382 Apostila Pesquisa Operacional Parte 1

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<ul><li><p>Pesquisa Operacional </p><p>Engenharia de ProduoDEPROT / UFRGS </p><p>Profs. Flavio Fogliatto, Ph.D.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 2</p><p>EmentaINTRODUO1. Programao Matemtica2. Reviso de lgebra Linear 3. Uso de pacotes computacionais na soluo de problemas </p><p>PROGRAMAO LINEAR1. Introduo Programao Linear 2. O algoritmo Simplex</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 3</p><p>Ementa</p><p>MODELOS DE REDES1. O problema do transporte2. O problema da designao3. O problema do transbordo4. Modelos de Redes</p><p>TPICOS AVANADOS1. Programao Inteira</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 4</p><p>Referncias Bibliogrficas</p><p>LIVRO-TEXTO: Operations Research, Applications and Algorithms, de Wayne L. Winston, 3a. Ed., Duxburry Press. </p><p>Adicionais (no mesmo nvel):1. Pesquisa Operacional, de Harvey Wagner, 2a. Ed., Prentice-Hall </p><p>do Brasil.2. Pesquisa Operacional, de Pierre J. Ehrlich, Ed. Atlas.</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 5</p><p>INTRODUO PROGRAMAO LINEAR</p><p> Programao Linear uma ferramenta para soluo de problemas de otimizao.</p><p> Em 1947, George Dantzig desenvolveu o algoritmo SIMPLEX, extremamente eficiente na soluo de problemas de PL.</p><p> A partir de ento, PL passou a ser utilizada em diversos segmentos da atividade produtiva:</p><p>BancosInstituies Financeiras</p><p>Empresas de Transportes, etc.</p><p> Vamos introduzir a PL a partir de um exemplo.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 6</p><p>EXEMPLO: O caso Politoy</p><p>A Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira.</p><p>Cada soldado vendido por $27 e utiliza $10 de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas horas de acabamento e 1 hora de carpintaria so demandadas para produo de um soldado.</p><p>Cada trem vendido por $21 e utiliza $9 de matria-prima e $10 de mo-de-obra. Uma hora de acabamento e 1 h de carpintaria so demandadas para produo de um trem.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 7</p><p>EXEMPLO: O caso Politoy</p><p>A Politoy no tem problemas no fornecimento de matria-primas, mas s pode contar com 100 h de acabamento e 80 h de carpintaria.</p><p>A demanda semanal de trens ilimitada, mas no mximo 40 soldados so comprados a cada semana.</p><p>A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais.</p><p>Formule um modelo matemtico a ser utilizado nessa otimizao. </p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 8</p><p>Ao desenvolver um modelo para a Politoy, investigaremos caractersticas comuns a todos os problemas de PL</p><p> VARIVEIS DE DECISO</p><p>O primeiro passo na formulao de um problema de PL a definio das variveis de deciso relevantes. </p><p>Estas variveis devem descrever completamente as decises a serem tomadas.</p><p>A Politoy deve decidir sobre:</p><p>x1 = nm. de soldados produzidos a cada semanax2 = nm. de trens produzidos a cada semana</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 9</p><p> FUNO OBJETIVO</p><p>Em qualquer problema de PL, o analista sempre vai desejar maximizar (ex., lucro) ou minimizar (ex., custo) alguma funo das variveis de deciso.A funo a ser maximizada (ou minimizada) a funo objetivo.A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Ou seja:ganho semanal = ganho semanal oriundo da venda de soldados +</p><p>ganho semanal oriundo da venda de trens.= ($/soldado).(soldados/sem) + ($/trem).(trem/sem)= 27x1 + 21x2</p><p>Tambm devemos considerar:custo semanal com matria-prima: 10x1 + 9x2custo semanal com mo-de-obra: 14x1 + 10x2</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 10</p><p> FUNO OBJETIVO</p><p>O que a Politoy deseja maximizar :</p><p>(27x1 + 21x2) - (10x1 + 9x2) - (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2</p><p>Usaremos a varivel z para designar o valor assumido pela funoobjetivo. </p><p>Assim:Max z = 3x1 + 2x2</p><p>Os nmeros 3 e 2 so chamados coeficientes da funo objetivo. Elesindicam a contribuio de cada varivel nos ganhos da empresa.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 11</p><p> RESTRIES</p><p>A medida que x1 e x2 crescem, o valor da funo objetivo aumenta.</p><p>Mas x1 e x2 no podem crescer indefinidamente. Trs restrieslimitam seu crescimento:</p><p> Restrio 1 - 100 h de acabamento / semana. Restrio 2 - 80 h de carpintaria / semana Restrio 3 - no mais que 40 soldados / semana, devido a limitaes</p><p>na prpria demanda.</p><p>Restries 1 3 devem ser expressas em termos das variveis dedeciso x1 e x2.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 12</p><p> RESTRIES</p><p>Restrio 1:</p><p>(total hs acabamento/sem.) = (hs.acab./sold.).(sold. produzidos/sem.)+ (hs.acab./trem).(trens produzidos/sem.)</p><p>(total hs acabamento/sem.) = 2(x1) + 1(x2) = 2x1 + x2</p><p>A restrio 1 ser dada por:</p><p>2x1 + x2 100Observe que todos os termos de uma restrio devem ter a mesmaunidade de medida.Os valores 2 e 1 na restrio so denominados coeficientes tecnolgicos. </p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 13</p><p>Restrio 2 (determinada de maneira similar):</p><p>(total hs carpintaria/sem.) = (hs.carp./sold.).(sold. produzidos/sem.)+ (hs.carp./trem).(trens produzidos/sem.)</p><p>(total hs carpintaria/sem.) = 1(x1) + 1(x2) = x1 + x2</p><p>A restrio 2 ser dada por: x1 + x2 80</p><p>Restrio 3:</p><p>A restrio 3 definida pela limitao do nmero de soldados produ-zidos por semana (devido a limitaes na demanda):</p><p>x1 40</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 14</p><p> RESTRIES DE SINAL</p><p>Identificam os tipos de valores que as variveis podem assumir. </p><p>Podem ser de trs tipos: 0 0 irrestritaCombinando a funo objetivo e as restries, chega-se a formulaomatemtica do problema da Politoy:</p><p>max z = 3x1 + 2x2</p><p>Sujeito a:2x1 + x2 100</p><p>x1 + x2 80x1 40</p><p>x1, x2 0</p><p>Restrio de horas de acabamento</p><p>Restrio de horas de carpintaria</p><p>Restrio de demanda</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 15</p><p>PRTICA 1:</p><p>Um fazendeiro deseja determinar quantos acres de milho e trigo ele deve plantar esse ano. Um acre de trigo rende 25 sacas e requer 10 horas de trabalho/semana. A saca vale $4 no mercado.Um acre de milho rende 10 sacas e requer 4 horas de trabalho/semana. A saca vale $3 no mercado. O governo garante a compra de pelo menos 30 sacas de milho/ano.O fazendeiro dispe de 7 acres de terra e pode trabalhar 40 horas/semana.</p><p>Formule o problema tal que os ganhos do fazendeiro sejam maximizados.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 16</p><p>Soluo - Prtica 1</p><p> Variveis de Deciso: x1 = no de acres de milho a serem plantados x2 = no de acres de trigo a serem plantados</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 17</p><p>ESPAO DE SOLUES E SOLUO TIMA</p><p> O espao de solues formado por todos os pontos quesatisfazem as restries do problema.</p><p> A soluo tima em um problema de maximizao corresponde ao ponto no espao de solues onde o valor dafuno objetivo mximo.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 18</p><p>Representao grfica</p><p> Representao da restrio 2x1 + 3x2 = 6:</p><p>(0,0) 2 3 4</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2x1 + 3x2 = 62x1 + 3x2 6</p><p>2x1 + 3x2 6</p><p>x1</p><p>x2</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 19</p><p>Representao grfica do problema Politoy</p><p>20</p><p>20</p><p>40</p><p>40</p><p>60</p><p>60</p><p>80</p><p>80</p><p>100</p><p>100</p><p>(2)</p><p>(4)</p><p>(3)</p><p>O espao de solues encontra-sehachurado.</p><p>(2) - (4) denotam as restries.</p><p>As restries de sinal restringem o problemaao primeiro quadrante do espao bi-dimens.</p><p>Soluo tima:(1) Desenhe o vetor z.</p><p>z</p><p>(2) Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas so as linhas de isocusto.</p><p>Ponto timo: (20,60)</p><p>(3) Calcule o valor de z no ponto timo.</p><p>z = 3(20) + 2(60) = 180</p><p>x1</p><p>x2</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 20</p><p>Restries crticas (binding) e no-crticas</p><p>Uma restrio crtica (binding) se, substituindo os valores correspondentes ao ponto timo na restrio, a igualdade de verifica.</p><p>Ex.: restries (2) e (3) no grfico anterior.</p><p>Todas as demais restries so consideradas no-crticas.</p><p>Ex.: restrio (4) e restries de sinal no grfico anterior. </p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 21</p><p>Solucione graficamente o problema e identifique o tipo de conjuntode solues resultante.</p><p>Um empresa de eletrodomsticos planeja veicular seus produtos emcomerciais de TV durante a novela das 8 e os jogos da seleo na Copa.</p><p>Comerciais na novela so vistos por 7 milhes de mulheres e 2 milhesde homens e custam $50000.Comerciais nos jogos so vistos por 2 milhes de mulheres e 12 milhesde homens, e custam $100000.</p><p>Qual a distribuio ideal de comerciais se a empresa deseja que eles sejam vistos por 28 milhes de mulheres e 24 milhes de homens a um menorcusto possvel?</p><p>Outro exemplo:</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 22</p><p>Variveis de deciso:x1 = num. de comerciais veiculados durante a novela.x2 = num. de comerciais veiculados durante os jogos</p><p>Funo objetivo:Min z = 50x1 + 100x2</p><p>Restries: Pblico feminino: 7x1 + 2x2 28 Pblico masculino: 2x1 + 12x2 24 x1, x2 0</p><p>Soluo tima: (3.6, 1.4) com z = $320. A soluo nica.</p><p>A soluo grfica ...</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 23</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>6</p><p>6</p><p>8</p><p>8</p><p>10</p><p>10z</p><p>Ponto timo: (3.6, 1.4)</p><p>x1</p><p>x2 Ponto timo no inteiro: Testar pontos (4,1), (3,2), (4,2), checando restries e z. Usar programao inteira.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 24</p><p>CASOS ESPECIAIS:</p><p>(1) Problemas com solues alternativas (vrias solues sosimultaneamente timas).</p><p>Nestes casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espao desolues viveis, intersecciona com uma linha inteira (e no somente um ponto) desse conjunto.</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 25</p><p>(2) Problemas com soluo tendendo ao infinito.</p><p>Nestes casos, as restries formam um espao aberto de soluesviveis. </p><p>Se a funo objetivo for do tipomax, z e a formulaodo problema pode estar incorreta.</p><p>Se for do tipo Min, uma ou maissolues sero encontradas.</p><p>CASOS ESPECIAIS:</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 26</p><p>(3) Problemas sem soluo</p><p>Nestes casos, as restries no formam nenhum espao desolues viveis. </p><p>CASOS ESPECIAIS:</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 27</p><p>Resolva graficamente o problema formulado na Prtica 1</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 28</p><p>Outro exerccio Um fabricante deseja maximizar a receita. A tabela mostra </p><p>as composies das ligas, seus preos e as limitaes na disponibilidade de matria-prima:</p><p> Formule o problema e encontre a soluo tima graficamente.</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 29</p><p>Problemas Tpicos de Formulao</p><p> Escolha da dieta</p><p> Scheduling de pessoal</p><p> Deciso Financeira</p><p> Problema da Mistura</p><p> Programao da Produo</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 30</p><p>FORMULAO 1: Escolha de dieta</p><p>Quatro tipos de alimentos esto disponveis na elaborao da merenda de um grupo de crianas: biscoito de chocolate, sorvete, refrigerante e torta de queijo. A composio desses alimentos e seus preos so:</p><p>As crianas devem ingerir pelo menos 500 calorias, 6 g de chocolate, 10 g de acar, e 8 g de gordura.</p><p>Formule o problema tal que o custo seja minimizado.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 31</p><p> Variveis de deciso:</p><p>x1 = pores de biscoitos;x2 = pores de sorvete;x3 = pores de refrigerante;x4 = pores de torta de queijo;</p><p> Funo objetivo:</p><p>(custo total) = (custo dos biscoitos) + (custo do sorvete) + (custo dorefrigerante) + (custo da torta de queijo)</p><p>Min z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 + 80 x4</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 32</p><p> Restries:</p><p>(1) Ingesto mnima de 500 calorias;(2) Ingesto mnima de 6 g de chocolate;(3) Ingesto mnima de 10 g de acar;(4) Ingesto mnima de 8 g de gordura.</p><p>(1) 400 x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 500(2) 3 x1 + 2 x2 3(3) 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 10(4) 2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 8Variveis 0.</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 33</p><p>FORMULAO 2: Otimizao da Fora de Trabalho</p><p>Uma agncia de correios necessita de um nmero diferente de fun-cionrios, de acordo com o dia da semana:</p><p>Por exigncia sindical, cada trabalhador trabalha cinco dias con-secutivos e descansa dois. </p><p>Formule o problema tal que o nmero de empregados contratadosseja o mnimo necessrio para atender s necessidades de mo-de-obra.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 34</p><p> Variveis de deciso:</p><p>xi = nm. de empregados trabalhando no dia i;</p><p> Funo objetivo:</p><p>Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7</p><p> Restries:</p><p>x1 17x2 13</p><p>x3 15x4 19</p><p>x5 14x6 16</p><p>x7 11xi 0</p><p>Qual o problemacom essa formulao?</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 35</p><p>PROBLEMAS</p><p>(1) A funo-objetivo no o nmero de funcionrios, como seimagina. Cada funcionrio est sendo computado 5 vezes.</p><p>Por ex.: um funcionrio que comea a trabalhar na segunda,trabalha de segunda a sexta e est includo nas variveisx1, x2, x3, x4, x5. </p><p>(2) A inter-relao entre as variveis x1, x2, ..., x5 no est capturadana formulao. </p><p>Por ex.: alguns funcionrios que trabalham na segunda estarotrabalhando na tera. Ou seja x1 e x2 esto inter-relacionadasmas isso no aparece na formulao. </p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 36</p><p>FORMULAO CORRETA</p><p> Variveis de deciso:</p><p>xi = nm. de empregados comeando a trabalhar no dia i;</p><p>Cada empregado comea a trabalhar em um nico dia, no sendo assimcontados mais de uma vez.</p><p> Funo objetivo:</p><p>Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7</p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 37</p><p> 17 funcionrios devem estar trabalhando na segunda.</p><p>Quem estar trabalhando segunda?</p><p>xi = trabalham nos dias i, i+1, i+2, i+3, i+4;</p><p>i = 1 (segunda). Assim, estaro trabalhando na segunda os empregados x1 + x4 + x5 + x6 + x7.</p><p>Assim, a restrio referente ao nmero de empregados trabalhando nasegunda ser:</p><p>x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17Os demais dias sero formulados de maneira similar.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 38</p><p> Restries:</p><p>x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 15x1 + x2 + x3 + x4 + x7 19x1 + x2 + x3 + x4 + x5 14x2 + x3 + x4 + x5 + x6 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 11</p><p>xi 0A soluo tima x1 = 4/3; x2 = 10/3; x3 = 2; x4 = 22/3x5 = 0; x6 = 10/3; x7 = 5. xi fracionrio no faz sentido. Arredondando-se chegamos a uma soluo que, quando checada via otimizao inteira, resulta completamente sub-tima. Para esses problemas precisamos de programao inteira.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 39</p><p>FORMULAO: Deciso Financeira</p><p> O conceito de valor lquido presente:</p><p>Considere que $1 investido hoje valer mais de $1 daqui h um ano. O novo valor depender da taxa anual de juros, r.Assim:</p><p>$1 hoje = $(1 + r)k em k anosou</p><p>$ 1 recebidos em k anos = $ (1 + r)-k hoje$ x recebidos em k anos = $x / (1 + r)k hoje</p><p>O valor lquido presente (VLP) de um investimento determinado descontando o fluxo de caixa de um investimento at o tempo atual, ou tempo 0. </p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 40</p><p>EXEMPLO:</p><p>Investim. 1 = requer um investimento de $10,000 no tempo 0 e de $14,000 em 2 anos e tem um retorno de $24,000 em 1 ano.</p><p>Investim. 2 = requer um investimento de $6,000 no tempo 0 e de $1,000 em 2 anos e tem um retorno de $8,000 em 1 ano.</p><p>Qual o melhor investimento (r = 0.2)?</p><p>VLP (Inv. 1) = -10,000 + (24,000/1+0.2) - [14,000/(1+0.2)2]= $277.78</p><p>VLP (Inv. 2) = -6,000 + (8,000/1+0.2) - [1,000/(1+0.2)2]= - $27.78</p><p>O investimento 1 bem melhor! </p></li><li><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 41</p><p>EXEMPLO DE FORMULAO:Formulao 3</p><p>Uma empresa est considerando 5 oportunidades de investimento, com caractersticas dadas a seguir:</p><p>A empresa tem $40 disponveis para investimento no tempo t = 0 e estima dispor de $20 no tempo t = 1. Capital no investido em t=0 no estar disponvel em t = 1. Fraes de cada investimento podem ser compradas. Formule o problema tal que o VLP da companhia seja maximizado.</p><p>Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 42</p><p> Varivel de deciso:</p><p>A empresa deseja determinar qual frao de cada investimento deve ser comprada:</p><p>xi = frao do investimento i comprada pela empresa.</p><p> Funo objetiv...</p></li></ul>