MATEMÁTICA

MÓDULO 14DIEDROS, TRIEDROS E POLIEDROS

Professor Matheus Secco

1. DIEDROS ou ou é a reunião de dois semi-planos e de mesma origem não contidos num mesmo plano e édenotado por .

A reta r chama-se aresta do diedro e os semiplanos e , faces.

ou de um diedro é uma seção cujo plano éperpendicular à aresta do diedro.

Na figura r e o ângulo a ^ b é a seção reta do diedro.

A medida de um diedro é a medida de sua seção reta (a medida de umdiedro é igual ao ângulo entre as faces)

Diedro reto é aquele cuja seção normal é um ângulo reto.

2. TRIEDROSSejam três semi-retas de mesma origem e não coplanares. Três planospodem ser formados, um a partir de cada par de retas. Cada planodetermina um semi-espaço que contém a terceira semi-reta. Assim, otriedro V (a,b,c) ou V (A,B,C) formado pelas três semi-retas é a interseçãodesses três semi-espaços.

A origem comum V é chamada dotriedro e cada uma das semi-retas a, b ec, .Um triângulo que possui um vértice emcada aresta do triedro é uma dotriedro, como por exemplo o triânguloABC.

Triedro tri-retângulo: faces são ângulos retos e os diedros são diedrosretos.

1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°.

2. Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.

3. A soma das medidas das faces de um triedro qualquer é menor que 360.

3. ÂNGULOS POLIÉDRICOS CONVEXOSO conceito de ângulos poliédricos convexos é uma extensão do conceitode triedros. Dado um número finito n 3 de semirretas Va1, Va2,...Van, demesma origem V, tais que o plano de duas consecutivas deixa as demaisnum mesmo semiespaço, consideremos n semiespaços E1,E2,...,En, cadaum deles com origem no plano de duas semirretas consecutivas econtendo as restantes. Então o ângulo poliédrico convexo determinadopor Va1, Va2,...Van é a interseção dos semiespaços E1,E2,...,En.

1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°.

2. Em todo ângulo poliédrico convexo, qualquer face é menor que a somadas demais

3. A soma das medidas das faces de um ângulo poliédrico convexoqualquer é menor que 360.

4. POLIEDROS CONVEXOS E RELAÇÃO DE EULER

Poliedro convexo é uma reunião de um número finito de polígonos planosconvexos chamados faces onde:

1º) dois polígonos não estão no mesmo plano;

2º) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; e

3º) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos no mesmo semi-espaço.

Os vértices das faces são também os vértices do poliedro e os lados dasfaces são chamadas arestas do poliedro.

Cada vértice do poliedro corresponde a um ângulo poliédrico, no qual estácontido todo o poliedro.

é qualquer segmento com extremidades em doisvértices do poliedro e não contido em uma face.

No poliedro acima, por exemplo, BH é uma diagonal.

Os poliedros são classificados de acordo com o seu número de faces.

O poliedro com menor número de faces é o tetraedro e possui 4 faces.

Seja um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então

Os poliedros que satisfazem a relação de Euler são chamados poliedroseulerianos.

Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano éconvexo.

A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo de Vvértices é

S = 360° . (V – 2)

Seja fn o número de faces de gênero n, então:

3f3 + 4f4 + ... = 2A

Seja vp o número de vértices onde concorrem p arestas, então:

3v3 + 4v4 + ... = 2A

Seja df o total de diagonais das faces, então o número de diagonais dopoliedro D é:

V(V 1)D A df

2

Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se,

1º) todas as faces têm o mesmo número de arestas;

2º) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; e

3º) vale a relação de Euler (V A + F = 2).

Existem exatamente cinco poliedros de Platão.

Seja n o mesmo número de arestas de cada face e m o número de arestasdos ângulos poliédricos, temos:

3 3 6 4 4 tetraedro

3 4 12 8 6 hexaedro

4 3 12 6 8 octaedro

3 5 30 20 12 dodecaedro

5 3 30 12 20 icosaedro

tetraedro hexaedro octaedro

dodecaedro icosaedro