CURSO DE ENGENHARIA MECNICA 3 SEMESTREFBIO ALVINO DE FREITAS RA: 5670138277ALESOM DOUGLAS ZDEBSKI RA: 5212967006EVERTON EZEQUIEL ARAUJO ROAS RA: 5676144934LEONARDO CRISTIANO COSTA PEREIRA RA:5237985410ANTONIO CARLOS GREGORIO RA: 6673445017DISCIPLINA DE CLCULOPROFESSOR: DARBI MULLER

ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADA DA DISCIPLINA DE CLCULO III

JARAGU DO SUL2013ndiceIntroduo...................................................................................................................................3Etapa 1 - Integral Definida e Integral Indefinida........................................................................4Etapa 1 Passo 1 - Texto dissertativo ..........................................................................................5Etapa 1 Passo 2 - Desafios A e B................................................................................................6Etapa 1 Passo 2 - Desafios C e D................................................................................................7Etapa 1 Passos 3 e 4....................................................................................................................8Relatrio 1 Resoluo dos Desafios A e B..............................................................................9Relatrio 1 Resoluo do Desafio C......................................................................................10Relatrio 1 Resoluo do Desafio D......................................................................................11Etapa 1 Integrao por Substituio e por Partes. .................................................................12Etapa 2 Passo 1 Texto dissertativo......................................................................................13Etapa 2 Passo 1 Texto dissertativo......................................................................................14Etapa 2 Passos 2 e 3...............................................................................................................15Relatrio 2 Resoluo da Parte 1...........................................................................................16Relatrio 2 Resoluo da Parte 2...........................................................................................17Relatrio 2 Resoluo da Parte 2...........................................................................................18Etapa 3 Clculo de rea.........................................................................................................19Etapa 3 Passo 3 e 4.................................................................................................................20Etapa 4 Passo 1 e 2.................................................................................................................21Etapa 4 Passo 3 e 4.................................................................................................................21Conceito de Clculo de Volume de Revoluo........................................................................22Bibliografia...............................................................................................................................19

INTRODUO

Conforme solicitado pelo professor Darbi, conclumos as duas primeiras etapas da ATPS da disciplina de Clculo III.Na Primeira etapa estudamos a utilizao da teoria sobre integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Aps o estudo, desenvolvemos atravs de um texto dissertativo os principais conceitos levantados nas pesquisas. Em seguida desenvolvemos as resolues dos desafios A, B, C E D, propostos pela atividade.Na segunda etapa pesquisamos em livros e na internet, informaes relacionadas ao estudo de integrao por substituio e por partes, fizemos um levantamento sobre o surgimento das tcnicas de integrao trabalhadas nesta etapa e relatamos as principais informaes sobre integrais por partes e por substituio. Em seguida, colocamos em prtica todo o assunto estudado resolvendo os exerccios propostos pelos ltimos passos.

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Passo 11. Pesquisar informaes relacionadas ao estudo e utilizao da teoria de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Ok!2. Elaborar um texto dissertativo contendo as principais informaes obtidas na pesquisa realizada no passo anterior.3. Download do software: Geogebra. Ok!

Integrais definida, indefinidas e clculo de reas.Desde a antiguidade os matemticos se preocupam em determinar a rea de uma figura plana. Matematicamente podemos dizer que a rea pode ser definida como quantidade de espao bidimensional, ou seja, de uma superfcie. O mtodo mais utilizado foi o da exausto, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com reas j conhecidas. A partir do Teorema Fundamental do Clculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de calcular facilmente reas e integrais sem a necessidade de utilizar o mtodo de limites de soma descrito matemtico Riemann.A integral indefinida uma funo ou tambm podemos entender como uma famlia de funes a integral que consiste no processo inverso da derivao, onde uma funo F(x) chamada de primitiva da funo f(x) que esto est sempre definida sobre algum intervalo. Quando no determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma funo f, entendemos que essas funes so primitivas de f no mesmo intervalo i. A integral definida teve origem com a formalizao matemtica dos problemas de reas e problemas fsicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida de uma funo pode ser entendida como a soma de pequenos retngulo, ou subintervalos, onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retngulos resultam na sua rea e que somadas em um intervalo de `a a `b resultam na rea da figura plana. Uma integral definida pode ser classificada como prpria ou imprpria, convergentes ou divergentes. No caso do limite do intervalo definido no existir ou no ser finito, dizemos que a integral imprpria diverge, se o limite existe e um numero real a integral imprpria converge. Ao contrrio da integral indefinida, a integral definida um nmero e no depende de uma varivel x.

Passo 2

Responder desafios A, B, C e D.

Desafio A.Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de da?

a) -

b)

c)

d)

e)

Desafio B.Supor que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) =1000+50q dlares por p, onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0) =1000+50q, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q ps, :(a) C(q) = 10.000 + 1.000q + 25

(b) C(q) = 10.000 + 25q + 1.000

(c) C(q) = 10.000

(d) C(q) = 10.000 + 25

(e) C(q) = 10.000q + +

Desafio C.Supor que no incio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o nmero de anos contados a partir do incio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) dado por: C(t)=16,1. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petrleo consumida entre 1992 e 1994?(a) 56,43 bilhes de barris de petrleo(b) 48,78 bilhes de barris de petrleo(c) 39,76 bilhes de barris de petrleo(d) 26,54 bilhes de barris de petrleo(e) Nenhuma das alternativas

Desafio D. A rea sob a curva y = de x = -3a x = 2 dada por:(a)4,99(b)3,22(c)6,88(d)1,11(e)2,22

Passo 3Marcar a resposta correta dos desafios A,B,C e D justificando atravs dos clculos realizados, o por qu da alternativa ter sido considerada.Para o desafio A:Associar o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (d).Associar o nmero 7, se a resposta correta for a alternativa (e).Para o desafio B:Associar o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (d).Associar o nmero 6, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio C:Associar o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 6, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 9, se a resposta correta for a alternativa (d).Associar o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio D:Associar o nmero 9, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 4, se a resposta correta for a alternativa (d).Associar o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (e).

Passo 4Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 1 com as seguintes informaes organizadas:

1. Os clculos e todo o raciocnio realizado para a soluo do passo 3;2. A sequncia dos nmeros encontrados aps a associao feita no passo 3.

RELATRIO 1

DESAFIO A:

RESPOSTA: LETRA B

DESAFIO B:

1000 + 50 + C

1000q + + C

1000q + 25 + + C

Como C = 10.000, ento:

C(q) = 10.000 + 1.000q + 25

RESPOSTA: LETRA ADESAFIO C:

C(t) = 16.1

4

2

RESPOSTA: LETRA C

DESAFIO D:

x [-3,2]

RESPOSTA: LETRA A

ETAPA 2

Aula-tema: Integrao por Substituio. Integrao por Partes.

Passo 1

1. Ler o captulo do PLT que descreve os conceitos de integrao por partes e por substituio. Pesquisar tambm em livros didticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao por partes e por substituio.2. Fazer um levantamento sobre a histria e surgimento das tcnicas de integrao trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas coma pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso dos prximos passos.

Conceito de integrais por partes e por substituioA integral por substituio, para as derivadas, o fruto da regra da cadeia, sendo um mtodo de integrao fundamental para a resoluo de integrais que evidentemente no possuem um elemento como primitivo. Este mtodo baseado em aplicar uma alterao de variveis e tem grande utilidade quando a funo integrando representada como um produto de funes.A integral por partes consiste em quebrar uma integral de mais fcil entendimento em um produto de funes para serem mais simples de se trabalhar. Para este mtodo fundamental a escolha certa das funes na equao que levem soluo do problema.Histria da origem das integraisO clculo integral teve origem a partir de problemas de quadratura que tambm podemos entender como processo de determinar reas. As quadraturas fascinavam os gemetras como Hipcrates de Chios, 440 a.C. que estudava figuras limitas por curvas e realizou as primeiras quadraturas da histria a partir de regies que se assemelhavam com o formato da lua em sua fase crescente. Outro gemetra chamado Antifon, por volta da 430 a.C. procurou encontrar a quadratura do circulo atravs de uma sequncia de polgonos e descobriu que essa sequncia nunca poderia acabar, mas que foi uma brilhante ideia que deu origem ao mtodo da exausto. Por volta de 225 a.C., Arquimedes foi quem contribuiu com uma das maiores descobertas do Clculo criando o Teorema de Arquimedes para a quadratura da parbola. Em 1600 d.C. Kepler consistia pensar na superfcie como uma soma de linhas, mtodo que apresentava resultados imprecisos, assim calculou o volume de vrios slidos com regio bidimensional ao redor de um eixo. Kepler subdividia o slido em vrias partes estas partes chamou de partes infinitesimais, e a soma dessas partes se aproximavam do volume que procurava.Os prximos matemticos que contriburam fortemente com clculo integral foram Fermat e Cavalieri. Desenvolvendo a ideia de Kepler, Cavalieri pensou numa rea infinita de segmentos indivisveis criando o que hoje conhecemos como a frmula das primitivas. Fermat desenvolveu a tcnica para achar a reas sob cada uma das curvas, empregou uma srie geomtrica para cada uma dessas curvas, tambm chamadas de parbolas maiores. Aproximadamente em 1640, a frmula da integral das parbolas maiores j era conhecida por Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros cientistas da poca.Desde a poca de Galileo, Torricelli e Barrow trabalhavam em problemas envolvendo movimento, dando origem ento a ideia de que a integral e derivada eram processos inversos. Embora Barrow nunca tenha concludo seu trabalho, Newton em suas pesquisas, continuou na mesma direo e formulou o Teorema Fundamental do Clculo. O cientista Gottfried Wilhelm Leibniz representava a integrao com o smbolo `, um s longo representando a rea da figura pela soma das reas infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenas entre as abscissas. Os trabalhos de Leibniz foram publicados em 1684 e 1686 com o nome de Calculus Summatorius. Em 1690 Jacques Bernoulli publicou o nome Clculo Integral criado pelo seu irmo Johann Bernoulli.

Passo 2

Considerar as seguintes igualdades:

I)

II)

Podemos afirmar que:(a) (I) e (II) so verdadeiras(b) (I) falsa e (II) verdadeira(c) (I) verdadeira e (II) falsa(d) (I) e (II) so falsas

Passo 3

Marcar a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos.Para o desafio:Associar o nmero 4, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

Passo 4Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 2 com as seguintes informaes organizadas:

1. Os clculos e todo o raciocnio realizado para a soluo do passo 3; 2. A sequncia dos nmeros encontrados aps a associao feita no passo 3.

RELATRIO 2

(I)

Derivando u: u = 6t (2t 6)dt = du (2.t 2.3)dt = du 2(t - 3)dt = du (t 3)dt = (-1)(3 t)dt = (3 t)dt = -

Substituindo temos:

RESPOSTA: VERDADEIRO

(II)

Tabela:

Substituindo temos:

RESPOSTA:

ETAPA 3

Aula-tema: Clculo de rea

Passo 11. Ler atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de clculo de rea, usando teoria de integrais para isso. Pesquisar tambm em: livros didticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao a resoluo de exerccios que envolvam rea obtida por duas ou mais curvas.

2. Fazer um levantamento sobre a histria do surgimento desta forma de calcular rea gerada por duas ou mais curvas e elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.

Passo 2Considerem as seguintes regies S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As reas de S1 e S2 so, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1. Figura 2.

Podemos afirmar que:(a) (I) e (II) so verdadeiras(b) (I) falsa e (II) verdadeira(c) (I) verdadeira e (II) falsa(d) (I) e (II) so falsasPasso 3Marcar a resposta correta do desafio proposto no passo 2 justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos.

Para o desafio:Associem o nmero 6, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Passo 4Entregar ao professor, para cumprimento desta etapa um relatrio com nome de RELATRIO 3 com as seguintes informaes organizadas.1. Os clculos e todo o raciocnio realizado para a soluo do passo 3;2. A sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.

ETAPA 4

Aula-tema: Volume de Slido de Revoluo.

Passo 11. Ler atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de clculo de volume de um slido de revoluo. Pesquisar tambm em livros didticos, na internet em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao no clculo de volume.2. Fazer um levantamento sobre a histria do surgimento desta forma de calcular o volume de um slido de revoluo e elaborar um texto dissertativo contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1.

Passo 2Considere os seguintes desafios:

Desafio A.A rea da superfcie de revoluo obtida pela rotao, em torno do eixo x, da curva dada por y = 4 de x 4 :.(128-17)u.a.. Est correta esta afirmao?

Desafio B. Qual o volume do slido de revoluo obtido pela rotao, em torno da reta y = 2 ,da regio R delimitada pelos grficos das equaes: y = sen x , (sen x de x = 0 at x = ?(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

Desafio C. Resolver o desafio A, julgando a afirmao apresentada como certa ou errada. Os clculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.Marcar a respostar correta do desafio B, justificando por meio dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada.

Passo 3Resolver o desafio A, julgando a afirmao apresentada como certa ou errada. Os clculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.Tambm marcar a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:Associem o nmero 4, se a resposta estiver certa.Associem o nmero 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B:Associar o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (a).Associar o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (b).Associar o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (c).Associar o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (d).Associar o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Passo 4Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome deRelatrio 4 com as seguintes informaes organizadas:1. os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3;2. a sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.3. colocar na ordem de realizao dos desafios, os nmeros encontrados indicando por meio da sequncia montada, os milhes de metros cbicos que podero ser extrados do novo poo de petrleo recm descoberto pela empresa Petrofuels.

Clculo de Volume de Revoluo

A determinao de volumes de objetos caracteriza um importante papel no estudo de muitos problemas nas cincias fsicas. De maneira geral, os cursos de Clculo Diferencial e Integral abordam os problemas de volumes utilizando funes de uma varivel real que revolvem em torno de um eixo (reta no plano) de rotao, como pode ser observado resultado um modelo tridimensional chamado de slido de revoluo e que possui um volume que dependente do domnio da funo. Assim, o volume de um slido de revoluo obtido pela rotao de uma regio delimitada pela funo f(x) no intervalo [a,b] em torno do eixo das abscissas , formado pela constante y = 0.

Bibliografia

HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al. Clculo de Uma Varivel. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Tcnicos e Cientficos, 2004, v.1.

FLEMMING, Diva; GONALVES, Mirian. Clculo A: Funes, limites, derivao e integrao. 6 ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

STEWART, James.Clculo - volume I. So Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. 4 edio.