aula. 01-02 - cap1

Captulo 1

Espacos Vetoriais de Dimensao Finita

Um espaco vetorial e um conjunto dotado de duas operacoes, adicao e multiplicacao por umnumero, com as propriedades usuais dessas operacoes. Os elementos de um espaco vetorialsao chamados de vetores e os numeros envolvidos na operacao de multiplicacao, de escalares.Os numeros que mais nos interessam em Fsica sao, obviamente, os reais R e os complexosC, entretanto e interessante fazer uma discussao mais detalhada sobre o tipo de escalaresaceitaveis na definicao de um espaco vetorial. De uma forma geral, os escalares devem serelementos de um corpo, sendo desejavel aqui uma breve introducao a esse conceito.

1.1 Corpo

Definicao 1.1 (Corpo). Um corpo K e um conjunto completo dotado das quatro operacoes:soma, subtracao, multiplicacao e divisao, com as propridades usuais.

O ingrediente essencial na definicao acima e o requerimento de um corpo constituir umconjunto completo.

Definicao 1.2 (Conjunto completo). Um conjunto completo e aquele em que toda sequenciade Cauchy converge para um elemento do conjunto.

Relembremos a definicao de uma sequencia de Cauchy.

Definicao 1.3 (Sequencia de Cauchy). Uma sequencia {an} e dito ser de Cauchy se paratodo > 0 existe um N , tal que

|an am| < , para quaisquer n,m > N.

A definicao de sequencia de Cauchy corresponde a` formulacao mais basica da nocao deconvergencia de uma sequencia. De fato, note que em uma sequencia de Cauchy os suces-sivos elementos ficam arbitrariamente proximos uns dos outros (e nao apenas dos vizinhos),

1

2 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS DE DIMENSAO FINITA

sem entretanto ser exigido que essa sequencia possua um limite. Em um certo sentido, anocao de convergencia contida no criterio de Cauchy pode ser vista como uma forma deconvergencia fraca, em que os elementos da sequencia ficam arbitrariamente proximos unsdos outros, mas o limite pode nem sequer existir, como veremos no exemplo abaixo.

Exemplo 1.1. O conjunto dos numeros racionais Q nao forma um corpo, pois ha sequenciasde Cauchy Q que nao convergem. Por exemplo, pode-se mostrar facilmente que {xn}, onde{

x0 = 1, xn+1 =1

2

(xn +

2

xn

)}e uma sequencia de Cauchy, mas seu limite nao pertence a Q.

Exemplo 1.2. O corpo dos reais, R, e formado completando os racionais com os limitesde todas as sequencias de Cauchy em Q, isto e,

R = Q {PnQn

}Cauchy

.

Note, em particular, que um numero irracional r, definido como r Rmas r / Q, correspondea uma sequencia cujo limite define r. Nesse sentido, podemos representar r como umasequencia:

r =

{P1Q1

,P2Q2

, . . . ,PnQn

, . . .

}.

Note ainda que todas as sequencias {Pn/Qn} que possuem o mesmo limite correspondemao mesmo numero irracional. Em outras palavras, um numero irracional r corresponde, emverdade, a` classe de equivalencia formada por todas as sequencias em Q com o mesmolimite r.

Outro conceito que sera util adiante, em conexao com nossa discussao de espacos deHilbert, e que portanto merece ser revisto aqui, e a nocao de cardinalidade de um conjunto.

Definicao 1.4 (Cardinalidade). A cardinalidade de um conjunto C e o numero de elementosde C.

Os exemplos abaixo servem para ilustrar a definicao acima, tanto para o caso de conjuntoscom um numero finito quanto para conjuntos com infinitos elementos, sejam enumeraveis ounao enumeraveis.

Exemplo 1.3. Alguns conjuntos e suas respectivas cardinalidades:

C = {faces de um dado}, card(C) = 6;

1.2. ESPACO VETORIAL 3

C = N, card(C) = 0 infinito enumeravel;C = Q, card(Q) = card(N);

C =


5. elemento inverso da adicao:

para todo |V V, |V V |V + |V = |0 .

6. fechamento da multiplicacao por escalar:

a |V V, |V V e a K.

7. distributividade da multiplicacao por escalar:

a (|V + |W ) = a |V + a |W .

(a + b) |V = a |V + b |V .8. associatividade da multiplicacao por escalar:

a (b |V ) = ab |V .

Um espaco vetorial abstrato V e uma generalizacao dos espacos vetoriais mais usuais,como R2 ou R3, em que os vetores sao objetos com direcao, sentido e magnitude, sendopossvel dar-lhes uma representacao atraves de setas, ~v, e para os quais as operacoesacima sao bem definidas e possuem uma clara interpretacao geometrica. A notacao abstrata|V , conhecida como notacao de Dirac, contudo e mais geral, visto que em muitos casosos elementos dos espacos vetoriais de interesse nao admitem uma interpretacao geometricapor meio de setas. Na notacao de Dirac, um vetor |V tambem e chamamdo de ket, porrazoes que ficaram claras em breve. Vale mencionar ainda que a notacao de Dirac e muitoconveniente na realizacao de diversas operacoes com vetores, de modo que o esforco inicial doleitor para familiarizar-se com essa notacao sera, acreditamos, amplamente recompensado.

1.3 Independencia Linear, Base e Dimensao

Definicao 1.6 (Independencia linear). Um conjunto de vetores {|i}ni=1 sao ditos seremlinearmente independentes se a identidade

ni=1

ai |i = 0

verificar-se apenas se todos ai = 0.

Segue da definicao que em um conjunto de vetores linearmente independentes, nenhumvetor pode ser escrito como combinacao linear dos outros. De maneira contraria, em umconjunto de vetores linearmente dependentes devem existir pelo menos dois coeficientes ai

1.3. INDEPENDENCIA LINEAR, BASE E DIMENSAO 5

nao nulos. Digamos que aj 6= 0,, entao podemos expressar o vetor |j em funcao dos outros,isto e

|j = n

i=1,i 6=j

aiaj|i ,

onde pelo menos um dos coeficientes ai e nao nulo.

Definicao 1.7 (Dimensao). A dimensao de um espaco vetorial V e o numero maximo devetores linearmente independentes.

Assim, se dim(V) = n, entao ha, no maximo, n vetores linearmente independentes; logoqualquer vetor |V V pode ser escrito como uma combinacao linear de (no maximo) noutros vetores. Vamos, por conveniencia, enunciar esse resultado como um teorema.

Teorema 1.1. Qualquer vetor |V em um espaco vetorial de dimensao n pode ser escritocomo uma combinacao linear de n vetores linearmente independentes (l.i.).

Demonstracao. Suponha que |V nao pudesse ser escrito como combinacao linear de n vetoresl.i. Entao poderamos adicionar |V a outros n vetores l.i. e assim teramos (n + 1) vetoresl.i.; logo a dimensao seria n+ 1 e nao n.

Definicao 1.8 (Base). Um conjunto B = {|i}ni=1 de n vetores l.i. em um espaco de di-mensao n e dito uma base desse espaco.

Se B = {|i}ni=1 e uma base de V, entao |V V, existem coeficientes vi, tais que

|V =ni=1

vi |i .

A expansao acima e unica. Os numeros vi sao ditos as coordenadas (ou componentes) de |V na base B. Dessa forma, o vetor (abstrato) |V pode ser representado por um conjunto de nnumeros correspondendo a`s suas coordenadas em uma determinada base B. Em particular,podemos escrever o vetor |V em notacao matricial

|V =

v1v2...vn

.

E importante observar, contudo, que se mudarmos de base, e.g., B = {|i}ni=1, as com-ponentes de |V mudam:

|V =

v1v2...vn

.


Mas obviemante o vetor permanece o mesmo. A adocao de uma base e a consequenterepresentacao dos vetores em termos das suas componentes nessa base e muito conveniente(e pratico) para a manipulacao de vetores. Por exemplo, para a adicao de vetores bastasomar as respectivas componentes. Ou seja, se

|V =ni=1

vi |i e |W =ni=1

wi |i ,

entao

|V + |W =ni=1

(vi + wi) |i

e similarmente para multiplicacao por escalar.

1.4 Produto interno e notacao de Dirac

Podemos generalizar o conceito de produto escalar do

1.4. PRODUTO INTERNO E NOTACAO DE DIRAC 7

Observacao 2. Decorre das propriedades (i) e (iii) acima que o produto interno e semi-linear no argumento da esquerda do produto interno. Ou seja, usando temporariamente anotacao de para produto interno, temos que

(a |W + b |Z) |V = {|V (a |W + b |Z)}= {a V |W + b V |Z}= a W |V + b Z|V .

Assim somos tentados a escrever

(a |W + b |Z) |V = (|aW + |bZ) |V = aW + bZ | V .

Mas para isso e necessario entender o que e um bra. Antes, porem, uma pequena revisao debases ortonormais.

Definicao 1.10. Uma base B = {|i}ni=1 e dita ortonormal sei|j = ij ,

onde

ij =

{1, i = j0, i 6= j

e o chamado delta de Kronecker.

Vale lembrar ainda que

i) se V |W = 0, entao |V e |W sao ditos mutuamente ortogonais.ii) |V | V |V e a norma de |V .

A escolha de uma base ortogonal e muito util para realizar operacoes com vetores. Porexemplo, o produto interno pode ser facilmente calculado em termos de uma base ortonormal.Seja B = {|i}ni=1 uma base ortonormal. Se

|V =ni=1

vi |i e |W =n

j=1

wj |j

entao

V |W =i

j

viwj i|j

=i

j

viwjij

=i

viwi.


Consequentemente, a norma de um vetor pode ser facilmente obtida a partir de suas coor-denasdas em uma base ortonormal:

|V |2 = V |V =ni=1

|vi|2 |V | =

i

|vi|2.

Alem disso, as componentes vi em uma base ortonormal sao facilmente calculadas, tomando-se o produto interno de |V com o respectivo vetor |i da base. De fato,

i|V =j

vj i|j =j

vjij = vi,

ou sejavi = i|V .

Assim a decomposicao de |V em uma base ortogonal {|i}ni=1 pode ser escrita formalmentecomo

|V =i

vi |i

=i

i|V |i

ou alternativamente,

|V =i

|i i|V

=

(i

|i i|)|V ,

Donde conclumos que uma base ortogonal satisfaz a chamada relacao de completeza:

ni=1

|i i| = I,

onde I denota identidade.Em notacao matricial a decomposicao acima le-se

|V = v1

100...0

+ v2

010...0

+ + vn

00...01

.

1.5. ESPACO DUAL 9

1.5 Espaco Dual

Definicao 1.11 (Funcional linear). Uma aplicacao linear F : V 7 K do espaco vetorial Vpara o proprio corpo K de escalares e dita um funcional linear.

Se F e um funcional linear sobre V entao

F (a |V + b |W ) = aF (|V ) + bF (|W ).

Teorema 1.2. O conjunto dos funcionais lineares sobre um espaco vetorial V e um espacovetorial.

Demonstracao. Defina a adicao e multiplicacao por escalar de forma natural

(F +G) |V = F (|V ) +G(|V )

e(aF )(|V ) = a [F (|V )].

E facil verificar que todas as propriedades de um espaco vetorial sao satisfeitas.

Definicao 1.12. O espaco vetorial dos funcionais lineares em V e dito o espaco dual de V ee denotado por V.

Definicao 1.13. Dois espacos vetoriais V e W sao ditos isomorfos, denotados por V = W, seexistir uma aplicacao linear bijetiva T : V 7 W entre eles (ou seja, se existir um isomorfismoT entre V e W).

Dito de outro modo, se dois espacos vetoriais V e W sao isomorfos, entao eles podem sercolocados em correspondencia biunvoca um com o outro.

Teorema 1.3. Dois espacos de dimensao finita sao isomorfos se, e somente se, eles possuema mesma dimensao.

Demonstracao. Suponha que eles sao isomorfos. Claramente o isomorfismo T leva a baseiV de V na base iW de W, e vice-versa, logo ambos espacos possuem a mesma dimensao.Por outro lado, se V e W possuem a mesma dimensao, entao a transformacao T

iV = iWdefine um isomorfismo entre eles.

Do teorema acima, concluimos que todos os espacos vetoriais de dimensao n sao isomorfosa Rn, ou seja,

dim(V) = n V = Rn.Vamos agora retornar ao caso o espaco dual de um espaco vetorial de dimensao finita.

Teorema 1.4. Se V e um espaco de dimensao finita n, entao V = V.


Observacao. Em geral, a relacao: V = V nao e verdadeira para espacos de dimensaoinfinita (nao enumeravel). Nesse caso, veremos adiante que dim(V) > dim(V).

Pelo teorema acima, para cada vetor |V V podemos associar um dual V V. Paradeterminarmos o funcional linear V , basta saber como ele atua sobre vetores de V. Isso podeser feito a partir da definicao do produto interno.

Produto interno como um funcional linear. Dado um vetor |V V, considere aseguinte aplicacao:

V | : V 7 K.Ou seja, com |V fixo, o produto interno de |V com os demais vetores V define um funcionallinear em V, visto que

V |aW + bZ = a V |W + b V |Z .Sendo assim, podemos denotar o dual V de |V pelo bra V |:

V V |

de modo que

V (|W ) = V |W .Assim vemos que um bra V | e um elemento do espaco dual V.

Operacoes adjuntas. A operacao de tomar o dual, tambem dita tomar o adjunto,de um vetor recebe um smbolo especial, a adaga :

(|V ) V | .

Regra de operacoes adjuntas:

i) (a |V ) = V | a = a V |ii) (a |V + b |V ) = V | a + W | b = a V |+ b W | .

Demonstracao de i). Para obter o dual de a |V precisamos saber como o funcional aV |atua. Ora, temos que

aV |W = W |aV = a W |V = a V |W .

Logo,

(a |V ) = a V | = V | a.Deixamos a demonstracao ii) a cargo do leitor.


Nosso interesse maior sao os operadores lineares, para os quais temos as propriedades:

(a |V ) = a |V e

(a |V + b |W ) = a |V + b |W .

Exemplos de operadores

1. Operador identidade:I |V = |V , |V V

2. Operador de rotacao em V = R3 :

~x = R(~)~x,

onde R(~) representa a operacao de rotacao por um angulo em torno do eixo definido

por ~ = ~n. Por exemplo, para uma rotacao em torno do eixo z, ~ = (pi/2)~k, e se

denotarmos |1 =~i, |2 = ~j e |3 = ~k, temos entao que

R(pi2~k)|1 = |2 ,

R(pi2~k)|2 = |1

eR(pi2~k)|3 = |3 .

Claramente a acao da rotacao e linear:

R[|1+ |2] = R |1+R |2 .O exemplo acima ilustra um fato importante: para conhecermos um dado operadorlinear basta sabermos como ele atua nos elementos de uma base ortonormal. Maisprecisamente, se B = {|i}ni=1 e uma base de V e se

|i = |ientao a acao de em qualquer vetor |V esta

|V =i

vi |i

esta bem definida: |V =

i

vi |i =i

vi |i .

1.6. OPERADORES LINEARES 13

Operador inverso. O inverso de um operador e denotado por 1 e definido por

1 = 1 = I.

Exemplo. Se = R(~) entao 1 = R(~).E facil verificar ainda que, se e possuirem inverso, entao ()1 = 11.

Observacao: nem todo operador possui um inverso, as condicoes para tais serao mencio-nadas adiante.

1.6.1 Algebra de Operadores

E possvel definir de maneira natural as operacoes de adicao e multiplicacao de operadores:

1. Adicao: claramente se 1 e 2 sao dois operadores lineares, entao a soma deles tambemsera um operador linear:

= 1 + 2;

|V = 1 |V + 2 |V .

2. Multiplicacao: se e sao operadores lineares em V, entao definimos o operadorproduto atraves da relacao

() |V = ( |V ).

Com essa definicao, os parenteses tornam-se desnecessarios, ou seja, a expressao

|V

fica bem definida (sem ambiguidade). Note que a ordem das operacoes e importante,pois em geral:

6= .

Um conjunto C dotado de duas operacoes, adicao e multiplicacao, com as propriedadesusuais, e dito ser uma algebra. Se a multiplicacao for comutativa, a algebra e dita sercomutativa; do contrario, a algebra sera nao comutativa.. Temos, portanto, que o conjuntode operadores em um espaco vetorial forma uma algebra nao commutativa, chamada dealgebra dos operadores lineares em V, denotada por L(V).


1.6.2 Comutadores

Em face da nao comutatividade da multiplicacao de operadores, torna-se importante consi-derar o operador comutador entre dois operadores que mede

Definicao 1.14. O comutador dos operadores e e definido pela relacao

[,] Temos entao que, em geral, [,] 6= 0, significando que [,] |V 6= 0, para um vetor

|V generico.

Identidades uteis envolvendo comutadores:

[,] = [, ] + [,]

[, ] = [, ] + [, ]

A verificacao das identidades acima e deixada como exerccio para o leitor.

1.7 Matrizes como representacoes de operadores

Um operador linear em um espaco de dimensao finita V pode ter uma representacaobastante concreta e conveniente por meio de matrizes. Suponha que saibamos como atuaem uma base ortonormal, B = {|i}ni=1, de modo que podemos determinar os vetores |i,onde

|i = |i .Conhecer os novos vetores |i significa conhecer os seus componentes na base B, ou seja,

j|i = j| |i ji.Os numeros ji sao ditos os elementos de matriz de na base B. Claramente ha nn desseselementos. Assim temos

|i =j

ji |j .

Em particular se |V =i vi |i e |V = |V , entao as componentes de |V na base B saovi = i|V = i||V

= i|j

vj |j

=j

i||j vj

=ij

ijvj.

1.7. MATRIZES COMO REPRESENTACOES DE OPERADORES 15

A expressao acima corresponde exatamente a` regra usual de multiplicacao de matrizes. Assimpodemos representar o operador na base B pela matriz ji :

=

11 12 1n21 22 2n...

.... . .

...n1 n2 nn

= (|1 |2 |n)

=

1| |1 1| |2 1| |n2| |1 2| |2 2| |n

......

. . ....

n| |1 n| |2 n| |n

.

De modo que se

|V =

v1v2...vn

entao

|V =

11 12 1n21 22 2n...

.... . .

...n1 n2 nn

v1v2...vn

E facil verificar ainda que a representacao matricial da soma e multiplicacao de operadorespode ser obtida usando as regras usuais de soma e multiplicacao de matrizes. Por exemplo

=

11 1n... . . . ...

n1 nn

11 1n... . . . ...

n1 nn

.

Ou em notacao de ndice

()ij =k

ikkj.

1.7.1 Operador Adjunto

Para todo operador : V 7 V atuando em um espaco vetorial V podemos definir umoperador dual atuando no espaco dual:

: V 7 V.


onde,V | (V |) = V |,

Ou sejaV | = V |.

Note que a notacao acima deve ser entendida de maneira apropriada.

V | V | : funcional linear.V | = V | V | = (V | ) = V || : funcional linear gerado pela acao de .Entretanto, e comum esquecermos a diferenca entre um operador e o seu dual , edizermos que o operador atua tanto em kets |V como em bras V | , ou seja,

|V = |V V | = V | .

As vezes dizemos que um operador pode atuar tanto a` direita, i.e., no ket, quanto a`esquerda, i.e., no bra. Se for um operador linear, sua atuacao nos bras sera da seguinteforma:

V | a = V |a = a V |(V | a+ W | b) = a V |+ b W |.

Note que o bra V |, obtido pela acao de a` esquerda de V |, nao e o dual do ket |V ,obtido pela acao de a` direita de |V , ou seja,

|V 6= |V .Contudo, como |V so depende do operador e do proprio vetor V |, segue que deve existirum operador tal que

|V = |V .Temos entao a seguinte definicao.

Definicao 1.15. O operador adjunto de , denotado por , e definido pela relacaoV ||W = W ||V .

De forma mais sucinta podemos entao escrever

( |V ) = V |.Por outro lado, se introduzirmos a notacao

|V |V | ,obtemos a seguintes relacoes

V | = V | , V = V |.que sao bastante uteis na manipulacao de operadores adjuntos


Representacao matricial de :

()ij =i||j = i|j = j||i = ji,

ou seja, = (t) (conjugado hermiteano),

onde t indica transposta e {}, complexo conjugado.E facil provar a seguintes propriedades de operadores adjuntos:

1. () = .

2. ( + ) = + ;

3. () = ;

4. (a) = a;

5. () = .

1.7.2 Operadores Hermiteanos e Unitarios

Em mecanica quantica, certas classes especiais de operadores desempenham um papelfundamental, entre os quais destacamos os operadores hermiteanos e operadores unitarios.

Definicao 1.16. Um operador e dito

i) Hermiteano (ou auto-adjunto) se = .

ii) Anti-hermiteano se = .iii) Unitario se 1 = , ou = I = .

Propriedades importantes:

1. Qualquer operador pode ser decomposto como a soma de uma parte hermiteana euma anti-hermiteana:

= H + A,

onde

H =1

2( + ) e A =

1

2( ),

pois obviamente

=1

2( + ) +

1

2( ).


2. Um operador H e hermiteano se e somente se V |H|V e real para todo V V.

Demonstracao. Se H = H V |H|V = V |H|V = V |H|V . Por outro lado,se V |H|V = V |H|V = V |H|V V |H H|V = 0 H H = 0.Em MQ, o elemento de matriz V |H|V representa o valor esperado do operadorH no estado |V . Logo se H for associado a alguma grandeza fsica mensuravel, eimportante que o valor esperado seja real.

3. Os autovalores de um operador hermiteano sao reais.

Demonstracao. A equacao de autovalor e

|V = |V V | = V |

V | = V | V ||V = V |V V |V = V |V = .

4. Os autovalores de um operador unitario sao numeros complexos de modulo unitario.

Demonstracao. Partindo da relacao = I e usando a equacao de autovalor |V = |V , temos

V ||V = V ||V V |V = V |V = V ||V = V |V .

Portanto,

||2 = 1 || = 1.

5. Um operador unitario preserva produto interno.

Demonstracao. Seja |V 1 = U |V1 e |V 2 = U |V2 . Entao V 2 |V 1 =V2|U U |V1

=

V2|V1 .

6. Uma transformacao unitaria preserva modulo.

Para ver isso, basta fazer |V1 = |V2 = |V na propriedade anterior, donde ontemos|V |2 = |V |2.


7. Uma transformacao unitaria leva uma base ortonormal em outra base ortonormal, evice-versa, ou seja, uma transformacao que leva uma base ortonormal em outra baseortonormal e uma transformacao unitaria.

8. As colunas de uma matriz unitaria sao vetores ortonormais. Da mesma forma, as linhaspodem ser interpretadas como vetores (duais) ortonormais.

Demonstracao. Vimos que

U = ( |1 |2 |n ) =

1|2|...n|

.

Como {|i} e ortonormal, |j = U |j tambem o e, logo k|j = k,j. Lembre aindaque |i indica os componentes de |i na base {|j}. Temos entao

U = (|1 |2 |n) = U1.Logo as colunas de U , que sao as linhas de U (a menos de conjugacao complexa), saomutuamente ortonormais.

9. Os autovetores de um operador hermiteano geram uma base ortonormal. Na basedos autovetores o operador e diagonal, e os elementos da diagonal sao os autovalorescorrespondentes.

Demonstracao. Suponha inicialmente que os autovalores sao nao degenerados, ou seja,para cada autovalor existe apenas um unico autovetor. Nesse caso escrevemos

|i = i |i ,onde sem perda de generalidade supomos i|i = 1. Sejam agora i e j doisautovalores distintos, i.e., i 6= j. Entao

j||i = i j |i ,e portanto

i j |i =i||j

= i||j = j i|j = j j|i .

Mas i 6= j, logo(i j) j|i = 0 j|i = 0.


A demonstracao acima pode ser facilmente estendida para o caso degenerado mas issonao sera feito aqui.

10. Os autovetores de um operador unitario sao mutuamente ortogonais.

Demonstracao. (Caso nao degenerado). Seja

U |ui = ui |ui ,

Entaouj|U U |ui

= ui

uj|U |ui

uj|ui = uiuj uj|ui (1 uiuj) uj|ui = 0.Portanto,

se

{i = j uiui = 1i 6= j e ui 6= uj uj|ui = 0

Exemplo 1.5. Diagonalizacao de matrizes hermiteanas. Em um espaco vetorial real,um operador hermiteano corresponde a uma matriz da forma t = . Nesse caso amatriz e dita ser hermiteana. Consideremos a seguinte matriz hermiteana

=

(0 ii 0

), =

(0 ii 0

) = .

Calculo dos autovalores:

=

ii = 0 2 1 = 0 = 1.

Calculo dos autovetores: Para o autovalor 1 = 1, temos(1 ii 1

)(ab

)= 0 a = ib,

que nos fornece o autovetor

|1 = 12

(1i

).

Fazendo o mesmo para 2 = 1, obtemos

|2 = 12

(1i

).


cheque da ortogonalidade:

2|1 = 12(1 i)

12

(1i

)=

1

2(1 + i2) = 0.

Entao na base B = {|1 , |2} a matriz e simplesmente

=

(1 00 1

).

1.7.3 Mudanca de base:

Vimos que uma transformacao e unitaria se, e somente se, leva uma base ortonormal emoutra base ortonormal. Seja U a representacao matricial de um operador unitario na baseB = {|i} que leva os vetores dessa base nos vetores de uma nova base B = {|i}, ou seja,

|i = U |i i|j = Uijcom transformacao inversa dada por

|i = U |i i|j = (U )ij = Uji.Da primeira equacao acima, vemos que as colunas de U representam os vetores da nova

base B escritos na base antiga. Da mesma forma, as linhas de U representam os vetores(duais) i| da base antiga escrita na nova base, ou seja

U = (|1 , |2 |n) =

1|2|...n|

.

Seja agora |V um vetor com coordenadas vi na base ortogonal {|i}. Entao e facil verificarque as coordenadas vi de |V na nova base {|i} sao dadas por

|V = U |V vi =j

Ujivj .

Da mesma forma, se representa um operador na base original, entao na nova base esseoperador e representado pela matriz

= U U.

No caso de um operador hermiteano, a nova base de interesse e a base gerada pelos autove-tores de :

i = |i .


e nessa nova base B = {|i} a matriz e diagonal. Ou seja, toda matriz hermiteana (emum espaco de dimensao finita) pode ser diagonalizada por uma transformacao unitaria debases. Isto e, existe uma transformacao unitaria U tal que

= U U =

1 0 00 2 0...

.... . .

...0 0 n

e a transformacao U e dada por

U = (|1 |2 |n).

1.8 Operadores de projecao e decomposicao espectral

Como o nome sugere, um operador de projecao P projeta vetores de um espaco vetorialV em um dado subespaco de V. Assim, se aplicarmos P a um vetor que ja pertence aorespectivo subespaco, nada acontece, uma vez que o vetor ja esta projetado no subespacoem questao. Dessa propriedade esperada do conceito de projecao, decorre naturalmente adefinicao de operador de projecao.

Definicao 1.17. Um operador hermiteano P e dito um operador de projecao se P 2 = P.

Definicao 1.18. Se P1 e P2 sao operadores de projecao com P1P2 = P2P1 = 0, entao P1 eP2 sao ditos ortogonais entre si.

Deixamos para o leitor verificar que se P1 e P2 sao dois operadores de projecao, entaoP1 + P2 e um operador de projecao se, e somente se, P1P2 = P2P1 = 0. Em outras palavras,a soma de operadores de projecao ortogonais e um operador de projecao. Ou seja, se

PiPj =

{Pi, i = j0, i 6= j

entao P =

i Pi e operador de projecao e vice-versa.

Exemplo 1.6. Seja |e um vetor normal, i.e., | |e | = 1. Entao a quantidade

Pe = |ee|

define um operador de projecao. A acao de Pe em um vetor |V qualquer e definida por

Pe |V = |ee|V = e|V |e V.

1.8. OPERADORES DE PROJECAO E DECOMPOSICAO ESPECTRAL 23

Alem disso:

P 2e |V = |ee|Pe|V = |ee|ee|V = e|V |e = Pe |V .Logo P 2e = Pe. De maneira mais direta, poderamos ter feito a seguinte manipulacao:

P 2e = PePe = |ee|ee| = |ee| = Pe.

Proposicao 1.1. Seja B = {|i}ni=1 uma base ortogonal. Entao o conjunto de operadores deprojecao {Pi = |ii|} forma um conjunto de operadores mutuamente ortogonais e alem dissotemos a seguinte identidade:

ni=1

Pi =

ni=1

|ii| = I. (1.1)

Demonstracao.

V |(

i

Pi

)|V = V |

(i

|ii|)|V =

i

V |ii|

=i

V i Vi = V |V

= V |I|V .

Logo temos a relacao desejada:

i Pi = I. De modo mais direto, temos

|V =i

Vi |i =i

i|V |i =(

i

|ii|)|V = I |V ,

resultando na mesma relacao.

A igualdade (1.1) e a relacao de completeza dos operadores Pi, a qual diz que os Piformam um conjunto completo de operadores ortogonais. Dessa discussao sobre operadoresde projecao mutuamente ortogonais e do fato de que operadores hermiteanos (ou unitarios)sao diagonalizaveis, segue o teorema.

Teorema 1.5 (Teorema da Decomposicao Espectral). Seja um operador hermiteano (ounormal) sobre um espaco vetorial de dimensao finita n e sejam 1, 2, . . . , r, seus autova-lores distintos. Entao existem operadores de projecao Pi, i = 1, . . . , r, tais que

i) PiPj = 0, i 6= j (autoespacos sao ortogonais);ii)r

i=1 Pi = I (autovetores formam uma base completa);

iii)r

i=1 iPi = 1P1 + + rPr ( e diagonalizavel).


Observacao. Em particular se os autovalores forem nao degenerados, i.e., r = n, entao

Pi = |ii| e =ni=1

i |ii| .

Exemplo 1.7. No exemplo anterior vimos que para a matriz =

(0 ii 0

), temos 1 = 1,

|1 = 12(

1i

)e 2 = 1, |2 = 12

(1i

). Os respectivos operadores de projecao sao

P1 = |11| = 12

(1i

)12(1, i) = 1

2

(1 ii 1

).

e

P2 = |22| = 12

(1i

)12(1, i) =

1

2

(1 ii 1

).

Decomposicao Espectral:

1P1 + 2P2 = 1 12

(1 ii 1

)+ (1) 1

2

(1 ii 1

)=

(0 ii 0

)= .

1.8.1 Operadores Hermiteanos Simultaneamente Diagonalizaveis

Dois operadores e sao ditos simultaneamente diagonalizaveis se eles podem ser decom-postos em termos do mesmo conjunto de operadores de projecao. Ou seja, existe uma baseortonormal na qual os dois operadores sao diagonais.

Teorema 1.6. Uma condicao necessaria e suficiente para dois operadores hermiteanos e serem simultaneamente diagonalizaveis e que

[,] = 0.

Em outras palavras, se e comutam, entao existe uma base de autovetores comum quediagonaliza tanto quanto .

1.9 Funcoes de operador

Seja um operador. A n-esima potencia e definida da maneira usual:

n =

n vezes .

1.10. EXERCICIOS 25

Definimos ainda 0 = I. O operador inverso de , se existir, e denotado por 1 e corres-ponde ao operador tal que 1 = 1 = I.

Considere agora a funcao f(x) que admite uma expansao em serie de Taylor:

f(x) =n=0

anxn.

Entao a funcao f() e o operador definido pela serie

f() =

n=0

ann.

Exemplo 1.8. O operador exponencial de e

e = I + +1

22 +

1

3!3 + =

n=0

n

n!.

1.10 Exerccios

1. Considere a matriz

=

(5 3i3i 5

).

a) Obtenha os operadores de projecao P1 e P2 associados aos autovalores 1 e 2, everifique a validade da decomposicao espectral: = 1P1 + 2P2.b) Obtenha a matriz =

. Verifique seu resultado mostrando que 2 = . Su-

gestao: use a relacao f() =

i f(i)Pi.

2. Repita o problema anterior para a seguinte a matriz

=

(2 1 + i

1 i 3).

3. Calcule os autovalores e respectivos autovetores das matrizes de Pauli

1 =

(0 11 0

), 2 =

(0 ii 0

), 3 =

(1 00 1

).

Verifique, em particular, que todas elas possuem os mesmos autovalores 1.4. Considere as matrizes

=

1 0 00 1 0

0 0 1

, =

1 0 00 0 1

0 1 0

.

Mostre que elas podem ser simultaneamente diagonalizaveis e encontre uma base co-mum de autovetores. Obtenha a matriz nessa base.


5. Mostre as seguintes identidades entre comutadores:

[,] = [,] + [,],

[,] = [,] + [,].

6. a) Mostre que se A e B sao operadores que nao comutam entao

eA+B = eAeBe1

2[A,B].

b) Use a relacao acima para mostrar que o operador U = eiH e unitario se, e somentese, H e hermiteano.

7. Algebra das Matrizes Geradoras das Rotacoes (Muito Importante).a) Considere a matrix 2 2

z =

(0 11 0

).

Mostre que z e a a matriz geradora das rotacoes em torno do eixo z no sentido deque

ez = cos I + sin z =

(cos sin sin cos

).

Generalize o resultado acima (sem fazer muitos calculos adicionais) para o caso 3D, ouseja,

z =

0 1 01 0 0

0 0 0

ez =

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

.

b) Escreva as matrizes x e y geradoras das rotacoes em torno dos eixos x e y,respectivamente. (Nao e necessario deduzir as identidades equivalentes a` relacao doitem anterior.)c) As matrizes i, i = x, y, z, obviamente nao sao hermiteanas, entretanto as matrizes

Li = ii

claramente o sao (verifique isso). Determine agora as relacoes de comutacao (dois adois) entre as matrizes Lx, Ly e Lz. Em particular, verifique que as mesmas definemuma algebra, ou seja, o conjunto {Lx, Ly, Lz} e fechado sob operacao de comutacao.d) Diagonalize a matriz Lz, ordenando os autovetores em ordem decrescente dos res-pectivos autovalores. Determine tambem a forma das matrizes Lx e Ly na base dosautovalores de Lz. Sua resposta deve corresponder as matrizes dadas no Exerccio 4.2.1do livro-texto (Shankar). Em particular, vale observar que as matrizes Li, a menosde um fator de ~, correspondem a`s respectivas componentes do operador momentoangular (para uma partcula com momento angular total J = 1).

1.10. EXERCICIOS 27

8. Considere os tres operadores Li da questao acima agrupados como se fossem compo-nentes de um vetor, ou seja, escreva

~L = (Lx, Ly, Lz) ~L = i~ = i(x,y,z).

Seja ~n um vetor unitario, mostre entao que

ei~n~L = e~n

~ = R(~n),

onde R(~n) representa a matriz de rotacao de um angulo em torno da direcao definidapor ~n.

9. a) Sejam P1 e P2 dois operadores de projecao. Mostre que P1 + P2 e um operadorde projecao se, e somente se, P1P2 = P2P1 = 0. Sugestao: para provar a volta,mostre que se P1 + P2 e um operador de projecao, entao [P1, P2] = P1P2 P2P1 = 0 e{P1, P2} = P1P2 + P2P1 = 1.

aula. 01-02 - cap1

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