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FENMENOS DE TRANSPORTE APLICADOS METALURGIA CARGA HORRIA: 75 EMENTA Introduo. TRATAMENTO MICROSCPICO: Viscosidade de fluidos metalrgicos. Equao da continuidade. Balano de quantidade de movimento. Caso do fluxo turbulento. Modos de transferncia de calor. Transferncia de calor com mudana de fase. Comportamento trmicos de leitos. Difuso de massa. Transferncia de massa em sistemas fluidos. Sistemas fluido partcula. TRATAMENTO MACROSCPICO: Anlise dimensional. Classificao e anlise da performance de reatores. Transporte em leitos porosos e fluidizados. Outras aplicaes. PROGRAMA ANALTICO DE AULAS DE PRELEO INTRODUO: Escopo. Analogia entre transporte de quantidade de movimento, de calor e de massa. Comparao entre os tratamentos micro e macroscpico. FLUIDO DINMICA: Viscosidade de gases, metais e escria. Balano de quantidade de movimento: conceito, fluxo em filme, entre placas paralelas, em tubo circular e outras configuraes. Equaes de continuidade e conservao de quantidade de movimento. Aplicaes da equao de Navier-Stokes: definio de camada-limite, fluxo em dutos, Lei de Stokes e outros. Manifestaes fsicas do fluxo turbulento. Equaes da continuidade e de conservao para fluxos turbulentos. Aplicaes a sistemas metalrgicos: R.H., Tundish, recirculao em reatores e outros. TRANSFERNCIA DE CALOR: Difusividade trmica em slidos, lquidos e gases. Difusividade devido a turbulncia. Balano de energia para vrias geometrias. Solidificao de metais em moldes de areia e metlicos. Lingotamento contnuo. Interao leito de partcula-fluido: hipteses, coeficientes de transferncia de calor, fluxo em contra corrente concorrente, leito estacionrio com e sem calor de reao. Outras aplicaes. TRANSFERNCIA DE MASSA: Difusividade de massa em slidos, lquidos e gases. Difusividade em meios porosos. Difusividade devido a turbulncia. Correlaes. Integrao da equao de conservao para vrias geometrias. Camada limite. Sistema fluido-partcula: os vrios modelos, regimes de controle. TRATAMENTO MACROSCPICO: Anlise dimensional: significado dos grupos adimensionais, mtodo dos ndices, teorema de Buckingham, deduo dos grupos a partir das equaes que regem o processo, importncia relativa dos vrios grupos, aplicaes. Anlise de reatores: reaes homogneas e heterogneas, reaes elementares, ordem e molecularidade, equao de Arrhenius. Reatores de batelada, de mistura perfeita e de fluxo em piston. Combinao de reatores. Funo densidade de distribuio dos tempos de residncia. Modelos de disperso. Influncia do aporte especfico de energia no grau de mistura. Aplicaes. Fatores de frico para fluxo em tubos e sobre objetos submersos. Caracterizao de um leito de partculas; equao D`Arcy; equao de Ergun. Curva de fluidizao, velocidade mnima de fluidizao; elutriao. Transporte pneumtico. Aplicaes.

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BIBLIOGRAFIA: 1 - Transport Phenomena in Metallurgy; G. H. Geiger et al ;Addison- Wesley; 1980. 2 - Engenharia das Reaes Qumicas; Vol. e ; O. Levenspiel;Edgar Blucher; 1974. 3 - The Mathematical and Physical Modeling of Primary Metals Processing Operations; J. Szekely et al; John Wiley & Sons; 1988. 4 - Rate Phenomena in Process Metallurgy; J. Szekely et al; John Wiley & Sons; 1971. 5 - Transport Phenomena; B. Bird et al.; Jonh Wiley & Sons; 1960. 6 - Fluidization Engineering; D. Kunii et al.; Krieger; 1987. 7 -An Introduction to Transport Phenomena in Materials Engineering; . D. R. Gaskell; McMillan; 1992 8 - Gas Solid Reactions; J. Szekely et al; Academic Press, 1976. 9 - Engineering in Process Metallurgy; R. I. L. Guthrie; Oxford University Press, 1989. 9 - Chemical Reactor Theory, An Introduction; . K. G. Denbigh.; Cambridge University Press; 1984. 10 - Elements of chemical Reaction Engineering; H. S. Fogler.; Prentice Hall; 1992. 11 - Rate Process of Extractive Metallurg; H. Y. Sohn et al.; Plenum Press; 1979. 12 - Fluid Flow Phenomena in Metals Processing; J. Szekely.; Academic Press; 1979 13- Transport Phenomena And Materials Processing; . Sindo Kou; John Wiley, 1996 14 - Kinetics of Metallurgical Reactions; . H. Shanker Ray; Int. Science Publisher, 1993 15 - Chemical Kinetics and Reaction Mechanisms; J. H. Espenson;McGraw-Hill, 1995. 16 - Transport and Chemical Rate Phenomena; N. J. Themelis; Gordon and Breach, 1995. 17 - Introduction to Mass and Heat Transfer; S. Midleman; John Wiley,1997. 18 - Analysis of Transport Phenomena; W. M. Deen; Oxford University Press, 1998. 19 - Advanced Physical Chemistry for Process Metallurgy; N. Sano et al (Editors); Academic Press, 1997. 20 - Principles of Metal Refining; . A. Engh; Oxford University Press, 1992 21 - Fundamentals of Steelmaking Metallurgy; . R. Boom et al; Prentice Hall, 1993. 22 - Transport Phenomena in Materials Processing; G. H. Geiger; TMS, 1994. 23- Smithells Metals Reference Book; 7th edition; E.A. Brandes et al(editors); Buttterworth-Heinemann, 1992. 24 - Chemical Engineering, Vol. (Chemical & Biochemical reactor Process Control); . Coulson & Richardson; 3a Ed., 1994 25 - Chemical Engineering, Vol. (Fluid Flow, Heat Transfer Mass Transfer); . Coulson & Richardson; 4a Ed., 1993.

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INTRODUO: Considere a fabricao de um determinado produto, a ser enfocada de acordo com as nfases, Figura 01: 1 - Aspecto ambiental, compreendendo a interao do processo produtivo com o meio ambiente e do produto com o meio ambiente ao longo da sua vida til e aps descarte; 2 - Projeto, na qual se decide o que produzir, quais as caractersticas (propriedades)a serem atendidas, qual o nvel de qualidade; 3 - Caracterizao do produto, a qual consiste na medio dos valores das propriedades e avaliao do comportamento (performance) do produto em servio; 4 - Processamento, a qual permite definir as rotas possveis, as tcnicas de controle de processo, de modo a fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mnimo (desenvolvimento sustentvel). O grau de importncia ou a frao de tempo que um dado profissional dedica a cada uma destas nfases pode variar ao longo de sua trajetria mas, muito raramente, se consegue ou se aconselha dedicao exclusiva a uma delas. No mnimo como fator de segurana profissional ante competio entre materiais diversos como: 1- Metais e suas ligas (os velhos materiais); 2- Cermicos, vidros, plsticos, compsitos (os novos materiais). A preponderncia de uma ou outra classe no absoluta nem perene, sendo definida pela relao custo/benefcio, a qual pode se alterar luz de novos conhecimentos e tecnologias. Obviamente a diviso citada acima de carter arbitrrio e pode ser, neste aspecto, amplamente criticada. Seu principal mrito seria o de apresentar a motivao para o estudo de Fenmenos de Transporte: fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mnimo, o que pode ser alcanada com a aplicao de suas ferramentas. Tambm se deve considerar que outras disciplinas como Termodinmica e Cintica qumica devem ser envolvidas. Exemplo 01:A homogeneizao trmica ou composicional de um banho de metal lquido atravs de insuflao de gs uma operao comum em metalurgia, Figura 02. As bolhas geradas na regio do plugue poroso ao ascenderem por fora do empuxo no seio do lquido provocam a movimentao do mesmo. A turbulncia e as correntes de conveco geradas da interao entre as bolhas e o metal so os responsveis principais pela disperso de gradientes de temperatura e de composio

Figura 01: nfases de atuao em Engenharia de Materiais Alternativamente os fenmenos de transferncia de quantidade de movimento (movimentao do lquido), transferncia de massa, transferncia de energia esto todos interligados e a otimizao e/ou o controle do processo envolve quantificar e/ou controlar estes fluxos.

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Figura 02: Insuflao de gs inerte em lquido metlico. Exemplo 02: Vrios esquemas podem ser propostos para a reciclagem de lixo domstico. Aquele apresentado na Figura 03 devido ao United States Bureau of Mines apresenta como principal caracterstica incluir operaes unitrias e equipamentos tpicos de processamento de minerais: ciclones, peneiras, separador magntico, etc. Claramente os princpios cientficos includos no projeto e operao destes equipamentos no mudam, quer se trate de minrios quer se trate de rejeitos domsticos; entretanto os valores dos parmetros operacionais podem diferir. Muito dificilmente a descrio de cargos tradicional de um engenheiro de Minas ou Metalurgia incluiria a reciclagem de rejeitos domsticos mas, claramente, as bases esto lanadas. Exemplo 03:Peas constitudas do composto intermetlico TiAl so do interesse da indstria aeronutica por apresentarem: baixa densidade; boas propriedades mecnicas em temperaturas altas; resistncia oxidao. Um procedimento de fabricao poderia envolver as operaes: reunir Ti e Al, na proporo 1:1; fundir a mistura, obtendo lquido Ti - Al; vazar em molde apropriado; conformar mecanicamente (estruso, laminao, forjamento, etc.). A ltima etapa deste procedimento estaria provavelmente fadada ao fracasso pois a liga Ti - Al se mostra extremamente frgil em temperaturas baixas, o que contra-indica qualquer trabalho mecnico. Outro procedimento compreenderia: reunir ps ou grnulos de Ti e Al obtidos separadamente, na proporo 1:1; conformar forma desejada da pea a mistura mecnica dos metais Al e Ti, desde que, puros, so extremamente dteis; provocar a interdifuso dos metais, a qual pode ser grandemente acelerada pelo emprego de temperaturas altas, neste caso ligeiramente superiores temperatura de fuso do Al, de modo a formar o intermetlico. Este pode ser reconhecido como tpico na produo de cermicos a partir de precursores de alta temperatura de fuso. Estes exemplos procuram ressaltar que os princpios que embasam disciplinas fundamentais como termodinmica, cintica qumica, fenmenos de transporte (e muitas outras) so de aplicao generalizada e por tal merecem ser enfatizados.

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Figura 03: Esquema para reciclagem de lixo domstico, de acordo com o USBM Fenmenos de Transporte pode ser, claramente, traduzido como Mecnica dos Fluidos, Transferncia de Massa e Transferncia de Calor, no necessariamente nesta ordem. O escopo de cada uma delas pode ser feito bastante abrangente e profundo. A motivao para reun-las em fenmenos de transporte se deve a dois fatores principais. Primeiro, como exemplificado, transporte de calor, massa e quantidade de movimento podem se dar simultaneamente, um influindo sobre o outro. Segundo existem similaridades fsicas e matemticas que podem abreviar um estudo conjunto. Por exemplo denotando por a concentrao volumtrica de uma dada grandeza, seja ela massa, calor ou quantidade de movimento, se pode apontar ao menos duas contribuies comuns ao transporte. Conveco: Relacionada ao transporte da grandeza atravs de uma superfcie de controle (real ou imaginria) pelo movimento do meio. No caso da espcie (elemento ou composto) A contida, em concentrao CA [mol/m

3] , em um meio que se move com velocidade Vy [m/s] ,a quantidade da mesma que atravessa uma superfcie de controle esttica (imaginria ou real) de orientao perpendicular ao fluxo e rea dS [m2] seria dada, vide Figura 5, por ]m/[C].m[dS].s/m[V 3A

2y Amols , expresso que corresponde

ao produto entre a vazo volumtrica do meio e a concentrao da grandeza. Concentrao volumtrica de calor e de quantidade de movimento poderiam ser definidas, respectivamente, como igual a ip VouTC onde representam : [Kg/m3], a massa especfica do meio; Cp [J/Kg.K], o calor especfico do meio; T [K] a temperatura do meio; Vi [m/s], a velocidade do meio na direo i. Deste modo as equaes de transporte seriam

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].[]./[ 2mdSsmVy ]}/[{].[]./[ 32 mJTCmdSsmV py

]}./[{].[]./[ 22 smKgVmdSsmV iy

Figura 5: Transporte convectivo e por difuso. Difuso: A fora motriz de processos de transporte por difuso est relacionada existncia de gradientes de uma dada grandeza. Por exemplo observa-se transporte de uma dada espcie sob ao de gradientes de : Potencial gravitacional; Temperatura ; Presso; Potencial Eltrico; Potencial Qumico e outros. Campos eltricos ou gradientes de potencial eltrico so particularmente atuantes no caso de transporte de espcies carregadas, por exemplo ins durante eletrlise ou eletrorefino. Gradientes de potencial qumico podem ser, numa dada fase, relacionados a gradientes de composio, e do origem difuso ordinria (por ser a mais comum). A lei de Fick pode ser utilizada para o cmputo da velocidade de transporte por difuso. A Termodinmica requer que o transporte seja espontneo desde o ponto de mais alto potencial qumico (maior concentrao) at o ponto de menor potencial qumico(menor concentrao), de modo que, Figura 5,

][

]/[]./[]s .mA / mols[

3

22

mdy

mAmoldCsmDJ

A

AA =

onde DA representa o coeficiente de difuso da espcie A no meio, em geral determinado experimentalmente, como uma funo de propriedades do meio e da espcie A (isto , da temperatura, presso, composio, estado fsico, presso, etc.).

dy

dcA representa o gradiente de grandeza ou fora motriz do processo, medida indireta

do gradiente de Potencial Quimico ( verdadeira causa da difuso quimica, ordinria). Expresses correspondentes para o transporte difusivo de calor e quantidade de movimento seriam do tipo

][

]/[]./[]s .m / [

3

22

mdy

mJTCdsm

C

KJq

p

px

=

][

].m/ []./[]m / [

222

mdy

sKgVdsmN xxy

=

onde representam: [Kg.m-1.s-1], a viscosidade dinmica; k [J/m.s.K], a condutibilidade trmica do meio. A razo K/ .Cp denominada difusividade trmica do meio,

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enquanto / conhecida como viscosidade cinemtica ou difusividade de quantidade de movimento. As expresses anteriores representam, claramente, as Leis de Fourier (de difuso ou conduo de calor) e de Newton (de definio de viscosidade), Figura 6. Em resumo, considerando os valores das contribuies difusiva e convectiva por unidade de rea : Tabela I : Similaridades entre expresses para clculo de contribuies difusiva e convectiva. Grandeza Conveco Difuso Espcie A vy.CA -DA dCA / dy ; Lei de Fick Calor vy. {CPT} -K/CP. d{.CP.T}/dy ] ; Lei de Fourier Quantidade de movimento vy.{vy} -/. d{.vy}/dy ; Lei de Newton Em qualquer das disciplinas, Mecnica dos Fluidos, Transferncia de Calor, Transferncia de Massa, Balanos de Conservao so rotineiramente utilizados para a anlise dos problemas. Em termos de uma Grandeza genrica , igual a CA, , ou CPT, ou vy , um Balano de Conservao poderia ser escrito como: Taxa (ou velocidade) de acumulao da Grandeza no interior do Volume de Controle

(VC) =

Taxa (ou velocidade) lquida de entrada (taxa de entrada menos taxa de sada) da Grandeza no V.C., atravs da Superfcie de Controle (S.C.) por meio do mecanismo

de conveco +

Taxa lquida de entrada da Grandeza no V.C., atravs da S.C., por meio do mecanismo de Difuso

+ Outras Contribuies

vide Figura 7. Deste modo se pode antever que as equaes dos balanos de , independente da natureza da Grandeza em foco, sero estruturalmente e formalmente idnticas, de modo que procedimentos analticos e numricos de soluo apresentaro caractersiticas comuns. Este seria um atrativo extra do enfoque Fenmenos de Transporte, em comparao com Mecnica dos Fluidos, Transferncia de Calor, Transferncia de Massa. TRANSPORTE DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO (Q.M.): Inicialmente se considera a deduo da Equao da Continuidade, que reflete o princpio de conservao de massa. Esta equao em geral se emprega associada equao do balano de Conservao de Q.M. e a outras, de acordo com as especificidades da situao em anlise. O procedimento analtico de construo da equao da continuidade tanto a nvel macroscpico quanto a nvel microscpico pode ser empregado na deduo das equaes dos balanos de conservao. Ento uma breve reviso pode ser til.

8

Figura 6: Fluxos difusivos de calor, espcie e quantidade de movimento

Figura 7: Regio de escolha para construo do Balano de Conservao de Seja por exemplo um Volume de Controle (VC) na forma de um paraleleppedo infinitesimal, esttico, de faces paralelas aos planos coordenados de um sistema tri-ortogonal OXYZ e apresentando arestas de comprimento X, Y e Z, vide Figura 8. Um meio em movimento relativo a este volume de controle atravessa suas superfcies de controle (SC), as faces do paraleleppedo, obliquamente de modo que podem ser identificadas componentes locais do vetor velocidade, Vi=x,y,z (t,x,y,z). Modo geral,

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como indicado, a velocidade funo da posio e do tempo. Deste modo o balano de conservao de massa apresentaria como termos: a) Termo em acumulao, de massa no volume de controle:

dt

d { x.y.z . } x.y.z.

dt

d

onde x.y.z [m3] representa o volume do V.C. e [Kg / m3] a massa especfica. b) Termo em contribuio ao acmulo de massa no interior do VC, por meio de conveco; este deve ser calculado levando-se em considerao as seis faces do VC e, matematicamente, seriam equivalentes ao produto da vazo volumtrica e da massa especfica em cada face, portanto: - relativa face perpendicular ao eixo oy, paralela ao plano coordenado OX/OZ

{vy. x.z}. y=y vy.x.z.y=y+y onde representam : vy [m/s], a componente OY do vetor velocidade; x. z [m2], a rea da superfcie de fluxo; [kg/m3], a massa especfica do meio.

Figura 8: Volume de controle para construo, a nvel microscpico, de um balano de conservao de massa. Claramente o produto {vy. x.z} denota a vazo volumtrica e a expresso anterior implica que os valores das varveis devem ser avaliados nos pontos especficos, por serem funo do tempo e da posio. - relativa face perpendicular ao eixo OX, paralela ao plano coordenado OZ/OY.

{vx. y.z}. x=x vx.y.z.x=x+x - relativa face perpendicular ao eixo OZ, paralela ao plano coordenado OX/OY. {vz. x.y}. z=z vz.x.y.z=z+z Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por x.y.z,

z

VV

y

VV

x

VV

dt

d zzzzzzzyyyyyyyxxxxxxx

+

+

=+==+==+==

.......

e tomando os limites, quando, simultaneamente, x tende a zero, y tende a zero e z tende a zero, resulta a forma infinitesimal da equao da continuidade ou forma microscpica,

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( ) ( ) ( )zyx VzVyVxt ...

+

+

=

Procedimento anlogo pode ser empregado para se expressar o princpio de conservao de massa, para volumes de controle macroscpicos e/ou em outros sistemas de coordenadas. Conservao de Quantidade de Movimento, mV A expresso de conservao de quantidade de movimento pode ser escrita como:

Taxa de acumulao de Q.M. no V.C

= Taxa lquida de entrada de Q.M. no VC, atravs das SC, via conveco

+ Taxa lquida de entrada de Q.M. no VC, atravs das SC, via difuso

+ Outras Contribuies

Matematicamente a Taxa de acumulao de Q.M. no V.C. pode ser descrita como a

derivada em relao ao tempo do produto m.V ; portanto representa a fora atuante

sobre o VC, o que permite que o Balano de Conservao de Q.M possa ser lido como uma aplicao da Segunda lei de Newton:

Resultante das foras que agem sobre o V.C =

Foras de natureza convectiva +

Foras de natureza difusiva +

Outras foras Esta grafia pode ser mais conveniente porque, em geral, os engenheiros mantm mais familiaridade com o conceito de fora, em comparao com o conceito de fluxo de quantidade de movimento. Observe-se, por exemplo, que a lei de Newton, de definio de viscosidade envolve Tenso de Cisalhamento. Note-se tambm que, sendo a Q.M. uma grandeza vetorial (vx , vy, vz) o balano de conservao tambm apresentar esta caracterstica. Seguindo o tratamento que interpreta fluxos de QM como foras atuantes sobre o volume de controle seria importante identific-las. A fora de natureza convectiva pode ser caracterizada considererando o movimento de um fluido em um tubo, em regime permanente e laminar, tal como esquematizado na Figura 9. O tubo apresenta seo reta varivel e sua forma qualquer. Deste modo a velocidade do fluido pode variar ao longo de uma dada seo reta e ao longo do tubo. De modo a permitir o clculo das foras de natureza convectiva pode ser isolado, no interior do tubo, um outro tubo desta feita imaginrio cujas paredes sejam linhas de fluxo. Como por definio os vetores velocidades so tangentes s linhas de fluxo ento, por consequencia, no existe fluxo de matria atravs das paredes deste tubo imaginrio, apenas atravs de sua seo reta. O tubo imaginrio pode ser feito to estreito que, virtualmente, no se observem variaes significativas de velocidade ao longo de uma certa seo reta, de rea A. Deste modo o vetor velocidade seria tambm perpendicular a esta rea infinitesimal de fluxo, mas poderia comportar

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variaes em mdulo e orientao ao longo do tubo imaginrio. Portanto escolhe-se um VC ainda mais restrito, compreendido entre duas sees retas infintesimais, muito prximas; tal permite desprezar as variaes citadas. Ento, considerando o volume de controle destacado, que contm massa na quantidade .t.V.Am , onde representam: A [m2], a rea de seo reta de fluxo; V [m/s], a velocidade do fluido; t [s], o intervalo de tempo necessrio para preencher o VC; [Kg/m3], a massa especfica do fluido se pode estimar a componente OY (por exemplo) da fora que age sobre o V.C. como se segue :

Figura 9: Esquema para clculo de fora de natureza convectiva.

( ) ( ) yyyy VAVtV

tAVt

VmF

........ ===

yy VQF .. Finalmente, a componente Fy, que age sobre todo o tubo imaginrio resulta da integrao:

==2

1

2

1..

seo

seo y

seo

seo yyVQFF

onde se considera o princpio de conservao de massa, isto a constncia do produto . Q ao longo do tubo (em regime permanente), isto :

{ }12 seoyseoyy VVQF = Portanto, de modo geral, para i = x,y,z, ( )1seoi2seoii VVQF = , expresso da forma Fora na direo i igual ao produto entre vazo volumtrica e concentrao de quantidade de movimento na direo i, como antecipado.

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A contribuio difusiva pode ser auferida a partir do anlogo mecnico que permitiu a Newton conceituar a propriedade viscosidade de um fluido, vide Figura 10. Neste caso considera-se o movimento unidirecional de um fluido, sobre uma placa esttica. O perfil esquematizado se desenvolve devido condio de no deslizamento, a qual implica em que, no ponto de contato fluido/superfcie, as velocidades dos meios so iguais. Newton props visualizar o fluido como um conjunto de placas imaginrias, superpostas e se movendo, todas, na direo oy, porm com velocidades diferentes.

Figura 10: Fluxo uniderecional de um fluido sobre uma placa imaginria, esttica. Ento, devido ao movimento relativo entre duas placas contguas se desenvolveria uma fora de atrito, tal que:

dz

dVyyz . =

onde representam : yz , a tenso de cisalhamento, fora por unidade de rea; y (ndice), direo da fora; z (ndice), direo da superfcie de atuao do esforo; , coeficiente de viscosidade dinmica; Vy , velocidade na direo OY.

dz

dVy representa o gradiente de velocidade, causa da existncia da fora de atrito entre

as camadas imaginrias de fluido. Nos casos mais simples estas relaes so suficientes para a montagem de um balano de conservao de QM e para a determinao de parmetros de engenharia como, vlaor mdio de velocidade, equao do perfil de velocidade, fora de arraste, etc ; as equaes completas sero comentadas posteriormente. Exemplo 04: Considere o fluxo de um fluido incompressvel, Newtoniano, em regime permanente, laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como esquematizado na Figura 9. Como indicado a abertura da ranhura igual a 2 , valor muito inferior largura da mesma, W; deste modo os efeitos devidos ao atrito entre o fluido e as paredes laterais da ranhura que naturalmente devem existir como conteno ao fluido podem ser desprezados. A condio de no deslizamento, isto a considerao que as velocidades de fluido e superfcies nos pontos de contato so iguais, sugere o perfil de velocidades esquematizado em (a), desde que se possa admitir simetria em relao a um plano paralelo s superfcies, situado meia distncia. As causas, foras motrizes, para tal movimento podem ser vrias, tais como gravidade, diferena de presso. Admita-se que, neste caso, para efeito de simplificao, apenas esta ltima seja relevante. Por exemplo orientao do vetor gravidade tal como indicada (isto , gravidade no lnflui no fluxo) e que a fora motriz

do fluxo seja um diferencial de presso representado por L

PPL 0 .

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Embora qualquer sistema de coordenadas, orientado a bel-prazer, possa ser utilizado para a descrio matemtica do fluxo a escolha natural reside em definir um sistema tri-ortogonal de referncia, com um dos planos coordenados, por exemplo OXY, coincidente com o plano de simetria de fluxo, localizado a meia distncia entre as duas placas fixas. A conseqncia mais visvel (e frutfera) desta escolha -- que faz a direo coordenada OY coincidir com a direo do fluxo consiste em se obter componentes Vx e Vz nulas, em qualquer posio. Esta conseqncia se mantm para qualquer outro sistema de coordenadas que resulte de uma operao de translao aplicada sobre o anterior. Com estes dados em mente e a partir da equao da continuidade se encontra

zyx VzV

yV

xz

+

+

=

0tan, =

teConszxyVy

pois o fluido incompressvel ( no varia ) e o fluxo unidirecional (Vx e Vz so nulos). A equao anterior informa que para um valor fixo de Z, portanto de distncia a uma das placas, o valor da velocidade Vy se mantm inalterado, independente do valor de Y. a expresso matemtica da condio de fluxo completamente desenvolvido, indicando que o perfil de velocidades no se altera na direo do fluxo. Naturalmente implica, tambm, Vy (z) ; isto equaes diferenciais ordinrias devem ser capazes de descrever o fluxo. De modo a realizar o balano de conservao de Q.M. considera-se um V.C. correspondente a uma fatia imaginria de fluido, situado entre as coordenadas y = 0 e y = L , e entre dois planos, paralelos ao plano coordenado oxy e distantes entre si de z, ver Figura 11. Esta escolha de forma e orientao do V.C. reduz o nmero de termos (contribuies) a serem considerados no balano. Por exemplo os vetores velocidade Vy so paralelos (tangentes) s faces superior e inferior do VC; atravs destas faces no existe fluxo de matria e portanto nelas no atuam foras de natureza convectivas. Logo, na expresso do balano de conservao de quantidade de movimento na direo coordenada OY se identificam os termos:

Resultante das foras que agem sobre o V.C =

Foras de natureza convectiva +

Foras de natureza difusiva +

Outras foras

isto , como Taxa de Acumulao , { }yV..zLwdtd , onde representam : z.L.w [m3], o

volume do V.C.; [Kg/m3], a massa especfica do fluido; Vy [m/s], a componente Vy de velocidade; [m/s]. Alm desta, termos em conveco do tipo ii V..QF = , que se calculam como:

( ) ( ) Lyyyyyy VVzwVVzw == ...... 0 mas que se anulam em funo das restries: fluido incompressvel e fluxo completamente desenvolvido. Note-se que o valor de Vy em y=0 igual ao valor de Vy em y=L, e que o mesmo se aplica em relao a .

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Figura 11: Diagrama esquemtico para tratamento do fluxo em uma ranhura. Finalmente a geometria do problema permite a aplicao direta da analogia de Newton, a qual permite identificar esforos cizalhantes aplicados sobre as faces inferior e superior do VC na forma

dz

dVyyz =

Observe-se que o ndice y denota direo de atuao da fora enquanto o ndice z denota a direo da superfcie de atuao. Portanto, contabilizado sobre as duas superfcies, zzzyzzzyz wL.wL. +== .

Finalmente, em outras contribuies ou foras, se considera a queda de presso na

ranhura, Ly0y z.w.pz.w.p == , de modo que, coletando e reordenando os termos

resulta

{ } ( ) ( ) { } { }LyyzzyzzzzyzLyyyyyyy ppzwwLVVzwVVzwVzLwdtd

===+=== += 00 .........

ou L

pp

z0 L0

zyzzzyz + +

= , desde que a Taxa de Acumulao e a Contribuio

convectiva so nulas.

Ento a equao diferencial que descreve o fluxo seria L

pp

dz

d0 L0yz

+

= ou,

alternativamente, desde que o fluido newtoniano

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L

pp

dz

dV

dz

d Ly +

= 00

L

pp

dz

VdLy += 0

2

2

0

a ser integrada com as condies de contorno C.C.1: z = ; Vy = 0 ; Expresso matemtica da condio de no deslizamento C.C.2: z = 0; dvy/dz = 0; Plano coordenado OXY plano de simetria. Resulta aps separao de variveis, duas seqncias de integrao e aplicao das condies de contorno,

( )2202

zL

ppv Ly

=

a qual representa a equao relativa ao perfil de velocidades. A vazo de fluido na ranhura se calcula considerando uma seo de fluxo infinitesimal, de rea w.dz, localizada na posio z, Figura 12, isto

dzwVQ y ..=

( )=

=

=

z

z

L dzzL

ppwQ 220

2

)(.

Figura 12: Volume de controle para clculo de vazo na ranhura Por outro lado a fora cisalhante sobre um plano paralelo ao plano coordenado oxy, situado na posio Z

zzy

yzzz Lwdz

dVF ==

== ..

onde Y representa a direo do esforo, Z representa a direo da superfcie de atuao, e w.L a rea de atuao. Para um plano qualquer

( )LLzz ppzwzLpp

LwF =

== 00 ..2.2

...

16

e, especificamente, para o plano superior, em z = , ( )L0z pp..wF == . Desde que o regime permanente ento a resultante das foras que age sobre todo o fluido contido entre as placas deve ser nula. Esta foras so duas: 1- a fora devida diferena de presso aplicada entre os extremos , causa do movimento; 2- o atrito do fluido contra as superfcies da ranhura, resistncia que se impes ao movimento. Como mostrado estas duas fora se anulam. Equao Geral de Conservao de Quantidade de Movimento: Problemas relativos ao movimento de fluidos podem ser estudados atravs da metodologia proposta de construo de balano de QM, especfico da situao. Esta tarefa se complica nos casos em que o fluxo oblquo em relao aos eixos coordenados, o que implica na necessidade de se construir balanos para cada direo coordenada. Resulta tambm que as variveis de interesse, por exemplo velocidade, sejam funes de mais de uma coordenada espacial; logo as equaes descritivas seriam, potencialmente, em derivadas parciais. A descrio matemtica da situao fsica tratada anteriormente fluxo em regime permanente e laminar, unidirecional, de um fluido incompressvel e Newtoniano em uma ranhura seria significativamente complicada pela escolha de um sistema de coordenadas tri-ortogonal com eixos orientados aleatoriamente em relao ranhura. Neste caso se nota, prontamente, que apesar da unidirecionalidade do fluxo, todas as componentes da velocidade seriam no nulas e dependentes das trs coordenadas espaciais, Vi (x,y,z). Perdem-se tambm todas as facilidades matemticas que poderiam advir da condio de simetria em relao ao plano mdio da ranhura. Nem sempre possvel escolher um sistema de coordenadas e sua orientao tal que a descrio matemtica de um dado fluxo resulte em equaes que apresentem solues analticas; entretanto sempre possvel, atravs de uma escolha inconveniente, complicar. Em qualquer dos casos outra possibilidade seria lanar mo de equaes gerais de conservao, facilmente encontrveis na literatura, que seriam devidamente simplificadas, com base em argumentos fsicos, para retratar uma dada situao. O processo de construo da equao geral, vlida para o sistema triortogonal, se apresenta a seguir. Considere-se, vide Figura 13, um volume de controle esttico, na forma de um paraleleppedo, de faces paralelas aos planos coordenados e apresentando arestas de comprimento x, y e z. Um meio contnuo atravessa este volume de controle em direo oblqua ao mesmo, de modo que todas suas faces esto sujeitas a esforos, a serem descritos por meio do Tensor de Esforos, ij , Figura 14. Este tensor resulta da decomposio, nas trs direes coordenadas, do esforo que atua sobre uma dada face do volume de controle. Por conveno o primeiro sub-ndice i representa a direo da superfcie de atuao do esforo enquanto o segundo sub-ndice j representa a direo do esforo. Por exemplo zy indica uma tenso de cizalhamento que atua na direo OY, sobre uma superfcie perpendicular ao eixo coordenado OZ;

yy representa um esforo de compresso/trao de direo OY, aplicado sobre superfcie perpendicular ao eixo coordenado OY. Na realidade o tensor de Esforos simtrico, de modo que ij = ji e ento nem todas as nove componentes do tensor so independentes. A ttulo de exemplo as foras atuantes na direo coordenada OY seriam: 1 convectivas, na forma Fy = Q.Vy, sendo que a vazo deve ser calculada sobre as seis faces do VC; 2- difusivas, ou esforos computados por meio das componentes zy , xy e yy do tensor, tambm com contribuies em todas as seis faces do VC; a

17

componente OY devida presso, Py, desde que praxe considerar (subtrair) presso em separado das componentes compressivas do tensor de esforos; a componente OY do peso do volume de controle. Deste modo os termos do Balano de Conservao de QM seriam: a) Termo em acumulao de quantidade de movimento no VC, direo OY:

dt

d { x.y.z . .Vy} x.y.z.

dt

Vd y

Figura 13: Volume de controle esttico empregado para balano de conservao de QM. b) Termos em contribuio ao acmulo de quantidade de movimento no interior do VC, por meio de conveco; este deve ser calculado levando-se em considerao as seis faces do VC e, matematicamente, seriam equivalentes a Fy = Q.Vy . Uma das contribuies compreenderia { y z.Vx}.Vy |x=x - { y z.Vx}.Vy |x=x+x o que engloba o efeito do fluxo de matria que atravessa as duas faces do VC que so perpendiculares ao eixo coordenado OX. Outras, de significado anlogo seriam { y x.Vz}.Vy |z=z -{ y x.Vz}.Vy |z=z+z e { x z.Vy}.Vy |y=y - { x z.Vy}.Vy |y=y+y c) termos difusivos, relativos s componentes zy , xy e yy , por exemplo

zzzzyzzzy yxyx +== |..|.. o qual representa esforos de cizalhamento atuantes sobre as faces do VC perpendiculares direo coordenada OZ. Com interpretao semelhante, xxxxyxxxy yzyz +== |..|.. e yyyyyyyyy |.z.x|.z.x +== . d) as contribuies devidas presso, com atuao sobre as faces do VC perpendiculares ao eixo coordenado OY, yyyyyyy |P.z.x|P.z.x +== .

e) a fora peso, resolvida na direo OY, isto x. Y. z. .gy.

18

Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por x.y.z, e tomando o limite quando as dimenses do Vc se reduzem a zero se encontra

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyzyyxyyzyyyxyy gzyxVVzVVyVVxyP

t

V

+

+

+

+

+

=

}{}{

Este procedimento pode ser repetido, para as outras direes e em outros sistemas de coordenadas. A Tabela II apresenta um conjunto de equaes de conservao de QM, vlidas para o sistema triortogonal: (A), (B) e (C) representam a forma mais geral; (C), (D) e (E) o caso particular para o qual e so constantes, isto fluido Newtoniano e imcompressvel; as trs ltimas so tambm conhecidas como equaes de Navier-Stokes. As equaes correspondentes aos sistemas cilindrco e esfrico esto apresentados nas Tabelas III e IV, respectivamente. As frmulas de clculo do tensor de esforo, necessrias quando a forma geral precisa se empregada, esto expostas na Tabela VI. Finalmente a equao de continuidade nos trs sistemas, na Tabela VII.

Figura 14: orientao relativa de alguns dos componentes do tensor de esforos. Exemplo: Considere o fluxo de um fluido incompressvel, Newtoniano, em regime permanente, laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como esquematizado na Figura 11. Considere a mesma escolha de sistema de coordenadas realizada anteriormente. A nica equao relevante do Balano de Conservao de QM aquela referente ao eixo coordenado; particularmente aquela para a qual se considera e constantes. Ento analisando termo a termo a equao E, Tabela II (NAVIER STOKES):

t

Vy

nulo; regime permanente;

x

VV

yx

nulo; Vx nulo, fluxo unidirecional; Vy independe de x;

y

VV

yy

nulo; fluxo completamemnte desenvolvido;

z

VV

yz

nulo; Vz nulo, fluxo unidirecional;

y

p

,a se aproximar como

00

==

L

pp

y

p

y

p L ;

19

2

y2

x

V

nulo; Vy independe de x;

2

y2

y

V

nulo; fluxo completamente desenvolvido, Vy no depende de y;

2

y2

z

V

contm a informao desejada, ao permitir determinar a variao de velocidade

ao longo da altura da ranhura, de uma placa a outra. gy nulo; devido a orientao da ranhura em relao ao campo gravitacional. Coletando os termos resulta a equao diferencial que descreve o fluxo:

2

200

z

V

L

pp yL

+

=

Exemplo: Considere o fluxo em regime laminar, permanente, de um fluido Newtoniano e incompressvel, no interior da ranhura, tal como esquematizado na Figura 15. Observe-se que a placa inferior esttica enquanto a placa superior se move velocidade constante Vs. Assumindo vetor gravidade perpendicular ranhura duas possveis causas se destacam com causa do movimento: o arraste que a placa superior em movimento exerce sobre o fluido; a diferena de presso entre entrada e sada da ranhura. fcil notar que, para este sistema e para esta escolha de eixos coordenados, a equao diferencial que descreve o fluxo a mesma do exemplo anterior :

2

200

z

V

L

pp yL

+

=

Esta equao deve ser integrada com as condioes de contorno: C. C. 1: z = 0 ( placa inferior ); Vy = 0, devido condio de no deslizamento. C. C. 2: z = 2 (placa superior ); Vy = Vs; devido condio de no deslizamento.

Figura 15: Fluxo em ranhura definida por placa fixa e placa mvel.

20

Tabela II: Equaes de conservao de quantidade de movimento, sistema tri-ortogonal.

21

Tabela III: Equaes de conservao de quantidade de movimento, sistema cilndrico.

22

Tabela IV: Equaes de conservao de quantidade de movimento, sistema esfrico.

23

Tabela V: Equaes para clculos dos tensores.

24

Tabela VI: Equaes de continuidade nos vrios sistemas.

25

Deste modo o perfil de velocidades traado na Figura 15 apenas esquemtico. Este perfil pode assumir uma das vrias formas mostradas na Figura 16, a depender da influncia relativa entre arraste e queda de presso. Observe-se ainda que a funo Vy (z) no necessariamente apresenta um mximo matemtico na posio z = 2. De fato em z = 2 a fora de interao entre fluido e superfcie vale:

{ }| 2 == zyyz dzdV

wL

isto a fora de arraste seria nula se houvesse um mximo matemtico.

Figura 16: Possveis perfis de velocidade para o caso do fluxo em ranhura delimitada por placa mvel e placa esttica. Exemplo: A Figura 17 apresenta um esquema do molde de lingotamento contnuo.

Figura 17 : Corte longitudinal em molde de lingotamento contnuo.

26

Utiliza-se uma escria lquida provinda da fuso de um p, denominado p fluxante e composto de vrios minerais em propores definidas, para garantir a lubrificao entre a casca de ao solidificado e a parede oscilante do molde. Outra funo do p (ou da escria formada a partir do mesmo) a de servir como meio de trocas trmicas pois a casca deve exibir espessura pr-determinada na sada do molde, de modo a resistir presso ferrosttica. Na literatura podem ser encontrados vrios critrios operacionais relacionados ao consumo especfico de p fluxante mas, em geral, deve-se assegurar um consumo mnimo para se manter a estabilidade da operao. Calcule o consumo terico de p fluxante, considerando : V = 1 m/s; escria = 3000 kg/m3 ; escria = 0,3 Pa.s ; = 0,1 mm. Equao de Hagen Poiseuille: Considere o fluxo unidirecional, laminar e permanente, de fluido Newtoniano e incompressvel, no interior de tubo de seo reta circular, vide Figuras 18 e 19:

Figura 18: Perfil de velocidades esquemtico, no caso de fluxo em um tubo. O perfil de velocidades traado se baseia nas suposies: condio de no deslizamento do fluido, junto s paredes do tubo, estticas; simetria do fluxo em relao ao eixo (geomtrico) de simetria do tubo. A escolha de um sistema de coordenadas cilindrico disposto tal como indicado na Figura 19 eixo OZ do sistema de coordenadas coincidente com eixo de simetria do tubo -- permite escrever: Vr = 0; fluxo unidirecional. V = 0; fluxo unidirecional. Vz = Vz(r,z); pois devido condio de simetria Vz independe de . Informao adicional pode ser conseguida atravs da equao da continuidade, pois:

0t

= , fluido incompressvel.

( ) 0rVrr

1r =

, desde que Vr nulo.

( ) 0Vr

1 =

, pois V nulo.

o que implica isto em 0z

Vr,,t

z =

. Esta restrio matemtica implica que o perfil de

velocidades se repete ao longo do tubo, o que caracteriza a condio de fluxo completamente desenvolvido e, logo, vz = vz(r).

27

Figura 19: Orientao relativa do tubo e sistema de coordenadas. Portanto, considerando termo a termo a equao de quantidade de movimento (Q.M.), componente oz:

0t

Vz =

; regime permanente.

0r

VV zr =

; Vr nulo, fluxo unidirecional.

0V

r

V z =

; V nulo, fluxo unidirecional e vz independe de , condio de simetria.

0z

VV zz =

; fluxo completamente desenvolvido.

z

p

; pode ser aproximado por

00

=

L

pp

z

p L .

r

Vr

rr

1 z contm a informao relevante, como a velocidade varia ao longo do

raio.

0V

r

12

z2

2=

; condio de simetria.

0z

V2

z2

=

; fluxo completamente desenvolvido.

gg z =

resulta zz0L g

r

Vr

rr

1

L

pp0 +

+

= , a equao diferencial que descreve o fluxo.

28

As condies de contorno pertinentes so: C.C.1: r = R v z = 0 parede do tubo, condio de no deslizamento.

C.C.2: r = 0 0r

Vz =

ponto de mximo, ponto de simetria.

De modo que se encontra, aps separao de variveis, intergrao e aplicao das

CCs : ( )22zL0z rRgLpp

4

1V

+

=

A vazo no interior do tubo pode ser encontrada em se considerando uma seo infinitesimal de fluxo, de espessura dr e situada na posio genrica r, Figura 20. r Figura 20 Seo infinitesimal de fluxo para o clculo de vazo em um tubo.

Logo dr.r2.VdQ zRr

0r

Rr

0r

= =

=

=

=

pode ser avaliada como

8

4

0R

gL

ppQ z

L

+

=

a qual representa a equao de Hagen-Poiseuille. Por outro lado, a fora de cisalhamento em uma posio genrica r=r pode ser estimada como:

rLdr

dVzzr 2}{ =

( ) rLrgL

ppz

L

224

1 0

+

e portanto o esforo sob as paredes do tubo vale ( ) 2zL0 RLgppF += . Para que o fluxo se mantenha em regime permanente se faz necessrio que as paredes do tubo se oponham ao movimento e que a fora por elas exercida sobre o fluido seja igual s fora motrizes. Exemplo: Gases so injetados em mate(soluo Cu-S lquida), atravs de uma lana de corpo duplo tal como a mostrada na Figura 21. O gs CH4 injetado no espao anular entre os dois tubos tem a funo de refrigerante, o que aumenta a vida til da lana e do refratrio. guisa de simplificao considera-se regime permanente, viscosidade constante e massa especfica do gs praticamente invariante.

Vz dr r

29

Sejam: L, o comprimento da lana; g , a massa especfica do gs refrigerante; , a viscosidade do gs refrigerante ; g, a acelerao da gravidade; R1 , o raio externo do tubo interior; R2 , o raio interno do tubo exterior; P0 , a presso de admisso do gs; PL , a presso no bico da lana.

Figura 21: Esquema de lana de corpo duplo Escolhendo sistema de coordenadas cilndricas, tal que o eixo oz coincida com o eixo de simetria, e assumindo fluxo unidirecional e simtrico em relao ao eixo oz resulta:

zLz g

L

PP

r

vr

rr +

= 010

Note-se que, em geral, a componente gravitacional da fora motriz pode ser desprezada em comparao com a diferena de presso, no caso de fluxo de gases. Aps esta simplificao a equao pode ser integrada com as condies de contorno: C.C.1 r = R1 Vz = 0 ; condio de no deslizamento C.C.2 r = R2 Vz = 0 ; condio de no deslizamento

Observe que no existe um mximo de velocidade em 2

21 RRr+= ; a superfcie de

atrito sobre o tubo interior,2 R1L, inferior superfcie de atrito sobre o tubo exterior, 2 R2L. Existe, naturalmente, um ponto de extremo, porm com posio a determinar. Exemplo : Gases (75% N2 e 25% de Cl2 ) so borbulhados atravs de um tubo em Al lquido, Figura 22, para fins de refino. Vazes muito baixas prolongaro excessivamente o tempo de tratamento, com implicaes em termos de perdas trmicas, consumo de energia. Vazes altas impediro que todo o cloro, gs reativo e nocivo sade, seja reagido com as impurezas do alumnio. Suponha ser vlida a equao de Hagen-Poiseuille e estime a presso de entrada na lana, considerando: Pa , presso sobre o banho ,1,03 x 10

5 [Pa ] ; Q , vazo pretendida de gases, 6,6 x 10-5

[m3 / s] ; , viscosidade mdia dos gases, 4 x 10-5 [Pa.s] ; R, raio interno do tubo, 1 x 10-3 [m] ; L, comprimento da lana , 0,9 [m] ; Al , massa especfica do alumnio, 2500 [kg / cm3 ] .

30

Figura 22: Esquema para injeo de gs em alumnio lquido. A equao pertinente :

88

44 R

L

PPRg

L

PPQ Lsz

Ls

=

pois, em geral, o termo zg desprezvel no caso de fluxo de gases. Tal assertiva pode ser posta prova aps a determinao da queda de presso necessria para

garantir o fluxo. Para todos os efeitos o gs pode ser tomado como ideal, TR

MP

= .

Observe-se ento que todos os termos da equao de clculo de vazo tm valor conhecido, exceo feita de Po presso na entrada da lana e PL, a presso no bico da lana. Esta ltima pode ser estimada assumindo ser vlida a expresso:

PL = Pa + Al . g . L PL = 1,03 x 10

5 + 2500 x 9,81 x 0,9 [Pa] o que permite inferir o valor de Po . Exemplo: Faa uma adaptao da equao de Hagen-Poiseuille para o transporte de gases, considerando que a fora da gravidade pode ser desprezada face s foras devidas presso e que o gs um fluido compressvel. Suponha gs ideal, regime permanente e vazo mssica constante. Compare esta soluo com a anterior. Exemplo: O esquema da Figura 23 ilustra o princpio de um viscosmetro de capilar. Basicamente se mede a quantidade de fluido que atravessa o capilar ao longo do experimento. Como primeira aproximao se pode assumir fluxo unidirecional (no capilar), laminar e permanente, fluido incompressvel e Newtoniano, e, alm do mais, que a fora motriz seja a gravidade. Neste caso a equao de Hagen Poiseuille se aplica e, se, num dado experimento se observou: L , 0,3 [m] ; R , 0,0125 [m] ; L = 1260 [kg/m3] ; 2,4 g de lquido coletado por minuto, ento:

8

40 Rg

L

PPQ z

L

+

=

31

8

0125,01416,38,91260

81260

1

60

104,2 443 === R

gQ

o que permite calcular a viscosidade.

Figura 23: Viscosmetro de capilar