REVISÃO DE MATEMÁTICA1. TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS☐ São representados por chave: A= {2,4,6,8, 10 ...}.☐ Método da compreensão: A= {conjunto universo de x / propriedades características}.☐ n ( A∪B )=n ( A )+n ( B )−n ( A ∩ B )☐ n ( A∪B∪C )=n ( A )+n ( B )+n (C )−n ( A∩ B )−n ( A ∩C )−n ( B ∩C )+n(A ∩B ∩C ).☐ A∪B= {x|x∈ A OU x∈B }☐ A ∩ B= {x|x∈ A∧x∈B}

2. RELAÇÔES E FUNÇÔES☐ Uma relação recebe o nome de função se, e somente se, para todo elemento de a,

existe um único elemento associado em B.☐ ∀ x∈a ,∃umúnico y∈B.☐ Domínio: projeção no eixo das abscissas (x) / imagem: projeção no eixo das

coordenadas (y).☐ Função injetora: todos os elementos do domínio possuem imagem diferente.

∀ x1 ≠ x2⇒ f (x1)≠ f (x2)☐ Função sobrejetora: conjunto-imagem=contradomínio. Não há elemento y que não

corresponda a um x☐ Função bijetora: injetora e sobrejetora. Cada elemento y corresponde a somente um

elemento x

3. FUNÇÃO AFIM (1ºGRAU)☐ f ( x )=ax+b☐ Seu gráfico representa uma reta.☐ a>0 gráfico crescente a<0 gráfico decrescente

4. FUNÇÃO DE 2º GRAU

☐ f ( x )=ax2+bx+c≡a ( x−x1 ) .(x−x2)☐ Seus gráficos são as parábolas☐

Vértice: v=(−b2a

;− Δ4a

).

☐x1+ x2=

−ba

x1. x2=ca

5. FUNÇÃO EXPONENCIAL

f ( x )=ax ;a>0ea≠ 1

anam=an+m ; (an )m=anm; a1n=n√a ; n√an={ a ,n par

|a|,∧n ímpar Na função exponencial:

a>1, a função f é crescente 0<a<1, a função fé descrescente

6. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

F : R+¿¿→ R ;f ( x )=loga x, a>0e a≠1¿

log a (b . c )=loga b+log ac loga( bc )=logab−loga c

log( A¿¿ c)(B d)=d

clogA B¿

7. FUNÇÃO MODULAR

{ |x|=x se x≥ 0|x|=−x se x≤ 0

√ x2=¿ x∨¿ |x|+|y|≥∨x+ y∨¿ Construção de gráficos: dividindo-se o gráfico em vários intervalos ou por meio de

transformações geométricas. Para x≥ 0 o gráfico segue a função, para x<0 o gráfico se inverte.

|x|≥k⟺x ≥ k ou x≤−k |x|≤k⟺−k ≤ x≤ k

8. TRIGONOMETRIA

Grau e radiano: C=2 πR=2π rad=360º AB={α∈ R|AB=α+2kπ ;K∈Z };∨k∨representaonúmerode voltas

9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Seno: ∀ x∈R , sen x=sen (x+2kπ );k∈Z

f ( x )=a+b . sen (cx+d ) {a→deslocamento vertical

b⟶alteraaamplitude A2=b A1

c⟶afetao período P=2π|c|

d⟶deslocamento horizontal ac .=−dc

Cosseno: ∀ x∈R ;cos x=cos ( x+2kπ ) ;k∈Z

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f ( x )=a+b .cos (cx+d ){a→deslocamento vertical

b⟶alteraaamplitude A2=b A1

c⟶afetao período P=2π|c|

d⟶deslocamento horizontal ac .=−dc

relação fundamental da trigonometria : sen2 x+cos2 x=1 , ∀ x∈R

10. FUNÇÕES CIRCULARES

tgθ= senθcosθ

cotg x= cos xsen x

sec x=cos−1 x cossec x=sen−1 x 1+(cot x )2=(cossec x)2

1+¿¿

11. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b Subtração de senos: sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Subtração de cossenos: cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b Tangente da soma: tan ( a+b )=¿¿¿ Subtração de tangentes: tan ( a−b )=¿¿¿ Arcos duplos: sen (2x )=2 sen x .cos x cos (2x )=cos2 x−sen2 x

12. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sena=senb⇒ { a=b+2πk (côngruos)a+b=π+2kπ (simétricos )

cos a=cos b⇒{ a=b+2πk (côngruos)a+b=2kπ (replementos )

tg a=tg b⇒ {a=b+kπ

13. ANÁLISE COMBINATÓRIA

Arranjos com repetição: (arranjo )p ,r=p . p . p . p . p… p=pr

Arranjos: grupos dos elementos de A, tomados r a r, distintos: An , p=n!

(n− p )!;n≥ p

Permutações: grupos dos elementos de A, tomados r a r , tal que r=p: Pn=n!

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Combinações: seja a um A um conjunto de n elementos, chamamos de combinações os grupos dos n elementos tomados p a p, os subconjuntos de A constituídos de p elementos:

Cn , p=(np)= n !p ! ( n−p ) !

14. BINÔNIO DE NEWTON 1

1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

( np−1)+(n

p)=(n+1p ) relação de Stifel

( x+a )n=∑i=0

n

(ni ) xn−ia i binômio de newton

T i+1=(ni )xn−i ai termo geral

15. TEORIA DAS PROBABILIDADES

A probabilidade decerto acontecimento A ,associado auma experiênciaaleatória , cujoespaço amostral é E , com A⊂E ,é dada por : P ( A )=n ( A )n ( E )

P ( A )+P ( A )=1 , sendo A oevento complementar de A P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A∩ B )∪ :OU ∩ : E Sabendo que B já ocorreu e que a probabilidade de A é pedida, pode-se calculá-la por:

P ( A|B )= P ( A ∩ B )P ( B )

Se P ( A|B )=P(A) então A e B são independentes entre si, logo P( A ∩ B)=P ( A ) .P(B)

16. PORCENTAGEM / ECONOMIA

Juros simples: Cn=C0(1+n .i %) Juros compostos: Cn=C0(1+i% )n

17. MÉDIAS

M A=x1+x2+x3+…+xn

n=x

M G=n√x1 . x2 . x3 .. xn

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MH= 1

( 1x1

+ 1x2

+ 1x3

+…+ 1xn

n ) M A ≥ MG ≥ MH ¿¿

18. ESTATÍSTICA

M ap=X1 P1. X2 P2… X N PN

P1+P2+PN Amplitude total: a diferença entre o maior e menor elemento do conjunto

Desvio médio: σ=∑i=1

n

¿ x i−x∨¿n¿

Desvio padrão: s=√σ=√∑i=1

n

¿ x i−x∨¿n ¿

19. PROGRESSÃO ARITMÉTRICA

PA.: termo geral: an=ap+r (n−p )

Soma termos: Sn=( a1+an )n

2 PG.: termo geral: an=a1 q¿

¿n−1

¿

Soma dos termos finitos: Sn=a1 .(q¿¿n−1)/(q−1)¿

Soma limite de uma pg.: S∞=a1

1−q

Relações: PA (a ;b ;c )⟺b=a+c2

PG ( a; b ;c )⟺b2=a . c

20. MATRIZ As matrizes são conjuntos cujos elementos estão dispostos em uma tabela. O produto

Amxn por Bpxq existe somente se p=n, e o resultado é a matriz Cmxq. O produto entre matrizes não é comutativo, ou seja, AB≠ BA.

Matriz inversa: AB=BA=I ⟺ A−1=B Principais propriedades: ( AB )t=A t .Bt ( AB )−1=A−1 .B−1 ( A+B )t=A t+Bt

Matriz identidade:I=[1 0 00 1 00 0 1]

21. DETERMINANTE Cálculo de determinantes:

detA=|a b cd e fg h i|⟹ (aei )+(bfg )+(cdh )−(ceg )−( fha)−(ibd )=detA

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Propriedades:

|a 0b 0|=0 ;|ka kb

c d |=k|a bc d|;|a b

a b|=0 ;|a+e bc+ f d|=|a b

c d|+|e cf d|;|a b

c d|=|a+b bc+d d|;detA=det At ; det A−1= 1

detA

22. SISTEMAS LINEARES Um sistema linear é uma equação matricial da forma: AX=B, onde A é a matriz dos

coeficientes e B a dos termos independentes. Se detA ≠ 0, o sistema linear é possível e determinado. Se detA=0, o sistema linear é indeterminado ou impossível. Todo sistema linear da forma AX=0, é chamado de sistema homogêneo. Todo sistema

desse tipo é possível. Escalonamento significa tornar o sistema linear em um sistema escalonado:

{2x+ y+4 z=52 y−8 z=3

z=2 Método de Cramer: as soluções de um sistema linear AX=B (m=n) são dados por:

x i=Di

D;∀ i∈N , tal que Di é o determinantede A e Dié odeterminate quese obtem trocandoa i−ésima colunade A pelacoluna dos termos independentes , amatriz B .

23. NÚMEROS COMPLEXOS

i= 2√−1 z=ai+b z∈R ,se a=0 z∈C ,se a≠0 ai+b≡ ci+d⟹a=c eb=d z=ai+b; z=ai−b ; z . z=a2+ y2

Representação no plano complexo, (ImXRe), z=|z|.¿

24. POLINÔMIOS

P ( x )≡∑i=0

n

an xn ≡axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+…+z x0

P ( x )≡ an ( x−x1) (x−x2 ) …(x−xn)

x1+ x2+…+xn=−ba

; (x1 . x2 )+(x1 . x2 )+…+( xn−1 xn )= ca

; (x1 . x2 . x3 )+…+(xn−2 xn−1 xn )=−da

; ....

Teorema do resto:oresto deuma divisãode P ( x ) por (ax−b )é igual aP (−ba

)

Teorema das raízes reais: se P (a ) .P (b )>0 , existeum número par de raízes reaisno intervalor ¿a ;b¿ se P (a ) .P (b )<0 , existeum número ímpar deraízesreaisno intervalo ¿a ;b¿

25. ÂNGULOS

Classificação quanto a soma: {complementares :90 ºsuplementares :180 ºreplementares :360 º

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26. TRIÂNGULOS

Congruências: { LAL (lado−ângulo−lado )ALA (ângulo−lado−ângulo )

LA AO(lado−ângulo−ângulo opostolado )LLL ( lado−lado−lado )

Um triângulo só existe se: os seuslados (a ,b , c ) tiveremarelação→|b−c|<a<b+c

27. SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Semelhança de triângulos: cf=b

e=a

d=

h1

h2=k

Base média do triângulo:

seCN=BN eCM=AM ,logo MN é base médiade AB , e MN=AB2

28. PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO Baricentro (G):

{ponto deencontro dasmedianasde umtriânguloobaricentrodivide asmedianasnuma razão2 :1

Incentro (I):

{ponto deencontro dasbissetrizes internas do triângulotambém ocentrodacircunferênciainscrita

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Circuncentro (O):

{ponto deencontro dasmediatrizes(retas⊥aos lados)quandoo triângulo é retangulo,o circuncentro

está no pontomédio dahipotenusa

Ortocentro (H):

{¿ pontode encontrodas alturasdo triângulo

Triângulo equilátero: todos os seus pontos notáveis convergem em um só Lg

29. POLÍGONOS CONVEXOS

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer: Si=180 º (n−2) Soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer: Se=360 º

Ângulo interno: a i=180 º n−2n

Ângulo externo: ae=360 º

n

Número de diagonais: d=n (n−3 )

2

30. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

Trapézio: quadrilátero que possui dois lados paralelos: {as bissetrizes de ângulos seguidos são perpendiculares

Paralelogramo: trapézio com lados opostos paralelos:

{ lados opostosiguaisângulos opostos congruentes

suas diagonais cruzam se no ponto médio Retângulo: paralelogramo que possui ângulos iguais, 90º: {diagonais congruentes Losango: paralelogramo que possui os lados iguais:

{diagonais bissetrizese perpendiculares Quadrado: losango e retângulo

31. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO a2=b2+c2 h2=mn b2=ma c2=na ah=bc

1b2 +

1c 2

= 1h2

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32. RELAÇÕES NO TRIÂNGULO QUALQUER a2=b2+c2−2 bc cos Â

a

sen Â= b

sen B= c

sen C=2 R ; R: raioda circunferênciacircunscrita ao triângulo

33. CIRCUNFERÊNCIA

34. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES

Triângulos: A=bh2

Triângulo equilátero: A=l2√3

2 Triângulo de lados (a;b;c) e perímetro 2p: A=√2 p( p−a)( p−b)( p−c ) Paralelogramo: A=bh

Trapézio: A=(ab ) . h2

Circulo: A=πR ²

Setor circular: A=π R2 α360 º

35. GEOMETRIA ANALÍTICA

Ponto: p ( x; y ) ;eixo x :abscissas eixo y :coordenadas Distância entre pontos: dab=√( xb−xa )2+ ( yb− ya )2

Ponto médio de um segmento AB: M ( ( xa+ xb )2

;ya+ yb

2 ) Condição de alinhamento entre A, B e C: | 1 1 1

xa xb xc

ya yb yc|=0

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Área de um triângulo ∆ABC: | 1 1 1xa xb xc

ya yb yc|. 1

2=A

Reta: {equaçãoreduzida : y=mx+q ; m :coeficiente angular ,q :co . linear

equaçãosegmentária : xp+ y

q=1; p=−c

aeq=−c

b

equação paramétrica:{x=f ( t )y=g ( t )

; t ∈R

Retas perpendiculares: mr .ms=−1

Distância ponto à reta: d P;r=|axo+byo+c|

√a2+b2

36. CÔNICAS

Circunferência: { dO ;P=R( x−a )2+ ( y−b )2=R ²

x2+ y2−2ax−2by+(a2+b2−R2 )=0

Elipse: {2a: eixomaior ,2b :e .menor ,2c : distância focalx1

a2 + y2

b2 =1 ;eixo maior pararelo àsabcissas

a2=b2+c ²

Parábola: { d F; P=d P;r=2 pa x2+b x+c=0

( x−xv )2=4 p ( y− y v)2;diretriz pararelaàsabcissas

Hipérbole: {2a: e . real ,2b :e . imaginário ,2c :distância focal , d :assíntotax2

a2 −y2

b2 =1 ,distância focal pararelaàs abcissas

c2=a2+b2

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37. PIRÂMIDES

{ apótema da pirâmide : a√32

apòtemadabase : a√36

volume : 13

. Ab .h

com secção : hH

=k ; àreamenoràrea maior

=k 2 , Vme .Vma

.=k ³

38. CONE E CILINDRO

cilindro :{g :geratriz , h :altura , r :raio dabaseàrea=2π r 2+2 πrh

volume=13 π r2 h

cone : { g2=h2+R ²Al=πRg; At=πR (g+R)

V=13

. π R2 h h

39. POLIEDROS CONVEXOS E TEOREMAS DE EULER V−A+F=2 Soma dos ângulos das faces: S=360º (V −2)

Equação do número de arestas: ∑i=3

n

nFn=2 A

Equação do número de arestas: ∑i=3

n

nPn=2 A ; P :ângulo poliédrico

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