. Aqui não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.

O ‘zero’ na coluna pivô está na 4ªposição de baixo para cima, o que indica simetria de 4 polos em relação à origem. A figura 10.68 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.

Fig. 10.68 – Localização das raízes de polinómio <(�). � Exemplo 10.25:


<(�) = �4 + 2�2 + 1

Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.69) obtém-se novamente uma linha de zeros (linha �>), o que impede de prosseguir, mesmo fazendo o ‘zero’ ≅ ^ > 0.

�? 1 2 1

�> 0 0

�-

Fig. 10.69 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�- + 1.


� = ±1,45 � = ±3,60

� = −2

0

sai linha de zeros

entra linha bd(�) 8 60

linha de zeros

b(�) = �? + 2�- + 1


41

Mais uma vez construímos o polinómio auxiliar q(s) obtido da linha acima da linha de zeros (linha �?). Aqui, neste exemplo, q(s) é dado por

b(�) = <(�) = �? + 2�- + 1 Agora calcula-se a derivada b′(�)

bd(�) = ObO� = 4�> + 4�

que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.70. Desta forma é possível continuar a elaboração da tabela de Routh. Neste caso entretanto, um outro ‘zero’ surge na coluna pivô, na segunda linha de baixo para cima (linha �-). Mas este novo ‘zero’ se resolve substituindo por ^ > 0 e facilmente a tabela fica concluída.

�? 1 2 1

�> 0 0 0

�- 1 1

�= 0 ≅ ^ > 0

�� 1

Fig. 10.70 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �? + 2�- + 1. Aqui também não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.

Há ‘zeros’ na coluna pivô na 2ªposição de baixo para cima, assim como na 4ªposição de baixo para cima. Isso indica simetria de 2 e de 4 polos em relação à origem ao mesmo tempo. A figura 10.71 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.

Fig. 10.71 – Localização das raízes de polinómio <(�). �


� = ±0 (O�<a%�)

0

sai linha de zeros

entra linha bd(�) 4 4

outro ‘zero’ na coluna pivô


42

Exemplo 10.26:


<(�) = �> + � Aqui a tabela de Routh é facilmente construída (na figura 10.72) embora tenha uma linha de zeros. Isso porque a linha de zeros só ocorre na penúltima linha (linha �=) da coluna pivô e é contornável apenas substituindo-se o ‘zero’ ≅ ^ > 0.

�? 1 1

�- 0 ≅ ^> 0

0

�= 1

�� 0

Fig. 10.72 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = �> + �. Portanto, há dois ‘zeros’ na coluna pivô na 1ª e na 3ª posição de baixo para cima (linhas �� e �-), o indica simetria de 1 e de 3 polos em relação à origem. A figura 10.73 mostra os polos do sistema (raízes de <(�)) e como se dá a simetria dos polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.



� = ±0 � = 0


outro ‘zero’ na coluna pivô


43

10.4 – Estabilidade Relativa Às vezes é desejável que os polos não estejam perto do eixo 06 (para não termos res-postas lentas ou com excessivas oscilações). Para exemplificar vamos considerar dois sistemas de segunda ordem com um par de polos complexos no SPE (Sistemas A e B). A resposta ao degrau, assim como a localização dos polos destes dois sistemas encontram-se ilustradas na figura 10.74. Fig. 10.74 – Resposta ao degrau e a localização dos polos de dois sistemas de segunda ordem

com um par de polos complexos no SPE (Sistemas A e B). Observe que as escalas do tempo não são as mesmas. Enquanto no Sistema A a resposta ao degrau leva apenas cerca de 25 segundos para estabilizar, no Sistema B leva 250 se-gundos. O sistema A estabiliza mais rápido que o sistema B pois tem os seus polos mais afastados do eixo imaginário. O que causa a estabilização ser mais rápida ou mais lenta é a localização dos polos ser mais afastada ou mais perto do eixo imaginário, para esquerda.

Sistema B pólos próximos do

eixo imaginário

Sistema A


44

Quanto mais afastado para a esquerda estão os polos do sistema, mais rápido ele esta-biliza. Na secção 10.1 viu-se que um sistema é estável ou não se possui todos os polos no SPE ou não. Este é o conceito de “estabilidade absoluta”. Aqui estamos vendo que um sistema estável pode ser mais estável que outro. Isso depende de quanto mais afastado do eixo imaginário, para esquerda, estão localizados os seus polos. Este é o conceito de “estabilidade relativa”. Desta forma, é possível que desejamos verificar se um sistema tenha seus polos à esquerda de uma reta � = −e no SPE, e não apenas no SPE.

Fig. 10.75 – Região do plano à esquerda da reta � = −e no SPE. Para isto faz-se uma translação

� ↦ (� − e)

do polinómio característico <(�) obtendo-se

<̅(�) = <(� − e)

que é <(�) deslocado de e para a direita.

Fig. 10.76 – Translação do polinómio <(�) para direita, obtendo-se <̅(�).

σ−

σ−=s


45

Uma translação do polinómio para direita equivale a deslocar a reta � = −e para a direita ou, equivalentemente, deslocar o eixo imaginário para esquerda. Teorema 10.7:

Aplicando-se o Critério de Routh para estabilidade ao polinómio <̅(�) temos que o número

de trocas de sinal na coluna pivô é igual ao número de raízes de <(�) localizadas à direita

da reta � = −e. �

Ou seja, através de <̅(�) extraímos conclusões para <(�). Se a tabela de Routh para <̅(�) não tiver trocas de sinal na coluna pivô (zero trocas), então <(�) não terá polos (zero polos) à direita de � = −e. Isto é, os polos estarão localizados na região assinalada na figura 10.75: à esquerda da reta � = −e, ou na própria reta. Como <̅(�) é uma translação de <(�) em e unidades para direita, todas as conclusões

que forem extraídas para <̅(�) em relação ao eixo imaginário são válidas para <(�) em relação à reta � = −e. Exemplo 10.27:

Verificar se o polinómio característico p(s) dado abaixo tem os seus polos à esquerda de � = −2.

<(�) = �> + 8�- + 21� + 20 Primeiramente vamos verificar se <(�) possui todas as suas raízes localizadas no SPE. Construindo-se a tabela de Routh para <(�).

Fig. 10.77 – Tabela de Routh do polinómio <̅(�) = �> + 8�- + 21� + 20. Conforme podemos ver na figura 10.77, a coluna pivô da tabela de Routh é toda positiva

e portanto este polinómio <(�) tem todos os seus polos localizados no SPE. Mas será que

os tem à esquerda da reta � = −2? Para isso precisamos calcular o polinómio <̅(�),

fazendo e = 2.

<̅(�) = <(� − 2) = (� − 2)> + 8(� − 2)- + 21(� − 2) + 20

= �> + 2�- + � + 2

�> 1 21

�- 8 20

�= 18,5

�� 20


46

Aplicando-se o Critério de Routh para <̅(�) temos que não há trocas de sinal na coluna

pivô da tabela de Routh (figura 10.78). Isso quer dizer que não há raízes de <̅(�) no SPD

e logo, não há raízes de <(�) à direita da reta � = −2.

Fig. 10.78 – Tabela de Routh do polinómio <̅(�) = �> + 2�- + � + 2. Mas aquele ‘zero’ na segunda linha de baixo para cima (linha �=) na coluna pivô indica que há 2 raízes de <̅(�) no eixo imaginário e portanto, há raízes de <(�) em cima da reta � = −2. Na figura 10.79 vemos a localização dos polos deste sistema, ou seja, das raízes de as de <(�). Pode-se constatar que de facto não há polos à direita da reta � = −2, mas há 2 polos em cima da reta � = −2.

Fig. 10.79 – Localização das raízes de polinómio <(�).

A figura 10.79 mostra que as 2 raízes de <̅(�) no eixo imaginário correspondem às 2 raízes de <(�) na reta � = −2.

Fig. 10.80 – Localização de 2 raízes dos polinómios <̅(�) e <(�). �

�> 1 1

�- 2 2

�= 0 ≅ ^ > 0

�� 2

raízes de <̅(�) no eixo imaginário

raízes de <(�) na reta � = −e



� = −4 � = −2 ± 0


47

Exemplo 10.28:

Verificar se o polinómio característico p(s) dado abaixo tem os seus polos à esquerda de � = −1.

<(�) = 2�? + 13�> + 28�- + 23� + 6 Primeiramente vamos verificar se <(�) possui todas as suas raízes localizadas no SPE. Construindo-se a tabela de Routh para <(�).

Fig. 10.81 – Tabela de Routh do polinómio <(�) = 2�? + 13�> + 28�- + 23� + 6. Conforme podemos ver na figura 10.81 a coluna pivô da tabela de Routh é toda positiva

e portanto este polinómio <(�) tem todos os polos no SPE.

Entretanto, queremos saber se estão à esquerda da reta � = −1. Para isso precisamos

calcular o polinómio <̅(�) fazendo e = 1.

<̅(�) = <(� − 1) = 2(� − 1)? + 13(� − 1)> + 28(� − 1)- + 23(� − 1) + 6

= 2�? + 5�> + �- − 2�

Aplicando-se o Critério de Routh para <̅(�) temos que há 1 troca de sinal na coluna pivô

da tabela de Routh (figura 10.82). Isso quer dizer que há uma raiz de <̅(�) no SPD e logo,

há 1 raiz de <(�) à direita da reta � = −1.

Fig. 10.82 – Tabela de Routh do polinómio <̅(�) = �> + 2�- + � + 2.

Mas aquele ‘zero’ na última linha (linha ��) da coluna pivô indica que há 1 raiz de <̅(�)

no eixo imaginário (na origem) e portanto, há 1 raiz de <(�) em � = −1.

�? 2 28 6

�- 13 23

�- 24,46 6

�= 19,81

�� 6

�? 2 1 0

�- 5 −2

�- 9/5 0

�= -2

�� 0 ‘zero’ na coluna pivô


48

Na figura 10.83 vemos a localização dos polos deste sistema, ou seja, das raízes de <(�). Pode-se constatar que de facto há 1 polo na reta � = −1 e que há também 1 polo à direita da reta � = −1 (em � = −0,5), que obviamente está no intervalo {-1 < s < 0} pois já vimos que <(�) não tem raízes no SPD.


Na figura 10.84 vemos novamente a localização das raízes de <(�) assim como das raízes de <̅(�). As raízes de <(�): � = −3,

� = −2,

� = −1 e

� = −0,5 , após serem transladadas para direita de 1 unidade, se tornam respetivamente nas raízes de <̅(�): � = −2,

� = −1,

� = 0 e

� = 0,5.

Fig. 10.84 – Localização das raízes do polinómio <(�), à esquerda, e do polinómio <̅(�), à direita.


� = −3 � = −2 � = −1

� = −0,5

critério de routh

Documents