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Matemática Básica Fatoração Aula 3
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3.1 Definição Fatorar um expressão algébrica consiste em
transformá-la num produto. É um problema de grande interesse na Álgebra,
análogo ao da decomposição de um número em fatores primos.
1º Caso: Fator comum O termo comum é o produto do máximo divisor
comum dos coeficientes numéricos dos termos do polinômio pela parte literal formadas pelas letras comuns com o menor expoente.
Ex: a) )1x2(x4x4x8 223 −=−
b) )1a(aa r1r +=++ . ar 2º Caso: Agrupamento É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum
aparece em grupos. Ex: Fatorar o polinômio )1a)(1x()1x(1)1x(a1xxaxa 2222 +−=−+−=−+− 3º Caso: Diferença de dois quadrados Pela aplicação da identidade )ba)(ba(ba 22 −+=− Ex: )2x)(2x(2x4x 222 −+=−=− 4º Caso: Quadrado perfeito Pela aplicação da identidade 222 )ba(bab2a +=++
222 )ba(bab2a −=+−
Ex: a) 22 )3x(9x6x +=++
b) 22 )1x(1x2x −=+− 5º Caso: Trinômio do 2º grau Pela aplicação da identidade )0a(;)xx)(xx(acbxax 21
2 ≠−−=++ Onde 1x e 2x são as raízes da equação do 2º grau
0cbxax2 =++
Ex: )3x)(21x(23x7x2 2 −−=+− onde
21x = e
3x = são raízes da equação 03x7x2 2 =+−
6º Caso: Soma ou diferença de dois cubos Pela aplicação das identidades )baba)(ba(ba 2233 +−+=+
)baba)(ba(ba 2233 ++−=− Ex: a) )4x2x)(2x(8x 23 +−+=+
b) )y4xy6x9)(y2x3(y8x27 2233 ++−=− 7º Caso: Cubo perfeito Aplicando-se 33223 )ba(bab3ba3a +=+++
33223 )ba(bab3ba3a −=−+− Ex: a) 323 )1x(1x3x3x +=+++
b) 33223 )yx2(yxy6yx12x8 −=−+−
Exercícios 70. Fatorar: a) 46 x6x3 + b) mymy 2 −
c) 345 x36x12x4 −+ d) )yx(b)yx(a −+−
e) p1p xx ++ 71. Fatorar: a) 1mxm.x 22 +++ b) byay2bxax2 +++ c) bbxa3ax3 −+− d) 9x6x12x8 23 +++ e) bcac)ba( 2 −+− 72. Fatorar: a) 9a2 −
b) 161y2 −
c) 4x251 2 −
d) 12x3 2 − e) 44 ba − 73. Fatorar: a) q2p2 nm − b) 22 b)ax( −−
c) 8x4x2x 23 +−−
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74. Fatorar: a) 22 y36xy12x ++
b) 2x16x249 ++
c) x2
31
361x ++
d) 223 xy9yx6x ++
e) 2x9x124 −−− 75. Fatorar: a) 16x24x9 2 +− b) ab18b81a 22 −+ c) 2xx816 −+− d) 32 x9x12x4 +− 76. Fatorar: a) 3x4x2 ++ b) 12x7x2 ++ c) 6xx2 −+ d) 1x2x3 2 −+ e) 3xx10 2 −− 77. Fatorar: a) 27a3 + b) 1y8 3 +
c) 8ba 33 − d) 66 ba − e) 99 yx + 78. Decompor: a) 3)2x( +
b) 3)1x3( +
c) 3
x31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
d) 3
2 y32x ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
e) 2)zyx( +−
f) 2)zyx2( ++ 79. Simplificar:
a) 8x6x3
3 −
−
b) xx
1x2x2
2
+
++
c) 33
2
zxyzxzxyx
−
−−+
d) 10x7x6x5x
2
2
+−
+−
e) 1x
1xxx3
23
+
+++
80. Fatorar: 624426 yyxyxx −−+ 81. (FEI) Fatorar: ab2cba 222 −−+ 82. (FUVEST) Fatorar: 1aa 24 ++ 83. Efetue:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+
ababa:
bab2ab3a3
2
22
22
22
84. Efetue:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+− 1
baba:1
baba
85. (FEI) Supondo x e y reais com 0yx ≠− e
0yx ≠+ , simplificar a expressão algébrica:
yxyx
yxyx 3333
++
−−−
86. Simplifique:
yxxyx:
yxy2x
yx 2
22
44
−+
+−
−
87. Simplifique:
22
22
y3xy4x
ayax
+−
−
(Obs: Supor 0x ≠ ) 88. (FAAP) Mostrar que quaisquer que sejam a e b
nulos, temos abba 22 >+ .
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89. (MED. SANTOS) Calcular 22 934286934287 − : a) 1868573 b) 1975441 c) 2 d) 1 e) n.d.a.
90. Simplificando a fração algébrica 1m1m
6
9
−
− ,
encontramos:
a) 1m1m
2
3
+
−
b) 1m1m
2
3
−
+
c) 1m
1mm3
36
+
++
d) 1m1m
2
3
−
+
e) 1m
1mm3
36
−
−−
91. (UnB) A expressão:
)4a(4a
116a4a3
2≠
−−
−
−
é equivalente a:
a) 4a
1−
b) 4a
2+
c) 4a
2−
d) nenhuma dessas
92. A fração 22
44
baba−−
−−
−
− é igual:
a) 66 ba −− b) 22 ba −− − c) 22 ba −− + d) 22 ba + e) n.d.a. 93. (UFGO) Simplificando a expressão
1a1b.
bbaa.
bbaa
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
+
a) ba
b) ab
c) 2
2
ba
d) 2
2
ab
Obs: Supor 0b,1b,1a,1a ≠−≠−≠≠ 94. (UFGO) Simplificando
22
23
yx
)xy(y2)yx(
−
+−+ temos:
a) yx)yx( 2
−+
b) 2yx2yx −− c) yx + d) yx −
e) yxyx 22
−+
Obs: Supor yx;yx −≠≠
95. A relação 81x
)3x)(12xx(4
2
−
−−− é igual a:
a) 2)3x(4x
+
−
b) 9x4x
2 +
−
c) 27x
12x7x3
2
+
+−
d) 2)3x(4x
−
−
e) 3x4x
−−
96. Simplificando a expressão:
6
223
)3x(
)3x()2x(3)3x)(2x(2
−
−−−−−
obtém-se:
a) 3)3x()2x(x
−
−
b) 3)3x()x2(x
−
−
c) 4)3x()2x(x
−
−
d) 4)3x()x2(x
−
−
e) 4)3x()2x(x5
−
−
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97. (F.E.QUEIROZ) Se ab1aab1Ne
ab1abaM
2
+−
−=+−
+=
com 1ab −≠ , então M/N é: a) a b) b c) 1 + ab d) a – b
98. Simplificando a expressão ab2
ba.baba
baba +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
−−+
obtém-se:
a) ab
1−
b) ba
2−
c) 2
ba −
d) ab21
99. A expressão x9x6x
3x2x:x
1x23
2
2
2
+−
−−− é equivalente,
para valores de x que não anulam nenhum dos 4 polinômios citados, a:
a) x3
34x +−
b) x32x −−
c) 3x4x2 +− d) x3x2 − e) x3x2x 23 −− 100. Se x e y são números reais tais que
2xx2x2x3xy
23
2
+−−
+−= então y é igual a:
a) 1x
1−
b) 1x
1+
c) 1x
2x2 −
−
d) 1x1x
+−
e) )1x)(2x(
2x−−
+
101. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o
valor numérico da expressão
1x2x3x
2x4x 22
−+−
++−
para x = 3,125
a) 0,09 b) 2,25 c) 4/9 d) –2,25 e) 1
102. Simplificada a expressão 44
3223
xy8yx
xy2yx3yx
−
+−
temos:
a) 22 y4xy2xyx++
−
b) yxyx
−+
c) )yx(x)yx(x
+−
d) 2)y2x(yx
−
−
e) 22 y4x2xy2x+−
+
Obs: Supor 0y,0x,2yx
≠≠≠
103. Simplificando-se a expressão
1ax4ax4aax8x16 22
−+−−++
obtém-se: a) 2a + x b) 4x – a c) 4a – x d) 2x + a e) 4x + a
104. Uma expressão equivalente a 2ab
ba2
2
2
2
2+++ ,
para a > 0 e b > 0, é:
a) ab
ba +
b) ab
)ba( 2+
c) 2
abba⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
d) ab2ba 22 ++ e) 2ba ++ 105. (PUC) Sendo )baxx)(1x(1x 23 +++=+ para todo
x real, os valores e a e b são respectivamente: a) –1 e –1 b) 0 e 0 c) 1 e 1 d) 1 e –1 e) –1 e 1
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106. Simplificando a expressão 11
33
baba−−
−−
−
− obtém-se:
a) 23 ba −− − b) 22 ba −− − c) 44 ba −− − d) 2112 bb.aa −−−− ++ e) n.d.a.
107. (OSEC) Seja a expressão 5ba 33 − atribuindo aos
elementos a e b, respectivamente, os valores
251e
251 −+ , está expressão assume um valor
numérico. a) fracionário negativo b) irracional positivo c) fracionário positivo d) irracional positivo e) inteiro positivo 108. (FATEC) Se x e y são números reais tais que:
1xx21x8.
41x2xy 2
32
−+
−++= , então y é:
a) )1x(3 3 −
b) 2)1x(43
+
c) 2)1x2).(1x(21
++
d) )1x2x4).(1x(21 2 +++
e) )1x2x4).(1x(41 2 +++
109. (MED.JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão
ba3ab3ba 2233 −+− para:
3
3
3
3
223be
223a −
=+
= é:
a) 293 −
b) 293 + c) 8 d) 13,5 e) 32
110. (FEI) A expressão 12
13 −
é igual a:
a) 123 + b) 142 33 ++ c) 124 33 +− d) 3 2 e) n.r.a.
RESPOSTAS 70. a) 3x4 . (x2 + 2)
b) my . (y – 1)
c) 4x3 (x2 + 3x – 9)
d) (x – y) . (a + b)
e) xp (x + 1)
71. a) (m + 1) . (x2 + 1)
b) (2ª + b) . (x + y)
c) (x – 1) . (3a + b)
d) (2x + 3) . (4x2 + 3)
e) (a – b) . (a – b + c)
72. a) (a + 3) . (a – 3)
b) (y + 1/4) . (y – 1/4)
c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2
5x.2
5x
d) 3(x + 2) . (x – 2)
e) (a2 + b2) (a + b) (a – b)
73. a) (mp + nq) (mp – nq)
b) (x – a + b) (x – a – b)
c) (x + 2) (x – 2) (x – 2)
74. a) (x + 6y)2
b) (3 + 4x)2
c) (x + 1/6)2
d) x(x + 3y)2
e) –(2 + 3x)2
75. a) (3x – 4)2
b) (a – 9b)2
c) –(4 – x)2
d) x(2 – 3x)2
76. a) (x + 1) (x + 3)
b) (x + 3) (x + 4)
c) (x – 2) (x + 3)
d) 3(x + 1) (x – 1/3)
e) 10(x + 1/2) (x – 3/5)
77. a) (a + 3) (a2 – 3a + 9)
b) (2y + 1) (4y2 – 2y + 1)
c) (ab – 2) (a2b2 + 2ab + 4)
d) (a+b) (a2–ab+b2)(a–
b)(a2+ab+b2)
e) (x + y)(x2–xy+y2)(x6–x3y3+y6)
78. a) x3 + 6x2 + 12x + 8
b) 27x3 + 27x2 + 9x + 1
c) 1/27 – 1/3x + x2 – x3
d) x6 – 2x4y + 4/3 x2y2 – 8y3/27
e) x2 + y2 + z2 – 2xy + 2xz – 2yz
f) 4x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz
79. a) 4x2x
32 ++
b) x
1x +
c) 22 zxzx
yx
++
+
d) 5x3x
−−
e) 1xx
1x2
2
+−
+
80. (x4 + y4)(x + y)(x–y)
81. (a – b – c)(a – b + c)
82. (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
83. ba
a3−
84. –b/a
85. 2xy
86. x
yx 22 +
87. y3x
)yx(a−+
88. Demonstração
89. a
90. c
91. b
92. c
93. c
94. c
95. b
96. d
97. b
98. b
99. c
100. b
101. b
102. a
103. e
104. b
105. e
106. d
107. e
108. e
109. e
110. b