apostila pesquisa operacional parte 1 2

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis TEORIA DAS DAS FILAS 1

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

TEORIA

DASDAS

FILAS

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Teoria das FilasTeoria das FilasIntrodução

Teoria das filas é o estudo matemático daslinhas de espera O primeiro trabalholinhas de espera. O primeiro trabalhoimportante feito neste campo foi realizado

l h i A K E l E lpelo engenheiro A. K. Erlang. Erlangmodelou a flutuação na demanda dosserviços de telefonia e a capacidade dacompanhia telefônica lidar com estademanda.

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Teoria das FilasTeoria das FilasIntrodução

Linhas de espera são um fenômenocomum Elas ocorrem toda vez que acomum. Elas ocorrem toda vez que ademanda instantânea por um serviço

d id d d t di t Eexcede a capacidade de atendimento. Emnegócios, freqüentemente tem que setomar decisões sobre o nível de serviço aoferecer. Oferecer um serviço de nívelexcepcionalmente alto é muito custoso.

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Teoria das FilasTeoria das FilasIntrodução

Por outro lado, não oferecer serviçossuficientemente eficazes provoca longassuficientemente eficazes, provoca longasfilas de espera e perdas financeiras. Assim

t d d i i t d da meta do administrador deve serencontrar o equilíbrio entre a demanda e aoferta de um serviço.

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Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de aplicação

A Teoria das Filas é uma das maisA Teoria das Filas é uma das maisantigas técnicas da ciência deadministração Sua aplicação data doadministração. Sua aplicação data doinício do século XX. A seguir, alguns

d li ãcasos de aplicação:

•Serviço de embarque de passageiros emaeroportos (1979)•Alocação de leitos em albergues públicos(1981)

5

( )

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Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de aplicação

•Análise de falta de combustíveis (1974)Projeto de um sistema de denúncias por•Projeto de um sistema de denúncias por

telefone do Centro de Abusos Contra aC i d E t d d N I (1979)Criança do Estado de Nova Iorque (1979)•Desenvolvimento de unidades de serviçode emergência (1975)•Análise do tempo de viagem de rádio-patrulhas da cidade de Nova Iorque (1987)

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Teoria das FilasTeoria das FilasConsideração sobre estado estável

É importante manter em mente queÉ importante manter em mente queem todos os casos aqui tratados, assume-se que o sistema opera em estado estávelse que o sistema opera em estado estável.

D f t d i i d i t dDe fato, a grande maioria dos sistemas deespera opera em estado estável oupróximo destas condições. Estasimplificação é muito útil pois a análise detransientes é muito difícil e nos casosmais complexos pode ser

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p pmatematicamente intratável.

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Teoria das FilasTeoria das FilasO Sistema de Fila

A figura abaixo detalha um sistemaA figura abaixo detalha um sistemade fila.

Entrada Saída

Fila (clientes)

Unidade de Atendimento

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Teoria das FilasTeoria das FilasDefinições:Cliente - unidade de chegada que requerCliente unidade de chegada que requeratendimento. Ex.: pessoas, peças,máquinas etcmáquinas, etc.

Fila (linha de espera) número de clientesFila (linha de espera) - número de clientesesperando atendimento. Não inclui o

li t tá d t didcliente que está sendo atendido.

C l d At di tCanal de Atendimento - processo ousistema que realiza o atendimento do

9cliente. Pode ser canal único ou múltiplo.

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Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de Sistemas de Filas

Situação Processo de Entrada Processo de SaídaProcesso de Saída

Banco Usuários chegando ao banco Banco Usuários chegando ao banco Usuário atendido pelo caixa

Atendimento em pizzaria Pedido parat d i Pi i i ientrega de pizza Pizzaria envia pizzas

para o cliente10

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Teoria das FilasTeoria das FilasExemplos de Sistemas de Filas

Banco de Sangue Chegada de bolsacom sangue Bolsa usada por pacientecom sangue Bolsa usada por paciente

Estaleiro de Navios NavioEstaleiro de Navios Navionecessitando reparo é enviado para o

t l i N i d ltestaleiro Navio reparado volta o para omar

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Teoria das FilasTeoria das FilasParâmetros de operação das filas

Taxa média de chegada - taxa Taxa média de chegada taxa(clientes / unidade de tempo) segundo aqual os clientes chegam para ser

qual os clientes chegam para seratendidos.

Taxa média de atendimento taxa Taxa média de atendimento - taxa(clientes / unidade de tempo) segundo a

l l d t di t d

qual um canal de atendimento podeefetuar o atendimento de um cliente.

F t d tili ã id d Fator de utilização para uma unidadede atendimento – proporção do tempo em

12que os atendentes estão ocupados.

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Teoria das FilasTeoria das Filasn Número de clientes no sistemac Número máximo de clientespermitidos em um sistema de fila comcomprimento finitos Número de atendentes ou servidores.

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Teoria das FilasTeoria das Filas

Po Probabilidade de que nenhum clienteqesteja no sistema.Pn Probabilidade de que exatamente nPn Probabilidade de que exatamente nclientes estejam no sistemaL Número médio de clientes no sistemaL Número médio de clientes no sistema- número de clientes aguardando na filamais os que estão sendo atendidosmais os que estão sendo atendidosLq Número médio de clientes na fila -

ú d li t dnúmero de clientes que aguardamatendimento.

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Teoria das FilasTeoria das Filas

W Tempo médio do cliente no sistemaW Tempo médio do cliente no sistema -tempo médio gasto pelo cliente na fila

d t did i tesperando para ser atendido mais o tempode atendimento.

Wq Tempo médio de um cliente na Fila -tempo médio do cliente na fila esperandopara ser atendido.p

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Teoria das FilasTeoria das Filas

Ln Número médio de clientes em fila nãoLn Número médio de clientes em fila nãovazia - número médio de clientes

d fil l i desperando em filas excluindo-se ostempos em que a fila está vazia.

Wn Tempo médio de espera para fila nãovazia – tempo que um cliente aguarda emfila se ele tiver de esperar.p

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CaracterísticasCaracterísticasTamanho da população (finita ou infinita)

Infinita

Se a probabilidade de um cliente chegarnão é significativamente alterada quandoum ou mais membros da população estãop p çsendo atendidos a população é ditainfinita. A maioria dos sistemas de filastem população infinita. Exemplo: pessoasque visitam Disneylândia.

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que visitam Disneylândia.

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CaracterísticasCaracterísticasFinita

Uma população é considerada finita Se ab bilid d d li h éprobabilidade de um cliente chegar é

alterada quando um ou mais membros dapopulação estão sendo atendidos.Exemplo: pessoas de bom gosto quep p g qcompram CDs de Tiririca.

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CaracterísticasCaracterísticasPadrão de chegada da população ( comh á i é d t i d l tó i )horário pré-determinado ou aleatório).

P é d i dPré-determinado

Não há necessidade de se criar um modeloanalítico. Se o padrão é aleatório então épnecessário especificar o tipo de distribuiçãode probabilidade dos tempos entre chegadasp p gao sistema consecutivas.

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

CaracterísticasCaracterísticasPadrão de chegada da população ( comh á i é d t i d l tó i )horário pré-determinado ou aleatório).

Al ó iAleatórioÉ necessário especificar o tipo de distribuiçãode probabilidade dos tempos entre chegadasao sistema consecutivas.O tipo mais comum de padrão de chegada éa distribuição de Poisson. Neste caso, asç ,chegadas ao sistema ocorremaleatoriamente mas com uma certa média λ

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aleatoriamente, mas com uma certa média λ.

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CaracterísticasCaracterísticas

T h d fil (fi it i fi it )Tamanho da fila (finito ou infinito)

A fil é i d l á i ú dA fila é caracterizada pelo máximo número declientes que pode conter. Este número podeser considerado finito ou infinito e isto vaidepender das limitações físicas do sistemap(espaço disponível). É mais fácil trabalharanaliticamente filas de comprimento infinito.p

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CaracterísticasCaracterísticasA disciplina da fila

A disciplina da fila é a ordem pela qual osli h i ãclientes que chegam ao sistema são

selecionados para serem atendidos.

Tipos : FCFS, LCFS, SIROp

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CaracterísticasCaracterísticas

FCFS fi t fi t d ( i iFCFS - first come, first served (o primeiroa chegar é o primeiro a ser atendido). É oi itipo mais comum

LCFS - last come, first served (o último achegar é o primeiro a ser atendido). Ex:g p )uma pilha de pratos esperando para seremlavados. O último prato a ser colocado é opprimeiro a ser lavado.

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CaracterísticasCaracterísticas

SIRO i i d dSIRO - service in random order(atendimento em ordem aleatória).

Exemplo: Um pátio de uma concessionáriana qual os carros esperam para seremcomprados. A ordem de compra ép paleatória.

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CaracterísticasCaracterísticasNúmero de canais de atendimento( i l últi l “ ”)(singular ou múltiplo “n”)

O di d dO atendimento pode ser processado pormeio de um único atendente ou por meiode dois ou mais canais de atendimento.No primeiro caso diz-se que o atendimentop qé feito por um canal e no segundo diz-secanal múltiplo.p

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CaracterísticasCaracterísticasTeorema

Para qualquer sistema de filas no quali di ib i ã iexista uma distribuição em regime

constante, são válidas as seguintesrelações:

L = λ.WLq = λ.Wqq qLn = λ.Wn

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Notação de filasNotação de filasCada Sistema de Filas é descrito por 6

t í ti (1 / 2 / 3) (4 / 5 / 6)

çç

características: (1 / 2 / 3) : (4 / 5 / 6)

(1) Ti d d h d(1) Tipo de tempos de chegada(2) Tipo de tempos de antendimento(3) Número de canais de atendimento(4) Número máximo de usuários no( )

sistema.(5) Tamanho da população que usa o( ) p p ç q

sistema.(6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO

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(6) Disciplina da fila: FCFS, LCFS, SIRO

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Notação de filasNotação de filas(1) Tipo de tempos de chegada (intervalos

d t d h d ã i d d t

çç

de tempo de chegada são indepedentese...)

M - aleatórios com distribuiçãoexponencial

D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (podeç g (p

englobar as anteriores)

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Notação de filasNotação de filas(2) Tipo de tempos de atendimento

(i t l d t d h d ã

çç

(intervalos de tempo de chegada sãoindepedentes e...)

M - aleatórios com distribuiçãoexponencial

D - determinísticosE - aleatórios tendo distribuição de ErlangG – com distribuição genérica (podeç g (p

englobar as anteriores)

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Notação de filasNotação de filas(3) Número de canais de atendimento

çç

n(4) Número máximo de usuários no

isistema.c

(5) Tamanho da população que usa osistema.

(6) Disciplina da fila( ) pFCFS, LCFS, SIRO ou G (genérica)

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Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema de um canal com comprimento

i fi it d fil

( ) ( )( ) ( )

infinito de fila.Este é o modelo básico para servidor

i l É i d dsimples. É o mais comum de todos.

Intervalo entre chegadas exponencial = MTempo de atendimento exponencial = Mp p

Canais de atendimento = 1Capacidade do sistema = ∞ pTamanho da população = ∞

Disciplina da fila = FCFS31

Disciplina da fila FCFS

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Fórmulas

( ) ( )( ) ( )

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Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Exemplo:

( ) ( )( ) ( )

Pacientes chegam a um posto médicob i l ã d ipara receber a inoculação de uma vacina

numa taxa de 100 pessoas por horaseguindo a distribuição de Poisson.Cada pessoa consome 15 segundos dep guma única enfermeira que aplica avacina. Os tempos de serviçosp çrealizados seguem a distribuiçãoexponencial. Responda:

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exponencial. Responda:

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Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Exemplo (continuação):

) Q l h d i t

( ) ( )( ) ( )

a) Qual a chance de que um paciente queacaba de chegar, não tenha que

?esperar?b) Qual a chance de haver exatamente três

pacientes no sistema?c) Qual é o número médio de pacientes no) p

sistema?d) Qual o número médio de pacientes) Q p

esperando na fila? (não inclua opaciente recebendo a vacina).

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paciente recebendo a vacina).

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Exemplo (continuação):

( ) ( )( ) ( )

e) Em média, quanto tempo um pacienteh b i l ãgasta para chegar, receber a inoculação

e sair?

f) Qual é o tempo médio de espera antes) p pque o paciente possa estar com aenfermeira?

35

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

a) Qual a chance de que um paciente queb d h ã hacaba de chegar, não tenha que

esperar?

= 0,417,

= 0,583

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

b) Qual a chance de haver exatamente trêsi i ?pacientes no sistema?

P3 = 0,042

37

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

c) Qual é o número médio de pacientes noi ?sistema?

L = 0,714 clientes

38

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

d) Qual o número médio de pacientesd fil ? ( ã i lesperando na fila? (não inclua o

paciente recebendo a vacina).

Lq = 0,298 q ,clientes

39

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução

( ) ( )( ) ( )

e) Em média, quanto tempo um pacienteh b i l ãgasta para chegar, receber a inoculação

e sair?

W = 0,007143 h ou

W = 25,7 segundos

40

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (∞ / ∞ / FCFS)Solução

( ) ( )( ) ( )

f) Qual é o tempo médio de espera antesique o paciente possa estar com a

enfermeira?

Wq = 0 002976 h ouWq = 0,002976 h ou

Wq = 10,7 segundosq g

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema de um canal com comprimento

finito de fila.

( ) ( )( ) ( )

finito de fila.O comprimento da fila agora é limitado.

Este tipo de restrição não é usual mas éEste tipo de restrição não é usual mas épossível considerar os limites físicos deum sistema de filasum sistema de filas.

Intervalo entre chegadas exponencial = MT d t di t i l MTempo de atendimento exponencial = M

Canais de atendimento = 1C id d d i tCapacidade do sistema = c Tamanho da população = ∞

42Disciplina da fila = FCFS

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)( ) ( )( ) ( )

ObservaçãoQuando “c” clientes estão no sistema, se

chegar algum outro cliente, este vaiembora e não volta mais.

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Fórmulas

( ) ( )( ) ( )

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Exemplo:O i t h t d 100

( ) ( )( ) ( )

Os pacientes chegam numa taxa de 100pessoas por hora seguindo a distribuiçãod P i C d 15de Poisson. Cada pessoa consome 15segundos de uma única enfermeira queaplica a vacina. Os tempos de serviçosrealizados seguem a distribuiçãog çexponencial. Devido ao pequeno tamanhoda sala de espera, a capacidade dasp , pinstalações é igual a três pessoas.

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Exemplo (continuação):

( ) ( )( ) ( )

Qual o efeito desta restrição quandoicomparamos este novo sistema com o

anterior? As perguntas são as mesmas.Responda:

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Exemplo (continuação):

) Q l h d i t

( ) ( )( ) ( )

a) Qual a chance de que um paciente queacaba de chegar, não tenha que

?esperar?b) Qual a chance de haver exatamente três

pacientes no sistema?c) Qual é o número médio de pacientes no) p

sistema?d) Qual o número médio de pacientes) Q p

esperando na fila? (não inclua opaciente recebendo a vacina).

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paciente recebendo a vacina).

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Exemplo (continuação):

( ) ( )( ) ( )

e) Em média, quanto tempo um pacienteh b i l ãgasta para chegar, receber a inoculação

e sair?

f) Qual é o tempo médio de espera antes) p pque o paciente possa estar com aenfermeira?

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Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

a) Qual a chance de que um paciente queb d h ã hacaba de chegar, não tenha que

esperar?

= 0,417 (não mudou)( )

Era Po= 0,583

Po= 0,601

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

b) Qual a chance de haver exatamente trêsi i ?pacientes no sistema?

Era P3 = 0,042

P3 = 0,104

50

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

c) Qual é o número médio de pacientes noi ?sistema?

Era L = 0,714

L = 0,59 clientes

51

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução:

( ) ( )( ) ( )

d) Qual o número médio de pacientesd fil ? ( ã i lesperando na fila? (não inclua o

paciente recebendo a vacina).

Era Lq = 0,298

L 0 191Lq = 0,191

52

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução

( ) ( )( ) ( )

e) Em média, quanto tempo um pacienteh b i l ãgasta para chegar, receber a inoculação

e sair?

Era W = 25,7 segundos

W = 0,00616 h ou

W = 22,2 segundos

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Sistema (M / M / 1) : (c / ∞ / FCFS)Solução

( ) ( )( ) ( )

f) Qual é o tempo médio de espera antesique o paciente possa estar com a

enfermeira?

Era Wq = 10,7 segundos

Wq=0,002 h ou

Wq = 7,19 segundos

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Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Exercícios propostosExercícios propostos1- Num sistema de atendimento composto

d ú i id ú i fil

p pp p

de um único servidor e uma única filaoriunda de população infinita, osli h d 3clientes chegam numa taxa de 3

pessoas/min. Sabendo que sãoatendidas 5 pessoas/min. e que sistemasegue distribuição de Poisson, calcule:g ç

a) O número médio de clientes no sistema)b) O número médio de clientes na filac) A probabilidade do sistema estar ocioso

55

c) A probabilidade do sistema estar ocioso

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Exercícios propostosExercícios propostos

d) A probabilidade do sistema estar

p pp p

ocupadoe) O tempo médio de espera no sistema) p pf) O tempo médio de espera na fila

56

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

Exercícios propostosExercícios propostos2 - Resolva o exercício anterior

id d i t t

p pp p

considerando que o sistema agora temcapacidade limitada a c=4.

57

Aulas de P.O. por Prof. Edilson Machado de Assis

58

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

1  

Teoria da Decisão

Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

Professor: Edilson Machado de Assis

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

2  

Introdução

A Teoria da Decisão é um conjunto de técnicas quantitativas que tem por objetivo ajudar sistematização e a solução do problema de decisão.

É preciso que o tomador de decisão tenha, diante de si, mais de uma alternativa. Se uma situação conduzir somente a um caminho, a uma alternativa de solução, a rigor não existe um problema por mais desagradável que seja o desfecho.

Não há solução de um problema sem um critério: logo, a Teoria da Decisão baseia-se em critérios preestabelecidos, havendo sempre espaço para novos critérios e novas contribuições

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

3  

Estruturas de um problema de decisão

a) Estratégias alternativas

São as possíveis soluções para o problema. Se não conseguirmos listar as alternativas, nem mesmo teremos um problema de decisão.

Exemplo:

Imagine que uma empresa deseje lançar um produto novo. A companhia poderá usar duas estratégias alternativas: ou aproveita as instalações existentes, com reformas e ampliações, ou constrói uma nova unidade operacional, especialmente dedicada a esse novo produto.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

4  

Estruturas de um problema de decisão

Uma nova unidade operacional custos maiores flexibilidade atende demandas maiores.

Reformas e adaptações custos menores demandas pequenas médias.

A demanda futura pelo produto influenciará na escolha de uma ou outra alternativa. As demandas futuras, nesse caso, são os estados da natureza.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

5  

Estruturas de um problema de decisão

b) Estados da natureza

São todos os acontecimentos futuros que poderão influir sobre as alternativas de decisão.

Exemplo:

No caso do lançamento do produto, os estados da natureza são as demandas futuras possíveis. (grande, media e pequena). Temos duas alternativas de decisão e três estados da natureza. Cada alternativa de decisão, sob cada estado da natureza, conduzirá a um resultado.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

6  

Estruturas de um problema de decisão

c) Resultados

É a conseqüência de se escolher uma alternativa de decisão, quando ocorre certo estado da natureza. Para cada combinação de alternativa de decisão e estado da natureza, tem-se um resultado possível.

Exemplo:

Com duas alternativas e três estados da natureza, temos, então, 2 3 6´ = resultados possíveis.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

7  

Matriz de Decisão

É uma ferramenta, que permite visualizar as estratégias alternativas, os estados da natureza e os resultados associados. Usualmente, os estados da natureza são listados nas colunas, as alternativas são listadas nas linhas e os resultados são apresentados nas células. Os resultados, sempre que possível, são expressos numericamente, em termos de lucros ou receitas, custos ou despesas, tempo despendido por exemplo.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

8  

Matriz de decisão

Estados da natureza

EN1 EN2 ... ... ENk

Alternativas

A1 R11 R12 R13 R14 R1k

A2 R21 R22 R23 R24 R2k

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

Ap Rp1 Rp2 ... ... Rpk

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

9  

Classificação de problemas de decisão

Decisão Tomada Sob Certeza – DTSC

Sabemos exatamente qual estado da natureza vai ocorrer ou, conhecemos com certeza todos os dados do nosso problema. Podemos admitir como constantes ou muito pouco variáveis todos os dados numéricos do problema (conforme feito em PL)

Decisão Tomada Sob Risco – DTSR

Não sabemos exatamente qual estado da natureza irá ocorrer, mas podemos associar a cada um deles uma probabilidade de ocorrência. (de forma objetiva ou subjetiva).

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

10  

Classificação de problemas de decisão

Decisão Tomada Sob Incerteza – DTSI

Não sabemos exatamente qual estado da natureza ira ocorrer e, nem mesmo conseguimos associar quaisquer probabilidades de ocorrência aos estados da natureza.

Em todos os casos, sabemos os estados da natureza.

Cuidaremos apenas dos problemas de DTSR e DTSI, uma vez que, para os problemas de DTSC, existem critérios de comparação entre as alternativas.

Pesquisa Operacional II – Prof. Edilson Machado de Assis 

11  

Decisão Tomada Sob Risco – DTSR

Conhecemos as probabilidades dos futuros estados da natureza. A solução de um problema de DTSR depende do conceito de Valor Esperado da Alternativa – VEA.

Consideremos uma matriz de decisão genérica com p alternativas, sujeitas a k estados da natureza. Conhecemos a probabilidade de ocorrência de cada um dos estados da natureza. Define-se Valor Esperado da Alternativa para qualquer uma das alternativas como a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas probabilidades de ocorrência de tais estados da natureza.

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Exemplo

A Estrela do Norte S.A. e uma companhia manufatureira de brinquedos que esta diante da decisão de comprar de terceiros ou manufaturar um componente comum a vários de seus brinquedos. Se a demanda pelos brinquedos nos próximos meses for alta, então a decisão de manufaturar o componente internamente terá sido bastante acertada. Se, entretanto, a demanda for muito pequena, a Estrela do Norte ficara com instalações custosas e com baixa utilização de capacidade. As conseqüências são imediatas: lucro ou prejuízo. A matriz de decisão a seguir, que ilustra a situação

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Solução Matriz de decisão: compra ou manufatura de um produto (lucro

em milhares de reais)

Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

Demanda média p=0,35

Demanda alta

p=0,25

Alternativas

Comprar o componente 10 40 100

Manufaturar o componente -30 20 150

Valores esperados para as alternativas (regra de Bayes):

Comprar: 10 (0,4) + 40 (0,35) + 100 (0,25) = 43(mil R$)

Manufaturar: (-30) (0,4) + 20 (0,35) + 150 (0,25) = 32,5 (mil reais)

Logo, a alternativa comprar conduz a um lucro maior.

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Importante

Deve-se escolher o melhor Valor Esperado da Alternativa. Se a matriz é apresentada em termos de lucros ou receitas, o melhor valor corresponde ao maior valor. Caso a matriz seja dada em termos de custo ou despesa, o melhor valor corresponde ao menor valor, neste caso deve-se escolher a alternativa que leve ao menor VEA.

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Valor Esperado da Informação Perfeita – VEIP

Seria interessante saber de antemão o que vai acontecer no futuro. Todos provavelmente concordariam com isso, mas muitos diriam que e impossível prever o futuro. Entretanto, podemos gastar algum dinheiro a mais e procurar por informações melhores que, se não permitem prever o futuro, pelo menos permitem estimá-lo com maior precisão. Surge a questão inevitável: até quanto estaremos dispostos a gastar?

Se ha vários estados da natureza, e impossível evitá-los ou alterar a sua probabilidade, o máximo que podemos fazer e dizer qual será o próximo estado da natureza, permitindo a escolha da opção melhor, considerando aquele estado.

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Valor Esperado da Informação Perfeita – VEIP Estados da natureza Demanda

baixa p=0,4

Demanda média p=0,35

Demanda alta

p=0,25 Alternativas Comprar o componente 10 40 100

Manufaturar o componente -30 20 150

Tendo o conhecimento prévio do estado da natureza que vai ocorrer o resultado médio obtido é:

10 (0,4) + 40 (0,35) + 150 (0,25) = 55,5

Esse resultado é o melhor possível, com a melhor informação possível. Não corresponde a uma alternativa, mas a uma combinação de alternativas, sempre com a melhor informação.

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Valor Esperado da Informação Perfeita – VEIP

Sem a informação da alternativa perfeita, o lucro é 43. A melhor informação possível traz um acréscimo de lucro de (55,5 - 43) = 12,5 (milhares de reais).

Valor Esperado da Informação Perfeita representa o valor máximo que poderíamos pagar pela melhor das informações

VEIP é o excedente obtido (sobre o melhor VEA) quando temos de antemão a informação perfeita, ou seja, qual o estado da natureza que vai ocorrer em seguida.

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Resultados x arrependimentos

Dado certo estado da natureza chama-se arrependimento aquilo que se perde, quando não se escolhe a melhor alternativa para aquele estado da natureza. Uma solução alternativa para o problema de decisão é aplicar a Regra de Decisão de Bayes aos arrependimentos ao invés de aplicá-la à matriz original, e escolher a alternativa que conduz ao mínimo arrependimento médio.

Para cada estado da natureza, o resultado associado à melhor alternativa menos os resultados das demais alternativas.

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Resultados x arrependimentos

Matriz de lucros ou receitas arrependimento naturalmente positivo.

Matriz de despesas ou prejuízos arrependimentos devem ser todos tornados com sinal positivo.

Usemos agora a matriz de arrependimentos para o calculo da melhor alternativa, empregando ainda a Regra de Decisão de Bayes. Deveremos escolher a alternativa que leva ao mínimo arrependimento.

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Resultados x arrependimentos Matriz de decisão - lucros

Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

Demanda média p=0,35

Demanda alta

p=0,25 Alternativas Comprar o componente 10 40 100

Manufaturar o componente -30 20 150 Matriz de decisão – arrependimentos

Estados da natureza Demanda baixa p=0,4

Demanda média p=0,35

Demanda alta

p=0,25 Alternativas Comprar o componente 0 0 50

Manufaturar o componente 40 20 0 Comprar: 0 (0,4) + 0 (0,35) + 50 (0,25) =12,5 Manufaturar: 40 (0,4) + 20 (0,35) + 0 (0,25) = 23

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Mínimo arrependimento

O mínimo arrependimento fica com a alternativa comprar o componente, a mesma que já havíamos escolhido usando a Regra de Decisão de Bayes sobre a matriz original. Repare que o mínimo arrependimento médio e exatamente igual ao Valor Esperado da Informação Perfeita (12,5). Esses resultados sempre se mantém, ou seja, a solução é a mesma, quer se aplique a Regra de Decisão de Bayes à matriz original ou à matriz de arrependimentos, e o mínimo arrependimento médio e sempre igual ao Valor Esperado da Informação Perfeita.

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Análise de sensibilidade A solução para um problema de Decisão Tomada Sob

Risco depende basicamente de dois conjuntos de valores: os resultados associados a cada alternativa e estado da natureza e as probabilidades associadas aos estados da natureza. Quaisquer variações destes valores correspondem a variações nos cálculos, podendo conduzir a mudanças de decisão.

Chama-se analise de sensibilidade o estudo do efeito sobre a decisão caso variem os números do problema original. Para exemplificar, vamos usar um caso em que existam três alternativas e apenas dois estados da natureza e trabalhar somente com mudanças nas probabilidades de ocorrência desses estados.

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Análise com mudança em p – estudo de caso

A Companhia Epsilon esta considerando três possibilidades para a distribuição de seus produtos em uma região. A primeira dessas possibilidades é a que esta sendo adotada atualmente e consiste em entregar os produtos diretamente aos revendedores locais; a segunda alternativa consiste em abrir um armazém próprio de distribuição e, finalmente, a última possibilidade seria a de colocar os produtos em um grande distribuidor local. Dependendo de como se comporte a demanda futura para a região, as alternativas trarão receitas diferenciadas para a companhia, segundo a matriz de decisão mostrada.

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Análise com mudança em p – estudo de caso

Demanda grande p=0,4

Demanda pequena p=0,6

Usar revendedores locais 140 40 Construir armazém próprio 200 -30

Usar grande distribuidor local 160 10

VEA

Usar revendedores locais: 140 (0,4) + 40 (0,6) =80

Construir armazém próprio: 200 (0,4) + (-30) (0,6) = 62

Usar grande distribuidor local: 160 (0,4) + 10 (0,6) = 70

A melhor solução seria a alternativa Usar revendedores locais (VEA = 80).

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Análise com mudança em p – estudo de caso Chamemos de p a probabilidade de que a demanda futura seja

grande (a analise é a mesma se tomarmos a probabilidade de que a demanda seja pequena). A probabilidade de a demanda ser pequena é (1-p). Calculemos, em função de p.

Alternativa Usar revendedores locais

VEA =140p + 40(1-p) =140p + 40 -40p = l00p + 40 (I)

Alternativa Construir armazém próprio

VEA = 200p + (-30)(1 -p) = 200p -30 + 30p = 230p -30 (II)

Alternativa Usar grande distribuidor local

VEA = 160p + 10(1-p) = 160p + 10 -10p = 150p + 10 (III)

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Representação gráfica

Verifique que, ate o ponto A (p=0,538) mostrado no gráfico, a melhor

alternativa é sempre Usar revendedores locais, dali em diante, a melhor alternativa e Construir armazém próprio. Em nenhum momento a alternativa Usar grande distribuidor local se torna interessante.

A

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Análise de sensibilidade Portanto, para p<0,538, a melhor solução é dada pela

alternativa Usar revendedores locais; para p = 0,538, é indiferente adotar a alternativa Usar revendedores locais ou a alternativa Construir armazém próprio. Para 0,538<p<1 a melhor solução é a alternativa Construir armazém próprio.

Trabalhamos sobre um caso em que só havia dois estados da natureza. Se houver mais de dois estados (N > 2), evidentemente, a análise só pode levar em conta a combinação de dois estados quaisquer de cada vez, considerando constantes todos os demais (N -2) estados. De forma geral, o numero total de análises que devem

ser feitas é ( )!

2 2! 2 !

N NN

æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç -è ø.

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Exercício em sala 1

A Costura Fina Ltda. É uma fabrica de confecções que está atualmente produzindo sua coleção de inverno, a ser lançada em alguns meses. Há dúvidas, na alta direção da Costura Fina, sobre o montante de investimento que deve ser destinado a essa coleção. Nos últimos anos, o clima, que tanto influencia no sucesso da coleção, tem se revelado errático, sendo que outono e inverno podem ser muito parecidos, e às vezes o inverno é pontilhado por períodos de muito sol e calor, chamados comumente de veranicos. É sabido que, se o próximo inverno apresentar muitos veranicos, a coleção de inverno fracassará, por outro lado, se o inverno for rigoroso, a coleção trará lucros substanciais à Costura Fina, havendo também um estágio intermediário, de menor sucesso. Os diretores da Costura Fina prepararam a matriz de decisão a seguir, com lucro em milhares de reais considerando uma estimativa para a probabilidade de cada estado da natureza. Assim, há uma

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probabilidade de 0,6 de que o inverno seja rigoroso, de 0,2 de que o inverno tenha alguns veranicos e de 0,2 de que 0 inverno tenha muitos veranicos. Pede-se:

a) Qual é a solução baseada no Valor Esperado da Alternativa?

b) Qual é o Valor Esperado da Informação Perfeita?

c) Realize as análises de sensibilidade

p=0,6 p=0,2 p=0,2

Inverno rigoroso

Inverno com alguns veranicos

Inverno com muitos veranicos

Investimento substancial na coleção 5000 2000 -2000

Investimento médio na coleção 1500 1000 -500 Pequeno investimento na coleção 200 800 0

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Arvores de decisão

Os problemas de Decisão Tomada Sob Risco também podem ser estruturados e resolvidos com o auxílio de uma representação gráfica do processo de decisão, chamada de árvore de decisão.

Para apresentar a arvore de decisão, retornemos ao problema de distribuição da Companhia Epsilon. A árvore de decisão correspondente é

DemandaGrande

(0,4)140

4

Construir armazémpróprio 3

Revendedoreslocais

2

Grande distribuidorlocal

1

DemandaPequena

(0,6)40

DemandaGrande

(0,4)200

DemandaPequena

(0,6)-30

DemandaGrande

(0,4)160

DemandaPequena

(0,6)10

 

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Arvores de decisão As linhas de uma arvore de decisão são chamadas de ramos, e os

pontos em que os ramos se encontram (representados por círculos ou quadrados) são chamados de nós. Um quadrado representa um momento de decisão, enquanto um circulo representa um momento em que ocorre um dos estados da natureza previstos.

Os quadrados são também chamados de nós de decisão e os círculos, de nós de estados da natureza. Quando vista da esquerda para a direita, a árvore de decisão segue a própria rotina temporal da decisão.

Os números ao final de cada um dos seis últimos ramos representam os resultados individuais associados com cada alternativa e estado da natureza. Os ramos que partem de um nó de decisão são chamados de ramos de decisão. Os que partem de um nó de estado da natureza são chamados de ramos de estado da natureza.

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Arvores de decisão - VEA

A solução da árvore é simples: em cada nó de estado da natureza, faz-se a soma dos produtos dos resultados pelas probabilidades dos estados da natureza obtendo o Valor Esperado da Alternativa:

VEA (nó 2) = 140 (0,4) + 40 (0,6) =80 (Usar revendedores locais)*melhor VEA (nó 3) = 200 (0,4) + (-30) (0,6) = 62 (Construir armazém próprio) VEA (nó 4) =160 (0,4) + 10 (0,6) = 70 (Usar grande distribuidor local)

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Decisão Tomada Sob Incerteza – DTSI

Nos problemas DTSI conhecemos todos os possíveis estados da natureza, mas não temos nenhuma estimativa de suas probabilidades. O tomador de decisão pode optar por algum critério de seu interesse. A decisão não será obrigatoriamente a mesma, mas dependerá do critério adotado.

A literatura traz alguns critérios considerados costumeiros, que serão objeto de analise. Entre eles, temos:

a) Critério maximax

b) Critério maximin

c) Critério de Laplace

d) Critério do realismo (Hurwicz)

e) Critério do mínimo arrependimento

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Critério maximax

O critério maximax (máximo entre os máximos) carrega consigo uma visão de mundo extremamente otimista. Dada uma matriz de decisão, devemos escolher a alternativa que leva ao melhor possível dos resultados, ou seja, devemos escolher o melhor resultado de cada alternativa e, em seguida, dentre eles, "o melhor dos melhores".

Matriz de decisão – Epsilon – lucro (R$1.000)

Demanda grande

Demanda pequena

Usar revendedores locais 140 40 Construir armazém próprio 200 -30

Usar grande distribuidor local 160 10 Solução: Construir armazém próprio

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Critério maximin

De cada alternativa, escolhemos o pior resultado; depois, dentre os piores, escolhemos o melhor deles, " O menos ruim dentre os piores". O critério maximin implica um primeiro movimento pessimista, seguido por um movimento otimista.

Matriz de decisão – Epsilon – lucro (R$1.000)

Demanda grande

Demanda pequena

Usar revendedores locais 140 40 Construir armazém próprio 200 -30

Usar grande distribuidor local 160 10

Solução: Usar revendedores locais

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Critério de Laplace

O critério de Laplace é também conhecido como "critério da razão insuficiente", exatamente porque, por não termos razão suficiente para admitir o contrario, assumimos que são idênticas as probabilidades dos diversos estados da natureza e calculamos os valores esperados de cada alternativa, escolhemos então, o melhor deles.

Matriz de decisão – Epsilon – lucro (R$1.000)

Demanda

grande Demanda pequena

Resultados médios

Usar revendedores locais 140 40 90

Construir armazém próprio 200 -30 85 Usar grande distribuidor local 160 10 85

Solução: Usar revendedores locais

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Critério do realismo (Hurwicz)

O critério de Hurwicz ou critério da media ponderada consiste em adotar um compromisso entre uma visão pessimista e uma visão otimista da realidade. O tomador de decisão seleciona um coeficiente de realismo variando entre 0 e 1. Quanto maior for , mais otimismo, quanto menor for, mais pessimismo. Após a adoção de , escolhe-se, para cada alternativa, o melhor e o pior resultado, computando a média ponderada:

Media ponderada da alternativa = (melhor resultado) + (1-) (pior resultado)

Computadas as medias ponderadas de todas as alternativas, escolhemos a de melhor media.

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Critério do realismo (Hurwicz)

Adotemos = 0,7

Matriz de decisão – Epsilon – lucro (R$1.000)

Demanda

grande Demanda pequena

Média ponderada

Usar revendedores locais 140 40 110

Construir armazém próprio 200 -30 131 Usar grande distribuidor local 160 10 115

Revendedores locais: 140 (0,7) + 40 (1 -0,7) = 110

Construir armazém próprio: 200 (0,7) + (-30) (1 -0,7) =131

Grande distribuidor local: 160 (0,7) + 10 (1 -0,7) = 115

Solução: Construir armazém próprio

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Critério do mínimo arrependimento

Arrependimento é aquilo que se perde, quando não se escolhe a melhor alternativa para aquele estado da natureza (melhor alternativa menos o resultado).

Montamos inicialmente a matriz de arrependimentos e, em seguida, para cada alternativa, escolhemos o pior dos arrependimentos. Decidimos pela alternativa com o menos ruim dos arrependimentos. Em outras palavras, aplica-se a matriz de arrependimentos o critério maximin.

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Critério do mínimo arrependimento

Matriz de decisão – Epsilon – lucro (R$1.000)

Demanda grande

Demanda pequena

Usar revendedores locais 140 40

Construir armazém próprio 200 -30 Usar grande distribuidor local 160 10

Matriz de decisão – Epsilon – arrependimentos (R$1.000)

Demanda grande

Demanda pequena

Pior arrependimento

Usar revendedores locais 60 0 60 Construir armazém próprio 0 70 70

Usar grande distribuidor local 40 30 40 Dos piores arrependimentos, o menos ruim é 40 (Usar grande

distribuidor local). Curiosamente, é o único critério que forneceu tal solução.

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Exercício em sala 2

A Costura Fina Ltda. É uma fabrica de confecções que está atualmente produzindo sua coleção de inverno, a ser lançada em alguns meses. Há dúvidas, na alta direção da Costura Fina, sobre o montante de investimento que deve ser destinado a essa coleção. Nos últimos anos, o clima, que tanto influencia no sucesso da coleção, tem se revelado errático, sendo que outono e inverno podem ser muito parecidos, e às vezes o inverno é pontilhado por períodos de muito sol e calor, chamados comumente de veranicos. É sabido que, se o próximo inverno apresentar muitos veranicos, a coleção de inverno fracassará, por outro lado, se o inverno for rigoroso, a coleção trará lucros substanciais à Costura Fina, havendo também um estágio intermediário, de menor sucesso. Os diretores da Costura Fina prepararam a matriz de decisão a seguir, com lucro em milhares de reais.

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Exercício em sala 2 (continuação)

Inverno rigoroso

Inverno com alguns veranicos

Inverno com muitos veranicos

Investimento substancial na coleção 5000 2000 -2000

Investimento médio na coleção 1500 1000 -500 Pequeno investimento na coleção 200 800 0

Suponha que a instabilidade dos últimos anos torne muito difícil atribuir probabilidades aos estados da natureza. Determine a solução por meio dos seguintes critérios: a) maximax; b) maximin; c) Laplace; d) Hurwicz ( = 0,6); e) mínimo arrependimento.

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Solução de Exercício em sala 1 a)

Investimento substancial na coleção:

5.000 (0,6) + 2.000 (0,2)+(-2.000) (0,2) = 3.000

Investimento médio na coleção:

1.500 (0,6) + 1.000 (0,2) +(-500) (0,2) = 1.000

Pequeno investimento na coleção:

800 (0,6) + 200 (0,2) + (0) (0,2) = 520

b)

O melhor resultado médio com o conhecimento do estado da natureza:

5.000 (0,6) + 2.000 (0,2) + 0 (0,2) = 3.400

VEIP =3.400 - 3.000 = 400 (R$ 400.000)

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Solução de Exercício em sala 2

a) critério maximax

Dos três melhores resultados, o melhor possível é 5.000 (na verdade, R$ 5 milhões), correspondente a alternativa Investimento substancial na coleção

b) critério maximin

Alternativa Pequeno investimento na coleção (0).

c) critério de Laplace

Valores médios de cada alternativa:1667; 667; 333

Investimento substancial na coleção.

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Solução de Exercício em sala 2 - continuação

d) critério de Hurwicz (a =0,6)

Investimento substancial na coleção:

5.000 (0,6) + (-2.000) (0,4) =2.200

Investimento médio na coleção:

1.500 (0,6) + (-500) (0,4) = 700

Pequeno investimento na coleção:

800 (0,6) + (0) (0,4) = 48O

Alternativa Investimento substancial na coleção.

d) critério do mínimo arrependimento

Para cada alternativa o pior arrependimento:

Investimento substancial na coleção ..................2.000

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Solução de Exercício em sala 2 - continuação

Investimento médio na coleção .......................... 3.500

Pequeno investimento na coleção ..................... .4.200

O menor arrependimento é a solução com a alternativa Investimento substancial na coleção.

Todos os critérios, exceto o maximin, levaram a alternativa Investimento substancial na coleção. Isso ocorre porque há, de início, um desequilíbrio em favor dessa alternativa que, nas duas condições favoráveis, leva a grandes lucros comparativos. Por sua vez, o critério maximin é muito conservador e tendeu para uma solução em que nitidamente se ganha pouco nas melhores condições, mas nada se perde com o pior dos estados da natureza.

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1  

Teoria dos Jogos

Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

Professor: Edilson Machado de Assis

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2  

Introdução A  Teoria dos logos é um conjunto de procedimentos lógicos e matemáticos projetados para auxiliar na determinação de estratégias ótimas a serem seguidas nas situações competitivas de tomada de decisão.

Muitas situações, tanto na rotina normal de cada um como no mundo dos negócios, envolvem a estruturação de um jogo, com dois ou mais tomadores de decisão, sendo que cada um quer ganhar a disputa. Nessas situações, o resultado final depende prioritariamente da combinação de estratégias selecionadas pelos adversários. Empresas operam quase sempre imersas em ambientes de forte competição e não podem tomar decisões sem considerar o que outras empresas, pessoas ou governos estão fazendo.

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3  

Introdução - continuação

Como o objetivo principal da Teoria dos logos é o desenvolvimento de critérios racionais para selecionar uma estratégia, são feitas duas hipóteses básicas: todos os competidores são racionais e todos os competidores escolhem suas estratégias somente para promover seu próprio bem-estar. Desconsideraremos aqui os chamados jogos cooperativos, em que os competidores podem formar alianças para o bem comum.

Um jogo é uma situação de disputa envolvendo dois ou mais contendores (tomadores de decisão), em que cada um deseja ganhar. Chamamos o que se ganha de recompensa. A Teoria dos jogos é o estudo de como estratégias ótimas são formuladas no conflito.

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4  

Introdução - continuação A Teoria dos logos é diferente da Teoria da Decisão, porque

nesta última o tomador de decisão num jogo com um oponente passivo, a natureza, que escolhe suas estratégias de forma aleatória.

O estudo sistemático da Teoria dos Jogos começou em 1944, quando John von Neumann e Oscar Morgenstern publicaram seu livro, Teoria dos Jogos e comportamento econômico (Theory of Games and economic behavior. Princeton: Princeton University Press, 1944). Apesar do trabalho pioneiro, as aplicações práticas da Teoria dos Jogos têm sido limitadas, crescendo nos últimos anos, quando têm sido usadas por negociadores de sindicatos e empresas nas negociações coletivas e por empresas de todos os tipos para determinar as melhores estratégias, para um ambiente de negócios competitivo.

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5  

Introdução - continuação

Em 1994, John Harsanui, John Nash e Reinhard Selten ganharam ao mesmo tempo o Premio Nobel de Economia. Eles desenvolveram a noção de Teoria dos jogos não-cooperativos. Após o trabalho de Von Neumann, Nash desenvolveu os conceitos de equilíbrio de Nash e de problema de barganha de Nash, que são as bases da moderna Teoria dos Jogos.

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6  

Classificação dos Jogos

Quanto ao número de jogadores:

Jogos de duas pessoas e jogos de n pessoas. a Teoria dos Jogos envolvendo três ou mais pessoas é difícil, tanto teoricamente como computacionalmente, e não tem sido muito usada na pratica.

Quanto ao resultado total do jogo:

Jogos de soma zero (a soma dos ganhos e perdas e zero) e jogos de soma não-zero. Jogos de soma não-zero apresentam dificuldades teóricas e computacionais.

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7  

Classificação dos Jogos - continuação

Quanto às estratégias empregadas:

Jogos de estratégia pura são aqueles em que os competidores seguem sempre as mesmas estratégias, independentemente da estratégia seguida pelos outros. Na Teoria dos Jogos, as estratégias puras existem apenas quando a solução atingiu um estágio de equilíbrio, chamado de ponto de sela. Quando não há ponto de sela, os jogadores empregarão cada estratégia em uma porcentagem de tempo. Esse tipo de resultado é chamado de estratégia mista.

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8  

Classificação dos Jogos - continuação

Quanto ao grau de cooperação:

Em um extremo ficam os jogos não-cooperativos, em que não há comunicação prévia entre os competidores. No outro extremo estão os jogos cooperativos, nos quais a comunicação prévia e os acordos são permitidos. Regulamentos comerciais entre países e negociações coletivas de trabalho podem ser formulados como jogos cooperativos. Onde ha mais de dois competidores, jogos cooperativos permitem coalizões entre alguns ou todos os competidores.

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9  

Representação do Jogos

Vamos nos restringir ao caso em que há apenas dois competidores, que jogam de forma simultânea, ou seja, cada jogador toma suas decisões de forma independente das decisões do outro. Isso não quer dizer que os competidores ignorem as possibilidades, vamos supor que os dois conheçam todas as alternativas de decisão do oponente. Apenas um não sabe qual é a decisão do outro, enquanto toma a sua própria decisão. Uma alternativa que não estamos considerando é a existência de uma forma seqüencial de tomada de decisão, ou seja, uma ordem estabelecida na qual os jogadores se movem.

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10  

Matriz de recompensas

A tabela mostra dois jogadores, K e L. O competidor L tem duas alternativas de jogo, que são L1 e L2, enquanto as alternativas de jogo do competidor K são três: K1, K2 e K3. Note que os dois competidores não necessariamente possuem o mesmo número de alternativas de decisão.

Em cada célula que esta no cruzamento de duas alternativas quaisquer, são apresentados dois números entre parênteses. O primeiro número representa a recompensa do jogador L, enquanto o segundo representa a recompensa do jogador K. A recompensa é uma medida do que cada jogador vai ganhar em cada combinação de estratégias.

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11  

Matriz de recompensas - continuação Estratégias de L

K1 K2 K3 Estratégias de K

L1 (4,2) (7,-3) (5,1) L2 (3,-1) (-1,5) (9,4)

O jogo esta enviesado contra o competidor K. Veja que na quase totalidade das combinações de estratégias, o resultado é decepcionante para o competidor K ou, pelo menos, inferior à recompensa obtida pelo competidor L. Assim, por exemplo, se o competidor K escolhe a estratégia K2 e o competidor L escolhe a estratégia L1, teremos:

Recompensa para o competidor L = 7

Recompensa para o competidor K =-3

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12  

Matriz de recompensas - continuação Estratégias de L

K1 K2 K3 Estratégias de K

L1 (4,2) (7,-3) (5,1) L2 (3,-1) (-1,5) (9,4)

O jogo representado não é um jogo de soma zero e nem mesmo um jogo de soma constante. Quando um jogo é de soma zero, aquilo que um ganha, o outro necessariamente perde.

Estratégias de L K1 K2 K3

Estratégias de K L1 4 7 5 L2 3 -1 9

A matriz de recompensas mostra apenas as recompensas do jogador L

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13  

Jogos de duas pessoas, soma zero, estratégias puras

Dizemos que um jogo de dois oponentes, soma zero, é conduzido para uma estratégia pura quando é conduzido para uma situação de equilíbrio, em que os oponentes terminarão sempre por escolher a mesma combinação de estratégias (desde que assumamos que o jogo seja jogado inúmeras vezes).

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14  

Jogos de duas pessoas, soma zero, estratégias puras

Matriz de recompensas para 2 jogadores, soma zero

Estratégias de L K1 K2

Estratégias de K L1 4 7 L2 3 -1

O jogo representado possui uma solução de equilíbrio. Essa solução implica que, sendo repetido o jogo inúmeras vezes, os competidores K e L escolherão sempre uma mesma alternativa. Observemos inicialmente no jogador L. a melhor estratégia é L1 pois qualquer uma das recompensas a que conduz é melhor do que as recompensas da estratégia L2

Recompensas 4 ou 7 com a estratégia L1

Recompensas 3 e -1 com a estratégia L2

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15  

Jogos de duas pessoas, soma zero, estratégias puras

O jogador K conhece a configuração do jogo, isto e, todas as alternativas e respectivas recompensas. Ele sabe, portanto, que o jogador L fatalmente vai escolher a alternativa L1. O jogo é enviesado contra o jogador K que, infelizmente, nada pode fazer e inevitavelmente vai escolher a alternativa K1, que lhe trará o menos ruim dos resultados (nesse caso, -4 contra -7). A configuração do jogo, portanto, conduz a uma solução estável, com o resultado 4 para o jogador L e -4 para o jogador K.

Cada jogador tem uma estratégia pura a seguir:

L1 para o jogador L

K1 para o jogador K.

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16  

Ponto de sela

Matriz de recompensas

Estratégias de L K1 K2

Estratégias de K L1 4 7 L2 3 -1

Dizemos que 4 é o ponto de sela do jogo, ou seja, o cruzamento das estratégias puras que os jogadores são levados a seguir. O valor 4 também é chamado de valor do jogo.

O jogo terá uma solução estável, ou seja, os competidores serão levados a adotar estratégias puras, sempre que houver um ponto de sela.

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17  

Matriz de recompensas - determinação de ponto de sela

Seja a seguinte matriz de recompensas

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Estratégias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 7 X4 5 8 6

Em nosso exemplo, o ponto de sela foi determinado pela analise da tabela de recompensas. Entretanto, há uma maneira simples e automática de fazer isso.

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18  

Matriz de recompensas - determinação de ponto de sela Determinamos os mínimos das linhas e máximos de colunas

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Mínimos das

linhas

Estratégias de X X1 -3 2 4 -3 X2 7 -2 -1 -2 X3 8 10 7 7 X4 5 8 6 5

Máximo das colunas 8 10 7

Se houver um mínimo de linha que seja, ao mesmo tempo, o máximo em sua coluna, este será o ponto de sela e, consequentemente, a solução estável do jogo.

Para o jogador X, a estratégia X3 é a melhor, sendo assim a Y3 é a menos pior para o jogador Y.

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19  

Matriz de recompensas - determinação de ponto de sela Podemos eliminar da nossa tabela as estratégias Xl e X2

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Mínimos das

linhas

Estratégias de X X3 8 10 7 7 X4 5 8 6 5

Máximo das colunas 8 10 7

Ao jogador X restam, portanto, duas alternativas. Se X escolher X3 o jogador Y sem dúvida vai escolher a estratégia Y3, perdendo apenas 7 (ou ganhar -7, tanto faz). Se X escolher X4, o jogador Y optará pela estratégia Y1 , que o conduz a mínima recompensa de -5 (perda de 5). Se a estratégia X3, que leva a uma recompensa de 7 e a estratégia X4 leva a uma recompensa de 5, é claro que X escolhe a estratégia X3. O ponto de sela é 7 (X3;Y3).

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20  

Exercício em sala 1

Dada a matriz de recompensas (expressas para o jogador X) responda o que se pede:

a) Existe um ponto de sela? b) Qual é o valor do jogo?

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3 Y4

Estratégias de X X1 22 18 10 22 X2 22 24 14 16 X3 20 16 12 16

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21  

Jogos de duas pessoas, soma zero, estratégias mistas

Matriz de recompensas para 2 jogadores, soma zero

Estratégias de Y Y1 Y2 Mínimos

das linhas Estratégias de X

X1 3 6 3 X2 5 2 2

Máximo das colunas 5 6 Como não há um mínimo de linha que seja, ao mesmo tempo, um

máximo de coluna, não existe o ponto de sela. Não há uma solução única de equilíbrio. Por exemplo, se o competidor X escolher a estratégia X1 o competidor Y poderá optar pela estratégia Y1, que o fará perder 3, ou pela estratégia Y2 que o fará perder 6. Na verdade, o jogador Y sempre perde, já que o jogo é enviesado contra ele. As jogadas são simultâneas. A tendência do jogador Y e alternar entre as decisões Y1 e Y2 mesmo porque o jogador X tem também duas estratégias a seu dispor.

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22  

Jogos de 2 pessoas, soma 0, estratégias mistas – cont. Nessas tentativas de ambos ganharem o máximo possível (no caso o

jogador X tenta ganhar o máximo possível, e o jogador Y tenta perder o mínimo possível), os jogadores acabarão por chegar a um equilíbrio.

Seja a matriz de recompensas abaixo:

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Mínimos das

linhas

Estratégias de X X1 -3 2 4 -3 X2 7 -2 -1 -2 X3 8 10 5 5 X4 5 8 6 5

Máximo das colunas 8 10 6 Se a matriz de recompensas não apresenta um ponto de sela, a

tendência é de que ambos os jogadores alternem as alternativas de decisão escolhidas, de forma a se chegar a um equilíbrio, em termos de recompensa media final atribuída a cada um.

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23  

Jogos de 2 pessoas, soma 0, estratégias mistas – cont. Dito de outra forma, cada jogador escolherá cada estratégia disponível

com uma freqüência constante, de modo a, em média, chegar à mesma recompensa, independentemente da estratégia escolhida pelo outro jogador. Isso vale para ambos os jogadores.

Soluções:

a) solução pelo método do ganho e perda esperados;

b) solução pelo método gráfico;

c) solução por modelo de programação linear.

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24  

Solução pelo método do ganho e perda esperados Seja a matriz de recompensas abaixo

Estratégias de Y Y1 Y2 Mínimos

das linhas Estratégias de X

X1 3 6 3 X2 5 2 2

Máximo das colunas 5 6 O jogador X utilizará as duas estratégias Xl e X2, cada qual por uma

fração de tempo. Esta fração é p para a estratégia X1 e, portanto, (1-p) para a estratégia X2, Já que a soma das frações de tempo deve ser a unidade, e só existem duas estratégias. O ganho médio do jogador X será:

Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p)

Caso Y adote Y2: 6p + 2(1 -p)

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25  

Solução pelo método do ganho e perda esperados

Sabemos também que p e (1-p) são tais que o jogador X, independentemente da estratégia adotada pelo jogador Y, vai obter o mesmo ganho (ou prejuízo) médio. Logo, podemos escrever:

3p + 5(1-p) = 6p + 2(1 -p) 5(1-p) -2(1-p) = 6p -3p 3(1-p) = 3p

3-3p = 3p 3 = 6p p = 0,5 e (1 -p) = 0,5

O jogador X vai seguir cada estratégia metade do tempo. O seu ganho médio será:

Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p)= 3(0,5) + 5 (0,5) =1,5 + 2,5 = 4 =

Caso Y adote Y2: 6p + 2(1 -p)= 6 (0,5) + 2 (0,5) =3 + 1 =4

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26  

Solução pelo método do ganho e perda esperados Com a mesma matriz de recompensas

Estratégias de Y Y1 Y2 Mínimos

das linhas Estratégias de X

X1 3 6 3 X2 5 2 2

Máximo das colunas 5 6 O jogador Y utilizará as duas estratégias Yl e Y2, cada qual por uma

fração do tempo, Chamemos de q e (1-q) a essas frações. O ganho (no caso, perda real) de Y deve ser o mesmo, independentemente da estratégia seguida por X. Logo,

Caso X escolha X1: 3q + 6 (1-q)

Caso X escolha X2: 5q + 2 (1-q)

Igualando temos: 3q + 6 (1-q)= 5q + 2 (1-q) 6(1-q) - 2(1-q) = 5q -3q

4(1 -q) = 2q 4 -4q = 2q 4 = 6q q =2/3 e (1-q) =1/3

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27  

Solução pelo método do ganho e perda esperados A perda media do jogador Y será: (Podemos nos abstrair do

sinal)

Caso X escolha X1: 3q + 6(1-q) = 3(2/3) + 6(1/3) = 4

Caso X escolha X2: 5q + 2(1-q) = 5(2/3) + 2(1/3) = 4

É claro que deveríamos obter 4, pois se o jogador X ganha, em média, esse valor, fatalmente o jogador Y perde, em média, esse mesmo valor.

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28  

Estratégia mista em Jogos não enviesados Matriz de recompensas

Estratégias de Y Y1 Y2 Mínimos

das linhas Estratégias de X

X1 3 -3 -3 X2 -3 3 -3

Máximo das colunas 3 3

Existe um equilíbrio entre ganhos e perdas. Cada competidor ganha ou perde 3, dependendo da estratégia que escolher e da estratégia escolhida pelo oponente. O jogo não é enviesado.

Seja p a porção do tempo em que o jogador X utiliza a estratégia X1 e (1-p) a fração do tempo em que ele utiliza a estratégia X2. Temos:

Caso Y adote Y1: 3p -3(1-p)

Caso Y adote Y2: -3p + 3(1 -p)

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29  

Estratégia mista em Jogos não enviesados – cont.

Sabemos que 3p -3(1-p) = -3p + 3(1-p) logo,

6p = 6(1 -p) 6p = 6 -6p 12p = 6 p = 0,5 e (1-p) = 0,5

O ganho médio do jogador X é:

Caso Y adote Y1: 3p -3(1-p) = 3 (0,5) - 3(1 -0,5) = 1,5 -1,5 = 0

Caso Y adote Y2: -3p +3(1-p)= -3(0,5) + 3(1-0,5) = -1,5 +1,5 = 0

Se o jogo não é enviesado, os competidores ganham e perdem igualmente, e o ganho (ou perda) liquido é nulo. Além disso, cada estratégia é utilizada em 50% do tempo. Teste para o jogador Y.

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30  

Solução pelo método gráfico Seja a mesma matriz de recompensas abaixo

Estratégias de Y Y1 Y2 Mínimos

das linhas Estratégias de X

X1 3 6 3 X2 5 2 2

Máximo das colunas 5 6 As recompensas médias do jogador X serão:

Recompensa de X Caso Y adote Y1: 3p + 5(1-p) = -2p+5

Recompensa de X Caso Y adote Y2: 6p + 2(1-p) = 4p+2

Ternos, portanto, duas equações de retas, que podemos desenhar em função de p, com 0 ≤ p ≤ 1.

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31  

Solução pelo método gráfico

K (0,5; 4) é o ponto em que as duas retas se cruzam, ou seja, o ponto em que o resultado da combinação de estratégias Xl e X2 é o mesmo, independentemente da estratégia seguida pelo jogador Y.

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32  

Solução por modelo de programação linear É possível solucionar um jogo de dois (ou mais) oponentes, soma zero,

por meio de um modelo de programação linear desde que o resultado do jogo seja positivo.

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Estratégias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

O jogador X escolhe suas estratégias de forma a maximizar sua recompensa, ou seja, o valor do jogo, que designamos por S. Ha quatro estratégias para o jogador X: X1, X2, X3 e X4, que são escolhidas durante uma fração de tempo (ou probabilidade). Chamemos tais frações de p1, p2, p3 e p4 respectivamente. Qualquer que seja a estratégia seguida pelo jogador Y, 0 jogador X tentara maximizar sua recompensa S.

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33  

Solução por modelo de programação linear – cont. Para a mesma matriz de recompensas.

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Estratégias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

Se Y escolhe Y1:

(-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 ≥ S (-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 – S ≥ 0 (I)

Se Y escolhe Y2:

2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 ≥ S 2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 – S ≥ 0 (II)

Se Y escolhe Y3:

4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 ≥ S 4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 – S ≥ 0 (III)

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34  

Solução por modelo de programação linear – cont. Devemos também lembrar que:

p1≥ 0, p2≥ 0, p3≥ 0 e p4≥ 0 (IV)

p1 + p2 + p3 + p4 = 1 (V)

A função objetivo é simplesmente Maximizar S, sujeito às restrições mencionadas anteriormente.

O Modelo é:

Maximizar S

Sujeito a: (-3)p1 + 7p2 + 8p3 + 5p4 – S ≥ 0

2p1 + (-2)p2 + lOp3 + 8p4 – S ≥ 0

4p1 + (-1)p2 + 5p3 + 6p4 – S ≥ 0

p1 + p2 + p3 + p4 = 1

p1≥ 0, p2≥ 0, p3≥ 0 e p4≥ 0

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35  

Solução por modelo de programação linear – cont.

Resolvendo o sistema, temos:

p1 = p2 = 0 p3 = 0,25 p4 =0,75 S = 5,75

O fato de p1 = p2 = 0 significa que o jogador X jamais escolherá as estratégias Xl e X2. Em 25% do tempo, ele escolhera a estratégia X3 e, em 75% do tempo, a estratégia X4.

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36  

Solução para o jogador Y Agora aplicaremos o mesmo modelo ao jogador Y, que tem à sua

disposição as estratégias Y1, Y2 e Y3 que serão escolhidas por frações de tempo iguais a q1, q2 e q3 respectivamente. Qualquer que seja a estratégia seguida pelo jogador X, o jogador Y tentara minimizar sua perda W (sabemos que W = S, pois a soma é zero).:

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Estratégias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

Se X escolhe Xl: (-3)ql + 2q2 + 4q3 ≤ W Se X escolhe X2: 7ql + (-2)q2 + (-1)q3 ≤ W

Se X escolhe X3: 8ql + lOq2 + 5q3 ≤ W Se X escolhe X4: 5ql + 8q2 + 6q3 ≤ W

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37  

Solução para o jogador Y Lembrando ainda que:

q1 ≥ 0, q2 ≥ 0 e q2 ≥ 0 q1 + q2 + q3 =1

A função objetivo é Minimizar W. A formulação completa é: Minimizar W Sujeito a: (-3)ql + 2q2 + 4q3 ≤ W

7ql + (-2)q2 + (-1)q3 ≤ W 8ql + lOq2 + 5q3 ≤ W 5ql + 8q2 + 6q3 ≤ W q1 ≥ 0, q2 ≥ 0 e q2 ≥ 0 q1 + q2 + q3 =1

A solução para este problema é: ql = 0,25 q2 = 0 q3 = 0,75 e W = 5,75

As estratégias X1, X2 e Y2 nunca são escolhidas pelos respectivos jogadores. o conceito de dominância explica a razão

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38  

Dominância Diz-se que uma estratégia E1 é dominada por outra estratégia

E2 quando, sob quaisquer circunstâncias, o jogador escolhe E2, porque sempre conduz a melhores recompensas que El. Na análise de um jogo, seja de estratégia pura ou de estratégias mistas, as estratégias dominadas podem ser eliminadas previamente da solução.

Estratégias de Y Y1 Y2 Y3

Estratégias de X X1 -3 2 4 X2 7 -2 -1 X3 8 10 5 X4 5 8 6

A estratégia X4 sempre dará recompensas mais vantajosas que a estratégia Xl. Veja também que a estratégia X2 é totalmente dominada pela estratégia X3 o que leva a descartá-la.

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39  

Dominância - continuação Matriz de recompensas modificada Estratégias de Y

Y1 Y2 Y3 Estratégias de X

X3 8 10 5 X4 5 8 6

A estratégia Y2 e dominada tanto pela estratégia Y1 como pela estratégia Y3 (números maiores são piores)

Matriz de recompensas final Estratégias de Y

Y1 Y3 Estratégias de X

X3 8 5 X4 5 6

Não há estratégias dominantes ou dominadas, e o problema não apresenta ponto de sela.

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40  

Dominância - continuação

Resolvido a solução será a mesma:

Estratégia X3: escolhida 25% do tempo

Estratégia X4: escolhida 75% do tempo

Estratégia Y1: escolhida 25% do tempo

Estratégia Y3: escolhida 75% do tempo

O valor do jogo igual a 5,75.

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41  

Exercício em sala 2

Dada a matriz de recompensas a seguir, pede-se:

a) verificar se existe alguma estratégia dominada e, em caso positivo, retirá-la da matriz de recompensas;

b) determinar a melhor estratégia mista para o jogador L;

c) determinar a melhor estratégia mista para o jogador K;

d) determinar o valor do jogo.

Estratégias de K K1 K2 K3

Estratégias de L L1 -4 8 10 L2 0 -6 12 L3 -10 2 -12

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42  

Respostas do exercícios em sala

Resposta 1: a) Ponto de sela X2,Y2 b) valor do jogo=14

Resposta 2: a) L3 e K3 são dominadas b)p=1/3 c)q=7/9 d)Valor do jogo=-4/3

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1  

Teoria da Simulação

Disciplina: Pesquisa Operacional em Sistemas II

Professor: Edilson Machado de Assis

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2  

Introdução

Existem varias técnicas quantitativas aplicadas na solução de problemas gerenciais. Apesar da enorme contribuição destas técnicas, em algumas situações elas tem seu potencial limitado. Isso ocorre quando há incerteza quanto aos valores assumidos por uma ou mais variáveis do problema:

a) uma empresa deseja determinar qual a probabilidade de que um produto seja lucrativo;

b) uma empresa quer saber quantas unidades de um produto devem mantidas em estoque, para que a demanda não atendida não ultrapasse 5%;

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3  

Introdução - continuação

c) uma empresa deseja conhecer o numero mínimo de telefonistas requeridas para que apenas 3% das solicitações de informações não sejam atendidas de imediato;

d) uma fábrica quer programar sua produção, definir níveis de estoques e número de funcionários e planejar suas necessidades de investimento.

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4  

Histórico A história da simulação remonta aos jogos de guerra chineses,

há 5000 anos. Os povos prússios utilizaram esses jogos no final do século XVIII como auxílio ao treinamento militar de suas tropas.

Durante a Segunda Guerra Mundial, o matemático hungaro-americano John Von Neumann, em seu trabalho no Projeto Manhattan (bomba atômica), criou um novo conceito, denominado Simulação de Monte Carlo. O trabalho consistia na simulação direta de problemas probabilísticos relacionados com a difusão aleatória das partículas de nêutrons quando submetidas a um processo de fissão nuclear. O nome Monte Carlo foi cunhado pelo cientista Metropolis, inspirado no interesse por pôquer de seu colega Ulam. Buscou-se na similaridade que a simulação estatística desenvolvida por eles tinha com os jogos de azar, simbolizados nas roletas do cassino de Monte Carlo, na capital do principado de Mônaco.

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5  

Histórico Atualmente, graças ao desenvolvimento dos recursos

computacionais, este método é usado rotineiramente em diversas áreas, desde a simulação de fenômenos físicos complexos, como o transporte da radiação na atmosfera terrestre, até em causas menos nobres, como na simulação do resultado de loterias.

Pacotes conhecidos de softwares de simulação, como o Crystal Ball, @Risk, DecisionPro, Xcell, SLAM, Witness e MAP/1, servem ao campo dos negócios, ajudando os gestores a decidir sobre investimentos, melhoria de fluxos operacionais, políticas de estoque, manutenção etc.

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6  

Modelo

Modelo é uma representação simplificada da realidade, cujo propósito é permitir a compreensão do sistema e prever seu comportamento sob determinadas condições.

Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. A construção para testes do modelo de um carro é um exemplo de modelo físico. Os modelos matemáticos representam, em termos lógicos e quantitativos, os relacionamentos entre as variáveis.

Os modelos matemáticos podem uma solução analítica ou por meio de simulação.

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7  

Simulação

O objetivo da simulação é descrever a distribuição e as características dos possíveis valores da variável dependente Y, depois de determinados os possíveis valores e os comportamentos das variáveis independentes Xl, X2, ..., Xn. Se qualquer variável independente em um modelo é variável aleatória, a variável dependente Y também representa uma variável aleatória.

Diferentemente da programação linear, que é uma técnica de otimização, a simulação não determina a solução ótima. Ela torna possível, pelo exame dos experimentos, a realização de inferências sobre o comportamento do sistema, uma vez que as observações realizadas representam apenas uma amostra do conjunto total das observações.

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8  

Geração de eventos aleatórios

É uma técnica bastante empregada na simulação. Como exemplo, suponhamos que uma empresa de varejo, do ramo farmacêutico, deseja simular sua demanda diária de vitamina C no estoque.

É preciso, inicialmente, que se identifiquem as freqüências relativas das demandas diárias.

Demanda diária

(frascos)

Freqüência (dias)

Freqüência relativa

10 30 0,3 11 30 0,3 12 40 0,4

Total 100 1

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9  

Geração de eventos aleatórios

Passos para simular a ocorrência da demanda de vitamina C, conhecendo as freqüências relativas apresentadas.

Uma forma seria colocar 100 bolinhas em uma urna e numerá-las com as demandas diárias, respeitando as freqüências relativas. Trinta bolinhas seriam marcadas com o número 10, outras 30 com o numero 11 e as 40 restantes com o numero 12. Cada vez que retirássemos uma bola da urna, ao acaso, estaríamos simulando a demanda de vitamina C.

A geração de números aleatórios é bastante facilitada com o uso de planilhas eletrônicas, que trazem uma função já programada para a tarefa.

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10  

Geração de eventos aleatórios - freqüências conhecidas

Inicialmente, com base nas freqüências relativas, deve ser elaborada uma tabela com freqüências acumuladas. A freqüência acumulada de cada observação é a soma de sua freqüência relativa com a freqüência acumulada da observação imediatamente anterior. Acrescentamos uma coluna denominada "Números do sorteio", a partir das freqüências acumuladas.

Demanda diária

(frascos)

Freqüência (dias)

Freqüência relativa

Números do sorteio

10 30 0,3 01 a 30 11 30 0,3 31 a 60 12 40 0,4 61 a 100

Total 100 1 Escolhido um número aleatório entre 1 e 100 (distribuição

uniforme), teremos a demanda correspondente na tabela seguindo as freqüências relativas estabelecidas.

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11  

Geração de eventos aleatórios - freqüências conhecidas

C7: =PROCV(ALEATÓRIOENTRE(1;100);A$2:C$4;3)

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12  

PROCV

A função PROCV procura um número na primeira coluna de uma tabela e retorna o número contido na mesma linha, pertencente à outra coluna especificada .

• valor_procurado: em nosso caso, queremos "procurar" um numero aleatório entre 1 e 100.

• matriz_tabela: corresponde à tabela com base na qual os valores serão procurados. Em nosso exemplo A$4:C$6. É importante que as células dessa matriz sejam fixadas com $

• num índice coluna: refere-se ao numero da coluna da matriz-tabela que contem os valores a serem retornados. Em nosso caso, desejamos que seja retornado um dos valores das demandas diárias contidos na coluna 3.

Os números da primeira coluna são considerados os limites inferiores (fechados) de cada intervalo.

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13  

Geração de eventos aleatórios - distribuições conhecidas

Consideremos que o controller da Faça Rápido Empreendimentos Ltda. está realizando uma simulação para investigar o possível comportamento do lucro da empresa nos próximos 12 meses. Para tanto, precisa gerar números aleatórios para a variável vendas, sabendo que esta tem o comportamento de uma distribuição normal com media $ 10.000,00 e desvio padrão $ 800,00.

Ative as Ferramentas de Análise: Clique no ícone do Office 2007 > Opções do Excel > Suplementos do Excel > Escolha Gerenciar: Suplementos do Excel > Ir > Marque: Ferramentas de Análise.

O ícone Análise de Dados aparece na aba Dados em Análise.

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14  

Geração de eventos aleatórios - distribuições conhecidas

• número de variáveis : é o número de colunas de valores que se deseja na tabela de saída.

• número de números aleatórios: é o numero de dados que se deseja visualizar. É 20 (vinte)

• distribuição : É o tipo de distribuição da variável aleatória. Pode ser uniforme, normal, Bernoulli, binomial, Poisson, padronizada ou discreta. É normal N~($10.000 ; $800)

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Geração de eventos aleatórios - distribuições conhecidas

• semente aleatória: permite que seja inserido um valor opcional com base no qual os números randômicos serão gerados. Esse recurso e útil quando desejamos produzir os mesmos números randômicos posteriormente. (pseudo-aleatórios)

• opções de saída: onde os números serão gerados. Indicamos a célula A2

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Uso da simulação para tomada de decisão

A simulação é utilizada em problemas decisórios de varias naturezas, e especialmente útil em situações que envolvem analise de riscos. Analise de risco é o processo de predizer o resultado de uma decisão face à incerteza.

Existem vários modelos de simulação, mas trataremos especificamente do Método de Monte Carlo, técnica que utiliza a geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja investigar.

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Exemplo

A indústria de confecções VP quer determinar qual o lucro provável de seu produto principal para o próximo ano. O produto é a calça jeans. Após pesquisas de mercado e análises financeiras preliminares, foram estabelecidos preço de venda e os custos e despesas fixos.

Preço de venda = $ 25 por unidade

Custos e despesas fixos = $ 100.000

O custo da matéria-prima, o custo da mão-de-obra e a demanda não são conhecidos com certeza. As melhores estimativas que a empresa tem destes valores são:

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Exemplo - continuação

a) $10 por unidade para o custo da matéria-prima, que pode variar de $8 a $12 (uniforme);

b) $5 por unidade para o custo de mão-de-obra, podendo variar de $3 a $7 (conhecidas as freqüências);

Fornecedor C.M.O. Freqüência relativa

A 3 0,1 B 4 0,2 C 5 0,4 D 6 0,2 E 7 0,1

Total 1,0

c) média de $13.000 unidades para a demanda com desvio padrão de $3.800 e distribuição normal.

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Exemplo - continuação

Lucro = [(PV - CMP - CMO) x Demanda] -CDF

onde: PV = Preço de venda; CMP = Custo da matéria-prima; CMO = Custo da mão-de-obra; CDF = Custos e despesas fixos.

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Solução em Excel Preencha a planilha conforme as figuras

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Solução em Excel – continuação

Temos as informações dispostas assim

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Solução em Excel – continuação

As fórmulas são:

B16:  =B$3

C16:  =B$11+(B$12-B$11)*ALEATÓRIO()

D16:  =PROCV(ALEATÓRIO();H$4:J$8;3)

E16:  =INV.NORM(ALEATÓRIO();B$7;B$8)

F16:  =B$4

G16:  =(B16-C16-D16)*E16-F16

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Solução em Excel – continuação

D16: E16:

Selecione de A16:G16 e arraste até a linha 215

Temos 200 simulações

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Análise de estatística descritiva

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Análise de estatística descritiva

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Vantagens da simulação a) viabiliza o estudo do comportamento de um sistema por meio de modelos e, assim, não interfere no sistema real;

b) permite "comprimir o tempo", fazendo com que dados relativos a meses e anos futuros possam ser obtidos em um pequeno período de tempo;

c) geralmente, os sistemas com variáveis aleatórias só podem ser investigados com o emprego de simulação, pois, por serem complexos, torna-se inviável a solução analítica das equações matemáticas que os descrevem;

d) as alternativas de operação de um sistema podem ser comparadas;

e) permite avaliar as interações existentes entre as diversas variáveis de um sistema.