aula 4 circuitos magnéticos

ENGENHARIA ELÉTRICA

CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

PROFº ANDERSON DA SILVA JUCÁ

(apontamentos)

Uma integração de linha de H ao longo de algum percurso circular dado resulta em:

Ampère [A]

8. Lei Circuital de Ampère

1

r.2

0

1Idl

r.2I

dlH

Obs: a integral de linha é usada

porque H tem dimensão por unidade de comprimento.

Eq.09

Esta equação mostra que a integral de linha fechada da intensidade do campo magnético é igual às correntes envolvidas (ou ampère-espiras) que produzem as linhas de campo magnético. Esta relação é denominada de Lei de Ampère de Circuito, e é expressa por:

INdlH x Eq.10

Onde designa os ampère-espiras envolvidos pelo percurso fechado assumido das linhas de fluxo. é também conhecido como força magnetomotriz e é freqüentemente abreviada como fmm.

Agora que a intensidade de campo magnético (H) foi definida e demonstrada como tendo unidade de ampère-espiras/metro, pode-se deduzir uma expressão muito útil. Sabe-se que H é um vetor que tem o mesmo sentido e o mesmo lugar geométrico circular que o do campo magnético B.


lB

lH xx

Eq.11

As definições anteriores foram feitas a partir da experiência elementar de Ampère com dois condutores conduzindo corrente. Pela manipulação correta destas grandezas, outras fórmulas úteis podem ser obtidas.

A equação Eq.08 é uma equação vetorial que descreve a intensidade do campo magnético para uma dada geometria e corrente. Se o comprimento total do percurso de uma linha de fluxo for suposto como sendo l, então a força magnetomotriz (fmm) associada à linha de fluxo especificada é:

Agora, nas situações onde B é uma constante e penetra uma área fixa e conhecida (A), o fluxo magnético correspondente pode ser escrito da equação Eq.07 como sendo:

ABx Eq.12


Al

lB

lHx

xx Eq.13

Introduzindo a equação Eq.12 na equação Eq.11, obtém-se:

O termo entre parênteses mostra uma grande semelhança com a definição de resistência em um circuito elétrico. Um exame da equação Eq.13 fornece uma interpretação similar para o circuito magnético.

xEq.14

Já está claro que é a fmm que gera o fluxo , que penetra a área de seção transversal especificada A. Contudo, esse fluxo é limitado em módulo pelo que é chamado a relutância do circuito magnético, que é definida como:

A equação Eq.15 é também conhecida como a Lei de Ohm do circuito magnético. É somente válida se B e A forem quantidades fixas.

Alx

Eq.15

Aplicando a equação acima no circuito magnético simples, temos:

A unidade da indução magnética (B) é o Weber/metro2 (1 Wb=108 linhas de campo magnético.

= permeabilidade magnética do núcleo = o . r (o = 4 x 10-7 Wb/A.m)

r = permeabilidade relativa do material, valores típicos de r estão na faixa de 2.000 a 6.000, para materiais usados em máquinas.

9. Circuitos Magnéticos

A intensidade de campo magnético (H), produz uma indução magnética (B) em toda a região sujeita ao campo magnético.

NI = H l , no caso: N I = Hn ln

B=.H ou B=/A [Wb/m2]Figura 21

Para o circuito magnético abaixo, temos:


+N I - Hab.lab - Hbc.Ibc - Hca.lca=0

NI = Hab.lab + Hbc.Ibc + Hca.lca

Todos os termos que aparecem nessa equação são conhecidos, com exceção das forças magnetizantes para as diferentes partes do circuito magnético, que podem ser obtidas a partir do gráfico B-H se a densidade de fluxo (B) for conhecida.

lH .Onde H é a força magnetizante em uma seção do circuito magnético e l, o comprimento da seção.

Figura 22

Os dispositivos de conversão de energia que incorporam um elemento móvel exigem entreferros nos núcleos. Portanto, as estruturas magnéticas apresentam um entreferro (espaço de ar inserido entre duas porções magnéticas) em seu circuito magnético.

Este entreferro pode ser inserido propositalmente, como ocorre nos motores e geradores elétricos como mostrado na Figura 23, ou involuntariamente devido ao processo construtivo, como indicado na Figura 24

Figura 23 – Entreferro de um motor elétrico.


Figura 24 – Entreferro involuntário.

A colocação de chapas lado a lado introduz um pequeno entreferro involuntário entre elas.

Qualquer que seja sua origem e tamanho, o entreferro é parte importante da estrutura magnética e deve sempre ser considerado no circuito magnético.


A Figura 25 mostra as linhas de campo magnético em uma estrutura com a presença de um entreferro, destacando o fenômeno do espraiamento dessas linhas na região do entreferro

Figura 25 - Espraiamento das linhas de campo.

O efeito do espraiamento das linhas de campo equivale a um acréscimo da área de passagem do fluxo magnético no entreferro e como tal deve ser corrigida. Algumas fórmulas empíricas ajudam-nos a resolver, são elas:


A. Entreferro com faces paralelas e iguais

Figura 26 – Entreferro com faces paralelas e iguais.

Neste caso, a área efetiva de passagem do fluxo magnético no entreferro é dada por:


X

Y

g

)).(( ggg YXS

B. Entreferro com faces paralelas e diferentes

Fig. 27 – Entreferro com faces paralelas e diferentes.

Nesta condição, a área efetiva de passagem do fluxo magnético é estimada a partir da expressão:


X

Y

g

)2).(2( ggg lYlXS

Os dispositivos de conversão de energia que incorporam um elemento móvel exigem entreferros nos núcleos. Um circuito magnético com um entreferro (vácuo) é mostrado a seguir:


N i = Hn ln + Hg lg

onde: B = H ; H = B / onde: B = / A

g

o

g

n

n

n lB

lB

NI

g

og

g

n

nn

n lA

lA

IN

og

g

nn

n

A

l

Al

IN

gnIN

gn

onde: n = g =

onde: F = N . I

onde:n = Relutância magnética do núcleo; [A/Wb]g = Relutância magnética do entreferro; [A/Wb] = força magnomotriz; [Ae]

Figura 28

Eq.16


Circuito Elétrico Análogo:

Figura 29


C i r c u i t o E l é t r i c o C i r c u i t o M a g n é t i c o I : C o r r e n t e E l é t r i c a ( A ) : F l u x o M a g n é t i c o ( W b )

E : F o r ç a e l e t r o m o t r i z ( V ) NiF : F o r ç a m a g n e t o m o t r i z ( A e s p ) : C o n d u t i v i d a d e ( S / m ) : P e r m e a b i l i d a d e ( H / m )

S

IJ : D e n s i d a d e d e

C o r r e n t e E l é t r i c a (2/A m )

SB

: D e n s i d a d e d e F l u x o M a g n é t i c o

(2/W b m )

S

lR

1

: R e s i s t ê n c i a ( ) S

l

1

: R e l u t â n c i a ( /A e s p W b )

1G

R : C o n d u t â n c i a ( S )

1

: P e r m e â n c i a

( /W b A e s p )

Identifica-se as seguintes relações entre as grandezas elétricas e magnéticas:

Note-se que a associação entre o circuito elétrico e o circuito magnético levou a denominação densidade de fluxo magnético como sinônimo do campo magnético.

Exercícios

1. Dada a peça abaixo, determinar a densidade de fluxo B em Tesla.

Solução:

TB

m

Wb

AB

2

23

5

10.5

10.2,1

10.6

2. Com base na figura do exercício anterior, se a densidade de fluxo for 1,2 T e a área da seção reta for 0,25 pol.2, determinar o fluxo magnético no interior da peça.

Solução:

Convertendo 0,25pol.2 em m2:

AB.

Wb

mTx

mA

pol

m

pol

mpolA

4

24

24

2

10.936,1

10.613,12,1

10.613,1

.37,39

1.

.37,39

1.25,0

TB

Tm

Wb

AB

2,0

10.210.2

10.4 123

4

Exercícios

3. Para o circuito magnético em série visto na figura abaixo, pede-se:

a) Calcular o valor de I necessário para gerar um fluxo magnético =4.10-4 Wb. b) Determinar µ e µr para o material nessas condições.

Solução: a)

Do gráfico BxH, temos:

H(aço fundido) = 170A/m, logo: NI = Hl

I = Hl/N = (170A/m x 0,16m)/400

I = 68mA

b) µ = B/H = 0,2(T)/1.709 (A.esp./m)

µ = 1,176.10-3 (Wb/A.m)

Logo a permeabilidade relativa é:

µr = µ/µ0 = 1,176.10-3/4..10-7

µr=935,83

Exercícios

4. O reator mostrado na Figura abaixo foi construído com um material magnético de permeabilidade relativa . A bobina de excitação possui 200 espiras. Calculemos a corrente na bobina de excitação necessária para estabelecer uma densidade de fluxo magnético . É dada a permeabilidade do vácuo . E as dimensões estão em cm.

3000R

21,2 /Wb m )/(104 70 mH

i

200espiras

5 520 10

20

55

Solução: A solução do problema se resume em montar o circuito elétrico análogo do problema magnético. Assim, para este caso temos:

2 2,5 20 2,5 2 20 2 2,5 80 ou 0,8cm m 2 4 25 10 50 ou 50 10S cm m

Como conseqüência resulta:

)/(10.44,4210.50

8,0.

104.3000

11 347

WbAespS

l

Sendo , obtém-se: 2/2,1 mWbB WbSB 44 10.6010.50.2,1.

ExercíciosDessa forma, o circuito elétrico análogo é dado por:

wsAespR /1044.42 3

wb41060

i200

Da análise do circuito elétrico análogo, obtemos: Substituindo pelos seus valores, obtém-se: ou ainda:

Ni

43 10.60.10.44,42200 i

Ai 27,1

Exercícios

5. A estrutura magnética da Figura abaixo é confeccionada de material magnético de permeabilidade relativa . O número de espiras da bobina de excitação é 400 espiras. Determine a f.m.m. e a corrente da bobina para estabelecer uma densidade de fluxo magnético no braço direito da estrutura. Obs.: todas as dimensões são expressas em cm.

4000R2/5,0 mWb

i

400espiras

5 1020 5

40

55

30 5

3

Solução:O primeiro passo na resolução do problema, consiste em montar o circuito elétrico análogo, o qual possui a mesma geometria que a estrutura magnética. Assim, para o problema em questão, o circuito elétrico análogo é dado ao lado.

R1

2R 3R

12 3

i400

Em seguida calculamos as relutâncias de cada trecho. Para o problema em questão resultam:

)/(10.6,7110.5.5

10)].5,2.240()5205,2.(2[.

104.4000

11 34

2

71

11 WbAesp

S

l

)/(10.9,1310.5.10

10)].5,2.240[(.

104.4000

11 34

2

72

22 WbAesp

S

l

)/(10.5,8710.5.5

10)].5,2.240()5,2305.(2[.

104.4000

11 34

2

73

33 WbAesp

S

l

Exercícios

No braço direito da estrutura é dado , de modo que: Da malha direita do circuito obtemos: De modo que: Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtém-se: Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tensões para a malha da esquerda, podemos

escrever:

Resultando:

e também:

23 /5,0 mWbB

WbSB 44333 10.5,1210.25.5,0.

3322

Wb43

43

2 10.7,7810.9,13

10.5,12.10.5,87

Wb4321 10.2,91

2211 Ni

AespNifmm 76210.7,78.10.9,1310.2,91.10.6,71 4343

AN

fmmi 9,1

400

762

Exercícios6. A Figura abaixo mostra uma estrutura magnética confeccionada com material

magnético de permeabilidade relativa , na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais dimensões estão em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação, a qual possui 500 espiras, necessária para estabelecer um fluxo magnético no entreferro de .

2000R

Wb410.5

i

500 espiras

1mm

22

12

222 6

Solução: No circuito elétrico análogo desta estrutura, além da fonte de f.m.m. que produz o campo magnético devemos inserir duas relutâncias em série; uma relativa à porção do núcleo magnético e outra devido ao entreferro, como mostra a Figura ao lado.

R1

R2

500i

A partir da análise de malhas obtém-se:

)( 21 Ni

Exercícios

Na qual:

é a relutância do núcleo e:

é a relutância do entreferro. Observe que apesar do entreferro ter apenas 1 mm, sua relutância, neste caso, é

algo em torno de 5 vezes maior que a relutância do núcleo. Sendo obtemos:

Resultando:.

WbAespS

l/10.8,35

10.2.2

10)].1.212(2)161(2[.

10.4.2000

1.

1 44

2

71

11

WbAespS

l/10.180

10).1,02)(1,02(

10.1.

10.4

1.

1 44

3

72

2

02

Wb410.5 44 10.5.10)1808,35(500 i

Ai 16,2

Anexo 01: O Parâmetro Indutância

A indutância é uma característica dos campos magnéticos e foi descoberta primeiramente por Faraday, em 1831. De um modo geral, indutância pode ser caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser armazenada num campo de fluxo magnético.

Um fator importante e diferenciador da indutância, contudo, é que ela aparece num circuito apenas quando há uma corrente variável, ou mesmo um fluxo variável.

Para cobrir o assunto completamente, a indutância será analisada sob três pontos de vista: a) de circuito; b) de energia e c) físico.

No entanto, um elemento do circuito possa ter indutância, em virtude de suas propriedades geométricas e magnéticas, sua presença no circuito somente poderá ser sentida, desde que haja uma variação da corrente no tempo.

O Parâmetro Indutância

a) Análise sob o ponto de vista de circuitoA relação entre tensão e corrente referente ao parâmetro indutância é expressa a seguir:

dtdi

.LvL A equação mostra a diferença de potencial vL que aparece nos terminais do parâmetro indutância, quando uma corrente variável circula para o terminal “c” do circuito.

Note-se que a ponta da seta na variável vL está mostrada no terminal “c”, indicando que este terminal é, neste instante, positivo em relação ao terminal “d”, pois o coeficiente angular (di/dt), ou declividade, é positiva, caso contrário, a ponta da seta estaria apontando para o ponto “d” (coeficiente angular negativo).

v(t)L

a

b c

d

VL

I+

-

Figura 1

Eq.01


Qualquer elemento do circuito que apresente a propriedade de indutância é denominado indutor e é designado pelo símbolo constante no circuito anterior. Como elemento ideal, o indutor é considerado como não tendo resistência, embora, na prática, deve ter a resistência do fio que constitui a bobina.

dtdiv

LL

Volt. s / A ou Henrys (H)

A razão entre a diferença de potencial nos terminais do indutor num determinado instante de tempo e a derivada correspondente da função corrente-tempo, expressa o parâmetro indutância.

)t(

)0(

i

i

t

0

L dt.v.L1

di

dt.vL.L1

diExpressando a corrente no indutor em função da tensão, nota-se que a corrente em um indutor é dependente da integral da tensão através de seus terminais, assim como a corrente na bobina no início da integração i(0).

)0(idt.vL1

)t(it

0

L

Eq.02

Eq.03


Uma análise na equação (Eq. 04) abaixo revela uma propriedade importante da indutância: a corrente num indutor não pode variar abruptamente, num tempo nulo, pois uma alteração finita na corrente num tempo nulo requer que uma tensão infinita apareça no indutor, o que é fisicamente impossível.

)0(idt.vL1

)t(it

0

L

Por outro lado, a equação (Eq. 05) revela que, num tempo nulo, a contribuição para a corrente no indutor do termo com a integral é zero, de forma que a corrente imediatamente antes (I-) e depois (I+) da aplicação da tensão no indutor é a mesma.

Portanto, pode-se considerar a indutância como tendo a propriedade de inércia.

dtdi

.LvL Eq.04 Eq.05


b) Análise sob o ponto de vista de energiaSupondo que um indutor tenha corrente inicial nula (i(0)=0A) . Então, se um corrente i circula na bobina, na qual existe uma diferença de potencial vL, a energia total recebida no intervalo de tempo de 0 a t é:

i

0

t

0

t

0

L

di.i.LW

dt.i.dtdi

.LW

dt.i.vW )J(Joule Considerando o indutor como sendo ideal, a equação anterior estabelece que o indutor absorve uma quantidade de energia que é proporcional ao parâmetro indutância (L), bem como, ao quadrado do valor instantâneo da corrente.

Desta forma, a energia é armazenada pelo indutor num campo magnético, e é de valor finito e recuperável.

)J(Joule2i.L.

21

W

Face ao fato, de que a energia associada com o parâmetro indutância aumenta e diminui com a corrente, podemos concluir que o indutor tem a propriedade de ser capaz de retornar energia à fonte da qual a recebe.

Eq.06


A equação anterior revela que, uma forma alternativa de identificar o parâmetro indutância é em termos da quantidade de energia armazenada no seu campo magnético, correspondente à sua corrente instantânea. Assim, pode-se escrever que:

)H(Henry2iW.2

L

Logo, uma corrente constante resulta em uma queda de tensão nula nos terminais do indutor ideal. Isso não é verdadeiro, em relação à energia absorvida e armazenada no campo magnético do indutor.

A equação acima, confirma imediatamente esse fato. Uma corrente constante resulta numa energia armazenada fixa. Qualquer tentativa de se alterar esse estado de energia encontra uma resistência firme dos efeitos do armazenamento inicial de energia.

Isso, novamente, reflete o aspecto inercial de indutância.

Já foi demonstrado que, para a diferença de potencial existir nos terminais de um indutor, a corrente deve variar.

Eq.07


c) Análise sob o ponto de vista físicoA tensão nos terminais de um indutor pode ser expressa, sob o ponto de vista de circuito, em função da corrente que circula no indutor. Contudo essa mesma tensão pode ser descrita pela Lei de Faraday em termos do fluxo produzido pela corrente e pelo número de espiras (N) da bobina do indutor. Conseqüentemente, pode-se escrever:

dt.didt.d.N

L

dtd

.Ndtdi

.LvL

Nesses casos, onde o fluxo () é diretamente proporcional à corrente i para todos os valores (isto é resistor linear), essa última expressão se torna:

)H(A

tWb

i.N

L

Aqui, o parâmetro indutância tem uma representação híbrida, porque é em parte expresso em função da variável do circuito (corrente i), e em parte, em função da variável do campo (fluxo ).

)H(did.N

L

Eq.08

Eq.09


Para se evitar essa representação híbrida, substitui o fluxo por seu equivalente:

Onde a fmm é a força magnetomotriz que produz o fluxo no circuito magnético que tem relutância .

i.N

Magnética'relutânciafmm

Se o núcleo é suposto como tendo um comprimento médio de “lm” metros e uma área de seção transversal de “Am” metros quadrados, então a relutância magnética pode ser escrita como:

Am.lm

Onde µ é a permeabilidade, uma propriedade

física do material magnético.

Eq.10

Eq.11


Manipulando adequadamente as equações anteriores, resulta na expressão para o parâmetro indutância, como sendo:

Uma análise da equação anterior revela alguns fatos interessantes sobre o parâmetro indutância que não estão facilmente disponíveis quando essa variável é definida, tanto do ponto de vista de circuito como de energia.

O que mais impressiona, é o fato de a indutância, como a resistência, ser dependente da geometria das dimensões físicas e da propriedade magnética do meio. Isso é importante porque nos diz o que pode ser feito para se alterar o valor de da indutância L.

Desta forma, o parâmetro indutância pode ser aumentado de quatro formas: a) aumentando o número de espiras; b) utilizando núcleo de ferro de maior permeabilidade; c) reduzindo o comprimento médio do núcleo de ferro; e d) aumentando a área de seção transversal do núcleo de ferro.

22 Nlm

Am..NL

Eq.12

Bibliografia

1. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Autor: Vincent DEL TORO

2. Máquinas Elétricas. Autor: A. E. FITZGERALD

3. Máquinas elétricas e Transformadores. Autor: Irving I. KOSOW

4. Apostila POLI/USP

5. Ciência e Engenharia de Materiais. Autor: W. D. CALLISTER

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