Apostila Pesquisa Operacional Parte 1 2

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  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    TEORIA

    DASDAS

    FILAS

    1

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasIntroduo

    Teoria das filas o estudo matemtico daslinhas de espera O primeiro trabalholinhas de espera. O primeiro trabalhoimportante feito neste campo foi realizado

    l h i A K E l E lpelo engenheiro A. K. Erlang. Erlangmodelou a flutuao na demanda dosservios de telefonia e a capacidade dacompanhia telefnica lidar com estademanda.

    2

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasIntroduo

    Linhas de espera so um fenmenocomum Elas ocorrem toda vez que acomum. Elas ocorrem toda vez que ademanda instantnea por um servio

    d id d d t di t Eexcede a capacidade de atendimento. Emnegcios, freqentemente tem que setomar decises sobre o nvel de servio aoferecer. Oferecer um servio de nvelexcepcionalmente alto muito custoso.

    3

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasIntroduo

    Por outro lado, no oferecer serviossuficientemente eficazes provoca longassuficientemente eficazes, provoca longasfilas de espera e perdas financeiras. Assim

    t d d i i t d da meta do administrador deve serencontrar o equilbrio entre a demanda e aoferta de um servio.

    4

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de aplicao

    A Teoria das Filas uma das maisA Teoria das Filas uma das maisantigas tcnicas da cincia deadministrao Sua aplicao data doadministrao. Sua aplicao data doincio do sculo XX. A seguir, alguns

    d li casos de aplicao:

    Servio de embarque de passageiros emaeroportos (1979)Alocao de leitos em albergues pblicos(1981)

    5

    ( )

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de aplicao

    Anlise de falta de combustveis (1974)Projeto de um sistema de denncias porProjeto de um sistema de denncias por

    telefone do Centro de Abusos Contra aC i d E t d d N I (1979)Criana do Estado de Nova Iorque (1979)Desenvolvimento de unidades de serviode emergncia (1975)Anlise do tempo de viagem de rdio-patrulhas da cidade de Nova Iorque (1987)

    6

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasConsiderao sobre estado estvel

    importante manter em mente que importante manter em mente queem todos os casos aqui tratados, assume-se que o sistema opera em estado estvelse que o sistema opera em estado estvel.

    D f t d i i d i t dDe fato, a grande maioria dos sistemas deespera opera em estado estvel ouprximo destas condies. Estasimplificao muito til pois a anlise detransientes muito difcil e nos casosmais complexos pode ser

    7

    p pmatematicamente intratvel.

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasO Sistema de Fila

    A figura abaixo detalha um sistemaA figura abaixo detalha um sistemade fila.

    Entrada Sada

    Fila (clientes)

    Unidade de Atendimento

    8

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasDefinies:Cliente - unidade de chegada que requerCliente unidade de chegada que requeratendimento. Ex.: pessoas, peas,mquinas etcmquinas, etc.

    Fila (linha de espera) nmero de clientesFila (linha de espera) - nmero de clientesesperando atendimento. No inclui o

    li t t d t didcliente que est sendo atendido.

    C l d At di tCanal de Atendimento - processo ousistema que realiza o atendimento do

    9cliente. Pode ser canal nico ou mltiplo.

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de Sistemas de Filas

    Situao Processo de Entrada Processo de SadaProcesso de Sada

    Banco Usurios chegando ao banco Banco Usurios chegando ao banco Usurio atendido pelo caixa

    Atendimento em pizzaria Pedido parat d i Pi i i ientrega de pizza Pizzaria envia pizzas

    para o cliente10

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de Sistemas de Filas

    Banco de Sangue Chegada de bolsacom sangue Bolsa usada por pacientecom sangue Bolsa usada por paciente

    Estaleiro de Navios NavioEstaleiro de Navios Navionecessitando reparo enviado para o

    t l i N i d ltestaleiro Navio reparado volta o para omar

    11

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das FilasParmetros de operao das filas

    Taxa mdia de chegada - taxa Taxa mdia de chegada taxa(clientes / unidade de tempo) segundo aqual os clientes chegam para ser

    qual os clientes chegam para seratendidos.

    Taxa mdia de atendimento taxa Taxa mdia de atendimento - taxa(clientes / unidade de tempo) segundo a

    l l d t di t d

    qual um canal de atendimento podeefetuar o atendimento de um cliente.

    F t d tili id d Fator de utilizao para uma unidadede atendimento proporo do tempo em

    12que os atendentes esto ocupados.

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das Filasn Nmero de clientes no sistemac Nmero mximo de clientespermitidos em um sistema de fila comcomprimento finitos Nmero de atendentes ou servidores.

    13

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das Filas

    Po Probabilidade de que nenhum clienteqesteja no sistema.Pn Probabilidade de que exatamente nPn Probabilidade de que exatamente nclientes estejam no sistemaL Nmero mdio de clientes no sistemaL Nmero mdio de clientes no sistema- nmero de clientes aguardando na filamais os que esto sendo atendidosmais os que esto sendo atendidosLq Nmero mdio de clientes na fila -

    d li t dnmero de clientes que aguardamatendimento.

    14

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das Filas

    W Tempo mdio do cliente no sistemaW Tempo mdio do cliente no sistema -tempo mdio gasto pelo cliente na fila

    d t did i tesperando para ser atendido mais o tempode atendimento.

    Wq Tempo mdio de um cliente na Fila -tempo mdio do cliente na fila esperandopara ser atendido.p

    15

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Teoria das FilasTeoria das Filas

    Ln Nmero mdio de clientes em fila noLn Nmero mdio de clientes em fila novazia - nmero mdio de clientes

    d fil l i desperando em filas excluindo-se ostempos em que a fila est vazia.

    Wn Tempo mdio de espera para fila novazia tempo que um cliente aguarda emfila se ele tiver de esperar.p

    16

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasTamanho da populao (finita ou infinita)

    Infinita

    Se a probabilidade de um cliente chegarno significativamente alterada quandoum ou mais membros da populao estop p sendo atendidos a populao ditainfinita. A maioria dos sistemas de filastem populao infinita. Exemplo: pessoasque visitam Disneylndia.

    17

    que visitam Disneylndia.

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasFinita

    Uma populao considerada finita Se ab bilid d d li h probabilidade de um cliente chegar

    alterada quando um ou mais membros dapopulao esto sendo atendidos.Exemplo: pessoas de bom gosto quep p g qcompram CDs de Tiririca.

    18

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasPadro de chegada da populao ( comh i d t i d l t i )horrio pr-determinado ou aleatrio).

    P d i dPr-determinado

    No h necessidade de se criar um modeloanaltico. Se o padro aleatrio ento pnecessrio especificar o tipo de distribuiode probabilidade dos tempos entre chegadasp p gao sistema consecutivas.

    19

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasPadro de chegada da populao ( comh i d t i d l t i )horrio pr-determinado ou aleatrio).

    Al iAleatrio necessrio especificar o tipo de distribuiode probabilidade dos tempos entre chegadasao sistema consecutivas.O tipo mais comum de padro de chegada a distribuio de Poisson. Neste caso, as ,chegadas ao sistema ocorremaleatoriamente mas com uma certa mdia

    20

    aleatoriamente, mas com uma certa mdia .

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticas

    T h d fil (fi it i fi it )Tamanho da fila (finito ou infinito)

    A fil i d l i dA fila caracterizada pelo mximo nmero declientes que pode conter. Este nmero podeser considerado finito ou infinito e isto vaidepender das limitaes fsicas do sistemap(espao disponvel). mais fcil trabalharanaliticamente filas de comprimento infinito.p

    21

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasA disciplina da fila

    A disciplina da fila a ordem pela qual osli h i clientes que chegam ao sistema so

    selecionados para serem atendidos.

    Tipos : FCFS, LCFS, SIROp

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  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticas

    FCFS fi t fi t d ( i iFCFS - first come, first served (o primeiroa chegar o primeiro a ser atendido). oi itipo mais comum

    LCFS - last come, first served (o ltimo achegar o primeiro a ser atendido). Ex:g p )uma pilha de pratos esperando para seremlavados. O ltimo prato a ser colocado opprimeiro a ser lavado.

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  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticas

    SIRO i i d dSIRO - service in random order(atendimento em ordem aleatria).

    Exemplo: Um ptio de uma concessionriana qual os carros esperam para seremcomprados. A ordem de compra p paleatria.

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  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasNmero de canais de atendimento( i l lti l )(singular ou mltiplo n)

    O di d dO atendimento pode ser processado pormeio de um nico atendente ou por meiode dois ou mais canais de atendimento.No primeiro caso diz-se que o atendimentop q feito por um canal e no segundo diz-secanal mltiplo.p

    25

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    CaractersticasCaractersticasTeorema

    Para qualquer sistema de filas no quali di ib i iexista uma distribuio em regime

    constante, so vlidas as seguintesrelaes:

    L = .WLq = .Wqq qLn = .Wn

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  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Notao de filasNotao de filasCada Sistema de Filas descrito por 6

    t ti (1 / 2 / 3) (4 / 5 / 6)

    caractersticas: (1 / 2 / 3) : (4 / 5 / 6)

    (1) Ti d d h d(1) Tipo de tempos de chegada(2) Tipo de tempos de antendimento(3) Nmero de canais de atendimento(4) Nmero mximo de usurios no( )

    sistema.(5) Tamanho da populao que usa o( ) p p q

    sistema.(6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO

    27

    (6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Notao de filasNotao de filas(1) Tipo de tempos de chegada (intervalos

    d t d h d i d d t

    de tempo de chegada so indepedentese...)

    M - aleatrios com distribuioexponencial

    D - determinsticosE - aleatrios tendo distribuio de ErlangG com distribuio genrica (pode g (p

    englobar as anteriores)

    28

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Notao de filasNotao de filas(2) Tipo de tempos de atendimento

    (i t l d t d h d

    (intervalos de tempo de chegada soindepedentes e...)

    M - aleatrios com distribuioexponencial

    D - determinsticosE - aleatrios tendo distribuio de ErlangG com distribuio genrica (pode g (p

    englobar as anteriores)

    29

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Notao de filasNotao de filas(3) Nmero de canais de atendimento

    n(4) Nmero mximo de usurios no

    isistema.c

    (5) Tamanho da populao que usa osistema.

    (6) Disciplina da fila( ) pFCFS, LCFS, SIRO ou G (genrica)

    30

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema de um canal com comprimento

    i fi it d fil

    ( ) ( )( ) ( )

    infinito de fila.Este o modelo bsico para servidor

    i l i d dsimples. o mais comum de todos.

    Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = Mp p

    Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = pTamanho da populao =

    Disciplina da fila = FCFS31

    Disciplina da fila FCFS

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Frmulas

    ( ) ( )( ) ( )

    32

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Exemplo:

    ( ) ( )( ) ( )

    Pacientes chegam a um posto mdicob i l d ipara receber a inoculao de uma vacina

    numa taxa de 100 pessoas por horaseguindo a distribuio de Poisson.Cada pessoa consome 15 segundos dep guma nica enfermeira que aplica avacina. Os tempos de serviosp realizados seguem a distribuioexponencial. Responda:

    33

    exponencial. Responda:

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Exemplo (continuao):

    ) Q l h d i t

    ( ) ( )( ) ( )

    a) Qual a chance de que um paciente queacaba de chegar, no tenha que

    ?esperar?b) Qual a chance de haver exatamente trs

    pacientes no sistema?c) Qual o nmero mdio de pacientes no) p

    sistema?d) Qual o nmero mdio de pacientes) Q p

    esperando na fila? (no inclua opaciente recebendo a vacina).

    34

    paciente recebendo a vacina).

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Exemplo (continuao):

    ( ) ( )( ) ( )

    e) Em mdia, quanto tempo um pacienteh b i l gasta para chegar, receber a inoculao

    e sair?

    f) Qual o tempo mdio de espera antes) p pque o paciente possa estar com aenfermeira?

    35

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    a) Qual a chance de que um paciente queb d h hacaba de chegar, no tenha que

    esperar?

    = 0,417,

    = 0,583

    36

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    b) Qual a chance de haver exatamente trsi i ?pacientes no sistema?

    P3 = 0,042

    37

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    c) Qual o nmero mdio de pacientes noi ?sistema?

    L = 0,714 clientes

    38

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    d) Qual o nmero mdio de pacientesd fil ? ( i lesperando na fila? (no inclua o

    paciente recebendo a vacina).

    Lq = 0,298 q ,clientes

    39

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo

    ( ) ( )( ) ( )

    e) Em mdia, quanto tempo um pacienteh b i l gasta para chegar, receber a inoculao

    e sair?

    W = 0,007143 h ou

    W = 25,7 segundos

    40

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : ( / / FCFS)Soluo

    ( ) ( )( ) ( )

    f) Qual o tempo mdio de espera antesique o paciente possa estar com a

    enfermeira?

    Wq = 0 002976 h ouWq = 0,002976 h ou

    Wq = 10,7 segundosq g

    41

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema de um canal com comprimento

    finito de fila.

    ( ) ( )( ) ( )

    finito de fila.O comprimento da fila agora limitado.

    Este tipo de restrio no usual mas Este tipo de restrio no usual mas possvel considerar os limites fsicos deum sistema de filasum sistema de filas.

    Intervalo entre chegadas exponencial = MT d t di t i l MTempo de atendimento exponencial = M

    Canais de atendimento = 1C id d d i tCapacidade do sistema = c Tamanho da populao =

    42Disciplina da fila = FCFS

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)( ) ( )( ) ( )

    ObservaoQuando c clientes esto no sistema, se

    chegar algum outro cliente, este vaiembora e no volta mais.

    43

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Frmulas

    ( ) ( )( ) ( )

    44

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Exemplo:O i t h t d 100

    ( ) ( )( ) ( )

    Os pacientes chegam numa taxa de 100pessoas por hora seguindo a distribuiod P i C d 15de Poisson. Cada pessoa consome 15segundos de uma nica enfermeira queaplica a vacina. Os tempos de serviosrealizados seguem a distribuiog exponencial. Devido ao pequeno tamanhoda sala de espera, a capacidade dasp , pinstalaes igual a trs pessoas.

    45

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Exemplo (continuao):

    ( ) ( )( ) ( )

    Qual o efeito desta restrio quandoicomparamos este novo sistema com o

    anterior? As perguntas so as mesmas.Responda:

    46

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Exemplo (continuao):

    ) Q l h d i t

    ( ) ( )( ) ( )

    a) Qual a chance de que um paciente queacaba de chegar, no tenha que

    ?esperar?b) Qual a chance de haver exatamente trs

    pacientes no sistema?c) Qual o nmero mdio de pacientes no) p

    sistema?d) Qual o nmero mdio de pacientes) Q p

    esperando na fila? (no inclua opaciente recebendo a vacina).

    47

    paciente recebendo a vacina).

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Exemplo (continuao):

    ( ) ( )( ) ( )

    e) Em mdia, quanto tempo um pacienteh b i l gasta para chegar, receber a inoculao

    e sair?

    f) Qual o tempo mdio de espera antes) p pque o paciente possa estar com aenfermeira?

    48

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    a) Qual a chance de que um paciente queb d h hacaba de chegar, no tenha que

    esperar?

    = 0,417 (no mudou)( )

    Era Po= 0,583

    Po= 0,601

    49

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    b) Qual a chance de haver exatamente trsi i ?pacientes no sistema?

    Era P3 = 0,042

    P3 = 0,104

    50

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    c) Qual o nmero mdio de pacientes noi ?sistema?

    Era L = 0,714

    L = 0,59 clientes

    51

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo:

    ( ) ( )( ) ( )

    d) Qual o nmero mdio de pacientesd fil ? ( i lesperando na fila? (no inclua o

    paciente recebendo a vacina).

    Era Lq = 0,298

    L 0 191Lq = 0,191

    52

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo

    ( ) ( )( ) ( )

    e) Em mdia, quanto tempo um pacienteh b i l gasta para chegar, receber a inoculao

    e sair?

    Era W = 25,7 segundos

    W = 0,00616 h ou

    W = 22,2 segundos

    53

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / / FCFS)Soluo

    ( ) ( )( ) ( )

    f) Qual o tempo mdio de espera antesique o paciente possa estar com a

    enfermeira?

    Era Wq = 10,7 segundos

    Wq=0,002 h ou

    Wq = 7,19 segundos

    54

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Exerccios propostosExerccios propostos1- Num sistema de atendimento composto

    d i id i fil

    p pp p

    de um nico servidor e uma nica filaoriunda de populao infinita, osli h d 3clientes chegam numa taxa de 3

    pessoas/min. Sabendo que soatendidas 5 pessoas/min. e que sistemasegue distribuio de Poisson, calcule:g

    a) O nmero mdio de clientes no sistema)b) O nmero mdio de clientes na filac) A probabilidade do sistema estar ocioso

    55

    c) A probabilidade do sistema estar ocioso

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Exerccios propostosExerccios propostos

    d) A probabilidade do sistema estar

    p pp p

    ocupadoe) O tempo mdio de espera no sistema) p pf) O tempo mdio de espera na fila

    56

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    Exerccios propostosExerccios propostos2 - Resolva o exerccio anterior

    id d i t t

    p pp p

    considerando que o sistema agora temcapacidade limitada a c=4.

    57

  • Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

    58

  • Pesquisa Operacional II Prof. Edilson Machado de Assis

    1

    Teoria da Deciso

    Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

    Professor: Edilson Machado de Assis

  • Pesquisa Operacional II Prof. Edilson Machado de Assis

    2

    Introduo A Teoria da Deciso um conjunto de tcnicas quantitativas que tem por objetivo ajudar sistematizao e a soluo do problema de deciso.

    preciso que o tomador de deciso tenha, diante de si, mais de uma alternativa. Se uma situao conduzir somente a um caminho, a uma alternativa de soluo, a rigor no existe um problema por mais desagradvel que seja o desfecho.

    No h soluo de um problema sem um critrio: logo, a Teoria da Deciso baseia-se em critrios preestabelecidos, havendo sempre espao para novos critrios e novas contribuies

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    3

    Estruturas de um problema de deciso a) Estratgias alternativas

    So as possveis solues para o problema. Se no conseguirmos listar as alternativas, nem mesmo teremos um problema de deciso.

    Exemplo:

    Imagine que uma empresa deseje lanar um produto novo. A companhia poder usar duas estratgias alternativas: ou aproveita as instalaes existentes, com reformas e ampliaes, ou constri uma nova unidade operacional, especialmente dedicada a esse novo produto.

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    Estruturas de um problema de deciso

    Uma nova unidade operacional custos maiores flexibilidade atende demandas maiores.

    Reformas e adaptaes custos menores demandas pequenas mdias.

    A demanda futura pelo produto influenciar na escolha de uma ou outra alternativa. As demandas futuras, nesse caso, so os estados da natureza.

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    5

    Estruturas de um problema de deciso b) Estados da natureza

    So todos os acontecimentos futuros que podero influir sobre as alternativas de deciso.

    Exemplo:

    No caso do lanamento do produto, os estados da natureza so as demandas futuras possveis. (grande, media e pequena). Temos duas alternativas de deciso e trs estados da natureza. Cada alternativa de deciso, sob cada estado da natureza, conduzir a um resultado.

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    Estruturas de um problema de deciso c) Resultados

    a conseqncia de se escolher uma alternativa de deciso, quando ocorre certo estado da natureza. Para cada combinao de alternativa de deciso e estado da natureza, tem-se um resultado possvel.

    Exemplo:

    Com duas alternativas e trs estados da natureza, temos, ento, 2 3 6 = resultados possveis.

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    Matriz de Deciso uma ferramenta, que permite visualizar as

    estratgias alternativas, os estados da natureza e os resultados associados. Usualmente, os estados da natureza so listados nas colunas, as alternativas so listadas nas linhas e os resultados so apresentados nas clulas. Os resultados, sempre que possvel, so expressos numericamente, em termos de lucros ou receitas, custos ou despesas, tempo despendido por exemplo.

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    Matriz de deciso

    Estados da natureza

    EN1 EN2 ... ... ENk

    Alternativas

    A1 R11 R12 R13 R14 R1k

    A2 R21 R22 R23 R24 R2k

    ... ... ... ... ... ...

    ... ... ... ... ... ...

    Ap Rp1 Rp2 ... ... Rpk

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    Classificao de problemas de deciso Deciso Tomada Sob Certeza DTSC

    Sabemos exatamente qual estado da natureza vai ocorrer ou, conhecemos com certeza todos os dados do nosso problema. Podemos admitir como constantes ou muito pouco variveis todos os dados numricos do problema (conforme feito em PL)

    Deciso Tomada Sob Risco DTSR

    No sabemos exatamente qual estado da natureza ir ocorrer, mas podemos associar a cada um deles uma probabilidade de ocorrncia. (de forma objetiva ou subjetiva).

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    Classificao de problemas de deciso Deciso Tomada Sob Incerteza DTSI

    No sabemos exatamente qual estado da natureza ira ocorrer e, nem mesmo conseguimos associar quaisquer probabilidades de ocorrncia aos estados da natureza.

    Em todos os casos, sabemos os estados da natureza.

    Cuidaremos apenas dos problemas de DTSR e DTSI, uma vez que, para os problemas de DTSC, existem critrios de comparao entre as alternativas.

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    Deciso Tomada Sob Risco DTSR Conhecemos as probabilidades dos futuros estados

    da natureza. A soluo de um problema de DTSR depende do conceito de Valor Esperado da Alternativa VEA.

    Consideremos uma matriz de deciso genrica com p alternativas, sujeitas a k estados da natureza. Conhecemos a probabilidade de ocorrncia de cada um dos estados da natureza. Define-se Valor Esperado da Alternativa para qualquer uma das alternativas como a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas probabilidades de ocorrncia de tais estados da natureza.

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    Exemplo A Estrela do Norte S.A. e uma companhia

    manufatureira de brinquedos que esta diante da deciso de comprar de terceiros ou manufaturar um componente comum a vrios de seus brinquedos. Se a demanda pelos brinquedos nos prximos meses for alta, ento a deciso de manufaturar o componente internamente ter sido bastante acertada. Se, entretanto, a demanda for muito pequena, a Estrela do Norte ficara com instalaes custosas e com baixa utilizao de capacidade. As conseqncias so imediatas: lucro ou prejuzo. A matriz de deciso a seguir, que ilustra a situao

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    Soluo Matriz de deciso: compra ou manufatura de um produto (lucro

    em milhares de reais)

    Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

    Demanda mdia p=0,35

    Demanda alta

    p=0,25

    Alternativas

    Comprar o componente 10 40 100

    Manufaturar o componente -30 20 150

    Valores esperados para as alternativas (regra de Bayes):

    Comprar: 10 (0,4) + 40 (0,35) + 100 (0,25) = 43(mil R$)

    Manufaturar: (-30) (0,4) + 20 (0,35) + 150 (0,25) = 32,5 (mil reais)

    Logo, a alternativa comprar conduz a um lucro maior.

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    Importante

    Deve-se escolher o melhor Valor Esperado da Alternativa. Se a matriz apresentada em termos de lucros ou receitas, o melhor valor corresponde ao maior valor. Caso a matriz seja dada em termos de custo ou despesa, o melhor valor corresponde ao menor valor, neste caso deve-se escolher a alternativa que leve ao menor VEA.

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    Valor Esperado da Informao Perfeita VEIP

    Seria interessante saber de antemo o que vai acontecer no futuro. Todos provavelmente concordariam com isso, mas muitos diriam que e impossvel prever o futuro. Entretanto, podemos gastar algum dinheiro a mais e procurar por informaes melhores que, se no permitem prever o futuro, pelo menos permitem estim-lo com maior preciso. Surge a questo inevitvel: at quanto estaremos dispostos a gastar?

    Se ha vrios estados da natureza, e impossvel evit-los ou alterar a sua probabilidade, o mximo que podemos fazer e dizer qual ser o prximo estado da natureza, permitindo a escolha da opo melhor, considerando aquele estado.

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    Valor Esperado da Informao Perfeita VEIP Estados da natureza Demanda

    baixa p=0,4

    Demanda mdia p=0,35

    Demanda alta

    p=0,25 Alternativas Comprar o componente 10 40 100

    Manufaturar o componente -30 20 150

    Tendo o conhecimento prvio do estado da natureza que vai ocorrer o resultado mdio obtido :

    10 (0,4) + 40 (0,35) + 150 (0,25) = 55,5

    Esse resultado o melhor possvel, com a melhor informao possvel. No corresponde a uma alternativa, mas a uma combinao de alternativas, sempre com a melhor informao.

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    Valor Esperado da Informao Perfeita VEIP

    Sem a informao da alternativa perfeita, o lucro 43. A melhor informao possvel traz um acrscimo de lucro de (55,5 - 43) = 12,5 (milhares de reais).

    Valor Esperado da Informao Perfeita representa o valor mximo que poderamos pagar pela melhor das informaes

    VEIP o excedente obtido (sobre o melhor VEA) quando temos de antemo a informao perfeita, ou seja, qual o estado da natureza que vai ocorrer em seguida.

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    Resultados x arrependimentos Dado certo estado da natureza chama-se

    arrependimento aquilo que se perde, quando no se escolhe a melhor alternativa para aquele estado da natureza. Uma soluo alternativa para o problema de deciso aplicar a Regra de Deciso de Bayes aos arrependimentos ao invs de aplic-la matriz original, e escolher a alternativa que conduz ao mnimo arrependimento mdio.

    Para cada estado da natureza, o resultado associado melhor alternativa menos os resultados das demais alternativas.

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    Resultados x arrependimentos Matriz de lucros ou receitas arrependimento

    naturalmente positivo.

    Matriz de despesas ou prejuzos arrependimentos devem ser todos tornados com sinal positivo.

    Usemos agora a matriz de arrependimentos para o calculo da melhor alternativa, empregando ainda a Regra de Deciso de Bayes. Deveremos escolher a alternativa que leva ao mnimo arrependimento.

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    Resultados x arrependimentos Matriz de deciso - lucros

    Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

    Demanda mdia p=0,35

    Demanda alta

    p=0,25 Alternativas Comprar o componente 10 40 100

    Manufaturar o componente -30 20 150 Matriz de deciso arrependimentos

    Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

    Demanda mdia p=0,35

    Demanda alta

    p=0,25 Alternativas Comprar o componente 0 0 50

    Manufaturar o componente 40 20 0 Comprar: 0 (0,4) + 0 (0,35) + 50 (0,25) =12,5 Manufaturar: 40 (0,4) + 20 (0,35) + 0 (0,25) = 23

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    Mnimo arrependimento O mnimo arrependimento fica com a alternativa

    comprar o componente, a mesma que j havamos escolhido usando a Regra de Deciso de Bayes sobre a matriz original. Repare que o mnimo arrependimento mdio e exatamente igual ao Valor Esperado da Informao Perfeita (12,5). Esses resultados sempre se mantm, ou seja, a soluo a mesma, quer se aplique a Regra de Deciso de Bayes matriz original ou matriz de arrependimentos, e o mnimo arrependimento mdio e sempre igual ao Valor Esperado da Informao Perfeita.

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    Anlise de sensibilidade A soluo para um problema de Deciso Tomada Sob

    Risco depende basicamente de dois conjuntos de valores: os resultados associados a cada alternativa e estado da natureza e as probabilidades associadas aos estados da natureza. Quaisquer variaes destes valores correspondem a variaes nos clculos, podendo conduzir a mudanas de deciso.

    Chama-se analise de sensibilidade o estudo do efeito sobre a deciso caso variem os nmeros do problema original. Para exemplificar, vamos usar um caso em que existam trs alternativas e apenas dois estados da natureza e trabalhar somente com mudanas nas probabilidades de ocorrncia desses estados.

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    Anlise com mudana em p estudo de caso

    A Companhia Epsilon esta considerando trs possibilidades para a distribuio de seus produtos em uma regio. A primeira dessas possibilidades a que esta sendo adotada atualmente e consiste em entregar os produtos diretamente aos revendedores locais; a segunda alternativa consiste em abrir um armazm prprio de distribuio e, finalmente, a ltima possibilidade seria a de colocar os produtos em um grande distribuidor local. Dependendo de como se comporte a demanda futura para a regio, as alternativas traro receitas diferenciadas para a companhia, segundo a matriz de deciso mostrada.

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    Anlise com mudana em p estudo de caso

    Demanda grande p=0,4

    Demanda pequena p=0,6

    Usar revendedores locais 140 40 Construir armazm prprio 200 -30

    Usar grande distribuidor local 160 10

    VEA

    Usar revendedores locais: 140 (0,4) + 40 (0,6) =80

    Construir armazm prprio: 200 (0,4) + (-30) (0,6) = 62

    Usar grande distribuidor local: 160 (0,4) + 10 (0,6) = 70

    A melhor soluo seria a alternativa Usar revendedores locais (VEA = 80).

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    Anlise com mudana em p estudo de caso Chamemos de p a probabilidade de que a demanda futura seja

    grande (a analise a mesma se tomarmos a probabilidade de que a demanda seja pequena). A probabilidade de a demanda ser pequena (1-p). Calculemos, em funo de p.

    Alternativa Usar revendedores locais

    VEA =140p + 40(1-p) =140p + 40 -40p = l00p + 40 (I)

    Alternativa Construir armazm prprio

    VEA = 200p + (-30)(1 -p) = 200p -30 + 30p = 230p -30 (II)

    Alternativa Usar grande distribuidor local

    VEA = 160p + 10(1-p) = 160p + 10 -10p = 150p + 10 (III)

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    Representao grfica

    Verifique que, ate o ponto A (p=0,538) mostrado no grfico, a melhor

    alternativa sempre Usar revendedores locais, dali em diante, a melhor alternativa e Construir armazm prprio. Em nenhum momento a alternativa Usar grande distribuidor local se torna interessante.

    A

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    Anlise de sensibilidade Portanto, para p

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    Exerccio em sala 1

    A Costura Fina Ltda. uma fabrica de confeces que est atualmente produzindo sua coleo de inverno, a ser lanada em alguns meses. H dvidas, na alta direo da Costura Fina, sobre o montante de investimento que deve ser destinado a essa coleo. Nos ltimos anos, o clima, que tanto influencia no sucesso da coleo, tem se revelado errtico, sendo que outono e inverno podem ser muito parecidos, e s vezes o inverno pontilhado por perodos de muito sol e calor, chamados comumente de veranicos. sabido que, se o prximo inverno apresentar muitos veranicos, a coleo de inverno fracassar, por outro lado, se o inverno for rigoroso, a coleo trar lucros substanciais Costura Fina, havendo tambm um estgio intermedirio, de menor sucesso. Os diretores da Costura Fina prepararam a matriz de deciso a seguir, com lucro em milhares de reais considerando uma estimativa para a probabilidade de cada estado da natureza. Assim, h uma

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    probabilidade de 0,6 de que o inverno seja rigoroso, de 0,2 de que o inverno tenha alguns veranicos e de 0,2 de que 0 inverno tenha muitos veranicos. Pede-se:

    a) Qual a soluo baseada no Valor Esperado da Alternativa?

    b) Qual o Valor Esperado da Informao Perfeita?

    c) Realize as anlises de sensibilidade

    p=0,6 p=0,2 p=0,2

    Inverno rigoroso

    Inverno com alguns veranicos

    Inverno com muitos veranicos

    Investimento substancial na coleo 5000 2000 -2000 Investimento mdio na coleo 1500 1000 -500

    Pequeno investimento na coleo 200 800 0

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    Arvores de deciso

    Os problemas de Deciso Tomada Sob Risco tambm podem ser estruturados e resolvidos com o auxlio de uma representao grfica do processo de deciso, chamada de rvore de deciso.

    Para apresentar a arvore de deciso, retornemos ao problema de distribuio da Companhia Epsilon. A rvore de deciso correspondente

    DemandaGrande

    (0,4)140

    4

    Construir armazmprprio 3

    Revendedoreslocais

    2

    Grande distribuidorlocal

    1

    DemandaPequena

    (0,6)40

    DemandaGrande

    (0,4)200

    DemandaPequena

    (0,6)-30

    DemandaGrande

    (0,4)160

    DemandaPequena

    (0,6)10

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    Arvores de deciso As linhas de uma arvore de deciso so chamadas de ramos, e os

    pontos em que os ramos se encontram (representados por crculos ou quadrados) so chamados de ns. Um quadrado representa um momento de deciso, enquanto um circulo representa um momento em que ocorre um dos estados da natureza previstos.

    Os quadrados so tambm chamados de ns de deciso e os crculos, de ns de estados da natureza. Quando vista da esquerda para a direita, a rvore de deciso segue a prpria rotina temporal da deciso.

    Os nmeros ao final de cada um dos seis ltimos ramos representam os resultados individuais associados com cada alternativa e estado da natureza. Os ramos que partem de um n de deciso so chamados de ramos de deciso. Os que partem de um n de estado da natureza so chamados de ramos de estado da natureza.

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    Arvores de deciso - VEA

    A soluo da rvore simples: em cada n de estado da natureza, faz-se a soma dos produtos dos resultados pelas probabilidades dos estados da natureza obtendo o Valor Esperado da Alternativa:

    VEA (n 2) = 140 (0,4) + 40 (0,6) =80 (Usar revendedores locais)*melhor VEA (n 3) = 200 (0,4) + (-30) (0,6) = 62 (Construir armazm prprio) VEA (n 4) =160 (0,4) + 10 (0,6) = 70 (Usar grande distribuidor local)

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    Deciso Tomada Sob Incerteza DTSI

    Nos problemas DTSI conhecemos todos os possveis estados da natureza, mas no temos nenhuma estimativa de suas probabilidades. O tomador de deciso pode optar por algum critrio de seu interesse. A deciso no ser obrigatoriamente a mesma, mas depender do critrio adotado.

    A literatura traz alguns critrios considerados costumeiros, que sero objeto de analise. Entre eles, temos:

    a) Critrio maximax

    b) Critrio maximin

    c) Critrio de Laplace

    d) Critrio do realismo (Hurwicz)

    e) Critrio do mnimo arrependimento

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    34

    Critrio maximax

    O critrio maximax (mximo entre os mximos) carrega consigo uma viso de mundo extremamente otimista. Dada uma matriz de deciso, devemos escolher a alternativa que leva ao melhor possvel dos resultados, ou seja, devemos escolher o melhor resultado de cada alternativa e, em seguida, dentre eles, "o melhor dos melhores".

    Matriz de deciso Epsilon lucro (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Usar revendedores locais 140 40 Construir armazm prprio 200 -30

    Usar grande distribuidor local 160 10 Soluo: Construir armazm prprio

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    35

    Critrio maximin

    De cada alternativa, escolhemos o pior resultado; depois, dentre os piores, escolhemos o melhor deles, " O menos ruim dentre os piores". O critrio maximin implica um primeiro movimento pessimista, seguido por um movimento otimista.

    Matriz de deciso Epsilon lucro (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Usar revendedores locais 140 40 Construir armazm prprio 200 -30

    Usar grande distribuidor local 160 10

    Soluo: Usar revendedores locais

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    36

    Critrio de Laplace

    O critrio de Laplace tambm conhecido como "critrio da razo insuficiente", exatamente porque, por no termos razo suficiente para admitir o contrario, assumimos que so idnticas as probabilidades dos diversos estados da natureza e calculamos os valores esperados de cada alternativa, escolhemos ento, o melhor deles.

    Matriz de deciso Epsilon lucro (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Resultados mdios

    Usar revendedores locais 140 40 90

    Construir armazm prprio 200 -30 85 Usar grande distribuidor local 160 10 85

    Soluo: Usar revendedores locais

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    Critrio do realismo (Hurwicz)

    O critrio de Hurwicz ou critrio da media ponderada consiste em adotar um compromisso entre uma viso pessimista e uma viso otimista da realidade. O tomador de deciso seleciona um coeficiente de realismo variando entre 0 e 1. Quanto maior for , mais otimismo, quanto menor for, mais pessimismo. Aps a adoo de , escolhe-se, para cada alternativa, o melhor e o pior resultado, computando a mdia ponderada:

    Media ponderada da alternativa = (melhor resultado) + (1-) (pior resultado)

    Computadas as medias ponderadas de todas as alternativas, escolhemos a de melhor media.

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    38

    Critrio do realismo (Hurwicz)

    Adotemos = 0,7 Matriz de deciso Epsilon lucro (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Mdia ponderada

    Usar revendedores locais 140 40 110

    Construir armazm prprio 200 -30 131 Usar grande distribuidor local 160 10 115

    Revendedores locais: 140 (0,7) + 40 (1 -0,7) = 110

    Construir armazm prprio: 200 (0,7) + (-30) (1 -0,7) =131

    Grande distribuidor local: 160 (0,7) + 10 (1 -0,7) = 115

    Soluo: Construir armazm prprio

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    39

    Critrio do mnimo arrependimento

    Arrependimento aquilo que se perde, quando no se escolhe a melhor alternativa para aquele estado da natureza (melhor alternativa menos o resultado).

    Montamos inicialmente a matriz de arrependimentos e, em seguida, para cada alternativa, escolhemos o pior dos arrependimentos. Decidimos pela alternativa com o menos ruim dos arrependimentos. Em outras palavras, aplica-se a matriz de arrependimentos o critrio maximin.

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    40

    Critrio do mnimo arrependimento

    Matriz de deciso Epsilon lucro (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Usar revendedores locais 140 40

    Construir armazm prprio 200 -30 Usar grande distribuidor local 160 10

    Matriz de deciso Epsilon arrependimentos (R$1.000)

    Demanda grande

    Demanda pequena

    Pior arrependimento

    Usar revendedores locais 60 0 60 Construir armazm prprio 0 70 70

    Usar grande distribuidor local 40 30 40 Dos piores arrependimentos, o menos ruim 40 (Usar grande

    distribuidor local). Curiosamente, o nico critrio que forneceu tal soluo.

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    41

    Exerccio em sala 2

    A Costura Fina Ltda. uma fabrica de confeces que est atualmente produzindo sua coleo de inverno, a ser lanada em alguns meses. H dvidas, na alta direo da Costura Fina, sobre o montante de investimento que deve ser destinado a essa coleo. Nos ltimos anos, o clima, que tanto influencia no sucesso da coleo, tem se revelado errtico, sendo que outono e inverno podem ser muito parecidos, e s vezes o inverno pontilhado por perodos de muito sol e calor, chamados comumente de veranicos. sabido que, se o prximo inverno apresentar muitos veranicos, a coleo de inverno fracassar, por outro lado, se o inverno for rigoroso, a coleo trar lucros substanciais Costura Fina, havendo tambm um estgio intermedirio, de menor sucesso. Os diretores da Costura Fina prepararam a matriz de deciso a seguir, com lucro em milhares de reais.

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    42

    Exerccio em sala 2 (continuao)

    Inverno rigoroso

    Inverno com alguns veranicos

    Inverno com muitos veranicos

    Investimento substancial na coleo 5000 2000 -2000 Investimento mdio na coleo 1500 1000 -500

    Pequeno investimento na coleo 200 800 0

    Suponha que a instabilidade dos ltimos anos torne muito difcil atribuir probabilidades aos estados da natureza. Determine a soluo por meio dos seguintes critrios: a) maximax; b) maximin; c) Laplace; d) Hurwicz ( = 0,6); e) mnimo arrependimento.

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    43

    Soluo de Exerccio em sala 1 a)

    Investimento substancial na coleo:

    5.000 (0,6) + 2.000 (0,2)+(-2.000) (0,2) = 3.000

    Investimento mdio na coleo:

    1.500 (0,6) + 1.000 (0,2) +(-500) (0,2) = 1.000

    Pequeno investimento na coleo:

    800 (0,6) + 200 (0,2) + (0) (0,2) = 520

    b)

    O melhor resultado mdio com o conhecimento do estado da natureza:

    5.000 (0,6) + 2.000 (0,2) + 0 (0,2) = 3.400

    VEIP =3.400 - 3.000 = 400 (R$ 400.000)

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    44

    Soluo de Exerccio em sala 2

    a) critrio maximax

    Dos trs melhores resultados, o melhor possvel 5.000 (na verdade, R$ 5 milhes), correspondente a alternativa Investimento substancial na coleo

    b) critrio maximin

    Alternativa Pequeno investimento na coleo (0).

    c) critrio de Laplace

    Valores mdios de cada alternativa:1667; 667; 333

    Investimento substancial na coleo.

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    45

    Soluo de Exerccio em sala 2 - continuao

    d) critrio de Hurwicz (a =0,6)

    Investimento substancial na coleo:

    5.000 (0,6) + (-2.000) (0,4) =2.200

    Investimento mdio na coleo:

    1.500 (0,6) + (-500) (0,4) = 700

    Pequeno investimento na coleo:

    800 (0,6) + (0) (0,4) = 48O

    Alternativa Investimento substancial na coleo.

    d) critrio do mnimo arrependimento

    Para cada alternativa o pior arrependimento:

    Investimento substancial na coleo ..................2.000

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    46

    Soluo de Exerccio em sala 2 - continuao

    Investimento mdio na coleo .......................... 3.500

    Pequeno investimento na coleo ..................... .4.200

    O menor arrependimento a soluo com a alternativa Investimento substancial na coleo.

    Todos os critrios, exceto o maximin, levaram a alternativa Investimento substancial na coleo. Isso ocorre porque h, de incio, um desequilbrio em favor dessa alternativa que, nas duas condies favorveis, leva a grandes lucros comparativos. Por sua vez, o critrio maximin muito conservador e tendeu para uma soluo em que nitidamente se ganha pouco nas melhores condies, mas nada se perde com o pior dos estados da natureza.

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    Teoria dos Jogos

    Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

    Professor: Edilson Machado de Assis

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    Introduo A Teoria dos logos um conjunto de procedimentos lgicos e matemticos projetados para auxiliar na determinao de estratgias timas a serem seguidas nas situaes competitivas de tomada de deciso.

    Muitas situaes, tanto na rotina normal de cada um como no mundo dos negcios, envolvem a estruturao de um jogo, com dois ou mais tomadores de deciso, sendo que cada um quer ganhar a disputa. Nessas situaes, o resultado final depende prioritariamente da combinao de estratgias selecionadas pelos adversrios. Empresas operam quase sempre imersas em ambientes de forte competio e no podem tomar decises sem considerar o que outras empresas, pessoas ou governos esto fazendo.

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    Introduo - continuao

    Como o objetivo principal da Teoria dos logos o desenvolvimento de critrios racionais para selecionar uma estratgia, so feitas duas hipteses bsicas: todos os competidores so racionais e todos os competidores escolhem suas estratgias somente para promover seu prprio bem-estar. Desconsideraremos aqui os chamados jogos cooperativos, em que os competidores podem formar alianas para o bem comum.

    Um jogo uma situao de disputa envolvendo dois ou mais contendores (tomadores de deciso), em que cada um deseja ganhar. Chamamos o que se ganha de recompensa. A Teoria dos jogos o estudo de como estratgias timas so formuladas no conflito.

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    Introduo - continuao A Teoria dos logos diferente da Teoria da Deciso, porque

    nesta ltima o tomador de deciso num jogo com um oponente passivo, a natureza, que escolhe suas estratgias de forma aleatria.

    O estudo sistemtico da Teoria dos Jogos comeou em 1944, quando John von Neumann e Oscar Morgenstern publicaram seu livro, Teoria dos Jogos e comportamento econmico (Theory of Games and economic behavior. Princeton: Princeton University Press, 1944). Apesar do trabalho pioneiro, as aplicaes prticas da Teoria dos Jogos tm sido limitadas, crescendo nos ltimos anos, quando tm sido usadas por negociadores de sindicatos e empresas nas negociaes coletivas e por empresas de todos os tipos para determinar as melhores estratgias, para um ambiente de negcios competitivo.

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    Introduo - continuao

    Em 1994, John Harsanui, John Nash e Reinhard Selten ganharam ao mesmo tempo o Premio Nobel de Economia. Eles desenvolveram a noo de Teoria dos jogos no-cooperativos. Aps o trabalho de Von Neumann, Nash desenvolveu os conceitos de equilbrio de Nash e de problema de barganha de Nash, que so as bases da moderna Teoria dos Jogos.

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    Classificao dos Jogos

    Quanto ao nmero de jogadores:

    Jogos de duas pessoas e jogos de n pessoas. a Teoria dos Jogos envolvendo trs ou mais pessoas difcil, tanto teoricamente como computacionalmente, e no tem sido muito usada na pratica.

    Quanto ao resultado total do jogo:

    Jogos de soma zero (a soma dos ganhos e perdas e zero) e jogos de soma no-zero. Jogos de soma no-zero apresentam dificuldades tericas e computacionais.

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    Classificao dos Jogos - continuao

    Quanto s estratgias empregadas:

    Jogos de estratgia pura so aqueles em que os competidores seguem sempre as mesmas estratgias, independentemente da estratgia seguida pelos outros. Na Teoria dos Jogos, as estratgias puras existem apenas quando a soluo atingiu um estgio de equilbrio, chamado de ponto de sela. Quando no h ponto de sela, os jogadores empregaro cada estratgia em uma porcentagem de tempo. Esse tipo de resultado chamado de estratgia mista.

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    Classificao dos Jogos - continuao

    Quanto ao grau de cooperao:

    Em um extremo ficam os jogos no-cooperativos, em que no h comunicao prvia entre os competidores. No outro extremo esto os jogos cooperativos, nos quais a comunicao prvia e os acordos so permitidos. Regulamentos comerciais entre pases e negociaes coletivas de trabalho podem ser formulados como jogos cooperativos. Onde ha mais de dois competidores, jogos cooperativos permitem coalizes entre alguns ou todos os competidores.

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    Representao do Jogos

    Vamos nos restringir ao caso em que h apenas dois competidores, que jogam de forma simultnea, ou seja, cada jogador toma suas decises de forma independente das decises do outro. Isso no quer dizer que os competidores ignorem as possibilidades, vamos supor que os dois conheam todas as alternativas de deciso do oponente. Apenas um no sabe qual a deciso do outro, enquanto toma a sua prpria deciso. Uma alternativa que no estamos considerando a existncia de uma forma seqencial de tomada de deciso, ou seja, uma ordem estabelecida na qual os jogadores se movem.

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    Matriz de recompensas

    A tabela mostra dois jogadores, K e L. O competidor L tem duas alternativas de jogo, que so L1 e L2, enquanto as alternativas de jogo do competidor K so trs: K1, K2 e K3. Note que os dois competidores no necessariamente possuem o mesmo nmero de alternativas de deciso.

    Em cada clula que esta no cruzamento de duas alternativas quaisquer, so apresentados dois nmeros entre parnteses. O primeiro nmero representa a recompensa do jogador L, enquanto o segundo representa a recompensa do jogador K. A recompensa uma medida do que cada jogador vai ganhar em cada combinao de estratgias.

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    Matriz de recompensas - continuao Estratgias de L

    K1 K2 K3 Estratgias de K

    L1 (4,2) (7,-3) (5,1) L2 (3,-1) (-1,5) (9,4)

    O jogo esta enviesado contra o competidor K. Veja que na quase totalidade das combinaes de estratgias, o resultado decepcionante para o competidor K ou, pelo menos, inferior recompensa obtida pelo competidor L. Assim, por exemplo, se o competidor K escolhe a estratgia K2 e o competidor L escolhe a estratgia L1, teremos:

    Recompensa para o competidor L = 7

    Recompensa para o competidor K =-3

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    Matriz de recompensas - continuao Estratgias de L

    K1 K2 K3 Estratgias de K

    L1 (4,2) (7,-3) (5,1) L2 (3,-1) (-1,5) (9,4)

    O jogo representado no um jogo de soma zero e nem mesmo um jogo de soma constante. Quando um jogo de soma zero, aquilo que um ganha, o outro necessariamente perde.

    Estratgias de L K1 K2 K3

    Estratgias de K L1 4 7 5 L2 3 -1 9

    A matriz de recompensas mostra apenas as recompensas do jogador L

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    Jogos de duas pessoas, soma zero, estratgias puras

    Dizemos que um jogo de dois oponentes, soma zero, conduzido para uma estratgia pura quando conduzido para uma situao de equilbrio, em que os oponentes terminaro sempre por escolher a mesma combinao de estratgias (desde que assumamos que o jogo seja jogado inmeras vezes).

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    Jogos de duas pessoas, soma zero, estratgias puras

    Matriz de recompensas para 2 jogadores, soma zero

    Estratgias de L K1 K2

    Estratgias de K L1 4 7 L2 3 -1

    O jogo representado possui uma soluo de equilbrio. Essa soluo implica que, sendo repetido o jogo inmeras vezes, os competidores K e L escolhero sempre uma mesma alternativa. Observemos inicialmente no jogador L. a melhor estratgia L1 pois qualquer uma das recompensas a que conduz melhor do que as recompensas da estratgia L2

    Recompensas 4 ou 7 com a estratgia L1

    Recompensas 3 e -1 com a estratgia L2

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    Jogos de duas pessoas, soma zero, estratgias puras

    O jogador K conhece a configurao do jogo, isto e, todas as alternativas e respectivas recompensas. Ele sabe, portanto, que o jogador L fatalmente vai escolher a alternativa L1. O jogo enviesado contra o jogador K que, infelizmente, nada pode fazer e inevitavelmente vai escolher a alternativa K1, que lhe trar o menos ruim dos resultados (nesse caso, -4 contra -7). A configurao do jogo, portanto, conduz a uma soluo estvel, com o resultado 4 para o jogador L e -4 para o jogador K.

    Cada jogador tem uma estratgia pura a seguir:

    L1 para o jogador L

    K1 para o jogador K.

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    Ponto de sela

    Matriz de recompensas

    Estratgias de L K1 K2

    Estratgias de K L1 4 7 L2 3 -1

    Dizemos que 4 o ponto de sela do jogo, ou seja, o cruzamento das estratgias puras que os jogadores so levados a seguir. O valor 4 tambm chamado de valor do jogo.

    O jogo ter uma soluo estvel, ou seja, os competidores sero levados a adotar estratgias puras, sempre que houver um ponto de sela.

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    Matriz de recompensas - determinao de ponto de sela

    Seja a seguinte matriz de recompensas

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Estratgias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 7 X4 5 8 6

    Em nosso exemplo, o ponto de sela foi determinado pela analise da tabela de recompensas. Entretanto, h uma maneira simples e automtica de fazer isso.

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    Matriz de recompensas - determinao de ponto de sela Determinamos os mnimos das linhas e mximos de colunas

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Mnimos das

    linhas

    Estratgias de X X1 -3 2 4 -3 X2 7 -2 -1 -2 X3 8 10 7 7 X4 5 8 6 5

    Mximo das colunas 8 10 7

    Se houver um mnimo de linha que seja, ao mesmo tempo, o mximo em sua coluna, este ser o ponto de sela e, consequentemente, a soluo estvel do jogo.

    Para o jogador X, a estratgia X3 a melhor, sendo assim a Y3 a menos pior para o jogador Y.

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    Matriz de recompensas - determinao de ponto de sela Podemos eliminar da nossa tabela as estratgias Xl e X2

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Mnimos das

    linhas

    Estratgias de X X3 8 10 7 7 X4 5 8 6 5

    Mximo das colunas 8 10 7

    Ao jogador X restam, portanto, duas alternativas. Se X escolher X3 o jogador Y sem dvida vai escolher a estratgia Y3, perdendo apenas 7 (ou ganhar -7, tanto faz). Se X escolher X4, o jogador Y optar pela estratgia Y1 , que o conduz a mnima recompensa de -5 (perda de 5). Se a estratgia X3, que leva a uma recompensa de 7 e a estratgia X4 leva a uma recompensa de 5, claro que X escolhe a estratgia X3. O ponto de sela 7 (X3;Y3).

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    Exerccio em sala 1

    Dada a matriz de recompensas (expressas para o jogador X) responda o que se pede:

    a) Existe um ponto de sela? b) Qual o valor do jogo?

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3 Y4

    Estratgias de X X1 22 18 10 22 X2 22 24 14 16 X3 20 16 12 16

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    Jogos de duas pessoas, soma zero, estratgias mistas

    Matriz de recompensas para 2 jogadores, soma zero

    Estratgias de Y Y1 Y2 Mnimos das linhas

    Estratgias de X X1 3 6 3 X2 5 2 2

    Mximo das colunas 5 6 Como no h um mnimo de linha que seja, ao mesmo tempo, um

    mximo de coluna, no existe o ponto de sela. No h uma soluo nica de equilbrio. Por exemplo, se o competidor X escolher a estratgia X1 o competidor Y poder optar pela estratgia Y1, que o far perder 3, ou pela estratgia Y2 que o far perder 6. Na verdade, o jogador Y sempre perde, j que o jogo enviesado contra ele. As jogadas so simultneas. A tendncia do jogador Y e alternar entre as decises Y1 e Y2 mesmo porque o jogador X tem tambm duas estratgias a seu dispor.

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    Jogos de 2 pessoas, soma 0, estratgias mistas cont. Nessas tentativas de ambos ganharem o mximo possvel (no caso o

    jogador X tenta ganhar o mximo possvel, e o jogador Y tenta perder o mnimo possvel), os jogadores acabaro por chegar a um equilbrio.

    Seja a matriz de recompensas abaixo:

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Mnimos das

    linhas

    Estratgias de X X1 -3 2 4 -3 X2 7 -2 -1 -2 X3 8 10 5 5 X4 5 8 6 5

    Mximo das colunas 8 10 6 Se a matriz de recompensas no apresenta um ponto de sela, a

    tendncia de que ambos os jogadores alternem as alternativas de deciso escolhidas, de forma a se chegar a um equilbrio, em termos de recompensa media final atribuda a cada um.

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    Jogos de 2 pessoas, soma 0, estratgias mistas cont. Dito de outra forma, cada jogador escolher cada estratgia disponvel

    com uma freqncia constante, de modo a, em mdia, chegar mesma recompensa, independentemente da estratgia escolhida pelo outro jogador. Isso vale para ambos os jogadores.

    Solues:

    a) soluo pelo mtodo do ganho e perda esperados;

    b) soluo pelo mtodo grfico;

    c) soluo por modelo de programao linear.

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    Soluo pelo mtodo do ganho e perda esperados Seja a matriz de recompensas abaixo

    Estratgias de Y Y1 Y2 Mnimos das linhas

    Estratgias de X X1 3 6 3 X2 5 2 2

    Mximo das colunas 5 6 O jogador X utilizar as duas estratgias Xl e X2, cada qual por uma

    frao de tempo. Esta frao p para a estratgia X1 e, portanto, (1-p) para a estratgia X2, J que a soma das fraes de tempo deve ser a unidade, e s existem duas estratgias. O ganho mdio do jogador X ser:

    Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p)

    Caso Y adote Y2: 6p + 2(1 -p)

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    Soluo pelo mtodo do ganho e perda esperados

    Sabemos tambm que p e (1-p) so tais que o jogador X, independentemente da estratgia adotada pelo jogador Y, vai obter o mesmo ganho (ou prejuzo) mdio. Logo, podemos escrever:

    3p + 5(1-p) = 6p + 2(1 -p) 5(1-p) -2(1-p) = 6p -3p 3(1-p) = 3p 3-3p = 3p 3 = 6p p = 0,5 e (1 -p) = 0,5

    O jogador X vai seguir cada estratgia metade do tempo. O seu ganho mdio ser:

    Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p)= 3(0,5) + 5 (0,5) =1,5 + 2,5 = 4 =

    Caso Y adote Y2: 6p + 2(1 -p)= 6 (0,5) + 2 (0,5) =3 + 1 =4

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    Soluo pelo mtodo do ganho e perda esperados Com a mesma matriz de recompensas

    Estratgias de Y Y1 Y2 Mnimos das linhas

    Estratgias de X X1 3 6 3 X2 5 2 2

    Mximo das colunas 5 6 O jogador Y utilizar as duas estratgias Yl e Y2, cada qual por uma

    frao do tempo, Chamemos de q e (1-q) a essas fraes. O ganho (no caso, perda real) de Y deve ser o mesmo, independentemente da estratgia seguida por X. Logo,

    Caso X escolha X1: 3q + 6 (1-q)

    Caso X escolha X2: 5q + 2 (1-q)

    Igualando temos: 3q + 6 (1-q)= 5q + 2 (1-q) 6(1-q) - 2(1-q) = 5q -3q 4(1 -q) = 2q 4 -4q = 2q 4 = 6q q =2/3 e (1-q) =1/3

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    Soluo pelo mtodo do ganho e perda esperados A perda media do jogador Y ser: (Podemos nos abstrair do

    sinal)

    Caso X escolha X1: 3q + 6(1-q) = 3(2/3) + 6(1/3) = 4

    Caso X escolha X2: 5q + 2(1-q) = 5(2/3) + 2(1/3) = 4

    claro que deveramos obter 4, pois se o jogador X ganha, em mdia, esse valor, fatalmente o jogador Y perde, em mdia, esse mesmo valor.

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    Estratgia mista em Jogos no enviesados Matriz de recompensas

    Estratgias de Y Y1 Y2 Mnimos das linhas

    Estratgias de X X1 3 -3 -3 X2 -3 3 -3

    Mximo das colunas 3 3

    Existe um equilbrio entre ganhos e perdas. Cada competidor ganha ou perde 3, dependendo da estratgia que escolher e da estratgia escolhida pelo oponente. O jogo no enviesado.

    Seja p a poro do tempo em que o jogador X utiliza a estratgia X1 e (1-p) a frao do tempo em que ele utiliza a estratgia X2. Temos:

    Caso Y adote Y1: 3p -3(1-p)

    Caso Y adote Y2: -3p + 3(1 -p)

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    Estratgia mista em Jogos no enviesados cont.

    Sabemos que 3p -3(1-p) = -3p + 3(1-p) logo,

    6p = 6(1 -p) 6p = 6 -6p 12p = 6 p = 0,5 e (1-p) = 0,5

    O ganho mdio do jogador X :

    Caso Y adote Y1: 3p -3(1-p) = 3 (0,5) - 3(1 -0,5) = 1,5 -1,5 = 0

    Caso Y adote Y2: -3p +3(1-p)= -3(0,5) + 3(1-0,5) = -1,5 +1,5 = 0

    Se o jogo no enviesado, os competidores ganham e perdem igualmente, e o ganho (ou perda) liquido nulo. Alm disso, cada estratgia utilizada em 50% do tempo. Teste para o jogador Y.

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    Soluo pelo mtodo grfico Seja a mesma matriz de recompensas abaixo

    Estratgias de Y Y1 Y2 Mnimos das linhas

    Estratgias de X X1 3 6 3 X2 5 2 2

    Mximo das colunas 5 6 As recompensas mdias do jogador X sero:

    Recompensa de X Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p) = -2p+5

    Recompensa de X Caso Y adote Y2: 6p + 2(1-p) = 4p+2

    Ternos, portanto, duas equaes de retas, que podemos desenhar em funo de p, com 0 p 1.

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    Soluo pelo mtodo grfico

    K (0,5; 4) o ponto em que as duas retas se cruzam, ou seja, o ponto em que o resultado da combinao de estratgias Xl e X2 o mesmo, independentemente da estratgia seguida pelo jogador Y.

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    Soluo por modelo de programao linear possvel solucionar um jogo de dois (ou mais) oponentes, soma zero,

    por meio de um modelo de programao linear desde que o resultado do jogo seja positivo.

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Estratgias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

    O jogador X escolhe suas estratgias de forma a maximizar sua recompensa, ou seja, o valor do jogo, que designamos por S. Ha quatro estratgias para o jogador X: X1, X2, X3 e X4, que so escolhidas durante uma frao de tempo (ou probabilidade). Chamemos tais fraes de p1, p2, p3 e p4 respectivamente. Qualquer que seja a estratgia seguida pelo jogador Y, 0 jogador X tentara maximizar sua recompensa S.

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    Soluo por modelo de programao linear cont. Para a mesma matriz de recompensas.

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Estratgias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

    Se Y escolhe Y1:

    (-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 S (-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 S 0 (I) Se Y escolhe Y2:

    2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 S 2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 S 0 (II) Se Y escolhe Y3:

    4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 S 4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 S 0 (III)

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    Soluo por modelo de programao linear cont. Devemos tambm lembrar que:

    p1 0, p2 0, p3 0 e p4 0 (IV)

    p1 + p2 + p3 + p4 = 1 (V)

    A funo objetivo simplesmente Maximizar S, sujeito s restries mencionadas anteriormente.

    O Modelo :

    Maximizar S

    Sujeito a: (-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 S 0

    2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 S 0

    4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 S 0

    p1 + p2 + p3 + p4 = 1

    p1 0, p2 0, p3 0 e p4 0

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    35

    Soluo por modelo de programao linear cont.

    Resolvendo o sistema, temos:

    p1 = p2 = 0 p3 = 0,25 p4 =0,75 S = 5,75

    O fato de p1 = p2 = 0 significa que o jogador X jamais escolher as estratgias Xl e X2. Em 25% do tempo, ele escolhera a estratgia X3 e, em 75% do tempo, a estratgia X4.

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    36

    Soluo para o jogador Y Agora aplicaremos o mesmo modelo ao jogador Y, que tem sua

    disposio as estratgias Y1, Y2 e Y3 que sero escolhidas por fraes de tempo iguais a q1, q2 e q3 respectivamente. Qualquer que seja a estratgia seguida pelo jogador X, o jogador Y tentara minimizar sua perda W (sabemos que W = S, pois a soma zero).:

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Estratgias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

    Se X escolhe Xl: (-3)ql + 2q2 + 4q3 W Se X escolhe X2: 7ql + (-2)q2 + (-1)q3 W

    Se X escolhe X3: 8ql + lOq2 + 5q3 W Se X escolhe X4: 5ql + 8q2 + 6q3 W

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    Soluo para o jogador Y Lembrando ainda que:

    q1 0, q2 0 e q2 0 q1 + q2 + q3 =1

    A funo objetivo Minimizar W. A formulao completa : Minimizar W Sujeito a: (-3)ql + 2q2 + 4q3 W

    7ql + (-2)q2 + (-1)q3 W 8ql + lOq2 + 5q3 W 5ql + 8q2 + 6q3 W q1 0, q2 0 e q2 0 q1 + q2 + q3 =1

    A soluo para este problema : ql = 0,25 q2 = 0 q3 = 0,75 e W = 5,75

    As estratgias X1, X2 e Y2 nunca so escolhidas pelos respectivos jogadores. o conceito de dominncia explica a razo

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    Dominncia Diz-se que uma estratgia E1 dominada por outra estratgia

    E2 quando, sob quaisquer circunstncias, o jogador escolhe E2, porque sempre conduz a melhores recompensas que El. Na anlise de um jogo, seja de estratgia pura ou de estratgias mistas, as estratgias dominadas podem ser eliminadas previamente da soluo.

    Estratgias de Y Y1 Y2 Y3

    Estratgias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

    A estratgia X4 sempre dar recompensas mais vantajosas que a estratgia Xl. Veja tambm que a estratgia X2 totalmente dominada pela estratgia X3 o que leva a descart-la.

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    Dominncia - continuao Matriz de recompensas modificada Estratgias de Y

    Y1 Y2 Y3 Estratgias de X

    X3 8 10 5 X4 5 8 6

    A estratgia Y2 e dominada tanto pela estratgia Y1 como pela estratgia Y3 (nmeros maiores so piores)

    Matriz de recompensas final Estratgias de Y

    Y1 Y3 Estratgias de X

    X3 8 5 X4 5 6

    No h estratgias dominantes ou dominadas, e o problema no apresenta ponto de sela.

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    40

    Dominncia - continuao Resolvido a soluo ser a mesma:

    Estratgia X3: escolhida 25% do tempo

    Estratgia X4: escolhida 75% do tempo

    Estratgia Y1: escolhida 25% do tempo

    Estratgia Y3: escolhida 75% do tempo

    O valor do jogo igual a 5,75.

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    41

    Exerccio em sala 2

    Dada a matriz de recompensas a seguir, pede-se:

    a) verificar se existe alguma estratgia dominada e, em caso positivo, retir-la da matriz de recompensas;

    b) determinar a melhor estratgia mista para o jogador L;

    c) determinar a melhor estratgia mista para o jogador K;

    d) determinar o valor do jogo.

    Estratgias de K K1 K2 K3

    Estratgias de L L1 -4 8 10 L2 0 -6 12 L3 -10 2 -12

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    Respostas do exerccios em sala

    Resposta 1: a) Ponto de sela X2,Y2 b) valor do jogo=14

    Resposta 2: a) L3 e K3 so dominadas b)p=1/3 c)q=7/9 d)Valor do jogo=-4/3

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    1

    Teoria da Simulao

    Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

    Professor: Edilson Machado de Assis

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    2

    Introduo Existem varias tcnicas quantitativas aplicadas na soluo de problemas gerenciais. Apesar da enorme contribuio destas tcnicas, em algumas situaes elas tem seu potencial limitado. Isso ocorre quando h incerteza quanto aos valores assumidos por uma ou mais variveis do problema:

    a) uma empresa deseja determinar qual a probabilidade de que um produto seja lucrativo;

    b) uma empresa quer saber quantas unidades de um produto devem mantidas em estoque, para que a demanda no atendida no ultrapasse 5%;

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    3

    Introduo - continuao c) uma empresa deseja conhecer o numero mnimo de telefonistas requeridas para que apenas 3% das solicitaes de informaes no sejam atendidas de imediato;

    d) uma fbrica quer programar sua produo, definir nveis de estoques e nmero de funcionrios e planejar suas necessidades de investimento.

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    4

    Histrico A histria da simulao remonta aos jogos de guerra chineses,

    h 5000 anos. Os povos prssios utilizaram esses jogos no final do sculo XVIII como auxlio ao treinamento militar de suas tropas.

    Durante a Segunda Guerra Mundial, o matemtico hungaro-americano John Von Neumann, em seu trabalho no Projeto Manhattan (bomba atmica), criou um novo conceito, denominado Simulao de Monte Carlo. O trabalho consistia na simulao direta de problemas probabilsticos relacionados com a difuso aleatria das partculas de nutrons quando submetidas a um processo de fisso nuclear. O nome Monte Carlo foi cunhado pelo cientista Metropolis, inspirado no interesse por pquer de seu colega Ulam. Buscou-se na similaridade que a simulao estatstica desenvolvida por eles tinha com os jogos de azar, simbolizados nas roletas do cassino de Monte Carlo, na capital do principado de Mnaco.

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    5

    Histrico Atualmente, graas ao desenvolvimento dos recursos

    computacionais, este mtodo usado rotineiramente em diversas reas, desde a simulao de fenmenos fsicos complexos, como o transporte da radiao na atmosfera terrestre, at em causas menos nobres, como na simulao do resultado de loterias.

    Pacotes conhecidos de softwares de simulao, como o Crystal Ball, @Risk, DecisionPro, Xcell, SLAM, Witness e MAP/1, servem ao campo dos negcios, ajudando os gestores a decidir sobre investimentos, melhoria de fluxos operacionais, polticas de estoque, manuteno etc.

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    6

    Modelo

    Modelo uma representao simplificada da realidade, cujo propsito permitir a compreenso do sistema e prever seu comportamento sob determinadas condies.

    Os modelos podem ser fsicos ou matemticos. A construo para testes do modelo de um carro um exemplo de modelo fsico. Os modelos matemticos representam, em termos lgicos e quantitativos, os relacionamentos entre as variveis.

    Os modelos matemticos podem uma soluo analtica ou por meio de simulao.

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    7

    Simulao

    O objetivo da simulao descrever a distribuio e as caractersticas dos possveis valores da varivel dependente Y, depois de determinados os possveis valores e os comportamentos das variveis independentes Xl, X2, ..., Xn. Se qualquer varivel independente em um modelo varivel aleatria, a varivel dependente Y tambm representa uma varivel aleatria.

    Diferentemente da programao linear, que uma tcnica de otimizao, a simulao no determina a soluo tima. Ela torna possvel, pelo exame dos experimentos, a realizao de inferncias sobre o comportamento do sistema, uma vez que as observaes realizadas representam apenas uma amostra do conjunto total das observaes.

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    8

    Gerao de eventos aleatrios

    uma tcnica bastante empregada na simulao. Como exemplo, suponhamos que uma empresa de varejo, do ramo farmacutico, deseja simular sua demanda diria de vitamina C no estoque.

    preciso, inicialmente, que se identifiquem as freqncias relativas das demandas dirias.

    Demanda diria

    (frascos)

    Freqncia (dias)

    Freqncia relativa

    10 30 0,3 11 30 0,3 12 40 0,4

    Total 100 1

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    9

    Gerao de eventos aleatrios

    Passos para simular a ocorrncia da demanda de vitamina C, conhecendo as freqncias relativas apresentadas.

    Uma forma seria colocar 100 bolinhas em uma urna e numer-las com as demandas dirias, respeitando as freqncias relativas. Trinta bolinhas seriam marcadas com o nmero 10, outras 30 com o numero 11 e as 40 restantes com o numero 12. Cada vez que retirssemos uma bola da urna, ao acaso, estaramos simulando a demanda de vitamina C.

    A gerao de nmeros aleatrios bastante facilitada com o uso de planilhas eletrnicas, que trazem uma funo j programada para a tarefa.

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    10

    Gerao de eventos aleatrios - freqncias conhecidas

    Inicialmente, com base nas freqncias relativas, deve ser elaborada uma tabela com freqncias acumuladas. A freqncia acumulada de cada observao a soma de sua freqncia relativa com a freqncia acumulada da observao imediatamente anterior. Acrescentamos uma coluna denominada "Nmeros do sorteio", a partir das freqncias acumuladas.

    Demanda diria

    (frascos)

    Freqncia (dias)

    Freqncia relativa

    Nmeros do sorteio

    10 30 0,3 01 a 30 11 30 0,3 31 a 60 12 40 0,4 61 a 100

    Total 100 1 Escolhido um nmero aleatrio entre 1 e 100 (distribuio

    uniforme), teremos a demanda correspondente na tabela seguindo as freqncias relativas estabelecidas.

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    11

    Gerao de eventos aleatrios - freqncias conhecidas

    C7: =PROCV(ALEATRIOENTRE(1;100);A$2:C$4;3)

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    12

    PROCV

    A funo PROCV procura um nmero na primeira coluna de uma tabela e retorna o nmero contido na mesma linha, pertencente outra coluna especificada .

    valor_procurado: em nosso caso, queremos "procurar" um numero aleatrio entre 1 e 100.

    matriz_tabela: corresponde tabela com base na qual os valores sero procurados. Em nosso exemplo A$4:C$6. importante que as clulas dessa matriz sejam fixadas com $

    num ndice coluna: refere-se ao numero da coluna da matriz-tabela que contem os valores a serem retornados. Em nosso caso, desejamos que seja retornado um dos valores das demandas dirias contidos na coluna 3.

    Os nmeros da primeira coluna so considerados os limites inferiores (fechados) de cada intervalo.

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    Gerao de eventos aleatrios - distribuies conhecidas

    Consideremos que o controller da Faa Rpido Empreendimentos Ltda. est realizando uma simulao para investigar o possvel comportamento do lucro da empresa nos prximos 12 meses. Para tanto, precisa gerar nmeros aleatrios para a varivel vendas, sabendo que esta tem o comportamento de uma distribuio normal com media $ 10.000,00 e desvio padro $ 800,00.

    Ative as Ferramentas de Anlise: Clique no cone do Office 2007 > Opes do Excel > Suplementos do Excel > Escolha Gerenciar: Suplementos do Excel > Ir > Marque: Ferramentas de Anlise.

    O cone Anlise de Dados aparece na aba Dados em Anlise.

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    Gerao de eventos aleatrios - distribuies conhecidas

    nmero de variveis : o nmero de colunas de valores que se deseja na tabela de sada.

    nmero de nmeros aleatrios: o numero de dados que se deseja visualizar. 20 (vinte)

    distribuio : o tipo de distribuio da varivel aleatria. Pode ser uniforme, normal, Bernoulli, binomial, Poisson, padronizada ou discreta. normal N~($10.000 ; $800)

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    Gerao de eventos aleatrios - distribuies conhecidas

    semente aleatria: permite que seja inserido um valor opcional com base no qual os nmeros randmicos sero gerados. Esse recurso e til quando desejamos produzir os mesmos nmeros randmicos posteriormente. (pseudo-aleatrios)

    opes de sada: onde os nmeros sero gerados. Indicamos a clula A2

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    16

    Uso da simulao para tomada de deciso

    A simulao utilizada em problemas decisrios de varias naturezas, e especialmente til em situaes que envolvem analise de riscos. Analise de risco o processo de predizer o resultado de uma deciso face incerteza.

    Existem vrios modelos de simulao, mas trataremos especificamente do Mtodo de Monte Carlo, tcnica que utiliza a gerao de nmeros aleatrios para atribuir valores s variveis do sistema que se deseja investigar.

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    Exemplo

    A indstria de confeces VP quer determinar qual o lucro provvel de seu produto principal para o prximo ano. O produto a cala jeans. Aps pesquisas de mercado e anlises financeiras preliminares, foram estabelecidos preo de venda e os custos e despesas fixos.

    Preo de venda = $ 25 por unidade

    Custos e despesas fixos = $ 100.000

    O custo da matria-prima, o custo da mo-de-obra e a demanda no so conhecidos com certeza. As melhores estimativas que a empresa tem destes valores so:

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    Exemplo - continuao

    a) $10 por unidade para o custo da matria-prima, que pode variar de $8 a $12 (uniforme);

    b) $5 por unidade para o custo de mo-de-obra, podendo variar de $3 a $7 (conhecidas as freqncias);

    Fornecedor C.M.O. Freqncia relativa

    A 3 0,1 B 4 0,2 C 5 0,4 D 6 0,2 E 7 0,1

    Total 1,0

    c) mdia de $13.000 unidades para a demanda com desvio padro de $3.800 e distribuio normal.

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    Exemplo - continuao

    Lucro = [(PV - CMP - CMO) x Demanda] -CDF

    onde: PV = Preo de venda; CMP = Custo da matria-prima; CMO = Custo da mo-de-obra; CDF = Custos e despesas fixos.

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    Soluo em Excel Preencha a planilha conforme as figuras

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    21

    Soluo em Excel continuao

    Temos as informaes dispostas assim

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    22

    Soluo em Excel continuao

    As frmulas so:

    B16: =B$3

    C16: =B$11+(B$12-B$11)*ALEATRIO()

    D16: =PROCV(ALEATRIO();H$4:J$8;3)

    E16: =INV.NORM(ALEATRIO();B$7;B$8)

    F16: =B$4

    G16: =(B16-C16-D16)*E16-F16

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    Soluo em Excel continuao

    D16: E16:

    Selecione de A16:G16 e arraste at a linha 215

    Temos 200 simulaes

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    Anlise de estatstica descritiva

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    Anlise de estatstica descritiva

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    Vantagens da simulao a) viabiliza o estudo do comportamento de um sistema por meio de modelos e, assim, no interfere no sistema real;

    b) permite "comprimir o tempo", fazendo com que dados relativos a meses e anos futuros possam ser obtidos em um pequeno perodo de tempo;

    c) geralmente, os sistemas com variveis aleatrias s podem ser investigados com o emprego de simulao, pois, por serem complexos, torna-se invivel a soluo analtica das equaes matemticas que os descrevem;

    d) as alternativas de operao de um sistema podem ser comparadas;

    e) permite avaliar as interaes existentes entre as diversas variveis de um sistema.