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Tema da Aula:

Estabilidade de Sistemas Lineares com Realimentação

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos

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Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos

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Estrutura da aula

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1 Introdução2 Estabilidade BIBO;3 Estabilidade assintótica;4 Critério de estabilidade de Routh;5 Estabilidade no espaço de estados;6 Estabilidade em sistemas com atraso.

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1 Introdução

Um sistema estável é um sistema dinâmico com uma resposta limitada para uma entrada limitada. Uma ilustração do conceito de estabilidade é exposta a seguir.

a) Se o cone está em repouso sobre sua base e um pequeno empurrão é aplicado, ele retorna a sua posição original de equilíbrio.

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1 Introdução

b) Se o cone repousa sobre sua lateral e aplica-se outro pequeno empurrão, o cone começa a deslizar sem tender a abandonar a posição lateral.

c) Se o cone é ligeiramente empurrado, ele cai.

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1 IntroduçãoA estabilidade de um sistema dinâmico é definida de maneira similar. A resposta ao deslocamento, ou a condição inicial, resulta num decaimento, neutralidade ou crescimento da resposta como ilustrado a seguir.

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1 Introdução

Como exemplo, a resposta ao degrau unitário do sistema estável mostrado na figura (a) écomparada com a do sistema instável mostrado na figura (b). As respostas, mostram que enquanto as oscilações nos sistemas estáveis diminuem, nos instáveis elas aumentam sem limite. Observe também que, neste caso, a resposta do sistema estável, em estado estacionário, tende ao valor um.

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1 IntroduçãoUm exemplo de sistema instável éexposto na figura ao lado. A primeira ponte sobre o estreito de Tacoma em Puget Sound, Washington, foi aberta ao tráfego no dia 1 de julho de 1940. Descobriu-se que a ponte oscilava sempre que ventava. Depois de quatro meses, uma ventania produziu uma oscilação que cresceu em amplitude até que a ponte se rompeu. A figura (a) mostra o início da oscilação e a (b) o colapso catastrófico.

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1 IntroduçãoMétodos para determinarem a estabilidade dos sistemas lineares contínuos invariantes no tempo sem a necessidade de resolução da equação característica:

1. O critério de Routh-Hurwitz. Este critério é um método algébrico que fornece informação sobre a estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo que possui uma equação característica com coeficientes constantes. O critério testa quando qualquer uma das raízes da equação característica encontra-se no semi-plano direito do plano-s. O número de raízes sobre o eixo jw e no semi-plano esquerdo.

2. O critério de Nyquist. Este critério é um método semigráfico que fornece informação sobre a diferença entre o número de pólos e zeros da função de transferência que estão no semi-plano direito do plano-s através da observação do gráfico de Nyquist da função de transferência.

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1 Introdução

3. Diagrama de Bode. Este diagrama é um gráfico da magnitude da função de transferência de malha G(jw)H(jw) em dB e da fase de G(jw)H(jw) em graus, todos versus a freqüência. A estabilidade do sistema de malha fechada pode ser determinada pela observação destes gráficos.

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2 Estabilidade BIBO

Sejam u(t), y(t)e g(t) a entrada, a saída e a resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo, respectivamente. Com condições iniciais nulas, um sistema é dito BIBO (bounded-input bouded-output) estável, ou simplesmente estável, se para toda entrada limitada u(t) resultar uma saída limitada y(t).

Matematicamente, se y(t) é a saída e u(t) é a entrada de um sistema linear monovariável,

0ttparaN)t(u ≥∞<≤então

0ttparaM)t(y ≥∞<≤

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2 Estabilidade BIBOPROVA

Expressando a relação entre u(t), y(t) e g(t) através da integral de convolução:

∫+∞

∞−

τττ−= d)(g)t(u)t(y

Tomando os valores absolutos em ambos os membros da integral de convolução, tem-se

∫+∞

∞−


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2 Estabilidade BIBOSabendo que o valor absoluto da integral não é superior ao valor absoluto do integrando, reescreve-se

∫+∞

∞−


Se u(t) é limitada,N)t(u ≤

onde N é uma constante positiva finita. Então,

∞<ττ≤ ∫+∞

∞−

d)(gN)t(y

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2 Estabilidade BIBOLogo, se y(t) é limitado, ou seja,

∞<≤ M)t(y

∞<≤ττ∫+∞

∞−

Md)(gN

onde M é uma constante positiva finita. Então, a seguinte condição deve ser atendida:

Portanto, a saída será limitada se a seguinte integral for limitada.

∫+∞

∞−

ττ d)(g

Caso contrário, o sistema não é estável.

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2 Estabilidade BIBO

Considere o capacitor alimentado por uma fonte de corrente; a tensão no capacitor é a saída. Seja g(t) = 1(t). Assim,

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

τ=ττ dd)(g

EXEMPLO

A qual não é limitada. A função de transferência é Y(s)/U(s) = 1/s. Fisicamente, uma entrada de corrente constante causará um crescimento indefinido da tensão e assim, o sistema não é BIBO estável.

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2 Estabilidade BIBOqi

h q

EXEMPLO

Considere o sistema de armazenamento de líquido. Mostre que este processo não é auto-regulável, considerando a resposta ao degrau da vazão de entrada qi.

A função de transferência que relaciona o nível do líquido com a vazão de entrada qi é dada por:

As1

)s(Q)s(H

i

= onde: A – área transversal do tanque.

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2 Estabilidade BIBO

Para uma entrada ao degrau, de magnitude M0,

sM)s(Q 0

i = Logo,20

AsM)s(H =

Obtendo a transformada de Laplace inversa,

tA

M)t(h 0=

Portanto, a resposta é ilimitada e assim, o sistema é de malha aberta instável (ou não auto-regulável), desde que uma entrada limitada produz uma saída ilimitada.

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3 Estabilidade assintótica

O conceito de estabilidade devido a Lyapunov consiste em a saída e todas as variáveis internas jamais tornarem-se ilimitadas e devem tender ao zero quando o tempo tender ao infinito, para condições iniciais suficientemente pequenas.

Considere o sistema linear constante cuja equação característica seja,

0asasas n2n

21n

1n =++++ −− L

Assuma que as raízes {pi} da equação característica sejam reais ou complexas, mas distintas. Observa-se que a equação (1) é o denominador da função de transferência do sistema,

(1)

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nm,)ps(

)zs(K

asasasasbsbsb

)s(R)s(Y)s(T

i

n

1i

i

m

1i

n2n

21n

1n

m2m

21m

1m

0

≤−

−=

++++++++

==

∏

∏

=

=

−−

−−

L

L

A solução da equação diferencial cuja equação característica édada anteriormente pode ser escrita como,

∑=

=n

1i

tpi

ieK)t(y

(2)

(3)

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Onde {pi} são as raízes da equação característica (2) e {Ki}depende das condições iniciais.

O sistema é estável se e somente se todo termo de (3) tender para zero, quando o tempo tende para o infinito.

itp p0e i ∀→

Isto acontece se todos os pólos do sistema estiverem no lado esquerdo do plano complexo, ou seja, Re{pi} < 0. Desta forma, todos os coeficientes da equação característica {ai} precisam ser positivos. Esta condição determina a estabilidade assintóticainterna do sistema.

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4 Critério de estabilidade de Routh

Considere a equação característica de um sistema de n-ésima ordem,

n2n

21n

1n asasas)s(a ++++= −− L

A condição necessária para estabilidade de Routh diz que todas as raízes da equação característica devem ter partes reais negativas, o que requer que todos os coeficientes {ai} sejam positivos.

PROVA: a equação característica pode ser escrita na forma:

( )( )( ) ( ) 0pspspsps n321 =−−−− L

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Se esta equação é multiplicada, tem-se:

0aas

aas

0asasa

n

01n

n

1nn

01n

1nn

n

=+++

=+++

−−

−−

L

L

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4 Critério de estabilidade de RouthPela teoria das equações, pode-se relacionar as raízes {pi} e os coeficientes:

n21n

n

0

n

1k

n

1i

n

1jkji

n

3n

n

1i

n

1jji

n

2n

n

1ii

n

1n

ppp)1(aa

kji,pppa

a

ji,ppa

a

;pa

a

L

M

−=

≠≠−=

≠=

−=

∑∑∑

∑∑

∑

= = =

−

= =

−

=

−

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4 Critério de estabilidade de RouthConclusões:

(1) Os coeficientes an-1, ..., a0 têm todos o mesmo sinal e são todos não nulos, se todas as raízes p1, ..., pn tiverem partes reais negativas.

(2) A única maneira para qualquer dos coeficientes diferir no sinal de an é que uma ou mais das raízes tenha uma parte real positiva. Assim, o sistema é necessariamente instável se outros coeficientes não tiverem o mesmo sinal.

Todavia, esta condição não é suficiente, pois um sistema não énecessariamente estável se todos os coeficientes tiverem o mesmo sinal.

Exemplo: q(s) = (s +2)(s2 – s + 4) = s3 + s2 + 2s +8, é instável mesmo com os coeficientes positivos.

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Para contornar esta limitação, os cientistas Routh e Hurwitz criaram no final do século 19 uma metodologia que estabelece uma condição necessária e suficiente de estabilidade. Esta metodologia é baseada num arranjo triangular.

Condição Necessária e Suficiente: Todos os elementos da primeira coluna do arranjo devem ser positivos.

Esta metodologia é explicada em detalhes a seguir.

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Este método pode dizer quantos pólos do sistema em malha fechada estão no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jw. O número de pólos em cada seção de plano pode ser determinado, porém sas coordenadas não podem ser obtidas.

O método é denominado critério de Routh-Hurwitz e é constituído de duas etapas: (1) gerar uma tabela de dados denominada de tabela de Routh e (2) interpretar a tabela par definir quantos pólos de sistema em malha fechada se situam no semiplano esquerdo, direito e sobre o eixo jw.

A grande vantagem deste método está em sua utilização no projeto. Por exemplo, é difícil determinar por meio de uma calculadora a faixa de valores de um parâmetro que propicia a estabilidade. Neste sentido, o método permite determinar tal faixa.

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Observe a função de transferência do diagrama de blocos a seguir. Uma vez que há interesse na determinação dos pólos, a atenção éconcentrada no denominador.


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Inicialmente, gera-se a tabela de Routh a seguir, começando por nomear as linhas com potências de s a partir da potência mais alta no denominador da função de transferência em malha fechada até s0. Em seguida, inicia-se com o coeficiente de potência mais alta de s no denominador e lista-se, horizontalmente, na primeira linha, cada um dos demais coeficientes. Na segunda linha lista-se, horizontalmente, começando-se com a próxima potência mais alta em s, cada coeficiente que foi pulado na primeira linha.


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As entradas remanescentes são preenchidas da seguinte forma: cada entrada é igual ao valor negativo dos determinantes formados com os elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento da primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada.

A coluna à esquerda do determinante ésempre a primeira coluna das duas linhas anteriores, e a coluna à direita éconstituída dos elementos da coluna acima e à direita. A tabela se completa quando todas as linhas estiverem concluídas até s0.


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EXEMPLO: Construa a tabela de Routh para o sistema da figura (a).

SOLUÇÃO: a primeira etapa é obter o sistema em malha fechada equivalente, como mostrado na figura (b). O critério de Routh será aplicado ao denominador desta função de transferência em malha fechada.

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4 Critério de estabilidade de RouthInicialmente nomeia-se as linhas com potências de s desde s3 a s0 em uma coluna vertical. Em seguida forme a primeira linha da tabelautilizando os coeficientes do denominador da função de transferência de malha fechada, começando com o de mais alta potência e salte todas as demais potências de s. Forme a segunda linha com os coeficientes do denominador saltados na etapa anterior. As linhas subsequentes são formadas com determinantes, conforme a figura a seguir.

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4 Critério de estabilidade de RouthInterpretação da tabela de Routh básica: “O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que se situam no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna.”Logo, de acordo com o exemplo anterior, ocorre de 1 na linha s2 para –72 na linha de s1. A segunda ocorre de –72 na linha de s1 para 103 na linha de s0. Assim, o sistema é instável, uma vez que existem dois pólos no semiplano da direita.

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4 Critério de Estabilidade de Routh: casos especiais

ZERO APENAS NA PRIMEIRA COLUNA:

Se o primeiro elemento de uma linha é igual a zero, seria necessário uma divisão por zero para formar a próxima linha. Para evitar essa ocorrência atribui-se um valor épsilon, ε, em substituição ao zero na primeira coluna. Faz-se então este valor tender a zero por valores positivos ou negativos, após o que o sinais dos elementos na primeira coluna podem ser determinados.

Admita o exemplo a seguir.

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EXEMPLO: Determine a estabilidade da função de transferência em malha fechada.

3s5s6s3s2s10)s(T 2345 +++++

=

Comece definindo a tabela de Routh abaixo da linha onde aparece um zero apenas na primeira coluna (a linha de s3). Em seguida, substitua por um número pequeno ε, e complete a tabela.

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Sendo ε escolhido como positivo, a tabela a seguir indicará uma mudança de sinal da linha s3 para a linha s2, e haverá uma outra mudança de sinal da linha s2 para a linha s1. Assim, o sistema é instável e possui dois pólos no semiplano da direita. De modo alternativo, ε poderia ser escolhido como negativo, de acordo com a última coluna da tabela abaixo.

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LINHA COMPLETA COM ZEROS:

EXEMPLO: Determine o número de pólos no semiplano da direita referente à função de transferência.

56s8s42s6s7s10)s(T 2345 +++++

=

Inicia-se pela formação da tabela de Routh para o denominador da função de transferência T(s) (ver tabela a seguir). Por conveniência, na segunda linha todos os termos são multiplicados por 1/7. Este processo é interrompido na terceira linha, uma vez que toda a linha é formada por zeros, e utiliza-se o procedimento descrito a seguir.

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Inicialmente, retorna-se à linha imediatamente acima da linha de zeros e forma-se um polinômio auxiliar utilizando os elementos desta linha como coeficientes. O polinômio começa com a potência de s correspondente à linha imediatamente acima da linha de zeros e continua salteando, alternadamente, as demais potências de s. Assim, o polinômio formado por este exemplo é

8s6s)s(P 24 ++=

Em seguida, o polinômio é derivado em relação a s, e obtém-se

0s12s4ds

)s(dP 3 ++=

Finalmente, os coeficientes desta última equação são utilizados em substituição à linha de zeros. Novamente, por conveniência, a terceira linha é multiplicada por ¼ após a substituição dos zeros.

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O restante da tabela é formado de modo direto seguindo-se a forma-padrão. Observa-se que todos os elementos da primeira coluna são positivos. Assim, não existem pólos no semiplano da direita.

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4 Critério de estabilidade de Routh: exemplos

EXEMPLO: Encontre os intervalos dos ganhos de controle (K, KI) tal que o sistema de controle PI da figura a seguir seja estável.

Solução: a equação característica do sistema de malha fechada édada por,

)2s)(1s(1

sKK1)s(H)s(G1 I

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+

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I0

I

I2

3

K:s3)KK36(:s

K3:sK21:s

−+

+

O arranjo de Routh correspondente é dado por,

que pode ser reescrita como,

0Ks)K2(s3s I23 =++++

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4 Critério de estabilidade de Routh: exemplosPara a estabilidade assintótica, devemos ter

2K31K,0K II −>>

A região de estabilidade no plano (KI, K) é destacada na figura a seguir.

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4 Critério de estabilidade de Routh: exemplosEXEMPLO: O projeto de um controle de direção para um veículo com esteiras envolve a escolha de dois parâmetros. Na figura (a), o sistema mostrado tem o modelo mostrado na figura (b). As duas esteiras são operadas com velocidades diferentes para virar o veículo.

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Deve-se escolher K e a de modo que o sistema seja estável.A equação característica do sistema com realimentação é

0)s(H)s(G1 =+

ou0

)5s)(2s)(1s(s)as(K1 =+++

++

Portanto, tem-se

0Kas)10K(s17s8s0)as(K)5s)(2s)(1s(s

234 =+++++

=+++++

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Para determinar-se a região estável para K e a, constrói-se a tabela de Routh:

Ka:sc:s

Kab:s010K8:s

Ka171:s

03

13

2

3

4

+

onde

3

33

3

bKa8)10K(bc

8K126b

−+=

−=

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Para que os elementos da primeira coluna serem positivos, é necessário que Ka, b3 e c3serem positivos. Portanto, requer-se que:

K < 126Ka > 0(K + 10)(126 - K) – 64Ka > 0

A região para estabilidade émostrada na figura ao lado.

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5 Estabilidade no espaço de estados

Nesta seção, a estabilidade será vista pela perspectiva do espaço de estados.Sabe-se que os valores dos pólos do sistema são iguais aos autovalores da matriz de sistema, A, os quais são soluções da equação det(sI - A) = 0, que também conduz aos pólos da função de transferência.

PROVA:

O vetor de equações diferenciais sem sinais de entrada é dado por:

Axx =& onde x é o vetor de estados.

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tii

iek)t(x λ=

A solução é do tipo exponencial, e podemos definir uma constante λtal que a solução do sistema para um estado seja:

onde λi é a raiz característica ou autovalor do sistema.

Considerando x = keλt e substituindo em , tem-seAxx =&tt Akeke λλ =λ

ouAxx =λ

Reescrevendo: 0x)AI( =−λ

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A solução da equação anterior é não trivial, se só se o determinante for:

0)AIdet( =−λ

Portanto, a equação de n-ésima ordem em λ, resultante do desenvolvimento do determinante é a equação característica e a estabilidade do sistema pode ser facilmente obtida.

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EXEMPLO: Dado o sistema

Determine a quantidade de pólos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jw.

[ ]x001y

u00

10x

2510182130

x

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=&

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SOLUÇÃO: Inicialmente forme a matriz (sI - A):

Obtenha agora det(sI – A):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

2s51018s213s

2510182130

s000s000s

)AsI(

52s7s6s)AsIdet( 23 −−−=−

Utilizando este polinômio, forme a tabela de Routh.

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Como ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna, o sistema possui um pólo no semiplano da direita e dois pólos no semiplano da esquerda. Portanto, o sistema é instável.

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6 Estabilidade de sistemas com atraso

Pode o critério de estabilidade apresentado neste capítulo ser aplicado a sistemas que contenham retardamentos de tempo ?

Não, eles não podem ser diretamente aplicados porque os sistemas que contém retardamento de tempo não tem equações características da forma exigida, isto é, polinômios finitos em s.

Por exemplo, a seguinte equação característica representa um sistema que contém um retardamento de tempo:

0ess sT2 =++ −

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Falando estritamente, esta equação tem um número infinito de raízes, pois:

...!3

x!2

xx1e32

x ++++=

Entretanto, em alguns casos, uma aproximação pode ser empregada para e-sT para dar uma informação útil, entretanto imprecisa em relação a estabilidade do sistema.

Para exemplificar, seja e-sT, na equação anterior, substituída pelos dois primeiros termos da série de Taylor. A equação se torna,

0sT1ss2 =−++

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Ou,01s)T1(s2 =+−+

Para ser estável, um dos requisitos que o polinômio característico deve ter é que seus coeficientes sejam positivos. Portanto, tem-se que

T < 1

Outra aproximação possível para o retardo e-sT seria a de Padé.

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OBRIGADO

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