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Tema da Aula:

Representação de Sistemas Dinâmicos – Parte II

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos

1

Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos

Estrutura da aula

2

1 Circuito Análogo Elétrico2 Representação em Espaço de Estados;3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinal.4 Linearização5 Sistemas com Atraso de Transporte

3

1 Circuito Análogo Elétrico

Destacamos nesta seção a similaridade entre as equações resultantes das leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as equações de movimento dos sistemas mecânicos.

As variáveis dos circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas dos sistemas mecânicos.

Um circuito elétrico análogo a um sistema de outra natureza é chamado de circuito elétrico análogo. Os análogos podem ser obtidos pela comparação das equações de governo, como equações de movimento de um sistema mecânico, com as equações elétricas de malhas ou de nós.

Quando a comparação é realizada com as equações das malhas, o circuito elétrico resultante é chamado análogo em série. Quando a comparação é com as equações dos nós, o circuito elétrico resultante é chamado análogo em paralelo.

4

1 Circuito Análogo ElétricoANÁLOGOS EM SÉRIE

Considere o sistema mecânico em translação mostrado na figura (a), cuja equação de movimento é.

( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2

A equação de malha de Kirchhoff para o circuito RLC em série mostrado na figura (b) é

( ) ( )sEsICs

RLs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

1

( ) ( ) ( ) ( )sFsVsKfMsssX

sKsfMs

vv =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

++2

(1)

(2)

Observa-se que deslocamento e corrente não são análogos. Assim, operando-se sobre a equação (1) para converter o deslocamento para velocidade pela divisão e multiplicação do lado esquerdo da equação por s, o resultado fica

(3)

5


6


Comparando-se as equações (2) e (3) é possível reconhecer a soma de impedâncias e construir o circuito mostrado na figura (c). As conversões são resumidas na figura (d).

EXEMPLO:Desenhe um análogo em série para o sistema mecânico mostrado da figura a seguir.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfvsXKKsfvfvsM =+−++++ 223131312

1

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322

2123 =++++++− sXKKsfvfvsMsXKsfv

7

1 Circuito Análogo ElétricoSOLUÇÃOAs equações anteriores são análogas às equações elétricas de malha após serem convertidas para velocidade. Assim,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFsVs

KfvsVs

KKsfvfvsM =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

+++ 22

3121

311

( ) ( ) ( ) ( ) 0232

32212

3 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

++++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− sV

sKKfvfvsMsV

sKfv

Os coeficientes representam somas de impedâncias elétricas. O resultado émostrado na figura abaixo.

8


ANÁLOGOS EM PARALELO

Um sistema mecânico também pode ser convertido em um análogo em paralelo equivalente. Considere novamente o sistema mecânico da figura (a) (próximo slide), cuja equação de movimento é dada pela equação.

A equação de Kirchhoff dos nós para o circuito RLC paralelo simples mostrado na figura (b) é,

( ) ( )sIsELsR

Cs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

11

Comparando as equações (1) e (2) identifica-se a soma das admitâncias e desenha-se o circuito mostrado na figura (c). As conversões são resumidas na figura (d).

(2)

( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2 (1)

9


10

2 Representação em Espaço de EstadosINTRODUÇÃO

Enquanto a teoria de controle convencional é baseada na relação entre entrada e saída ou função de transferência, a teoria de controle moderno (variáveis de estado) se baseia na descrição das equações do sistema em termos de n equações diferenciais de primeira ordem, que podem ser cominadas em equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem.

As técnicas de espaço de estado são úteis por diversas razões, mencionadas a seguir:

• Equações de estado fornecem um modelo matemático de grande generalidade que pode descrever não somente sistemas lineares, mas também sistemas não-lineares; não somente sistemas invariantes no tempo, mas também sistemas com parâmetros variantes no tempo; não somente sistemas SISO, mas também sistemas MIMO.

• A notação matricial compacta e as poderosas técnicas de álgebra linear facilitam as manipulações complexas.

11

2 Representação em Espaço de Estados• Equações de estado resultam em uma fácil situação para a simulação em computadores digitais de sistemas complexos de alta ordem, lineares ou não e com múltiplas entradas e saídas.

• Para sistemas de 2 ª ordem, um método gráfico chamado de análise no plano de fase pode ser utilizado nas equações de estado, sejam elas lineares ou não.

MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS

Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas de variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variávies em t = to, juntamente com o conhecimento da entrada para t >= to, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t >= to.

Variáveis de Estado: são as variáveis que determinam comportamento futuro de um sistema quando são conhecidas o estado presente do sistema e os sinais de excitação.

12

2 Representação em Espaço de Estados

Vetor de Estado: Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de um dado sistema, então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x.

Espaço de Estados: O espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados pelas variáveis de estado, é chamado de espaço de estados.

Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores. Considere também que existam r entradas u1(t), u2(t), ..., ur(t), e m saídas y1(t), y2(t), ..., ym(t). Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado: x1(t), x2(t), ..., xn(t). Então o sistema pode ser descrito como:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )tuuuxxxftx

tuuuxxxftxtuuuxxxftx

rnnn

rn

rn

;,,,;,,,

;,,,;,,,;,,,;,,,

2121

212122

212111

KK&

M

KK&

KK&

=

==

(1)

13


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )tuuuxxxgty

tuuuxxxgtytuuuxxxgty

rnmm

rn

rn

;,,,;,,,

;,,,;,,,;,,,;,,,

2121

212122

212111

KK

M

KK

KK

=

==

As saídas y1(t), y2(t), ..., ym(t) do sistema podem ser dadas por:

Se definirmos,

( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tuuuxxxf

tuuuxxxftuuuxxxf

tuxf

rnn

rn

rn

;,,,;,,,

;,,,;,,,;,,,;,,,

,,

2121

21212

21211

KK

M

KK

KK

( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tuuuxxxg

tuuuxxxgtuuuxxxg

tuxg

rnm

rn

rn

;,,,;,,,

;,,,;,,,;,,,;,,,

,,

2121

21212

21211

KK

M

KK

KK

(2)

14


( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tx

txtx

tx

n

M2

1

( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ty

tyty

ty

m

M2

1

( )

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tu

tutu

tu

r

M2

1

As equações (1) e (2) tornam-se:

( ) ( )( ) ( )tuxgty

tuxftx,,,,

==& (3)

(4)

Onde a equação (3) é a equação de estado e a equação (4) é a equação de saída. Se as equações (3) e (4) forem linearizadas em torno de um ponto de operação, então teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutDtxtCty

tutBtxtAtx+=+=& (5)

(6)

15


Onde: A(t) – matriz de estado; C(t) – matriz de saída;B(t) – matriz de entrada; D(t) – matriz de transmissão direta.

Uma representação do diagrama de blocos das equações (5) e (6) é mostrada na figura a seguir.

( )tx&( )tu ( )ty( )tx

A(t)

B(t) C(t)

D(t)

∫ dt

16


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tDutCxty

tButAxtx+=+=& (7)

(8)

Se as funções vetoriais f e g não envolvem o tempo t explicitamente, então o sistema será chamado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equações (5) e (6) podem ser simplificadas para:

EXEMPLO:Dado o circuito elétrico a seguir, obtenha sua representação no espaço de estados considerando como saída a corrente através do resistor.

17


SOLUÇÃO

Etapa 1 : Nomeie todas as correntes referentes às ramificações do circuito. Essas correntes são iL, iR e iC conforme mostrado na figura.

Etapa 2 : Selecione as variáveis de estado escrevendo as equações em derivadas para todos os elementos armazenadores de energia, isto é, o indutor e o capacitor. Assim,

LL

CC

vdtdiL

idt

dvC

=

= (9)

(10)

Com base em (9) e (10), escolha as variáveis de estado como as grandezas que são derivadas, quais sejam, vC e iL. Como iC e vL não são variáveis de estado, a próxima etapa é escrever iC e vL como combinações lineares das variáveis de estado, vC e iL e da entrada, v(t).

18


Etapa 3 : Aplique a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter iC e vL.

No nó 1, tem-se

LC

LRC

ivR

iii

+−=

+−=1

que fornece iC em função das variáveis de estado, vC e iL . Ao longo da malha externa, tem-se

( )tvvv CL +−=

que fornece vL em função das variáveis de estado, vC e da fonte, v(t).

(11)

(12)

19


Etapa 4 : Substitua os resultados das equações (9) e (10) nas equações (11) e (12) para obter as seguintes equações de estado.

( )tvvdtdiL

ivRdt

dvC

CL

LCC

+−=

+−=1

ou

(13)

(14)

( )tvL

vLdt

di

iC

vRCdt

dv

CL

LCC

11

11

+−=

+−=

20


Etapa 5 : Obtenha a equação de saída. Como se deseja a saída iR(t), tem-se

CR vR

i 1=

O resultado final para a representação no espaço de estados é obtido expressando-se as equações (14) e (15) na forma vetorial-matricial que se segue:

(15)

( ) ( )

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

L

CR

L

C

L

C

iv

Ri

tvLi

v

L

CRCiv

01

10

01

11

&

&

21

2 Representação em Espaço de EstadosO diagrama de blocos do sistema é exposto a seguir. Note que as saídas dos integradores são as variáveis de estado.

( )tvC&

( )tv

∫ dt

( )tiL&

C1

∫ dtL1

L1

( )tvC

( )tiL

RC1

R1 ( )tiR

22

2 Representação em Espaço de EstadosCORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADOS

Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por:

( )( ) ( )sGsUsY=

Este sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tDutCxty

tButAxtx+=+=&

A transformada de Laplace das equações anteriores é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDUsCXsY

sBUsAXxssX+=

+=− 0

23

2 Representação em Espaço de Estadosestabelecemos x(0) igual a zero. Então,

( ) ( ) ( )sBUsAXssX =−

ou ( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−

Multiplicando à esquerda ambos os lados dessa última equação por (sI - A)-1, obtemos:

( ) ( ) ( )sBUAsIsX 1−−=

Substituindo esta equação na equação de saída, temos:

( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsY +−= −1

Comparando esta equação com a função de transferência, vemos que:

( ) ( ) DBAsICsG +−= −1

24


EXEMPLO:Considere o sistema mecânico abaixo. De acordo com o diagrama, a equação do sistema é:

uMx

x

Mb

Mkx

x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1010

2

1

2

1

&

&

)()(

2

1

tyxtyx

&==

Vamos definir as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como:

uykybyM =++ &&&

M

u(t)

y(t)

b

k

Então obtemos:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

101xx

y

A equação de saída pode ser escrita como:

25


Pela substituição de A, B, C e D, obtemos:

( ) ( ) DBAsICsG +−= −1

[ ] 0M

10

Mb

Mk

10s00s

011

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

=−

M10

Mbs

Mk

1s01

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+− −

sMkMbs

Mks

MbsM

bsM

ks 111

2

1

Como

26


[ ]

kbsMs

MsMkMbs

Mks

Mbs

sG

++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

++=

2

2

1

101101)(

tem-se:

27


REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NO ESPAÇO DE ESTADOS

(Caso - I): Representação cuja função de entrada não possui derivadas.

Considere o seguinte sistema de ordem n:

uyayayay nn

nn=++++ −

−

&L 1

)1(

1

)(

Observando-se que o conhecimento de y(0), junto com a entrada u(t) para t >= 0, determina completamente o comportamento futuro do sistema, pode-se considerar como um conjunto de nvariáveis de estado.

)0(,),0()1( −n

yy K&

)(,),(),()1(

tytytyn−

K&

Definindo

)1(

2

1

−

=

==

n

n yx

yxyx

M

&

(1)

28


uxaxax

xx

xxxx

nnn

nn

+−−=

=

==

−

11

)1(

32

21

L&

&

M

&

&

(2)

A equação (1) pode ser escrita do seguinte modo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

xM2

1

ou ( ) ( ) ( )tButAxtx +=&

onde

(3)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−− 121

1000

01000010

aaaa

A

nnn L

L

MLMMM

L

L

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

00

MB

29

2 Representação em Espaço de EstadosA saída pode ser dada por:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

yM

L 2

1

001

ou xCy =

onde [ ]001 L=C

30

2 Representação em Espaço de Estados(Caso - II): Representação cuja função de entrada possui derivadas.

Método I: Utilizando as variáveis auxiliares.

Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada, como:

ububububyayayay nn

nn

nn

nn++++=++++ −

−

−

−

&L&L 1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre nos termos com derivadas. As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado. Uma maneira de obter a equação de estado édefinir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado:

uxuuuuyx

uxuuuyxuxuuyx

uyx

)1n()1n(1n2n

)2n(

1

)1n(

0

)1n(

n

222103

11102

01

−−−−

−−−

β−=β−β−−β−β−=

β−=β−β−β−=β−=β−β−=

β−=

&&L

M&&&&&&

&&&

31


onde β0, β1, β2, ..., βn são determinadas a partir de

01111

03122133

021122

0111

00

ββββ

βββββββ

βββ

nnnnn aaab

aaabaab

abb

−−−−=

−−−=−−=

−==

−− L

M

32


Com esta escolha de variáveis de estado, a existência e a unicidade da solução da equação estão garantidas. Com essa escolha, obtemos:

uxaxaxax

uxx

uxxuxx

nnnnn

nnn

β

β

ββ

+−−−−=

+=

+=+=

−

−−

1211

1)1(

232

121

L&

&

M

&

&

33


u

xx

xx

aaaaxx

xx

n

n

n

n

nnnn

n

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

ββ

ββ

1

2

1

1

2

1

121

1

2

1

1000

01000010

MM

L

L

MLMMM

L

L

&

&

M

&

&

Em termos de equações vetoriais-matriciais, a equação de estado e de saída são escritas como:

[ ] u

x

xx

y

n

02

1

001 β+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L

34

2 Representação em Espaço de EstadosMétodo II: Decomposição em cascata.

Se uma função de transferência possuir um polinômio em s no numerador que seja de ordem inferior ao polinômio do denominador, de acordo com a figura (a), o numerador e o denominador poderão ser manipulados separadamente.

Inicialmente decomponha a função de transferência em duas funções em cascata, conforme mostrado na figura (b).

35


( ) ( )sXbsbsbsCsY 1012

2)()( ++==

101

121

2

2)( xbdtdxb

dtxdbty ++=

A primeira função de transferência é convertida para uma representação em variáveis de fase no espaço de estados. Assim, a variável de fase x1 é a saída e as demais variáveis de fase são internas ao primeiro bloco, conforme mostrado na figura (b).

A segunda função de transferência fornece

onde, após aplicar a transformada de Laplace inversa, com condições iniciais nulas, resulta em

36


322110)( xbxbxbty ++=

Os termos em derivadas refletem as definições da variáveis de fase obtidas no primeiro bloco. Assim, escrevendo-se os termos em ordem inversa para se obter uma expressão com a forma da equação de saída, tem-se

Portanto, o denominador da função de transferência fornece as equações de estado, enquanto o numerador fornece a equação de saída.

37

2 Representação em Espaço de EstadosEXEMPLO:

Obtenha a representação no espaço de estados da função de transferência mostrada na figura (a).

SOLUÇÃO

Etapa I : Separe o sistema em dois blocos em cascata, conforme mostrado na figura (b).

38


Etapa II : Obtenha as equações de estado para o bloco que contém o denominador.

rxxx

xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

92624100010

3

2

1

3

2

1

&

&

&

Etapa III : Introduza o efeito do bloco com o numerador. O segundo bloco da figura (b), onde b2 = 1, b1 = 7 e b0 = 2, estabelece que

( ) ( ) ( ) ( )sXsssXbsbsbsC 12

1012

2 27)( ++=++=

Aplicando a transformada de Laplace inversa com condições iniciais nulas, tem-se

111 27 xxxc ++= &&&

39

2 Representação em Espaço de EstadosPorém,

31

21

11

xxxxxx

===

&&

&

Portanto,

123102132 27)()( xxxxbxbxbtcty ++=++==

Assim, a última caixa da figura (b) reúne os estados e gera a equação de saída.

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

3

2

1

210 172xxx

xxx

bbby

40


Portanto, a figura (c) reproduz o diagrama de blocos do sistema.

41

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.

Os diagramas de blocos são adequados para a representação dos inter-relacionamentos de variáveis controladas e de entrada.. Contudo, para um sistema com inter-relacionamentos complexos, o procedimento de redução é enfadonho e geralmente muito difícil de concluir.

Um método alternativo para a determinação dos relacionamentos entre as variáveis de um sistema foi desenvolvido por Mason e é baseado em uma representação do sistema por meio de segmentos de arcos.

A vantagem do método do caminho dos arcos, chamado de método do diagrama de fluxo de sinal, é a disponibilidade de uma fórmula para o ganho do diagrama de fluxo, a qual fornece a relação entre variáveis do sistema sem requerer qualquer procedimento de redução ou manipulação do diagrama de fluxo.

42

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Um diagrama de fluxo de sinal consiste em ramificações, as quais representam o sistema, e nós, que representam os sinais. Esses elementos são mostrados na figura (a) e (b), respectivamente. Um sistema é representado por uma linha com uma seta indicando a orientação do fluxo de sinal através do sistema. Um sinal é representado por um nó.

43

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.A figura (c) mostra a interconexão dos sistemas e dos sinais. Cada sinal é igual àsoma dos sinais que fluem através do nó correspondente.

Por exemplo, o sinal

V(s) = R1(s)G1(s) – R2(s)G2(s) + R3(s)G3(s)

O sinal C2(s) = R1(s)G1(s) G5(s) – R2(s)G2(s) G5(s) + R3(s)G3(s) G5(s).

O sinal C3(s) = - V(s) G6(s) = -R1(s)G1(s) G6(s) + R2(s)G2(s) G6(s) - R3(s)G3(s) G6(s).

Note que na soma de sinais negativos, associa-se o sinal negativo ao sistema e não à junção de soma, como no caso dos diagramas de blocos.

44

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.A REGRA DE MASON (1957)

Definições:

Ganho de malha: O produto dos ganhos das ramificações obtido ao se percorrer um caminho que parte de um nó, seguindo o sentido do fluxo de sinal, sem passar por qualquer outro nó mais de uma vez. Por exemplo no diagrama a seguir, existem quatro ganhos de malha:

1. G2(s)H1(s); 2. G4(s)H2(s); 3. G4(s)G5(s)H3(s); 4. G4(s)G6(s)H3(s).

45

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Ganho do caminho adiante: O produto dos ganhos obtido ao se percorrer um

caminho desde de um nó de entrada até o nó de saída do diagrama de fluxo de sinal.Por exemplo no diagrama a seguir, existem dois ganhos de caminho adiante:

1. G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G7(s); 2. G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G6(s) G7(s);

46

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Malhas disjuntas: São malhas que não possuem qualquer nó em comum com outra

malha. No diagrama de fluxo de sinal a seguir, a malha G2(s) H1(s) não toca as malhas:

1. G4(s) H2(s) ; 2. G4(s) G5(s) H3(s)3. G4(s) G6(s) H3(s)

47

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Ganho de uma malha disjunta: É o produto de ganhos das malhas disjuntas

consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro e assim sucessivamente. Em resumo, os três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas ficam.

1. [G2(s)H1(s)] [G4(s)H2(s)];2. [G2(s)H1(s)] [G4(s) G5(s) H3(s)];3. [G2(s)H1(s)] [G4(s) G6(s) H3(s)];

O produto dos ganhos de malha [G4(s) G5(s) H3(s)] [G4(s) G6(s) H3(s)] não é um ganho de malhas disjuntas, uma vez que essas duas malhas possuem nós em comum.

48

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.Regra de Mason:

A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é

∆∆

== ∑ kkk TsRsCsG)()()(

onde:

k = número de percursos adiante;Tk = ganho do k-ésimo percurso adiante;∆ = 1 – Σ ganhos de malhas + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas -Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro - ....∆k = ∆ - Σ ganhos de malhas em ∆ que tocam o k-ésimo percurso adiante. Em outras palavras, ∆k é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso adiante.

49

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.EXEMPLO: Obtenha a função de transferência, C(s)/R(s), referente ao diagrama de fluxo de sinal mostrado na figura a seguir.

SOLUÇÃO

Primeiro identifique os ganhos de percurso adiante. Neste exemplo hásomente um, qual seja,

G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s)

Segundo, identifique os ganhos de malha. Existem quatro, definidos por

1. G2(s) H1(s);2. G4(s) H2(s);3. G7(s) H4(s);4. G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G6(s) G7(s) G8(s) ;

(1)

(2)

50


Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas. Com base nas equações anteriores e na figura a seguir, pode-se verificar eu a malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3. Observe que as malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4. Portanto, as combinações de malhas disjuntas, duas a duas, são as seguintes:

Malha 1 e Malha 2: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s)



(3)

51


Finalmente, as malhas três a três são:

Malha 1, 2 e 3: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) G7(s)H4(s)

Agora, com base na equação de Mason e suas definições, são formados ∆ e ∆k. Portanto,

∆ = 1 – [G2(s) H1(s) + G4(s) H2(s) + G7(s) H4(s) + G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) G6(s) G7(s) G8(s) ] + [G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) + G2(s)H1(s)G7(s)H4(s) + G4(s)H2(s)G7(s)H4(s) ] – [G2(s)H1(s)G4(s)H2(s) G7(s)H4(s)]

Obtém-se ∆k eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso adiante:

∆k = 1 – G7(s) H4(s)

(4)

(5)

(6)

52


As expressões (1), (5) e (6) são substituídas agora na equação de Mason, fornecendo a função de transferência:

[ ][ ]∆

−=

∆∆

=)()(1)()()()()()( 475432111 sHsGsGsGsGsGsGTsG

Como existe apenas um percurso adiante, G(s) consiste em apenas um termo, em vez de um somatório de termos, cada um proveniente de um percurso adiante.

53

3 Representação em Diagrama de Fluxo de Sinais.EXEMPLO: Obtenha a função de transferência, C(s)/R(s), referente ao diagrama de fluxo de sinal mostrado na figura (a) a seguir. O diagrama de blocos correspondente é exposto na figura (b).

SOLUÇÃO

Primeiro identifique os ganhos de percurso adiante. Neste exemplo existem dois:

P1 = G1(s)G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) P2 =G5(s) G6(s) G7(s) G8(s)

54


Os ganhos de malha são definidos por

L1 = G2(s)H2(s), L2 = H3(s)G3(s), L3 = G6(s)H6(s), L4 = G7(s)H7(s).

As malhas L1 e L2 não tocam L3 e L4. Portanto, o determinante é

∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 ) + (L1 L3 + L1 L4 + L2 L3 + L2 L4 )

O cofator do determinante ao longo do caminho 1 é calculado removendo-se de ∆os laços que tocam o caminho 1. Assim, tem-se

L1 = L2 = 0 e ∆1 = 1 – (L3 + L4)

De modo semelhante, o cafator para o caminho 2 é

∆2 = 1 – (L1 + L2)

55


Portanto, a função de transferência do sistema é

( ) ( )423241314321

2187654343212211

111)(

)()(

LLLLLLLLLLLLLLGGGGLLGGGGPPsT

sRsY

++++−−−−−−+−−

=∆

∆+∆==

56

4 LinearizaçãoNÃO-LINEARIDADES:

Os modelos desenvolvidos até aqui são referentes a sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações lineares invariantes no tempo. Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento desses modelos.

Um sistema linear possui duas propriedades: superposição e homogeneidade. A propriedade de superposição significa que a resposta na saída de um sistema à soma de entradas é igual à soma das respostas às entradas individuais. Assim, se uma entrada r1(t) fornece uma saída c1(t), e uma entrada r2(t) fornece uma saída c2(t), então, uma entrada r1(t) + r2(t) fornece uma saída c1(t) + c2(t).

A propriedade de homogeneidade descreve a resposta do sistema à multiplicação da entrada por um escalar. Especificamente, em um sistema linear, a propriedade de homogeneidade é demonstrada se, para uma entrada r1(t) que fornece uma saída c1(t), uma entrada Ar1(t) fornecerá uma saída Ac1(t); isto é, a multiplicação de uma entrada por um escalar fornece uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar.

57


Pode-se visualizar a linearidade como mostrado na figura (a) a seguir. A figura (a) éum sistema linear onde a saída é sempre igual à metade da entrada, ou f(x) = 0,5x, independentemente do valor de x. Assim, cada uma das duas propriedades dos sistemas lineares é aplicável. Superposição: uma entrada de valor 1 fornece uma saída de valor 0,5, e uma entrada de 2 fornece uma saída de 1. Utilizando superposição, uma entrada que seja soma das duas entradas originais, por exemplo 3, forneceria uma saída igual à soma das saídas individuais, isto é, 1,5 (ver figura (a)).

58


Homogeneidade: admita uma entrada de valor 2 que forneça uma saída de valor 1. A multiplicação dessa entrada por 2 forneceria uma saída duas vezes maior, isto é, 2 (ver figura (a)).

Por outro lado, pode-se verificar que a propriedade de linearidade certamente não se aplica à relação mostrada na figura (b).

59


A figura abaixo mostra alguns exemplos de não-linearidades físicas.

Um amplificador eletrônico é linear ao longo de uma faixa específica de valores de entrada, porém apresenta uma não-linearidade denominada saturação para valores elevados de tensões de entrada.

Um motor que não responde a valores muito baixos da tensão de entrada, devido a forças de atrito, apresenta uma não-linearidade denominada zona morta.

60


As engrenagens que não se ajustam firmemente entre si apresentam uma não-linearidade chamada folga: a engrenagem de entrada se move por um pequeno deslocamento sem uma resposta da engrenagem de saída.

Um projetista muita vezes pode realizar uma aproximação linear em um sistema não-linear. As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto de um sistema, e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade. Estas aproximações são tratadas a seguir.

61

4 LinearizaçãoLINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES:

Considere que um sistema não-linear opere em um ponto A, ponto de coordenadas [x0. f(x0)] na figura abaixo. Admita que as variáveis desviem apenas ligeiramente do ponto de operação A. Em outras palavras, pequenas variações na entrada podem ser relacionadas às variações na saída entorno do ponto por meio da inclinação da curva naquele ponto A. Assim, se a inclinação da curva no ponto A é ma, então pequenos desvios da entrada entorno do ponto A, δx, fornecem pequenas variações na saída, δf(x), relacionadas pela inclinação no ponto A. Assim,

( ) ( )[ ] ( )0a0 xxmxfxf −≈−

da qual, tem-se

( ) xmxf aδ≈δe

( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf a00a0 δ+≈−+≈

(1)

(2)

(3)

62

4 LinearizaçãoEXEMPLO

Linearize a função f(x) = 5 cos(x) em torno de x = π/2.

SOLUÇÃO

Tem-se inicialmente que a derivada de f(x) édada por,

( )( )xsen5dxdf

−=

Em x = π/2 a derivada vale –5. Sabe-se também que ( ) ( ) 02cos52f)x(f 0 =π=π=

Assim, pela equação (3) o sistema pode ser representado como:

( ) x5xf δ−=Este processo é mostrado na figura ao lado.

63

4 Linearização

A discussão anterior pode ser formalizada utilizando-se uma expansão em série de Taylor, a qual expressa o valor de uma função em termos do valor dessa função em um ponto particular, da excursão adiante desse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto.

Se a condição de operação normal corresponde a x0 e f(x0), então a equação (3) pode ser expandida em uma série de Taylor entorno desse ponto, como se segue:

( ) ( ) ( ) ( )L+

−+

−+=

== !2xx

dxfd

!1xx

dxdfxfxf

20

xx2

20

xx0

00

Se a variação (x – x0) for pequena, podemos desprezar os termos de ordem superior em (4). Então, a equação (4) pode ser escrita como:

(4)

( ) ( ) ( )0xx

0 xxdxdfxfxf

0

−+==

(5)

64

4 Linearizaçãoou

( ) ( ) ( )

( ) xmxf

xxdxdfxfxf 0

xx0

0

δ≈δ

−=−=

onde

0xxdxdfm

=

=

65

4 LinearizaçãoEXEMPLO:

Linearize a equação a seguir para pequenas excursões em torno de x = π/4.

( ) 0xcosdtdx2

dtxd2

2

=++

SOLUÇÃO:

A presença do termo cos (x) torna esta equação não-linear. Como se deseja linearizar a equação em torno de x = π/4, faz-se x = δx + π/4, onde δx é a pequena excursão em torno de π/4, e substitui-se x na equação anterior:

04

xcosdt

4xd

2dt

4xd

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ

(1)

(2)

66

4 Linearização

Porém,

dtxd

dt4

xd

dtxd

dt4

xd

2

2

2

2

δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ

δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ

Finalmente, o termo cos (δx + (π/4)) pode ser linearizado por uma série de Taylor truncada. A substituição de f(x) = cos (δx + (π/4)), f(x0) = f(π/4) = cos (π/4) e (x – x0) = δx na equação (5) fornece

x4

senxdx

xcosd4

cos4

xcos4

x

δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δπ

=

(3)

(4)

(5)

67

4 Linearização

Resolvendo esta última equação para cos (δx + (π/4)), tem-se

x22

22x

4sen

4cos

4xcos δ−=δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+δ (6)

A substituição das equações (3), (4) e (6) na equação (2) fornece a seguinte equação diferencial linearizada:

22x

22

dtxd2

dtxd

2

2

−=δ−δ

+δ

Esta equação pode agora ser resolvida para δx, de onde se pode obter x = δx + (π/4)

68

4 Linearização

A seguir, considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas, x1 e x2, tal que

y = f(x1, x2)

Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear, podemos expandir em uma série de Taylor entorno do ponto de operação x1

’, x2’.

Assim, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) L+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

∂∂

+−−∂∂∂

+−∂∂

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

∂∂

+−

∂∂

+=

======

====

2'2

xx,xx22

2'

2'

1xx,xx21

22'

1

xx,xx2

1

2

'2

xx,xx2

'1

xx,xx1

'2

'121

2'22

'11

21'22

'11

1'22

'11

2

'22

'11

1

'22

'11

xxxfxxxx

xxf2xx

xf

!21

!1xx

xf

!1xx

xfx,xfx,xf

69

4 Linearização

Nas proximidades do ponto de operação, os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados. O modelo linear é então dado por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )'22

'11

'

'2

xx,xx2

'1

xx,xx1

'2

'121

21

2'22

'11

1'22

'11

xxKxxKyy

xxxfxx

xfx,xfx,xf

−+−=−

−∂∂

+−∂∂

=−====

70

4 LinearizaçãoEXEMPLO:

Linearize a equação não-linear

z = x y

na região 5 <= x <= 7, 10 <= y <= 12. Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x = 5 e y = 10.

SOLUÇÃO:

Como a região considerada é dada por 5 <= x <= 7, 10 <= y <= 12, selecione x’ = 6, y’ = 11. Então z’= x’ y’ = 66. Logo, linearizamos e equação entorno de x’ = 6, y’ = 11.Expandindo a equação em uma série de Taylor próxima do ponto x = x’, y = y’ e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:

( ) ( )''' yybxxazz −+−=−

71

4 Linearização

onde,( )

( ) 6xy

y,xfb

11yx

y,xfa

'

yy,xx

'

yy,xx

''

''

==∂

∂=

==∂

∂=

==

==

Portanto, a equação linearizada é:

( ) ( )11y66x1166z −+−=−

Quando x = 5 e y = 10, o valor de z dado pela equação linearizada é z = 49. O valor exato de z é z = x y = 50. Assim, o erro é de 50 – 49 = 1. Em termos percentuais, o erro é de 2 %.

72

4 Linearização

Vamos tratar agora o caso em que um sistema não-linear é representado por um modelo em espaço de estados. Admita que este sistema seja representado pela seguinte equação vetorial-matricial de estados:

( ))t(r),t(xfdt

)t(dx= (1)

onde x(t) representa o vetor de estados n X 1; r(t) denota o vetor de entradas; e f(x(t), r(t)), o vetor de funções. Em geral, f é uma função do vetor de estados e do vetor de entradas. Um exemplo de sistema não-linear em equações de estado é dado a seguir.

)t(r)t(xdt

)t(dx

)t(x)t(xdt

)t(dx

12

221

1

+=

+=

73

4 LinearizaçãoDesde que sistemas não-lineares são mais complexos de analisar e projetar, podemos desenvolver a linearização do mesmo.

Admita uma trajetória de operação nominal denotada por x0(t), a qual corresponde a uma entrada nominal r0(t) e algumas condições iniciais constantes. A expansão da equação de estados não-linear (1) em uma série de Taylor truncada entorno de x(t) = x0(t) resulta em:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j0j

y,x

p

1j j

ij0j

y,x

n

1j j

i00ii rr

rr,xfxx

xr,xfr,xftx

0000

−∂

∂+−

∂∂

+= ∑∑==

&

onde, i = 1, 2, ..., n. Considere,

i0ii xxx −=δ

j0ji rrr −=δ

(2)

(3)

(4)

74

4 Linearização

( ) ( )j

y,x

p

1j j

ij

y,x

n

1j j

ii r

rr,xfx

xr,xfx

0000

δ∂

∂+δ

∂∂

=δ ∑∑==

&

i0ii xxx &&& −=δEntão,

( )00ii0 r,xfx =&

(5)

(6)

Portanto, a equação (2) pode ser escrita como:

(7)

A equação (7) pode ser escrita na forma vetorial-matricial:

rBxAx ** δ+δ=δ& (8)

75

4 Linearização

onde,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

*

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

A

L

MLMM

L

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

*

rf

rf

rf

rf

rf

rf

rf

rf

rf

B

L

MLMM

L

L

76

4 Linearização

EXEMPLO:A figura acima mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle com uma não-linearidade de saturação. As equações de estado do sistema são:

)t(u)t(f)t(x)t(x)t(f)t(x

22

211

====

&

&

onde a relação de entrada-saída da não-linearidade de saturação é representada por:

( )( ) )t(xSGNe1)t(u 1txK 1−−=

onde: ( ) ( )( )⎩

⎨⎧

<−>+

=0tx10tx1

txSGN1

11

(1)

(2)

(3)

(4)

77

4 LinearizaçãoSOLUÇÃO:

A substituição da equação (3) em (2) e o uso da equação de , resulta nas seguintes equações de estado linearizadas:

(5)

(6)

ix&δ

)t(xKe)t(xx

)t(f)t(x

)t(x)t(xx

)t(f)t(x

1xK

11

22

222

11

01 δ=δ∂∂

=δ

δ=δ∂∂

=δ

−&

&

onde x01 denota um valor nominal de x1(t). Observa-se que estas duas últimas equações são lineares e são válidas apenas para pequenos sinais. Na forma vetorial-matricial, estas equações de estados linearizadas são escritas como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

)t(x)t(x

0a10

)t(x)t(x

2

1

2

1

&

& onde: 01xKKea −= = constante

78

4 Linearização

Analisando o significado da linearização, se x01 for escolhido como a origem de não-linearidade, x01 = 0, então a = K; assim, (6) torna-se

)t(xK)t(x 12 δ=δ&

Portanto, o modelo linearizado é equivalente a um amplificador linear com um ganho constante de K. Por outro lado, se x01 for um número grande, o ponto de operação nominal vai atingir a porção saturada da não-linearidade, e a = 0. Significa que qualquer pequena variação em x1(t), isto é, pequenos δx1(t) daráorigem a praticamente nenhuma mudança em .)t(x2&δ

79

4 LinearizaçãoEXEMPLO:A figura abaixo mostra o diagrama de um sistema de suspensão magnética de uma esfera metálica. O objetivo deste sistema é controlar a posição da esfera através do ajuste na corrente do eletroímã pela tensão de entrada e(t). As equações diferenciais do sistemas são dadas:

dt)t(diL)t(Ri)t(e

)t(y)t(iMg

dt)t(ydM

2

2

2

+=

−= (1)

(2)

80

4 Linearizaçãoonde:e(t) = tensão de entrada, y(t) = posição da esferai(t) = corrente do enrolamento R = resistência do enrolamentoL = indutância do enrolamento M = massa da esfera.g = aceleração da gravidade

(3)

(4)

SOLUÇÃO:

Define-se as variáveis de estado como x1(t) = y(t), x2(t) = dy(t)/dt, e x3(t) = i(t). As equações de estado do sistema são dadas por:

)t(eL1)t(x

LR

dt)t(dx

)t(x)t(x

M1g

dt)t(dx

)t(xdt

)t(dx

33

1

22

21

3

+−=

−=

=

(5)

81

4 LinearizaçãoVamos linearizar o sistema entorno de um ponto de equilíbrio y0(t) = x01 = constante. Então,

0dt

)t(yd

0dt

)t(dx)t(x

20

2

0102

=

==

O valor nominal de i(t) é determinado pela substituição da equação (7) em (1). Portanto,

(6)

(7)

01030 xgM)t(x)t(i ==

A equação de estados linearizada é expressa na forma de , com as matrizes de coeficientes A* e B* dadas como:

x&δ

82

4 Linearização

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

LR00

Mxg20

xg

010

LR00

Mxx20

Mxx

010

A2

1

010101

03201

203*

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

L100

B*

83

5 Sistemas com Atraso de Transporte

Em aplicações práticas, atrasos de tempo podem ser encontrados em vários sistemas físicos, especialmente em sistema hidráulicos, pneumáticos ou transmissões mecânicas.

Sistemas com controle por computador também possuem atraso de tempo, desde que certo tempo é necessário para que o computador realize operações numéricas.

Neste tipo de sistema, a saída começa a responder à entrada apenas após um certo intervalo de tempo.

84


A figura acima exibe uma instalação na qual dois fluidos diferentes devem são misturados em proporções apropriadas. Para garantir que uma solução homogênea seja medida, o ponto de monitoramento está localizado a uma distância do ponto de mistura (válvula). Portanto, existe um tempo de atraso entre o ponto de mistura e o local onde a mudança na concentração é detectada. Se uma taxa de fluxo da solução misturada é de (v) polegadas por segundo e (d) a distância entre os pontos de mistura e de monitoramento, o atraso de tempo édado por:

vdTd =

85

5 Sistemas com Atraso de TransporteSe admitirmos que a concentração do ponto de mistura seja y(t) e que a mesma é reproduzida sem alterações Td segundos após o ponto de monitoramento, a quantidade medida é dada por:

b(t) = y(t –Td)

A transformada de Laplace desta última equação é:

)s(Ye)s(B sTd−=

onde Y(s) é transformada de Laplace de y(t). Portanto, a função de transferência entre b(t) e y(t) é

sTde)s(Y)s(B −=

86


A figura a seguir ilustra o caso onde ocorre o controle da espessura de chapas de aço laminado. A função de transferência entre a espessura nos rolos e o ponto de medição é novamente dado pela seguinte equação.

sTde)s(Y)s(B −=

87


APROXIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE ATRASO DE TRANSPORTE

Existem vários métodos de aproximação da função por uma função racional. Uma destes métodos é aproximar a função exponencial por uma série de Maclaurin, dada por:

sTde−

2sTsT1e

22d

dsTd +−≅−

ou

2sTsT1

1e 22d

d

sTd

++≅−

onde apenas três termos da série são usados. Percebe-se que esta aproximação não éválida quando a magnitude de Tds for grande.

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2sT1

2sT1

ed

dsTd

+

−≅−

Uma melhor aproximação consiste na aproximação de Padé, a qual é dada a seguir para uma aproximação de dois termos.

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OBRIGADO

tema da aula - foz.unioeste.brchsantos/eng_cont/aula_04.pdf · as variáveis dos circuitos...

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