isadora-apostila de geometria descritiva

Expresso Grfica IIUnidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA

E P E S OG IC X RS R F A

D p rta e tod e a mn e

Prof MSc.Andrea Faria Andrade Curitiba, PR / 2011

Material elaborado por:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA I Introduo

A Geometria Descritiva (tambm denominada de Mtodo Mongeano) foi desenvolvida pelo desenhista francs Gaspard Monge (1746-1818), uma figura poltica do final do sculo XVIII e incio do sculo XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politcnica Francesa e professor da Escola Militar de Mezires e da Escola Politcnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria diferencial de curvas e superfcies do espao.Definio: Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemtica que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espao, de modo a poder resolver, com o auxlio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as trs dimenses.

II Sistemas de ProjeoDizemos que uma figura F do espao se projeta de um ponto C sobre um plano , que no contm o ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as interseces dos vrios raios projetantes, determinados pelo centro de projeo C e pelos pontos da figura.C

F

F' F1'

'

F1

De acordo com a posio ocupada pelo centro de projeo (finita ou no infinito), os sitemas de projeo classificam em:

(a) sistema de projeo central (ou cnico); (b) sistema de projeo cilndrico.

GEOMETRIA DESCRITIVA

Material elaborado por: Prof. Andrea Faria Andrade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANSistema de Projees Cnico

DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA

Este sistema de projeo determinado pelo ponto C, centro de projeo (posio finita) e pelo plano de projeo . A figua F considerada o tringulo ABC, cuja projeo sobre o plano , a partir do centro de projeo C, o tringulo A B C, que a figura F. O centro de projeo C, ocupando uma posio finita, as projetantes resultam convergentes, razo pela qual este sistema denominado de sistema de projeo central ou cnica.C

A B F' A' B'

F

C

C'

'

Sistema de Projees Cilndrico Este sistema de projeo determinado por: a) uma direo de projeo ; b) um plano de projeo , no paralelo a direo . O centro de projeo C est situado no infinito (ponto imprprio) e as projetantes so as retas paralelas direo . Podemos ter dois tipos de projeo cilndrica: oblqua (a) e ortogonal (b). Quando a direo das projetantes for perpendicular ao plano de projees, o sistema denominado cilndrico ortogonal.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA III O mtodo Mongeano

O Sistema Mongeano de projeo utiliza uma dupla projeo cilndrico-ortogonal, onde dois planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espao, sendo portanto, em funo de suas posies, perpendiculares entre si. A interseco desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra ( LT). Esses planos determinam no espao quatro diedros numerados no sentido anti-horrio. Monge idealizou um sistema de projees no qual um ponto P representado por duas projees, P e P, nos dois planos de projees e , perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano (ou PH) denominado de plano horizontal de projees; e (ou PV) denominado de plano vertical de projees. Os pontos P e P projetam-se sobre a LT em um mesmo ponto, denotado de P0. A linha de terra divide cada plano de projees em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa:PHA plano horizontal anterior; PHP - plano horizontal posterior; PVS - plano vertical superior, e; PVI - plano vertical inferior.

Uma vez efetuada as projees de P sobre e , fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, at que ambos coincidam (rotao de 90 graus em torno da LT). Desta forma, ambas as projees do ponto P ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido denominado de pura. Na pura, as projees de um ponto qualquer esto sobre uma reta perpendicular linha de terra, chamada de linha de chamada.

Na Figura XXXb temos a pura de um ponto P situado no 1o diedro. Em pura representamos um ponto atravs da sua abscissa, seu afastamento e sua cota. A abscissa a distncia de um plano considerado como origem que passa por ( O), at a projeo do ponto na LT. A cota de um ponto P do espao a distncia entre P e a sua projeo sobre o . Logo, a cota de P igual a medida do segmento PP0, uma vez que d(P, ) = d(P,P) = d(P,P0).



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O afastamento de um ponto P do espao a distncia entre P e plano . Logo, o afastamento de P igual a medida do segmento PP0, uma vez que d(P,) = d(P,P) = d(P,P0). Exerccio 01: Obter a pura dos pontos cujas coordenadas so dadas abaixo e identifique a sua posio o espao. A (1, 5, 3), est no __________B (3, 1, -4), est no _________ C (5, -2, -3), est no _________D (7, -5, 1), est no _________ E (8, 0, 2), est no __________F (9, 4, 0), est no __________ G (4, 0, 0), est no __________

LT 0



4

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 02:


Identifique a posio no espao dos pontos cujas projees so dadas abaixo:

P, est no ____________ S, est no ____________ V, est no ____________

Q, est no _____________ T, est no _____________

R, est no _____________ U, est no _____________

IV Estudo da RetaConceitualmente no possui espessura, s possui uma dimenso: sobre ela s podemos medir comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. So indicadas por letras minsculas e normalmente so utilizadas as ltimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc. Obtemos a projeo ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta sobre o plano.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANTIPOS DE RETAS


Em geral, de acordo com sua posio em relao aos planos de projeo, as retas podem ser paralelas ou no aos planos de projees e . Retas paralelas ao plano horizontal de projees : 1) Reta Horizontal Essa reta paralela ao Plano Horizontal de projeo e inclinada em relao ao Plano Vertical de projeo.

2) Reta de Topo Essa reta paralela ao PH e perpendicular ao PV.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela LT) Essa reta paralela ao PH e PV.


Retas paralelas ao plano vertical de projees : 1) Reta Frontal Essa reta paralela ao Plano Vertical de projeo e inclinada ao Plano Vertical de projeo.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN2) Reta Vertical Essa reta paralela ao PV e perpendicular ao PH.


3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a LT) (j visto anteriormente)

Retas inclinadas em relao aos planos de projees e : 1) Reta de Perfil A reta de perfil toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV e ainda linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo. No se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeo.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN2) Reta Qualquer


A reta qualquer, por estar inclinada em relao aos planos de projeo PH e PV, no se projeta em verdadeira grandeza em nenhum desses planos.

Exerccio 01: Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm.

LT



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Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se: a) o comprimento em mm de AB; b) o ngulo que a reta faz com o PHP.

LT

Exerccio 03: Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ngulo de 45 com o plano horizontal de projees. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm.

LT



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANTRAO DE RETAS


Denomina-se trao de uma reta sobre um plano, o ponto em que essa reta intercepta ou fura este plano. Trao Horizontal o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projees. Possui cota=0.

Trao Vertical o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projees. Possui afastamento=0.



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Representar a pura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posio no espao, seus nomes e obter as projees dos seus traos. A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3)



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Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projees dos traos horizontal e vertical da reta. P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3).

LT

Exerccios Propostos

Exerccio 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se:a) sua posio no espao; b) os traos horizontal e vertical da reta.

Exerccio 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se:a) sua posio no espao; b) os traos horizontal e vertical da reta.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANPERTINNCIA DE PONTO E RETA


Condio: Para um ponto pertencer a uma reta, ele deve ter suas projees sobre as projees de mesmo nome da reta.

OBS. Esta condio no vale para a reta de perfil!

Exerccio 01: Obter as projees do ponto P, que pertence reta qualquer dada abaixo, sabendo que o mesmo possui cota=2.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 02: Verificar se o ponto A pertence reta de perfil EF.


E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4)

LT

Exerccio 03: Obter as projees do ponto B, que pertence reta EF do exerccio anterior, e tem cota =3cm. B(?, ?, 3)



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA V Mtodos Descritivos

A soluo de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seus elementos ocupa uma posio particular (seja paralelo a um dos planos de projeo). Para que, no mtodo mongeano (dupla projeo ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posio desejada podemos recorrer a artifcios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema de representao adotado. A estes artifcios denominamos, genericamente, de mtodos descritivos, que so: - rotao - mudana de planos de projeo. Rotao Quando conservamos o sistema de representao adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno de um eixo. Mudana de Planos de Projeo Quando a figura (ou objeto) conservada e um dos planos de projeo (ou ambos) so substitudos, mantendo a ortogonalidade entre eles. Quando um objeto possui uma face inclinada em relao aos planos principais de projeo, esta face no aparece em verdadeira grandeza.

Para obter a verdadeira grandeza desta face, preciso projet-la em um plano auxiliar que lhe seja paralelo. Para isso, preciso mudar a posio de um dos planos de projeo, plano horizontal de projeo ou plano vertical de projeo, ou os dois; um aps o outro; de forma que fique paralelo face inclinada. Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeo mudam de posio.

Fonte: adaptado de Barison. Disponvel em:



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Obter a verdadeira grandeza (VG) da reta qualquer dada abaixo: a) utilizando o mtodo da rotao.

b) pelo mtodo da mudana de planos.



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Tornar vertical a reta qualquer dada abaixo, utilizando o mtodo da mudana de planos de projeo.

Exerccios Propostos Exerccio 01: Submeter a reta qualquer dada ao processo de mudana de planos de projeo, de modo a torn-la uma reta fronto-horizontal.



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Dada a reta PQ = qualquer pede-se obter a distncia em mm entre os pontos P e Q, utilizando o mtodo da mudana de planos de projeo. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50) Exerccio 03: Obter as projees do ponto A, que pertence a reta do exerccio anterior, e tem cota=3cm. Exerccio 04: Tornar de topo a reta qualquer dada abaixo, utilizando o mtodo da mudana de planos de projeo.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA VI Posies Relativas de duas Retas

Quando COPLANARES podem ser: Podem pertencer ao mesmo plano:

Ou as retas podem pertencer a planos distintos:

Quando NO COPLANARES podem ser:

Retas PARALELAS Duas retas coplanares, que no possuem ponto comum so denominadas, retas paralelas. Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projees paralelas.

Fonte: adaptado de Ferreira. Disponvel em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria

OBS. Estas condies no valem para a reta de perfil! GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof. Andrea Faria Andrade 20



Dados: reta r(P, Q) e ponto A. Pede-se: conduzir pelo ponto A, uma reta s(A, B) que seja paralela reta r. Resolver o exerccio utilizando duas solues: - pelo processo da rotao; - apoiando duas retas auxiliares concorrentes.Q"

P"LT

A"

Q'

A' P'

Q"

P"LT

A"

Q'

A' P'



21



Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PARALELA reta r.A" B"

P"

LT

A'

P'

B'

Exerccios Propostos Exerccio 01: Dados: reta r(E, F) e ponto H. Pede-se: conduzir pelo ponto H, uma reta s(H, I) que seja paralela reta r, e tenha 3cm. Resolver o exerccio utilizando o processo da MUDANA DE PLANOS.E"

F"LT

H"

E'

H' F'



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Dados: pontos A, B e C. Pede-se: encontrar as projees do paralelogramo ABCD.

C"

A"

B"LT

B'

C'

A'Retas CONCORRENTES Duas retas coplanares que possuem um nico ponto comum so denominadas concorrentes ou incidentes. Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projees concorrentes.


OBS. Esta condio no vale para quando uma das retas a reta de perfil! GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof. Andrea Faria Andrade 23



Dados: retas r(A, B) e s(B, C), e o ponto F. Pede-se: pelo ponto F, inserir uma reta f (F, G) = (FRONTAL) que seja concorrente s retas r e s. Obter a segunda projeo do ponto F, ou seja, e o valor da sua cota.

C"

A"

B"LT

B'

A'Exerccio 02:

F'

C'

Dados: reta r(A, B)=de perfil, reta s(C, D). Pede-se: verificar se as retas r e s so concorrentes.

A" D"

C"LT

B"

A'

D'

C' B'GEOMETRIA DESCRITIVA Material elaborado por: Prof. Andrea Faria Andrade 24


DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICAExerccios Propostos

Exerccio 01: Obter as projees da reta HORIZONTAL (AB), apoiada nas retas FRONTAIS paralelas (MN) e (PQ). A(6, 3, ?) B(10, ?, ?) M(3, 2, 1) N(9, ?, 8) P(7, 5, 2) Q(11, ?, ?)

N"

P" M"LT

M' A'

P'

Exerccio 02: Obter as projees das retas AB e CD CONCORRENTES, e obter as projees dos TRAOS (horizontal e vertical) de cada uma das retas. A(-25, 10, 30) B(60, -20, -20) C(60, 15, 30) D(0, ?, -40) Exerccio 03: Conhecida a projeo horizontal da reta AB e a projeo vertical do ponto A, determinar a projeo vertical da reta, sabendo-se que o outro ponto pertence a uma reta de perfil FG. A(-10, 50, 30) B(50, 15, ?) GEOMETRIA DESCRITIVA F(?, 30, -30) G(?, -20, 35) Material elaborado por: Prof. Andrea Faria Andrade 25

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANRetas REVERSAS


Duas retas so reversas quando no possurem ponto comum e no forem paralelas; portanto, poderemos identific-las por excluso, ou observando os dois casos abaixo.


Retas COINCIDENTES Duas retas so coincidentes quando suas projees de mesmo nome se confundem. Na prtica, uma nica reta com dois nomes.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICARetas PERPENDICULARES/ORTOGONAIS

Teorema de Monge: "Quando duas retas so perpendiculares entre si no espao, sendo uma delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projees destas duas retas sobre o plano so perpendiculares entre si.


Observao: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espao (casos particulares de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblquas a um plano dado, sero identificadas como tal, quando da aplicao de mtodos descritivos, que envolvem contedos avanados; mas por hora poderemos identific-las como concorrentes ou reversas (FERREIRA, E. N.).



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Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PERPENDICULAR reta r.A" B"

P"

LT

A'

P'

B'

Exerccio 02: Obter a distncia do ponto P a reta AB, em cm, do exerccio anterior. Exerccio 03: Dados: reta a(A, B) e o ponto P. Pede-se obter pelo ponto P, uma reta PERPENDICULAR reta a.P"

B"

A"

LT

B'

P' A'



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Dados: reta a, e um ponto P. Pede-se conduzir pelo ponto P, uma reta ORTOGONAL a reta dada. Obter as 3 solues possveis.

P"

P"

a"

a"

LT

LT

a'

P'

a'

P'

P"

a"

LT

a'

P'



29


DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICAExerccio Proposto

Exerccio 01: Dados: reta r(P, Q) e o ponto A. Pede-se conduzir pelo ponto A, uma reta DE PERFIL que seja ORTOGONAL a reta dada. Utilizar o mtodo da mudana de planos para resolver o problema. P(5, 1, 6) Q(5, 7, 1) A(1, 2, 1 )



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA VII Estudo do Plano

O plano tem duas dimenses: sobre ele podemos medir comprimentos e larguras. Elementos Definidores Um plano pode ser definido por: a) trs pontos no colineares

b) Uma reta e um ponto fora dela

c) Duas retas paralelas



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANd) Duas retas concorrentes


e) Pelos seus TRAOS: Horizontal e Vertical

Tipos de Planos

Grupo 1 - Grupo dos planos que so paralelos a um dos planos de projeo, e conseqentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.



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Grupo 2 - Grupo dos planos que so perpendiculares a somente um dos planos de projeo, e conseqentemente, oblquos aos outros dois.

Grupo 3 - Grupo dos planos que so oblquos aos trs planos de projeo, conseqentemente, jamais ser paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeo.

1 Plano HORIZONTAL

Retas do plano:

- horizontal - // a LT - de topo



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANpura:(")


B"

A"

C"

(")

LT

LT A' VG B' C'

2 Plano FRONTAL

Retas do plano:

- frontal - // a LT - vertical

pura:A" v" VG B" LT LT C"

(') B' v' A' C'

(')



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN3 Plano DE PERFIL


Retas do plano:

- de perfil - de topo - vertical

pura:

(")

LT

(')

VG atravs da utilizao dos processos descritivos de rotao ou mudana de planos de projeo.



35

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN4 Plano VERTICAL


Retas do plano:

- vertical - qualquer - horizontal

pura:A" C" B" (")

LT

LT B' (') A' C'

(')




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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN5 Plano DE TOPO


Retas do plano:

- frontal - de topo - qualquer

pura:C" (") B" LT LT A' (') B' C' A" (")




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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN6 Plano PARALELO LT


Retas do plano:

- // LT - de perfil - qualquer

pura:(") (") A" B" C"

LT

LT A'

B' (') (')

C'

VG atravs da utilizao dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudana de planos de projeo.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN7 Plano QUALQUER


Retas do plano:

- qualquer - de perfil - horizontal - frontal

pura:(") (") A" C" B" LT LT A' C' B' (') (')

VG atravs da utilizao dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudana de planos de projeo.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA VIII Construo de Figuras Planas

Exerccio 01: Dados: um plano (A, B, C) = Horizontal. Pede-se: as projees do tringulo eqiltero ABD pertencente ao plano. Sabe-se que o ponto D o de maior abscissa possvel.A" B" C"

LT

A' C'

B'

Exerccio 02: Obter as projees de um quadrado ABCD pertencente a um plano de perfil, definido pelos pontos ABR, utilizando-se do mtodo de mudana de planos de projeo. Sabe-se que os pontos C e D possuem as maiores cotas possveis.B"

A"

R"LT

A'

B'

R'



40



Transformar o plano DE TOPO, definido pelos pontos ABC, em um plano HORIZONTAL, utilizando-se do mtodo da rotao.

A" B" C"LT

B'

C'

A'Exerccio 04: Obtenha as projees de um quadrado ABCD, inscrito na circunferncia que contm os pontos P, Q e R. Um dos vrtices do quadrado coincide com o ponto Q, e o plano PQR corresponde a um plano DE TOPO.

P"

R"LT

Q' R' P'



41



Obter as projees de um tringulo eqiltero ABF, pertencente a um plano QUALQUER, definido pelos pontos ABC, utilizando-se do mtodo da dupla mudana de planos de projeo.



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Exerccio 01: Dados: um plano (A, B, C) = Vertical. Pede-se: as projees do tringulo eqiltero PQR inscrito na circunferncia que passa pelos pontos A, B e C. Sabe-se que o ponto Q coincide com o ponto A. A(1, 7, 2) B(5, ?, 7) C(8, 1, 4) Exerccio 02: Obter a verdadeira grandeza (VG) do tringulo ISSCELES contido em um plano VERTICAL, utilizando o mtodo da mudana de planos de projeo. A(1, 4, 1) B(4, 1, 4) Exerccio 03: Determinar as projees de um quadrado ABCD, situado em um plano DE TOPO, tendo o vrtice A pertencente ao plano vertical de projees. Sabe-se que o plano est inclinado de 45 em relao ao plano horizontal de projees (), e que a diagonal do quadrado mede 6cm. Utilizar o mtodo da mudana de planos de projeo na soluo do exerccio.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA VIII Rebatimento de Plano

O rebatimento um mtodo particular da Rotao de um plano onde uma de suas retas serve como eixo. Esta reta denominada de eixo de rebatimento ou charneira (ch). Rebater um plano fazer girar em torno de uma de suas retas, at que o mesmo fique paralelo ou coincidente a um dos planos principais de projeo. A figura abaixo representa o rebatimento de um plano genrico sobre o plano horizontal de projeo. Observa-se que: a) O ponto A descreve uma circunferncia cujo plano perpendicular charneira e cujo raio distncia ao ponto rebatido A1, denominado de raio de rebatimento; b) A 1 projeo do ponto A (A) e o ponto rebatido (A1) esto em uma perpendicular charneira; c) O raio de rebatimento a hipotenusa do tringulo de rebatimento, em que um dos catetos a distncia da 1 projeo do ponto A (A) ao eixo, e o outro cateto a distncia do ponto A ao plano horizontal de projees; d) Pontos pertencentes ao eixo de rebatimento no mudam de posio.



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN Rebatimento do Plano genrico ou qualquer:"


B"

") (

BCOTA

COTA

r"

') (r'

B'

H"

'B'1 r '1 = vg

H=H'=H'1

r

eixo (charneira)

B"

r" B0 LT=eixo " H" B'

r'

B'1

H' r'1 = vg

eixo '



45



Obtenha a verdadeira grandeza (VG) do tringulo ABC, utilizando o processo do rebatimento (pelo tringulo de rebatimento).

B"

A" C" LT

B'

A'

C'



46



Dados: a reta r (R, S), e o ponto P fora dela. Pede-se: as projees de um quadrado com um lado apoiado na reta r, e um vrtice no ponto P. R (3, 4, 0) S (11, 8, 4) P (8, 9, 7)

P" S"

LT

R"

R'

P'

S'



47



Exerccio 01: Dado o plano (A, B, C). Obter as projees de um tringulo ABD, assim como a sua verdadeira grandeza. Sabe-se que o ponto D o de maior abscissa. A(20, 20, 10) Exerccio 02: Dado o plano (A, B, C), pede-se as projees do quadrado inscrito na circunferncia que passa pelos pontos dados, sabendo que um dos seus vrtices o ponto B. A(40, 60, 30) B(70, 10, 10) C(110, 40, 20) B(50, 0, 40) C(86, 40, 0)



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA IX Projeo de Poliedros

Poliedros so slidos com faces planas. So classificados em regulares e irregulares. Regulares quando todas as suas faces so constitudas por polgonos regulares e iguais. - Tetraedro 4 tringulos eqilteros regulares - Hexaedro (cubo) 6 quadrados - Octaedro 8 tringulos eqilteros - Dodecaedro 12 pentgonos - Icosaedro 20 tringulos eqilteros

Irregulares - Prismas: arestas laterais paralelas. Podem ser retos ou oblquos.

- Pirmides: arestas laterais se encontram em um ponto. Podem ser retas ou oblquas.



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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA Retas perpendiculares aos planos

Plano Frontal Vertical Plano de Perfil Horizontal Paralelo a LT QualquerExerccio 01:

Reta perpendicular Reta de topo Horizontal Fronto-horizontal Vertical Reta de perfil Qualquer

Obter as projees de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, 1) a) Base ABC, pertencente a um plano horizontal; b) Altura=5cm; c) Vrtice C com menor afastamento possvel.

B( 4, 4, 1)

LT



50



Obter as projees de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, ?) a) Base ABC, pertencente a um plano de topo, inclinado de 30 no sentido horrio; b) Altura=5cm; c) Vrtice C com menor afastamento possvel.

B( 4, 4, 1)

LT



51



Obter as projees de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 4, 3, 4) a) Base ABC, pertencente a um plano de perfil; b) Altura=5cm; c) Vrtice C com menor afastamento possvel.

B( 4, 4, 1)

LT



52



Obter as projees de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 5, 1) a) Vrtice C com a maior cota possvel; b) Altura=5cm; c) A face oposta ABC, dever ter o maior afastamento possvel.

B( 3, 2, 4)

LT



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Obter as projees de um hexaedro ABCDEFGH, sabendo-se que as faces adjacentes aresta AB dada, esto inclinadas de 30 em relao ao plano horizontal de projees. A(10, 10, 10) B(30, 35, 10)mm

LT



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Exerccio 01: Determinar as projees de uma pirmide de base triangular, apoiada no plano horizontal de projees, e tendo uma das arestas da base perpendicular ao plano vertical de projees. Dados: altura = 4cm; aresta= 3cm. A (3, 1, 1) Exerccio 02: Determinar as projees de um hexaedro com uma face ABCD horizontal. A(2, 1, 1) Exerccio 03: Determinar as projees de um prisma triangular regular, sabendo que: A(3, 3, 2) a) Sua base ABC pertence a um plano paralelo a LT; b) Altura=5cm; c) A face oposta ABC, dever ter o maior cota possvel. Exerccio 04: Determinar as projees do octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que: A(5, 5, 1) a) O segmento AB a diagonal do octaedro; b) Outra das diagonais est inclinada de 60 em relao ao plano vertical de projees. B(5, 5, 6) B(6, 1, 5) B(6, 4, 1).

X Sees Planas em Poliedros As sees planas em slidos so dadas pela interseco entre um slido e um plano gerando um elemento geomtrico plano fechado (polgono) podendo este em pura ter ou no verdadeira grandeza (VG).



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Exerccio 01: Dadas as projees mongeanas do slido abaixo representadas, pede-se achar as projees e hachurar a VG da seo plana produzida no mesmo por um plano de tpo que contm a reta r.



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Exerccio 02: Dadas as projees mongeanas do slido abaixo representadas, pede-se achar as projees e hachurar a VG da seo plana produzida no mesmo por um plano vertical que contm a reta r.



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Exerccio 03: Dadas Dadas as projees mongeanas dos slidos abaixo representadas, pede-se achar as projees mongeanas da seo plana produzida nos mesmos pelos planos de tpo que contm a reta r e de tpo que contm a reta s.



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Exerccio 04: Dadas as projees mongeanas do slido abaixo representadas, pede-se achar e hachurar a VG da seo plana produzida no mesmo por um plano frontal.



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isadora-apostila de geometria descritiva

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