AULA 01

CINEMÁTICA

1. Introdução Na Mecânica, estudaremos os movimentos dos corpos e, para melhor compreensão, dividiremos a mecânica em três partes: cinemática, dinâmica e estática. Nesta aula, estudaremos a cinemática escalar, utilizando conceitos geométricos vinculados ao tempo para descrevermos os movimentos através de funções matemáticas. No estudo da Cinemática não nos preocuparemos com as causas nem com as leis da natureza que explicam estes movimentos, pois esta preocupação ficará por conta da dinâmica, o que estudaremos futuramente. 2. Ponto Material (partícula) e Corpo Extenso Imagine uma pessoa caminhando e atravessando uma ponte de 600 metros de extensão. O tamanho desta pessoa comparado ao tamanho da ponte é insignificante e então pode ser desprezado no equacionamento deste movimento. Logo, esta pessoa é considerada uma partícula ou um ponto material.

Ponto Material é todo corpo cujas dimensões não alteram o estudo de qualquer fenômeno que ele participe.

Imagine agora que por esta ponte passe uma estrada férrea e que uma composição de 300 metros de extensão vá atravessá-la. Para o equacionamento deste novo movimento, não poderemos desprezar o tamanho da composição. Logo, esta composição é considerada um corpo extenso.

Corpo Extenso é todo corpo cujas dimensões alteram o estudo de qualquer fenômeno de que ele participe

3. Referencial, Movimento e Repouso Definimos como referencial ou sistema de referência um corpo, ou parte dele, em relação ao qual identificamos se um móvel está em movimento ou em repouso. Considere uma pessoa em seu carro, trafegando em uma rua calma. Ao passar por um grupo de estudantes parados em um ponto de ônibus, começa uma discussão entre eles. Um dos estudantes afirma: “O motorista daquele carro está em movimento”. Um outro colega se opõe à afirmação: “Não é o motorista que está em movimento e sim o seu carro”. Um terceiro colega tenta aliviar a discussão explicando: “Se considerarmos o ponto de ônibus como referencial tanto o motorista como o carro estão em movimento, mas se o referencial considerado for o volante do carro, ambos estão em repouso”. Um corpo está em movimento, quando a distância entre ele e o referencial adotado se altera; e, está em repouso, quando a distância entre ele e o referencial adotado permanece constante.

Movimento e Repouso são conceitos relativos e dependem sempre do referencial adotado.

4. Trajetória A trajetória é a união de todas as posições que um corpo ocupa ao se deslocar. Considere um carro passando por uma estrada coberta com uma fina camada de neve. As marcas dos pneus do carro determinam sua trajetória para aquele deslocamento.

A trajetória depende de um referencial

Um exemplo clássico que nos permite afirmar que realmente a trajetória depende de um referencial é o de um avião que, em pleno vôo, abandona um

corpo. Ao abandonar o corpo, um observador que se encontra lateralmente ao movimento verá uma trajetória com formato parabólico. Um outro observador, que se situa frontalmente ao movimento, verá uma trajetória retilínea. Então, para dois observadores (referenciais) diferentes, teremos duas trajetórias de formatos diferentes.

5. Posição ou Espaço(s) Escalar de um corpo numa trajetória A posição de um corpo está vinculada a um ponto da trajetória que nomearemos origem dos espaços e que será o nosso referencial na determinação das posições (espaços). Na figura abaixo, os carros A e B estão a uma mesma distância da origem (marco zero), porém o A está à esquerda e o B à direita da origem. Note que, para definir a posição de um corpo na trajetória, o sinal positivo (+) e o sinal negativo (- ) são muito importantes para identificar o lado em que se encontra o corpo em relação à origem.

origem dos espaços

Espaço é a medida algébrica desde a origem até o corpo estudado. O espaço pode ser positivo (corpo A) ou negaivo (corpo B). O espaço será nulo (S=0)

quando o corpo estudado estiver na origem dos espaços. 6. Espaço Inicial (So) e Deslocamento Escalar (∆S) Espaço inicial é a posição ocupada pelo corpo quando este inicia o seu movimento.

Todo movimento se inicia na origem dos tempos (t=0)

Por exemplo, na figura anterior, se o tempo fosse zero, os espaços iniciais dos carros A e B seriam: SoA = -3km e SoB = +3km Deslocamento escalar é a diferença entre as posições ocupadas pelo corpo entre o início e o fim do movimento.

Logo: ∆S = 3 - (-4) = 7km 7. Velocidade Escalar Média (Vm) A velocidade escalar média de um corpo é o quociente entre seu deslocamento e o tempo que ele gastou para se deslocar. ∆S = Sf – So (deslocamento escalar) ∆t = tf – to (intervalo de tempo) 8. Velocidade Escalar Instantânea (V ) A velocidade escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a velocidade escalar média quando o ∆t tende a zero. V = lim ∆S ∆t ∆t → 0 obs: O limite (lim) é calculado pela função matemática denominada derivada. V= ∆s ⇒ isto é a representação da derivação e lê-se: ∆t

A velocidade é a derivada do espaço relativa ao tempo. Cálculo da derivada Vamos considerar a seguinte equação: X = a.Y4 + b.Y3 =c.Y2 + d.Y + e X é a nossa grandeza, Y é a nossa variável e a,b,c,d e e são os nossos parâmetros.

Regra prática 1- o expoente da variável multiplica o parâmetro. Regra prática 2- subtrai uma unidade do expoente da variável. Regra prática 3- a derivada de uma constante é zero. Exemplo: X = a.Y4 + b.Y3 c.Y2 + d.Y + e dX = 4.a.Y4-1 + 3.b.Y3-1 + 2.c.Y2-1 + 1.d.Y1-1 + 0 dY dX = 4.a.Y3 + 3.b.Y2 + 2.c.Y1 + 1.d.Y0

dY dX = 4.a.Y3 + 3.b.Y2 + 2.c.Y + d dY Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid (∆S) = m (metro) unid (∆t) = s (segundo) unid (Vm) = m/s (metro/segundo) C.G.S. unid (∆S) = cm (centímetro) unid (∆t) = s (segundo) unid (Vm) = cm/s (centímetro/segundo) No Brasil usamos: unid (∆S) = km (quilômetro) unid (∆t) = h (hora) unid (Vm) = km/h (quilômetro/hora) Relações importantes: 1km = 1.000m 1m = 100 cm 1h = 60 minutos = 3.600s 1km = 1.000m ⇒ 1km = 1m 1h 3.600s 1h 3,6s

Para transformar km/h em m/s, basta dividir por 3,6; para transformar m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6

9. Aceleração Escalar Média (γm) A aceleração escalar média de um corpo é o quociente entre sua variação de velocidade e a variação de tempo.

αm = ∆V = Vf – Vo ∆t tf - to Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid (V) = m/s (metro/segundo) unid (∆t) = s (segundo) unid (αm) = m/s (metro/segundo ao quadrado) . C.G.S. unid (V) = cm/s (centímetro/segundo) unid (∆t) = s (segundo) unid(αm) = cm/s (centímetro/segundo ao quadrado) No Brasil usamos: unid (V) = km (quilômetro/hora) unid (∆t) = h (hora) unid (αm) = km/h quilômetro/hora ao quadrado) 10. Aceleração Escalar Instantânea (Ύ) A aceleração escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a aceleração escalar média quando o ∆t tende a zero. α = lim = ∆V ∆t α = ∆v ⇒ isto é a representação da derivação e lê-se: ∆t

A aceleração é a derivada da velocidade relativa ao tempo Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid (V) = m/s (metro/segundo) unid (∆t) = s (segundo) unid (α) = m/s (metro/segundo ao quadrado) . C.G.S. unid (V) = cm/s (centímetro/segundo) unid (∆t) = s (segundo) unid (. cm/s (centímetro/segundo ao quadrado) No Brasil, usamos: No Brasil usamos: unid (V) = km/h (quilômetro/hora) unid (∆t) = h (hora) unid (α) = km/h quilômetro/hora ao quadrado)

11. Classificação de Movimentos Classificaremos os movimentos de um corpo, levando em consideração o grau da sua função horária, o sentido do movimento em relação à trajetória e se o módulo de sua velocidade está alterando. 1º) se a função horária for de 1º grau, o movimento será denominado uniforme, porém se a função horária for de 2º grau, o movimento será uniformemente variado. 2º) se o móvel percorre a trajetória em seu sentido positivo, isto é, posições progredindo, o movimento será progressivo. Contudo, se o móvel percorre a trajetória no sentido oposto ao positivo, isto é, posições retrocedendo, o movimento será retrógrado. 3º) se o módulo da velocidade está aumentando, isto é, o ponteiro do velocímetro está subindo, o movimento é acelerado e, neste caso, a velocidade e a aceleração têm sinais iguais. Contudo, se o módulo da velocidade está diminuindo, isto é, o ponteiro do velocímetro está descendo, o movimento é retardado e neste caso, a velocidade e a aceleração têm sinais opostos. Porém, se o módulo da velocidade mantém-se constante, o movimento será uniforme.

EXERCÍCIOS

1. FACULDADE DE DIREITO DE CURITIBA: Agora, faremos uma rápida avaliação de seus conhecimentos de Física. Você provavelmente deve estar preocupado em recordar tudo que aprendeu durante a preparação para o vestibular. Mas não fique nervoso. Vamos começar a analisar seus conhecimentos de movimento e repouso. Olhe seus companheiros, já sentados em seus lugares, preste atenção em você e reflita sobre as noções de movimento, repouso e referencial. Agora, julgue as afirmativas a seguir. (01) Você está em repouso em relação a seus colegas, mas todos estão em movimento em relação à terra. (02) Em relação ao referencial “sol”, todos nesta sala estão em movimento. (04) Mesmo para o fiscal, que não para de andar, seria possível achar um referencial para o qual ele estivesse em repouso. (08) Se dois mosquitos entrarem na sala e não pararem de amolar, podemos afirmar que certamente estarão em movimento em relação a qualquer referencial. (16) Se alguém lá fora correr atrás de um cachorro, de modo que ambos descrevam uma mesma reta, com velocidades de mesma intensidade, então a pessoa estará em repouso em relação ao cachorro e vice-versa. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. 2. UNIRIO: Um rapaz está em repouso na carroceria de um caminhão que desenvolve velocidade horizontal constante de módulo igual a 30m/s.

Enquanto o caminhão se move para frente, o rapaz lança verticalmente para cima uma bola de ferro de 0,10kg. Ela leva 1,0s para subir e outro para voltar. Desprezando-se a resistência do ar, podese afirmar que a bola caiu na (o): a) estrada, a mais de 60m do caminhão. b) estrada, a 60m do caminhão. c) estrada, a 30m do caminhão. d) estrada, a 1,0m do rapaz. e) caminhão, na mão do rapaz. 3. EFEI-MG: Um veículo descreve sempre uma mesma trajetória retilínea, movendo-se da seguinte maneira: a) durante 0,5h, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de 70km/h b) em seguida, inverte o sentido do movimento e se movimenta durante 0,3h com velocidade escalar média de módulo igual a 30km/h. c) em seguida, torna a inverter o sentido de seu movimento e se movimenta durante 0,7h com velocidade escalar média de 70km/h. d) Calcule: a) a distância total percorrida. b) a velocidade escalar média no trajeto todo. 4. VUNESP: Um automóvel desloca-se com velocidade escalar média de 80km/h durante os primeiros quarenta e cinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocidade escalar média de 60km/h durante o tempo restante. A velocidade escalar média do automóvel, nessa viagem, em km/h, foi igual a: a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 5. PUC-PR: Uma partícula desloca-se em uma trajetória retilínea obedecendo à seguinte função horária dos espaços: S = 1,0t2 – 5,0t + 6,0 (SI). A equação horária da velocidade escalar é dada, em unidades SI, por: a) V = - 5,0 + 6,0t b) V = - 5,0 – 6,0t c) V = 5,0 + 6,0t d) V = 6,0 – 5,0t e) V = - 5,0 + 2,0t 6. USF-SP: Um ponto material tem seu movimento regido pela função horária dos espaços: S = 5,0 + 2,0t – 2,0t2 (SI).

A sua velocidade escalar no instante t=2,0s vale: a) – 6,0m/s b) – 2,0m/s c) zero d) 6,0m/s e) 10,0m/s. 7. UNITAU: Um carro de fórmula 1, partindo do repouso, atinge a velocidade escalar de 108km/h em um intervalo de tempo de 5,0s. Calcule, para este intervalo de tempo: a) a aceleração escalar média b) a velocidade escalar média 8. Um corpo se desloca com velocidade variando com o tempo segundo a função: V = 2,0t2 +2,0t – 10,0 (SI) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado no instante t = 2,0s 9. UCGO: Se o movimento de uma partícula é retrógrado e retardado, então a aceleração da partícula é: a) nula b) constante c) variável d) positiva e) negativa 10. FEI-SP: É dado o gráfico da velocidade escalar V em função do tempo t, para o movimento de uma partícula. No instante t’, podemos afirmar que o movimento é:

a) uniforme b) progressivo e acelerado c) retrógrado e acelerado d) retrógrado e retardado e) progressivo e retardado

RESPOSTAS 1. (01) – FALSA – você esta em repouso em relação a seus colegas e todos estão em repouso em relação à Terra. (02) – VERDADEIRA (04) – VERDADEIRA (08) – FALSA – se eles estiverem voando com velocidades iguais em módulo, direção e sentido, um estará em repouso em relação ao outro. (16) – VERDADEIRA 2. e Como a resistência do ar foi desprezada, a bola mantém sua velocidade horizontal, o que nos permite afirmar que ela terá o mesmo deslocamento horizontal que a mão do rapaz. 3. a) O móvel andou 35km para a direita, voltou 9km (esquerda) e depois andou mais 49km para a direita. D= 35 + 9 + 49 = d = 93 km b) Vm = ∆S = 75 ⇒ Vm = 50km/h 4. d V1 = ∆S1 ⇒ 80 = ∆S1 = 80. 3 = ∆S1 ⇒ ∆S = 60 km ∆t1 3 4 4 V2 = ∆S2 ⇒ 60 = ∆S2 ⇒ 60.1 = ∆S2 ⇒ ∆S2 = 15 km ∆t2 1 4 4 ∆ST = ∆S1 + ∆S2 ⇒ ∆ST = 60 + 15 ⇒ ∆ST = 75 km VmT = ∆ST ⇒ VmT = 75km/h 5. e S = 1,0t2 – 5,0t + 6,0

V = dS = 2,0t – 5,0 dt 6. A S = 5,0 + 2,0t – 2,0t2

V = d S = 2,0 – 4,0t dt V = 2,0 – 4,0.2,0 V = 2,0 – 8,0 V = - 6,0 m/s 7. a) V=108km/h : 3,6 = 30 m/s αm = ∆V = 30 ∆t 5 αm = 6 m/s b) Não podemos determinar a velocidade escalar média, pois não sabemos qual é o tipo de movimento. 8. V = 2,0t2 + 2,0t – 10,0 V>0, movimento progressivo V = 8,0 + 4,0 – 10,0 V = 2,0 m/s α = ∆V = 4,0t + 2,0 ∆t α = 4,0(2,0) + 2,0 α = 10,0 m/s2 V>0 e α>0, movimento acelerado. 9. d Para movimento retrógrado, temos velocidade negativa. Para movimento retardado, a velocidade e a aceleração têm sinais opostos, logo a aceleração épositiva. 10. d Em t’ a velocidade é negativa e crescente, o que resulta em V<0 e α>0

AULA 02

MOVIMENTO

1. Introdução

Estudaremos a seguir os movimentos uniforme e uniformemente variado. Veremossuas definições, equações, representações gráficas e aplicações.

Faremos o estudo de cada movimento separadamente.

MOVIMENTO UNIFORME

2. Definição

Vimos na classificação de movimentos, que um movimento é dito uniforme quandosua função horária dos espaços S=f(t) é de primeiro grau e conseqüentemente suavelocidade tem módulo constante e não nula. Assim sendo a aceleração nestemovimento será constante e nula.

3. Função Horária dos Espaços

Sendo o movimento uniforme, sua velocidade será constante e uma das formas dedefinirmos a função horária é através da equação da velocidade escalar média quepara este movimento é exatamente igual à velocidade escalar instantânea.

4. Representação Gráfica do Movimento Uniforme

4.1- S = f(t)

Como a função horária dos espaços é de 1º grau, seu gráfico será uma reta crescentese o movimento for progressivo (V>0) e uma reta decrescente se o movimento forretrógrado (V<0).

SSVtSSVttSS

V

000

00

: vem t,instante no corpo

do posição a é S e 0 tinstante no corpo do posição a é S como

4.2- V = f (t)

Como a velocidade é constante, seus valores médios e instantâneos serão iguais paraqualquer instante. Sua representação gráfica será uma reta constante acima do eixodos tempos se a velocidade for positiva e abaixo do eixo se for negativa.

4.3-

f (t)

Como a velocidade é constante, a aceleração para qualquer instante será nulaindependentemente do movimento ser progressivo ou retrógrado.

5. Propriedades Gráficas do Movimento Uniforme

5.1- S=f(t)

A tangente do ângulo é numericamente igual a velocidade escalar

5.2- V=f(t)

A área sob a reta é numericamente igual ao deslocamento escalar no intervalo de tempo considerado

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

6. Definição

Vimos na classificação de movimentos que um movimento é dito uniformementevariado quando sua função horária dos espaços S=f(t) é de segundo grau, suavelocidade tem módulo variável e sua aceleração tem módulo constante e não nulo.

7. Aceleração, seus Gráficos e Propriedade Gráfica

No movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante e, portanto, oseu valor médio é exatamente igual ao seu valor instantâneo. A representação gráficaé uma reta paralela ao eixo dos tempos.

A área sob a reta é numericamente igual à variação da velocidade no intervalo

de tempo considerado

8- Função Horárias das Velocidades

Sendo a aceleração constante neste movimento, os seus valores médios einstantâneos são iguais. Assim temos:

9. Propriedade Básica do M.U.V.

No movimento uniformemente variado a velocidade escalar é representada por umafunção de primeiro grau o que nos permite determinar o seu valor médio pela médiaaritmética entre seus valores inicial e final num determinado intervalo de tempo.

A velocidade escalar média entre dois instantes ( t1 e t2 ) é a média aritmética das velocidades escalares nestes instantes

10. Gráficos da Velocidade e suas Propriedades

Como a função horária da velocidade é de 1º grau, seu gráfico será uma retacrescente se o movimento for acelerado ( crescente) e uma reta decrescente se o

movimento for retardado ( decrescente).

A tangente do ângulo é numericamente igual a aceleração escalar

A área sob a reta é numericamente igual à variação do espaço no intervalo de tempo considerado

11. Função Horária dos Espaços

A função horária dos espaços pode ser definida de várias formas, uma delas é usandoa propriedade vista acima.

12. Gráficos do Espaço e suas Propriedades

Como a função horária dos espaços é de 2º grau, seu gráfico será uma parábola comconcavidade voltada para cima se e concavidade voltada para baixo se

A tangente do ângulo é numéricamente igual à velocidade escalar para o instante t1.

13. Equação de TorricelliA equação de Torricelli pode ser demonstrada de várias maneiras. Veja umademonstração onde se faz a fusão das funções horárias dos espaços e dasvelocidades.

EXERCÍCIOS

1. UESPI - Um passageiro perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5 minutos epegou um táxi para alcançá-lo. O ônibus e o táxi descrevem a mesma trajetória e seusmovimentos são uniformes. A velocidade escalar do ônibus é de 60km/h e a do táxi éde 90km/h.O intervalo de tempo necessário ao táxi para alcançar o ônibus é de:

a) 5 min b) 10 min c) 15 min d) 20 min e) 25 min

2. UNIP-SP – O gráfico a seguir representa o espaço s em função do tempo t para omovimento de um

ciclista. Considere as proposições que se seguem:

I) A trajetória do ciclista é retilínea.II) A velocidade escalar do ciclista é crescente.III) O ciclista passa pela origem dos espaços no instante t = 2,0s.IV) O movimento do ciclista é uniforme e progressivo.

Estão corretas apenas:

a) III e IV b) I e II c) II e III d) I, III e IV e) I e IV

3. PUC-SP – Duas bolas, A e B, de dimensões desprezíveis se aproximam uma daoutra, executando movimentos retilíneos e uniformes (veja a figura). Sabendo-se queas bolas possuem velocidades escalares de módulos 2,0m/s e 3,0m/s e que, noinstante t = 0, a distancia entre elas é de 15,0m, podemos afirmar que o instante dacolisão é:

a) 1,0s b) 2,0s c) 3,0s d) 4,0s e) 5,0s

4. PUC-SP – Alberto saiu de casa para o trabalho exatamente às 7,0h,desenvolvendo, com seu carro, uma velocidade escalar de 54 km/h. Pedro, seu filho,percebe imediatamente que o pai esqueceu sua pasta com documentos e, após 1,0min de hesitação, sai para encontrá-lo, movendo-se também com velocidade escalarconstante, percorrendo a mesma trajetória descrita pelo pai. Excelente aluno emFísica, calcula que, como saiu 1,0 min após o pai, demorará exatamente 3,0 min paraalcançá-lo.Para que isso seja possível, qual a velocidade escalar do carro de Pedro?

a) 60,0 km/h b) 66,0 km/h c) 72,0 km/h d) 80,0 km/h e) 90,0 km/h

5. UNITAU-SP – Uma motocicleta com velocidade escalar constante de 20,0m/sultrapassa um trem de comprimento 100m e velocidade escalar constante de 15,0m/s. A duração da ultrapassagem é:

a) 5s b) 15s c) 20s d) 25s e) 30s

6. UNICAMP – As faixas de aceleração das auto-estradas devem ser longas osuficiente para permitir que um carro, partindo do repouso, atinja a velocidade escalarde 108km/h em uma estrada horizontal. Um carro popular é capaz de acelerar de 0 a108km/h em 15s. Suponha que a aceleração escalar seja constante.

a) Qual o valor da aceleração escalar?b) Qual a distancia percorrida em 10s?c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de aceleração?

7. VUNESP – Um motorista, dirigindo seu veículo à velocidade escalar constante de72,0 km/h, numa avenida retilínea, vê a luz vermelha do semáforo acender quandoestá a 35,0 metros do cruzamento, suponha que entre o instante em que ele vê a luzvermelha e o instante em que aciona os freios decorra um intervalo de tempo de 0,50segundo. Admitindo-se que a aceleração escalar produzida pelos freios seja constante,para que o carro pare exatamente no cruzamento, o modulo dessa aceleração escalardeve ser, em m/s2, de:

a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10,0

8. FUVEST – Um carro viaja com velocidade escalar de 90km/h (ou seja, 25m/s) numtrecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, o motorista vê um animalparado na pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em quecomeça a frear, o carro percorre 15,0m. Se o motorista frear o carro à taxa constantede 5,0m/s2, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal,que permanece imóvel todo o tempo, se o tiver percebido a uma distancia de, nomínimo:

a) 15,0m b) 31,25m c) 52,5m d) 77,5m e) 125,0m

9. AFA – O gráfico espaço x tempo para uma partícula que descreve um a trajetóriaretilínea, com aceleração escalar constante, é dado na figura a seguir:

A velocidade escalar inicial (V0) e a aceleração escalar

()

são, respectivamente,iguais a:

a) 6,0m/s e –2,0m/s2 b) 6,0m/s e –3,0m/s2 c) 9,0m/s e –3,0m/s2 d) 6,0m/s e 6,0m/s2

e) 9,0m/s e 6,0m/s2

10. FUVEST – Dois trens, A e B, fazem manobra em uma estação ferroviáriadeslocando-se paralelamente sobre trilhos retilíneos, no instante t = 0s eles estãolado a lado. O gráfico representa as velocidades escalares dos dois trens a partir doinstante t = 0s até t = 150s, quando termina a manobra. A distancia dos dois trensno final da manobra é:

a) 0m b) 50m c) 100m d) 250m e) 500m

RESPOSTAS

1. B

2. A

3. Alternativa CA e B se encontram quando estiverem na mesma posição. Para resolver este exercíciovamos adotar a posição inicial de A como sendo ZERO (0) e conseqüentemente aposição inicial de B será 15m.

stt

ttt

ttt

tVtV

SS

taxiônibus

taxiônibus

105,0

5

.5,05.5,15

.5,15.60

905t

90.t5)60.(t

.)5.(

VERDADEIRO )(

25

10.510.5100.

/56

3006

)10(20tSV

VERDADEIRA (III)constante. é

e velocidadsua e uniforme é movimento o reta, uma é gráfica curva a comoFALSA (II)

posição. de coordenada uma apenas mostra nos gráfico o pois adaindetermin

FALSA )(

0

IV

stttttVSS

smVV

I

4. ALTERNATIVA C

Como o tempo que o filho leva para alcançar o pai é de 3 minutos (180s), omovimento do pai desde que saiu de casa até ser alcançado pelo filho é de 4 minutos(240s).

5. Alternativa C

A distância que a motocicleta percorre para ultrapassar o trem, é de 100m somados àdistancia que trem percorreu até ser ultrapassado.

6.

7. Alternativa DEntre o instante que o motorista vê a luz vermelha e o instante que ele começa a frearo carro percorre uma distância SR com velocidade constante de 72,0km/h (20m/s).

8. Alternativa DEntre o instante que o motorista vê o animal e o instante que ele começa a frear o carro percorre umadistância SR com velocidade constante de 90,0km/h.

Durante o retardamento do movimento, temos:

9. Alternativa A

No instante 3,0s, a velocidade é nula (V=0), pois aí ocorre a inversão de movimento.

Do gráfico temos que para 3,0s de movimento o deslocamento é 9,0m

10. Alternativa D

Como o trem A deslocou 125m em um sentido e o trem B deslocou 125m em sentido oposto, a distância entre eles é de 250m.

Aula 3

VETORES

Introdução Na Física usamos dois grupos de grandezas: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. São escalares as grandezas que ficam caracterizadas com os seus valores numéricos e suas respectivas unidades. São vetoriais as grandezas que se caracterizam com a indicação de seus valores numéricos, suas unidades e suas orientações (direção e sentido). Algumas grandezas serão estudadas em dois momentos: num primeiro momento, não devemos nos preocupar com suas orientações, portanto, neste momento elas farão parte do grupo das grandezas escalares. Já num segundo momento, onde as orientações serão relevantes, elas farão parte do grupo das grandezas vetoriais. Podemos citar como exemplo de grandezas que serão estudadas nos dois aspectos, a velocidade e a aceleração. Estudaremos a seguir as grandezas vetoriais Orientação A orientação de uma grandeza consiste na indicação de sua direção e seu sentido. Para que você não confunda direção e sentido, observe o exemplo abaixo. s r As retas r e s são paralelas indicando então que elas têm a mesma direção (direção horizontal). Observe que os sentidos são indicados sobre a direção (direita ou esquerda) indicando então que r e s têm sentidos opostos. Vetor O vetor reúne três características: módulo, direção e sentido. A grandeza vetorial será representada geometricamente por um vetor. O vetor é um segmento de reta orientado (direção e sentido). A orientação de tal segmento será a mesma orientação da grandeza que ele representa e a sua dimensão será proporcional ao módulo da grandeza vetorial.

este vetor pode ser representado assim: V = AB = (B – A) origem extremidade o módulo deste vetor pode ser representado, assim: |V| = V = 4 µ Adição de Vetores Para somar vetores, podemos utilizar dois métodos: o método do paralelogramo (para a soma de dois vetores) e o método polígono (para a soma de vários vetores). Método do Paralelogramo Vamos somar as grandezas vetoriais a e b, usando o método do paralelogramo. Observe que o vetor resultante terá seu módulo determinado pela lei dos co-senos.

Resultante Máxima e Resultante Mínima A resultante será máxima se o cos θ for máximo (cos θ = 1).

A resultante será mínima se o cos θ for mínimo (cos θ = -1).

Caso Particular θ = 90º cos90º = 0:

Método do Polígono O método do polígono é usado para somar mais de dois vetores. O método consiste em ligar a extremidade do primeiro vetor na origem do segundo a extremidade do segundo na origem do terceiro e este procedimento segue até o último vetor. O vetor resultante é um vetor que deverá ser construído por nós, ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor. Veja o exemplo a seguir.

Vetor Oposto Imagine dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com as mesmas dimensões. Neste caso podemos dizer que um é o oposto do outro. Observe o exemplo:

Observe que o vetor Z é oposto ao vetor Y. O que na verdade significa dizer que:

Z = (- 1) . Y Diferença de Vetores A diferença entre dois vetores ( a e b ), é na verdade a soma do vetor a com o oposto do vetor b. Componentes Perpendiculares de um Vetor As componentes perpendiculares de um vetor, são projeções deste vetor em duas direções perpendiculares não coincidentes com a direção dele. Versor O versor é um vetor unitário (módulo 1) que nós usamos para indicar direção e sentido.

EXERCÍCIOS

1) FATEC: Duas forças têm intensidades F1 = 10N e F2 = 15N. O módulo da resultante não pode ser: a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N 2) ESAM-SP: Duas forças constantes, F1 e F2 , de intensidades F1 = 6,0N e F2

= 8,0N formam, entre si, um angulo de 60º. Qual o valor aproximado da intensidade da resultante entre F1 e F2? Dados:

Dados: sen 60 0 = √ 3 e cós 60 0 = 1 2 2 3) MACKENZIE-SP: Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular abaixo. O módulo do vetor resultante desses seis vetores é igual a: a) 64u b) 32u c) 16u d) 8u e) zero 4) ALFENAS-MG: Um móvel entra numa curva, em um ponto A, com velocidade de módulo 3,0m/s. Ao sair da curva, em um ponto B, sua velocidade tem módulo de 4,0m/s e uma direção que faz um ângulo de 60º com a direção de velocidade no ponto A. Calcule o módulo da variação da velocidade vetorial entre os pontos A e B.

5) UFOP–MG: Os módulos das forças F1 e F2 são |F1| = 3N e |F2| = 5 N. Então é sempre verdade que:

Marque a alternativa correta: a) apenas (I) e (III) são verdadeiras. b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras. c) apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) apenas (I) e (IV) são verdadeiras. e) nenhuma sentença é sempre verdadeira.

6) VUNESP: No ensino médio, as grandezas físicas costumam ser classificadas em duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenas por um numero e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoria requerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido. a) Como são denominadas as duas categorias, na seqüência apresentada? b) Preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área de mecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias. Área 1ª categoria 2º categoria mecânica ................... .................. eletricidade ................... .................. 7 ) UELON–PR: São grandezas vetoriais a: a) energia cinética e a corrente elétrica. b) corrente elétrica e o campo elétrico. c) força e o calor. d) aceleração e o trabalho. e) aceleração e o campo elétrico. 8) FUND. CARLOS CHAGAS: Os quatro vetores, cada um de módulo V, representados na figura, tem soma vetorial de modulo: a) zero b) V c) V . 3 d) V . 2 e) 4.V 9) MACKENZIE-SP: A figura mostra os vetores r, s, t, u, v. O resultado da operação v - t + u é o vetor:

a) r b) 2u c) r + s d) t + u e) r + u

10) CEFET-PR: Considere os vetores representados na figura que se segue. Dentre as alternativas fornecidas, é possível afirmar que é correta a expressão:

RESPOSTAS 1) A

2)

3) B

4)

5) B 6. a) 1ª grandezas escalares e 2ª grandezas vetoriais b) 7) E 8) A 9) B

10) D

Aula 4

MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME

1. Introdução

Na Física alguns movimentos são estudados sem levar em consideração o formato da trajetória. Neste movimento, vamos estudar propriedades específicas das trajetórias circulares, definindo grandezas importantes e relacionando-as através de equações para o movimento em questão. 2. Ângulo Horário, Fase ou Espaço Angular (ϕ) Imagine um corpo se deslocando em uma trajetória circular de raio R, partindo da origem com movimento no sentido anti-horário. Imagine um vetor com origem no centro da trajetória e extremidade no corpo estudado. Quando este corpo se desloca de uma distância S, o vetor posição gira varrendo um ângulo ϕ, que corresponde ao arco de trajetória S. A medida do ângulo horário, fase ou espaço angular no instante t considerado é dada em radianos e determinado pela relação entre o arco de trajetória S pelo raio da trajetória R.

3. Velocidade Escalar Angular Média (ωµ) A velocidade escalar angular média, mede a rapidez com que o espaço angular varia. Vamos adotar ϕι como fase inicial no instante ti e ϕφ como fase final no instante tf. A variação angular é dada pela diferença entre fase final e fase inicial (∆ϕ = ϕφ − ϕι).

4. Velocidade Escalar Angular Instantânea (ω) A velocidade escalar angular instantânea é o valor limite para o qual tende a velocidade escalar angular média quando o ∆t tende a zero. = (rad/s)

tlim=ω

0t ∆ϕ∆

→∆ dtdϕ

=ω

Obs: como o movimento estudado é uniforme, podemos considerar que os valores médios e instantâneos da velocidade escalar angular, são iguais (ωµ=ω)

5. Período (T) Todo movimento repetitivo é dito periódico. O período é o menor intervalo de tempo para que o movimento comece a sua repetição. No movimento circular e uniforme o período é o intervalo de tempo para a realização de uma volta completa. 6. Frequência (f) A freqüência mede a rapidez com que determinado evento se repete. No movimento circular e uniforme, o evento é a volta completa o que nos permite concluir que no movimento circular e uniforme a freqüência é a relação entre o número de voltas (n) pelo intervalo de tempo gasto (∆τ).

tn

f∆

= 7. Relação entre Frequência e Período Vamos imaginar um movimento circular e uniforme onde se realizou uma única volta (n=1). Podemos ainda dizer que o tempo gasto para realizar tal volta foi de um período (∆τ=Τ). Substituindo os dados na equação da freqüência, temos:

T1

f = As unidades de freqüência e período no sistema internacional são: unid (T) = s unid (f) = 1 = hertz (Hz) s 8. Relações Fundamentais Lembrando que no movimento circular e uniforme o tempo para dar uma volta completa é de um período (T), que o espaço percorrido em uma volta completa pode

ser calculado como sendo o perímetro da trajetória (∆Σ=2.π.Ρ) e que ao se completar uma volta o vetor posição varreu um ângulo de 2.π radianos, substituindo estes dados nas equações das velocidades escalares linear e angular, obteremos as seguintes relações:

9. Funções Horárias Já definimos a função horária para o movimento uniforme no aspecto escalar e sendo assim ela representará todo movimento uniforme independente do formato de sua trajetória. Então vale a relação:

VtSS 0 += Sendo ϕ = S e ω = V , ao dividirmos todos os termos da função acima por R, R R obteremos a função horária do movimento circular uniforme no aspecto angular. t0 ω+ϕ=ϕ 10. Velocidade e Aceleração no Aspecto Vetorial A velocidade no movimento circular e uniforme terá módulo constante, mas direção e sentido variáveis, portanto, neste movimento ela é variável. O seu módulo é o mesmo da velocidade escalar linear, sua direção e sempre tangente à trajetória e o seu sentido concorda com o sentido do movimento. A aceleração no movimento circular e uniforme tem a função exclusiva de curvar o movimento uma vez que a velocidade tem módulo constante. Por este motivo neste movimento só está presente a componente centrípeta da aceleração.

tRRR

+=VSS 0

EXERCÍCIOS

1) UELON-PR: Um antigo relógio de bolso tem a forma mostrada na figura abaixo, com o ponteiro dos segundos separado dos outros dois. A velocidade escalar angular do ponteiro dos segundos, cujo comprimento é 0,50cm, em rad/s, e a velocidade escalar linear de um ponto na extremidade de tal ponteiro, em cm/s, são respectivamente iguais a: a) 2π e π b) 2π e 4π c) π e π 30 15 d) π e π 30 60 e) π e 2π 60 2) FUVEST: Uma cinta funciona solidária com duas polias de raios r1=10cm e r2=50cm. Supondo-se que a polia maior tenha uma freqüência de rotação f2 igual a 60 rpm:

a) qual a freqüência f1 da polia menor? b) qual o módulo da velocidade linear da cinta? Adote π=3

3) VUNESP-UNIUBE-MG:– Duas engrenagens de uma máquina estão acopladas segundo a figura. A freqüência da engrenagem A é cinco vezes maior que a de B, portanto a relação entre os raios de A e B (RA/RB) vale: a ) 2 b ) 1 c ) 1 d ) 1 e ) 1 2 4 5 4) FUVEST: Uma criança, montada em um velocípede, se desloca, em trajetória retilínea, com velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve uma volta completa em um segundo. O raio da roda dianteira vale 24cm e os raios das rodas traseiras valem 16cm. Podemos afirmar que as rodas traseiras do velocípede completam uma volta em, aproximadamente: a) (1/2)s b) (2/3)s c) 1,0s d) (3/2)s e) 2,0s 5) FEI/SP: Em uma bicicleta com roda de 1,0m de diâmetro, um ciclista necessita dar uma pedalada para que a roda gire duas voltas. Quantas pedaladas por minuto deve dar o ciclista para manter a bicicleta com velocidade escalar constante de 6π km/h? a) 300 b) 200 c) 150 d) 100 e) 50 6. AFA – Duas partículas partem da mesma posição, no mesmo instante e descrevem a mesma trajetória circular de raio R. Supondo-se que elas girem no mesmo sentido com movimentos uniformes e freqüências iguais a 0,25 rps e 0,20 rps, após quantos segundos estarão juntas novamente na posição de partida? a) 5,0 b) 10,0 c) 15,0 d) 20,0 e) 25,0 7) UFES: Uma pessoa está em repouso na superfície terrestre, sobre a linha do equador. Considerando-se que o raio da Terra mede 6,4.106m e adotando π=3, a velocidade linear da pessoa, devido ao movimento de rotação da Terra, tem módulo, em km/h, igual a: a) 24 b) 2,5.102 c) 8,0.102 d) 1,6.103 e) 6,0.103 8) EsPC-SP: Um ciclista percorre uma pista circular de 200m de diâmetro, com movimento circular e uniforme, efetuando 20 voltas em 40 minutos. Os valores das velocidades escalares angular e linear são, respectivamente:

a) 3π/20 rad/s e 7π/10 m/s b) π/60 rad/s e 5π/3 m/s c) π/40 rad/s e 3π/4 m/s d) 2π/13 rad/s e 7π/8 m/s e) 6π/17 rad/s e 7π/8 m/s 9) FEI-SP: Suponha que um elétron se movimenta em uma trajetória circular em torno de um núcleo, com velocidade escalar constante de 2.106 m/s. Sabendo-se que o raio desta órbita é de 0,5 , qual o módulo da aceleração do elétron?

a) a=0 b) a=1.1016m/s2 c) a=4.1016m/s2

d) a=8.1020m/s2 e) a=8.1022m/s2

10) UDESC: Considere uma serra circular de 20cm de raio. Sabe-se que um ponto da periferia tem velocidade escalar linear igual a 500cm/s. a) calcule o módulo da velocidade angular da serra circular. b) calcule a velocidade escalar linear de um ponto situado a 10cm do centro da serra circular. Respostas 1) D

s/rad3060

2T2

tπ

=ω⇒π

=π

=∆

ϕ∆=ω

s/cm60

V60

50,0..2T

R..2tS

Vπ

=⇒π

=π

=∆∆

=

2) a) Para que não haja escorregamento as polias devem ter velocidades iguais.

rpm300f60.50f.10f.R..2f.R..2

VV

112211

21

=⇒=⇒π=π

=

b) s/m0,3V6060

.50,0.3.2Vf.R..2V 22 =⇒=⇒π=

3) E Para que não haja escorregamento as polias devem ter velocidades iguais.

51

RR

f.5f

RR

f.Rf.5.Rf.R..2f.R..2

VV

B

A

B

B

B

ABBBABBAA

BA

=⇒=⇒=⇒π=π

=

4) B

S32

T

2416

T16T.24T16

1.24TR

f.RTR..2

f.R..2

VV

T

TTTT

TDD

T

TDD

TD

=

=⇒=⇒=⇒=⇒π

=π

=

5) E

utomin/pedaladas 502

100X voltas 100pedaladas X

voltas 2 edaladap 1

utomin/voltas 10060

6000X X 1min

voltas 600060min60min1h

avoltas/hor 6000n.0,50n.2.6000..R2..nS

m 6000.km 6S1S

6tS

V

==⇒→

→

==⇒→

→=

=⇒π=π⇒π=∆

π=π=∆⇒∆

=π⇒∆∆

=

6) D O tempo necessário para que os corpos estejam juntos outra vez no ponto de partida, é um múltiplo inteiro dos períodos. Para estarem juntos pela primeira vez após a partida, o tempo necessário será o mínimo múltiplo comum entre os períodos.

s 0,20 T:então20,0 é 5,0 e 4,0 entre c.m.m O

s 0,5T20,01

Tf1

T

s 0,4T25,01

Tf1

T

E

BBB

B

AAA

A

=

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

7) D Sendo o raio da terra igual a 6,4.103 km e o período de rotação da terra igual a 24 h, temos:

h/km10.6,1V24

10.4,6.3.2V

TR..2

V 33

=⇒=⇒π

=

8) B

s/m35

V6.10

V100.60

VR.V

s/rad60120

.2T

2.s 120min 2T 40T.20 T volta 1

utosmin 40voltas 20

π=⇒

π=⇒

π=⇒ω=

π=ω⇒

π=

π=ω

==⇒=⇒→→

9) E

222cp10

12

cp10

262

cp s/m10.0,8a10.5,010.4

a10.5,0

)10.2(RV

a =⇒=⇒==−−

10) a) s/rad2520500

RV

R.V =ω⇒=ω⇒ω=⇒ω=

b) s/m5,2V ou s/cm250V10.25VR.V PPPPP ==⇒=⇒ω=

AULA 05

LEIS DE NEWTON 1- INTRODUÇÃO No estudo da Dinâmica nos preocuparemos com as causas e com as leis da natureza que explicam os movimentos dos corpos. Este estudo está apoiado em três leis elaboradas por Newton. Para começarmos o estudo da Dinâmica vejamos algumas definições importantes. - Força é um agente físico capaz de deformar um corpo ou alterar a sua velocidade vetorial ou as duas coisas simultaneamente. - Equilíbrio estático é o estado no qual se encontra um corpo quando sua velocidade vetorial é nula.

REPOUSO

0V

0FR

=

= - Equilíbrio dinâmico é o estado no qual se encontra um corpo quando sua velocidade vetorial é constante e não nula.

0cteV

0FR

≠=

=uniforme) e retilíneo Movimento( U.R.M

- Inércia é a tendência que um corpo em equilíbrio tem, de manter sua velocidade vetorial. 2- PRIMEIRA LEI DE NEWTON – PRINCÍPIO DA INÉRCIA O princípio da inércia foi formulado pela primeira vez por Galileu Galilei e depois confirmado por Newton.

1º ENUNCIADO: TODO CORPO EM EQUILÍBRIO TENDE A MANTER SUA VELOCIDADE VETORIAL CONSTANTE.

2º ENUNCIADO: UM CORPO POR SI SÓ É INCAPAZ DE ALTERAR SEU ESTADO DE EQUILÍBRIO.

Para exemplificar esta lei, você pode se imaginar nas seguintes situações: 1- Em pé dentro de um ônibus parado. Quando o motorista arranca rapidamente, se você não se segurar, certamente irá cair. Este fenômeno tem explicação no princípio da inércia. Você estava parado e a tendência do seu corpo, por inércia, é de permanecer parado. Vimos aí um exemplo da inércia do repouso 2- Em pé dentro de um ônibus em movimento. Quando o motorista para rapidamente, se você não se segurar, certamente irá cair novamente. Este fenômeno também se explica pelo princípio da inércia. Você estava em movimento e a tendência do seu corpo, por inércia, é de permanecer em movimento. Vimos aí um exemplo da inércia do repouso

3- SEGUNDA LEI DE NEWTON – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA. A segunda lei de Newton relaciona a massa de um corpo com a aceleração por ele adquirida. Veja que como a força e a aceleração são grandezas vetoriais e diretamente proporcionais, elas terão a mesma direção e o mesmo sentido.

Veja que como a força e a aceleração são grandezas vetoriais e diretamente proporcionais, elas terão a mesma direção e o mesmo sentido. Em se tratando de uma relação diretamente proporcional, sua representação gráfica será uma reta passando pela origem dos eixos como mostra a figura a seguir.

4- PESO DE UM CORPO O peso de um corpo, ao contrário do que se pensa, não é quantos quilogramas o corpo tem. A quantidade de quilogramas que o corpo tem é a medida de sua massa. A força peso é a força com que os corpos são atraídos por um grande astro, quando esses corpos estiverem dentro

do campo gravitacional de tal astro. Como o peso (Pr

) é uma força, ele pode ser calculado pelo produto da massa (m) do corpo pela aceleração da gravidade (g

r).

1kgf é o peso de um corpo de massa 1kg em uma região onde g=9,8m/s2.

5- TERCEIRA LEI DE NEWTON – PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO Na interação entre dois corpos, as forças trocadas entre eles formam um par de forças ação e reação. Como exemplo, podemos colocar dois imãs com pólos opostos próximos um do outro. Ao liberarmos os dois imãs, eles se atrairão.

N NS SF F

A ação e a reação têm a mesma direção, a mesma intensidade e sentidos oposto.

AÇÃO E REAÇÃO NUNCA SE EQUILIBRAM POR ESTAREM APLICADAS EM CORPOS DIFERENTES.

Exemplo: Como exemplo podemos observar uma caixa sobre uma mesa, e notar que

nesta caixa atuam duas forças: uma força Pr

que é aplicada pela Terra sobre a caixa, puxando-

a para baixo e uma força que a mesa aplica sobre a caixa, empurrando-a para cima, ou

seja, impedindo que ela caia. Note que embora as forças

NFr

NF e Prr

tenham a mesma direção, a mesma intensidade e sentidos opostos, elas não formam um par de forças ação e reação, pois

estão aplicadas sobre o mesmo corpo. A reação da força normal NFr

, é uma força NFr

− ,

vertical, de mesma intensidade que NFr

aplicada sobre a mesa.

P

NF

NF

PNF-

6- ALGUMAS APLICAÇÕES IMPORTANTES DAS LEIS DE NEWTON Nos elevadores você pode sentir a sensação de estar mais leve ou mais pesado dependendo do

movimento do elevador. Esta sensação é denominada peso aparente ( apPr

).

O peso aparente é dado por:

apap g.mP = O cálculo da gravidade aparente está mostrado abaixo.

.

Elevadores

ouacelerado subindo

acelerado descendoretardado subindo

retardado descendo

ou

Balança

aggap +=

aggap −=

Nos pêndulos em movimento, dá pra calcular a aceleração do veículo que transporta o pêndulo em função do ângulo de inclinação do pêndulo em relação à vertical. Veja como fazer este cálculo:

EXERCÍCIOS 1. (UNICAMP) – Um carro de massa 8,0.102 kg, andando a 108 km/h, freia uniformemente e pára em 5,0s. a) Qual o módulo da aceleração do carro, durante a freada? b) Qual a intensidade da força resultante no carro, durante a freada? 2. (MACKENZIE) – Um corpo em repouso e de massa 1,0t é submetido a uma resultante de forças, com direção constante, cuja intensidade varia em função do tempo (t) segundo a função F=200.t, no Sistema Internacional de Unidades, a partir do instante zero. A velocidade escalar deste corpo, no instante t=10s, vale: a) 3,6km/h b) 7,2km/h c) 36km/h d) 72km/h e) 90km/h 3. (UFES) – Um bloco de massa 2,0kg desliza sobre uma superfície horizontal sob a ação de uma força constante de intensidade F=20,0N, conforme indicado na figura. Desprezando-se o atrito, calcule o módulo da aceleração adquirida pelo bloco. 60º 4. (VUNESP) – Uma força constante, vertical, de intensidade 231 N atua para cima, na extremidade de um pedaço de corda de 1,0 kg, que está amarrado a um bloco de 20kg, como mostra a figura. Considere g=10m/s2 e calcule: a) o módulo da aceleração do conjunto; b) a intensidade da força de tração na extremidade inferior da corda.

5. (UNITAU) – Assinale a alternativa correta: a) as forças de ação e reação estão aplicadas em corpos distintos e por isso, não se equilibram; b) as forças de ação e reação se equilibram; c) as forças de ação e reação têm a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade d) as forças de ação e reação estão aplicadas no mesmo corpo; e) as forças de ação e reação são iguais. 6. (UNIP) – Uma pessoa de massa 80 kg está no pólo Norte da Terra onde a aceleração da gravidade é suposta com módulo igual a 10m/s2. A força gravitacional que a pessoa aplica sobre a Terra: a) é praticamente nula; b) tem intensidade igual a 80 kg; c) tem intensidade igual a 80 N; d) tem intensidade igual a 800 N e está aplicada no solo onde a pessoa pisa; e) tem intensidade igual a 800 N e está aplicada no centro da Terra. 7. (FUVEST) – A figura mostra dois blocos, A e B, empurrados por uma força horizontal, constante, de intensidade F=6,0N, em um plano horizontal sem atrito. O bloco A tem massa de 2,0kg e o bloco B tem massa de 1,0kg. a) Qual o módulo da aceleração do conjunto? b) Qual a intensidade da força resultante sobre o bloco A?

8. (VUNESP) – Uma barra AC homogênea de massa m e comprimento L, colocada numa

mesa lisa e horizontal, desliza sem girar sob ação de uma força Fr

, também horizontal,

aplicada na sua extremidade esquerda. Calcule a intensidade da força 1Fr

com que a fração BC

de comprimento L32

atua sobre a fração AB.

A B C

Fr

9. (UFES) – A figura mostra três blocos de massas m1= 15kg, m2= 25kg e m3= 10kg, interligados por fios leves e inextensíveis. O atrito entre os blocos e a superfície horizontal é desprezível. Se o bloco de massa m3 é tracionado por uma força de módulo T= 20N, o módulo

da força horizontal Fr

indicada é: a) 20N b) 40N c) 60N d) 80N e) 100N m3 m2 m1

T F

10. (UNICAMP) – O peso de um elevador juntamente com os passageiros é 640 kgf e a força de tração no cabo do elevador tem intensidade de 768 kgf. a) Com essas informações é possível dizer, inequivocamente, em que sentido o elevador está se movendo? Explique. b) Calcule o módulo da aceleração do elevador. RESPOSTAS 1. a) a=6,0 m/s2 b) FR=4800 N 2. C 3. a=5,0 m/s2

4. a) a=1,0 m/s2 b) T= 2,2.102 N 5. A 6. E 7. a) a=2,0 m/s2 b) FRA= 4,0 N 8. F1=(2/3).F 9. E 10. a) Como a força tensora é maior que a força peso, concluímos que a aceleração do elevador aponta para cima. Portanto, o elevador pode estar subindo com movimento acelerado ou descendo com movimento retardado. b) a=2,0 m/s2

AULA 06

DINÂMICA – ATRITO E PLANO INCLINADO 1- INTRODUÇÃO Quando nós temos, por exemplo, duas superfícies em contato em que há a propensão de uma deslizar sobre a outra, podemos observar aí, a aparição de forças tangentes a estas superfícies, formando um par ação e reação, que serão denominadas forças de atrito. A força de atrito pode ser estática, de destaque (estática máxima) e dinâmica ou cinética. A expressão matemática que permite determinar a força de atrito é:

N.fat

rrµ=

Da expressão temos N que é a força normal e r

µ que é o coeficiente de atrito. A força normal é a força trocada entre as superfícies que estão em contato e é perpendicular a elas. Para você entender melhor, a força normal é a força que você sentiria se estivesse entre estas superfícies. O coeficiente de atrito depende do estado de aspereza das superfícies de contato. Veja alguns exemplos de como determinar a força normal. Exemplo 1 Exemplo 2

N

P

atfr

PNrr

=F

F

N

P

atfr

FNrr

=

2- FORÇA DE ATRITO ESTÁTICA A força de atrito estática atua no corpo enquanto ela equilibra a força motriz, ou seja, enquanto o corpo permanece parado. Imagine um corpo apoiado em uma superfície horizontal, sendo solicitado por uma força motriz também horizontal, tentando puxá-lo para a direita. Se não houver deslocamento do corpo em

relação à superfície, é devido à ação da força de atrito, que neste caso, é estática e está equilibrando a força motriz.

Ffr

REPOUSOat e

A força de atrito é função da força motriz. Enquanto a força motriz aumenta, a força de atrito também aumenta até atingir o seu valor de destaque. A força de atrito estática será chamada de força de atrito de destaque, quando o corpo estiver na iminência de movimento. Neste momento o atrito estático assume o seu valor máximo.

FDatf

rMOVIMENTO DE IMINÊNCIA

N.f eat D

rrµ=

3- FORÇA DE ATRITO DINÂMICA A força de atrito dinâmica ou cinética atua no corpo quando o corpo entra em movimento. Aquele corpo apoiado na superfície horizontal, agora começa a se movimentar e neste momento o atrito passa a ser o dinâmico ou cinético. Veja então, que a força motriz agora superou a força de atrito de destaque.

Cfat

rMOVIMENTOF

N.f Cat Cµ=

4- RELAÇÃO GRÁFICA Podemos construir um gráfico para observar como varia a força de atrito com o aumento da força motriz.

Datf

Catf

atf

ou cinéticodinâmico

°45

estático

pousoRe Movimento Note que a força de atrito cinética é menor que a força de atrito de destaque, o que se deve ao fato de o contato entre o corpo e a superfície de apoio diminuir com o aumento da velocidade do corpo. Em alguns casos os atritos estático e cinético serão considerados iguais. Daí temos:

Ce µ≥µ Observe ainda pelo gráfico que:

(Repouso) FffF Se atatD=⇒≤

)(Movimento fffF Se

CD atatat =⇒⟩ 5- PLANO INCLINADO Vamos considerar um plano inclinado de um ângulo θ em relação ao plano horizontal e sobre ele um corpo apoiado. Veja que a tendência é que este corpo escorregue plano abaixo.

.

.

β .

θsen.PPt =

βtP

nPP

NF

θcos.PPn =

6- ÂNGULO CRÍTICO DE ATRITO

Movimento retilíneo e uniforme

.

β

tP

Datf

θcosθsen

µC =

Catt fP =N.µθsen.P C=

θcos.P.µθsen.P C=

θtgµC =

cteV =

Iminência de movimento

.

β

tP

Datf

θcosθsen

µe =

Datt fP =N.µθsen.P e=

θcos.P.µθsen.P e=

θtgµe =

EXERCÍCIOS 1. (UFC) – O bloco da figura abaixo, tem massa M=10 kg e repousa sobre uma superfície horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético, entre o bloco e a superfície, são

=0,40 e =0,30, respectivamente. Aplicando-se ao bloco uma força horizontal constante

de intensidade F=20N, determine a intensidade da força de atrito que atua sobre ele. eµ Cµ

(considere g=10m/s2 e despreze o efeito do ar)

FM

2. (UFPR) – No sistema representado na figura abaixo, o corpo de massa m2=8,1kg desce com velocidade constante. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo de massa m1 e a superfície horizontal é 0,30. Determine, em quilogramas, o valor de m1.

1m

2m

3. (EFEI) – Um cubo C de massa m=2,00 kg desliza sobre uma mesa, com atrito, na direção e sentido A→B da figura. Sua velocidade escalar quando passa por A é de 5,0m/s e se anula quando chega em B. Desprezando-se a resistência do ar e adotando-se g=10,0m/s2, calcule o coeficiente de atrito µ , sabendo-se que a distancia entre A e B é de 2,5m.

C A B

4. (UNICAMP) – Um caminhão transporta um bloco de ferro de 3,0t, trafegando horizontalmente e em linha reta, com velocidade constante. O motorista vê o sinal (semáforo) ficar vermelho e aciona os freios, adquirindo uma aceleração constante de módulo 3,0m/s2. O bloco não escorrega. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a carroceria é 0,40. Adote g=10m/s2. a) Qual a intensidade da força de atrito que a carroceria aplica sobre o bloco, durante a freada? b) Qual é a máxima aceleração (em módulo) que o caminhão pode ter para o bloco não escorregar? 5. (ITA) – A figura abaixo representa três blocos de massas M1=1,00kg, M2=2,50kg, M3=0,50kg, respectivamente. Entre os blocos e o piso que os apóia existe atrito, cujos coeficientes cinético e estático são, respectivamente, 0,10 e 0, 15, e a aceleração da gravidade igual a 10,0m/s2. Despreze o efeito do ar. Se ao bloco M1 for aplicada uma força F horizontal de intensidade 10,0N, pode-se afirmar que a força que o bloco 2 aplica sobre o bloco 3 tem intensidade igual a:

1M 2M3M

F

a) 0,25N b) 10,00N c) 2,86N d) 1,25N e) 0,75N 6. (MEDICINA VIÇOSA) – Um bloco de 3,0kg é abandonado com velocidade inicial V0=0 sobre um plano inclinado de 37º com a horizontal, como mostra a figura abaixo. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado é 0,50. Despreze o atrito com o ar. Dados: sen 37º = cos 53º = 0,60 cos 37º = sen 53º = 0,80 g = 10m/s2

a) Determine a intensidade da aceleração adquirida pelo bloco. b) Calcule a distância percorrida pelo bloco após decorrido um tempo de 2,0s.

°37

7. (FATEC) – Uma força Fr

paralela ao plano inclinado de ângulo θ com a horizontal é aplicada ao corpo de massa 10kg, para que ele suba o plano com aceleração de módulo igual a 2,0m/s2 e dirigida para cima. Considerando-se desprezível o atrito, adotando-se para o módulo de g o valor de 10m/s2, cos

= 0,60 e sen = 0,80, o módulo de Fθ θr

vale: a) 120N b) 100N c) 80N d) 60N e) 20N

θ

F

8. (VUNESP) – No plano inclinado da figura abaixo o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano vale 0,20. A roldana é isenta de atrito e despreza-se o efeito do ar. Os blocos A e B têm massas iguais a m cada um e a aceleração local da gravidade tem intensidade igual a g. A intensidade da força tensora na corda, suposta ideal, vale: a) 0,76mg; b) 0,875mg; c) 0,88mg; d) 0,96mg; e) mg.

3

4

A

B

gr

9. (FEI-SP) – Na figura abaixo, o bloco A tem massa mA=5,0kg e o bloco B tem massa mB=20,0kg. Não há atrito entre os blocos e os planos, nem na polia; o fio é inextensível e o

efeito do ar é desprezível. A força Fr

tem módulo F=40,0N e adota-se g=10m.s-2. a) Qual o valor da aceleração do bloco B? b) Qual a intensidade da força tensora no fio?

A

B

F

°30

10. (PUC) – Um bloco de 5,0kg de massa está em repouso sobre um plano inclinado. θ é o angulo de inclinação do plano. a) O que acontece com o módulo da força de reação normal do plano, na medida em que θ aumenta de valor? b) Qual o módulo da aceleração do bloco, quando o angulo de inclinação do plano for igual a 18º? Dados: sen 18º 0,30; cos 18º 0,95 ≅ ≅módulo da aceleração da gravidade local: g=10m/s2

módulo da força de atrito: fat=5,0N

θ

Respostas 1. fat=20N 2. m1=27kg 3. =0,50 µ4. a) fat=9,0.103N b) a =4,0m/s2

5. ALTERNATIVA D 6. a) a=2,0m/s2 b) ∆S=4,0m 7. ALTERNATIVA B 8. ALTERNATIVA C 9. a) a=2,4m/s2 b) T=52,0N 10. a) a força normal diminui b) a=2,0m/s2

AULA 07

DINÂMICA – FORÇA RESULTANTE E SUAS COMPONENTES 1- FORÇA RESULTANTE Força resultante é o somatório vetorial de todas as forças que atuam em um corpo. É importante lembrar que a força resultante não é mais uma força atuante no corpo e sim uma força imaginária que substituiria todas as outras forças sem alterar a aceleração vetorial do corpo. 2- FORÇA RESULTANTE E SUAS COMPONENTES Como a força altera a velocidade vetorial de um corpo, para facilitar nossos estudos, é comum separarmos a força resultante em duas componentes. Uma delas, a tangencial, será responsável pela alteração do módulo da velocidade sem se preocupar assim, com sua direção e seu sentido e a outra, a centrípeta, será responsável pela alteração da sua direção e do seu sentido sem se preocupar com a alteração de seu módulo.

RF

tF

cpF

Vr

cptR FFF +=

2

cp

2

t

2

R FFF +=

3- COMPONENTE TANGENCIAL (Ft) A componente tangencial, como vimos, está destinada a alterar a intensidade da velocidade, portanto, ela estará presente em todos os movimentos variados e será nula em todos os movimentos uniformes. Sua direção está representada na figura, sempre tangenciando a trajetória e seu módulo é dado pela relação abaixo. Note que a aceleração tangencial tem o mesmo módulo da aceleração escalar, portanto, a força tangencial é o produto da massa pela aceleração escalar.

gentetantFVr

α== .ma.mF tt

O sentido da componente tangencial é o mesmo da velocidade nos movimentos acelerados e oposto nos movimentos retardados.

gentetantFVr

Acelerado

gentetantF

Vr

tardadoRe

4- COMPONENTE CENTRÍPETA (FCP) A componente centrípeta está destinada a alterar a direção e o sentido da velocidade, portanto, ela estará presente em todos movimentos curvilíneos e será nula em todos os movimentos retilíneos. Sua direção, sempre perpendicular à trajetória, está representada na figura abaixo.

.

cpF

Vr

.gentetan

O módulo da componente centrípeta pode ser determinado pela relação abaixo:

cpcp a.mF =r

Lembrando das relações que permitem calcular a aceleração centrípeta e substituindo-as na equação da força centrípeta, teremos:

⇒ω= V.acp

r)III(

)I(⇒=RV

a2

cp

⇒ω= R.a 2cp

r)II(

RV

.mF2

cp =

R..mF 2cp ω=r

V..mFcp ω=r

Observe a seguir um exemplo onde nós podemos verificar as componentes tangencial e centrípeta.

NFcp

r=

RFPFt =

No movimento mostrado acima, temos a força peso vertical para baixo, que na posição mostrada, está tangenciando a trajetória, portanto, ela é a componente tangencial. A reação normal é a única força na direção do centro, portanto, ela é a componente centrípeta. A soma vetorial das duas componentes nos dá a força resultante.

.

Nr

P

PNFcp

rrr+=

No exemplo acima, a resultante centrípeta é a soma vetorial das forças peso e reação normal e no exemplo abaixo a resultante centrípeta é a diferença entre a força normal e a força peso.

.

Nr

P

PNFcp

rrr−=

EXERCÍCIOS

1. (FUND. CARLOS CHAGAS) – A figura abaixo representa um pêndulo simples que oscila entre as posições A e B, no campo gravitacional terrestre. Quando o pêndulo se encontra na posição P, a força resultante é mais bem indicada pelo vetor: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

.

1 23

45

A BP

2. (FATEC) – Um corpo em movimento, num plano horizontal, descreve uma trajetória curva. É correto afirmar que: a) O movimento é necessariamente circular e uniforme. b) A força resultante é necessariamente centrípeta. c) A força resultante admite uma componente centrípeta. d) A trajetória é necessariamente parabólica. e) A força centrípeta existe apenas quando a trajetória é circular.

Fr.

FrF

r0Frr

=

Fr

)a )b )c )d )e

3. (UFPB) – Considere um pêndulo que oscila livremente em um plano vertical. Assinale a

opção que melhor representa a força resultante Fr

na esfera pendular quando ela atinge o ponto de inversão de movimento.

4. (PUC) – Considere um satélite artificial que gira em torno do centro da Terra, permanecendo em repouso em relação a um observador fixo na superfície terrestre (satélite estacionário utilizado em telecomunicações). a) Qual a velocidade angular do satélite? b) Qual o papel da força gravitacional que a Terra aplica sobre o satélite? 5. (E.E. MAUÁ) – Se a partícula de massa m = 4,00.10-3kg descreve uma trajetória circular de raio R = 0,500m, com velocidade escalar V = 1,00 m/s, ela está sujeita a uma força de intensidade constante f dada pela expressão f = mω2R. a) Que é ω? Determine o seu valor.

b) Quais são a intensidade, a direção e o sentido de fr?

c) Qual é o significado físico de ω2R? Qual o seu valor? 6. (UFN) – A intensidade da força centrípeta necessária para um corpo descrever movimento circular uniforme com velocidade V é F. Se a velocidade escalar passar a ser 2V, a intensidade da força centrípeta necessária deverá ser: a) F/4 b) F/2 c) F d) 2F e) 4F

7. (UFAL) – Um carro de massa m = 8,0.102kg descreve uma circunferência de raio R = 1,0.102m com velocidade escalar constante V = 20 m/s. Calcule a intensidade da força resultante no carro. 8. (FUVEST) – Um restaurante é montado numa plataforma que gira com velocidade angular constante ω = π/1800 radianos/segundo. Um freguês, de massa M = 50kg, senta-se no balcão localizando-se a 20 metros do eixo de rotação, toma sua refeição e sai no mesmo ponto de entrada. a) qual o tempo mínimo de permanência do freguês na plataforma? b) Qual a intensidade da força centrípeta sobre o freguês enquanto toma a sua refeição? 9. (FAAP) – Um corpo preso à extremidade de uma corda gira numa circunferência vertical de raio 40cm em um local onde g = 10 m/s2. A menor velocidade escalar que ele deverá ter no ponto mais alto será de: a) zero b) 1,0m/s c) 2,0m/s d) 5,0m/s e) 10,0m/s 10. (FATEC) – Uma esfera de massa 2,0kg oscila num plano vertical, suspensa por um fio leve e inextensível de 1,0m de comprimento. Ao passar pela parte mais baixa da trajetória, sua velocidade escalar é de 2,0m/s. Sendo g = 10m/s2, a intensidade da força de tração no fio quando a esfera passa pela posição inferior, é em newtons: a) 2,0 b) 8,0 c) 12,0 d) 20,0 e) 28,0

Respostas 1. D 2. C 3. D 4. a) π/12 rad/h b) CENTRÍPETA 5. a) velocidade escalar angular e o seu valor é 2,00 rad/s b) 8,00.10-3N na direção do raio (normal à trajetória), apontando para o centro. c) ω2.R é a aceleração centrípeta e o seu valor é 2,00m/s2. 6. E 7. Fr = 3,2.103N 8. a) t = 1,0 hora b) Fcp = 3,0.10-3N 9. C 10. E

AULA 08

TRABALHO E POTÊNCIA 1- INTRODUÇÃO Uma força realiza trabalho quando ela transfere energia de um corpo para outro e quando transforma uma modalidade de energia em outra. 2- TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE.

Um corpo ao ser puxado por uma força constante Fr

, sofre um deslocamento . O trabalho realizado por esta força pode ser calculado pela expressão matemática a seguir:

dr

3- SINAL DO TRABALHO. O trabalho pode ser positivo ou motor, quando o corpo está recebendo energia através da ação da força.

°<θ≤°⇒>θ⇒>τ 9000cos0 O trabalho pode ser negativo ou resistente, quando o corpo libera energia através da ação da força. °≤θ<°⇒<θ⇒<τ 180900cos0 O trabalho também pode ser nulo, quando o corpo não recebe e nem libera energia através da ação da força.

4- TRABALHO DA FORÇA PESO.

A força peso nas proximidades da terra é uma força constante e por isso o seu trabalho pode ser calculado, como veremos a seguir:

⇒θθ

=

O trabalho da força peso é positivo na descida e negativo na subida. 5- TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA. O trabalho realizado pela resultante das forças que atuam em um corpo enquanto o mesmo sofre um deslocamento, é igual à variação da energia cinética sofrida pelo corpo. Veja a demonstração abaixo:

τ

θ=

θ==θ

coscos

hgm

:vem trabalho, do equação na ,cos

hd e gP

cosh

d que temos , dh

cos ,

p

r

rr

como

= m.sendo

hgmp

r=τ

6- CÁLCULO DO TRABALHO PELO GRÁFICO (FxS).

7- POTÊNCIA. A potência mede a rapidez com que uma força realiza trabalho. Podemos definir a potência para um intervalo de tempo e também para um instante único.

No cálculo da potência média usamos a velocidade escalar média e no da potência instantânea usamos a velocidade escalar instantânea. 8- CÁLCULO DO TRABALHO PELO GRÁFICO (Pot x t). Considerando uma situação em que a potência é constante, fica fácil entender como calcular o trabalho através do gráfico. Veja a demonstração abaixo:

9. QUADRO DE UNIDADES NO S.I.

EXERCÍCIOS 1. (ESPM-SP-2000) – Sobre um corpo de massa 4,0kg, inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal, perfeitamente lisa, é aplicada uma força resultante constante e horizontal. A velocidade escalar do corpo vária de acordo com o gráfico abaixo.

)s/m(V

0,3

0,6

)s(t

0

21 FFRrrr

+=

O trabalho realizado pela força resultante, no intervalo de tempo representado, vale, em joules: a) 72,0 b) 60,0 c) 48,0 d) 36,0 e) 18,0 2. (UFLA-MG)– Um corpo de massa m=10kg cai, a partir do repouso, de uma altura H=100m acima do nível do solo. O corpo atinge o solo com uma velocidade de módulo igual a 40m.s-1. Considere a aceleração da gravidade constante e com módulo igual a 10m/s2. O trabalho da força que o ar aplica no corpo, durante sua queda até o chão, vale, em kJ: a) -0,50 b) -1,0 c) -2,0 d) -4,0 e) -8,0 3. (FUVEST) - Um objeto de 20kg desloca-se numa trajetória retilínea de acordo com a equação horária dos espaços: s = 10,0 + 3,0t + 1,0t2

onde s é medido em metros e t em segundos. a) Qual a expressão da velocidade escalar do objeto no instante t? b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre o objeto durante o deslocamento de 20m.

4. (UCGO) – Uma força constante F , horizontal, de intensidade 20N atua durante 8,0s sobre um corpo de massa 4,0kg que estava em repouso apoiado em uma superfície horizontal sem atrito.

r

Não se considera o efeito do ar. rO trabalho realizado por F , neste intervalo de 8,0s, vale: a) 0 b) 1,6kJ c) 3,2kJ d) 6,4kJ e) 3,2 . 103 kJ 5. (FEI) – Uma partícula de massa 2,0kg desloca-se ao longo de um eixo Ox, sob ação de

uma força resultante Fr

que tem a mesma orientação do eixo Ox e intensidade variando com a posição, conforme o gráfico a seguir.

Sabe-se que na posição x1 = 0, a velocidade escalar da partícula é de 10 m/s:

)N(F

0,1 0,3

)m(x

10

0

Determine:

a) o trabalho realizado pela força Fr

entre as posições x1 = 0 e x2 = 3,0m; b) a velocidade escalar da partícula na posição x2 = 3,0m. 6. (ESPM-SP-2000) – Um fardo de massa 40kg é levantado a uma altura de 5.0m em 10s, sem acréscimo de energia cinética. Considerando-se g = 10m/s2, a potência média, em watts, requerida para a execução da tarefa citada, é: a) 2,0 . 104 b) 5,0 . 103 c) 2,0 . 103 d) 5,0 . 102 e) 2,0 . 102 7 . (FUVEST) – De acordo com o Manual do Proprietário, um carro de massa 1,0t acelera de 0 a 108km/h em 10 segundos. Qual a potência média útil fornecida pelo motor para produzir essa aceleração? Admita que o carro se desloca em um plano horizontal e despreze o efeito do ar. a) 15kW b) 30kW c) 45kW d) 60kW e) 90kW 8. (PUCC-SP-2000) – Deseja-se projetar uma pequena usina hidrelétrica utilizando-se da água de um córrego cuja vazão é de 1,0m3/s, em queda vertical de 8,0m. Adotando-se g = 10m/s2 e dágua

= 1,0 . 103kg/m3, a máxima potência estimada seria, em watts, de: a) 8,0. 104 b) 1,6 . 104 c) 8,0 . 103 d) 1,6 . 103 e) 8,0 . 102

9. (FUVEST) – Uma empilhadeira elétrica transporta do chão até uma prateleira, a ma altura de 6.0m do chão, um pacote de 120kg. O gráfico ilustra a altura do pacote em função do tempo. A potência aplicada ao corpo pela empilhadeira é: (É dado g = 10m/s2 e despreza-se o efeito do ar) a) 120W b) 360W c) 720W d) 1,20kW e) 2,40kW )m(h

0

0,6

20

)s(t

10

0,3

10. (AFA) – A potência da força resultante Fr

que age sobre um objeto de massa m=1,25kg varia com o tempo, conforme o gráfico a seguir. Sabendo-se que em t = 0 a velocidade escalar do objeto vale 10m/s, calcule:

a) o trabalho realizado pela força Fr

, no intervalo de 0 a 16s; b) a velocidade escalar no instante t = 16s.

)W(P

20

)s(t

50

0 10 16 RESPOSTAS 1. A 2. C 3. a) V = 3,0 + 2,0.t b) τ = 8.102J 4. C 5. a) τ = 15J b) V = 5,0 m/s 6. E 7. C 8. A 9. B 10. a) τ = 500 J b) V = 30 m/s

AULA 9

ENERGIA Introdução Nesta aula estudaremos a energia mecânica e suas modalidades. Veremos a seguir que a energia está associada ao movimento (cinética) dos corpos e também veremos que mesmo quando em repouso, um corpo pode possuir energia devido ao seu posicionamento (potencial). Energia Mecânica e suas Modalidades

Energia Mecânica (EM)

Energia Cinética Energia Potencia

(Ec) (EPot)

Gravitacional Elástica (Ep) (Eel)

Energia Cinética (EC) A energia cinética mede a capacidade que a força resultante aplicada a um corpo tem em realizar trabalho para colocá-lo em movimento. Vamos admitir que um corpo inicialmente em repouso sofra a ação de uma força resultante horizontal até atingir uma velocidade final V após se deslocar de uma distância d. O trabalho realizado por esta força resultante é a tradução da energia cinética.

Veja que a energia cinética sempre será positiva pois, a massa é uma grandeza sempre positiva e velocidade elevada ao quadrado também. Outra observação importante é que a velocidade depende de um referencial, portanto, a energia cinética também. Se para um referencial o corpo está em repouso, pra este referencial o corpo não tem energia cinética. Energia Potencial Gravitacional (EP) A energia potencial gravitacional mede a capacidade que a força peso aplicada a um corpo tem em realizar trabalho. Vamos admitir que um corpo inicialmente em repouso na posição A sofrendo a ação da força peso. Vamos admitir também que o solo é o nosso referencial. A energia potencial gravitacional será igual ao trabalho que a força peso realizaria para levar este corpo de A para B.

Veja que a energia potencial gravitacional pode ser positiva, negativa ou nula. Será positiva quando o corpo estiver acima do referencial, negativa quando o corpo estiver abaixo do referencial e nula quando o corpo estiver no referencial. Outra consideração importante é que a variação de energia potencial entre dois pontos não depende do referencial.

No corpo extenso a medida da altura é feita desde o plano de referência até o centro de gravidade do corpo estudado.

Energia Potencial Elástica (Eel) Antes de definir a energia potencial elástica, é necessário que se defina a lei de Hooke.

Seja uma mola de comprimento natural L0 sofrendo a ação de uma força Fv

que irá deformá-la

de ∆L. A reação a esta força F é uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto ao de F, aplicada pela mola na tentativa de voltar ao seu comprimento natural. A esta força daremos o nome de força elástica e a representaremos por Fel. Fazendo ∆L=X, e chamando de k a constante elástica da mola, temos:

:vem ,xl fazendo

l.kFel

=∆

∆=

x.kFel = Graficamente, temos:

Lembrando que a área do gráfico da força em função do deslocamento é numericamente igual ao trabalho, e que a energia potencial elástica mede a capacidade que a força elástica tem para realizar trabalho, temos:

2x.k.x

EÁreaE el

N

Felel =⇒=τ=

2x.k

E2

el = g :temos eraficament

2c x.CE =

:vem ,C

2k

fazendo e x.2k

E 2c ==

como

2k

tg

CtgxE

tg

N

N

2el

N

=θ∴

=θ⇒=θ

Energia Mecânica (Em) A energia mecânica é dada pela soma entre as energias cinética e potencial. Como a energia potencial pode ser positiva ou negativa, a energia mecânica também poderá assumir valores positivos e negativos.

PotCM EEE += Conservação da Energia Mecânica Quando um sistema de forças realiza trabalho sem que ocorra dissipação de energia, ou seja, sem alterar a energia mecânica do corpo, chamamos a este sistema de conservativo. Daí concluímos que sua energia mecânica se mantém constante e que somente suas modalidades (cinética e potencial) se alternam. ConstanteEEE PotCM =+=

EXERCÍCIOS

1. (VUNESP) – Uma bola de futebol, de massa 0,40kg, cai de uma altura de 6,0m partindo do repouso e, depois de se chocar com o solo, eleva-se, verticalmente, a 2,4m. Quanta energia mecânica a bola perdeu no choque com o solo, supondo desprezível a fração perdida na sua interação com o ar? (Considere g= 10 m/s2).

2. (UNIFOR) – Três esferas idênticas, de raios R e massas M, estão sobre uma mesa horizontal. A aceleração local da gravidade tem módulo igual a g. As esferas são colocadas em um tubo vertical que também está sobre a mesa e que tem raio praticamente igual ao raio das esferas. Seja E a energia potencial gravitacional total das três esferas sobre a mesa e E’ a energia potencial gravitacional total das três esferas dentro do tubo. O módulo da diferença (E’- E) é igual a: a) 4 MRg b) 5 MRg c) 6 MRg d) 7 MRg e) 8 MRg 3. (FUVEST) – Uma bala de morteiro de massa 5,0 . 102g está a uma altura de 50m acima do solo horizontal com uma velocidade módulo 10m/s em um instante t0. Tomando-se o solo como referencial e adotando-se g = 10m/s2, determine para o instante t0: a) a energia cinética da bala; b) a energia potencial da bala. 4. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Uma mola elástica ideal, submetida à ação de uma força de intensidade F = 10 N, está deformada de 2,0cm. A energia elástica armazenada na mola é de: a) 0,10J b) 0,20J c) 0,50J d) 1,0J e) 2,0J 5. (FUVEST) – Um ciclista desce uma ladeira, com forte vento contrário ao movimento. Pedalando vigorosamente, ele consegue manter a velocidade constante. Pode-se então afirmar que a sua: a) energia cinética está aumentando; b) energia cinética está aumentando; c) energia potencial gravitacional está aumentando; d) energia potencial gravitacional está diminuindo; e) energia potencial gravitacional é constante. 6. (UFOP) – Uma partícula desliza livremente em um trilho sem atrito, como mostra a figura adiante, passando pelo ponto A com uma certa velocidade. O plano de referência para medir a energia potencial gravitacional passa pelo ponto B. Sabe-se que a energia potencial no ponto A vale E e a energia cinética no ponto B vale 2E. Quando a partícula passar pelo ponto C suas energias cinética e potencial serão, respectivamente, iguais a: a) 3E/2 e E/2 b) E/2 e E/2 c) E e E d) E/2 e 3E/2 e) 3E/2 e 3E/2

7. (UNIP) – Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade é constante, dois projéteis,A e B, partem de uma mesma altura H. O projétil A parte do repouso

e o projétil B é lançado horizontalmente com uma velocidade 0Vr

. Os projeteis A e B atingem o

solo horizontal com velocidade de módulos respectivamente iguais a VA e VB. Os tempos de queda de A e B, respectivamente, iguais a TA e TB.

Assinale a opção correta: a) TA=TB e VA=VB

b) TA >TB e VA > VB c) TA=TB e VA < VB

d) TA<TB e VA = VB

e) TA <TB e VA = VB

8. (UNICAMP) – Uma bola metálica cai, a partir do repouso, da altura de 1,0m sobre um chão duro. A bola repica no chão várias vezes. Em cada colisão, a bola perde 20% de sua energia mecânica. Despreze a resistência do ar e adote g = 10m/s2. 1) Qual é a altura máxima que a bola atinge após as duas primeiras colisões? 2) Qual é o módulo da velocidade com que a bola atinge o chão na terceira colisão? 9. (EFEI) – Um homem de massa igual a 70,0kg, preso a uma corda elástica de massa desprezível, cai, a partir do repouso, de uma plataforma localizada a 100m acima do nível do chão. Sabe-se que o comprimento não distendido da corda é de 30,0m e que a distância mínima que separa o homem do solo é de 10,0m. a) a constante elástica da corda b) o comprimento da corda quando o módulo da velocidade do homem for máximo c) o módulo da velocidade máxima 10. (CESUPA) – Um corpo é lançado verticalmente para cima num local onde g=10m/s2.

Devido ao atrito com o ar, o corpo dissipa, durante a subida, 25% de sua energia cinética inicial na forma de calor. Nestas condições, pode-se afirmar que, se a altura máxima por ele atingida é de 15cm, então o módulo de velocidade de lançamento, em m/s, foi de: a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0

RESPOSTAS 1. Em= 14,4J 2. C 3. a) EC= 25J b) EP= 250J 4. A 5. D: a) τ b) V=5,0m/s 6. A 7. C 8. a) h=0,64m b) V=3,6m/s

9. a) k= 35N/m b) L=50m c) V=20 2 m/s 10. B

AULA 10

IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO

1- INTRODUÇÃO Nesta aula estudaremos Impulso de uma força e a Quantidade de Movimento de uma partícula. Veremos que estas grandezas são vetoriais e que possuem a mesma dimensão. 2- IMPULSO. Impulsionar um corpo, é empurrar este corpo durante um certo intervalo de tempo. Assim fica fácil definir esta grandeza como sendo o produto da força pelo tempo de aplicação desta força.

t.FIF ∆=rr

Como o impulso é calculado para um intervalo de tempo, ele não é uma grandeza instantânea. Repare ainda que o impulso é dado pelo produto de uma grandeza escalar ( ) por uma

grandeza vetorial (Fr

), portanto, o impulso é uma grandeza vetorial com a mesma direção e o

mesmo sentido da força (Fr

). r

t∆

Quando a força F for variável, o impulso será calculado pela função integral que não faz parte do nosso aprendizado no segundo grau. Neste caso calcularemos o impulso usando o conceito de força média ou ainda pelo método gráfico que veremos a seguir.

t.FII mFF m∆==

rrr

Método gráfico

1F

0

F

t2t1t

1F

A

t∆

1

N

F.tA ∆=

AIN

1 =

3- QUANTIDADE DE MOVIMENTO OU MOMENTO LINEAR (Q). Define-se quantidade de movimento ou momento linear de um corpo, como sendo o

produto de sua massa m pela sua velocidade Vr

.

V.mQrr

=

m

V

Observe que a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, diretamente proporcional à velocidade, portanto, com a mesma direção e o mesmo sentido da velocidade. Ao contrário do impulso, a quantidade de movimento é uma grandeza instantânea. Para um sistema constituído por vários corpos, a soma vetorial das quantidades de movimento de cada corpo, será a quantidade de movimento do sistema.

1m

2m

3m

nm1V

2V

3V

nV nn2211sistema V.m...V.mV.mQ +++=

A quantidade de movimento, é dada pelo produto de sua massa pela velocidade do seu centro de massa.

CMextenso corpo V.mQ = A quantidade de movimento será constante quando o seu módulo, sua direção e o seu sentido forem constantes. ⇒== 0tancons REPOUSOteQ UNIFORME E RETILÍNEO MOVIMENTO ⇒≠= 0tetanconsQ 4- TEOREMA DO IMPULSO Pelo teorema do impulso, podemos relacionar impulso e quantidade de movimento e constatar que elas são de mesma dimensão. Observe a demonstração do teorema.

2VRF

1VRF

:temos ,tV

por a dosubstituin ,a.mF Seja R∆∆

=

⇒−=

⇒∆=⇒∆∆∆

=∆⇒∆∆

=

)VV.(mI

V.mIt.tV

.mt.FtV

.mF

12

RR

r

r ⇒−=⇒−= 1212 QQIV.mV.mI

QI ∆= Impulso) do Teorema( 5- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS Um sistema é isolado quando a força resultante externa aplicada a ele for nula. Neste caso, como a força é nula, o impulso será nulo e a quantidade de movimento se manterá constante (princípio da conservação da quantidade de movimento).

tetanconsQ 0Fisolado Sistema externa R =∴=⇒ 6- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS IMPORTANTES. Na colisão entre dois corpos, as forças trocadas entre eles são forças internas ao sistema. Estas forças são muito intensas comparadas com algumas forças externas que atuam nos corpos como, por exemplo, a força peso. Por isso, podemos desprezar estas forças externas e considerar o sistema de colisões como um sistema isolado. Observe que a quantidade de movimento se mantém constante antes e depois da colisão.

Na explosão de um corpo, as forças internas são muito intensas permitindo desprezar forças externas que estejam atuando no corpo como, por exemplo, a força peso, portanto, uma explosão constitui um sistema isolado. Observe que a quantidade de movimento imediatamente antes da explosão é exatamente igual à quantidade de movimento e imediatamente depois da explosão.

EXERCÍCIOS 1. (UFMT) – Um corpo de peso igual a 1,0.102 é lançado verticalmente para cima, atingindo a altura máxima em 2,0s. Qual a intensidade do impulso aplicado a esse corpo pela força da gravidade:

a) durante a subida b) desde o lançamento até o retorno ao ponto de partida? Despreze o efeito do ar. 2. (VUNESP) – Um objeto de massa 0,50kg está se deslocando ao longo de uma trajetória retilínea com aceleração escalar constante igual a 0,30m/s2. Se partiu do repouso, o módulo da sua quantidade de movimento, em kg.m/s, ao fim de 8,0s, é: a) 8.10-1 b) 1,2 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4 3. (FATEC) – Uma pequena esfera de massa 0,10kg abandonada do repouso em queda livre, atinge o solo horizontal com uma velocidade de módulo igual a 4,0m/s. Imediatamente após a colisão, a esfera tem uma velocidade vertical de módulo 3,0m/s. O módulo da variação da quantidade de movimento da esfera, na colisão com o solo, em kg.m/s, é de: a) 0,30 b) 0,40 c) 0,70 d) 1,25 e) 3,40 4. (UFPE) – O gráfico a seguir é o registro do movimento de um corpo de massa 6,0kg, em trajetória retilínea.

)s/m(V

0,5

0,5−

0,30 0,1 0,5

)s(t

Entre os instante t1= 1,0s e t2= 5,0s, calcule: a) a variação de energia cinética; b) o módulo do vetor variação da quantidade de movimento. 5. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - LONDRINA) – Um corpo de massa 2,0kg é lançado verticalmente para cima, com velocidade escalar inicial de 20m/s. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade com módulo g=10m/s2. O módulo do impulso exercido pela força-peso, desde o lançamento até o corpo atingir a altura máxima, em unidades do Sistema Internacional, vale: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. (UNIP) – Um projétil é disparado verticalmente para cima através de um dispositivo

que aplica uma força vertical Fr

cuja intensidade varia com o tempo segundo o gráfico abaixo.

0,40,3

40

10)s(t

)N(F

0

O projétil parte do repouso, no instante t0=0, e o lançamento dura 4,0s. Adote g=10m/s2 e admita que, durante o lançamento, as únicas forças atuantes no projétil

sejam o seu peso e a força Fr

. Sendo a massa do projétil igual a 1,0kg, pede-se: a) o instante em que a velocidade do projétil é máxima (justifique); b) o módulo da velocidade máxima do projétil. 7. (VUNESP) – Uma corda de massa desprezível liga dois botes em repouso sobre a superfície de um lago tranqüilo. Num certo momento, um homem sentado no primeiro bote puxa a corda durante 2,0s com uma força constante de intensidade 50N. A partir do teorema do impulso, determine: a) o módulo da velocidade do primeiro bote em relação às margens do lago; b) o módulo da velocidade de um bote em relação ao outro. Despreze as forças de atrito com o ar e com a água e considere a massa bote+homem igual a 200kg e a massa total do segundo bote igual a 125kg. 8. (FUVEST) – Um cachorro de massa igual a 20kg está correndo sobre uma prancha de 80kg, com uma velocidade constante de intensidade igual a 1,0m/s em relação à prancha. A prancha se apóia sem atrito sobre uma superfície plana e horizontal. a) qual o sentido do movimento da prancha em relação à superfície. b) calcule a intensidade da velocidade do cachorro em relação à superfície. Nota: admita que, inicialmente, a prancha e o cachorro estão parados em relação à superfície. 9. (UNICAMP) – Um carrinho, de massa m1 = 80kg, desloca-se em um plano horizontal sem atrito, com velocidade escalar constante V1 = 5,0m/s. Um bloco de massa m2=2,0kg cai verticalmente sobre o carrinho, de uma altura muito pequena, aderindo a ele. a) Com que velocidade escalar final move-se o conjunto? b) Que quantidade de energia mecânica foi transformada em energia térmica? 10. (MACKENZIE) – Um vagão cúbico de aresta 3,0m e massa 23 toneladas, vazio e aberto na parede superior, caminha sobre trilhos retilíneos e dispostos segundo a horizontal, com velocidade escalar de 36km/h, quando começa chover. A chuva que cai na vertical faz com que

o vagão fique completamente cheio d’água após um certo tempo. Admitindo-se desprezível qualquer ação de força horizontal externa ao sistema (chuva – vagão), a velocidade escalar final do vagão é de:

)cm/g0,1( 3=ρ

a) 2,0m/s b) 2,3m/s c) 4,6m/s d) 10,0m/s e) 12,0m/s

RESPOSTAS

1. a) I=2,0.102 N.s b) I=4,0.102 N.s 2. B 3. C 4. a) 0 b) Q=60 kg.m/s 5. D 6. a) t=3,0s - a velocidade escalar do projétil aumenta enquanto a força F for maior que o peso do projétil e será máxima quando a força F se igualar ao peso b) V=45m/s 7. a) V=5,0.10-1m/s b) V=1,3m/s 8. a) sentido oposto ao do cão b) V= 8,0.10-1m/s 9. a) V=4,0m/s b) Em= 2,0.102J 10. C

AULA 11

HIDROSTÁTICA 1- INTRODUÇÃO Na Hidrostática estudaremos as propriedades associadas aos fluidos (gases ou líquidos) em equilíbrio. O estudo da hidrostática está apoiado em três leis que veremos a seguir: Lei de Stevin; Lei de Pascal; Lei de Arquimedes. 2- Densidade absoluta de um corpo (µ) Densidade absoluta de um corpo é definida como sendo a relação entre a massa do corpo e o seu volume. Já a densidade ou massa específica do material que constitui o corpo é dada pela relação entre a massa do material que constitui o corpo e o volume deste material. Para entender melhor este conceito, imagine uma esfera oca como a da figura. A densidade da esfera é dada pela relação a seguir:

oca esfera

Densidade do corpo , V é o volume da esfera.

Vm

=µ A densidade do material é dada pela relação a seguir:

material

corpomaterial V

m=µ

oesfera

esferamaterial V-V

m=µ

Densidade do material 3- UNIDADES E RELAÇÕES IMPORTANTES

3

3

cmg

)(unid .S.G.C no unidade

mkg

)unid( S.I. no unidades

=µ⇒

=µ⇒

33

336

3

3 mkg

10cmg

1:daí cm10g10

mkg

1

:tetanporIm

=⇒=

4- PESO ESPECÍFICO (γ)

Peso específico é a relação entre o peso de um corpo e o seu volume.

VP

=γ Sendo o peso do corpo dado pelo produto da sua massa pela aceleração da gravidade, e a massa específica como sendo a relação entre a massa do corpo e o seu volume, temos:

Vmg

VP

==γ 3mN

)unid( S.I. no unidade =γ⇒g.µ=γ 5- PRESSÃO (p) A pressão é definida como sendo a relação entre a força exercida em uma superfície e a área desta superfície.

A

Fp =

Note que para forças iguais e áreas diferentes teremos pressões diferentes. Nas figuras abaixo temos o mesmo corpo apoiado numa superfície horizontal com áreas de apoio diferentes. Na figura I, a área de contato é maior que na figura II e, portanto, a pressão . III pp <

PP

)II.(fig)I.(figI

I A

Pp =

IIII A

Pp =

III pp <⇒ e

)Pascal(PamN

)p(unid .I.S no Unidade2

==⇒

)Pascal(PamN

)p(unid prática Unidade2

==⇒

Pa 1,01.10 atm 1

.importante laçãoRe5≅

6- PRESSÃO EXERCIDA POR UMA COLUNA LÍQUIDA (PRESSÃO HIDROSTÁTICA) Vamos tomar um recipiente contendo uma certa coluna líquida de altura h. A força que esta coluna líquida exerce na base do recipiente é o seu próprio peso. Daí definirmos a pressão exercida por esta coluna líquida como sendo a relação entre o peso do líquido pela área da base do recipiente.

P

A

h

Amg

AP

ph ==

.Vm temos ,Vm

como µ==µ

AVg

phµ

=

g.h.ph µ= :temos ,h.AV como = 7- PARADOXO HIDROSTÁTICO Vamos considerar alguns recipientes com formatos diferentes e com bases de áreas iguais. Colocaremos nestes recipientes o mesmo líquido até atingir uma altura h em relação à base.

1A 2A 3A

h h1Fr

2Fr

3Fr

Como o líquido é o mesmo e as alturas são iguais, as pressões exercidas nos fundos dos recipientes são iguais. Daí temos:

321321321 FFF então ppp e AAA se ====== O paradoxo hidrostático é o fato de a pressão e a força não dependerem do formato do recipiente e nem do volume do líquido. 8- LEI DE STEVIN A lei de Stevin determina que a diferença de pressão entre dois pontos dentro de um fluido em equilíbrio depende exclusivamente da densidade do fluido, da gravidade local e do desnível entre os pontos considerados.

123

1h

2h

atmpatm1 pp =

1atm2 h.g.pp µ+=)hh.(g.pp 21atm3 +µ+=

223 h.g.pp µ=−

9- SUPERFÍCIES ISOBÁRICAS

São chamadas superfícies isobáricas, aquelas superfícies que têm a mesma pressão atuando. Veja um exemplo na figura abaixo.

13

5

1h

2h46

2

atmpatmp

atm21 ppp ==

1atm43 h.g.ppp µ+== h.(g.ppp 1atm65 µ+== 10- EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI A experiência de Torricelli propõe medir a pressão, equilibrando uma coluna de mercúrio. Para isto, Torricelli usou uma cuba onde colocou um certo volume de mercúrio, e um tubo de vidro da ordem de um metro de comprimento, também preenchido com mercúrio. O tubo é então emborcado na cuba, e a coluna de mercúrio se acomoda quando a pressão que ela exerce no ponto 2 se iguala a pressão exercida no ponto 1, como mostra a figura abaixo.

atmp

1 2h

atm12 ppp == h.g.p como M2 µ=

∴ h.g.p Matm µ= Como se pode ver no exemplo acima, a pressão atmosférica é igual à pressão exercida pela coluna de mercúrio em equilíbrio. 11- MANÔMETRO Manômetro é todo aparelho usado para medir pressão em fluídos. Um dos mais simples é o representado na figura abaixo.

hGás

1 2

Líquido

atmp21Gás ppp isso, po e

ig são 2 e 1 pontos nos pressão a que note==

h.g.p Como L2 µ=

∴ h.g.p LGás µ=

12- EQUILÍBRIO DE LÍQUIDOS NÃO MISCÍVEIS Considere dois líquidos não miscíveis em equilíbrio sob ação da gravidade. As pressões nos pontos 1 e 2 são iguais e com esta igualdade concluímos que:

2h1h

A.Líq

B.Líq

1 2

atmp atmp

21 pp =

2Batm1Aatm h.g.ph.g.p µ+=µ+

2B1A h.g.h.g. µ=µ

∴ 2B1A h.h. µ=µ

13- LEI DE PASCAL A lei de Pascal estabelece que um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob ação da gravidade, transmite integralmente qualquer acréscimo de pressão que ele venha a receber. Observe que, no exemplo a seguir, houve um acréscimo de força sobre o êmbolo da segunda figura, aumentando com isto a pressão sobre o ponto 1. Este acréscimo de pressão será transmitido a todos os pontos do líquido.

h

m

1

2.Liq

pp como 12 =−

h1

2.Liq

e pressão nova a

ppp

h.g.pp

h.g.pp

L1'2

L'1

'2

L'1

'2

µ+∆+=

µ+=

µ=− ppp 2

'2 ∆+=

14- PRENSA HIDRÁULICA Uma aplicação prática da lei de Pascal é a prensa hidráulica. Veja que na prensa hidráulica a diferença de pressão sofrida pelo líquido homogêneo logo abaixo do êmbolo 1 é transmitida para a camada líquida encostada no êmbolo 2. Então podemos afirmar que sendo iguais as diferenças de pressão ,aplicadas aos êmbolos, as forças serão diferentes, pois as áreas são diferentes.

1F

2F

1A2A

1h

2h

2

2

1

1

21

AF

AF

pp

=

∆=∆

2

1

2

1

AA

FF

= Vantagemmecânica

2211

21

h.Ah.A

VV

=

∆=∆

21

2211 h.Fh.F

τ=τ

=

trabalho do oConservaçã

15- LEI DE ARQUIMEDES Note que o líquido exerce força em todas as faces do corpo imerso. Nas faces laterais, as forças horizontais se equilibram, pois formam pares de intensidades iguais (mesma profundidade) e sentidos opostos. Veja que a resultante das forças aplicadas pelo líquido é

dada pela diferença entre as forças 12 F e Frr

que será denominada EMPUXO (Er

).

1F

2F

h.Liq

EFF 12 =−

A.pA.pFFpress entre produto pelo dada força a sendo

1212 +=−

A.h.g.FFA).pp(FF L121212 µ=−⇒−=−A.h .g.EEFF como L12 µ=⇒=−

iLi V.g.EVA.h como µ=⇒=

EXERCÍCIOS 1. (UFPB – 2000) – Para que a estrutura de um certo submarino não seja danificada, a diferença entre as pressões externa e interna deve ser, no máximo de 6atm. A pressão no seu interior deve ser mantida constante e igual a 1atm, para que os tripulantes viajem confortavelmente. Quando este submarino estiver submerso no mar, qual a profundidade que ele pode alcançar com segurança? Dados:

Densidade da água do mar = 1,2.103kg/m3

Módulo da aceleração da gravidade g=10m/s2

1atm=1.105N/m2

2. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) – Liga-se a um botijão de gás um manômetro de mercúrio, conforme indica a figura abaixo. Devido à pressão do gás, observa-se um desnível na coluna de mercúrio de 10cm. Se a pressão atmosférica do ambiente é de 70cm Hg, qual a pressão do gás no interior do botijão?

cm10Gás

3. (UNIFENAS) – A figura abaixo representa um tubo em U, aberto, contendo água, ao qual foi acrescentada, no ramo direito, uma substância de densidade desconhecida. Sabendo-se que H0 = 2HA, qual a densidade dessa substância em g/cm3? Dados: µágua = 1,0g/cm3

a) 0,25 b) 0,50 c) 1,0 d) 2,0 e) 4,0

AH

0H

4. (PUCC-SP-2000) – Um pote de plástico fechado, cujo volume é 1000cm3, flutua na água com 60% do seu volume imerso. Adotando-se a densidade da água igual a 1,0g/cm3 e a aceleração da gravidade com módulo igual a 10m/s², pode-se determinar que o peso do pote em newtons, e a sua densidade em g/cm³, são respectivamente: a) 4,0 e 0,40 b) 4,0 e 0,60 c) 5,0 e 0,50 d) 6,0 e 1,0 e) 6,0 e 0,60 5. (FUVEST) – Um cubo metálico maciço de 5,0cm de aresta possui massa igual a 1,0.10³g. a) Qual a densidade do cubo? b) Qual o seu peso, em newtons?

RESPOSTAS

1. H=50m 2. p=80cm hg 3. µο=0,50g/cm³ 4. ALTERNATIVA E 5. a) µ=8,0g/cm³ b) P=10N

Aula 12

TERMOMETRIA

Introdução Neste capítulo será definida a temperatura, conheceremos o termômetro que é o instrumento usado para sua medição e relacionaremos algumas escalas termométricas. Temperatura Temperatura é um número que associamos a um corpo para medirmos o estado de agitação de suas moléculas. Note que quanto mais agitadas estão as moléculas de um corpo maior será a sua temperatura. Para medirmos a temperatura utilizaremos o termômetro. Termômetro O termômetro mais conhecido é aquele que sua substância termométrica é o mercúrio. Veja a figura a seguir.

Escalas Termométricas A seguir conheceremos algumas escalas termométricas e seus pontos fixos fundamentais.

Escala Fahrenheit (°F)

Escala Kelvin (K)

Escala Réaumur (°R)

Equação de Conversão A equação de conversão nos permite relacionar as escalas termométricas. Esta equação é obtida através de uma relação de proporções como mostrado abaixo.

Relação entre as Duas Escalas Podemos ainda relacionar duas escalas desconhecidas quaisquer usando o mesmo processo anterior e determinar uma equação de conversão entre elas, como no exemplo a seguir.

EXERCÍCIOS

1) MACKENZIE-SP: No dia 1°de janeiro de 1997, Chicago amanheceu com temperatura de 5°F. Essa temperatura, na escala Celsius, corresponde a: a) -15°C b) -10°C c) -5°C d) 2°C e) 8°C 2) UEPA: Desejando incentivar o turismo em nossa cidade, uma agencia de turismo está preparando uma página na Internet que, além dos pontos turísticos mais importantes, contém informações relativas ao nosso clima. A

versão em inglês da página deve conter a temperatura média de Belém (30°C) na escala Fahrenheit. A temperatura média de Belém, em graus Fahrenheit, é: a) 50 b) 54 c) 60 d) 86 e) 93 3) FISS-RJ: A menor temperatura registrada até hoje na superfície da Terra ocorreu em 21/07/83 na estação russa de Vostok na Antártida e o seu valor foi de -89°C. Essa temperatura, na escala Kelvin, vale: a) 173K b) 184K c) 211K d) 271K e) 362K 4) MACKENZIE-SP: Ao nível do mar, um termômetro de gás a volume constante indica as pressões correspondentes a 80cm Hg e 160cm Hg, respectivamente, para as temperaturas do gelo fundente e da água em ebulição. À temperatura de 20°C, a pressão indicada por ele será de: a) 84cm Hg b) 90cm Hg c) 96cm Hg d) 102cm Hg e) 108cm Hg. 5) FUVEST: A televisão noticia que a temperatura em Nova York chegou aos 104 graus (naturalmente 104°F). Converta para graus Celsius. a) 44°C b) 40°C c) 36°C d) 30°C e) 0°C RESPOSTAS 1) A 2) D 3) B 4) C 5) B

AULA 13

CALORIMETRIA

1- Introdução

Neste capítulo estudaremos o calor e suas aplicações. Veremos que o calor pode simplesmente alterar a temperatura de um corpo, ou até mesmo mudar o seu estado físico. 2- Calor

O calor é definido como sendo energia térmica transitando de um corpo de maior para um corpo de menor temperatura. Esta energia térmica é proveniente da agitação das moléculas que constituem o corpo.

3- Equilíbrio Térmico

Conforme o fluxo de energia térmica passa do corpo de maior para o de menor temperatura, o corpo mais quente vai se esfriando, e o corpo mais frio vai se aquecendo, até que suas temperaturas atinjam o mesmo valor. Esta temperatura é denominada temperatura de equilíbrio térmico.

4- Calor Sensível e Calor Latente

Quando uma substância ao receber ou ceder calor, sofre somente uma variação em sua temperatura, dizemos que ela recebeu ou cedeu calor sensível. Portanto, se esta substância ao receber ou ceder calor, sofre uma mudança de estado, dizemos que ela recebeu ou cedeu calor latente. Na ilustração abaixo, temos a mesma fonte fornecendo calor a dois corpos. Note que um dos corpos sofrerá apenas um aquecimento (calor sensível), enquanto o outro corpo sofrerá uma mudança de estado (calor latente).

5- Capacidade Térmica ou Capacidade Calorífica (C)

A capacidade térmica ou calorífica de um corpo mede o calor necessário para variar de uma unidade a temperatura deste corpo. Considere um corpo a uma temperatura 1θ que ao receber uma certa quantidade de

calor Q, passa a ter uma temperatura 2θ . A capacidade térmica deste corpo é dada pelo quociente entre o calor Q e a variação de temperatura θ∆ , sofrida pelo corpo. A capacidade térmica também é diretamente proporcional à massa e ao calor específico sensível da substância que constitui o corpo.

6- Quantidade de Calor Sensível (Q)

A quantidade de calor sensível é obtida da definição da capacidade térmica. Multiplicando a equação da capacidade térmica membro a membro pela variação de temperatura em seguida substituindo a capacidade térmica pelo produto da massa pelo calor específico sensível, temos determinada a equação fundamental da Calorimetria.

7- Caloria

A caloria é definida como sendo a quantidade de calor necessária e suficiente para elevar de 1°C a temperatura de 1g de água pura.

8- Calor Específico da Água Com os dados acima e aplicando a equação fundamental da Calorimetria, temos:

9- Balanço Energético

Corpos em diferentes temperaturas colocados em contato térmico em um sistema isolado vão trocar calor até que se atinja o equilíbrio térmico. Como não haverá entrada nem saída de calor deste sistema, podemos afirmar que todo calor cedido

(pelos corpos de temperaturas mais altas) dentro do sistema, será também recebido (pelos corpos de temperaturas mais baixas) dentro do sistema. Quando um corpo recebe calor, sua variação de temperatura é positiva, logo, o calor recebido é positivo. Quando um corpo cede calor, sua variação de temperatura é negativa, logo, o calor cedido é negativo. Se somarmos o calor total cedido com o calor total recebido o resultado será nulo.

10- Mudanças de Estado ou Fase

Na natureza as substâncias podem se apresentar nas fases sólida, líquida e gasosa. A mudança da fase sólida para a fase líquida é a fusão e da fase líquida para a fase sólida é a solidificação. A mudança da fase líquida para a fase gasosa é a ebulição ou vaporização e da fase gasosa para a fase líquida é a condensação ou liquefação. A mudança da fase sólida para a fase gasosa é a sublimação e da fase gasosa para a fase sólida também é a sublimação.

11- Leis das Mudanças de Estado ou Fase

1ª LEI – Durante uma mudança de fase, à pressão constante, a temperatura

também se mantém constante. Isto significa dizer que, por exemplo, à pressão atmosférica normal, o gelo começa a se fundir a 0°C e durante toda a fusão a temperatura dele se mantém a 0°C.

2ª LEI – Cada substância pura tem a sua temperatura própria de mudança de fase. Isto significa dizer que, por exemplo, à pressão atmosférica normal, a água entra em ebulição a 100°C enquanto que o álcool entra em ebulição a 78°C.

3ª LEI – Se a pressão se altera, as temperaturas de mudanças de fase também se alteram. Por exemplo, numa panela de pressão a temperatura de ebulição da água atinge valores maiores que 100°C, sem mudar de estado, devido ao aumento de pressão.

12- Quantidade de Calor Latente (Q)

Experimentalmente verificou-se que a quantidade de calor necessária para mudar a fase de uma substância era diretamente proporcional à massa da substância. A constante de proporcionalidade foi chamada de calor específico latente e daí surgiu a relação:

13- Curvas de Aquecimento e Resfriamento

Considere um corpo de massa m inicialmente no estado sólido e a uma temperatura inferior a sua temperatura de fusão. Fornecendo calor a este corpo , ele irá atingir a

temperatura , passando de sólido para liquido e de liquido para gasoso. Nesse processo ocorreram aquecimentos (calor sensível) e mudanças de estado (calor latente). O gráfico abaixo mostra como varia a temperatura em função da quantidade de calor.

4θ

EXERCÍCIOS

1) MACKENZIE: um corpo de certo material, com 200g, ao receber 1000cal aumenta sua temperatura de 10°C. Outro corpo de 500g, constituído do mesmo material, terá capacidade térmica de: a) 50cal/°C b) 100cal/°C c) 150cal/°C d) 250cal/°C e) 300cal/°C 2) UNISA: O gráfico representa a temperatura de uma amostra, de massa 100g, de uma substância, em função da quantidade de calor por ela absorvida. O calor específico sensível dessa substância, em cal/g°C, é:

a) 0,10 b) 0,20 c) 0,40 d) 0,60 e) 0,80

20

80

1200

)C(°θ

)cal(Q0

3) UNISA-SP: Tem-se 20g de gelo a -20°C. A quantidade de calor que se deve fornecer ao gelo para que ele se transforme em 20g de água a 40°C é: Dados: Calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C Calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C Calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g a) 1000cal b) 1200cal c) 2600cal d) 3000cal e) 4800cal 4) FUVEST-FGV-SP: Dispõe-se de água a 80°C e gelo a 0°C. Deseja-se obter 100g de água a uma temperatura de 40°C (após o equilíbrio), misturando água e gelo em um recipiente isolante e com capacidade térmica desprezível. Sabe-se que o calor específico latente de fusão do gelo é 80cal/g e o calor específico sensível da água é 1,0cal/g°C. A massa de gelo a ser utilizada é: a) 5,0g b) 12,5g c) 25g d) 33g e) 50g 5- (UELON-PR) – Em um recipiente, de paredes adiabáticas e capacidade térmica desprezível, introduzem-se 200g de água a 20°C e 80g de gelo a -20°C. Atingindo-se o equilíbrio térmico, a temperatura do sistema será: a) -11°C b) 0°C, restando 40g de gelo. c) 0°C, restando apenas água. d) 0°C, restando apenas gelo. e) 11°C Dados: Calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C Calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C Calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g

RESPOSTAS

1) D 2) A 3) C 4) C

5) B

AULA 14

TRANSMISSÃO DE CALOR 1- INTRODUÇÃO Neste capítulo estudaremos os três processos de transmissão de calor e a dilatação térmica nos sólidos e nos líquidos. 2- CONDUÇÃO Condução é o processo de transmissão de calor em que a energia se transfere de molécula para molécula sem que elas se desloquem. Obs. A condução não ocorre no vácuo. Como exemplo, temos um bloco de bronze com uma de suas extremidades em contato com o fogo. O calor atravessa esse bloco de molécula para molécula.

3- CONVECÇÃO Convecção é o processo de transmissão de calor, no qual a energia se transfere junto com as massas fluidas que trocam de posições devido às suas diferentes densidades provocadas pelas diferenças de temperatura. Obs. A convecção não ocorre no vácuo nem nos meios sólidos. Como exemplo, temos o ar-condicionado de uma sala, instalado na parte superior. O aparelho está instalado na parte superior, para favorecer a convecção do ar. O ar que sai do aparelho está frio (mais denso) e por isso desce, já o ar que está na sala, em sua volta, está mais quente (menos denso) que o que sai do aparelho e por isso ele sobe. Esse sobe e desce das massas de ar, devido as diferentes temperaturas, é o que chamamos correntes de convecção.

4- RADIAÇÃO OU IRRADIAÇÃO Radiação é o processo de transmissão de calor em que a energia se transfere de um local para outro através de ondas eletromagnéticas. Obs. Ocorre no vácuo e em meios materiais.

Como exemplo, temos o calor que recebemos diariamente aqui na terra, vindo do sol. As ondas de calor emitidas pelo sol são eletromagnéticas e por isso não exigem meios materiais para se propagarem.

5- FLUXO DE CALOR (φ) Observe que esta barra de bronze está sendo atravessada por um fluxo de calor. O fluxo de calor representa a quantidade de calor que atravessa esta barra na unidade de tempo. Experimentalmente verificou-se que o fluxo depende do material que constitui esta barra, pois, há materiais mais condutores de calor e outros menos condutores. A condutibilidade térmica (C) é característica de cada material. Verificou-se ainda, que o fluxo era diretamente proporcional à área de secção transversal (A) desta barra, à diferença entre as temperaturas (∆θ) das faces opostas e inversamente proporcional ao comprimento da barra (e).

6- DILATAÇÃO TÉRMICA NOS SÓLIDOS Quando um corpo sólido sofre uma alteração em sua temperatura, suas dimensões se alteram. A essa alteração de dimensões chamamos dilatação térmica. Como exemplo, temos um cubo que será aquecido. Veja que ao se dilatar, ele sofre um aumento em suas arestas, na área de cada face e em seu volume. Podemos observar que os sólidos irão sofrer três tipos de dilatação, que estudaremos a seguir.

7- DILATAÇÃO LINEAR OU UNIDIMENSIONAL (∆L) A dilatação linear mede o aumento do comprimento do corpo e tem duas definições. Uma definição óbvia que é a diferença entre os comprimentos final e inicial.

Uma outra definição obtida experimentalmente verifica que a dilatação linear é diretamente proporcional ao comprimento inicial do corpo e a variação de temperatura sofrida por ele. O coeficiente de proporcionalidade é chamado de coeficiente de dilatação linear ou unidimensional e representado pela letra α.

8- GRÁFICO DA DILATAÇÃO LINEAR Através da ultima equação, verificamos que o comprimento do corpo cresce linearmente com a temperatura. Daí podemos traçar o gráfico abaixo.

9- DILATAÇÃO SUPERFICIAL OU BIDIMENSIONAL (∆S) Para definir a dilatação superficial, foram usados conceitos análogos aos da dilatação linear. Veja que agora a dilatação é bidimensional e, portanto, o coeficiente de dilatação é superficial ou bidimensional e será representado pela letra β.

10- DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA OU CÚBICA OU TRIDIMENSIONAL (∆V) Para definir a dilatação volumétrica, também foram usados conceitos análogos aos da dilatação linear. Veja que agora a dilatação é tridimensional e, portanto, o coeficiente de dilatação é volumétrico ou cúbico ou bidimensional e será representado pela letra γ.

11- RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES α, β e γ A relação entre os coeficientes de dilatação está mostrada a seguir.

12- DILATAÇÃO TÉRMICA NOS LÍQUIDOS Nos líquidos só tem significado o estudo da dilatação volumétrica. Para se estudar a dilatação nos líquidos, devemos colocá-lo num recipiente sólido. Ao aquecermos o conjunto, tanto o líquido quanto o sólido sofrerão dilatação. Então, ao se estudar a dilatação dos líquidos, vamos observar dois tipos de dilatação. A dilatação real, que depende somente do líquido, e a dilatação aparente, que depende do líquido e do recipiente. Abaixo temos um recipiente totalmente cheio de um líquido. Ao se aquecer o conjunto, parte do líquido transborda e a este volume transbordado chamamos dilatação aparente. Como o recipiente também se dilatou, o volume final de líquido dentro do recipiente é maior que o inicial. Então, temos que a dilatação real do líquido é a soma da dilatação do recipiente e a dilatação aparente.

EXERCÍCIOS 1- (UNISA-SP) – Uma panela com água está sendo aquecida num fogão. O calor das chamas se transmite através da parede do fundo da panela para a água que está em contato com essa parede e daí para o restante da água. Na ordem desta descrição, o calor se transmitiu predominantemente por a) radiação e convecção b) radiação e condução c) convecção e radiação d) condução e convecção e) condução e radiação 2- (FUVEST) – Têm-se dois copos, com a mesma quantidade de água, um aluminizado A e outro negro N, que ficam expostos ao Sol durante uma hora. Sendo inicialmente as temperaturas iguais, é mais provável que ocorra o seguinte: a) Ao fim de uma hora não se pode dizer qual temperatura é maior. b) As temperaturas são sempre iguais em qualquer instante. c) Após uma hora a temperatura de N é maior que a de A. d) De início, a temperatura de A decresce (devido à reflexão) e a de N aumenta. e) As temperaturas de N e de A decresceram (devido à evaporação) e depois cresceram. 3- (UFU-MG) – Um orifício numa panela de ferro, a 0°C, tem 5cm2 de área. Se o coeficiente de dilatação linear do ferro é de 1,2.10-5°C-1, a área desse orifício a 300°C será, em cm2: a) 5,018 b) 10,036 c) 10,072 d) 5,036 e) 4,964

4- (MACKENZIE-SP) – À temperatura de 0°C, uma barra metálica A ( )

tem comprimento de 202,0mm e outra barra metálica B ( ) tem comprimento 200,8mm. Aquecendo-se essas barras, elas apresentarão o mesmo comprimento à temperatura de:

15A C10.2 −− °=α

15B C10.5 −− °=α

a) 100°C b) 150°C c) 180°C d) 200°C e) 220°C 5- (FATEC) – Um fio de cobre de 100m sofre aumento de temperatura de 10°C. O coeficiente de dilatação linear do cobre é 17.10-6°C-1. A variação do comprimento foi de: a) 17mm b) 17cm c) 17m d) 1,7m e) 100,17m

RESPOSTAS 1. D 2. C 3. A 4. D 5. A

AULA 15

GASES PERFEITOS

sotérmicas

emperatura

1- INTRODUÇÃO Neste capítulo, vamos estudar as transformações gasosas e as leis elaboradas por Boyle e Mariotte, Clapeyron, Gay-Lussac e Charles, que regem estas transformações. Vamos considerar ainda, para o nosso estudo, algumas variáveis de estado como: pressão, volume e temperatura. 2- LEI DE BOYLE E MARIOTTE A lei de Boyle e Mariotte rege as transformações isotérmicas. Transformações isão aquelas que ocorrem à temperatura constante. Verificou-se que para uma dada massa de gás ideal, quando se mantém a tconstante, a pressão varia inversamente com o volume.

Graficamente representamos esta lei assim:

3- LEI DE GAY-LUSSAC A lei de Gay-Lussac rege as transformações isobáricas. Transformações isobáricas são aquelas que ocorrem à pressão constante. Verificou-se que para uma dada massa de gás ideal, quando se mantém a pressão constante, o volume varia diretamente com a temperatura.

Graficamente representamos esta lei assim:

4- LEI DE CHARLES A lei de Charles rege as transformações isométricas ou isovolumétricas ou iTransformações isométricas ou isovolumétricas ou isocóricas são aquelas que ocorremvolume constante.

socóricas. à

Verificou-se que para uma dada massa de gás ideal, quando se mantém o volume constante, a pressão varia diretamente com a temperatura.

Graficamente representamos esta lei assim:

5- EQUAÇÃO DE CLAPEYRON Das leis vistas, podemos observar que matematicamente p.V=Cte.T. Esta constante que aparece é dada pelo produto do número de mols por uma cproporcionalidade denominada constante universal dos gases perfeitos que será representada por R. Daí, vem:

onstante de

,0atm, ros

p.V=n.R.T 6- VALORES DE R A constante R foi obtida usando-se uma amostra de 1 mol de gás nas CNTP: p=1θ=0ºC (T=273K). o volume ocupado por 1 mol de qualquer gás nas CNTP é de 22,4 lit(volume molar). Substituindo esses valores na equação de Clapeyron, vem:

mol.Katm.l

0082,0R273

4,22R273.R.14,22.1 =⇒=⇒=

Observe que se a pressão for dada em mmHg (1atm=760mmHg), o valor de R s

erá:

K.mol36,62R

K.mol082,0R =⇒=

l.mmHgl.mmHg760

bserve ainda que se a pressão for dada em N/m2 (1atm≅101300N/m2) e o volume Odado em m3 (1l=10-3m3), o valor de R será:

K.mol31,8R

K.mol082,0R =⇒=

joulesm10.m/N101300 332 −

- LEI GERAL

Como vimos, matematicamente p.V=Cte.T, então, podemos dizer que

7

CteT

=V.p

.

3

33

2

22

1

11

TTT==

V.pV.pV.p

- LEI DAS MISTURAS

ara estudar as misturas gasosas, vamos supor que não haja reações químicas entre os ulas

8 Pgases misturados. Quando misturamos dois ou mais gases, misturamos as molécdesses gases, ou seja, somamos os seus números de mols. Daí temos:

nT.R

T.R.nV.p =⇒= V.p

3

33

2

22

1

11

M

MM

321M

T.RV.p

T.RV.p

T.RV.p

R.T.Vp

++=

temos ,nnnn Como ++=

3

33

2

22

1

11

M

MM

TTTT++=

V.pV.pV.pV.p

EXERCÍCIOS

(FUVEST-SP-2000) – Um botijão de gás de cozinha contém 13kg de gás liquefeito, a

o o conteúdo ra de

0,082 atm.l/(mol.K) = 1atm ≅ 1x105 Pa ( 1Pa=1N/m2 )

b) 6,2 m3 c) 3,1 m3 d) 0,98 m3 e) 0,27 m3

1- alta pressão. Um mol desse gás tem massa de, aproximadamente, 52g. Se toddo botijão fosse utilizado para encher um balão, a pressão atmosférica e a temperatu300K, o volume final do balão seria aproximadamente de: Dados: R = 8,3J/(mol.K) ou R =Patmosférica

1m3 = 1000l a) 13 m3

2- (FUVEST) – Uma bola de futebol impermeável e murcha é colocada sob uma

mpânula, num ambiente hermeticamente fechado. A seguir, extrai-se lentamente o ar da ocesso, a

s

perfeito sofre a transformação AB escrita pelo gráfico pressão-temperatura apresentado a seguir. Sabendo-se que no

,0

cacampânula até que a bola acabe por readquirir sua forma esférica. Ao longo do prtemperatura é mantida constante. Ao final do processo, tratando-se o ar como um gáperfeito, podemos afirmar que: a) a pressão do ar dentro da bola diminuiu. b) a pressão do ar dentro da bola aumentou. c) a pressão do ar dentro da bola não mudou. d) o peso do ar dentro da bola diminuiu. e) a densidade do ar dentro da bola aumentou. 3- (UNIP-SP-2000) – Uma amostra de um gásdestado A o volume ocupado pelo gás é de 1m3, o volume ocupado pelo gás no estado B será igual a: a) 0,25 m3 b) 0,50 m3 c) 1,0 m3 d ) 2,0 m3 e) 4m3

4- (MACKENZIE-SP-2000) – Um gás costumeiramente presente na atmosfera das randes cidades é o CO (monóxido de carbono), proveniente dos automóveis em

erca ado num

, tal

e) 18 040 litros

xigênio Carbono

gmovimento, das indústrias etc. Se admitirmos que uma determinada fonte “produz” cde 1,0kg de CO num certo intervalo de tempo, e que o mesmo pudesse ser confinrecipiente sob pressão normal e a 35ºC de temperatura, na ausência de outros gasesrecipiente deveria ter o volume de: a) 456 litros b) 902 litros c) 1 804 litros d) 9 020 litros Dados: Z = 8 Z = 6 O A = 16 A = 12

l.atmK.mol

082,0=

5- (MACKENZIE-SP-2000) – Uma massa de certo gás ideal, inicialmente nas CNTP, está

ntida num recipiente provido com uma válvula de segurança. Devido ao aquecimento te, foi

pe. A

) 3 033ºC b) 2 760ºC c) 300ºC d) 100ºC e) 27ºC

. A

R

coambiental, para se manter constante a pressão e o volume no interior do recipiennecessário abrir a válvula de segurança e permitir que 9% dessa massa gasosa escatemperatura do gás, nesse instante, é de: a RESPOSTAS 1. B 23. C

4. B 5. E

AULA 16

TERMODINÂMICA 1- INTRODUÇÃO Neste capítulo estudaremos a relação entre duas formas de energia em trânsito. Uma delas é o calor, energia térmica em trânsito, e a outra é o trabalho, energia mecânica em trânsito. O calor, já estudamos anteriormente e o trabalho será definido a seguir. 2- TRABALHO (τ) O trabalho será calculado por nós através do método gráfico. Veremos a seguir o cálculo do trabalho para uma transformação qualquer reversível.

O trabalho realizado na transformação XY é numericamente igual à área que vai desde a transformação XY até o eixo dos volumes. Veja o caso em que a pressão se mantém constante, ou seja, uma transformação isobárica.

Fazendo uma análise em uma transformação isobárica podemos verificar que o trabalho depende da variação de volume, isto é, se o volume varia o sistema troca trabalho com o meio e se o volume permanece constante o sistema não troca trabalho com o meio. Quando o sistema se expande, ele empurra o meio externo realizando trabalho sobre o meio. O trabalho realizado é positivo, pois o volume do sistema está aumentando. Quando o sistema sofre uma compressão, ele está sendo comprimido pelo meio externo e, portanto, recebendo trabalho do meio. O trabalho recebido é negativo, pois o volume do sistema está diminuindo. 3- TRABALHO NAS TRANSFORMAÇÕES CÍCLICAS Considerando o ciclo ABCDA, podemos observar que o trabalho realizado pelo sistema é dado pela soma entre os trabalhos realizados nas transformações AB e CD uma vez que os trabalhos nas transformações BC e DA são nulos, pois essas transformações são isocóricas (volume constante).

Note que na transformação AB o sistema sofre uma expande isobárica (realiza trabalho) e na transformação CD o sistema sofre uma compressão isobárica (recebe trabalho).

Como o trabalho na transformação AB é a área A1 e o trabalho na transformação CD é a área A2 e lembrando que na expansão o trabalho é positivo e na compressão o trabalho é negativo, temos:

21ciclo21cicloCDABciclo AA)A(A −=τ⇒−+=τ⇒τ+τ=τ

Observando as figuras acima, você nota que a diferença entre as áreas é igual a área do ciclo.

Quando o ciclo é percorrido no sentido horário, ele realiza trabalho sobre o meio externo. O trabalho realizado é positivo. Quando o ciclo é percorrido no sentido anti-horário, ele está recebendo trabalho do meio externo. O trabalho recebido é negativo.

4- ENERGIA INTERNA (U) A energia interna de um gás se resume à soma das energias cinéticas de translação de cada molécula. A energia interna é diretamente proporcional à temperatura absoluta do gás, e é dada pela expressão abaixo:

T.R.n.23

U =

Como p.V=n.R.T, temos:

V.p.23

U =

A energia interna de um gás depende exclusivamente da temperatura absoluta do gás. Podemos afirmar então que se a temperatura aumenta a energia interna aumenta, se a temperatura diminui a energia interna diminui e se a temperatura se mantém constante a energia interna se mantém constante. Estas propriedades não valem para mudanças de estado. 5- PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA A primeira lei ou primeiro princípio da Termodinâmica é o Princípio da Conservação de Energia. Considere um sistema recebendo calor. O calor recebido será transformado integralmente em trabalho ou integralmente em energia interna ou ainda um pouco do calor recebido será transformado em trabalho e o restante em energia interna.

Considere uma transformação isotérmica. Nesta transformação o sistema não sofre alteração na sua energia interna, portanto, todo calor recebido será transformado integralmente em trabalho ou todo trabalho recebido será transformado integralmente em calor.

Considere uma transformação isocórica. Nesta transformação o sistema não troca trabalho com o meio externo, portanto, todo calor recebido será transformado integralmente em energia interna ou todo calor cedido será proveniente da energia interna do sistema.

Considere uma transformação adiabática. Nesta transformação o sistema não troca calor com o meio externo, portanto, todo trabalho recebido será transformado integralmente em energia interna ou todo trabalho realizado será proveniente da energia interna do sistema.

EXERCÍCIOS 1- (UFL-PR) – Numa transformação gasosa reversível, a diminuição da energia interna é de 300J. Houve compressão e o trabalho realizado pela força de pressão do gás é, em módulo, 200J. Então, é verdade que o gás a) cedeu 500J de calor ao meio. b) cedeu 100J de calor ao meio. c) recebeu 500J de calor do meio. d) recebeu 100J de calor do meio. e) sofreu uma transformação adiabática. 2- (UFLA-MG) – Abaixo temos o diagrama pV, que mostra uma transformação isotérmica de 1 mol de um gás perfeito.

pressão

volume1V 2V

1p

2p

A área hachurada mede: a) a variação da pressão. b) a variação da energia interna. c) o trabalho realizado pelo gás. d) o calor cedido pelo gás. e) o calor específico sensível do gás a temperatura constante. 3- (UFES) – Um gás é submetido ao processo ABC indicado no gráfico p x V. O trabalho total realizado pelo gás, nesse processo, é: a) 4 p0V0 b) 6 p0V0 c) 9 p0V0 d) -4 p0V0 e) -9 p0V0

A B

C

0V 0V3

0p

0p3

0

pressão

volume

4- (UNIP-SP) – O gráfico abaixo representa a pressão em função do volume para um mol de um gás perfeito. O gás vai do estado A para o estado B segundo a transformação indicada no gráfico. Assinale a opção correta: a) a transformação indicada é isotérmica; b) a área assinalada na figura mede a variação de energia interna do gás; c) na transformação de A para B o gás recebe um calor Q, realiza um trabalho τ, de modo que

τ=Q ;

d) a transformação de A para B é adiabática porque não houve acréscimo de energia interna do gás; e) a área assinalada na figura não pode ser usada para se medir o calor recebido pelo gás.

b4b

a4

a

0

p

V

5- (ACAFE-SC) – Um gás ideal recebe calor e fornece trabalho após uma das transformações: a) adiabática e isobárica b) isométrica e isotérmica c) isotérmica e adiabática d) isobárica e isotérmica e) isométrica e adiabática

RESPOSTAS 11.. AA 22.. CC 33.. BB 44.. CC 55.. DD

AULA 17

1- IN Neste c elhos planos 2- LEI A reflex ie que separa pagar no meio ANa figu indo para o meio R) retorna ) o ângulo N) o ângulo

ESPELHOS

TRODUÇÃO

apítulo estudaremos as leis da reflexão, a formação de imagens nos espe nos espelhos esféricos.

S DA REFLEXÃO

ão da luz ocorre quando um raio de luz ao tentar passar pela superfíc um meio A de um meio B, ele não passa para o meio B e volta a se pro. ra abaixo vemos um raio de luz incidente (I) se propagando no meio A B. Ao chegar na superfície que separa os dois meios o raio de luz refletido ( ao meio A. O raio incidente (I) forma com a reta normal à superfície (N de incidência (i) e o raio refletido (R) forma com a reta normal à superfície ( de reflexão (r).

• O raio e a reta normal (N) à superfície que separa os meios • SeO ângu reflexão (r) são iguais. 3- TIPOS DE RFLEXÃO Quando a luz incide em uma superfície totalmente lisa e polida, ocorre a reflexão regular u ícies espelha re a reflexã

Primeira lei da reflexão. incidente (I), o raio refletido (R) A e B pertencem ao mesmo plano. gunda lei da reflexão. lo de incidência (i) e o ângulo de

o especular. Este tipo de reflexão é o que ocorre, por exemplo, nas superfdas. Por outro lado, quando a luz incide em uma superfície irregular, ocor

o difusa.

4- SIM Consid dois raios de luz prolong objeto.

ETRIA E IMAGEM DE UM PONTO

ere um ponto objeto O diante de um espelho plano. Considere tambémsaindo deste objeto na direção do espelho e sofrendo reflexão nele. O amento dos raios refletidos se cruzam formando a imagem I do referido

Veja que o espelho se encontra no ponto médio do segmento OI, ou seja, a distância do objeto

ao espelho é igual a distância da imagem ao espelho.

Pela figura acima observamos por congruência de triângulos.

ANSLAÇÃO DE ESPELHOS

nsidere um objeto (o) diante de um espelho plano, e a este objeto, temos uma única imagem (i) atrámantivermos o objeto fixo e o espelho se afastar do objeto distância entre o objeto e o espelho será y+x que também espelho e a nova imagem. Com isso observamos que a

mo a distância entre o objeto e a nova imz

os que o objeto e a imagem são simétric 5- TR Co uma distância y dele. Para

s do espelho, e a uma distância y dele. Se de uma distância x a nova será a distância entre o

imagem transladou-se de uma distância z. Co agem pode ser calculada de duas formas (y+y+ e y+x+y+x), temos:

Observe então que se o espelho translada

de uma distância 2x.

SOCIAÇÃO DE ESPELHOS

s espelhos são associados formando entre si ustão voltadas para um objeto O, observa-se a

deste objeto O. O número de imagens formadas pode serção abaixo.

de uma distância x a imagem se translada

6- AS Quando doi m ângulo α, e suas superfícies refletoras e formação de algumas imagens

calculado como mostra a rela

Se

α°360

for impar, a equação acima só poderá ser

estiver posicionado no plano bissetor do diedro (

aplicada se o objeto

α). Por outro lado se

αquação poderá ser aplicada para qualquer

posicionamento do objeto diante dos espelhos.

S ESFÉRICOS

féricos são calotas polidas e submetidas a um

°360 for par, a e

7- ES Espelhos es espelhamento nas faces externas ou internas, obtidas através da secção de esferas.

PELHO

O espelho côncavo reflete especularmente pecularmente pela

la face interna à curvatura e o convexo

reflete espe face externa à curvatura. Os esp entados simbolicamente, como mostrado abaixo. elhos esféricos serão repres

8- ELEMENTOS DOS ESPELHOS ESFÉRICOS

s fornecidas terão maior nitidez quando obedecerem as ue veremos a seguir.

cidentes devem ser paralelos ou com pequenas inal e devem estar bem próximos a este eixo. focal (f) deve ser a metade do raio de curvatur

As imagen condições de nitidez de Gauss, q Os raios in clinações em relação ao eixo princip A distância a (R). 9- PR IOS NOTÁVEIS)

cipal de um espelho esférico, irá

OPRIEDADES DOS RAIOS INCIDENTES (RA

Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo prinrefletir-se na direção do foco principal deste espelho.

Todo ra l, irá refletir

io de luz que incide em um espelho esférico na direção do seu foco principa-se paralelamente ao eixo principal deste espelho.

Todo ra simetri

io de luz que incidente no vértice de um espelho esférico e refletidocamente em relação ao eixo principal deste espelho.

10- CO Consid a (R) do espelho • Espelh 1- Qu (i) forneci eto.

NSTRUÇÃO DE IMAGENS EM ESPELHOS ESFÉRICOS.

eremos um objeto (o) de dimensões bem menores que o raio de curvatur.

o côncavo.

ando o objeto (o) se encontra antes do centro de curvatura (C), a imagemda pelo espelho é real, invertida em relação ao objeto e menor do que o obj

2- centro de curvatura (C), a imagem (i) forneci ho do objeto.

Quando o objeto (o) se encontra sobre o da pelo espelho é real, invertida em relação ao objeto e do mesmo taman

3- Qu ncipal (F), a i e maior do que

ando o objeto (o) se encontra entre o centro de curvatura (C) e o foco primagem (i) fornecida pelo espelho é real, invertida em relação ao objeto o objeto.

4- Quimpróp

ando o objeto (o) se encontra sobre o foco principal (F), a imagem (i) é ria.

5- Qu agem (i) forn ior do que o o

ando o objeto (o) se encontra entre o foco principal (F) e o vértice (V), a imecida pelo espelho é virtual, direita ou direta em relação ao objeto e mabjeto.

• Espelh 6- Qu (i) fornecida pelo es bjeto.

o convexo.

ando o objeto (o) se encontra diante do espelho convexo, a imagempelho é virtual, direita ou direta em relação ao objeto e menor do que o o

11- EQUAÇÃO DE GAUSS

De acordo com o esquema abaixo, p representa a distância do objeto ao vértice do espelho bscissa da ima é igual a soma d

(abscissa do objeto), p’ é a distância da imagem ao vértice do espelho (agem) e f é a distância focal. Segundo Gauss o inverso da distância focal os inversos das abscissas do objeto e da imagem.

enção de sinais Conv

Se o o ssa é positiva (p>0). Se o o to é virtual, sua abscissa é negativa (p<0). Se a imSe a imSe o e ). Se o e 12- AM Para sa ue o objeto, devemos dividir o tamanho da imagem pelo tamanho do objeto.

bjeto é real, sua abscibje

agem é real, sua abscissa é positiva (p’>0). agem é virtual, sua abscissa é negativa (p’<0).

spelho é côncavo, sua distância focal é positiva (f>0spelho é convexo, sua distância focal é negativa (f<0).

PLIAÇÃO OU AUMENTO TRANSVERSAL LINEAR (A)

ber se uma imagem é maior, menor ou do mesmo tamanho do q

oA =

É fácil

i

demonstrar que:

pp

A,−

= e pf

fA

−=

Convenção de sinais Se o objeto é real, seu tamanhSe o objeto é virtual, seu tamanho é negativo (o<0). Se a im a), seu tamanho é positivo (i>0). Se a imagem é virtual (direita), seu tamanho é negativo (i<0). Se A>Se A<Se |A|Se |A|Se |A| do que o objeto. EXERC 1- (MA real no ponto médio do segmento definido pelo foco principal e pelo centro de curvatura. Se o raio de curvatu o é de 2,4m, a distância entre o objeto e sua imagem conjugada é de: a) 0,60 2- (UF m objeto espelho, qual será, em mó a imagem 3- (UC u vértice, uma imagema) côncb) cônc

convexo de 40cm de módulo de distância focal.

4- (UFforma- do espelho. Determa) a nab) a dis 5- (UF bserva sua im pelho, e se o m convexo. RESPO 1. 2. 3. C 4. a) espelho côncavo

o é positivo (o>0).

agem é real (invertid

0 a imagem é real (direita). 0 a imagem é virtual (invertida). >1 a imagem é ampliada (maior do que o objeto). <1 a imagem é reduzida (menor do que o objeto). =1 a imagem é do mesmo tamanho

ÍCIOS

CK) – Diante de um espelho esférico côncavo coloca-se um objeto

ra desse espelh m. b) 1,2m. c) 1,8m. d) 2,4m. e) 3,6m.

SC) – Um espelho esférico convexo tem 20cm de raio de curvatura. Se ucom 5,0cm de altura estiver colocado a 15 cm do vértice do dulo, a razão entre a distância da imagem obtida ao espelho e o tamanho d?

S) – Um espelho esférico conjuga a um objeto real, a 40cm do se direita e duas vezes menor. Pode-se afirmar que o espelho é: avo de 40cm de distância focal. avo de 40cm de raio de curvatura. c)

d) convexo de 40cm de raio de curvatura. e) convexo de 40cm como distância entre o objeto e a imagem.

SCAR-SP) – Num anteparo situado a 30cm do vértice de um espelho esférico se a imagem nítida de um objeto real situado a 10cmine: tureza do espelho; tância focal e o raio de curvatura do espelho.

MA) – Um garoto localizado a 2,0m do vértice de um espelho esférico oagem, direita e aumentada três vezes. Determine a distância focal do esesmo é côncavo ou

STAS

C 3

b) 5. f=3,0m e o espelho é côncavo.

f=7,5cm e R=15cm

AULA 18 REFRAÇÃO DA LUZ

1- INTRODUÇÃO Neste capítulo estudaremos as leis da refração, a reflexão total e a formação de imagens nas lentes esféricas. 2- A REFRAÇÃO A refração ocorre quando a luz ao passar de um meio A para um meio B, sofre alteração na sua velocidade de propagação. Se a incidência for oblíqua, a refração vem acompanhada de uma alteração na direção de propagação, porém, se a incidência for normal não ocorrerá alteração na direção de propagação.

3- ÍNDICE DE REFRAÇÃO ABSOLUTO (n) O índice de refração absoluto de um meio é dado pelo quociente entre o módulo da velocidade de propagação da luz no vácuo (C≅3.108 m/s) e o módulo da velocidade de propagação da luz no referido meio (V).

VC

n =

- Observe que o índice de refração absoluto é uma grandeza adimensional, pois relaciona velocidade (C) com velocidade (V). - No vácuo o índice de refração absoluto vale 1, pois V=C. - A velocidade de propagação da luz no ar é aproximadamente igual a velocidade de propagação da luz no vácuo, portanto, o índice de refração absoluto do ar é aproximadamente igual a 1. - O índice de refração de um meio A em relação a um meio B é dado pela relação entre os índices de refração dos meios A e B. - O meio de maior índice de refração absoluto é chamado de meio mais refringente.

4- LEIS DA REFRAÇÃO Admita um meio A com índice de refração nA e um meio B com índice de refração nB. Os meios estão separados por uma superfície plana. Seja I o raio incidente, R o raio refratado, N a reta normal à superfície que separa os meios A e B, i o ângulo de incidência formado entre I e N, r o ângulo de refração formado entre R e N e δ o ângulo de desvio formado entre as direções de I e R.

Pela lei de Snell-Descartes, podemos observar que se i>r, então seni>senr e nA<nB, ou seja, a luz se aproxima da reta normal à superfície, quando ela passa do meio menos para o meio mais refringente, e se afasta da reta normal à superfície, quando ela passa do meio mais para o meio menos refringente. 5- ÂNGULO-LIMITE Observe que conforme o ângulo de incidência aumenta, o ângulo de refração também aumenta, pois a relação seni/senr é constante. Repare que em determinado momento o ângulo de incidência é máximo (i=90º) e nesse momento o ângulo de refração também será máximo e denominado ângulo-limite de refração.

Aplicando a lei de Snell-Descartes quando i=90º, temos:

Analogamente, se invertermos as posições dos meios, vamos obter o ângulo-limite de incidência. Se aumentarmos o ângulo de incidência além de 90º, o raio incidente passa para o meio B, e aí podemos observar a reflexão total para um novo ângulo de incidência maior que o ângulo-limite. Note ainda que se o raio incidente agora está no meio B, ele está se propagando do meio mais para o meio menos refringente.

6- LENTES ESFÉRICAS Denominamos lente esférica uma associação de dois dióptros onde pelo menos um é esférico. Assim temos dois grupos formados por três lentes cada que veremos a seguir.

7- LENTES CONVERGENTES E DIVERGENTES A lente é dita convergente quando, a luz ao passar pela lente forma um feixe cônico convergente, ou seja, os raios de luz convergem para um único ponto. A lente é dita divergente quando, a luz ao passar pela lente forma um feixe cônico divergente, ou seja, os raios de luz divergem na direção de um único ponto. Ser convergente ou divergente está ligado ao índice de refração do material de que é feito a lente e ao índice de refração do meio onde a lente está sendo utilizada. Quando a espessura da lente é muito menor que os raios de curvatura das faces esféricas, ela será chamada de lente delgada. Podemos então ter lentes delgadas convergentes e divergentes.

8- ELEMENTOS DAS LENTES ESFÉRICAS

9- PROPRIEDADES DOS RAIOS INCIDENTES (RAIOS NOTÁVEIS) Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal de uma lente esférica emerge na direção do foco principal imagem desta lente.

Todo raio de luz que incide em uma lente esférica na direção do seu foco principal objeto emerge paralelamente ao eixo principal desta lente.

Todo raio de luz que incidente no centro óptico de uma lente esférica emerge sem sofrer desvio.

10- CONSTRUÇÃO DE IMAGENS EM LENTES ESFÉRICAS. Consideremos um objeto (o) e as lentes convergente e divergente. A natureza e a posição da imagem depende do tipo de lente e da posição do objeto em relação à lente. • Lente convergente. 1- Quando o objeto (o) se encontra antes do antiprincipal objeto (A), a imagem (i) é real, invertida em relação ao objeto, menor do que o objeto e se forma entre o foco principal imagem (F’) e o antiprincipal imagem (A’).

2- Quando o objeto (o) se encontra sobre o antiprincipal objeto (A), a imagem (i) é real, invertida em relação ao objeto, do mesmo tamanho do objeto e se forma sobre o antiprincipal imagem (A’).

3- Quando o objeto (o) se encontra entre o antiprincipal objeto (A), e o foco principal objeto (F), a imagem (i) é real, invertida em relação ao objeto, maior do que o objeto e se forma além do antiprincipal imagem (A’).

4- Quando o objeto (o) se encontra sobre o foco principal objeto (F), a imagem (i) é imprópria.

5- Quando o objeto (o) se encontra entre o foco principal objeto (F) e o centro óptico (O), a imagem (i) é virtual, direita ou direta em relação ao objeto e maior do que o objeto.

• Lente divergente. 6- Quando o objeto (o) se encontra diante de uma lente divergente, a imagem (i) é virtual, direita ou direta em relação ao objeto, menor do que o objeto e se forma entre o foco principal imagem (F’) e o antiprincipal imagem (A’).

11- EQUAÇÃO DE GAUSS De acordo com o esquema abaixo, p representa a distância do objeto ao vértice do espelho (abscissa do objeto), p’ é a distância da imagem ao vértice do espelho (abscissa da imagem) e f é a distância focal. Segundo Gauss o inverso da distância focal é igual a soma dos inversos das abscissas do objeto e da imagem.

Convenção de sinais Se o objeto é real, sua abscissa é positiva (p>0). Se o objeto é virtual, sua abscissa é negativa (p<0). Se a imagem é real, sua abscissa é positiva (p’>0). Se a imagem é virtual, sua abscissa é negativa (p’<0). Se a lente é convergente, sua distância focal é positiva (f>0). Se a lente é divergente, sua distância focal é negativa (f<0). 12- AMPLIAÇÃO OU AUMENTO TRANSVERSAL LINEAR (A) Para saber se uma imagem é maior, menor ou do mesmo tamanho do que o objeto, devemos dividir o tamanho da imagem pelo tamanho do objeto.

oi

A =

É fácil demonstrar que:

pp

A,−

= e pff

A−

=

Convenção de sinais Se o objeto é real, seu tamanho é positivo (o>0). Se o objeto é virtual, seu tamanho é negativo (o<0). Se a imagem é real (invertida), seu tamanho é positivo (i>0). Se a imagem é virtual (direita), seu tamanho é negativo (i<0). Se A>0 a imagem é real (direita). Se A<0 a imagem é virtual (invertida). Se |A|>1 a imagem é ampliada (maior do que o objeto). Se |A|<1 a imagem é reduzida (menor do que o objeto). Se |A|=1 a imagem é do mesmo tamanho do que o objeto.

EXERCÍCIOS 1- (UNICAP) – Um objeto real é colocado diante de uma lente delgada convergente de distância focal 10cm. A distância entre o objeto e a lente é de 30cm. A distância da imagem à lente é, em cm, igual a: a) 12cm b) 15cm c) 20cm d) 25cm e) 30cm 2- (UNIBAN-2000) – Com o auxílio de uma lente, deseja-se projetar a imagem, de um objeto real, quatro vezes maior numa tela situada a 4,0m do objeto. Tendo em vista a situação proposta, o tipo de lente a ser utilizada e a distância da imagem à lente são respectivamente: a) convergente e 2,0m. b) convergente e 3,2m. c) convergente e 4,6m. d) divergente e 4,0m. e) divergente e 2,6m. 3- (UFSM-RS) – Um objeto está sobre o eixo óptico e a uma distância p de uma lente convergente de distância focal f. Sendo p maior que f e menor que 2f, pode-se afirmar que a imagem será: a) virtual e maior que o objeto. b) virtual e menor que o objeto. c) real e maior que o objeto. d) real e menor que o objeto. e) real e igual ao objeto. 4- (UFU-MG) – Um objeto real de tamanho 15cm está situado a uma distância de 12cm de uma lente esférica delgada. Verificando-se que a lente forma uma imagem virtual do objeto, cujo tamanho é 5cm, pergunta-se: a) Qual é a distância da imagem à lente? b) Esta lente é convergente ou divergente? Justifique sua resposta. 5- (UnB) – Um objeto é colocado a 60cm de uma lente convergente. Aproximando 15cm o objeto da lente, a imagem obtida fica três vezes maior que a anterior, com a mesma orientação. Determine a distância focal da lente.

RESPOSTAS 1- B 2 - B 3 - C 4 - a) a distância é 4,0cm (nos cálculos vai dar -4,0cm pois a imagem é virtual) b) lente divergente 5 - f=37,5cm

AULA 19

ONDULATÓRIA 1- INTRODUÇÃO Neste capítulo vamos definir e classificar as ondas quanto à sua natureza e estudar alguns fenômenos ondulatórios. 2- DEFINIÇÃO Onda é qualquer perturbação que se propaga em um meio e tem como propriedade fundamental o transporte de energia sem transportar matéria. 3- CLASSIFICASSÃO DE UMA ONDA QUANTO A SUA NATUREZA. Uma onda pode ser classificada quanto a sua natureza, como mecânica e eletromagnética. Uma onda é classificada como mecânica quando ela exige um meio material para se propagar e é classificada como eletromagnética quando ela não exige um meio para se propagar. Como exemplo de onda mecânica, temos o som que só se propaga em meios materiais e como exemplo de onda eletromagnética, temos a luz que não exige um meio material para se propagar. 4- PERÍODO (T) Todo movimento repetitivo é dito periódico. O período (T) é o menor intervalo de tempo para que o movimento comece a sua repetição. Na ondulatória o período e o menor intervalo de tempo para que a perturbação percorra um comprimento de onda (λ). 5- FREQÜÊNCIA (f) A freqüência mede a rapidez com que determinado evento se repete. Na ondulatória a freqüência é a relação entre o número (n) de comprimentos de onda que a perturbação percorre pelo intervalo de tempo gasto (∆t).

tn

f∆

= 6- RELAÇÃO ENTRE FREQÜÊNCIA E PERÍODO. Vamos imaginar uma perturbação que percorreu um único comprimento de onda (n=1). Podemos ainda dizer que o tempo gasto para percorrer tal comprimento de onda foi de um período (∆t=T). Substituindo os dados na equação da freqüência, temos:

T1

f = As unidades de freqüência e período no sistema internacional são:

s)T(unid =

)Hz( hertzs1)f(unid ==

7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ONDULATÓRIA

a é a amplitude da onda. λ é o comprimento de onda (distância percorrida pela perturbação para realizar um oscilação). O ponto mais alto atingido pela perturbação é a crista da onda e o ponto mais baixo é o vale ou depressão.

f.VT

VtS

V λ=⇒λ

=⇒∆∆

=

8- FENOMENOS ONDULATÓRIOS A seguir veremos alguns fenômenos ondulatórios. A ressonância ocorre quando um sistema recebe energia numa freqüência que coincide com uma das freqüências de vibração do sistema.

A difração ocorre quando uma onda contorna uma fenda ou um obstáculo. Este contorno se verifica quando a dimensão do obstáculo ou da fenda é da ordem ou menor que o comprimento de onda. Toda onda sofre difração.

A polarização ocorre quando todos os pontos de um meio passam a vibrar em um único plano. Somente as ondas transversais podem ser polarizadas.

9- QUALIDADES FISIOLÓGICAS DO SOM Altura está relacionada à freqüência do som. O som alto é um som agudo, de alta freqüência. O som baixo é um som grave, de baixa freqüência.

Intensidade está relacionada à amplitude do som. O som forte tem intensidade elevada (volume elevado) e o som fraco tem baixa intensidade (baixo volume).

Timbre está relacionado à forma de onda do som emitido. Permite ao ouvido diferir sons de mesma freqüência e mesma intensidade, emitidos por instrumentos musicais diferentes. 10- EFEITO DOPPLER-FIZEAU O efeito Doppler-Fizeau ocorre devido ao movimento da fonte em relação ao observador ou do observador em relação à fonte ou de ambos. A freqüência recebida pelo observador (aparente) é diferente da freqüência emitida pela fonte (real). Quando observador e fonte se aproximam, a freqüência recebida pelo observador (aparente) é maior que a freqüência emitida pela fonte (real).

Quando observador e fonte se afastam, a freqüência recebida pelo observador (aparente) é menor que a freqüência emitida pela fonte (real).

EXERCÍCIOS 1- (FUVEST) – A fita magnética de um gravador move-se com velocidade constante de módulo 0,10m/s, em relação ao elemento de gravação. De quanto se move a fita durante a gravação de 1 ciclo de um som de 5,0kHz? 2- (FUVEST) – Uma roda, contendo em sua borda 20 dentes regularmente espaçados, gira uniformemente, dando 5 voltas por segundo. Seus dentes se chocam com uma palheta, produzindo sons que se propagam a 340m/s. a) Qual a freqüência do som produzido? b) Qual o comprimento de onda do som produzido? 3- (UNIP) – A ponte de Tacoma, nos Estados Unidos, ao receber impulsos periódicos do vento, entrou em vibração e foi totalmente destruída. O fenômeno que melhor explica esse fato é: a) o efeito Doppler b) a ressonância c) a interferência d) a difração e) a refração 4- (UEL) – Considere a proposição a seguir: “A qualidade que mais diferencia a voz de um homem da de uma mulher é que, geralmente, a do homem é mais ....................e forte que a da mulher, que é mais................e fraca.” A proposição acima se torna fisicamente correta se as lacunas forem preenchidas, respectivamente, por: a) máscula e feminil; b) grave e aguda; c) seca e timbrosa; d) alta e baixa; e) máscula e musical. 5- (UFU) – O efeito Doppler-Fizeau está relacionado com a sensação de: a) variação de altura do som; b) variação de timbre do som; c) aumento de intensidade do som; d) diminuição de intensidade do som; e) constância da altura do som. 6- (PUC) – Uma fonte sonora em repouso, situada no ar em condições normais de temperatura e pressão, emite a nota lá1 (freqüência de 440Hz). Um observador, movendo-se sobre uma reta que passa pela fonte, escuta a nota lá2 (freqüência 880Hz). Supondo que a velocidade de propagação do som no ar tem módulo igual a 340m/s, podemos afirmar que o observador: a) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 340m/s; b) afasta-se da fonte com velocidade de módulo 340m/s c) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 640m/s; d) afasta-se da fonte com velocidade de módulo 640m/s; e) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 880m/s.

RESPOSTAS 1. λ=2,0.10-5m 2. a) f=100Hz b) λ=3,4m 3. B 4. B 5. A 6. A

AULA 20

CARGA ELÉTRICA E CORRENTE ELÉTRICA 1- CARGA ELÉTRICA Como sabemos, os átomos são constituídos por várias partículas elementares e, para o nosso estudo, interessa o elétron o próton e o nêutron. Experimentalmente observou-se que: Nêutron não atraia e nem repelia outro nêutron, um elétron repelia outro elétron, um próton repelia outro próton e um elétron atraia um próton. Do exposto conclui-se que, os comportamentos dos elétrons e dos prótons são opostos, por serem portadores de cargas elétricas de sinais opostos. Por convenção adotaremos carga negativa para elétrons e carga positiva para os prótons. Esta carga que os elétrons e os prótons possuem se diferem somente pelo sinal e é chamada carga elétrica elementar (e). A intensidade da carga elétrica elementar é em módulo igual a 1,6.10-19coulomb. 2- CONDUTORES ELÉTRICOS Condutor elétrico é todo meio material onde as cargas elétricas encontram uma facilidade para se movimentarem. Os condutores podem ser encontrados nos estados sólido, liquido e gasoso. Nos condutores sólidos, os portadores de cargas elétricas são os elétrons. Como exemplo de condutor sólido temos os metais. Nos condutores líquidos, os portadores de cargas elétricas são os íons (cátions e ânions). Como exemplo temos as soluções iônicas. Nos condutores gasosos, os portadores de cargas elétricas são os elétrons e os íons. Como exemplo temos os gases ionizados. 3- ISOLANTES ELÉTRICOS. Isolante elétrico é todo meio material onde as cargas elétricas encontram uma dificuldade para de movimentarem. Como exemplo temos a borracha, a madeira, etc. 4- CORRENTE ELÉTRICA. Em um condutor elétrico metálico, os elétrons livres se movimentam desordenadamente. Quando este condutor é ligado aos pólos de um gerador, os elétrons livres se dirigem para o pólo positivo e o movimento, que era desordenado, passa a ser um movimento ordenado. Então, temos: Corrente elétrica é um movimento organizado de partículas eletrizadas.

5- INTENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA (i) A intensidade de corrente elétrica (i) mede a rapidez com que uma certa quantidade de carga elétrica (Q) atravessa uma secção transversal de um condutor elétrico.

t

Qi

∆=

A unidade da intensidade de corrente elétrica no sistema internacional é o ampère (A).

C)Q( ==

== As/C)i(s)t(

unid unid unid 6- PROPRIEDADE GRÁFICA Quando a intensidade de corrente é variável, o cálculo da quantidade de carga será feito pelo método gráfico. Para demonstrar a propriedade vamos considerar uma intensidade de corrente constante.

7- TENSÃO ELÉTRICA (U) A tensão elétrica (U) mede a quantidade de energia que cada carga unitária retira do gerador ao atravessá-lo. A tensão elétrica também é conhecida como d.d.p. (diferença de potencial). No circuito abaixo, temos uma bateria (gerador) e uma lâmpada. Dizer que a tensão da bateria é de 12V, significa dizer que toda carga unitária que atravessa a bateria retira dela 12 J de energia.

EXERCÍCIOS 1- (UNITAU) – Numa secção transversal de um fio condutor passa uma carga de 10C a cada 2,0s. A intensidade da corrente elétrica neste fio será: a) 5,0mA b) 10mA c) 0,50 A d) 5,0A e) 10A 2- (AFA) – Num fio de cobre passa uma corrente contínua de 20A. Isso quer dizer que, em 5,0s, passa por uma secção reta do fio um número de elétrons igual a: (e=1,6.10-19C) a) 1,25.1020 b) 3,25.1020 c) 4,25.1020 d) 6,25.1020 e) 7,00.1020 3- (UFGO) – Pela Secção reta de um fio, passaram 5,0.1018 elétrons a cada 2,0s. Sabendo-se que a carga elétrica elementar vale 1,6.10-19C, pode-se afirmar que a corrente elétrica que percorre o fio tem intensidade: a) 500mA b) 800mA c) 160mA d) 400mA e) 320mA 4- (UEL-PR) – Uma corrente elétrica, cujo valor está representado no gráfico abaixo, flui num condutor durante 80s. Nesse intervalo de tempo, a carga elétrica, em coulombs, que passa por uma secção transversal do condutor, é igual a: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

500

250

40 800)s(t

)mA(i

5- (UNISA) – A corrente elétrica nos condutores metálicos é constituída de: a) elétrons livres no sentido convencional. a) cargas positivas no sentido convencional. a) elétrons livres no sentido oposto ao convencional. a) cargas positivas no sentido oposto ao convencional. a) íons positivos e negativos fluindo na estrutura cristalizada do metal. RESPOSTAS 1- D 2 – D 3 – D 4 – C 5 - C

AULA 21

LEIS DE OHM E RESISTORES 1- RESISTOR Resistor é todo elemento que tem como função transformar energia elétrica em energia térmica. Este fenômeno é chamado de efeito Joule. Nos esquemas de circuitos os resistores são representados pelos símbolos abaixo.

2- 1ª LEI DE OHM Ohm verificou que a relação entre a tensão elétrica aplicada a um resistor e a intensidade de corrente elétrica que o percorria, era constante quando a temperatura era mantida constante. Esta relação foi chamada de resistência elétrica do resistor. A esses resistores que obedecem a 1ª lei de Ohm, chamamos resistores Ôhmicos.

3- GRÁFICO DO RESISTOR ÔHMICO. Como a relação entre a tensão e a intensidade de corrente elétrica é uma função de primeiro grau diretamente proporcional, a curva que a representa será uma reta crescente passando pela origem.

4- 2ª LEI DE OHM.

Ohm verificou através de inúmeros experimentos que a resistência elétrica de um resistor é diretamente proporcional ao comprimento do resistor e inversamente proporcional à sua área de secção transversal. A constante de proporcionalidade recebe o nome de resistividade elétrica. A resistividade elétrica é característica do material de que é feito o resistor.

5- ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE Associação em série é aquela em que os resistores são associados um em seguida ao outro, de tal forma a serem percorridos pela mesma corrente elétrica.

6- ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO Associação em paralelo é aquela em que os resistores são associados de tal forma a serem submetidos a uma mesma tensão elétrica. Veja que a corrente i se divide em i1 e i2 e que i2 se divide em i3 e i4. Equacionando o circuito, temos:

Na associação em paralelo temos dois casos particulares.

EXERCÍCIOS

1- (USF-SP) – A corrente através de lanterna elétrica e sua pilha é 1,0 ampère e a resistência do filamento é 30 ohms. Qual a tensão elétrica entre os extremos do filamento? 2- (FATEC-SP) – O sistema esquematizado tem resistência equivalente igual a: a) 4,0Ω b) 2,1Ω c) 3,6Ω d)1,6Ω e)n.d.a.

QP

Ω0,3Ω0,9

Ω0,4

Ω17Ω0,5

3- (PUC-SP) – Para o circuito da figura, a resistência equivalente entre os terminais A e B é de: a) 10Ω b) 5,33Ω c) 2,4Ω d) 1,0Ω e) 0,33Ω

A

B

Ω0,3

Ω0,1Ω0,4Ω0,2

4- (FUVEST) – Na associação de resistores da figura abaixo, os valores de i e de R são, respectivamente: a) 8A e 5Ω b) 5A e 8Ω c) 1,6A e 5Ω d) 2,5A e 2Ω e) 80A e 160Ω

Ω20

Ω10

R

A16

iA4

5- (UFPA) – Dado o circuito abaixo, sua resistência equivalente vale: a) 7Ω b) 10Ω c) 3Ω d) 5Ω e) 30Ω

Ω3 Ω2 Ω5

RESPOSTAS 1. U=30V 2. A 3. D 4. A 5. C

AULA 22

GERADORES, RECEPTORES E POTÊNCIA

1- GERADORES ELÉTRICOS Gerador elétrico é todo elemento que transforma energia não elétrica em energia elétrica. Observe que o gerador não gera energia e sim transforma energia. Quando a corrente elétrica atravessa o gerador ela encontra uma certa resistência que iremos chamar resistência interna do gerador. O ideal é que não existisse essa resistência e neste caso, a tensão recebe o nome de força eletromotriz (f.e.m.) que será representada pela letra E. A seguir serão mostradas duas representações para o gerador. Uma que representa o gerador ideal (teórico) e a outra que representa o gerador real (prático).

2- CURTO-CIRCUITO Fechar curto-circuito em um gerador é ligar o pólo positivo ao pólo negativo através de um condutor ideal. Neste caso a d.d.p entre os pólos do gerador é nula e a corrente que percorre o circuito é denominada corrente de curto circuito.

3- GRÁFICO DO GERADOR Para o gerador ideal a tensão não varia com a corrente, portanto, teremos uma reta paralela ao eixo das correntes. Para o gerador real temos U decrescente em função de i (U=E-r.i).

4- LEI DE POUILLET. Note que no circuito abaixo a tensão fornecida pelo gerador é recebida pelo resistor. Igualando a equação do gerador com a 1ª lei de Ohm, temos:

5- ASSOCIAÇÃO DE GERADORES EM SÉRIE Associação em série é aquela em que os geradores são associados um em seguida ao outro, de tal forma a serem percorridos pela mesma corrente elétrica. Assim a f.e.m. equivalente é a soma das f.e.m. e a resistência interna equivalente é a soma das resistências internas. .

6- ASSOCIAÇÃO DE GERADORES EM PARALELO Na associação de geradores em paralelo vamos considerar todos geradores iguais. Nesta associação a f.e.m. equivalente é a f.e.m. de cada gerador e a resistência interna equivalente é a resistência interna de cada gerador dividida pelo número de geradores associados.

7- RECEPTORES ELÉTRICOS Receptor é todo elemento que transforma energia elétrica em energia não elétrica. O receptor também não é ideal, apresentando também uma certa resistência interna. A seguir, veja a representação do receptor.

E’ é a f.c.e.m. (força contra-eletromotriz) e r’ é a resistência interna. 8- GRÁFICO DO RECEPTOR ELÉTRICO Para os receptores U cresce com i, portanto, a curva gráfica é uma reta crescente.

9- CIRCUITO ELÉTRICO Note que no circuito abaixo a tensão fornecida pelo gerador é recebida pelo resistor e pelo receptor. Igualando a tensão fornecida com a soma das tenções recebidas, temos:

10- POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA A potência elétrica mede a rapidez com que a energia elétrica é fornecida por um gerador ou consumida por um receptor ou um resistor.

tP el

ot ∆ε

=

Sendo Q

U elε= e

tQ

i∆

= , vem:

Q.Uel =ε e , daí t.iQ ∆= t.i.Uel ∆=ε

logo: tt.i.U

Pot ∆∆

=

i.UPot =

11- POTÊNCIA ELÉTRICA DISSIPADA PELO RESISTOR

12- UNIDADES

EXERCÍCIOS 1- (F.M. ITAJUBÁ) – O gráfico ao lado mostra como varia a corrente que passa por um gerador, em função da diferença de potencial que existe entre seus terminais. Sua força eletromotriz e sua resistência interna valem, respectivamente: a) 6V e 30Ω b) 30V e 5Ω c) 30V e 6Ω d) 30V e 25Ω e) n.d.a.

30

60

)V(U

)A(i

2- (ITAJUBÁ-MG) – Uma bateria possui uma força eletromotriz de 20,0V e uma resistência interna de 0,500 ohm. Se intercalarmos uma resistência de 3,50 ohms entre os terminais da bateria, a diferença de potencial entre eles será: a) 2,50V b) 5,00V c) 1,75.10V d) 2,00.10V e) um valor ligeiramente inferior a 2,00.10V

3- (PUC-SP) – No circuito da figura, a diferença de potencial VA-VB, com a chave K aberta, tem valor: a) 35V b) 20V c) 15V d) 5V e) zero

Ω3

Ω2V15

V20

K

A B

4- (AFA) – Um gerador fornece a um motor uma ddp de 440V. o motor tem resistência interna de 25Ω e é percorrido por uma corrente elétrica de 400mA. A força contra-eletromotriz do motor, em volts, é igual a: a) 375 b) 400 c) 415 d) 430 5- (FUVEST) – Um chuveiro elétrico, ligado em média uma hora por dia, gasta R$ 10,80 de energia elétrica por mês. Se a tarifa cobrada é de R$ 0,12 por quilowatt-hora, então a potência desse aparelho elétrico é: a) 90W b) 360W c) 2.700W d) 3.000W e) 10.800W RESPOSTAS 1. B 2. C 3. B 4. D 5. D

AULA 23

ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELETROSTÁTICA 1- CORPO ELETRIZADO Um corpo está eletricamente neutro quando os seus átomos possuem iguais quantidades de elétrons e prótons. Sabemos ainda que podemos retirar ou acrescentar elétrons na eletrosfera de um átomo, transformando-o num íon. Quando retiramos elétrons de alguns átomos de um corpo, estes átomos se tornam íons positivos (cátions) e, portanto, o corpo estará eletrizado positivamente. Quando acrescentamos elétrons a alguns átomos de um corpo, estes átomos se tornam íons negativos (ânions) e, portanto, o corpo estará eletrizado negativamente.

2- ELETRIZAÇÃO POR ATRITO Quando atritamos dois corpos de substâncias diferentes, inicialmente neutros, um deles perde elétrons e o outro recebe elétrons. Desta forma eles se eletrizam com cargas de sinais opostos. O corpo que perde elétrons se eletriza positivamente e o que recebe elétrons se eletriza negativamente.

Existe uma seqüência que nos informa o sinal da carga que cada corpo adquire após o atrito, que depende da substância que constitui cada corpo. Quando atritarmos dois corpos, o que é constituído com substância que está mais acima na seqüência fica positivo e o outro fica negativo.

3- ELETRIZAÇÃO POR CONTATO Quando encostamos um corpo neutro, constituído de material condutor, num corpo eletrizado, ocorre passagem de elétrons de um corpo para o outro e o corpo neutro se eletriza.

Veja que após o contato os corpos ficam eletrizados com cargas de sinais iguais. Em particular se os corpos forem esféricos, metálicos e idênticos, a distribuição será uniforme.

4- ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO. Na eletrização por indução, temos um corpo eletrizado (A) que será denominado indutor e um corpo inicialmente neutro (B), constituído de material condutor, que será denominado induzido.

Ao aproximarmos o corpo A do corpo B, as cargas elétricas de B se separam ocorrendo aí a indução eletrostática. Se afastarmos o corpo A do corpo B, as cargas de B se juntam novamente. Para que haja a eletrização, devemos contar com um agente externo como, por exemplo, um aterramento. Se o aterramento for feito enquanto as cargas de B estão separadas devido a presença de A, elétrons irão subir e ainda na presença de A desligamos o aterramento de modo que o o corpo B fique eletrizado.

Na eletrização por indução, os corpos A e B terão cargas de sinais opostos.

5- FORÇA ELETROSTÁTICA – LEI DE COULOMB Como sabemos cargas de sinais opostos se repelem e cargas de sinais iguais se atraem. As forças de atração e repulsão entre cargas podem ser calculadas através da lei de Coulomb, mostrada a seguir.

Note que k0 é a constante eletrostática do vácuo e seu valor foi dado acima. Quando o meio que separa as cargas não for o vácuo, a constante eletrostática terá outro valor. Lembre-se que a força é dada em N (Newton) A relação gráfica entre a força eletrostática e a distância que separa as cargas é mostrada a seguir.

EXERCÍCIOS 1- (FCC-BA) – Considere duas esferas metálicas idênticas. A carga elétrica de uma é Q e da outra é -2Q. Colocando-se as duas esferas em contato, a carga da esfera que estava, no início, carregada positivamente fica igual a: a) 3Q/2 b) Q/2 c) –Q/2 d) -3Q/2 e) –Q/4 2- (PUC) – Os corpos eletrizados por atrito, contato e indução ficam carregados com cargas de sinais:

a) iguais, iguais e iguais b) iguais, iguais e contrários c) contrários, contrários e iguais d) contrários, iguais e iguais e) contrários, iguais e contrários

3- (FUVEST) – Duas partículas, eletricamente carregadas com +8.10-6C cada uma, são colocadas no vácuo a uma distância de 30cm, onde k0=9.109N.m2/C2. a força de interação eletrostática entre essas cargas é:

a) de repulsão e igual a 6,4N. b) de repulsão e igual a 1,6N. c) de atração e igual a 6,4N. d) de atração e igual a 6,4N e) impossível de der determinada.

4- (U.F.JUIZ DE FORA) – Duas esferas igualmente carregadas, no vácuo, repelem-se mutuamente quando separadas a uma certa distância. Triplicando a distância entre as esferas, a força de repulsão entre elas torna-se:

a) 3 vezes menor b) 6 vezes menor c) 9 vezes menor d) 12 vezes menor e) 9 vezes maior

5- (AFA) – Duas esferas iguais, carregadas com cargas +16µC e -4µC são colocadas em contato uma com a outra e, depois, separadas pela distância de 3,0cm. A intensidade da força de repulsão, em newtons, entre elas será: (k0=9.109uSI)

a) 19 b) 50 c) 160 d) 360 e) 540 RESPOSTAS 1. C 2. E 3. A 4. C 5. D

AULA 24

CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO 1- CAMPO ELÉRTRICO Campo elétrico é uma região do espaço modificada (perturbação eletrostática) pela presença de um corpo eletrizado (carga fonte).

Considere Q a carga fonte ao redor da qual teremos o campo elétrico e q a carga de prova. Note que quando a carga de prova é colocada numa região onde existe o campo elétrico, atua sobre esta carga, uma força eletrostática. 2- VETOR CAMPO ELÉTRICO (E) O vetor campo elétrico é usado para definir a direção, a intensidade e o sentido do campo elétrico. Considere uma carga de prova numa região de campo elétrico, sofrendo ação de uma força eletrostática. A definição do vetor campo elétrico é dada a seguir.

3- RELAÇÃO GRÁFICA

4- DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR CAMPO ELÉTRICO (E) A direção do vetor campo elétrico em um ponto, é a direção da reta que une este ponto ao centro da carga fonte. O sentido do vetor campo elétrico depende do sinal da carga fonte. Veja que se a carga fonte é positiva, ao aproximarmos dela uma carga de prova positiva, esta sofrerá repulsão e se a carga de prova for negativa, esta sofrerá atração. Observe ainda que se a carga de prova é positiva, a força eletrostática e o vetor campo elétrico têm a mesma direção e o mesmo sentido e, se a carga de prova for negativa, a força eletrostática e o vetor campo elétrico têm a mesma direção e sentidos opostos. Daí, concluímos que independentemente do sinal da carga de prova, o campo será de afastamento se a carga fonte for positiva e analogamente será de aproximação se a carga fonte for negativa.

5- CAMPO ELÉTRICO GERADO POR DUAS OU MAIS CARGAS PUNTIFORMES. Quando duas ou mais cargas geram o mesmo campo elétrico, o vetor campo elétrico em um ponto é dado pela soma vetorial dos vetores produzidos por cada carga.

6- ENERGIA POTENCIAL (εp) Quando duas cargas são fixadas próximas uma da outra, surge a força eletrostática que pode ser de atração ou Repulsão. Existe aí também uma energia potencial armazenada no sistema que poder ser calculada como mostra a equação abaixo.

Lembre que a constante eletrostática no vácuo é K0=9,0.109 N.m2/C2. 7- POTENCIAL ELÉTRICO (V) O potencial elétrico mede o nível de energia potencial associado a um ponto do campo elétrico. Observe que o potencial elétrico só depende da carga fonte, ou seja, se a carga fonte for positiva o potencial é positivo e se a carga fonte for negativa o potencial é negativo.

Lembre: - o potencial é uma grandeza escalar - a constante eletrostática no vácuo é K0=9,0.109 N.m2/C2. 8- RELAÇÃO GRÁFICA Sendo o potencial elétrico inversamente proporcional à distância, temos:

9- POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR VÁRIAS CARGAS O potencial elétrico num ponto P pertencente a um campo elétrico gerado por várias cargas é a soma algébrica dos potenciais individuais de cada carga.

10- TRABALHO DA FORÇA ELÉTRICA Uma carga q é transportada de um ponto A para um ponto B, pertencentes a um campo elétrico. As forças elétricas que atuam nessa carga realizam um trabalho dado por:

EXERCÍCIOS

1- (MACKENZIE) – Sobre uma carga elétrica de 2,0.10-6C colocada em certo ponto do espaço, age uma força de intensidade 0,80N. Despreze as ações gravitacionais. A intensidade do campo elétrico nesse ponto é:

a) 1,6.10-6N/C b) 1,3.10-5N/C c) 2,0.103N/C d) 1,6.105N/C e) 4,0.105N/C

2- (MACKENZIE) – O campo elétrico 1Er

de uma carga puntiforme Q, a uma distância d, tem

intensidade x. Portanto, o campo elétrico 2Er

, de outra carga elétrica 4Q, a uma distância 2d, tem intensidade:

a) 4x

b) 2x

c) x d) 2x e) 4x

3- (UNICAP) – Uma carga de -2,0.10-9C está na origem de um eixo x. A diferença de potencial entre x1=1,0m e x2=2,0m (em V) é: a) +3 b) -3 c) -18 d) +18 e) -9 4- (UNIRIO) – A figura abaixo mostra duas cargas elétricas puntiformes Q1=+1.10-6C e Q2=-1.10-6C localizada nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado d=0,3m. O meio é o vácuo, cuja constante eletrostática é k0=9.109N.m2/C2. O potencial elétrico e a intensidade do campo elétrico resultante no ponto P são, respectivamente:

a) 0V; 1.105 N/C b) 0V; 3 .105 N/C c) 3.104 V; 3 .105 N/C d) 6.104 V; 1.105 N/C e) 6.104 V; 2.105 N/C

1Q 2Q

P

d

dd

5- (MAUÁ) – Entre dois pontos A e B existe uma diferença de potencial eletrostático VA-VB=+40V. Uma carga puntiforme q=1,5.10-8C é deslocada do ponto A até o ponto B, sobre a reta AB, vagarosamente:

a) Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico nesse deslocamento e explique o significado do seu sinal algébrico. b) seria possível calcular o trabalho realizado se a partícula se deslocasse de A para B porém não sobre a reta AB? Por quê?

RESPOSTAS 1. E 2. C 3. E 4. A 5. a) τ=6,0.10-7J b) Sim, pois o trabalho independe do formato da trajetória.

AULA 25

CAMPO MAGNÉTICO E DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA NO C.M.U. 1- ÍMÃ Os ímãs são corpos que se diferenciam por apresentar algumas propriedades que comentaremos a seguir. Um ímã atrai pedaços de ferro e possui dois pólos denominados norte e sul. Esta nomeação se deve ao fato de que quando suspenso pelo seu centro de gravidade seus extremos apontam sempre na direção dos pólos norte e sul geográfico. A extremidade que aponta para o pólo norte é denominada pólo norte e a extremidade que aponta para o pólo sul é denominada pólo sul.

Pólos iguais se repelem e pólos diferentes se atraem.

Quando um ímã é quebrado, obtêm-se dois novos ímãs.

2- LINHAS DE INDUÇÃO Quando colocamos fragmentos de ferro em volta de um ímã, esses fragmentos formam linhas curvas que vão de um pólo a outro. Esse alinhamento permite uma visualização de uma região modificada por um ímã, denominada campo magnético. A essas linhas chamamos linhas de indução. As linhas de indução serão orientadas no sentido norte-sul, ou seja, saem do norte e chegam no sul.

3- VETOR INDUÇÃO MAGNÉTICA ( B ) O vetor indução magnética será associado a cada ponto para indicar a intensidade, a direção e o sentido do campo magnético naquele ponto. A direção é sempre tangente à linha de indução. O sentido é o mesmo da linha de indução, isto é, sai do norte e chega no sul.

O campo magnético uniforme é aquele que tem o vetor indução magnética constante, ou seja, mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido. O campo magnético uniforme pode ser:

4- FORÇA MAGNÉTICA DE LORENTZ. Sabe-se que quando uma carga elétrica penetra num campo magnético, pode atuar sobre ela uma força magnética a qual chamamos força magnética de Lorentz. Se a carga entra no campo magnético, de fo ma que sua velocidade tem direção formando um

ângulo com o vetor indução magnética (Br

θr

), agirá sobre esta carga uma força magnética que terá as seguintes características:

A ireção desta força é perpendicular ao vetor indução magnética (d Br

) e ao vetor velocidade

( Vr

).

O sentido desta força será determinado pela regra da mão esquerda, como mostra a figura abaixo.

Observação:

- Se a carga for positiva, o sentido da força obedece ao sentido orientado pela mão esquerda. - Se a carga for negativa, o sentido da força será oposto ao indicado pela regra da mão esquerda.

A intensidade da força é dada pela expressão a seguir:

5- CONDUTOR RETILÍNEO IMERSO NO CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Quando um condutor retilíneo, de comprimento L, é colocado num campo magnético uniforme,

formando um ângulo θ com o vetor indução magnética Br

, age sobre ele uma força magnética, quando ele estiver sendo percorrido por uma corrente elétrica i. O módulo desta força é dado a seguir:

O sentido desta força também será determinado pela regra da mão esquerda e sua direção é

sempre perpendicular ao vetor Br

e ao condutor, como mostra a figura abaixo.

6- MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA ELETRIZADA NUM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Quando uma partícula eletrizada penetra numa região de campo, pode atuar sobre ela uma força magnética. A seguir veremos alguns casos particulares de movimento de uma partícula eletrizada no campo magnético uniforme. No primeiro caso a partícula penetra no campo paralelamente às linhas de indução e neste

caso o campo não age na partícula ( 0Fm

rr= ). Estando a partícula em equilíbrio, seu

movimento será retilíneo e uniforme.

No segundo caso a partícula penetra no campo perpendicularmente às linhas de indução e neste caso o campo age na partícula e a força magnética atua como resultante centrípeta

( CPm FFrr

= ), por ser constante e perpendicular à velocidade. Estando a partícula sob ação de

uma resultante centrípeta, seu movimento será circular e uniforme. Sendo o movimento circular, podemos calcular o raio da trajetória e o período do movimento.

Observe que o período independe do raio, portanto, se o raio da trajetória aumenta ou diminui o período continua o mesmo. Veja que isso é possível pois aumentando ou diminuindo o raio a velocidade e que vai aumentar ou diminuir. No terceiro caso a partícula penetra no campo obliquamente às linhas de indução. Neste caso o

campo age na partícula e a força magnética depende do ângulo entre os vetores Vr

e Br

. Fica fácil analisar este movimento, decompondo a velocidade em duas direções: uma perpendicular e outra paralela às linhas de indução. Então voltamos aos casos anteriores onde a componente perpendicular da velocidade faz realizar um movimento circular e uniforme e a componente paralela da velocidade permanece constante e nesta direção o movimento é retilíneo e uniforme. A composição desses movimentos resulta em um movimento helicoidal, como mostra a figura abaixo.

EXERCÍCIOS

1- (PUC) – ma partícula carregada penetra num campo de indução magnética BUr

, com

velocidade Vr

, ficando sujeita à força Fr

. Em relação aos vetores Vr

, Br

e Fr

, podemos afirmar:

a) Fr

perpendicular a Vr

e paralelo a Br

b) Fr

perpendicular a Br

e paralelo a Vr

c) Fr

perpendicular a Br

e a Vr

d) Fr

paralelo a Vr

e a Br

e) Vr

perpendicular ao plano determinado por Br

e Fr

2- (UFRS) – Uma pequena bússola é colocada próxima a um ímã permanente. Em quais das posições assinaladas na figura a extremidade norte da agulha apontará para o alto da página?

a) Somente em A ou D. b) Somente em B ou C. c) Somente em A,B ou D. d) Somente em B,C ou D. e) Em A,B,C ou D.

A

CB

D

S

N

3- (UNIP) – Duas partículas A e B, eletrizadas com a mesma carga q, descrevem movimento circular uniforme, no interior de um mesmo campo magnético uniforme, sob ação exclusiva da força de origem magnética. As partículas têm velocidades com módulos iguais e descrevem circunferências de mesmo raio. A partícula A tem massa MA e energia cinética EA e a partícula B tem massa MB e energia cinética EB. Podemos afirmar que:

a) MA=MB e EA=EB

b) as razões MA/MB e EA/EB estão indeterminadas. c) MA=MB e a razão EA/EB está indeterminada. d) EA=EB e a razão MA/MB está indeterminada. e) MA/MB ≠ EA/EB

4- (MACKENZIE) – Um corpúsculo eletrizado com carga +q, que é lançado perpendicularmente às linhas de indução de um campo magnético uniforme, tem movimento circular uniforme de período T. Se lançarmos o mesmo corpúsculo nesse campo, na mesma

condição, porém eletrizado com carga duas vezes maior e velocidade igual à metade da anterior, o período do M.C.U. descrito será: a) T/2 b) 3.T/2 c) T d) 2.T e) 4.T 5- (MACKENZIE) – Um condutor retilíneo de comprimento 0,5m é percorrido por uma corrente de intensidade 4,0A. O condutor está totalmente imerso num campo magnético de intensidade 10-3T, formando com a direção do campo um ângulo de 300. A intensidade da força magnética que atua sobre o condutor é:

a) 103N b) 2.10-2N c) 10-4N d) 10-3N e) Nula RESPOSTAS

1. C 2. A 3. A 4. A 5. D