apostila vestibular - disciplina matemática 01

Inclusão para a vida Matemática A

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

ARITMÉTICA BÁSICA

1. Múltiplo de um número Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}

Observações:

• O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo. • Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2

e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares.

2. Divisor de um número Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações:

• O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio. 2.1. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim:

a) Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada

um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores

3. Critérios de divisibilidade 3.1. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128. 3.2. DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. 3.3. DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. 3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.

3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. 3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000. 3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289. 3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. 4. Números Primos Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... Observação: Um número é denominado composto se não for primo. 5. Mínimo Múltiplo Comum Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2:

6 – 8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1

2 2 2 3

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 6. Máximo Divisor Comum Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Matemática A Inclusão para a Vida


Exercícios de Sala 01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites

artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é:

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 e) 230 03) O número de divisores naturais de 72 é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Tarefa Mínima 01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine:

a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230 03) Determine o número de divisores naturais dos números

a) 80 b) 120 04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente:

a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m

Tarefa Complementar 06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos?

a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas

07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e

90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá:

a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 4 cm

08) Sejam os números A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente:

a) 180 e 60 b) 180 e 600 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60 e) n.d.a.

09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo?

a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a.

11) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: 14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é:

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é:

a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20



AULA 02

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Conjuntos Numéricos 1.1. Conjunto dos Números Naturais

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } ∀ a, b ∈ N, (a + b) ∈ N e (a . b) ∈ N 1.2. Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo. Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*

+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z −_ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*

_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } ∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z, (a . b) ∈ Z e (a – b) ∈ Z 1.3. Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.

Q = { x | x=ab

, com a ∈ Z, b ∈ Z* }

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional. São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros

c) decimais exatos ( 0,2 = 2

10 )

d) dízimas periódicas ( 0,333... = 1

3 )

As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também). Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procede-se assim:

a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos:

a) 0777...= 97

b) 0,333....= 31

93=

c) 0,434343... = 9943

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. Exemplos:

a) 0,3777... = 4517

9034

90337

==−

b) 0,32515151... = 33001073

99003219

9900323251

==−

1.4. Conjunto dos Números Irracionais Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa. x 1 1 Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x2 = 12 + 12

x = 2 Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural, inteiro, nem racional, surge então os números irracionais. Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo:

a) π = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz não exata

1.5. Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.



QUADRO DE RESUMO ℜ Q I Z

N Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber, que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante. PROPRIEDADES EM ℜ • Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) • Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a • Simétrico: a + (– a) = 0

• Inverso: a . a

1 = 1, a ≠ 0

INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO

DE UM NÚMERO REAL 1. Intervalos Numéricos Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de ℜ. Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:

• {x ∈ R| p ≤ x ≤ q} = [p, q] • {x ∈ R| p < x < q} = ]p, q[ • {x ∈ R| p ≤ x < q} = [p, q[ • {x ∈ R| p < x ≤ q} = ]p, q] • {x ∈ R| x ≥ q} = [q, ∞[ • {x ∈ R| x > q} = ]q, ∞[ • {x ∈ R| x ≤ q} = ] -∞, q] • {x ∈ R| x < q} = ] -∞, q[

Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observações

• O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} • O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } • O intervalo ( −∞ , + ∞ ) representa o conjunto dos números

reais (R) • (x, y) = ]x, y[

Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Notação de conjunto. Exemplo: {x ∈ R| 2 < x ≤ 3}

Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]

Representação Gráfica.

Exemplo:

Veja outros exemplos:

1) {x ∈ R| x > 2} = ]2, ∞[

2) {x ∈ R| x ≤ 1} = ] -∞, 1]

3) {x ∈ R| 3 ≤ x < 4} = [3, 4[

2. Módulo de um número real Módulo ou valor absoluto, de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. Indicamos o módulo de x por | x |. 2.1. Definição

<≥

= 0 x se x,-

0 x se ,xx

Exemplos:

a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3

2.2. Propriedades

• | x | ≥ 0 • | x |2 = x2

• ||2 xx = • |x – y| = |y – x| • |x . y| = | x |. | y |

• yx

yx=

2.3. Equação Modular Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo. Tipos de equações modulares:

Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 x + 2 = 6 ou x + 2= - 6 x = 4 ou x = - 8 S = {-8, 4}

• | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = − k



Exemplo 1: | x | = - 3 S = ∅ Exemplo 2: |x + 2| = -10 S = ∅ 2.4. Inequação Modular Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k, | x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares. Tipos de inequações modulares:

• Exemplos: | x | < 3 → – 3 < x < 3 | x | < 10 → – 10 < x < 10

• Exemplos: | x | > 3 → x < – 3 ou x > 3 | x | > 10 → x < –10 ou x > 10

Exercícios de Sala 01) Calcule o valor das expressões abaixo:

a)

+

−

31

52

81

43

b)

+

−

341:

532

02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0 III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais 03) Resolva em ℜ as seguintes equações:

a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3

e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0

Tarefa Mínima 01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:

a) {x ∈ N| x é divisor de 12} b) {x ∈ N| x é múltiplo de 3} c) {x ∈ N| 2 < x ≤ 7} d) {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3} e) {x| x = 2k, k ∈ N} f) {x| x = 2k + 1, k ∈ N}

02) As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... são respectivamente:

23 23 20 43 23 43a) e b) e c) e100 99 99 99 99 198

1 1 2 1d) e e) e3 10 10 5

03) ( ACAFE ) O valor da expressão ,

1

2.−

−c

cba quando

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a: 04) Resolva em ℜ as seguintes equações:

a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 c) |x – 2| = -3 d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 é:

05) A solução da inequação 5)12( 2 ≤−x

a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7} e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}

Tarefa Complementar 06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a: 07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x.y é racional b) y.y é irracional c) x + y racional

d) x - y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional 08) ( FUVEST ) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy?

a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1

• | x | = k, com k = 0, então: x = 0

• | x | = k, com k < 0, então: não há solução

| x | < k, com k > 0, então: − k < x < k

| x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k



09) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par.

04. O número 257 +− é real. 08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o número 247 é um número primo. 10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:

987654321

181716151413121110

......

......

....19

O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente:

a) 2 e 2 b) 3 e 3 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 3 e 1

11) A expressão|2x – 1| para x < 21

é equivalente a:

a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2x e) – 1

12) Assinale a alternativa correta:

a) Se x é um número real, então 2x ≠ |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.

13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) = 2 1

53

x −− são:

a) −7 e −8 b) 7 e −8 c) 7 e 8 d) −7 e 8 e) n.d.a. 14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação 1)1( 2 ≤+ x ?

a) {x ∈ R | - 5 ≤ x ≤ - 1} b) {x ∈ R | - 4 ≤ x ≤ 0} c) {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 0} d) {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0} e) Todos os conjuntos anteriores

15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f(x) = |6|12||5 −−− x

está definida, formam o conjunto:

a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5,0] ∪ [1, ∞) d) (-∞, 0] ∪ [1, 6] e) [-5, 0] ∪ [1, 6]

AULA 03

EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES 1. Definição Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

2. Resolução Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9. Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes. PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m

4. Inequações do 1º grau Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0

ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0

Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m

Exercícios de Sala 01) Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a ≠ 0 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) 10

432

31

=−

++ xx

d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5

g) 8

3x

2

1x≥

−



02) Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20 03) Resolva em R, o seguinte sistema:

=+=−

23213

yxyx

Tarefa Mínima 01) Resolver em R as equações:

a) 6x – 6 = 2(2x + 1) b) 2(x + 1) = 5x + 3 c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 d) 2(x – 2) = 2x – 4 e) 3(x – 2) = 3x f)

41

321

=+− xx

02) A solução da equação x2

1x

3

x=

−+ é:

a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3 d) x = 2 e) x = 1

03) ( FGV–SP ) A raiz da equação 14

12x

3

1x=

+−

− é:

a) um número maior que 5 b) um número menor que – 11 c) um número natural d) um número irracional e) um número real

04) Determine a solução de cada sistema abaixo:

a)

=+=−3

32yx

yx b)

=−=+

15

yxyx c)

=+=+

12213

yxyx

05) Resolva em R as inequações:

a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b) 2

3x

4

10x≤

+

c) 4

1

2

x

3

1<−

Tarefa Complementar

06) O valor de x + y em

=−

=+

14y7x

213y2x é:

07) Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos, cuja soma é o dobro do menor. 08) ( UFSC ) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 3 ≥ 2 e 2x - 1 ≤ 17; é:

09) As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis, para veículos idênticos, são:

• agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado.

• Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado.

Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO. 10) ( UFSC ) A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 5

m + 24 > 5500 e 58

− m + 700 > 42 – m, é:

11) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: 12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será: 13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21? 14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem? AULA 04

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 1. Resolução

1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = − c

x2 = ac

−



x = ± ac

−

S =

−−−ac

ac ,

2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0

S = {0, ab

− }

3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0 aplica-se a fórmula de Bháskara

x = 2a

Δb ±− onde: ∆ = b2 – 4ac

Nessa fórmula, ∆ = b2 – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:

• ∆ > 0. Existem duas raízes reais e distintas • ∆ = 0. Existem duas raízes reais e iguais • ∆ < 0. Não há raiz real

2. Relações de Girard Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:

x1 + x2 = a

b− x1 . x2 =

ac

Exercícios de Sala 01) Resolva, em reais, as equações:

a) 2x2 – 32 = 0 b) x2 – 12x = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0

02) Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x. Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 b) 0 e 2 c) 0 e 1 d) 1 e 3 e) 1 e 4 03) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, determine: a) x1 + x2 b) x1 . x2 c)

2x

1

1x

1+

Tarefa Mínima 01) Resolva em R, as equações:

a) x2 – 5x + 6 = 0 b) – x2 + 6x – 8 = 0 c) 3x2 – 7x + 2 = 0 d) x2 – 4x + 4 = 0 e) 2x2 – x + 1 = 0 f) 4x2 – 100 = 0 g) x2 – 5x = 0

02) Os números 2 e 4 são raízes da equação:

a) x2 – 6x + 8 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 c) x2 – 6x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0

03) ( PUC-SP ) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 = 0?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

04) A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente:

a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2 d) 4,5 e 5 e) n.d.a.

05) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0.

Obtenha 2x

1

1x

1+

Tarefa Complementar

06) Resolver em R a equação 11x

1

12x

2−=

++

−

07) A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é:

a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2 08) Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. x1 e x2 são iguais 02. x1 + x2 = 3

04. x1 . x2 = 2

3−

08. 2x

1

1x

1+ = –2

16. x12 + x2

2 = 12

32. x12.x2 + x1.x2

2 = 2

9−

09) A solução da equação x – 3 = 3+x é:



10) ( MACK-SP ) Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6 11) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23. 02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,

então o valor de x12.x2 + x1.x2

2 = 2

9−

04. Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale 2 08. Se x é solução da equação

x2 – 3 + 32 −x = 2, então o valor de x4 = 16

16. O valor de 21

31

168 + é 5 12) Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, raízes dessa equação, pode-se afirmar: 01. x1 ≠ x2 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 04. a soma das raízes dessa equação é 3 08. a soma dos inversos das raízes é 6 16. a equação não possui raízes reais 13) A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 14) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 2

02. A maior raiz da equação 3x2 – 7x + 2 = 0 é 2 04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. a equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais 15) Determine o valor de x que satisfaz as equações: a) xx =+− 31

b) 2123 =++ xx AULA 05

ESTUDO DAS FUNÇÕES

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando para todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B. Formalmente: f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈ B|(x, y) ∈ f) Numa função podemos definir alguns elementos.

• Conjunto de Partida: A • Domínio: Valores de x para os quais existe y. • Contra Domínio: B • Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Observações:

• A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im ⊂ C.D)

• Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.

• O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.

Domínio = [a, b] Imagem = [c, d] Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12



Exemplo 3: Dada a função f(x − 1) = x2. Determine f(5). Resolução: f(x −1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 − 1) = 62 f(5) = 36

Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

Exercícios de Sala 01) Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio 02) Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1 b) y =

727−x

c) y = 23 −x d) y = 223

−+−

xx

04) ( )2x -1, se x 05, se 0 x 5

2x 5x 6, se x 5Seja f x

=

≤< ≤

− + >

.

Calcule o valor de:

)6()()3(

fff π+−

Tarefa Mïnima 01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R → R ? a)

b)

c)

d)

e)

02) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 2} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A função é crescente em todo seu domínio 03) Determine o domínio das seguintes funções

a) y = 93

2−x

b) y = 3−x

c) y = 2

6−+−

xx

d) y = 3 5−x

04) ( UFSC ) Considere as funções f: R → R e g: R → R

dadas por f(x) = x2 − x + 2 e g(x) = − 6x + 53

.

Calcule f(21

) + 45

g(−1).

05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}



Tarefa Complementar

06) ( UFC-CE ) O domínio da função real y = 72

−−

xx é:

a) {x ∈ R| x > 7} b) {x ∈ R| x ≤ 2} c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7} d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7}

07) Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

08) ( USF-SP ) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p, em

centímetros,do seu pé pela fórmula S = 4

285 +p.

Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm

09) ( FUVEST ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:

a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x

10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a:

a) 3.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x)

11) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; 2ª . Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu:

a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh e) entre 80 e 110 kWh

12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros percorridos foi:

13) ( UFSC ) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x − 1 e h(x) = 7 − x, o valor em módulo da expressão:

( )14 4

21

h g

f ( )

− −

14) ( UFSC ) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) − 15. Determine o valor de f(0).

15) ( UDESC ) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:

AULA 06

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

1. Função Polinomial do 1º Grau Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b. 1.1. Forma: f(x) = ax + b com a ≠ 0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. 1.2. Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.

• Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer

Interceptos:

x = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b). • Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem

coordenadas ( −b

a,0). O ponto que o gráfico corta o

eixo x é chamado raiz ou zero da função. RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0

função crescente função decrescente Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1. Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o



gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. – 3x + 1 = 0

x = 31

Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem

coordenadas (31

, 0)

D = ℜ C.D. = ℜ Im = ℜ 2. Função Constante Uma função f de R em R é constante se, a cada x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento k ∈ R. D(f) = R e Im (f) = k 2.1 Forma: f(x) = k 2.2. Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2

D = ℜ C.D. = ℜ Im = {2}

Exercícios de Sala 01) Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área. 02) ( PUC-SP ) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:

) ) ) ) )= < > < − > −2 2 2 2 2a k b k c k d k e k3 3 3 3 3

03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).

Tarefa Mínima 01) Esboçar o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1

02) ( FGV-SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo: 03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:

04) ( UFMA ) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, −3), então f(x) é: a) f(x) = x − 3 b) f(x) = x − 4 c) f(x) = 2x − 5 d) f(x) = −2x − 1 e) f(x) = 3x − 6 05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

ππ

−−

tftf )()( com t ≠ π

Tarefa Complementar 06) ( UCS-RS ) Para que – 3 seja raiz da função f(x) = 2x + k, deve-se ter

a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2 07) ( UFPA ) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b é igual a: a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a.



08) ( Fuvest-SP ) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 09) O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) é igual a: 10) (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida ( x). Assim, podemos afirmar:

a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 11) ( UFSC ) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: 12) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$ 160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:

a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416 13) ( UFRGS ) Considere o retângulo OPQR da figura abaixo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é:

a) A = x2 – 3x b) A = - 3x2 + 9x c) A = 3x2 – 9x d) A = - 2x2 + 6x e) A = 2x2 – 6x

14) ( UFRGS ) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.

Distância (em km)

Temp o (em horas)

Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente:

a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 15) ( UERJ ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois números positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) =

x1

Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)) AULA 07

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Uma função f de R em R é polinomiail do 2º grau se a cada x ∈ R associa o elemento ax2 + bx + c, com a ≠ 0 1. Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 2. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo 3. Interceptos • O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c) • Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se

fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde:



ac4b onde ,2a

Δb 2 −=∆±−

=x

Se ∆ > 0 → Duas Raízes Reais Se ∆ = 0 → Uma Raiz Real Se ∆ < 0 → Não possui Raízes Reais

4. Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.

• O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. • O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

5. Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

e4a

=yv2ab

vx ∆−−=

6. Imagem da função quadrática • Se a > 0, então Im = {y ∈ R| y ≥ −

∆4a

}

• Se a < 0, então Im = {y ∈ R| y ≤ −∆4a

}

7. Resumo gráfico

• ∆ > 0

• ∆ = 0

• ∆ < 0

Exercícios de Sala 01) Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de ℜ→ ℜé correto afirmar: 01. 2 e 4 são os zeros da função f 02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais. 08. A imagem da função é: { y ∈ R| y ≥ − 1} 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de área. 02) Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem. a) f: ℜ→ ℜ, f(x) = x2 – 2x b) f: ℜ→ ℜ, f(x) = – x2 + 4 c) f: [0, 3[→ ℜ, f(x) = f(x) = x2 – 2x 03) Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de ℜ→ ℜ. Determine o valor de m para que o gráfico de f(x):

a) tenha duas intersecções com o eixo b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x

Tarefa Mínima 01) Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do vértice e a imagem de cada função.

a) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2 – 2x – 3

b) f: ℜ → ℜ, f(x) = (x + 2)(x – 4) c) f: ℜ → ℜ, f(x) = – x2 + 2x – 1 d) f: ℜ → ℜ, f(x) = x2 – 3x 02) Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras: 01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12). 02. As raízes de f são 2 e 6. 04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. 08. O gráfico não intercepta o eixo x. 16. A imagem da função é { y ∈ R| y ≥ − 4 } 32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, −4) 64. A função é crescente em todo seu domínio.



03) ( UFSC ) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é: 04) ( ACAFE-SC ) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:

a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-∞, 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3]

05) ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-se: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Seja f: R → R, definida por: f(x) = - x 2 , determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. 02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais. 08. f(x) é decrescente em [0, +∞ ) 16. Im(f) = { y ∈ R | y ≤ 0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x. 07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

08) Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? 09) ( UFPA ) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) b) (1, 2) c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) 10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 −mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) { ± 7} b) { 0 }

c) { ± 2 } d) { ± 2 7 }

11) ( Mack-SP ) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(−1, −4). O valor de k + m em módulo é: 12) ( UFSC ) Dada a função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c. 13) A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7 c) x = 2,5 d) y = 3,5 e) x = 1,8 14) O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é:

a) – 3 b) – 4 c) – 2 d) 2 e) – 1

15) ( UFSC ) Marque no cartão a única proposição CORRETA. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:

01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x – 2 AULA 08

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO

INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE 1. Inequações do 2o Grau Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:

<++

>++

≤++

≥++

0000

2

2

2

2

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

com a ≠ 0

Para resolver a inequação do 2º grau associa-se a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente, seleciona-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-solução. Exemplos:



a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 ≥ 0

S = {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 3} ou S = ]-∞, -1] ∪ [3, +∞[ b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 ≤ 0

S = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} S = [2, 5] c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0

S = { x ∈ R | 1 < x < 4} S = [1, 4] 2. Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: a) f(x).g(x) ≥ 0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x) ≤ 0 d) f(x).g(x) < 0 Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação. Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0

S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x < 3} 3. Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma:

a) f(x)g(x)

0 b) f(x)g(x)

> 0 c) f(x)g(x)

0 d) f(x)g(x)

< 0≥ ≤

Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e em seguida

aplicar a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja nos casos acima vamos considerar g(x) ≠ 0

Exemplo: Resolver a inequação 02

342

≥−

+−x

xx

S = { x ∈ R | 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}

Exercícios de Sala 01) Resolver em ℜ as seguintes inequações:

a) x2 – 8x + 12 > 0 b) x2 – 8x + 12 ≤ 0 c) x2 – 9x + 8 ≥ 0

02) O domínio da função definida por

f(x) = x x

x

2 3 106

− −−

é:

a) D = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 5} − {6}. b) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} − {6}. c) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} d) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 7} − {6}. e) n.d.a. 03) Determine o conjunto solução das seguintes inequações: a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0

b) 4

1072

−+−

xxx ≥ 0

Tarefa Mínima 01) Resolver em ℜ as seguintes inequações:

a) x2 – 6x + 8 > 0 b) x2 – 6x + 8 ≤ 0 c) – x2 + 9 > 0 d) x2 ≤ 4 e) x2 > 6x f) x2 ≥ 1

02) ( Osec-SP ) O domínio da função

f(x) = − + +x x2 2 3 , com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3 } b) { x ∈ R | -1 < x < 3 } c) { } d) { x ∈ R | x ≥ 3} e) n.d.a.



03) Resolva, em R, as seguintes inequações:

a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) ≤ 0 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 d) x3 ≤ x e) x3 – 3x2 + 4x – 12 ≥ 0 04) Resolva, em R, as seguintes inequações: a) 0

1665

2

2

≥−

+−x

xx

b)

016

652

2

<−

+−x

xx

c) xx

xx+

−−

≥1 1

0

d) 2

1x −< 1

05) ( ESAG-SC ) O domínio da função y = 1 212

−−

xx

nos

reais é: a) (-∞, -1 ) b) (-1, ½] c) (-∞, ½] d) (-∞, -1) ∪ [1/2, 1) e) { }

Tarefa Complementar 06) Resolver em ℜ as seguintes inequações:

a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9 ≥ 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9 ≤ 0

07) Resolver em ℜ as seguintes inequações:

a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5 ≥ 0 c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5 ≤ 0

08) ( CESGRANRIO ) Se x2 – 6x + 4 ≤ – x2 + bx + c tem como solução o conjunto {x ∈ ℜ| 0 ≤ x ≤ 3}, então b e c valem respectivamente:

a) 1 e – 1 b) – 1 e 0 c) 0 e – 1 d) 0 e 1 e) 0 e 4

09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema

≤−<+−

0420892

xxx é:

a) ]1, 2] b) ]1, 4] c) [2, 4[ d) [1, 8[ e) [4, 8[

10) ( PUC-RS ) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é:

a) { – 2 2 ; 2 2 } b) [– 2 2 ; 2 2 ]

c) (– 2 2 ; 2 2 ) d) (– ∞; 2 2 )

e) (– ∞; 2 2 ]

11) (ACAFE-SC ) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é:

a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3

12) ( FATEC ) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x) ≥ 0 é:

a) S = { x ∈ R| - 2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4} b) S = { x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4} c) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 4} d) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4} e) S = { }

13) ( MACK-SP ) O conjunto solução de 5

36

<+xx é:

a) { x ∈ R | x > 15 e x < - 3} b) { x ∈ R | x < 15 e x ≠ - 3} c) { x ∈ R | x > 0} d) {x ∈ R | - 3 < x < 15} e) { x ∈ R | - 15 < x < 15}

14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem a inequação (x2 −2x + 8)(x2 −5x + 6)(x2 −16) < 0 são: a) x < −2 ou x > 4 b) x < −2 ou 4 < x < 5 c) −4 < x < 2 ou x > 4 d) −4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < −4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 15) ( FUVEST ) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que:

a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1

AULA 09

PARIDADE DE FUNÇÕES

FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA

1. Função Par Uma função é par, quando para valores simétricos de x, tem-se imagens iguais, ou seja: f(−x) = f(x), ∀ x ∈ D(f) Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. 2. Função Ímpar Uma função é ímpar, quando para valores simétricos de x, as imagens forem simétricas, ou seja: f(−x) = − f(x), ∀ x ∈ D(f)



Como conseqüência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação a origem do sistema cartesiano. 3. Função Composta Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A → C tal que gof(x) = g(f(x))

f: A → B g: B → C gof: A → C Condição de Existência: Im(f) = D(g) Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Exercício resolvido: Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e em seguida igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2. Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 4. Função injetora, sobrejetora e bijetora FUNÇÃO INJETORA: Uma função f: A → B é injetora se, e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos: f é injetora ⇔ ∀ x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

FUNÇÃO SOBREJETORA: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

FUNÇÃO BIJETORA: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

DICA: De R → R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples.

5. Função inversa Seja f uma função f de A em B. A função f −1 de B em A é a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, ∀x ∈ A e f -1o f (x) = x, ∀x ∈ B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) IMPORTANTE: f é inversível ⇔ f é bijetora Para encontra a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e em seguida isolar y. Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f −1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.(f(x) = x)

Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa. Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4

x - 4 = 2y

∴ f -1(x) = x − 4

2



Exercícios de Sala 01) Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. Determine:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(g(3)) d) g(f(-2))

02) ( UFSC ) Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 03) Se x ≠ 3, determine a inversa da função

312)(

−+

=xxxf

Tarefa Mínima 01) Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g(3)) f) g(f(1)) g) f(f(f(2)))

02) ( U.F.Uberlândia ) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) = ( )( )fog x é:

a) {x ∈ R | x ≤ -5 ou x ≥ 0} b) {x ∈ R | x ≥ 0} c) {x ∈ R | x ≥ -5} d) { } e) n.d.a. 03) ( UFSC ) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18). 04) Determine a função inversa de cada função a seguir:

a) y = 2x – 3 b) y =

42+x

c) y =

412

−+

xx , x ≠ 4

05) ( UFSC ) Seja a função f(x) = −−2

2x

x, com x ≠ 2,

determine f -1(2).

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras. 01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3). 02. f é uma função crescente . 04. -1 e +1 são os zeros da função g. 08. Im(g) = { y ∈ R | y ≥ -1 }. 16. A função inversa da f é definida por f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) é 3. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).

07) Dadas as funções: f(x) = 5− x e g(x) = x2 - 1, o valor de gof(4) é: 08) ( U.E.LONDRINA-PR ) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é: 09) ( Mack-SP ) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x − 2 e f(g(x)) = 2x − 3. Então g(f(x)) é definida por: a) 2x − 1 b) 2x − 2 c) 2x − 3

d) 2x − 4 e) 2x − 5 10) ( F.C. Chagas-BA ) A função inversa da função

f(x) = 2 1

3x

x−+

é:

a) f -1( ) =x + 32x -1

b) f -1(x) =2x + 1x - 3

c) f -1(x) =1 - 2x3 - x

d) f -1(x) =3x + 12 - x

e) nenhuma das anteriores

x

11) Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de:

a) f: [ – 3; 5] → [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2, 5] → [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 c) h: [3, 6] → [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8

12) ( MACK-SP ) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é: a) - 2 b) 2 c) 0 d) 6 e) 14 13) ( UFSC – 2006 ) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. 14) ( UDESC – ENGENHARIA FLORESTAL) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1. Calcule f(f(a)) 15) ( IME-RJ ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função f(x). AULA 10

EXPONENCIAL

1. Equação Exponencial Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a ≠ 1.



Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: • Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x) ⇔ f(x) =g(x) • Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x) ⇔ a = b sendo a e

b ≠ 1 e a e b ∈ R*+.

2. Função Exponencial f(x) = ax

(a > 1) → função crescente

(0 < a < 1) → função decrescente

3. Inequação Exponencial Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades.

• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém.

af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x)

• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade

se inverte. af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)

Exercícios de Sala 01) ( UFSC ) Dado o sistema

7 1

5 25

2

2

x y

xy

+

+

=

=

, o valor de y

x

4é:

02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é:

Tarefa Mínima 01) Resolva, em R, as equações a seguir: a) 2 x = 128

b) 2x = 1

16

c) 3x − 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: e) 22x − 2x + 1 + 1 = 0 02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9x − 26.3x − 9 = 0, é:

03) Dadas f(x) = 12

−x

e as proposições:

I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras 04) Resolva, em R, as inequações a seguir:

a) 22x − 1 > 2x + 1 b) (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8

c) 31

47

47

2

<

−x

d) 0,5|x – 2| < 0,57

05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida

por y = 1

13

243 −

x, é:

a) ( −∞, −5 [ b) ] −5, +∞ ) c) ( −∞, 5 [ d) ] 5, + ∞ ) e) n.d.a.

Tarefa Complementar 06) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3 07) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal

que 2 22 2x x= + , então ( )xx xx 2

é igual a:

08) A maior raiz da equação 4|3x − 1| = 16 09) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação

94

31

12

1

x

x

−

−− = − é:



10) A soma das raízes da equação

23

113 2

3

2 1

1

+ =

−

+

x x

x

. é:

11) ( UFMG ) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x números reais e 0 < a ≠ 1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x. 02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1. 12) Determine o domínio da função abaixo:

75)4,1()( 52

−= −xxf

13) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto. 01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1]

04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = *+R

08. A função f(x) = ( )x2 é crescente

16. baba

<⇒>

2

1

2

1

14) Determine o valor de x no sistema abaixo:

1) y e 1(x >>

==

35 yxyx xy

15) Resolver, em reais, as equações abaixo:

a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

AULA 11

LOGARITMOS 1. Definição Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a ≠ 1 e b > 0) loga b = x ⇔ ax = b Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente. Exemplos:

1) log6 36 = x ⇒ 36 = 6x ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2 2) log5 625 = x ⇒ 625 = 5x ⇒ 54 = 5x ⇒ x = 4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)). Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua representação. Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617). 1.1. Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x tenha-se

logaritmando positivo

base positiva

base diferente de 1

Resumindo b > 0

a > 0 e a 1

≠

1.2. Conseqüências da Definição Observe os exemplos: 1) log2 1 = x ⇒ 1 = 2x ⇒ 20 = 2x ⇒ x = 0 2) log3 1 = x ⇒ 1 = 3x ⇒ 30 = 3x ⇒ x = 0 3) log6 1 = x ⇒ 1 = 6x ⇒ 60 = 6x ⇒ x = 0 loga 1 = 0

4) log2 2 = x ⇒ 2 = 2x ⇒ 21 = 2x ⇒ x = 1 5) log5 5 = x ⇒ 5 = 5x ⇒ 51 = 5x ⇒ x = 1 loga a = 1 6) log2 23 = x ⇒ 23 = 2x ⇒ x = 3 7) log5 52 = x ⇒ 52 = 5x ⇒ x = 2 loga am = m

8) 2 2 44 2log2 = ⇒ = ⇒ =x x x 9) 3 3 99 2log3 = ⇒ = ⇒ =x x x

2. Propriedades Operatórias 2. 1. Logaritmo do Produto O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c



Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 2.2. Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.

loga =cb

loga b − loga c

Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 2.3. Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. loga xm = m . loga x Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5

b) log3 4-5 = -5 log3 4

Caso Particular an

aa bn

bn

b log.1loglog1

==

Exemplo: log10 23 = log10 213 =

1

3log10 2

Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18. Resolução: log 18 = log(2.32) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

Exercícios de Sala 01) Pela definição, calcular o valor dos seguintes logaritmos: a) log21024 b) log 0,000001 c) log2 0,25 d) log4 13 128 02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de:

a) log 6

b) log 8 c) log 5

d) log 18

Tarefa Mínima 01) Determine o valor dos logaritmos abaixo:

a) log2 512 b) log0,250,25

c) log7 1 d) log0,25 13 128

02) Determine o valor das expressões abaixo

a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 l g aaο , onde 0 < a ≠ 1, é:

b) 5625.163

1982 glglgl οοο +− é:

03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor dos logaritmos abaixo:

a) log 12 b) log 54 c) log 1,5

d) log 5125 04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 05) ( FEI-SP ) A função f(x) = log (50 − 5x − x2) é definida para: a) x > 10 b) −10 < x < 5 c) −5 < x < 10 d) x < −5 e) n.d.a.

Tarefa Complementar 06) ( PUC-SP ) Se l g xο 2 2 512 = , então x vale:

07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,

então log6 2

5 é igual a:

a) 0,12 b) 0,22 c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52



08) ( ACAFE-SC ) Os valores de m, com ∈ R, para os quais a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são:

a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m ≤ 3 d) 1 ≤ m ≤ 3 e) 1 < m < 3

09) Se log a = r, log b = s, log c = t e E = 3

3

cba

, então

log E é igual a: 10) ( ANGLO ) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, Então E é igual a:

11) ( UFSC ) Se 3 125

14l g x y l g

l gx l gy l gο οο ο ο

( )− =+ =

, então o valor

de x + y é

12) Se x = 3603 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x. 13) ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b. Então o

log ( )yx. é igual a: a) a + b/2 b) 2a + b c) a + b d) a + 2b e) a – b/2

14) Determine o domínio das seguintes funções:

a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x2 – 4)

15) Se x é a solução da equação 7...

=xxxx , calcule o

valor da expressão 2x7 + log7x – 71

AULA 12

LOGARITMOS

1. Mudança de Base

Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo no qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base.

loga b =aglbgl

c

c

οο

Como conseqüência e com as condições de existência obedecidas, temos:

1) loglog

log logBA

A AkAB

Bk

B= =1 2 1

)

2. Equação Logarítmica São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes, lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um e não existem logaritmos com logaritmando negativos. 1º Método: loga X = loga Y ⇒ X = Y 2º Método: loga X = M ⇒ X = aM

3. Função Logarítmica f(x) = loga x

(a > 1) → função crescente

(0 < a < 1) → função decrescente

4. Inequação Logarítmica

a > 1

loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1

0 < a < 1 loga x2 > loga x1 ⇔ x2 < x1

Exercícios de Sala

01) Resolver as equações abaixo: a) logx (3x2 - x) = 2 b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x − 1) c) log2 (x + 2) + log2 (x − 2) = 5



Tarefa Mínima 01) ( SUPRA ) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:

a+b a b a+ba) b) a+b c) d) e) a b a 2

02) ( ACAFE ) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: a) ½ b) 3 c) 4 d) 2/3 e) 2 03) Resolver, em R as equações: a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2 c) 09log6log 3

2

3 =+− xx

d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x - 8) − log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x − 3) + log5 (x − 3) = 2 04) ( UFSC ) A solução da equação: log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é: 05) Resolver, em reais, as seguintes inequações: a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x − 3) ≥ log1/2 4

Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a ≠ 1, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras. 01. O domínio da função f é R. 02. A função f é crescente em seu domínio quando a ∈ (1, + ∞) 04. Se a = 1/2 então f(2) = −1

08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0). 07) ( ACAFE ) Se log3 K = M, então log9 K2 é: a) 2M2 b) M2 c) M + 2 d) 2M e) M 08) ( UFSC ) Se loga x = 2 e logx y = 3, então,

loga xy35 é igual a: 09) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:

01. O valor do log0,25 32 é igual a −5

2.

02. Se a, b e c são números reais positivos e

x = a

b c

3

2 então

log x = 3 log a − 2log b − 1/2 log c. 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c

diferentes de um, então tem-se loga b =logclogc

b

a

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x − 2x = 56 é x = 3

16. 23

23

2 3 1 7

>

− −, ,

10) ( UFSC ) O valor de x compatível para a equação log(x2 − 1) - log(x − 1) = 2 é: 11) ( UFSC ) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O conjunto solução da inequação log (x2 −9) ≥ log (3 − x) é S = (−∞, −4] ∪ [3, +∞). 02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

04. A equação 2xx ee = não possui solução inteira.

08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes. 16. log 360 = 3 • log 2 + 2 • log 3 + log 5.

32. Se log N = − 3,412 então log N = − 6,824.

12) Resolva a equação l g x l g xο ο10 100 2+ = . (divida o resultado obtido por 4) 13) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9 02. A soma das raízes da equação

1 + 2logx 2 . log4 (10 − x) =2

log4

x é 10

04. A maior raiz da equação 9 . x xlog3 = x3 é 9 08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2

16. Se logax = n e logay = 6n, então l g x yaο 23 é igual a 7n

32. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1] 14) ( UFPR ) Com base na teoria dos logaritmos e exponenciais é correto afirmar: 01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4

02. Se x = loge 3, então ex + e-x = 3

10

04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então |log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real de t 15) ( ITA - SP ) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3 ≤ 3 log2 é dado por: a) { x ∈ R| x > 3 } b) { x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 3 } c) { x ∈ R| 0 < x ≤ 1/2 } d) { x ∈ R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.



GABARITO – MAT A AULA 1 1) a) 120 b) 12 c) 240 d) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 11) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b AULA 2 1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....} f) {1, 3, 5, 7, 9, ......} 2) c 3)

323

4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = ∅ d) S = {-1,1}

5) a 6)

198

127 7) e 8) b

9) 06 10) a 11) b 12) c 13) d 14) d 15) e AULA 3

1) a) 4 b) 3

1− c)

7

4− d) S = ℜ e) S = ∅ f)

109

2) b 3) e

4) a) (2,1) b) (3,2) c)

41,

41

5) a) {x∈ R| x >– 7} b) {x∈ R| x ≥ 2 } c) {x∈ R| x > 6

1}

6) 08 7) – 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 11) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b AULA 4 1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} e) ∅ f) {-5, 5} g) {0,5} 2) a 3) a 4) a 5) – 5 6) S = {0} 7) a 8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a 14) 03 15) 05 AULA 5 1) e 2) 31 3) a) {x ∈ R| x ≠ 3} b) {x ∈ R| x ≥ 3} c) {x ∈ R| x ≤ 6, x ≠ 2} d) ℜ 4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33 14) 29 15)

219 +x

AULA 6 1)

2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d 8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d 14) d 15) 0,2 AULA 7 1) a)

raízes: -1 e 3 vértice: (1, -4) Im = { y ∈ R / y ≥ – 4 } b)

raízes: -2 e 4 vértice: (1, -9) Im = { y ∈ R / y ≥ -9 } c)

raiz: 1 vértice: (1, 0) Im = { y ∈ R / y ≤ 0 } d)

raízes: 0 e 3 vértice: (3/2, -9/4) Im = {y ∈ R/ y ≥ -9/4} 2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c 8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c 14) e 15) 08



AULA 8 1) a) {x ∈ R | x < 2 ou x > 4} b) {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4}

c) {x ∈ R | - 3 < x < 3} d) {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2} e) {x ∈ R | x < 0 ou x > 6} f) {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 1}

2) a 3) a) ]-4, -1[ ∪ ]1, 3[ b) ]-∞, -4] ∪ [-1, 1] ∪ [3, ∞[ c) ]-∞, -4[ ∪ ]3, 4[ d ) ]-∞, - 1] ∪ [0, 1] e) [3, ∞ [ 4) a) {x ∈ R| x < - 4 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x > 4} b) {x ∈ R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x ∈ R|x < −1 ou 0 ≤ x < 1} d) {x ∈ R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x ∈ R | x ≠ 3} b) ℜ c) ∅ d) {3} 7) a) R b) R c) ∅ d) ∅ 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a AULA 9 1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4

e) 20 f) 18 g) 8 2) a 3) 81

4) a) f-1(x) = 2

3+x

b) f-1(x) = 4x – 2 c) f-1(x) =

214

−+

xx

5) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d

11)

31)()2)()

27)()

1

1

1

++=

+=

−=

−

−

−

xxfcxxfb

xxfa

12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9 AULA 10 1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 2) 02 3) b 4) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } d) S = { x∈ R| x < - 5 ou x > 9 } 5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00 11) 03 12) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 13) 30 14)

35

35 15) a) {-1, 1} b) {0, 1}

AULA 11 1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r – s – t/3 10)

cdba 32 11) 09 12) 17 13) a

14) a) 1 < x < 3 e x ≠ 2 b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x ≠ 4 15) 14 AULA 12 1) a 2) a 3) a) {– 6} b) {2, -1} c) {27} d) {9} e) { } f) 08 4) 05 5) a) { x ∈ R| x > 6} b) { x ∈ R| 3 < x < 7} 6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99 11) 16 12) 25 13) 47 14) 03 15) c

apostila vestibular - disciplina matemática 01

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