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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁSUNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ENGENHARIA CIVIL

PROPAGAÇÃO DE TENSÕES NO INTERIOR DO SOLO

Aula 1

RENATO CABRAL GUIMARÃES

MECÂNICA DOS SOLOS II

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1. Introdução

Conhecer os princípios básicos da distribuiçãode pressões nos solos devido ao peso próprio ea uma sobrecarga imposta é de grandeimportância em qualquer obra geotécnica,pois para realizar a previsão de deformaçõesde um solo é necessário conhecer estesprincípios.

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2. Pressão Devido ao Peso Próprio

� Solo é um meio particulado Forças nas partículascontato grão a grão.

� Consideração das forçasindividuais complexas

Utiliza o conceito de tensão.

áreaN

v∑∑∑∑

====σσσσ

áreaT∑∑∑∑

====ττττ

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2. Pressão Devido ao Peso Próprio

� Tensões de contato grão agrão.

da ordem de 700 MN/m2.

�Tensões na massa de solo: consideradas tensõesmacroscópicas.

�Tensões na massa de solo da ordem de 10 a 10.000 N/m2.

�Tensões Geostáticas: geradas pelo peso próprio do solo.

�Em geral, possuem um padrão de distribuição próprio, quedepende das características do maciço e da geometria doterreno.

�Porém, em algumas situações, pode ter um padrão simplesde distribuição: quando a superfície for horizontal e o maciçonão possuir grande variabilidade na direção horizontal (Ex:Solos sedimentares).

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2. Pressão Devido ao Peso Próprio

σ’v

σ’v

σ’H σ’H

z

σ’v = γ x z

σ’v

z

0vH K'' ×σ=σ

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3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas

• Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno, o elemento de solo tem seuestado de tensões original modificado.

σ’v = σ’v0 + ∆σz

z

Q x

σ’v = σ’v0 + ∆σz

σ’H = σ’H0 + ∆σx σ’H

τ’

τ’

• O acréscimo de carga no elemento de solo devido ao carregamento externo(Q) pode acarretar aumento ou diminuição das tensões existentes devidoao peso próprio. A lei de variação dessas modificações de tensões chama-sedistribuição de pressões.

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3. Distribuição de Tensões no Solo Devido a Cargas Externas

• No estudo de tensões dois princípios são da maior importânciapor serem admitidos direta ou indiretamente na maioria dasformulações para o cálculo do acréscimo destas tensões:

a) Principio da superposição dos efeitos: a soma dos efeitos decada carregamento é igual ao efeito de todos oscarregamentos;

b) Principio de Saint Vernant: após determinada profundidade aforma do carregamento não tem mais influência no efeitodeste, podendo-se substituir, por exemplo, um carregamentodistribuído de uma placa retangular pela carga concentradaresultante, que o acréscimo de tensão nesta profundidade seráo mesmo.

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3.1 Hipótese Simples ou Antiga

• Segundo Kollbrunner (1946) apud Barata (1984) esta é a maisantiga das teorias de distribuição de pressões nos solos e admite quea carga (Q) aplicada na superfície do terreno distribui-se emprofundidade segundo um ângulo (ϕϕϕϕ0), chamado ângulo deespraiamento ou de propagação.

z1

Q

ϕ0

Q z2

Q

b0

b1

b2

ϕ0

M M

N N

11

b

Q=σ

22

b

Q=σ

00

b

Q=σ

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3.1 Hipótese Simples ou Antiga

• Segundo Barata (1984) essa teoria segue dois princípios:

a) a propagação de tensões, devido a sobrecarga, restringe-se a zonadelimitada pelas linhas de espraiamento MN. Fora da zona deespraiamento não há influência da sobrecarga (ou seja, não hámodificação das tensões originais);

b) em qualquer profundidade (z), a carga resultante da sobrecarga éconsiderada constante, e pode ser é calculada pela Equação:

Qb..........bb 002211 =×σ==×σ=×σ

• A equação é válida para carregamento de comprimento infinito delargura b0. Se a área carregada tiver extensão finita (quadrada,circular, etc) os cálculos serão semelhantes, considerando oespraiamento em todas as direções.

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3.1 Hipótese Simples ou Antiga

• Segundo Pinto (2000), embora útil em certas circunstâncias, estemétodo é uma estimativa muito grosseira da realidade, pois astensões a certa profundidade, não são uniformemente distribuídas,mas concentram-se na proximidade do eixo de simetria da áreacarregada, apresentado uma forma de sino.

• A forma de sino apresentada na Figura foi confirmada emobservações experimentais, realizadas utilizando instrumentação aolongo da profundidade z.

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3.1 Hipótese Simples ou Antiga

• Segundo Barata (1984), desde que se conheça as restrições dessateoria o seu emprego é interessante, face a sua simplicidade,portanto a mesma pode ser utilizada nos casos listados a seguir:

a) sobrecargas provenientes de fundações e/ou estruturas muito rígida,em que face à tendência de recalque uniforme, as pressões tendem àuniformidade;

b) cálculo da distribuição em horizontes situados a profundidadesrelativamente grandes, em que tende a haver um achatamento dodiagrama de pressões;

c) o valor de ϕϕϕϕ0 depende do tipo de solo, quanto mais resistente e maiscoesivo for o solo, maior será o valor de ϕϕϕϕ0. A Tabela a seguirapresenta valores de ϕϕϕϕ0 sugeridos por Kögler & Scheidig (1948)apud Barata (1984).

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3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade

• A teoria da elasticidade vem sendo utilizada na determinação dadistribuição de cargas ao longo da profundidade devido acarregamentos externos há bastante tempo. A experiência com usodesta ferramenta é muito grande sendo que ao longo dos anos,diversas formulações foram desenvolvidas para solucionar estadistribuição. A maioria das formulações existentes baseia-se nasseguintes considerações:

a) a teoria da elasticidade é aplicável;

b) o maciço de solo é homogêneo;

c) o maciço de solo é isótropo;

d) o maciço de solo é semi-infinito.

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3.2 Aplicação da Teoria da Elasticidade

a) a teoria da elasticidade é aplicável;

b) o maciço de solo é homogêneo;

c) o maciço de solo é isótropo;

d) o maciço de solo é semi-infinito.

� o solo não é um material elástico especialmente quando se considera que asdeformações em solos são substancialmente irreversíveis. O que pode seraceito é que até determinado nível de tensão há uma certa linearidade nocomportamento tensão-deformação do solo;

� a homogeneidade é exceção em solos. Na quase totalidade das vezes o soloé heterogêneo;

� a isotropia excepcionalmente ocorre em solos;

� o maciço de sol não é um espaço semi-infinito.

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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície

• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:

Q

r

R

y

x

y

z

x

∆σ∆σ∆σ∆σy

∆σ∆σ∆σ∆σz

∆σ∆σ∆σ∆σx

z

5

3

v

2

5

22

3

vR2

zQ3ou

)zr(2

zQ3

×π×

××=σ∆

+×π×

××=σ∆

2222 yxrerzR +=+=

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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície

• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:

Q

r

R

y

x

y

z

x

∆σ∆σ∆σ∆σy

∆σ∆σ∆σ∆σz

∆σ∆σ∆σ∆σx

z

×

×+

+××

−×−−

××=∆

23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 rR

zy

zRrR

yx

R

zxQx µ

πσ

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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície

• Formulada em 1883 por Boussinesq, os acréscimos de tensõesverticais resultantes, em qualquer ponto, da aplicação da cargapontual Q, na superfície é dada pelas equações:

Q

r

R

y

x

y

z

x

∆σ∆σ∆σ∆σy

∆σ∆σ∆σ∆σz

∆σ∆σ∆σ∆σx

z

×

×+

+××

−×−−

××=∆

23

2

2

22

5

2

)()21(

2

2 rR

zx

zRrR

xy

R

zyQy µ

πσ

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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície

• Segundo Barata (1984) esta solução foi formulada para ummaterial ideal, ou seja, solos elásticos, homogêneos, isótropos e paraum semi-espaço infinito.

• A solução de Boussinesq foi estabelecida para carga concentradaaplicada na superfície do terreno, no entanto a maioria dasfundações aplica suas cargas abaixo da superfície e nãocorresponde a carga concentrada, o que conduz a erros.

• Para o caso da aplicação de carga abaixo da superfície o correto éaplicar a teoria de Mindlin (1936) apud Poulos & Davis (1974).

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3.2.1 Solução de Boussinesq – carga vertical pontual aplicada na superfície

• Para aplicar a solução de Boussinesq em caso de cargas nãoconcentradas Kögler & Scheidig (1948) apud Barata (1984)sugerem aplicar a mesma para profundidades razoáveis, conformedescrito a seguir.

a) carga sobre área circular: z > 3 vezes o diâmetro;

b) carga sobre área retangular: z > 2,5 vezes menor lado.

Exemplo 3.1. Uma carga concentrada de 300 kN é aplicada nasuperfície do solo. Calcule o acréscimo de tensão vertical em umponto de coordenada x = 1,5 m, y = 2,1 m e z = 1,1 m. O ponto deaplicação da carga coincide com a origem do sistema de referência.

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3.2.2 Linha de Carga Vertical

x

z

∆σz

q/unidade de comprimento

z

222

3

)(

2

zx

zqz

+×

××=∆

πσ

20

3.2.2 Linha de Carga Vertical

z

Exemplo 3.2. Na figura a seguir determine o aumento na tensãovertical no ponto A.

2,0 m

1,5 m

A

q=15 kN/m

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3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares

• Para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaçoinfinito de superfície horizontal por carregamentos distribuídosnuma área retangular, Newmark desenvolveu uma integração daequação de Boussinesq.

• Determinou as tensões num ponto abaixo da vertical passando pelaaresta da área retangular e verificou que a solução era a mesmapara situações em que a relação entre os lados da área retangular ea profundidade fossem as mesmas.

( ) ( )

( ) ( )( )

×−++

++×+

++××+++

++×

++×

×π

σ=σ

2222

5,022

222222

225,022

0v

nm1nm

1nmmn2arctg

1nmnm1nm

2nm1nmmn2

4

• A tensão num ponto qualquer é função dos parâmetros m e n,portanto a equação pode ser representada pela equação a seguir.

0v I σ×=σ∆

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3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares

23

3.2.3 Solução de Newmark – Carregamento em Áreas Retangulares

Exemplo 3.3. As coordenadas cartesianas do centro de uma placaretangular de fundação são (0, 0) e as de seus vértices (± 8, ± 5),sendo as dimensões tomadas em metros. A carga uniformementedistribuída na fundação é 15 kPa. Estimar os acréscimos de tensõesverticais sobre o plano 15 m abaixo da face inferior da fundaçãodos seguintes pontos: A (-8, 5); O (0, 0); E (8, 0) e F (-10, -7).

A H B K

J O

E

C D

L

N

F M

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3.2.4 Centro de Uma Área Circular Uniformemente Carregada

• Utilizando a equação de Boussinesq para a tensão vertical (∆σ∆σ∆σ∆σz)causada por uma carga pontual pode-se desenvolver uma expressãopara a tensão vertical abaixo do centro de uma área circular flexíveluniformemente carregada “Fórmula de Love”:

Exemplo 3.4. Para realizar uma prova-de-carga foi utilizada umaplaca circular de 3,0 m de diâmetro apoiada na superfície de umterreno. Sabendo-se que o carregamento máximo foi de 1.060 kN,determine o aumento de tensão vertical no centro da placa a 3 m deprofundidade.

+

−×=σ∆

2

3

2

z

1)z

R(

11q

25

3.2.5 Carregamento de um Aterro

B2 B1

H

z α2 α1

( )

α×−α+α×

+

π=σ∆ 2

2

121

2

210z

B

B

B

BBq

hq0 ×γ=

z

Barctag

z

BBarctag)radianos( 121

1 −

+=α

z

Barctag)radianos( 1

2 =α

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3.2.5 Carregamento de um Aterro

Exemplo 3.5. Um aterro de 7 m de altura, 5 m de crista e taludes com14 metros de largura será construído sobre um solo homogêneo.Para construção do aterro deverá ser utilizado um solo queapresenta γγγγdmax = 15,07 kN/m3 e umidade ótima = 18,5%. Sabendo-se que o grau de compactação será de 98% e o mesmo serácompactado na umidade ótima, determine o aumento de tensão nocentro do aterro a 5 metros de profundidade.