apostila geometria 1 - 2005

8/7/2019 Apostila Geometria 1 - 2005

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GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaEuclidianaEuclidianaEuclidianaEuclidianaPlanaPlanaPlanaPlanaeeeeEspacialEspacialEspacialEspacial

Curso deCurso deCurso deCurso de Graduao deGraduao deGraduao deGraduao de LicenciaturaLicenciaturaLicenciaturaLicenciatura em Matemticaem Matemticaem Matemticaem Matemtica

UnespUnespUnespUnesp GuaratinguetGuaratinguetGuaratinguetGuaratinguet ---- 2005200520052005

Prof. Dr. Aury de S Leite

Contedo:

Parte IIntroduo Construtiva Geometria Plana Euclidiana

Parte II (Em fase de elaborao)

Estudo comparado de Geometria Euclidiana Plana e EspacialAxiomtica


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Geometria Euclidiana Plana e Espacial Prof. Dr. Aury de S Leite - UNESP 2

Sumrio

Observao Importante ................................................................. 3Introduo......................................................................................... 3Sobre este Curso de Geometria Euclidiana................................... 4Captulo 1 .......................................................................................... 6A Geometria Euclidiana - Introduo............................................ 6Captulo 2 ........................................................................................ 12Construes Geomtricas com Rgua e Compasso .................... 12Captulo 3 ........................................................................................ 38Formulrio de Geometria Euclidiana Plana 1............................ 38Captulo 4 ........................................................................................ 57Mapas Conceituais ......................................................................... 57Captulo 5 ........................................................................................ 64Formulrio de Geometria Euclidiana Plana 2 .......................... 643

Captulo 6........................................................................................88Formulrio de Geometria Euclidiana Espacial ........................ 89


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Observao Importante

O material aqui apresentado ainda um rascunho e pode conter

erros que sero corrigidos, pelo professor, durante as aulas. Assistir s

aulas e delas participar ativamente, fazendo perguntas e dando

sugestes , portanto, essencial para a aprendizagem e fixao do

contedo aqui veiculado, que alm de complexo bastante vasto.

A criao de oportunidades de aprendizagem em Geometria

Euclidiana prev no somente a necessidade de profundo conhecimento

desta cincia, mas a capacidade de bem aplic-la justificando raciocnio,

resolvendo problemas, provando teoremas, sem perda de sua

contextualizao pedaggica. Estas trs dimenses do estudo e aplicao

da Geometria Euclidiana, bem como a interligao pedaggica, esto

contempladas neste trabalho.

Unesp/Guaratinguet, maro de 2005.

Aury de S Leite


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Introduo

Sobre este Curso de Geometria Euclidiana

Destinado ao 3 ano do Curso de Graduao de Licenciatura em Matemtica do Campus de

Guaratinguet da UNESP, este um curso bastante abrangente e atualizado de Geometria Euclidiana.

um curso de durao anual que est divido em duas partes bastante distintas a serem desenvolvidas

com a durao de um semestre cada.

A primeira parte deste curso contm uma Geometria que poderia e deveria ser praticada nas

escolas do Ensino Fundamental, e que poderia ser denominada Introduo Construtiva ou Intuitiva

Geometria Plana Euclidiana. Ela ser veiculada inicialmente atravs de uma breve contextualizaohistrica bastante didtica, porm crtica, da axiomatizao proposta por Euclides (Captulo 1). Em

seguida, o estudante ter acesso a formulrios bastante completos envolvendo as Construes

Geomtricas (Captulo 2), a Geometria Plana (Captulos 3 e 5) e a Geometria Espacial Posicional e

Mtrica (respectivamente captulos 6 e 7) estudadas atravs de suas definies e propriedades notveis.

Estes formulrios contm ainda indicaes (metodolgicas, pedaggicas e didticas) para sua

utilizao em sala de aula, bem como, justificativas dos raciocnios em Geometria uma viso lgica

do Pensamento Geomtrico aplicvel Resoluo de Problemas. O captulo 4 apresentar o conceito

de Mapas Conceituais devido a Novak e inspirados na teoria da Aprendizagem Significativa de

Ausubel. Os mapas conceituais sero utilizados para a elaborao de Planos de Aula de Geometria

sugerindo a adoo de estratgias alternativas de abordagem e seqenciao de conceitos.

A segunda parte do curso, que poderia ser denominada Estudo Comparado de Geometria

Euclidiana Plana e Espacial Axiomtica, apresenta-a como o prprio nome indica, atravs do estudo

comparativo, dos distintos e interessantes conjuntos de axiomas propostos por vrios autores: Hilbert,

Pogorelov, Birkhoff, Tarski e Paul Bernays, alm do conveniente conjunto de axiomas formulado e

proposto pelo SMSG School Mathematic Study Group, que no qual nos proporemos finalmentefixar, com vistas s provas de nossos Teoremas tanto da Geometria Euclidiana Plana como da

Geometria Euclidiana Espacial Posicional e Mtrica.

Apenas a ttulo de curiosidade, deve-se mencionar que as fontes utilizadas para a elaborao da

segunda parte deste texto, no foram fontes indiretas, meras citaes ou retalhos de informaes, mas

textos (livros e artigos cientficos) de autoria de cada um dos proponentes das teorias axiomticas que


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levam seus nomes. Todos estes textos esto em ingls, sendo que alguns deles foram traduzidos a

partir dos originais (em alemo ou russo). Cabe citar aqui, tambm como curiosidade, que o livro de

Hilbert (Grundlagen der Geometrie/Foundations of Geometry) foi traduzido para o ingls por Paul

Bernays, ele tambm um dos que propuseram um interessante conjunto de axiomas para a Geometria

Euclidiana Plana.

As duas partes do texto, bastante distintas, mas complementares, tm o objetivo final de levar

os estudante a distinguirem o que seja raciocinar e justificar propriedades e raciocnios da

Geometria Euclidiana e o que seja provar Teoremas na Geometria Axiomtica Euclidiana. Na

primeira metade do curso ele ser levado: (i) a raciocinar e justificar propriedades e raciocnios com

base no material (quatro formulrios) que veicula aquilo que foi denominado Introduo Ingnua

Geometria Plana Euclidiana; (ii) ser levado a provar alguns poucos Teoremas utilizando aInduo

Finita Matemtica e a Disseco, sendo que (iii) a resoluo de problemas, sem o auxlio dos

formulrios, ser a forma de verificao da sua aprendizagem.

Na segunda parte do curso, ser quando se passar a provar os Teoremas (Princpios, Lemas,

Teoremas, Teoremas Recprocos, Corolrios) por diversos mtodos: Modus Ponens, Reductio ad

Absurdum, envolvendo implicaes, bi-implicaes e provas de existncia e unicidade. Ao final do

curso, a distino entre justificar raciocnios e provar em Geometria Plana e Geometria Espacial

Euclidiana dever estar bastante clara para os estudantes.

Alm destas formas de pedaggicas de abordagem, duas outras frentes de estudo e pesquisa nospermitiro mapear de forma bastante atualizada e completar o panorama da Geometria Euclidiana, a

partir do investimento de algum tempo de trabalho, e de estudo, nas denominadas Geometrias No-

Euclidianas e na Geometria das Transformaes. Monografias sobre estes assuntos devero ser

apresentadas pelos participantes do curso como trabalhos escolares necessrios sua concluso. Para

auxili-los nesta pesquisas, os apndices, alocados no final deste texto, contm respectivamente os

seguintes assuntos: Apndice A - A Geometria de Transformaes; Apndice B - As Geometria

No-Euclidianas e Apndice C - Teorias Axiomticas e Provas de Teoremas.


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Captulo 1

A Geometria Euclidiana - Introduo

Este Captulo corresponde aula a ser apresentada em sala atravs de slides no MS Power Point, por isto, cada um dos tpicos vem numerado como sendo um slide.

Slide 0 Ttulo

A Geometria Euclidiana

UNESP GuaratinguetCurso de Licenciatura em MatemticaProf. Dr. Aury de S Leite

Slide 1 - A Geometria Antes de Euclides

H referncia ao estudo e aplicao da geometria entre os babilnios j por voltade 2000 AC. Os egpcios, apesar de no serem to inventivos como os babilnios,dominavam e aplicavam conceitos bastante importantes de geometria em seudia-a-dia e nas suas construes.

Os gregos, antes de Pitgoras e antes de Euclides entre eles Tales de Mileto ,tm a seu crdito a verificao de muitas propriedades geomtricas, tais como: O crculo bissecado pelo seu dimetro. Os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais. Dois tringulos so coincidentesse eles possuem

dois ngulos e um lado correspondentes iguais(leia-se: congruentes) (casos LAL e LAAo).

Um ngulo inscrito em um semi-crculo umngulo reto. (Veja na figura ao lado: o ngulocentral mede o dobro do ngulo inscrito no crculo)

Slide 2 Pr-Requisito 1 Postulados e Axiomas

Para Aristteles (384 ou 383 322 a.C.): postulados seriam menos bvios e no deveriam pressupor o consentimento

implcito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto emdiscusso.


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axiomas (ou noes comuns) devem ser convincentes por elas mesmas -verdades comuns e bsicas a qualquer estudos que se pretenda fazer.

Modernamente: os matemticos no vem vantagem em estabelecer qualquer diferena entre o

que sejam os postulados e os axiomas, preferindo utilizar o nome axioma na

elaborao de suas teorias, denominadas teorias axiomticas, por este fato .

Slide 3 Pr-Requisito 2 Os Elementos de Euclides

Os Elementos de Euclides (Euclides de Alexandria - ?? a.C. - 365 a.C.) estodivididos em 13 livros ou 13 captulos, dos quais os seis primeiros (de I a VI) sosobre Geometria Plana elementar, os trs seguintes (VII a IX) sobre teoria dosnmeros, o Livro X sobre os Incomensurveis e os trs ltimos versamprincipalmente sobre Geometria do Espacial.

No h uma introduo ou prembulo, e o primeiro livro comea abruptamentecom uma lista de vinte e trs definies. A deficincia, aqui, que algumasdefinies no definem, pois no h um conjunto prvio de elementos no-definidos em termos dos quais os outros sejam definidos.

Slide 4 Geometria Euclidiana Noes Comuns

Noes Comuns:

1 - Coisas que so iguais a uma mesma coisa, so tambm iguais entre si.

2 - Se iguais so somados a iguais, os totais so iguais.

3 - Se iguais so subtrados de iguais, os restos so iguais.

4 - Coisas que coincidem uma com as outras, so iguais umas s outras.

5 - O todo maior que a parte.

Slide 5 Geometria Euclidiana Definies

Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano so tomados como conceitos primitivos,conceitos no definidos, mas Euclides os definiu ou, pelo menos, tentou:

Um ponto aquilo que no tem parte. Uma reta um comprimento sem largura. Uma superfcie aquilo que tem apenas comprimento e largura.

Outras definies pecam pela circularidade lgica: As extremidades de uma reta so pontos (segmento de reta).


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Uma linha reta uma linha em que os pontos so distribudosregularmente sobre ela.

As extremidades de uma superfcie so linhas (finitude do plano?).

Euclides utiliza conceitos no definidos nas suas definies. Por exemplo, oconceito de inclinao" utilizado sem o seu prvio estabelecimento na

definio de ngulo plano que dada por : Um ngulo plano a inclinao de duas retas de um plano, uma comrelao outra, que se encontram e no jazem sobre uma mesma reta.

Slide 6 Geometria Euclidiana Postulados ou Axiomas

Para o desenvolvimento do que se encontra nos Elementos, Euclidespostulava que:

1 - Pode-se traar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto. 2 - Pode-se prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta. 3 - Pode-se descrever um crculo com qualquer centro e qualquer raio. 4 - Todos os ngulos retos so iguais. 5 - Se uma reta que corta duas retas faz com elas ngulos interiores, de um

mesmo lado, menores que dois ngulos retos, estas duas retas, se prolongadasindefinidamente, se encontram do lado em que os ngulos so menores quedois ngulos retos.

Slide 7 Geometria Euclidiana O 5 Postulado de Euclides

Alguns filsofos gregos e, posteriormente, muitos matemticos tentaram provarque o 5o postulado de Euclides era derivados dos anteriores.

Sculo 1 a.C. Posidnio410-485 DC Proclo1201-1274 Nasiraddin1616-1703 John Wallis1667-1733 Girolamo Saccheri1728-1777 Johann Henrich Lambert1752-1833 Legendre


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Postulado de Playfair(*): Dados uma reta e um ponto no pertencente a ela, existe

uma, e somente uma reta, que passando por este ponto, paralela reta dada

(*) Playfair, J. Elements of Geometry: Containing the First Six Books of Euclid, with a

Supplement on the Circle and the Geometry of Solids to which are added Elements of Planeand Spherical Trigonometry. New York: W. E. Dean, 1853

Slide 8 Geometria Euclidiana A Rgua e o compasso

Na Geometria Grega, antes de Euclides, admitia-se somente o uso das rguassem escala e dos compassos cuja abertura das hastes no podia ser fixada era um compasso de hastes pendentes.

Este tipo de compasso no podia ser utilizado para transportar medidas, comoatualmente se admite, com relao aos compassos de hastes fixveis.

Euclides passa a adotar nas suas construes o compasso com hastes quepoderiam ser eventualmente fixadas e que poderiam, desta forma, manter amedida do raio de uma circunferncia, permitindo tra-la sem problemastantas vezes quanto necessrio. Isto foi introduzido por Euclides no seuPostulado 3:

Para qualquer ponto O e qualquer ponto A distinto de O,existe uma circunferncia de centro O e raio OA.

Slide 9 Geometria antes de Euclides Construes

Exemplo: Dado um ponto A B, e uma Circunferncia C de centro B e raio r,C(B,r), pode-se traar uma nova circunferncia esta circunferncia C(A,r)congruente anterior utilizando-se somente uma rgua no graduada e umcompasso de hastes no-fixvel (hastes pendentes).

Construes Auxiliares:1 Traar o crculo C(B,BA) eC(A,AB).2 C(B,AB) C(A,AB) = {C, D}, isto: as circunferncias C(B, AB) eC(A,AB) se interceptam em doispontos: C e D3 Construir o ABC, eqiltero.4 C(B, r) C(A,AB) = {E}.5 Traar C(C,CE).

6 C(C,CE) C(B,BA) = {P}.7 |AP| = r pois:7.1- PCB ECA pelo caso LLL7.2- PCB - ACB = ECA - ACB,logo: PCB = ECA.7.3.- CP CE e AC BC, ento:

pelo caso LAL, APC BEC,o que implica em: |AP| = |BE| = r.


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Slides 10/11/12 Geometria Euclidiana Construes [1], [2] e [3] O Postulado 3 da Geometria Euclidiana permite o uso do compasso

com hastes imobilizveis e, com isto, pode-se utilizar um dado raiopr-fixado nas construes geomtricas euclidianas. Note que esteno o caso das construes vistas nesta pgina que poderiam muitobem ter sido conseguidas com o compasso de hastes pendentes.

Possveis Enunciados doProblema

Construo devida a Euclides Construo Moderna

Enunciado:Construir um tringulo

equiltero dado o ladoAB. A B

C

A B

C

Enunciado 1:Bissecar um nguloABC

dado.

Enunciado 2:Dividir um ngulo em duaspartes congruentes(de igual

medida) dado o nguloABC.

A

BC

D

A

BC

D

Enunciado 1:Bissecar um segmento de reta

AB dado.

Enunciado 2:Dividir um segmento de reta

em duas partes congruentes.

Enunciado 3:

Traar a reta bissetriz de umsegmentoAB dado.

Enunciado 4:Obter o ponto mdio de um

segmentoAB dado.

BA

C

D

M

CD bisseca o segmentoAB. M o ponto mdio deAB.

BA

C

D

M

A reta que passa por CeD a mediatriz deAB.


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Slide 13 Outras Axiomatizaes da Geometria

Uma boa proposta de axiomatizao da Geometria Plana que pode ser adotada

no Ensino Mdio, com resultados bastante surpreendentes, a formulada por

David Hilbert (1862-1943), no ano de 1902, que alguns autores denominam

Geometria Sinttica. Ela contm apenas axiomas da Geometria Plana.

O SMSG School Mathematics Study Group conhecido como o Grupo da

Matemtica Moderna (de 1958 at 1977) apresentou uma interessante

axiomatizao para a Geometria Plana, tratada ali, como uma Geometria de

Coordenadas ou uma Geometria Axial. a mais completa delas por envolver

axiomas sobre a geometria plana e a espacial, tanto uma como outra recebendo

o tratamento mtrico.

Outra abordagem axiomtica, mas claramente divergente da proposta da

geometria euclidiana, por introduzir o conceito de medida, foi aquela proposta

em 1932 por George David Birkhoff. Os axiomas da geometria de Hilbert e as da

geometria de Birkhoff quando associados adequadamente, podem servir de

base para um estudo interessante da geometria plana que inclui a trigonometria

no crculo.

Uma proposta de axiomatizao apropriada ao Ensino Mdio a de Helen R.

Pearson e James R. Smart, in: Geometry, livro de1971, editado porGinn and

Company.

H ainda as Geometrias Finitas Axiomticas (com uma quantidade finita de

pontos, como a Geometria dos Trs Pontos) que permitem a criao de modelos

muito interessantes (e surpreendentes) que permitem uma profunda reflexo

sobre o que seja a tarefa de se tentar a axiomatizao da Geometria Euclidiana.


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Captulo 2

Construes Geomtricas com Rgua e Compasso

Objetivos Gerais:

[1G] Expor as possibilidades e impossibilidades de construes geomtricas com rgua e compasso.

[2G] Levar os estudantes a compreenderem a Geometria Euclidiana a partir das construes

geomtricas sugeridas pelo prprio Euclides.

Objetivos Especficos:

[1E] Estudar, passo a passo, as construes geomtricas com rgua e compasso.

[2E] Tomar contacto com mtodos distintos de representao de cada um dos passos das

construes geomtricas com rgua e compasso.

LeituraLeituraLeituraLeitura

1.- A Geometria Antes de Euclides

H referncia ao estudo e aplicao da geometria entre os babilnios j por volta de 2000 AC.

Os egpcios, apesar de no serem to inventivos como os babilnios, dominavam e aplicavamconceitos bastante importantes de geometria em seu dia-a-dia e nas suas construes.

Os gregos, antes de Pitgoras e antes de Euclides entre eles Tales de Mileto , tm a seucrdito a verificao de muitas propriedades geomtricas, tais como: O crculo bissecado pelo seu dimetro.

Os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais.

Dois tringulos so iguais (congruentes) se eles possuem dois ngulos e um lado

correspondentes iguais (congruentes) (casos LAL e LAAo).

Um ngulo inscrito em um semi-crculo um ngulo reto (veja na figura ao lado: o ngulo

inscrito mede a metade do ngulo central).

2.- A Geometria Euclidiana

Euclides (Euclides de Alexandria - ?? a.C. - 365 a.C.) escreveu Os Elementos por volta de300 A.C., uma obra genial dividida em 13 sees, denominadas Livros, que incluem conceitos,teoremas e construes geomtricas, teorias sobre proporcionalidade, teoria dos nmeros, e um tipo degeometria algbrica. Os 13 Livros componentes dos Elementos de Euclides so os seguintes:


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Livro Assunto

I Definies, Postulados e Noes Comuns, Congruncia de Tringulos, Teoria dasParalelas, reas, Teorema de Pitgoras.

II lgebra Geomtrica.III O Crculo.

IV Construo dos Polgonos Regulares.

V Teoria da Proporcionalidade.

VI Semelhana de Figuras.

VII Teoria dos Nmeros.

VIII Teoria dos Nmeros.

IX Teoria dos Nmeros.

X Teoria dos Irracionais.

XI Geometria Espacial (dos Slidos)

XII reas e Volumes Mtodo da Exausto.

XIII Construo dos Cinco Slidos Regulares de Plato.

3.- Mais de 2000 anos de Geometria EuclidianaEm resumo, podemos dizer que os Elementosde Euclides esto divididos em 13 livros

ou 13 captulos, dos quais os seis primeiros (de I a VI) so sobre Geometria Plana elementar, ostrs seguintes (VII a IX) so sobre teoria dos nmeros, o Livro X sobre os Incomensurveis e ostrs ltimos versam principalmente sobre Geometria do Espacial.

Os Elementos no possuem uma introduo ou prembulo, e o primeiro livro comeaabruptamente com uma lista de vinte e trs definies. A deficincia, desta obra, que algumas

definies no definem, pois no h um conjunto prvio de elementos no-definidos em termos dosquais os outros sejam definidos.

Atravs desta obra, que influenciou o pensamento cientfico por mais de 2000 anos e cujos

reflexos permanece at nossos dias, Euclides expe, de uma forma que modernamente no se podedenominar definitiva1, aquela que denominada Geometria Euclidiana. Nesta obra ele sugere que aconstruo de figuras geomtricas deva ser feita unicamente com o uso de uma rgua no graduada eum compasso com hastes fixveis um compasso que pode ser utilizado para transportar medidas deum para outro local do plano. Na pgina 10 o leitor poder ver alguns exemplos das construes comoelas figuram nos Elementos e como elas so realizadas de forma mais simplificada.

1 Vide: Foundations of Geometry, by David Hilbert, La Salle: Open Court Publishing Company, 2nd English edtranslatedfrom the 10th German ed, 1987.


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Comentrio: Se voc no entendeu a forma de resolver os problemas apresentados na pgina 10,no se preocupe. A seguir ser mostrado como resolver uma srie de problemas clssicos deconstruo geomtricas, passo a passo. E, nesta mesma linha sero propostos alguns problemas, paravoc tentar resolver.

4.- As Construes Geomtricas antes de EuclidesNa Geometria Grega, antes de Euclides, admitia-se somente o uso das rguas sem escala e dos

compassos cuja abertura das hastes no podia ser fixada estes eram os compassos de hastespendentes. Este tipo de compasso no podia ser utilizado para transportar medidas, como atualmentese admite, com relao aos compassos de hastes fixveis.

Euclides passa a adotar nas suas construes o compasso com hastes que poderiam sereventualmente fixadas e que poderiam, desta forma, manter a medida do raio de uma circunferncia,permitindo tra-la sem problemas tantas vezes quanto necessrio. Isto foi introduzido por Euclides noseu Postulado 3:

Para qualquer ponto O e qualquer ponto A distinto de O

existe uma circunferncia de centro O e raio OA.

Veja um exemplo de construo geomtrica pr-euclidiana na pgina 9.

5.- Construes Geomtricas Impossveis com Rgua e Compasso bom que se acrescente que algo muito interessante ocorre com as construes geomtricas

com rgua e compasso como proposta por Euclides, muitas delas at muito complexas so possveis,

no entanto, algumas construes at bastante simples so impossveis, como por exemplo:

1) A trisseco de um ngulo dado, ou seja, dividir um ngulo dado em trs outros ngulosexatamente da mesma medida (trs ngulos congruentes entre si);

2) A quadratura do crculo, isto , a construo de um quadrado que tenha exatamente amesma rea de um crculo dado;

3) A duplicao do cubo, isto , a construo de um cubo que possua o dobro do volume deum cubo dado como bsico.


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Construes geomtricasConstrues geomtricasConstrues geomtricasConstrues geomtricas 1 Mtodo1 Mtodo1 Mtodo1 Mtodo

Problemas Resolvidos Passo a Passo e Problemas Propostos

Problema Resolvido No 1 (Enunciados Provveis):[Enunciado 1.1] Obter o ponto mdio do segmento XY, dado.

[Enunciado 1.2] Construir um segmento bissetor, perpendicular a um segmento dado XY.

[Enunciado 1.3.] Construir a mediatriz de XY, um segmento de reta dado.

1. Comece com o segmento de retaXY. YX

1. Coloque a ponta seca do compasso no ponto X.

2. Ajuste compasso para uma abertura (um raio) que seja nomuito maior que a metade deXY.

3. Desenhe dois arcos como mostrado ao lado.YX

4. No mude a abertura (o raio) do compasso.

5. Coloque a ponta seca do compasso no ponto Y. Desenhe doisarcos que interceptem os arcos anteriormente traados.

6. Rotule (ou nomeie) estes dois pontos de interseo comosendoA eB.

A

B

YX

7. Usando a rgua, desenhe a linhaAB.

8. Nomeie comoMo ponto criado pela interseo do segmentode retaXYcom a linha auxiliarAB.

9. M o ponto mdio deXYeAB perpendicular ao segmentoXY, logo a reta que passa porA e porB a mediatriz dosegmentoXY.

X Y

A

B

M


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Problema Resolvido No 2: Dado um ponto P pertencente a uma reta r, construir uma retaque, passando por P, seja perpendicular a r.

1. Comece com a reta rque contm o ponto P. rP

2. Coloque o compasso no ponto P.3. Usando uma abertura qualquer (uma abertura arbitrria)

desenhe arcos que interceptem a linha rem dois pontos.

4. Nomeie estes dois pontos como Xe Y.

r

P YX

5. Coloque a ponta seca do compasso no pontoX.

6. Ajuste a abertura do compasso para um valor no maiorque a metade deXY.

7. Desenhe um arco como mostrado ao lado.

P YX

r

8. Sem modificar aquela abertura adotada em (6.) coloque ocompasso no ponto Y.

9. Desenhe um arco interceptando o arco anteriormentetraado.

10.Nomeie o ponto de intercesso dos arcos comoA.

A

P YX

r

11.Com a rgua trace a linhaAP.

12.A reta AP perpendicular linha r. A

X YP

r

Problema Proposto 1: Traar uma semi-reta s perpendicular extremidade de um dado

segmento de reta de origem A que passa por B.

Soluo:

Prolongar o segmento de reta de origem A, que passa por B, obtendo a reta r. A reta r uma retaauxiliar que faz com que o Problema Proposto recaiano Problema Resolvido No 2.

Obter o ponto X, sendo AXAB (AX congruente aAB) . Centrando o compasso em X e depois em B, obter

o ponto C. Traar a semi-reta s com origem em A,passando por C.

r

C

X BA

s


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Problema Resolvido No 3: Dado R, um ponto externo reta r, construir uma reta, quepassando por R seja perpendicular a r.

1. Comece com a reta re o pontoR, no pertencente retar.

rR

2. Coloque a ponta seca do compasso no pontoR.3. Usando um raio arbitrrio (abertura qualquer docompasso) desenhe arcos que interceptem a reta remdois pontos.

4. Rotule estes dois pontos encontrados comoXe Y.

rR

YX

5. Coloque o compasso no pontoX.

6. Ajuste o compasso com um raio no maior que a metadeda distanciaXY.

7. Desenhe um arco como mostrado na figura ao lado.

r

YX

R

8. Sem mudar o raio do compasso, coloque a ponta seca no

ponto Y.

9. Desenhe um arco interceptando o arco anteriormentedesenhado.

10.Rotule esta interseo (um ponto) comoB.

r

B

YX

R

11.Com a rgua, desenhe a retaRB.

12.A retaRB ser perpendicular reta r.

r

B

YX

R

Problema Proposto No 2:Traar uma reta s perpendicular a uma

segmento de reta dado AB que passa por umponto P tal que a distncia de P ao segmento bem maior que a medida do prprio segmento.

Sugesto: adotar a reta r, uma reta suporte do segmento AB, recaindo moproblema

P

r

BA


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Problema Resolvido No 4 (Enunciados Provveis):[Enunciado 4.1] Construir o segmento de reta bissetor de um ngulo RPQ dado.[Enunciado 4.2] Construir a reta bissetriz de um ngulo dado.

1. Seja P o vrtice do ngulo de lados PQ e PR.

2. Centrando o compasso no ponto P , desenhar um arco

que intercepte os dois lados do ngulo dado.3. Rotule os pontos de interseo como Q eR.

Q

RP

4. Centrando o compasso no ponto Q desenhar um arcono interior do ngulo dado.

Q

RP

5. Sem modificar a abertura do compasso, centrar ocompasso no pontoR e desenhar outro arco no interiordo ngulo dado cruzando o arco anteriormente traado.

6. Rotule a interseo como W.

P

Q

R

W

7. Utilizando um rgua no graduada desenhar a semi-reta PW.

8. PW a semi-reta que bisseca o ngulo dado.9. A reta bissetriz do QPR a reta

P

Q

R

W

r

Problema Proposto No 3:

Dividir um ngulo dado em 4 partecom a mesma medida, ou seja, dividir o

ngulo em quatro partes congruentesentre si.

Sugesto: Este um problema bastante fcil, pois trata-se primeiramente de dividir o ngulo dado emduas partes congruentes (de mesma medida) para em seguida dividir estes dois ngulos em outros dois,

totalizando assim quatro ngulos congruentes obtidosa partir do ngulo dado.

Problema Proposto No 4:Construir um ngulo de 45o , a partir

de um ngulo reto..

Sugesto: Traar uma perpendicular a uma reta dada e em seguida bissecar o ngulo reto assimobtido.


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Problema Resolvido No 5: Construa um ngulo congruente a um ngulo dado.

1. Para desenhar um ngulocongruente a um dado nguloA, comece desenhando uma

semi-reta de origemD.

D

A

2. Coloque a ponta seca docompasso (o centro) no ponto

A e desenhe um arco que passepelos dois lados do ngulodado.

3. Sem modificar a abertura docompasso, coloque a pontaseca do compasso no pontoDe desenhe um arco exatamenteigual ao anterior.

4. Rotule os pontos de interseocomoB, Ce D como mostradona figura..

E

B

C

D

A

5. Adote, no compasso, umaabertura equivalente aosegmento que une os pontosB

e C.6. Coloque o compasso no ponto

Ee desenhe um arcodesenhado anteriormente.

7. Rotule a interseo como F.

F

ED

C

B

A

4. Use a rgua no graduada paratraar a semi retaDF.

8. Conclui-se que: EDF

BACF

ED

C

B

A


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Problema Resolvido No 6: Dado um ponto P no pertencente reta r, traar por P umareta paralela a r.

1. Seja um ponto P no pertencente reta r.

r

P

2. Desenhe uma reta arbitrria s, com qualquerinclinao, que passando pelo ponto P, interceptea reta r.

3. Chame a interseo de Q.4. A tarefa agora construir um ngulo cujo vrtice

seja P, congruente ao ngulo formado pela

interseo de rcom s.

rQ

P

s

5. Centre o compasso em Q e desenhe um arcointerceptando as duas retas.

6. Sem modificar o raio do compasso, centre-o noponto P e desenhe outro arco igual aoanteriormente traado.. rQ

P

s

7. Adote a abertura do compasso como sendo a

distncia entre as intersees determinadas peloprimeiro arco traado.

8. Agora, centre o compasso no ponto onde osegundo arco intercepta re marque o ponto R. r

R

Q

P

s

9. Trace a reta PR paralela reta r.

r

R

Q

P

s


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21

Problema Resolvido No 7 (Enunciados Provveis):

[Enunciado 7.1] Construir um tringulo equiltero dado um segmento de reta representando um de

seus lados.[Enunciado 7.2] Construir um ngulo de 60.

1. 1. Comece com o segmentoAB.

BA

2. Centrando o compasso no pontoA, com aberturaAB, traar um arco como mostrado na figura.

BA

3. Mantendo a mesma abertura, centrar o compassoem B e traar um segundo arco.

4. Nomeie o ponto de interseo destes dois arcoscomo sendo C.

C

BA

5. Desenhar os segmentos de retaACeBC.6. O Tringulo ABC(ABC) equiltero.7. A partir do Teorema da Soma dos ngulos

Internos de um Tringulo Qualquer (Si= 180o) e

utilizando o teorema que afirma: Num tringuloqualquer, ao maior ngulo se ope o ngulo demaior medida, pode-se concluir que cada umdos ngulos do tringulo equiltero mede 60.

C

BA


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Problema Resolvido No 8: Dividir um segmento de reta em n partes iguais, ou seja, em nsegmentos de igual medida.

1. Comece com o segmento a ser dividido.2. Seja, neste exemplo, dividi-lo em cinco segmentoscongruentes entre si.

BA

3. Desenhe um segmento de reta a partir de A, formando,com a reta dada, um ngulo agudo.4. Use o compasso com uma abertura arbitrria, masconveniente, para dividir o segmento auxiliar para criaruma escala com cinco espaos de mesmo tamanho.5. Rotule o ltimo ponto como C.

C

BA

6. Voc dever, agora, desenhar dois arcos com raiosdistintos a saber: um arco centrado no pontoA, com raioBCe um segundo arco com centroB e raioAC.

7. Rotule esta interseo comoD.

8. Note queACBD um paralelogramo.

D

C

BA

9. Use o compasso para construir, ao longo do segmentoDB, uma escala usando o mesmo raio que foi usado paradividir o segmentoAC.

D

C

BA

10.Use a rgua no graduada para ligar os pontos dosegmentoACaos pontos correspondentes do segmentoDB.

11.Os segmentos assim traos sero paralelos.

12.Estes segmentos paralelos iro dividir o segmento dado,

AB, em segmentos congruentes.

D

C

BA


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Problema Resolvido No 9: Dados: uma circunferncia, seu centro C e um ponto Pexterno a ela, construir as retas, que passando pelo ponto P, sejam tangentes circunferncia.

1. Comece com a circunferncia centrada no ponto Ce o ponto P, exterior circunferncia. PC

2. Desenhar o segmento de reta CP. Obter o ponto M,mdio do segmento CP. (Vide Problema Resolvido No1)

CP

M

3. Centrando o compasso no pontoM, desenhe acircunferncia que passa por C e P.

4. A circunferncia ir interceptar a outra nos pontosR e S.

R

S

P

MC

5. Os pontosR and S so os pontos de tangncia.Trace as retas PR e PS tangentes circunfernciacentrada no ponto C.

S

R

P

Problema Proposto No 5:

Dados: uma circunferncia, seu centro C e um ponto P externo a ela,traar a circunferncia centrada em P,que tangencie circunferncia dada,

marcando antes o ponto de tangnciadestas circunferncias.

Sugesto:

Unir C a P. Nomear o ponto de interseo do

segmento CP com a circunferncia dada, como T. T

o ponto de tangncia das duas circunferncias. PT o

raio da outra circunferncia.


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Problema Resolvido No 10: Obter o centro de uma circunferncia quando ele no dado.

1. Comece com a circunferncia (sem a marcao docentro)

2. Desenhe a cordaAB. A

B

3. Construa a mediatriz (bissetriz e perpendicular) dacordaAB.

4. Sejam CeD os pontos de interseo da mediatrizanteriormente traada e a circunferncia dada.(Veja o Problema Proposto No 1)

C

D

A

B

5. A corda CD o dimetro da circunferncia.Obtenha o ponto P, mdio do segmento CD. (Veja oProblema Proposto No 1)

6. O ponto P o centro da circunferncia dada.

PD

C


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Problema Resolvido No 11:Dados trs pontos no colineares construa acircunferncia que passe por estes trs pontos.

1. Comece com os pontosA,B e C. C

B

A

2. Desenhe os segmentos de retaAB eBC. C

B

A

3. Construa as mediatrizes ( retas bissetoras eperpendiculares) aos segmentosAB eBC.

4. Seja P a interseo destas bissetrizes.

A

B

CP

4. Centrar o compasso no ponto P, e desenhe acircunferncia passando porA,B e C. A

B

CP

Problema Resolvido No 12 (Enunciados Provveis):[Enunciado 12.1]Inscrever um tringulo dados numa circunferncia.[Enunciado 12.2] Circunscrever uma circunferncia a um tringulo dado.

1. Comece com um tringulo qualquerABC.

C

B

A

2. Traar as mediatrizes de quaisquer dois lados dotringuloABC.

3. O encontro destas mediatrizes produz o centro dacircunferncia que passar pelos trs vrtices dotringulo dado.

A

B

C


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Problema Resolvido No 13:Inscrever uma circunferncia num tringulo dado.

1. Comece com um tringuloABC.

C

B

A

2. Construa as bissetrizes de dois quaisquer dosngulos internos deste tringulo. (VideProblema Proposto No 4.)

3. SejaIa interseo das duas bissetrizes dosngulos escolhidos. I

C

B

A

3. Construa a reta que, passando por I, perpendicular a um dos lados do tringulo dado.Seja T o ponto de interseo desta reta com olado escolhido (no nosso casoAB).

T

I

C

B

A

4. Centre o compasso no pontoI, e desenheutilizando como raio o segmento de retaIT, acircunferncia. Ela ir tangenciar os trs ladosdo tringulo dado.

T

I

C

B

A


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Construes GeomtricasConstrues GeomtricasConstrues GeomtricasConstrues Geomtricas 2 Mtodo2 Mtodo2 Mtodo2 Mtodo

Problemas Resolvidos usando Smbolos Grficos quemostram os Passos das Construes Geomtricas:

A seguir sero apresentadas algumas construes geomtricas passo a passo, segundo umaoutra de forma de construo, em que se far uso dos seguintes smbolos:

Centro para a ponta seca do compasso de um arco ou circunferncia;

Direo para o traado de linhas, crculos ou arcos;

Ponto demarcado;

Ponto especial e/ou escolhido arbitrariamente (veja problema 15).

Problema Resolvido No 14: Como bissecar um dado ngulo? Como dividir um ngulo em duaspartes exatamente da mesma medida?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-

Para maiores detalhes sobre esta tcnica, vide:

http://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htm


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Problema Resolvido No15: Como construir uma linha perpendicular a um segmento bissecando-o?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.-

Problema Resolvido No 16: Como construir uma linha perpendicular a um segmento dadopassando por um ponto fora dele?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-


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Problema Resolvido No 17: Como construir uma linha perpendicular a um segmento dadopassando por um ponto qualquer pertencente a este segmento?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-

Problema Resolvido No 18: Como construir os dimetros horizontal e vertical de umacircunferncia dada?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- Vide antes, o Problema 14 6.-


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Problema Resolvido No 19: Como construir um hexgono equiltero inscrito num

crculo dado?1.- 2.- Vide antes, o Problema 16 3.-

4.- 5.- 6.-

7.- 8.- 9.-

10.- 11.-


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Problema Resolvido No 20: Como construir um tringulo equiltero dado o lado?

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-

Problema Resolvido No 21: Como construir um tringulo equiltero inscrito numacircunferncia dada?

1.- Vide antes, problema 17 2.- 3.-

4.- 5.-


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Problema Resolvido No 22: Como construir um hexgono regular dado um de seuslados?


4.- 5.- 6.-

7.- 8.- 9.-

10.- 11.- 12.-


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Problema Resolvido No 23: Como construir um pentgono regular?


4.- 5.- 6.-

7.- 8.- 9.-

10.- 11.- 12.-

13.- 14.- Nota:Esta maneira de construir

um pentgono (h outrosmodos de faz-lo) pode serusada tambm paraconstruir um decgonoregular (um polgonoregular com dez lados).


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Problema extra: Como construir um heptgono regular dado um de seus lados?Consultar os sites:

http://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htmhttp://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htm

Um heptgono no pode ser estritamenteconstrudo com rgua e compasso. Uma formaprtica de constru-lo faz-lo em uma folha

quadriculada atravs das coordenadas de seusvrtices.

Para que voc possa obter diferente posies dosvrtices a tabela ao lado deve ter seus valoresalterados, da seguinte forma:

1. Para que o heptgono aponte para aesquerda, multiplique todos os valores databela por -1;

2. Para que o heptgono aponte para acima, troque os valores de x por y e vice-versa;

3. Para que o heptgono aponte para baixo,multiplique todos os valores da tabelaobtida em (2) por -1.

Nota:Os valores da tabela assumem que o raio da circunferncia circunscrita ao heptgono vale1.0000. Para se obter heptgono de diferentes tamanhos basta multiplicar os valores tabeladospelo valor do raio desejado para a circunferncia.e.

Aqui esto ascoordenadas dos 7 vtices

X Y

1.0000 0.0000

0.6235 0.7818

0.2225 0.9749

0.9010 0.4339

0.9010 0.4339

0.2225 0.9749

0.6235 0.7818


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Apndice

Veja a seguir como construir um quadrado e um retngulo, dados os lados.

Construindo quadradosQuer-se desenhar um quadrado de lado AB, dado.

1 Passo: Trace uma reta e sobre ela marque o segmento de reta AB.

2 Passo: Trace uma perpendicular em A.

3 Passo: Centro em A, com a abertura do compasso igual medida AB, marque o ponto Dsobre a reta perpendicular anteriormente traada.

4 Passo: Centro em B, mantida a mesma abertura no compasso, trace um arco AX.

5 Passo: Em seguida, com abertura do compasso igual ao lado AB, centro em D, corte oarco AX em C.


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6 Passo: Una os pontos A, B, C e D.

Construindo retngulos

Vamos desenhar um retngulo de lados AB cm e AD.

1 Passo: Desenhe uma reta e sobre ela marque o segmento de reta de AB, dado.

2 Passo: Trace uma perpendicular em A.

3 Passo: Centro em A, com a abertura do compasso igual medida de AD, marque o pontoD, na perpendicular.


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4 Passo: Centro em D, abertura do compasso igual ao lado AB, trace um arco.

5 Passo: Em seguida, com abertura do compasso igual ao lado AD, centro em B, corte oarco em C.

6 Passo: Una os pontos A, B, C e D.


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Captulo 3

Formulrio de Geometria Euclidiana Plana 1

IntroduoA Construo do Pensamento Geomtrico Euclidiano tem sido um grande desafio para oseducadores, no somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela dificuldade de torn-los

claros e conexos para os estudantes, bem como, aplicveis resoluo de problemas.

O estudo da Geometria Euclidiana seja atravs do mtodo hipottico-dedutivo, seja atravs de

um formulrio tomado como dicionrio da linguagem geomtrica objetivando a resoluo de

problemas, exige do professor grande habilidade pedaggica que envolve o conhecimento sobre:

(1) o que expor que contedos apresentar aos estudantes,

(2) em que seqncia expor os contedos selecionado,

(3) como expor e tornar significativos cada um destes contedos,

(4) como avaliar a aprendizagem daquilo que foi exposto.

A Geometria Plana EuclidianaH fortes recomendaes de cunho pedaggico no sentido de que se deveria apresentar as

idias geomtricas euclidianas ao longo de todas as sries do Ensino Bsico. No entanto, apesar da

obrigatoriedade de que o contedo da Geometria Euclidiana deva ser abordado nas seguintes sries: 7

e 8 sries do Ensino Fundamental (Geometria Plana) e retomada na 2 srie do Ensino Mdio(Geometria Espacial) incorporada disciplina de Matemtica.

A prtica tem mostrado, no entanto, que muito pouco se ensina de Geometria e que os alunos

muito pouco aprendem desta cincia. Um dos sinais que melhor caracterizam o problema, e o faz de

forma contundente, o que geralmente ocorre com os professores do Ensino Mdio, que, para

poderem apresentar a Geometria de Posio e a Geometria Mtrica Espacial, necessitam apresentar

antes toda a Geometria Plana, pois a maioria dos alunos, agora na 2 srie do Ensino Mdio, nunca a

estudaram antes e, mesmo os que o fizeram, no fixaram os seus conceitos mais bsicos, apresentando

um conhecimento extremamente lacunar e desconexo. Os professores de Fsica, que necessitando de

conceitos elementares da Geometria no o encontram com facilidade no repertrio de maioria dos

estudantes do Ensino Mdio, o que dificulta enormemente a tarefa de faz-los compreender os

fenmenos e a interpretao das leis inerentes sua disciplina.

As construes geomtricas utilizando rgua e compasso (vide captulo anterior) ou a

geometria experimental, normalmente apresentada em Laboratrios ou Oficinas de Geometria que


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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA E ESPACIAL 39

envolve a utilizao de materiais concretos (dobraduras, pantgrafo, construes com canudos de

refresco e palitos de sorvete, planificaes de slidos geomtricos etc) , so formas bastante

interessantes de se apresentar e estudar a Geometria Euclidiana, frisando e empregando os seus

conceitos imediatos, definidos ou construtivos. No entanto, o que maioria dos professores alega para

no colocar em prtica estas idias, a falta de tempo ou a necessidade de preparar um materialmuito amplo para um efeito lento demais quando se leva em conta o tempo disponvel para ensinar

Geometria na 7 e 8 sries do Ensino Fundamental, ou at mais, esta uma tarefa do professor de

Desenho.

Estes problemas a falta de tempo, talvez a falta de conhecimento slido e pedagogicamente

bem embasado por parte dos professores e a aprendizagem lacunar ou insuficiente por parte dos

estudantes que chegam ao Ensino Mdionos fizeram repensar o ensino da Geometria.

Num primeiro momento, a Geometria vai (e deve sempre) ser repensada como sendo umalinguagem, que o que ela realmente . A partir disto, teremos que eleger um vocabulrio mnimo a

ser exigido do estudante, a partir do qual se possam criar oportunidades de aprendizagem

genuinamente instigantes ou pelo menos motivadoras, primeiramente atravs da justificao de

raciocnios e a seguir atravs da resoluo de problemas.

Assim, a criao de um formulrio dos principais conceitos e propriedades da Geometria

Euclidiana Plana e Espacial, baseados no vocabulrio desta cincia passou a ser a meta mais urgente de

nossa proposta pedaggica. O resultado da primeira fase do nosso projeto (vocabulrio destinado ao

alunado da 7 srie) ser apresentado a seguir, nele, a Geometria Euclidiana destinada a este nvel de

escolaridade pode ser acessada de diversas maneiras:

i. Atravs de um vocabulrio os ttulos e subttulos de cada um dos tpicos;

ii. Atravs das ilustraes bastante detalhadas, geralmente acompanhadas de textos

explicativos;

iii. Atravs da sugesto de alguns exerccios bastante concretos envolvendo alguns tpicos

tericos que apresentem dificuldade;

iv. Uma srie de Sugestes Metodolgicas.

Os formulrios destinados aos alunos da 8 srie do Ensino Fundamental e aos alunos do 2ano do Ensino Mdio, sero apresentadas nos captulos 5 e 6 a seguir. O desenvolvimento

axiomtico da Geometria Euclidiana e a prova de uma srie de Teoremas relevantes, focando-se emparticular, os diversos mtodos e formas de se provar teoremas numa Teoria Axiomtica sero

vistos na segunda parte deste trabalho.


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0.- Estrutura de uma Teoria Axiomtica

Conceitos Primitivos Axiomas(Postulados) Definies Teoremas Modernamente d-se preferncia ao nome Axioma no lugar de Postulado.

Axiomas so afirmaes iniciais aceitas sem demonstrao(ou princpios no demonstrveis), aceitos incondicionalmente como verdadeiros, e sobre os quais ir se

fundamentar uma Teoria. Uma Teoria assim construda ser denominada Teoria Axiomtica.

TEOREMA: Hiptese: P Tese: Qdemonstrao

Mtodos Usuais de Demonstrao de Teoremas:

(1) Mtodos diretos:(1.1)Hipottico-dedutivo (Regra de Inferncia Modus Ponens: PQ; Se P verdadeira,ento Q verdadeira.)(1.2.)Mtodo Indutivo (Princpio da Induo Finita ou Induo Matemtica)

(2) Mtodo indireto: por Reduo ao Absurdo (Regra de inferncia Reductio ad Absurdum: PQ;Se Q acarreta PP, ento Q verdadeira. Negar Q, a Tese, e obter a negao da HipteseP, P, obtendo-se PP que uma contradio).

1.- Noes Bsicas da Geometria Euclidiana (Euclides de Alexandria ? a.C. 325 a.C.)

O plano se expande em todos os sentidos Os elementos fundamentais (ou conceitos primitivos) de uma teoria no possuem definio.

O ponto, a reta, o plano e o espao (E) so os entes fundamentais ou conceitos primitivos da Geometria.

A

Representaes do ponto,da reta e do plano:

r

Notao usual para os entes geomtricos:

(1)o ponto notado com letras latinas maisculas: A,B,C,..., P,Q,...

(2)a reta notado com letras latinas minsculas: a,b,c,..., r,s,t,...

(3)o plano notado com letras gregas minsculas: ,,,,...

(4)os semi-planos opostos de um mesmo plano: 12 = e 12 =

(5)o espao notado pela letra E ( Espao Euclidiano = RRRR3)

Notar que: O ponto adimensional. O ponto pode ser caracterizado como sendo a interseco de duas

retas. A interseco de duas retas determina um ponto. A reta infinita nos dois sentidos. A reta, o plano e o espao so conjuntos com infinitos pontos. O plano tem infinitas retas e o espao infnitos planos. Nem a reta, nem o plano tm espessura. O plano se expande em todas os sentidos. O espao se expande em todas as direes.

r

1

2

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 1


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2.- Examinando Alguns Axiomas da Geometria Euclidiana2.1.- Axioma da Existncia

Existe a reta e nela ou fora dela existem infinitos pontos.

Existe o plano e nele (ou fora dele) existem infinitos pontos.

2.2.- Axioma da Determinao

Dois pontos distintos determinam uma reta.

A palavra determina deve ser entendida como uma substituta parao seguinte conceito: estabelece a existncia de uma e somente uma entidade geomtrica.

Trs pontos no colineares determinam um plano.

C

B

A

AB

barbante

2.3.- Axioma da Incluso

Uma reta estar contida num plano (ou pertence a um plano) quandopossur dois de seus pontos, distintos, pertencentes a este plano.

A

B

( A B, A, B, r = AB ) r

Usando este postulado e o postulado da determinao de planos poderemos demonstrar que:

Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.

Duas retas concorrentes detrminam um plano.

Duas retas paralelas distintas determinam um plano.

2.4.- Axioma da Separao

Um ponto pertencente a uma reta a separa em duas semi-retas distintas.

Uma reta pertencente a um plano o separa em dois semiplanos distintos.

2.5.- Axioma das Paralelas (Conhecido como V Postulado de Euclides)

Por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta paralela reta dada.


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3.- Retas, Semi-retas e Segmentos de Reta Pontos e Segmentos Colineares Notao:

A e B so pontos da reta r (Ar e Br),ento:

[1] r = AB [2] AB [3] AB

[4] BA [5] OA e OB [1] r a reta que passa por A e B

[2] o segmento de reta AB

[3] a semi-reta com origem A, passando por B

[4] a semi-reta com origem B, passando por A

a reta r est contida no plano : r

[5] semi-retas opostas (veja figura ao lado) oponto O a origem destas duas semi-retas.

A

r

B

O

3.1.- Pontos Colineares e Segmentos Colineares

Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta r

Os pontos A, B e C so colineares

A reta suporte dos pontos A, B e C a reta r

O ponto B est entre os pontos A e C: [ABC] = [CBA]

os segmentos AB , BC e AC esto contidos numa mesma reta r: AB r ,BC r e AC r

Os segmentos AB , BC e AC so colineares, porque esto contidos numa mesma reta r

A reta r a reta suporte de AB , BC e AC

AB

rC

3.2.- Segmentos Consecutivos e Segmentos Adjacentes

Os segmentos AB e BC so consecutivos, mas no so colineares

Os segmentos MN e NP so consecutivos e so colineares

Os segmentos MP e PN so consecutivos e so colineares

CB

A PNM


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3.3.- Segmentos Colineares Consecutivos adjacentes

Para que dois segmentos colineares e consecutivos sejam adjacentes necesrio que eles

possuam um nico ponto em comum:

Os segmentosMN e NP so colineares e consecutivos e ainda MNNP = {N}, logo

MN e NP so segmentos adjacentes

Por outro lado, MP PN= PN = NP , mesmo ocorrendo que MP e PN sejam

colineares e consecutivos, eles no so adjacentes.

4.- Ponto Mdio de um Segmento

M ponto mdio de AB ( [AMB] e AM = MB )

Ou usando a Notao:A distncia de A at B sendo dada simbolicamente por: d(A,M)

M ponto mdio de AB ( d(AM) = d(AB) e d(AM) + d(MB)=d(AB) )

PROPRIEDADES DA DISTNCIA ENTRE PONTOS DO PLANO:

[1] d(A,B) 0 [2] d(A,B) = 0 A B ( - coincide)

[3] d(A,B) = d(B,A) [4] d(A,B) + d(B,C) d(A,C) (desigualdade triangular)

MA B

5.- Semi-planosSemi-planos e semi-espaos

[1] r

[2.a] 1 2 = [2.b] 1 2 = r

O plano foi dividido pela reta r

em dois semi-planos opostos (e

distintos) 1 e 2.

Se P 1 e Q 2, pode-seescrever:

1 = (r, P) e 2=(r, Q)

Notar que: Um plano separa o

espao (E) em dois semi-espaos.

r

2

1

QP


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44

6.- Regies Planas Convexas e Cncavas

R umaRegio Plana Cncava se, e somente se:

RABRBeRA,R

R umaRegio Plana Convexa se, e somente se:

RABRBeRA,R

- para todo - existe pelo menos um - se ... ento ... - ... pertence a ... - ... est contido em ... - no est contido em ...

R

B

A

Nota o:

RB

A

7.- ngulosNotao:

ngulo =)

= AB = rs

ngulo = = AOB

O o vtice do ngulo

As semi-retas OA e OB , de

mesma origerm O, so oslados do ngulo

ngulos Consecutivos:AOB e BOCAOC e BOCAOB e AOC

ngulos Adjacentes:AOB e BOC

No so ngulos Adjacentes:AOC e BOCAOB e AOC

O

s

r

B

A

C

OB

A

Nota: O ngulo uma superfcie limitada por duas semi-retas de mesma origem.

8.- Medida de ngulos Graus

rasongulodenominadoCOA)

O

++++==== 180o

CA

B

ngulo reto

Medida = 90ongulo agudo

Medida < 90ongulo obtuso

Medida > 90o

O ngulo de 360o denominado ngulo de uma volta.

Nota: Um ngulo , tal que 0o 180, um ngulo convexo. Os ngulos , tal que180


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Medidas de ngulos em Radianos:

Sendo: rad180o logo: o90rad2

o60rad3

o45rad4

o30rad6

Medidas de ngulos em Grados:Sendo: 360o = 400gr se torna bastante simples calcular os valores de1800, 90o, 60o, 45o e300 atravs de regra de trs simples. Tente faz-lo e confira as suas respostas, abaixo.

Respostas: 200gr, 100 gr; (400/6) gr = 200/3 gr66,666... gr; 50 gr e 33,333...gr

9.- Adio de ngulos

Se )(med)(med + = 90o ento e so ngulos complementares

Se )(med)(med + = 180o ento e so ngulos suplementares

Se )(med)(med + = 270o ento e so ngulos explementares

Se )

(med)

(med + = 360o

ento e so ngulos replementares

10.- Bissetriz de um ngulo e ngulos Opostos Pelo Vrtice ( ngulos OPV ) e COBDOADOBCOA

))))

OC a semi-reta bissetriz do ngulo BOA)

COBCOA))

( - congruente a)

AC

OB

C

DA

B

O

DOBCOADOBCOA))))

OPVngulossoe

OPVngulossoe COBDOACOBDOA))))

Nota: dois ngulos so congruentes quando tm a mesma medida.


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46

10.1.- Teorema dos ngulos O.P.V. Comentrios de cunho Pedaggico

Teorema a ser Explanado/Explorado/Provado:Dois ngulos O.P.V. so Congruentes.

Forma de Realizar a Explanao:

Apresentar a figura ou desenho, passo a passo, explicando cada um de seus

componentes (retas r e s, a interseco no ponto O, os ngulos O.P.V. e , o

ngulo um ngulo auxiliar).

Mostar que: + = 180 (formam um ngulo raso)

Mostrar que: + = 180 (tambm formam um ngulo raso)

Montar o sistema de equaes algbricas lineares:

=+

=+o

o

180

180

e resolv-lo ou por decodificao ou atravs de manipulaes algbricas, constatando

que = , ou seja: .

Um comentrio importante: pode-se ser mais rigoroso no tocante ao que seja ongulo e ao que seja a sua medida, adotando-se a seguinte notao: med(AOB) =, med(COD) = e med(BOD) = , assim, a concluso de que = nos levar concluso de que se med(AOB) = med(COD) ento AOB COD.

OA

C

DB

r

s


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10.2.- Prova (Direta) do Teorema dos ngulos O.P.V.

Teorema: Dois ngulos O.P.V. so Congruentes.

Hiptese TeseAOB e COD so ngulos OPV AOB) COD

Prova no formato de duas colunas:

Proposio ou afirmao Justificativa

1.- Sejam r e s duas retas que se interceptam numponto O

Definio-

2.- Seja A, B, C e D pontos tais que: Ar, BrCs e Ds

Axioma: Sobre uma reta jazem pelos menosdois pontos distintos.

3.- AOB e COD so O.P.V e AOC e BODso O.P.V

Definio de ngulos O.P.V.

4.- Seja assumir que:

med(AOB) = e med(COD) = e quemed(BOD) = e med(COA) =

Correspondncia entre um ngulo e suamedida

5.- AOB e BOD so suplementares Formam par de ngulos lineares

6.- Logo + = 180 Soma das medidas de ngulos suplementares

7.- COB e BOD so suplementares Formam par de ngulos lineares

8.- Logo + = 180 Soma dos ngulos suplementares em graus

9.- de (6) e (8) pode-se tirar que = de ondemed(AOB) = med(COD)

Regra da Substituio em Sistemas deEquaes algbricas Lineares

10.- Se med(AOB) = med(COD) entoAOB COD

Definio de congruncia

11.- Usando-se o mesmo raciocnio pode-seprovar que med(AOC) = med(BOD)ento AOC BOD

Repetir os passos de (4) at(10) para AOC eBOD).

C.Q.D. Como Queramos Demonstrar


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11.- Tringulos

r

s

t

bc

a

C

B

A

Tringulo de vrtices A, B e C: ABC

Os lados a, b e c do ABC so opostos aosvrtices A, B e C, respectivamente.

ngulos internos: , e

ngulos externos: , e

Permetro do ABC: 2p = a + b + c

Semi permetro do ABC:2

cbap

++=

Pode-se traar uma reta suporte paracada um dos lados de um dadotringulo na figura ao lado as retasr, s e t so suportes, respectivamente,dos lados a, b e c do ABC + = + = + = 180o

12.- Classificao dos Tringulos

Tringulos: Classificao quanto m edida dos lados

escaleno issceles equiltero 12.1.- Propriedades Notveis dos Tringulos

Os tringulos eqilteros tm os trs lados com a mesma medida; o tringulo issceles tem apenasdois lados com a mesma medida e o tringulo escaleno tem os trs lados com medidas distintas(diferentes).

O tringulo eqiltero tambm denominado tringulo equingulo (tem os trs ngulos com a mesmamedida) e o tringulo issceles tambm denominado isongulo ( tem dois ngulos com a mesmamedida).

O tringulo equiltero (tem trs lados congruentes) tambm considerado issceles (tem dois ladoscongruentes).

Leia o Teorema:Em todo tringulo, ao maior lado se ope o maior ngulo

e responda seguinte pergunta:

Pergunta:Em funo do que voc acabou de ler: o que ocorre nos tringulos issceles?

Resposta: Nos tringulos issceles, aos dois lados congruentes se ope dois nguloscongruentes (veja figura acima).


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Tringulos: Classificao quanto medida dos ngulosuanto medida dos ngulosuanto medida dos ngulosuanto medida dos ngulos

tringulo retngulo tringulo acutngulo tringulo obtusngulotringulo retngulo tringulo acutngulo tringulo obtusngulotringulo retngulo tringulo acutngulo tringulo obtusngulotringulo retngulo tringulo acutngulo tringulo obtusngulo

hipotenusa

catetos

Observar: Em todos os tringulos h sempre, pelo menos, dois ngulos agudos. Nos tringulos retngulos, dois ngulos

so agudos e o terceiro deles retngulo; no tringulo acutnguloos trs ngulos so agudos e no tringuloobtusnguloum dos ngulos obtuso, mas os outros dois so ngulos agudos.

13.- Casos de Congruncia de Tringulos

[1o] Escrever: LALALALLLLAAo e pronunciar: l-l-l-ele-ele-ele-a-a

[2o] separar de trs em trs slabas: LAL | ALA | LLL | LAAo LAL Lado, ngulo, Lado (um ngulo entre dois lados) ALA ngulo, Lado, ngulo ( um lado e dois ngulos nas suas extremidades) LLL Lado, Lado, Lado LAAo Lado, ngulo, ngulo Oposto

CUIDADO:A congruncia entre dois tringulos deve ser verificada rigorosamente entre os lados e osngulos de forma correspondente - lados e ngulos estes, que devem ser congruentes.

Assim sendo: ABC YXZ, mas o ABC no congruente XYZ (diga porqu!).Como estabelecer a congruncia dos tringulos MNP QRS abaixo apresentados?

Que tipos de movimentos devem ser realizados para levar cada um dos tringulos sobre o outro.Os movimentos so os mesmos?

Z

Y

XC

BA

Q

S

RM

N

13 cm

10 cm

11 cm

13 cm

11 cm10 cm

P

Por que no existe o caso de

congruncia LLA ?

Observe os dois tringulos ao lado.

Cada um deles possui dois lados

medindo 1l

e 2l

e um mesmongulo . No entanto, nem por isto,

eles so congruentes.

1l

2l

1l

2l

Nota Importante: Casos Especiais de Congruncia de TringulosNo caso de dois tringulos retngulos podemos afirmar que os mesmos so

congruentes sempre que:(a) tenham os catetos correspondentemente congruentes; ou(b) tenham a hipotenusa e um dos catetos correspondentemente congruentes.


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14.- Duas Retas Paralelas Cortadas por uma reta Transversal

Propriedades: so congruentes os ngulos correspondentes e os alternos (internos ou externos)

so congruentes os ngulos OPV

so suplementares (somam 180

o

) os ngulos colaterais (internos ou externos)

t

s

r

5 6

4 3

2

7 8

1

ngulos Colaterais Internos:3 e 6; 4 e 5

ngulos Colaterais Externos:

1 e 8; 2 e 7ngulos Alternos Internos:4 e 6; 3 e 5

ngulos Alternos Externos:1 e 7; 2 e 8

ngulos Correspondentes:1 e 8; 2 e 7; 3 e 7; 4 e 8

ngulos OPV:1 e 3; 2 e 4; 5 e 7; 6 e 8

15.- Dois Teoremas Importantes Sobre os ngulos de um Tringulo

oiS 180 =++= +=e

Teorema: Num tringulo qualquer, a soma dos ngulos internos vale sempre 180 .

Corolrio: Num tringulo qualquer, o ngulo externo tem medida igual somados outros dois ngulo no adjacentes a ele.

Prova do Teorema da Soma dos ngulos Internos de um tringulo qualquer:Seja o tringulo de vrtices ABC (ABC) qualquer, com lados opostos a cada um destes vrtices,

denominados a, b e c, respectivamente. Sejam ainda os ngulos , e , respectivamente ngulosinternos dos vrtices em A, B e C, conforme figura ao lado.

Tracemos uma reta r paralela a um dos lados deste tringulo pelo vrtice oposto a este lado escolhido.Segundo o Axioma V de Euclides, por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta paralela reta dada. A seguir, sem perda de generalidade, suponhamos que o lado escolhido seja o lado b, evidenteque a reta r ser traada por B, sendo assim, paralela por construo, ao lado b do tringulo.

B

A Cb

ac

(C.Q.D. ou CQD: Como Queramos Demonstrar) - do latim: Q.E.D. Quod Erat Demonstrandum)

O teorema do Feixe de Paralelas cortado por umaTransversal, nos permitir transportar as medidas dos ngulos e para o vrtice B, criando ngulo alternos internoscom o mesmo nome, conforme a figura ao lado. Assim, osngulos , e , passam a formar no vrtice B dotringulo dado, um ngulo raso, ou seja: + + =180.

C.Q.D.


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Observar: O Teorema do ngulo Externo (de um tringulo qualquer) poder serdemonstrado fazendo-se uso do Teorema da Soma dos ngulos Internos (de umtringulo qualquer) e , exatamente por isto, que ele denominado um Corolrio desteTeorema. Um corolrio um Teorema conseqente de outro.

Prova do Corolrio (=Teorema Conseqente) dongulo Externo de um tringulo qualquer:Sabe-se que Si = 180

o. Assim, pela figura anteriortemos tambm que o ngulo externo, , e o ngulo internoao tringulo,

)so suplementares, isto :

med() + med()

) = 180o

A partir disto, podemos montar e resolver o sistema de

equaes lineares seguinte

=+

=++o

o

180e

180 e = + .

C.Q.D.

B

AC

16.- Feixe de Retas Paralelas Cortadas por Transversais

Teorema do Feixe de Paralelas de Tales:

O teorema do feixe de retas paralelas cortadas por duas retas transversais, tambm conhecido como Teorema de Tales, cujo enunciado o seguinte:

Se duas retas so transversais de um feixe retas paralelas, ento a razo de doispares de segmentos correspondentes igual.

EF

BC

DE

ABou

EF

DE

BC

AB==

Exemplo numrico:

6

4

3

2ou

6

3

4

2==

6 cm

3 cm

4 cm

2 cm

F

E

D

C

B

A

u

s

t2t1

r


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52

17.- Semelhana de Tringulos

zay

x

Y

Z

X

cb

C B

A

CUIDADO: ABC ZYX

Se ABC ZYX ento:

XCeYB,ZAaindaex

c

y

b

z

a==

os lados homlogos (correspondentes) so proporcionais

e

os ngulos homlogos (correspondentes) so congruentes.

17.1.- Semelhana de Tringulos Um Exemplo Notvel

P

N

M

B

C A

3cm

4cm

5cm6cm

8cm

10cm

21 k

2

1

6

3

8

4

10

5eABC~PMNaindaouk2

3

6

4

8

5

10ePMN~ABC ========

A razo de semelhana do ABC para o PMN vale 2 (k1 = 2 indica que os lados do tringulo maiormedem o dobro dos lados correspondentes do menor ),

enquanto a razo de semelhana do PMN para o ABC vale (k2 = indica que os lados dotringulo menor medem a metade das medidas dos lados do tringulo maior).

k = 2

k =


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18.- Cevianas de um Tringulo

Def in io:

Ce v ia n a u m s e g m e n to d e r e ta q u e u n e u m d a d o v r t ic e d e

u m tri n g u lo a u m p o n to d o la d o (o u a u m p o n to d a r e ta s u p o r te d olado) oposto a este vrt ice .

18.1.- As Cevianas de um Tringulo

Altura Mediana

Bissetriz do ngulo Interno Bissetriz do ngulo Externo

C B

A

M

MC MBAM mediana relativa ao vtive C

C B

A

C B

A

H

ha altura relativa ao ladoaAH altura do tringulo relativa ao vrtice A

BC

A

ha

18.2.- Propriedade das Bissetrizes Interna e Externa de ngulos do Tringulo

a

c

bcb

C B

A

nm C B

A

n

m

a

anmcom =+=n

c

m

ban-mcom ==

n

c

m

b


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54

18.3.- Relao de Stewart Clculo da medida de uma Ceviana do Tringulo

As relaes da Stewart permitem calcular as medidas das seguintes cevianas de tringulos

quaisquer. a altura, a mediana, as bissetrizes dos ngulos internos e externos. Esta frmula permite

tambm, a deduo das frmulas mostras no item anterior, item 18.2.

Figura 1:

Figura 2:

Na frmula (ou relao)de Stewart o segmento AD pode ser: a altura do tringulo, amediana, a bissetriz do ngulo interno ou a bissetriz do ngulo externo (uma ceviana -veja isto nas figuras 1 e 2):

1mn

AD

an

c

am

b222

=+

Se adotarmos o segmento AD como sendo X poderemos escrever a relao de

Stewart como sendo:

1mn

X

an

c

am

b 222=+

C

A

X

D

bc

B

n

m = CD

a

nm D

b c

C B

A

a

X


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19.- Pontos Notveis de um Tringulo

NOTA IMPORTANTE: Para se obter cada um dos pontos notveis do tringulobasta que sejam traadas apenas duas das linhas que os determina. Veja a seguir.

Circuncentro centro da circunferncia circunscritvel no tringulo.encontro das mediatrizes.

Baricentro centro de gravidade (G) do tringulo.encontro das medianas.

Incentro centro da circunferncia inscritvel no tringulo. encontro das bissetrizes dos ngulos internos.

Ortocentro tambm denominado centro rtico.encontro das alturas.

20.- Como Encontrar os Pontos notveis de um tringulo

20.1.- O MAIS FCIL DE SE OBTER O BARICENTRO

B

C

A

G

M3M2

M1

O centro de gravidade (G) que obtido traando-se as medianas (lembar da palavra mdia)

Para encontar G bastaria traar apenas duas das medianas

O baricentro divide as medianas na proporo um para dois (divide na proporo x para 2x)

PROPRIEDADE:AG = 2.GM1 (se GM1 = x AG = 2x)BG = 2.GM2 (se GM2 = y BG = 2y)CG = 2.GM3 (se GM3 = z CG = 2z)


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56

20.2.- COMO OBTER O INCENTRO E O CIRCUNCENTRO AO MESMO TEMPO

Nota:a mediatriz do lado do tringulo o segmento perpendicular a este lado e que passa pelo ponto mdio do mesmo.

(1o Passo) Desenhar dois tringulosissceles com alturas muito maiores

que a medida da base.(2o Passo) Traar as bissetrizes

dos ngulos internos do 1o

tringulo.(3o Passo) Traar as mediatrizesdos lados do 2o tringulo.

(4o Passo) Verificar qual doscruzamentos pode ser o centro da

circunferncia inscritvel e qual podeser o centro da circunferncia

circunscritvel.Incentro Circuncentro

rr

r

P2

M o ponto mdio da hipotenusa dotringuloretngulo (ABP1) M o circuncentro do ABP pois:

AM = MB = MP = r onde r o raio dacircunferncia circunscrita ao tringulo.

Esta uma forma a ser adotada sempre que sequiser construir um tringulo retngulo(ABP2):

traa-se o dimetro da circunferncia (que sera hipotenusa) e escolhe-se qualquer ponto P(veja no exemplo os pontos P1 e P2) sobre umadas semicircunferncias para ser o terceirovrtice do tringulo. Os tringulos ABP1 eABP2 assim obtidos, so retngulos.

P1

A BM

20.3.- COMO OBTER O ORTOCENTRO

H

H2

H3

No caso do tringulo escaleno oortocentro encontrado ao prolongar-seos segmentos correspondentes s alturas

tringulo so AH1, BH2 e CH3

H1

A

B

C

B

C A

Os lados AB e AC (os catetos) e AH soalturas do tringulo retngulo.

O ortocentro deste tringulo o vrtice A.

Ortocentro do tringulo escaleno

IM

PORTANTSSIM

O


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21. - Propriedade Notvel do Ortocentro

Na figura ao lado: Por construo:

ZX // AB; ZY // BC eXY // AC

Pode-se provar que:M1, M2 eM3 so pontos

mdios dos lados doXYZ

YZ

X

M3 C B M2

A M1

As alturas do ABC passam a se constituir mediatrizes doXYZ. Logo, o ortocentro do ABC passa a ser

automaticamente o circuncentro do XYZ.

22.- Propriedades dos Pontos Notveis de Tringulos Equilteros

No tringulo equiltero o ortocentro, o circuncentro,o incentro e o baricentro coincidem.

Consideraremos:r = raio da circunferncia inscrita R = raio da circunferncia circunscritaheq = altura do tringulo equiltero l = lado do tringulo equiltero

Frmulas:

2

3h eq

l= (Teorema de Pitgoras) r3h eq = (propriedade do baricentro)

R = 2r

l

r

R

r

23.- Ex-Incentro

Ex-incentro o centro da cirtcunferncia quetangencia externamente um lado do tringulo etangencia o prolongamento dos outros dois lados.

O ex-incentro determinado pelas bissetrizes dedois ngulos externos e a bissetriz do outro

ngulo interno.


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Captulo 4

Mapas ConceituaisPropondo Formas de Organizao Pedaggica e

de Estruturao Didtica dos Conhecimentos EscolaresAury de S LeiteNo caso da prtica escolar, os Projetos Pedaggicos e os Programas de Curso (slabo) parecem

ser representaes do conhecimento suficientemente boas para serem interpretadas por educadores e

professores. No entanto, quando se exige que a representao de conhecimento no somente deva se

dar em termos de nvel de profundidade dos conceitos envolvidos, mas envolva tambm no processo

de representao as habilidades intelectuais (e s vezes, as habilidades motoras) necessrias

comprovao da compreenso ou da assimilao daquele conhecimento por parte do estudante, h a

necessidade da adoo de formas de representao mais especializadas.

Vo ser analisar aqui trs formas de representao do conhecimento: [1] as redes semnticas,

[2] os mapas conceituaise ainda [3]os mapas de hierarquia de aprendizagem, alertando-se para o

seguinte fato: aqui, vai-se utilizar a nomenclatura "mapa de hierarquia de aprendizagem" ao invs de

"estrutura de aprendizagem" como aparece traduzida para o portugus em [Gagn 1970; 1974;

1976].

1.- Redes Semnticas

Uma rede semntica apresenta-se sob a forma de um mapa cujas informaes palavras ou

grupos de palavras referentes a objetos, nomes, aes e atributos ou propriedades, normalmente

alocados no interior de pequenos crculos ou caixas, so interligados por segmentos orientados, os

conectores, cujas anotaes permitem verificar o significado (a semntica) de um dado conceito.

tem muito

um

temBaleia

Cetceo

Mamfero um

leo

Filhote

tem pouco

ValorComercial

Aqutico

um

no

Peixe

Figura 1- Um Exemplo de Rede Semntica


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2.- Mapas ConceituaisOs mapas conceituais [Ausubel, Novak & Hanesian 1979; Novak & Gowin 1984] so recursos

indicados para o mapeamento ou para a representao de conhecimentos relativos aos contedos

previstos ou estabelecidos em projetos educacionais e, portanto, ligados a propostas pedaggicas, cuja

interpretao deixada para os professores ou para os especialistas (humanos) em educao. Estes

mapas constituem-se numa rede de ns, representando os conceitos ou objetos, conectados por arcos

com rtulos descritores das relaes entre pares de ns.

2.1.- Os Conceitos Subsunores e os Organizadores Avanados

Para melhor entender o que sejam os mapas conceituais propostos por Novak [Novak 1981]

com base na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel, deve-se definir o que seja a subsuno

e os organizadores avanados.

A palavra subsumirvem do latim, onde "sumere" significa: tomar, acolher, aceitar uma idiacomo dependente de uma idia geral; conceber um indivduo como compreendido numa

espcie. Assim que a subsuno pode ser definida como sendo uma operao que se

caracteriza por: classificar, incorporar ou incluir algo em uma categoria ou em um princpio

mais geral. Na teoria da aprendizagem significativa de Ausubel [Moreira & Masini 1982] os

conceitos subsunores so conceitos mais gerais, e j estveis, que figuram na estrutura

cognitiva de um indivduo e que se prestam ancoragem (incluso) de novos conceitos. Para

que a ancoragem de novos conceitos seja assumida como uma aprendizagem significativa o

indivduo deve ter presentes em sua estrutura cognitiva os necessrios conceitos subsunores epossu-los num nvel adequado quele processo.

Os organizadores avanados so contedos introdutrios caracterizados como claros e

estveis, relevantes e inclusivos do contedo que ser oferecido aprendizagem, e tm o

objetivo de "revitalizar" os conceitos subsunores em termos de aprofundamento e ampliao

da abrangncia. Ausubel define dois tipos de organizadores avanados, a saber:

- expositivos: aqueles utilizados para a introduo de contedos completamente novos,

onde se prestam a criar subsunores relevantes na estrutura cognitiva do indivduo que

deve aprender;

- comparativos: utilizados para aumentar a abrangncia de conceitos subsunores

preexistentes na estrutura cognitiva ou para aumentar a discriminabilidade entre as

idias novas e as preexistentes.

A Figura 2, a seguir, auto-referente, pois mostra o mapa conceitual de um mapa conceitual.


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2.2.- Um Exemplo de Mapa Conceitual

que deveria serpreferencialmente

que formaro um

tem

Mapa Conceitual

Palavras deLigao Hierarquia

tem apresentam uma

Rtulos

visando formar

Proposies

Mais especfico

Mais geralConceitos

partindo do

para o

Contexto

que so

para os

destinado afacilitar aem

em

Eventos Objetos

que pode ser

Mecnica Signi ficativa

Regularidadespercebidas

Parte superiordo Mapa

Conceitual

localizadona

identificadosatravs de

localizadona

apresenta as

depende do

depende do

depende do

feita porfeita por

Segmentosde reta

Segmentos dereta orientados

Parte inferiordo Mapa

Conceitual

Estudos deJ.D.Novak

inspirado na Teoria daAprendizagemSignificativade Ausubel

Aprendizagem Ligaes entre os conceitos

DiagramaCognitivo

depende do

a partir de

de

Figura 2- Um Exemplo de Mapa Conceitual

Ao se examinar a Figura 2, nota-se que a organizao hierrquica dos conceitos, que vai do

mais geral para o mais especfico, estabelecida pela posio dos mesmos no mapa - os conceitos mais

includentes figuram na parte superior do mapa, enquanto os mais especficos figuram na parte inferior

do mapa. assim que as ligaes entre estes conceitos so feitas por segmentos de retas no

orientados. No entanto, quando estas ligaes fogem desta disposio hierrquica (de cima para baixo)

utilizam-se, para ligar os conceitos, segmentos de retas orientados. Outra observao bastante

pertinente: em alguns mapas conceituais podem ocorrer ligaes laterais ou transversas, ou seja,

ligaes que envolvem conceitos de um mesmo nvel, ou que relacionam conceitos que figuram em

posies distantes exigindo, para uni-los, segmentos de retas que cruzem transversalmente o mapa.

Observao importante: Em contextos muito amplos ou muito complexos, os mapas

conceituais podem tornar-se de difcil elaborao, e ainda de difcil interpretao pelos educadores

que queiram deles se utilizar.


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a operaoinversa da

a operaoinversa da

a operaoinversa da

a operaoinversa da

uma

uma a

a

Operaes Aritmticas (binrias) Fundamentais

Aritmtica

Matemtica1

2

3

Operaes com Conjuntos

Teoria dosConjuntos

1 Adio

2 Subtrao

3

4Diviso

Multiplicao

ConceitosSubsunoresdo

conceito

Adio

Figura 3.- Mapa conceitual ausubeliano para o ensino da Adio.

3.- Mapas de Hierarquia de AprendizagemPara Gagn [Gagn, Briggs & Wager 1992] a aprendizagem de qualquer nova capacidade

requer a aprendizagem prvia de capacidades subordinadas que, de alguma forma, estejam envolvidas

nesta nova capacidade. assim que a aprendizagem de novas idias ou de novos conceitos deve ser

estruturada numa progresso de aprendizagens subordinadas, naquilo que se passa a denominar

hierarquia de aprendizagem. Para planejar estas hierarquias de aprendizagem, Gagn sugere e utiliza

mapas semelhantes aos mapas conceituais, onde:

Cada n deve conter as informaes e as aes envolvidas, bem como a indicao das

capacidades e habilidades ou estratgias cognitivas especficas, necessrias para aquela

aprendizagem e tambm os resultados esperados; tudo isto orientado pelos objetivos

educacionais a serem atingidos;

Os ns no so ligados por palavras como nas redes semnticas ou nos mapas conceituais

ausubelianos. Os ns contm tpicos descritivos do que se oferece e do que se exige em termos

daquela aprendizagem;


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Cadapar de ns que seja composto por capacidade superior versus capacidade subordinada

deve ter uma relao de alta transferncia positiva da capacidade inferior para a superior.

Efetuar adies atravs de dispositivo prticos envolvendoduas parcelas sem transporte de unidades

Contar de um at dez e saber discriminar estas quantidades

Saber contar de 0 at 100 e reconhecer seus numerais

Contruir seqncias lgicasutilizando materiais concretos

Classificar objetos concretos apartir de atributos notveis

Reconhecer os numerais de 0 at 10000

Formar conjuntos com materiais concretos apartir de uma dada propriedade

Efetuar mentalmente adies envolvendopequenas quantidades

Qualificar, discriminar e agrupar objetosconcretos a partir de seus atributos

Operar e reconhecer as propriedades dasoperaes com conjuntosReconhecer os numerais de 0 at 9. Saber escrever estes numerais

Efetuar adies atravs de dispositivo prtico envolvendo duas ou mais parcelas com transporte de unidades

Aprender e utilizar a nomenclatura adequada.Compreender e aplicar as propriedades da adio.

1

2

4

3 Reconhecer conjuntos disjuntos e realizar uniese intersees

Figura 4.- Mapa da Hierarquia de Aprendizagem da Adio de acordo com a teoria de aprendizagem de Gagn,

onde se podem ver as ligaes fracas e fortes.

4.- Comparando os Mapas de Ausubel e de GagnNovak [Novak 1981] fez um estudo comparativo entre o modelo proposto por Ausubel e o

proposto por Gagn, do planejamento de conhecimentos a serem oferecidos aprendizagem. Ele

destaca que, enquanto os mapas de hierarquia de aprendizagem prevem o domnio de unidades mais

bsicas e especficas, para ento se caminhar para as mais gerais e inclusivas, Ausubel recomenda

justamente o contrrio.

O mapa conceitual estilizado mostrado na Figura 5 reala atravs de setas os processos de

diferenciao progressiva de conceitos que deve ser seguida da reconciliao integrativa, como so

descritas a seguir, de acordo com a teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel:

A diferenciao progressiva (na Figura a 5, representada por setas desenhadas com linha

contnua) um aspecto do processo da aprendizagem significativa o qual prope que a

aprendizagem se d a partir dos conceitos mais inclusivos (conceitos subsunores),

diferenciados em termos de detalhes e especificidade, progressivamente, caminhando para os

conceitos mais especficos.


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A reconciliao integrativa (na Figura 5, representada por setas desenhadas com linha

tracejada) prev que a cada passo da aprendizagem se refaa o caminho inverso da

aprendizagem, buscando-se uma integrao do novo conhecimento com o conhecimento mais

inclusivo que o antecedeu.

[1] Hierarquia de conceitos

G

I

C

[1] Modelo devido a AusubelG-[1] Conceitos mais gerais

I-[1] Conceitos intermedirios

C-[1] Conceitos especficos

[2] Hierarquia de aprendizagem

G

I

C

Sentido(s) de percorrimento dos ns

Processo de reconciliao integrativa

Novos conceitos a serem aprendidos

ou[2] Modelo devido a GagnG-[2] Capacidades mais gerais

I-[2] Capacidades subordinadas

C-[2] Capacidades especficas

Figura 5.- Comparao entre os modelos de representao hierrquica de conhecimentos.

A Figura 5, acima, mostra de forma comparativa os dois modelos de representao de

conhecimento, o primeiro devido a Ausubel e o segundo devido a Gagn que, no modelo de

representao de conhecimento dentro da prxis escolar podero, ser propostos como excelentes

representaes do conhecimento Pedaggico e o conhecimento Didtico, respectivamente.Exerccios

1) Construa um mapa conceitual para o conceito reta.2) Construir

apostila geometria 1 - 2005

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