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FAU UFRJ GEOMETRIA DESCRITIVA II

Apostila de Apoio Bibliografia: CARVALHO, Benjamin de A. Morfologia e Desenho das Curvas. (Terceira Parte) In: Desenho Geomtrico. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S. A. RODRIGUES, lvaro Jos. Geometria Descritiva. Volume II: Projetividades, Curvas e Superfcies. 1968. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S.A. ndice:

Curvas em Geral 2 - 4 Curvas de Erro 5 Classificao das Superfcies Geomtricas 6 Cnicas 7 - 9 Hlices Hlice Cilndrica Normal 10 - 16 Superfcies de Circunvoluo Toro Circular 17 - 18

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Curvas em Geral: Definio de Curva: o lugar geomtrico das posies sucessivas de um ponto no espao. Classificao das Curvas:

1)Quanto curvatura:

- plana (ou de uma curvatura) s possui a curvatura de flexo.

- revessa (ou de duas curvaturas) possui curvaturas de flexo e toro.

2)Quanto origem (gerao):

- geomtrica obedece a um traado geomtrico. (ex.: circunf./elipse/parb./hiprbole, etc...)

- emprica (ou grfica) no obedece a um traado geomtrico.

3)Quanto extenso:

- finita (ou limitada) todos os pontos so prprios, so curvas fechadas. (ex.: circunf./elipse)

- infinita (ou ilimitada) tem pontos imprprios, so curvas abertas.

(ex.: parbola/hiprbole) Elementos Geomtricos da Curva: Elemento retilneo de uma curva: o segmento de reta compreendido entre dois pontos infinitamente prximos de uma curva.

Ex.: (1)(2) e (2)(3) so dois segmentos retilneos, sendo (1), (2) e (3) pontos infinitamente prximos da curva (c).

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ngulo de Flexo: O ngulo de flexo da curva no ponto (2) - , o ngulo entre os

segmentos retilneos imediatamente anterior e posterior ao ponto (2). Tangente Curva: A tangente curva no ponto (2) a posio limite entre as secantes

curva neste ponto. Centro de Curvatura: O centro de curvatura da curva no ponto (2) (O) determinado

traando-se perpendiculares pelos pontos mdios dos segmentos retilneos (1)(2) e (2)(3) (mediatrizes dos segmentos). O ponto de concorrncia entre estas mediatrizes determina o centro de curvatura.

Normal Curva: (O)(2) a normal curva no ponto (2), sempre perpendicular

tangente neste ponto. a bissetriz do ngulo formado pelas cordas (1)(2) e (2)(3), contm o raio de curvatura da curva neste ponto.

Plano Osculador: () o plano osculador da curva no ponto (2). o plano definido pela

normal curva e pela tangente curva neste ponto. O plano osculador contm o crculo osculador.

Crculo Osculador: a circunferncia que passa pelos pontos (1), (2) e (3) e cujo centro

o centro de curvatura da curva no ponto (2).

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Obs.: se considerarmos, por exemplo, o ponto (3), teremos para este ponto todos os elementos geomtricos que tivemos para o ponto (2). Teramos inclusive um novo plano osculador () para a curva no ponto (3), definido por (2)(3) e (3)(4). (ver figura abaixo).

ngulo de Toro: O ngulo de toro da curva dado pelo ngulo formado pelos planos

osculadores () e (). (ver figura acima) Obs: se o ngulo de toro for zero a curva plana e se o ngulo de flexo

for zero a curva se torna uma reta. Curvatura Total de um Arco Finito de Curva: o ngulo formado pelas tangentes curva nas extremidades do arco (A)(B). (ver figura abaixo)

= sempre o menor ngulo. = o comprimento do arco retificado.

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Curvas de Erro: Definio: so curvas que nos auxiliam na exatido de alguns traados grficos. Algumas aplicaes das curvas de erro: Traados de tangente a uma curva: 1) Por um ponto externo:

c - curva P ponto dado T ponto de tangncia t - tangente 12 = 23 = 14 e curva de erro 2) Paralela a uma reta dada: c - curva r reta dada T ponto de tangncia t - tangente 12 = 23 = 14 e curva de erro 3) Por um ponto da curva: c - curva T ponto de tangncia (dado) e centro da circunferncia t tangente 12 = 34 15 = 67 e curva de erro

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Classificao das Superfcies Geomtricas1: Superfcies Retilneas (geradas pela reta)

Desenvolvveis (podem ser planificadas)

- de aresta de reverso; (ex.: helicide desenvolvvel)

- cnicas em geral; - cilndricas em geral.

Reversas (no podem ser planificadas)

- hiperbolide escaleno ou elptico de uma folha; - parabolide hiperblico; - conide; - cilindride; - helicides: - de plano diretor (axial e no-axial); - de cone diretor (axial e no-axial).

Superfcies Propriamente Curvas (geradas pelas cnicas)

Circulares de Revoluo - esfera; - cone de revoluo; - cilindro de revoluo; - elipside de revoluo:

- alongado; - achatado.

- parabolide de revoluo; - hiperbolide de revoluo:

- de 1 folha; - de 2 folhas.

de Circunvoluo - toro circular: aberto; fechado; reentrante.

- helicides circulares: - serpentina - coluna torsa; - parafuso de

Santo Egdio. Qudricas

(geradas pela elipse, parbola e hiprbole).

de 1 Espcie - cone de 2 ordem (diretriz elptica); - cilindro de 2 ordem:

- elptico; - hiperblico; - parablico

- elipside escaleno*; - parabolide escaleno ou elptico*; - hiperbolide escaleno de 2 folhas* *(qualquer seo produz elipse).

de 2 Espcie. - toro: - elptico; - hiperblico; - parablico.

- superfcies topogrficas geomtricas.

1 lvaro Jos Rodrigues. Geometria Descritiva. Volume II: Projetividades, Curvas e Superfcies 1968. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S.A. pp.267.

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Cnicas: Definio: so as curvas obtidas ao seccionarmos uma superfcie cnica de revoluo. Logo uma curva obtida por um plano secante perpendicular ao eixo de uma superfcie cnica de revoluo produziria uma circunferncia e esta seria por conseqncia uma curva definida como cnica. Para imaginarmos outras possibilidades de sees produzindo outros tipos de curvas, que sero tambm chamadas de cnicas, usaremos como apoio o seguinte teorema: Teorema de Apollonius2: A seo feita em uma superfcie cnica de revoluo por um plano ser uma elipse, uma parbola ou uma hiprbole, segundo o plano secante faa com o eixo da superfcie cnica um ngulo que seja superior, igual ou inferior ao semi-ngulo do vrtice da superfcie cnica de revoluo.

> - elipse

= - parbola

< - hiprbole

Obs.: - ngulo que o plano secante faz com o eixo da superfcie cnica de revoluo. - semi-ngulo do vrtice da superfcie cnica de revoluo.

2 lvaro Jos Rodrigues. Geometria Descritiva. Volume II: Projetividades, Curvas e Superfcies 1968. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S.A. pp.108.

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Propriedades Geomtricas das Cnicas: Circunferncia:

uma curva plana, geomtrica e finita (fechada).

Na circunferncia constante a distncia (raio) de cada um de seus pontos a um ponto fixo chamado de centro.

Elipse:

uma curva plana, geomtrica e finita (fechada).

Na elipse constante a soma das

distncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos chamados de focos.

Parbola:

uma curva plana, geomtrica e infinita (aberta), de um s ramo.

Na parbola cada um de seus pontos

eqidista de um ponto fixo chamado de foco e de uma reta fixa chamada diretriz.

Hiprbole:

uma curva plana, geomtrica e infinita (aberta), de dois ramos.

Na hiprbole constante a diferena das

distncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos chamados de focos.

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Alguns dos Traados Auxiliares das Cnicas3 :

Elipse: Conhecidos os seus eixos

Parbola: Conhecidos: eixo, vrtice e um de seus pontos

Hiprbole: Conhecidos os dois vrtices e um de seus pontos

3 Para demais traados e detalhes consultar: Benjamin de A. Carvalho. Morfologia e Desenho das Curvas. (Terceira Parte) In: Desenho Geomtrico. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S. A. pp.211-317.

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Hlice: Definio: a curva revessa resultante da justaposio de uma reta em uma superfcie cilndrica. Temos dois tipos de Hlice Cilndrica:

A Hlice Cilndrica Geral ou Ordinria:

Desenvolve-se sobre uma superfcie cilndrica qualquer.

A Hlice Cilndrica Normal (HCN):

Desenvolve-se sobre uma superfcie cilndrica de revoluo. Obs.: na Hlice Cilndrica Normal (HCN) as curvaturas de toro e flexo so constantes.

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Propriedades das Hlices:

1. H uma proporcionalidade entre as abscissas curvilneas e as ordenadas retilneas.

2. a geodsica da superfcie cilndrica. Obs.: geodsica de uma superfcie a linha de uma superfcie que mede a menor distncia entre dois pontos desta mesma superfcie.

3. a loxodrmica da superfcie cilndrica.

Obs.: loxodrmica de uma superfcie a linha de uma superfcie que faz ngulo constante com as geratrizes desta superfcie.

ngulo de uma curva em um de seus pontos com um plano: o ngulo que a tangente curva neste ponto (P) faz com a projeo desta tangente no plano.

Aplicando-se o que foi acima descrito para curvas em geral em nossas hlices cilndricas, conclumos que:

As tangentes aos pontos de uma hlice fazem um ngulo constante com um plano de seo reta da superfcie cilndrica.(ver figuras da pgina anterior)

O comprimento da tangente compreendido entre o ponto de contato com a hlice (ponto de

tangncia) at o ponto de contato com o plano de seo reta igual ao respectivo arco de hlice retificado, assim como o comprimento da subtangente igual ao respectivo arco de seo reta retificado. (ver figuras da pgina anterior)

Obs.: se chama subtangente a projeo da tangente a uma hlice neste plano de seo reta da superfcie cilndrica na qual a hlice se apia. (ver figuras da pgina anterior)

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Curva evoluta e Curva evolvente: Curva evoluta: o lugar geomtrico dos centros de curvatura dos pontos da curva

evolvente. Curva evolvente: a curva resultante de um traado a partir da evoluta aplicando-se raios de

curvatura para cada um dos pontos da evoluta. Aplicando-se estes conceitos nas hlices pode-se afirmar que:

O lugar geomtrico dos ps das tangentes no plano de seo reta a evolvente da hlice e da sua projeo neste mesmo plano de seo reta. (ver figura abaixo e figuras da pgina 9)

A hlice e a curva de seo reta (que vem a ser sua projeo no plano de seo reta) so

curvas evolutas. (ver figura abaixo e figuras da pgina 9)

Na Hlice Cilndrica Normal (HCN), (exemplo ao lado), a sua evolvente dita perfeita porque a diferena de comprimento das tangentes (no caso ao lado se tratam das subtangentes em projeo horizontal sobre o plano de seo reta), igual ao arco de curva compreendido entre dois de seus pontos de tangncia. Isto ocorrer tanto no espao como em projeo que a maneira expressa na figura ao lado.

Figura acima: HCN e algumas de suas tangentes em projeo horizontal. Obs.: eixo da superfcie cilndrica da HCN na posio vertical.

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Hlice Cilndrica Normal (HCN) em particular: Espira de HCN: o arco de HCN compreendido entre duas passagens consecutivas por

uma mesma geratriz da superfcie cilndrica. Passo (H) de HCN: a ordenada retilnea correspondente a altura de uma espira de HCN. 2R: a abscissa curvilnea correspondente a uma flexo (giro) de 360 da HCN. (obs.: onde R o raio da superfcie cilndrica de revoluo ou do cilindro ncleo) Logo em um giro de 360 de Hlice Cilndrica Normal (HCN) temos:

um arco de hlice = uma espira (de geratriz a geratriz) sua ordenada retilnea = um passo (H) sua abscissa curvilnea = 2R

Observaes:

- A altura do cilindro ncleo da HCN no necessariamente igual altura do passo podendo ser igual, maior ou menor que este.

- Para construo da HCN devemos dividir sempre em um mesmo nmero de partes o

passo (H) (ordenada retilnea) e 2R (abscissa curvilnea). Declividade da Hlice: uma constante, onde K = _ H__

2R

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Sinais da Hlice Cilndrica Normal: So dois os movimentos helicoidais:

um curvilneo - rotao (+) sentido positivo trigonomtrico = anti-horrio (-) sentido negativo trigonomtrico = horrio

um retilneo - translao (+) para cima (-) para baixo

Tendo em vista estes dois movimentos a HCN pode ser de dois tipos: Hlice Positiva: Quando os dois movimentos (o de rotao e o de translao) tiverem o mesmo sinal. Dica: brao direito do bonequinho. Hlice Negativa: Quando os dois movimentos (o de rotao e o de translao) tiverem sinais diferentes. Dica: brao esquerdo do bonequinho.

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Dois Processos para Determinao de Tangentes Hlice Cilndrica Normal (HCN):

Processo do Cone das Tangentes: Construmos um cone que tenha sua base coincidente com a base do cilindro ncleo e de

tal forma que suas geratrizes faam com () o mesmo ngulo que as tangentes hlice fazem com (), desta forma teremos geratrizes do cone paralelas s tangentes hlice. Como a HCN faz com () o mesmo ngulo que suas tangentes fazem com () vamos imaginar o cilindro ncleo planificado com a transformada da HCN e vamos estabelecer a semelhana de tringulos entre um dos tringulos formados pelas geratrizes do cone das tangentes, o raio (R) e a altura (h) (passo reduzido). (ver figura ao lado). Desta forma calculamos o passo reduzido (h) obedecendo ao parmetro de o seu valor ser tal que as geratrizes do cone das tangentes vo fazer com () o mesmo ngulo que a hlice e sua transformada faro com (), sendo este ngulo por sua vez idntico aos das tangentes com (). Desta forma garantimos escolher uma altura de passo reduzido (h) de tal forma que as geratrizes do cone sejam paralelas s tangentes a HCN.

Passamos ento para a pura, construindo em pura o cone das tangentes com base coincidente com a base do cilindro ncleo e com a altura igual ao seu passo reduzido (h) j calculado. (ver figura ao lado) Poderemos, por exemplo, encontrar a tangente hlice no seu ponto (6), ponto de cota 6/8 de espira. Basta apenas procurar no cone das tangentes qual geratriz correspondente seria paralela tangente a hlice no ponto (6), da s passar a paralela por (6) e determinamos a tangente. Repetimos o mesmo traado para os demais pontos.

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Processo das Subtangentes: o processo mais usado por proporcionar maior preciso de traado. Consiste em

calcularmos o comprimento das subtangentes e marcarmos estes comprimentos diretamente em pura, no plano de projeo da seo reta do cilindro ncleo (). Exemplo: passar a tangente hlice pelo ponto de cota 6/8 de espira. (ver figura ao lado) Calculamos o comprimento da subtangente que vem a ser, neste caso, 6/8 de 2R (que o tamanho do arco de circunferncia retificado). Aplicamos este tamanho em projeo horizontal e temos na extremidade deste segmento o trao horizontal da tangente (H6). Achamos a projeo vertical de (H6) e a ligamos projeo vertical de (6). Fazemos o mesmo para os demais pontos.

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Superfcies de Circunvoluo: Definio: so as superfcies geradas por uma circunferncia geratriz cujo centro percorre

uma outra curva diretriz (ex.: circunferncia/ hlice), mantendo sempre a geratriz uma determinada posio em relao diretriz (ex.: perpendicularismo).

So Superfcies de Circunvoluo:

1. Toro Circular4; 2. Helicides Circulares5:

Serpentina; Coluna Torsa; Parafuso de Santo Egdio.

Toro Circular: Diferentemente dos Helicides Circulares onde a curva diretriz uma Hlice Cilndrica Normal, no Toro Circular a curva diretriz uma circunferncia, temos no processo de gerao da superfcie uma circunferncia geratriz cujo centro percorre esta circunferncia diretriz perpendicularmente. Tipos de Toro Circular:

Aberto: (r) < (R)

Fechado: (r) = (R)

Reentrante: (r) > (R)

Obs.: (r) = raio da circunferncia geratriz (R) = raio da circunferncia diretriz

4 No Toro Circular a circunferncia geratriz percorre perpendicularmente com o seu centro uma curva diretriz que uma outra circunferncia. 5 Nos Helicides Circulares o centro de uma circunferncia geratriz percorre uma curva diretriz que uma Hlice Cilndrica Normal (HCN).

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Sees no Toro Circular:

Por planos perpendiculares ao eixo: -circunferncias.

Por planos que contenham o eixo:

-duas das circunferncias geratrizes em V.G.

Por Planos paralelos ao eixo: -sees que sero curvas chamadas cassinianas. Obs.: quando (R) (raio da circunferncia diretriz) for igual a duas vezes (r) (raio da circunferncia geratriz) algumas destas sees cassinianas tero propriedades e nomes particulares, tais como: -Seo produzida pelo plano () no toro: chamada de Oval de Cassini*; -Seo produzida pelo plano () no toro: chamada de Lemniscata de Bernoulli*. Obs: *s quando (R) = 2 x (r).

Por planos bi-tangentes: -a seo vai ser igual a duas circunferncias6:

6 Fonte das figuras: lvaro Jos Rodrigues. Geometria Descritiva. Volume II: Projetividades, Curvas e Superfcies 1968. Rio de Janeiro. Ed. Ao Livro Tcnico S.A. pp.105.