III UnidadeAPOSTILA DE MATEMTICADisciplina: Desenho GeomtricoProfessor: MRCIO NASCIMENTOAluno: _________________________________Srie: 3 Turmas A e B

Nas grandes batalhas da vida, o primeiro passo para a vitria o desejo de vencer. Mahatma Gandhi

POLIEDROS REGULARESNa Geometria Plana, dizemos que um polgono regular quando todos os seus lados so congruentes e todos os seus ngulos so congruentesNestas condies, h somente cinco poliedros regulares, que so:RELAO DE EULER :Consideremos um poliedro convexo no qual designamos: V + F = A + 2, onde:V = nmero de vrtices A = nmero de arestas; F = nmero de faces.NOOES DE POLIEDROSSLIDOS GEOMTRICOS Denominam-se slidos geomtricos as figuras geomtricas do espao.Entre os slidos geomtricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.POLIEDROSDenomina-se poliedro o slido limitado por polgonos planos que tm, dois a dois, um lado comum. Podemos citar como exemplos:Os polgonos so denominados faces do poliedro.Os lados e os vrtices dos polgonos denominam-se, respectivamente, arestas e vrtices do poliedro.Um poliedro se diz convexo se, em relao a qualquer de suas faces, ele est todo situado num mesmo semi-espao determinado por esta face.Os slidos das figuras seguintes so, pois, poliedros convexos:Os poliedros convexos possuem nomes especiais, de acordo com o nmero de faces:

SOMA DOS NGULOS DA FACEESTUDO DO PRISMA Os prismas soa poliedros convexos que tm duas faces paralelas e congruentes(chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos(chamadas faces laterais)ELEMENTOS Considerando o prisma representado abaixo:Os polgonos ABCDE e ABCCE so chamados bases do prisma, so polgonos congruentes e esto situados em planos paralelos. Estes planos ( e ) so os planos das bases.Os lados: , , , , , , , , so as arestas das bases.Os segmentos: , , , , so as arestas laterais.Os paralelogramos: AABB, BBCC..., so as faces laterais.A distncia entre os planos e que contm as bases a altura do prisma. CLASSIFICAO Prisma reto Um prisma reto se suas arestas laterais forem perpendiculares aos planos da base.Prisma Oblquo - Um prisma oblquo se as suas arestas laterais forem oblquas em relao aos planos das bases.Prisma Regular Um prisma regular quando reto etem como base polgonos regulares. SUPERFCIE Superfcie Lateral a reunio das faces laterais do prisma. A rea desta superfcie e chamada rea lateral.Superfcie Total a reunio da superfcie lateral do prisma com as suas bases. A rea desta superfcie e chamada rea total.REAS E VOLUMES DE UM PRISMA RETOrea de uma face lateral (Sf ou Af): a rea de uma das faces laterais(paralelogramo) que constituem o prisma.rea Lateral(Al): a soma de todas as faces laterais. * 2p = permetro da base(soma das arestas da base)

rea da Base(Ab): a rea de uma das regies poligonais da base.rea da Total(At): a soma das reas de todas as faces do prisma.Volume(V): o produto das medidas da rea da base pela altura. PARALELEPPEDO todo prisma cujas faces so paralelogramos.PARALELEPPEDO RETNGULO(ORTOEDRO) um paraleleppedo cujas faces so retngulos. ELEMENTOSD medida da diagonal do paraleleppedo d medida da diagonal de uma facea, b e c dimenses do paraleleppedo.EQUAESd2 = a2 + b2 D2 = a2 + b2 + c2 At = 2(a.b + ac + bc)V = a.b.cIX CUBO Quando as trs dimenses do paraleleppedo retngulos forem congruentes, ento este denomina-se cuboESTUDO DA PIRMIDE um polied ro convexo tal que uma face um polgono convexo e as demais faces so tringulos tendo um vrtice em comum. O polgono (ABCDEF) a base a pirmide e os tringulos (VAB), (VBC) (VFA)... so suas faces laterais.ELEMENTOSConsiderando a pirmide representada na pgina anterior, o ponto V o vrtice os segmentos AB, BC..., FAso as arestas da base Os segmentos VA, VB ...VF, so as arestas laterais A distncia do vrtice V ao plano e que contm a base(A,B,C..F) a altura da pirmide, cuja medida h.

TETRAEDRO uma pirmide triangular.TETRAEDRO REGULAR o tetraedro que possui as seis arestas congruentes entre si. Em um tetraedro regular as quatro faces so tringulos equilteros congruentes entre si.PLANIFICAO DE UMA PIRAMIDEESTUDOS DOS SLIDOS DE REVOLUOOs slidos de revoluo ou de rotao so obtidos pelo giro de figuras planas em torno de um eixo. Os principais so: CILINDRO, CONE e .ESFERA.CILINDRO um slido gerado pela rotao completa de um retngulo em torno de um de seus lados, O cilindro de revoluo tambm chamado de cilindro circular reto .CLASSIFICAO Pirmide Reta um pirmide reta se a projeo ortogonal do vrtice cai no centro da base.Pirmide Regular uma pirmide reta regular se a sua base for um polgono regular.APTEMA DE UMA PIRMIDE REGULAR o segmento cujas extremidades so o vrtice e o ponto mdio de uma aresta da base. Numa pirmide regular destacamos, tambm, as seguintes relaes mtricas:* Do tringulo VOM, temos: A2 = a2 + h2* Do tringulo VOA, temos: L2 = h2 + r2* Do tringulo VMB, temos: rea de uma face Volume Af = V = REA LATERAL REA TOTAL AL = n.Af AT = AL + AB

SECO Seco Transversal a interseco do cilindro comum plano paralelo s bases. A seco transversal congruente as bases.Seco Meridiana a interseco do cilindro cosa um plano que contem o eixo. A seco meridiana de um cilindro de revoluo e um retngulo. CILINDRO EQUILTERO aquele cilindro cuja seco meridiana um quadrado. Isto , a altura igual ao dimetro da base.REA E VOLUMEREA LATERAL REA TOTAL VOLUME AL = 2. .r.h At = AL + 2.AB V = AB.h = .r2.h At = 2. .r(r+h)CONE DE REVOLUO CONE um slido gerado pela rotao completa de um tringulo retngulo em torno de um dos catetos. O cone de revoluo e tambm chamado de cone circular reto.CONE EQULTERO aquele cuja seco meridiana um tringulo equiltero, isto , sua geratriz igual ao dimetro da base.EQUAES BSICASREA E VOLUME DE UM CONEAL = .R.gAT = AL + AB OU AT = .R(g+R)

R2 = r2 + d2REA E VOLUME DE UMA ESFERA FUSO ESFRICO (rea) a parte da superfcie esfrica compreendida entre dois semi-crculos mximos com o mesmo dimetro.CUNHA ESFRICA (volume) o s6lido limitado por dois semi-crculos e pela superfcie do fuso.Afuso = ou Vcunha = ou ESFERA um slido gerado pela rotao completa de um semi-crculo em torno do seu dimetro.PLANO SECANTE A UMA ESFERAA interseco de uma esfera de centro O e raio R e um plano secante um crculo.Elementos:O: Centro da EsferaR: Raio da Esferad: distncia do centro da Esfera, ao plano secante .M: centro da secor: raio da secoNo tringulo retngulo AOM, temos:

LISTA DE EXLISTA DE EXERCCIO COMPLEMENTAR

04. (UFBA) O tonel representado abaixo est ocupado em 60% da sua capacidade. A quantidade de gua nele contida de aproximadamente:20304050 6005. (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura H = 6 cm e base triangular de lado L = 8cm. Sabendo-se que as embalagens no tm tampa e que o custo para a sua produo, por cm2, de R$ 0,05, o custo total de fabricao de cada unidade :(Dado: considere = 1,7)a) R$ 12,30. c) R$ 8,16. e) R$ 17,30.b) R$13,50. d) R$ 15,20.10. (Cesgranrio RJ) Se v o volume da esfera inscrita num cubo de volume V, ento a razo : b) c) d) e) 06. (ENEM 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de dimetro e 4 m de altura (de espessura desprezvel), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de , ento o preo dessa manilha igual aa) R$ 230,40 d) R$ 54,56 b) R$ 124,00 e) R$ 49,60.c) R$104,16. Uma esfera est inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a rea da superfcie esfrica 01. (PUC-SP) Quantos litros comporta aproximadamente, uma caixa dgua cilndrica com 2 metros de dimetro e 70 cm de altura?a) 1 250 b) 2 200 c) 2 450 d) 3 140 e) 3 700 O volume do slido representado pela figura : 02. (ENEM 2010) Dona Maria, diarista na casa da famlia Teixeira, precisa fazer caf para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunio na sala. Para fazer o caf, Dona Maria dispe de uma leiteira cilndrica e copinhos plsticos, tambm cilndricos.Com o objetivo de no desperdiar caf, a diarista deseja colocar a quantidade mnima de gua na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria dever a) encher a leiteira at a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.b) encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.c) encher a leiteira toda de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.d) encher duas leiteiras de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.e) encher cinco leiteiras de gua, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.03. Uma esfera est inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a rea da superfcie esfrica

a) tetraedro, octaedro e hexaedro.b) paraleleppedo, tetraedro e octaedro.c) octaedro, prisma e hexaedro.d) pirmide, tetraedro e hexaedro.e) pirmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.11. Um caminho basculante tem a carroceria com as dimenses indicadas na figura Quantas viagens dever fazer para transportar 135 m3 de areia.a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 12. (Unitau 95) Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os slidos numerados como I, II, III e IV a seguir:a) 8, 6, 5, 6. d) 5, 8, 6, 6. b) 8, 6, 6, 5. e) 6, 18, 6, 5.c) 8, 5, 6, 6. 07. (PUC-Minas) Uma piscina tem 25 m de largura, 50 m de comprimento, 1,5 m de profundidade na parte mais rasa e 2,5 m na outra extremidade. Seu fundo um plano inclinado. A partir desses dados, CORRETO afirmar que o volume dessa piscina, em metros cbicos, igual a:a) 2.000. b) 2.300. c) 2.500. d) 2.800.08. (ENEM 2010) A siderrgica Metal Nobre, produz diversos objetos macios utilizando o ferro. Um tipo de pea especial feito nessa companhia tem o formato de um paraleleppedo retangular, de acordo com as dimenses indicadas que segue.O produto das trs dimenses indicadas na pea resultaria na medida da grandeza.A) massa B) volume C) superfcie D) capacidade E) comprimento09. (ENEM 2010) Um porta-lpis foi construido no formato cbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro vazio. A aresta do cubo maior mede 12cm e do cubo menor, que interno, 8cm. O volume de madeira utilizado na confeco desse objeto foi de :a)12cm3 b) 64cm3 c) 96cm3 d) 1216cm3 e)1728cm310. (Unitau 95) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos trs modelos de figuras espaciais cujos nomes so:

13. (ENEM-2011) O atletismo um dos esportes que mais se identificam com o esprito olmpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias so numeradas do centro da pista para a extremidade e so construdas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferncia. Os dois semicrculos da pista so iguais.Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 14. (ENEM-2011) possvel usar gua ou comida para atrair as aves e observ-las. Muitas pessoas costumam usar gua com acar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas importante saber que, na hora de fazer a mistura, voc deve sempre usar uma parte de acar para cinco partes de gua. Alm disso, em dias quentes, precisa trocar a gua de duas a trs vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deix-la doente. O excesso de acar, ao cristalizar, tambm pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode at mat-la. cincia Hoje das crianas. FNDE; Instituto Cincia Hoje, ano 19, o. 166, mar. 1996.Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O t tem formato cilndrico, e suas medidas so 10cm de altura e 4cm de dimetro. A quantidade de gua que deve ser utilizadana mistura cerca de (utilize = 3)a) 20ml b) 24ml c) 100ml d)120ml e) 600ml15. (ENEM-2011) Uma indstria fabrica brindes promocionais em forma de pirmide. A pirmide obtida a partir de quatro cortes em um slido que tem a forma de um cubo. No esquema, esto indicados o slido original (cubo) e a pirmide obtida a partir dele.Os pontos A, B, C, De O do cubo e da pirmide so os mesmos. O ponto O centra) na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direo s arestas h, , e CD, nessa ordem. Aps os cortes, so descartados quatro slidos. Os formatos dos slidos descartados so:O todos iguais.O todos diferentes. trs iguais e um diferenteapenas dois iguais. O iguais dois a dois.16. (ENEM-2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em pases orientais.Esta figura uma representao de uma superfcie de revoluo chamada dea) O pirmide b) semiesfera c) cilindro.d) tronco de cone e) cone.

20. Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento formado por uma parte cilndrica e uma parte cnica, cujas medidas so dadas na figura, e estavacheio quando se iniciou a medicao.Aps 4 horas de administrao contnua, a medicaofoi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando aaproximao = 3, o volume, em ml, do medicamentorestante no frasco aps a interrupo da medicao ,aproximadamente,a) 120 d) 240b) 150 e) 360c) 16017. Cesgranrio-RJ O poliedro da figura (uma inveno de Leonardo da Vinci utilizada modernamente na fabricao de bolas de futebol) tem como faces 20 hexgonos e 12 pentgonos, todos regulares. O nmero de vrtices do poliedro :a) 64 b) 90 c) 60 d) 72 e) 5618. ESPM-SP As toras de madeira da pilha abaixo tm o mesmo dimetro de 20 cm. O volume total de madeira dessa pilha de, aproximadamente:a) 0,14 m3b) 0,16 m3c) 0,18 m3d) 0,21 m3e) 0,23 m319. Uma lata tem forma cilndrica com dimetro da basee altura iguais a 10 cm. Do volume total, 4/5 ocupadopor leite em p.Adotando-se = 3, o volume de leite em p, em cm3, contido na lata :a) 650b) 385c) 600d) 570e) 290

LISTA DE EXERCICIOS

11.12. (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual sua rea superficial? Descobrir a rea da superfcie coberta de gua, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfcie total.13. Um lquido que est num recipiente em forma de cone ser despejado em outro recipiente que possui forma cilndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingir o lquido no cilindro? 14. (UFMG) Achar a rea total da superfcie de um cilindro reto, sabendo que o raio da base de 10cm e a altura de 20cm.15. Um poliedro possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcule o nmero de vrtices desse poliedro.16. Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Determine o nmero de arestas e o nmero de vrtices.17. Num poliedro convexo, o nmero de arestas 16 e o nmero de faces 9. Determine o nmero de vrtices.18. Qual a soma das medidas dos ngulos das faces de um poliedro que possui 12 faces e 30 arestas?19. Sabendo que em um poliedro de 8 arestas a soma das medidas dos ngulos internos de todas as faces igual a 1.080, determine o nmero de faces.20. (Fuvest) O nmero de faces triangulares de uma pirmide 11. Pode-se, ento, afirmar que essa pirmide possui quantas arestas e quantos vrtices?