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20A U L A

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Calculando distnciassem medir

No campo ocorrem freqentemente proble-mas com medidas que no podemos resolver diretamente com ajuda da trena.Por exemplo: em uma fazenda, como podemos calcular a distncia entre doispontos se existe um morro no meio?

l claro que, observando o desenho acima, se esticarmos uma trena de A atB, subindo e descendo o morro, encontraremos um valor maior que o correto.Lembre-se de que quando falamos de distnciadistnciadistnciadistnciadistncia entre dois pontos estamosconsiderando que a medida foi feita sobre a retaretaretaretareta que une esses dois pontos.No nosso exemplo essa medida no pode ser calculada diretamente.

l Tambm na cidade, a altura de um edifcio ou mesmo de um poste somedidas difceis de serem calculadas diretamente. Vamos mostrar, ento,que com o auxlio da semelhana de tringulos e do Teorema de Pitgoraspodemos descobrir distncias sem fazer o clculo direto das medidas.

Para determinarmos medidas no campo precisamos de uma trena, algumasestacas, um rolo de barbante e, para algumas situaes, um esquadro. As estacase o barbante formam tringulos; a trena mede os comprimentos, enquanto oesquadro formar ngulos retos.

Acompanhe ento os problemas desta aula e suas criativas solues.

Introduo

distncia AB

A B

?

Nossa aula

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20A U L A EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 1 1 1 1 1

A largura de um rioA largura de um rioA largura de um rioA largura de um rioA largura de um rioEstamos em uma fazenda cortada por um rio bastante largo. Temos uma

trena de 20 m e a largura do rio parece ser muito maior que isso. O que podemosfazer para determinar a largura desse rio? Observe o desenho.

As pessoas que vo fazer as medidas esto na parte de baixo do desenho.Elas procuram na outra margem algum objeto para fixar a ateno. Imagineento que uma das pessoas, estando no ponto AAAAA, veja uma pedra PPPPP do outro ladodo rio. Para determinar a distncia APAPAPAPAP fazemos o seguinte.

l Fixamos uma estaca no ponto AAAAA e amarramos nela um barbante. O barbante esticado at um ponto CCCCC qualquer, de forma que o ngulo PCPCPCPCPC seja reto;

l Fixamos uma estaca em CCCCC. Sobre o barbante esticado ACACACACAC devemos agoraescolher um ponto BBBBB qualquer, que, de preferncia, esteja mais prximo deCCCCC que de AAAAA.

l Fixamos ento uma estaca em BBBBB.l Riscamos agora no cho uma reta que parte de CCCCC e faz ngulo reto com o

barbante, como mostra o desenho. Vamos caminhando sobre essa reta atque a estaca BBBBB esconda atrs de si a pedra PPPPP que est do outro lado do rio.Isto faz com que os pontos PPPPP, BBBBB e DDDDD do desenho fiquem em linha reta. Ora,na margem de baixo todas as distncias podem ser medidas. Suponha entoque os valores encontrados tenham sido os seguintes:

AB = 15 mAB = 15 mAB = 15 mAB = 15 mAB = 15 mBC = 4 mBC = 4 mBC = 4 mBC = 4 mBC = 4 mCD = 12,80 mCD = 12,80 mCD = 12,80 mCD = 12,80 mCD = 12,80 m

Observe o prximo desenho j com as medidas encontradas e os ngulosngulosngulosngulosngulosiguaisiguaisiguaisiguaisiguais assinalados.

A C

D

B

P

x

154

12,8

P

A B C

D

rio

pedra



20A U L AOs tringulos ABPABPABPABPABP e CBDCBDCBDCBDCBD so semelhantes porque possuem os mesmos

ngulos. Logo, seus lados so proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais. Fazendo a distncia APAPAPAPAP igual a xxxxxtemos a proporo:

x12,8

=

154

x =12,815

4= 48m

Falta pouco agora. Medimos ento a distncia da estaca AAAAA ao rio.

Suponha que encontramos PQ = 1,60 mPQ = 1,60 mPQ = 1,60 mPQ = 1,60 mPQ = 1,60 m (Veja o desenho.) Ento, a largurado rio

PQ = 48 PQ = 48 PQ = 48 PQ = 48 PQ = 48 ----- 1,6 = 46,4 m 1,6 = 46,4 m 1,6 = 46,4 m 1,6 = 46,4 m 1,6 = 46,4 m

Tendo resolvido o problema da largura do rio, vamos ver agora como seresolve o problema da distncia entre dois pontos com o obstculo no meio.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

A distncia entre dois pontos com um obstculo no meioA distncia entre dois pontos com um obstculo no meioA distncia entre dois pontos com um obstculo no meioA distncia entre dois pontos com um obstculo no meioA distncia entre dois pontos com um obstculo no meioEstamos ainda fazendo medies em nossa fazenda. Temos agora que

calcular a distncia entre dois pontos AAAAA e BBBBB situados de tal maneira que, se vocestiver em um deles, no aviste o outro.

No nosso caso, o terreno em volta do morro razoavelmente plano, mas ospontos AAAAA e BBBBB esto de tal forma localizados que medir diretamente a distnciaentre eles em linha reta impossvel. O que podemos fazer?

Como do ponto AAAAA no podemos ver o ponto BBBBB, a soluo no pode ser feitada mesma forma que no problema anterior. Procuramos ento encontrar umponto CCCCC de onde se possa avistar os pontos AAAAA e BBBBB.

P

Q

A1,6 m

BA



20A U L A A figura a seguir mostra a nossa situao vista de cima.

Fixamos ento uma estaca em CCCCC e medimos com a trena (aplicada vriasvezes) as distncias ACACACACAC e BCBCBCBCBC. Os valores encontrados foram os seguintes:

ACACACACAC ===== 72 m72 m72 m72 m72 mBCBCBCBCBC ===== 115 m115 m115 m115 m115 m

Agora, vamos dividir essas distncias por um nmero qualquer. Por exemplo:

7210

= 7,2 e 11510

= 11,5

Sobre a reta ACACACACAC fixamos uma estaca no ponto DDDDD, onde DC = 7,2 mDC = 7,2 mDC = 7,2 mDC = 7,2 mDC = 7,2 m. Sobre areta BCBCBCBCBC fixamos uma estaca no ponto EEEEE, onde EC = 11,5 mEC = 11,5 mEC = 11,5 mEC = 11,5 mEC = 11,5 m. O que temos ento?

Criamos o tringulo CDECDECDECDECDE que semelhante e dez vezes menorsemelhante e dez vezes menorsemelhante e dez vezes menorsemelhante e dez vezes menorsemelhante e dez vezes menor queo tringulo CABCABCABCABCAB. Podemos medir agora a distncia DEDEDEDEDE.

Se encontramos DE = 12,3 mDE = 12,3 mDE = 12,3 mDE = 12,3 mDE = 12,3 m, como sabemos que ABABABABAB dez vezes maiordez vezes maiordez vezes maiordez vezes maiordez vezes maiorque DEDEDEDEDE, temos que AB = 123 m. AB = 123 m. AB = 123 m. AB = 123 m. AB = 123 m. O problema est resolvido.

Resumindo, para calcular uma distncia que no pode ser medida direta-mente devemos formar com ela um tringulo e, em seguida, um outro semelhan-te bem menor.

Medindo os lados desse tringulo menor e utilizando a semelhana dostringulos, podemos calcular o lado desconhecido no tringulo maior.

A B

D E

C

A B

D E

C

72

7,2 11,5

115



20A U L AExerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1

Para calcular a distncia entre os pontos AAAAA e BBBBB situados prximos a um lagofoi utilizada a mesma tcnica vista no problema da largura do rio. Com asmedidas que esto no desenho, determine a distncia.

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Joo est em sua varanda desenhando a casa que est do outro lado da rua.Ele sabe que sua distncia at esta casa de 30 m. Para conhecer as medidasda casa ele usa o seguinte artifcio: segurando com o brao esticado umargua e fechando um olho ele mede os detalhes da casa (tamanho dasjanelas, portas, altura do telhado etc.).

Sabe-se que a distncia do olho de Joo at a rgua de 70 cm. Observandouma das janelas da casa, Joo verificou que sua altura, medida na rgua, erade 3,5 cm. Qual a medida real dessa janela?(Sugesto: Observe o desenho a seguir e use semelhana de tringulos. Nosclculos use todas as distncias na mesma unidade.)

Exerccios

lago

B

A

20m

4m

26m

rgua

olhodo Joo

rgua

70 cm30 m

3,5 cm janelada casa



20A U L A Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3

Para medir a altura de um poste, Joo observou que em certo momento elefazia uma sombra no cho de 3,40 m de comprimento. Ele colocou ento navertical, um cabo de vassoura com 110 cm de comprimento e verificou quesua sombra era de 44 cm. Qual a altura do poste?(Sugesto: Levando em conta que os raios do sol so paralelos, observe queos dois tringulos formados pelo poste e pelo cabo de vassoura com suasrespectivas sombras so semelhantes.)

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Para calcular a distncia entre dois pontos AAAAA e BBBBB com um obstculo no meiopodemos usar um outro mtodo:

Estique um barbante no cho, e prenda-o nas estacas XXXXX e YYYYY. Amarre um outrobarbante em AAAAA e encontre uma posio para que ele esticado faa ngulo retocom XYXYXYXYXY. Fixe ento uma estaca no ponto CCCCC. Faa o mesmo com outrobarbante amarrado em BBBBB, encontre o ponto DDDDD, e fixe uma estaca nesse lugar.Sabendo que foram encontradas as seguintes medidas AC = 22 mAC = 22 mAC = 22 mAC = 22 mAC = 22 m,CD = 68 CD = 68 CD = 68 CD = 68 CD = 68 mmmmm e DB = 56 mDB = 56 mDB = 56 mDB = 56 mDB = 56 m, calcule a distncia ABABABABAB.SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: No desenho, trace por AAAAA uma paralela a CDCDCDCDCD at formar umtringulo. Observe que esse tringulo retngulo e que os dois catetos soconhecidos. Use ento o Teorema de Pitgoras.

sombra

poste

sombra

cabo devassoura

A B

XC

D Y



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