refinando o lugar das raízes 1.pontos de saída e pontos de chegada no eixo real: 2.cruzamento com...
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Refinando o Lugar das Raízes
1. Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:
2. Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;
3. Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
n
i
m
i pz 11
11
Pólos e zeros a malha aberta e
cálculos de:a. ângulo de
saída;b. ângulo de
chegada
Exemplo: calcule os ângulos de partida para o
sistema
-1.0000 +1.0000i -1.0000 - 1.0000i
Lugar das raízes para o sistema da
Fig. 8.16 mostrando ângulo
de saída
o
o
o
o
565,26
45
90
4,108
4
3
2
1
o1804213
• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para
21
53
ss
ssksHsKG
n
i
m
i pz 11
11
Pontos de Saída e Chegada
0612611
21
12
53
35
2
1
1
1
5
1
3
1
2
82,3;45,1 21
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de saída(–1) e entrada (2) no eixo real
Plano s
82,32
45,11
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de cruzamento com o eixo imaginário
Plano s
82,32
45,11
375,0
355,2
K
j
j355,2
Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e
observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do
Lugar das Raízes:
105,0
1
105,0
5,1
2
1
sss
sKsG
sss
sKsG
Exercício
a) Eboce o Lugar das Raízes para K variando de zero até infinito. Encontre todos os valores que possam refinar o seu desenho.
b) Encontre o valor de K para que o sistema apresente 27,4% de Ultrapassagem Percentual. Para este ganho qual é o Tempo de Pico e Tempo de Estabilização esperados?
c) A aproximação de segunda ordem é válida? Porque? d) Qual o erro de estado estacionário para o sistema com o ganho
calculado no item “b”?e) Para que faixa de valores de K o sistema é estável?f) Como seria possível ter um erro zero para uma entrada degrau
unitário mantendo os índices de desempenho do item “b”?
4211
)5(
ssjsjs
sKsG
Solução:• Trechos do eixo real que pertence ao Lugar das Raízes:
entre -2 e -4 e entre -5 e menos infinito;• Número de Zeros finitos da F.T.M.A.: 01- (Um);• Número de Pólos finitos da F.T.M.A.: 04 – (Quatro);• Número de ramos do Lugar das Raízes que vão para infinito:
4-1=3 (Três), o que implica em três Assíntotas;– Centro das assíntotas:
– Ângulo das Assíntotas:
1
14
)5(4211
jj
a
00
31
00
2
00
1
30014
180122
18014
180112
6014
180102
xx
xx
xx
Solução:• Pontos de Saída e Pontos de Chegada:
0,50j1,33-
3,51-
5,83-
valemRaízes Cujas
0124220142363
4
1
2
1
1
1
1
1
5
1
234
jj
Ponto de Saída
Ponto de Chegada
Solução:• Cruzamento com o eixo imaginário:
543,14039025125,0 se zero de todaLinha
39025125,0 ;
8
148
00165
00
0165
0288
165221
s
s
s
s
s
:Routh de Arranjo
16528228
5F.T.M.F.
2
1
2
11
1
1
0
1
2
3
4
234
KKK
c
KKd
Kc
k
d
Kc
K
K
KsKsss
sK
Solução:
• Cruzamento com o eixo imaginário:
js
s
s
K
31,2
072,8868,16
:por dado épar polinômio o que temos543,14Para
2,1
68,1672,88
2,1
2
Pontos de Cruzamento com o eixo imaginário
Solução:• Ângulos de Partida:
x
x
xxo 1 2 3
4
5
-1-2-4-5
j
j
-j0
54321 180
05
04
03
02
01
6,40
90;45;44,18 ;04,14
Ângulo de Partida
Solução:
• Para relação %U.P.= 27,4% temos:
0
1
22
6,67
381,0coscos :Como
381,0274,0ln
274,0ln
381,0
04,112
j5,16,0
Cálculo do ganho K para o ponto de operação
1
1L
j
j
j
j5,1
6,0245
5L
4L
3L2L
x
x
x
x
o
j5,16,0 65,45,14,4 22
1 L
72,35,14,3 222 L
05,25,14,1 223 L
64,05,04,0 224 L
53,25,24,0 225 L
66,21
5432 L
LLLLK
F.T.M.F. com o ganho calculado
complexos. pólos dos real parte
da esquerda a vezescinco de mais real parte com estão
adicionais pólos dois os pois ordem segunda de sistema
umpor aproximadoser pode sistema o que mostra que O
05,3
8,3
48,158,0
:em slocalizado estão Pólos Cujos
3,2966,30228
566,2234
j
ssss
ssT
Tempo de Pico e Tempo de Estabilização Esperados
segundos 67,66,0
4T
segundos 1,25,1
s
pT
Erro de Estado Estacionário
• Sistema do tipo zero portanto temos que calcular
pK
4211
)5(66,2lim
0
ssjsjs
ssGK
sp
546,0831,1
1
1
1
831,0
p
p
Ke
K
%U.P=24,8%