apostila sobre estaticidade

8/7/2019 APOSTILA SOBRE ESTATICIDADE

1/15

Estruturas Isostticas DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Slvia Baptista Kalil

28

CAPTULO III

ESTRUTURAS ISOSTTICAS - NOES INICIAIS

I. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

DEFINIO: Graus de liberdade so o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes que umcorpo pode excecutar.

A. Caso espacial

Estruturas submetidas a foras em todas as direes do espao. Estas foras podem ser reduzidas a trsdirees ortogonais entre si (x,,y,z), escolhidas como referncia. Neste caso o corpo possui 6 graus deliberdade pois pode apresentar 3 translaes (na direo dos 3 eixos) e 3 rotaes (em torno dos 3 eixos).

Exemplo:

B. CASO PLANO

Estruturas submetidas a foras atuantes em um s plano, por exemplo x,y . Neste caso possuem 3 graus deliberdade pois podem apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao(em torno do eixoperpendicular ao plano que contm as foras externas).

Exemplo:


2/15


29

II. VNCULOS

A. DEFINIO:

todo o elemento de ligao entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja

finalidade restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vnculo possa cumprir esta funo, surgem, no mesmo, reaes exclusivamente nadireo do movimento impedido.

OBS 1: Um vnculo no precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o far ser oconjunto de vnculos.

OBS 2 : As reaes desenvolvidas pelos vnculos formam o sistema de cargas externas reativas.

OBS 3 : Somente haver reao se houver ao , sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas,

devendo ser calculadas.

B. CLASSIFICAO

Os vnculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externoe,portanto, se classificam em vnculos internos e externos.

B.1. VNCULOS EXTERNOS: So vnculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo ese classificam quanto ao nmero de graus de liberdade restringidos..

B.1.a. Caso espacial:

Podem restringir at 6 graus de liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espcies.No quadro abaixo so apresentados alguns exemplos de vnculos externos para o carregamento espacial


3/15


30

Exemplo de vnculos espaciais:


4/15


31


5/15


32

B.1.b. Caso plano

Nestes casos o vnculo pode restringir at 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classificam em 3espcies.


6/15


33

B.2. VNCULOS INTERNOS

So aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espcie.

Ex 1 : Vnculo de 3a espcieSejam duas barras livres no espao com carregamento plano:


7/15


34

Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL.Unindo-as rgidamente ,por exemplo, atravz de umasolda, o nmero de GL do conjunto passa a ser 3,portanto

3 GL restringidos.

Se chamarmos de RT o nmero de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3(vnculo de 3a espcie)

Ex 2 : Vnculo de 2a espcie (PINOS OU RTULAS)

RTULAS :

So vnculos que tem reaes internas verticais e horizontais podendo transmitir foras nestas direes quese anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas.

PARA QUE AS RTULAS DE UMA ESTRUTURA ESTEJAM EM EQUILBRIO NECESSRIO QUE O MOMENTO POLAR DAS CARGAS EXTERNAS EMRELAO ELAS SEJA NULO.

EX: Sejam duas barras livres no espao e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL eportanto o conjunto apresenta 6 GL.

Representao Estrutural :


8/15


35

Se forem unidas por exemplo por uma rtula, o nmero de graus de liberdade doconjunto passa a ser 4 . Neste caso RT = 2 (vnculo de 2a espcie)

(vnculo de 2 espcie)

III . CLASSIFICAO ESTRUTURAL

De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser:

A. HIPOSTTICAS:

Quando o nmero de movimentos restringidos (RT) for menor do que o nmero de movimentos rgidos

possveis e independentes (GL) . Uma estrutura hiposttica est em equilbrio instvel.

B. ISOSTTICA:

Quando o nmero de restries (RT) for igual ao nmero de movimentos possveis(GL). Uma estruturaisosttica est em equilbrio estvel. A eficcia da vinculao deve ser examinada.

C. HIPERESTTICA:

Quando o nmero de restries (RT) for maior do que o nmero de movimentos possveis(GL). Umaestrutura hiperesttica est em equilbrio estvel.

IV . VERIFICAO DO EQUILBRIO

A. ESTATICIDADE


9/15


36

De acordo com a classificao j vista podemos dizer que uma estrutura ser:

hipostticas: RT < GL

isostticas: . RT = GL

hiperestticas: . RT > GL

B. GRAU DE CONEXO E RETENO TOTAL DE UMA ESTRUTURA(RT)

Sejam duas barras livres no espao com carregamento plano. O nmero de GL deste conjunto 6. Se estasbarras forem unidas rgidamente por um vnculo interno de 3a espcie o nmero de GL passa a ser 3. O

nmero de movimentos restringidos foi 3 .

RT = 3

Se possuirmos mais de duas barras podemos executar raciocnio idntico ao anterior,ou seja, se tivermos 3barras livres o nmero de GL do conjunto 9. Ligando-as rgidamente (vnculo de 3a espcie) o nmerode GL passa a ser 3, portanto

RT = 6.

ou


10/15


37

Por outro lado, se tivermos ligado as barras por pinos ou rtulas ( vnculos de 2a espcie) , teremos:

caso de 2 barras:

caso de 3 barras:

ou no caso de 4 barras

Podemos resumir e generalizar da seguinte maneira:


11/15


38

n r r.(n-1)

O nmero de movimentos impedidos em um vnculo de classe r onde concorrem n barras :

n - nmero de barras que concorrem em um vnculo

(n-1) - grau de conexo de um vnculor - nmero de movimentos impedidos por este vnculo(classe do vnculo)

Chamando:

C1 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de primeira espcie.C2 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de segunda espcie.C3 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de terceira espcie

Assim teremos:

1x C1 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de primeira espcie2x C2 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de segunda espcie3x C3 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de terceira espcie

Podemos ento definir Reteno Total (RT) ou nmero de movimentos restringidos por todos os vnculosde uma estrutura como:

C. GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh)

Podemos definir grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferena entre a reteno total e onmero de graus de liberdade que ela pode apresentar.

gh = RT - GL

Barras concorrentes em um vnculo classe do vnculo RT2 2 2 x 13 2 2 x 24 2 2 x 3

2 3 3 x 13 3 3 x 24 3 3 x 3

r.(n-1)

RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3


12/15


39

No caso plano cada barra livre possui 3 GL logo, se tivermos m barras o nmero de GL do conjunto ser 3x m.

Resulta:gh = RT - 3m

ou

Ento:gh < 0 Hipostticagh = 0 Isostticagh > 0 HiperestticaOBS: O exposto acima serve apenas para casos de carregamentos planos e a eficcia vincular deveser tambm examinada.

Por exemplo, a estrutura abaixo apresenta gh = 0 porm pode se movimentar na direo x.

D. ESTATICIDADE EXTERNA

Quando quisermos verificar a estaticidade externa de uma estrutura, consideramos a estrutura como um

conjunto monoltico, portanto com 3 GL e consideramos apenas as restries dos vnculos externos, ouseja:

onde Rtext a reteno total somente dos vnculos externos (soma da classe dos vnculos)

E . ESTATICIDADE INTERNA

A estaticidade interna a diferena entre a estaticidade total e a estaticidade externa.

gh = ( C1 + 2.C2 + 3.C3) - 3.m

gext = RText - 3

gint = gh - gext


13/15


40

EXEMPLOS:

Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo.

1.

R: gh = 0 (isosttica)gext = 0gint = 0

2.

R: gh = 0 (hiposttica) ineficcia vinculargext

= 0gint = 0

3.

R: gh = -2 (hiposttica)gext = 0gint = -2

4.

R: gh = 0 (isosttica)gext = 1gint = -1

5.

R: gh = 0 (hipo- inef vincular)gext = 2gint = -2

6.


14/15


15/15


42

10.

R: gh = 0 (isosttica)gext = 1gint = -1

apostila sobre estaticidade

Documents