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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - UNESP.

CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE

FACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIA - FCT.

CURSO: Matemtica

DISCIPLINA: Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva

ALUNO (A): ..........................................................................................................................................

Prof.: Dalila Espinhosa

2007

GEOMETRIA DESCRITIVA

Generalidades

A Geometria Descritiva tem por finalidade representar no plano as figuras do espao, de modo a

podermos, com o auxlio da geometria plana, estudar suas propriedades.

A Geometria Descritiva atinge suas finalidades utilizando-se um sistema de projeo, que permite

representar no plano as figuras do espao.

O sistema de projeo, utilizado na Geometria Descritiva, o de projeo cilndrica ortogonal.

Este sistema ser abordado aps definirmos sistemas de projeo.

Introduo ao desenho projetivo

Os elementos a serem considerados na Geometria Descritiva so:

1. Objeto Descritivo: elemento que se estuda;

2. Plano de Projeo: plano no qual se projeta o objeto descritivo;

3. Projetantes: reta que passa pelo ponto no espao se dirigindo ao plano de projeo (une o ponto no

espao ao plano de projeo).

Sistema de Projeo

Dizemos que uma figura do espao se projeta de um ponto O sobre um plano , que no

contm o ponto O, quando determinamos, sobre o plano as intersees dos vrios raios projetantes

determinados pelo centro de projeo O e pelos pontos da figura.

01 Sistemas de Projeo Geom. Descr.

/ / 2007

De acordo com a posio ocupada pelo centro de projeo (finito ou infinito), os sistemas de

projeo se classificam em: 1. Sistema de Projeo Central, Cnica ou Perspectiva;

2. Sistema de Projeo Cilndrica.

1. Sistema de Projeo Central, Cnica ou Perspectiva.

Este sistema de projeo determinado pelo ponto O de projeo (posio finita) e pelo plano

de projeo . Vamos considerar a figura F a projetar.

A figura F considerada o tringulo ABC, cuja projeo sobre o plano , feita do centro de

projeo O, o tringulo A, B, C, que a Figura F.

Com o centro de projeo O, ocupando uma posio finita, as projetantes resultam convergentes,

razo pela qual este sistema denominado de Central, Cnica ou Perspectiva.

2. Sistema de Projeo Cilndrica

Este sistema determinado por:

a. Uma direo de projeo .

b. Um plano de projeo , no paralelo direo .

O centro de projeo O est situado no infinito e as suas projetantes so representadas paralelas

direo .

02 Sistemas de Projeo Geom. Descr.

/ / 2007

Podemos ter dois tipos de projeo cilndrica:

a. Projeo Cilndrica Oblqua;

b. Projeo Cilndrica Ortogonal.

a. Projeo Cilndrica Oblqua

= Direo de projeo, oblqua ao plano, determinando o centro de projeo O (infinito);

F = Figura a projetar;

= Plano de projeo;

F = Projeo de F segundo a direo sobre o plano .

A projeo da figura F sobre o plano , feita do centro O (infinito) de projeo determinado pela

direo , a figura F.

A figura F considerada o tringulo ABC. Sua projeo sobre o plano feita do centro de

projeo determinado pela direo o tringulo A, B, C, (projeo cilndrica oblqua).

03 Sistemas de Projeo Geom. Descr.

/ / 2007

b. Projeo cilndrica Ortogonal

= Direo de projeo, normal ao plano, determinando o centro de projeo O (infinito);

F = Figura a projetar;

= Plano de projeo;

F = Projeo de F segundo a direo sobre o plano .

A projeo da figura F sobre o plano , feita do centro O (infinito) de projeo determinado pela

direo , normal ao plano de projeo, a figura F.

A figura F considerada o tringulo ABC, cuja projeo cilndrica ortogonal, sobre o plano , o

tringulo A, B, C.

Este ltimo sistema foi adotado por Gaspar Monge, idealizador da Geometria Descritiva.

Nomenclatura Convencional Adotada

Plano: Letra Grega ()

Ponto no Espao: Letras maisculas (A)

Ponto Projetado: Letras maisculas acrescidas de ndice (A1)

04 Sistemas de Projeo Geom. Descr.

/ / 2007

Planos Projetantes: PH - Plano Horizontal (1)

PV - Plano Vertical (2)

Interseo do PV (2) com PH (1) = Linha de Terra (LT)

Reta no Espao: Letra minscula (r)

Reta Projetada: Letra minscula acrescida de ndice 1 ou 2.

Exemplo: No PV (2) = a2

No PH (1) = a1

Diedros: Algarismos Romanos

Verdadeira Grandeza: VG

GASPAR MONGE (1746 - 1818)

Histrico

considerado o Pai da Geometria Descritiva. Desde jovem, Monge utilizava este mtodo

grfico na soluo de problemas relacionados com fortificaes e armamentos, enquanto seguia estudos

militares na Frana.

Foi repreendido pelo seu mestre a no resolver problemas pelo ento coerente e tedioso processo

matemtico. Somente depois de longas explicaes e comparaes das solues de ambos os mtodos foi

capaz de convencera seus mestres de que seus mtodos grficos poderiam ser utilizados para resoluo de

problemas, em um tempo muito menor.

Este mtodo foi ento superior soluo matemtica, o qual permaneceu durante quinze anos

como segredo militar, antes que se permitisse ensin-lo como parte do plano tcnico de estudos.

Monge chegou a ser conselheiro cientfico e matemtico de Napoleo durante seu reinado, General

e Imperador da Frana.

A Geometria Descritiva pode ser definida como projeo de figuras tridimensionais sobre o plano

bidimensional do papel de tal forma que permite manipulaes geomtricas condizentes determinao

de longitudes, formas e outras informaes descritivas das figuras.

05 Mtodo Mongeano de Projeo Geom. Descr.

/ / 2007

MTODO MONGEANO DE PROJEO

(Sistema de projeo cilndrico ortogonal adotado por Monge)

Estudo do ponto - Alfabeto do ponto

A projeo de um ponto o p da perpendicular baixada do ponto ao plano (sistema de projeo

cilndrica ortogonal).

A projeo do ponto A sobre o plano o ponto A, p da perpendicular baixada do ponto ao

plano .

Devemos observar que somente uma projeo A, do ponto A no basta para fixar sua posio no

espao, pois, qualquer ponto como o ponto B pertencente reta AA, ter sua projeo B coincidente

com A.

Para fixar a posio de um ponto no espao, Gaspar Monge criou o mtodo de dupla projeo

cilndrica ortogonal, ou mtodo mongeano de projeo, utilizado na Geometria Descritiva, que emprega

dois planos perpendiculares entre si, sobre os quais se projeta o ponto ortogonalmente.

Esses dois planos de projeo, perpendiculares entre si, so os planos horizontal de projeo 1 e

vertical de projeo 2.

A interseco do plano horizontal com o plano vertical, chama-se Linha de Terra, que ser

indicada por LT, ou para simplificar, por dois traos paralelos Linha de Terra, conforme figura

abaixo:

06 Projees: estudo do ponto Geom. Descr.

/ / 2007

A linha de terra sendo a interseco do plano vertical 2, com o plano horizontal 1 pode ser

indicada tambm por LT= 2 1 .

A projeo de um ponto A recebe o nome do plano em que este projetado. Assim a projeo

vertical de um ponto A efetuada sobre o plano vertical 2 e ser indicada por A2.

A sua projeo horizontal efetuada sobre o plano horizontal 1 e indicada por A1.

Na figura anterior esto representados um ponto A do espao e tambm:

a. PH - Plano horizontal de projeo;

b. PV - Plano vertical de projeo;

c. A1 - Projeo do ponto A no plano horizontal;

d. A2 - Projeo do ponto A no plano vertical;

e. AA1 - Cota do ponto A = A2 A0 = dist. do ponto A ao plano horizontal;

f. AA2 - Afastamento do ponto A = A1 A0 = dist. do ponto A ao plano vertical;

Os centros de projeo so os pontos O1 e O2 , definidos pelas direes de projeo 1 e 2. Por

conveno considera-se o observador colocado no 1 diedro.

O ponto A est situado sobre as retas AA2 e AA1, estando sua posio, no espao, determinada

pelas duas projees A2 e A1.

Os planos de projeo ortogonais entre si determinam quatro diedros no espao.

07 Projees: estudo do ponto Geom. Descr. / / 2007

Resultam os semi-planos de projeo:

PHA = 1A - Plano horizontal Anterior;

PHP = 1P - Plano horizontal Posterior;

PVS = 2S- Plano vertical Superior;

PVI = 2I - Plano vertical Inferior;

OBS.: Os semi-planos so denominados de Planos, para simplificao.

Para passarmos da figura do espao para o plano, efetuamos o rebatimento do PH, sobre o PV at

que ambos coincidam (rotao de 90 em torno da Linha de Terra, abrindo o I diedro).

O ponto A no espao ser representado por (A2 , A1) conforme figura abaixo:

A2 LT A0

A1

Sendo:

A2A0 = Cota do ponto;

A1A0 = Afastamento do ponto:

A figura acima denominada de pura do ponto A do espao.

OBS.: Existe outra conveno denomina as projees do ponto A de (a, a) ou (a, a) sendo a sua projeo vertical e a sua projeo horizontal.

PURA

Definio: a representao da figura por su