PROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 1 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 1 UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA DEPARTEAMENTO DE ADMINISTRAO E ECONOMIA PROBABILIDADE E ESTATSTICA PROF. Ms. ARMANDO ANDREAZZA Ma te m tic o -Me stra d oe mEc o n o m ia - UFRGS/2 0 0 3An a listad eVa l o re s Mo b ili rio s-APIMEC /C VM-2 0 0 5Ag e n teAut n o m o d eIn ve stim e n to s-2 4 -1 1 -2 0 0 4e-mail: armando@via-rs.net Home Page: www.andreazza.com RESUMO DOS CONTEDOS EEXERCCIOS PRTICOS 01020304050607080901 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4 Trim. Caxias do Sul, maro de 2005.PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 2 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 2 PROBABILIDADE e ESTATSTICA Prof. Armando Andreazza CAPTULO 1 CLCULO DAS PROBABILIDADDES 1) PROBABILIDADE : omodelomatemticoconstrudoparaestudarosfenmenosaleatrios.Sabemosda importncia dos experimentos da cincia e da engenharia. 2)FENMENOS: A) DETERMINSTICOS: So aqueles cujas mesmas causas geram os mesmos efeitos. EX.: 1) fenmenos de fsica.2) gravidade, corrente eltrica. B) ALEATRIOS: (determinsticos ou estocsticos): So aqueles cujas mesmas causas geram efeitos diferentes. Ex.: 1) sorteios2)loterias3)produo de peas.4) pesquisas5) jogos de dados 3)EXPERIMENTOS: SMBOLO: EExperimentos: LANAR A MOEDA : JOGAR UM DADO -Secaracterizampelofatodenosepoderdizemdeantemoqualseroresultadoque acontecer. -oresultadosserconhecidoapsarealizaodoexperimento,emborasejamconhecidos antecipadamente os seus possveis resultados. Ex.: 1)lanamento de uma moeda: cara(C) e coroa(K) {C,K}. 2)jogar um dado: pode resultar as faces {1,2,3,4,5,6}. 3)mquina que fabrica parafusos: resultados {defeituoso, no defeituoso} 4)medir "durao da vidade uma lmpada: {0 < t < 6.000} 4) ESPAOAMOSTRAL:Smbolo: S No. de elementos do espao: n(S). o conjunto formado por todos osresultados possveis de um experimentoaleatrio Total de Resultados Possveis:2n

Ex.: 1) jogar um dado.S = {1,2,3,4,5,6}N(S) = 6 2) jogar duas moeda. S = {cc, ck, kc, kk}N(S) = 4 Nos exemplos, abaixo, calcule o valor deSe N(S): 1)Loteria Esportiva :_____________________ 2)O sexo de um beb no 1ms de vida?:____________________________3)Verificar fusvel:____________________________________________________ 4)Contagem de chamadas telefnicas p/hora.:_______________________________ 5)Jogar 2 dados.:________________________________________________ 5)EVENTOS:A,B,C,...UmeventoumsubconjuntoAdoespaoamostralS,i.,um conjunto de resultados possveis. Evento qualquer subconjunto do espao amostral.Ex.: Seja um DADOeventos so as faces PARES. Assim, se A e B so eventos, ento 1.AUB um evento A, ou b, ou ambos. 2.AI B o evento A e B. 3.A o evento no-A. 4.A B o evento A , mas no-B. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 3 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 3 6)TIPOS DE EVENTOS: 1EVENTOS SIMPLES: formado por um elemento. 2-EVENTOS COMPOSTOS: formado por 2 ou + eventos 3-EVENTOS CERTOS: sempre ocorre na realizao do evento 4-EVENTOS IMPOSSVEIS: nunca ocorre na real. do evento. 5-EVENTOS COMPLEMENTARES: formado por todos os elementos do espaoamostral(S),que no pertencem a A. 0 A A ou S A A 6-EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: No podem acontecer ao mesmo tempo e no possuem elementos comuns. Ex.: 1) Moeda: { Cara(C); Coroa(K)} 2) Fusvel: { Queimado; Bom} 7- EVENTOS INDEPENDENTES: Podem acontecer simultaneamente,um no depende do outro. Ex.: 1)duas moedas:cara(C)e coroa(K) 2)dois fusveis: bom e bom. 8- EVENTOS DEPENDENTE OU CONDICIONAIS: -Quandooaparecimentodeumdelesestivercondicionado,vinculadooudependerdo aparecimento anterior do outro. ex.:1) jogar 1 moedae considerar 3 casos:3 coroas sucessivas. 2)sejaumaurnacom30bolas:retirarumabolasupondoquesejaimpar:qualaprob.da prxima ser mltiplo de 3 ?de 5? 9-EVENTO SOMA:A+B OU AUB: a unio de dois ou mais conjuntos. A = {2,3) B = {4} AUB= {2,3,4}. o evento que ocorre se A ou B ou ambos ocorrem. 10-EVENTO PRODUTO:B A ou B A int - a interseo deconjuntos. - o evento que ocorre se A e B ocorrem. - Ex.: lanar um dado :A = {2,3,5}(Facecomnmeros primos) B = {2} (par } A inter B = {2} (Primo e Par) CONCEITO DE PROBABILIDADE Emqualquerexperimentoaleatrio,hsempreumaincertezaquantoaocorrncia,ouno,de determinado evento. -SejaoespaoamostralS.AprobabilidadedeocorreroeventoA.P(A)umafunodefinida no S(espao amostral) que associa a cada evento um nmero real, satisfazendo os seguintes axiomas: I) 1 ) ( 0 A PII) P(C)= 1III) P(I) = 0IU) P(AUB)=P(A)+P(B)Paraeventos mutuamente exclusivos (A/\B = 0) PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 4 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 4 DEFINIO CLSSICA DE PROBABILIDADE: ( A PRIORI)

) () () (S NA NA P

POSSVEIS CASOS NoFAVORVEIS CASOS NoA P..) ( DEFINIO DE PROBABILIDADE PROCESSO DE FREQNCIA (A POSTERIORI). N ondeNfiLim A P , ) ( Se aps N repeties de um experimento se observam fi repeties de um determinado evento ento a probabilidade fi/n oufi= fi/n ouP(A)= fi/n TEOREMAS PRINCIPAIS I)TEOREMAS DA SOMA: 1) P( B A ) = P(A) + P(B)para dois eventos mutuamente excludentes2) P( B A ) = P(A) + P(B) P( B A )quando B Aeventos quaisquer II) TEOREMAS DO PRODUTO 3) P( B A ) =P(A).P(B) INDEPENDNCIA ESTATSTCA. 4) P( B A ) =P(A) P(B/A) PROBABILIDADE CONDICIONAL P( B A ) = P(B) P(A/B) ) / ( ) ( ) () () () / ( B A P B P B A PB PB A PB A P II ) / ( ) ( ) () () () / ( A B P A P B A PA PB A PA B P II III) TEOREMA COMPLEMENTAR

) ( 1 ) ( A P A P OBS.:Para 3 eventos quaisquer: A, B e C 1) P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P( B A ) - P( C A ) - P( C B ) + + P( C B A ) 2) Para quaisquer eventos A e B: P(A)=P( B A )+P( B A ) PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 5 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 5 VI) TEOREMA DE BAYES Se A1, A2,...,An, N eventos mutuamente exclusivos, cuja unio o espao amostral S, isto , um dos eventos deve necessariamente ocorrer, ento, se Aumevento, temos o seguinte teorema:

) / ( ). ( ... ) / ( ). () / ( ). () / (1 1 n ni iiA B P A P A B P A PA B P A PB A P+ +

Ex.: 1- Tomamos duas caixas iguais.Na 1 h 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2. 1 branca e 4 pretas.Escolhe-se uma caixa ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que branca. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extrada a bola seja a 1.? COR\ CAIXA CAIXA 1CAIXA 2 BRANCA31 PRETA74 1 SELECIONAR A BOLA BRANCA 2 P(C1), P(C2):SELECIONAR CAIXA. P(C1) =1/2. P(C2)=1/2. P(B/C1)=3/10P(B/C2)=1/5. ) / ( ). ( ) / ( ). () / ( ). () / (2 2 1 11 11C B P C P C B P C PC B P C PB C P+

6 , 0535 / 1 . 2 / 1 10 / 3 . 2 / 110 / 3 . 2 / 1) / (1 + B C P Ex.: 2 Vejamos a seguinte aplicao: CORES \URNASU1 U2 U3 PRETAS344 BRANCAS133 VERMELHAS521 998 Questes: -Escolher uma urna ao acaso e dela extrair uma bola. Verifica-se que branca. qual aprobabilidade de ter vinda da urna: a) U2b) U3 A) Resp.:P(Ui) = 1/3 poisP(U1) = P(U2) = P(U3). P(Br/U1)= 1/9 P(Br/U2)= 3/9P(Br/U3)=3/8 4068 , 059248 / 3 . 3 / 1 9 / 3 . 3 / 1 9 / 1 . 3 / 19 / 3 . 3 / 1) / (2 + + Br U PB) Resp.:P(U3/Br)=27/59=0,457 EXERCCIOS - SRIE I - CAPTULO 1 PG. 231. Lance um dado e uma moeda. a) Construa o espao amostra b) Enumere os seguintes eventos A = {coroa, marcado por nmero par} B = {cara, marcado por nmero mpar} C = {mltiplos de 3} c) Expresse os eventos I) BII) A ou B ocorremIII) B e C ocorremIV) B A=B A d) Quais dos eventos A, B e C so mutuamente exclusivos? PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 6 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 6 2. Se P(A) = 1/2; P(B) = 1/4 e A e B mutuamente exclusivos, calcular: a) P( A ) b) P( B ) c) P(AB) = d) P(AB) = e) P( B A ) =P(B A ) =1 - P(AB)a 1Lei de Morgan f)) ( ) ( B A P B A P = 1 -P(AB)a2Lei de Morgan3. Se P(A)=1/2; P(B)=1/3 e P(AB)= 1/4 Calcule: a) ) ( B A P = b)) ( B A P = c)) ( B A P = 4. Determine a probabilidade de cada evento: a) um nmero par aparece no lanamento de um dado no viciado; b) um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho; c) pelo menos uma cara aparece no lanamento de 3 moedas; d) pelo menos uma cara aparece no lanamento de "n" moedas; e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho; f) uma carta de copas e uma de ouro aparecem ao extrarem-seduascartas de um baralho. 5. Um nmero inteiro escolhido aleatoriamente dentre os nmeros 1, 2, 3..., 50. Qual a probabilidade de: a) o nmero ser diviso por 5; b) terminar em 3; c) ser primo; d) ser divisvel por6 ou por8. 6. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quandoretiramos uma carta de um baralho? 7. Dois dados so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) a soma ser menor que 4; b) a soma ser 9; c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo. 7 8. Numa urna so misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas so retiradas (a, b)sem reposio. Qual a probabilidade de a + b = 10? 9. Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e duas comdefeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela no tenha defeitos graves; b) ela no tenha defeitos; c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 10. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peas ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita. 11)Uma urna contm 5 bolas brancas e 6 pretas. Trs bolas soretiradas. Calcular a probabilidade de: a) todas pretas; b) exatamente uma branca; c) ao menos uma preta. 12.Numaclasseexistem5alunosdo4 ano,4do2 anoe3do3ano.Qualaprobabilidadedeserem sorteados 2 alunos do 2 ano, 3 do 4 ano e 2 do 3? PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 7 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 7 13. Numa urna existem N bolas assim distribudas: Nv (quantidade debolas vermelhas);Na (quantidade de bolas azuis) e Np (nmero de bolaspretas). Qualaprobabilidadederetirarmos n bolas; sendoNv(n debolas vermelhas); Na (n de bolas azuis) e Np (n de bolas pretas). EXERCCIOS SRIE II CAPTULO 1 PG.30 1. Dado P(A) = 1/2;P(B)=1/3 ;) ( B A P =1/4, calcular: a)); ( B A P b) P(A/B);c)P(B/A);d)]; / ) [( B B A P 2. Faa A e B serem eventos com P(A)= 1/2 ; P(B)= 1/3 e P(AB)=1/4 Encontre). / ( ) / ( A B P e B A P 3. Qual a probabilidade de que r pessoas faam aniversrio em dias distintos?

4. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty so respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma nica vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar; c) todos errarem. 5.Aprobabilidadede fechamento de cada rel do circuito apresentado abaixo dada por p. Se todos os rels funcionaremindependentemente, qual ser a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R? +----------| |----------||-----------+ L|1 2| R .--- -----| |- ------. | | ----------||--------| | ------------- 34 6.Uma urna contm 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e3pretas.Outra contm 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhase7pretas.Umabolaretiradadecadaurna.Qualaprobabilidadedequeasduasbolas sejam da mesma cor? 7. Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 d 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50?

8.Uma urna contm 5 bolas pretas, trs vermelhas e duasbrancas.Foram extradas 3 bolas com reposio. Qual a probabilidade de teremsidoduas bolas pretas e uma vermelha? 9.Aurnan1contm:1bolavermelhae2brancas.Aurnano.2contm:2bolasvermelhase1branca. Tiramosaleatoriamenteumaboladaurnan1,colocamosnaurnan2e misturamos.Emseguidatiramos aleatoriamente uma bola da urna n2. Qual a probabilidade de tirarmos uma bola branca da urna n2? 10.Aurna1contm"x"bolasbrancas,e"y"bolas vermelhas.Aurna2contm"z"bolasbrancase"v" vermelhas. Uma bola escolhida ao acasoda urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola escolhida ao acaso da urna 2. Qual sera probabilidade de que esta bola seja branca? 11. Uma contm 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas.So feitas retiradas aleatrias. Cada bola retirada resposta, juntamente com 5 bolas damesmacor. Qual a probabilidade de sarem nessa ordem:1preta,1preta,1vermelha,1vermelha?Enestaordem:1preta,1vermelha,1preta,1vermelha?Dadoquea primeira bola preta, qual a probabilidade de que a segunda seja preta? 12.Uma caixa A contm 8 peas, das quais 3 so defeituosas e uma caixaB contm5peas,dasquais2sodefeituosas.Umapea retirada aleatoriamente de cada caixa: I) Qual a probabilidadepdequeambasaspeasnosejamdefeituosas? II) Qual a probabilidade p de que uma pea seja defeituosaeaoutra no? III) Se uma pea defeituosa e a outra no, qual a probabilidadep de que a pea defeituosa venha da caixa A? PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 8 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 8 13. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos 3/4 e de seu marido 3/5. Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo;b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos. 14. Umaurna A contm 4 bolas: 2 brancas, 2pretas; uma urna Bcontm5 bolas: 3 brancas, 2 pretas. UmabolatransferidadeAparaB.UmabolaretiradadeBeverificadaserbranca.Quala probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca?

15. So dadas duas urnas A e B. A urna A contm uma bola preta e uma vermelha. A urna B contm duas bolas pretas e trs vermelhas. Uma bola escolhida ao acaso na urna B. Uma bola ento extrada ao caso, da urna B. Pergunta-se: a)Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor? b)Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a Segunda foi preta? 16. Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor so colocadas na urna. Uma Segunda bola ento selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que: I) a segunda bola seja vermelha; eIII)ambas as bolas sejam da mesma cor. 17. Recorrendo-se ao problemaprecedente: I)se a segundabola vermelha, qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha? II) se ambas so da mesma cor, qual a probabilidade de que sejam brancas? 18)A urna A contm X bolas vermelhas e Y bolas brancas e a urna B contm Z bolas vermelhas e V bolas brancas. I) Seumaselecionadaaoacaso,eumabola retirada,qualaprobabilidadedequeabolaseja vermelha II) Se uma bola retirada da urna A e colocada na urna B, e uma bola retirada da urna B, qual a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha? 19)Uma urna contm X bolas brancas e Y bolas pretas. Extraem-se todas elas.Qual a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e as pretas ? 20)Seja E: lanar dois dados, e A = {(x1, x2)/x1+x2=8}B={(x1,x2)/x1= x2)} Calcular:a) P(A/B) TEOREMA DE BAYES 21.Temos duascaixas: na primeira h 3 bolas brancas e 7pretasena 2.,1bolabrancae 5 pretas. De umacaixaescolhidaaoacaso, seleciona-seuma bola e verifica-se que preta. Qual aprobabilidadede que a caixa de onde for extrada a bola seja a primeira? e a segunda? 22.AprobabilidadedeumindivduodeclasseAcomprarumcarro3/4,deB1/6edeC1/20.a probabilidade do indivduo de classe A comprarum carro damarca D 1/10; de B comprar da marca D 3/5 edeC3/10.Emcertalojacomprou-seumcarrodamarcaD.Qualaprobabilidadedequeo indivduo da classe B o tenha comprado? 23.Emcertocolgio,5%doshomense2%dasmulherestm maisdoque1,80mdealtura.Poroutro lado,60%dosestudantessohomens.Seumestudanteselecionadoaleatoriamenteetemmaisde 1,80 mdealtura,quala probabilidade de que o estudante seja mulher? 24.Trs mquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do totalde peasde uma fbrica. As porcentagens de peasdefeituosasnas respectivasmquinasso3%,5% e 2%. Uma pea sorteadaaoacasoe verifica-seque defeituosa. Qual a probabilidade de queapeatenha vindo da mquina B? 25.Apenasumaemcadadezpessoasdeumapopulaotemtuberculose.Daspessoasquetm tuberculose80%reagempositivamenteaotesteY,enquantoapenas30%dosquenotmtuberculose reagem positivamente. Uma pessoada populao selecionadaaoacasoeotesteY aplicado.Quala probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 9 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 9 EXERCCIOS - SRIE III - CAPTULO 1 - PG. 34 1. Uma moeda lanada trs vezes. Ache a probabilidade de se obterem: a) trs caras; b) duas caras e uma coroa; c) uma cara; d) pelo menos uma coroa; e) nenhuma cara. 2. So lanados dois dados. Qual a probabilidade de: a) obter-se um par de pontos iguais; b) um par de pontos diferentes; c) um par em que o 1 < 2; d) a soma dos pontos ser um nmero par; e) obter-se soma 7, se o par de pontos diferente; f) obter-se soma 6, dado que o par de pontos igual; g) a soma ser 14. 3.A probabilidade de o aluno X resolver esse problema 3/5 e a do aluno Y 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 4.No lanamento de um dado, qual a probabilidade de sair o nmero 5 ouumnmero par? 5. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composio: HomensMulheres Menores 53 Adultos 52 Um elemento escolhido ao acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser homem? b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? d) Sabendo-sequeoelementoescolhido adulto, qual a probabilidade de ser homem? e) Dado que a escolhida mulher,qualaprobabilidadedeser menor? 6. Um nmero escolhido ao acaso no conjunto {1,2,3,...,20}. Verificar se so independentes os eventos:a) X: o nmero mltiplo de 3. Y: o nmero par.b) M: o nmero primo. N: o nmero impar. 7. Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiao partidria, a seguinte composio: SEXO ArenaMDB Homens21 39 Mulheres14 26 Calcular:a)a probabilidade de um escolhido ser homem; b)a probabilidade de um escolhido ser mulher do partido MDB; c)a percentagem dos partidrios do MDB; d)a porcentagem dos homens filiados Arena; e)se o sorteado for da Arena, qual a probabilidade de ser mulher; f)se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser MDB. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 10 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 10 I EXERCCIOS COMPLEMENTARES-PROBABILIDADE 1.Seja o experimento que consiste na extrao de umacarta do baralho. Consideremos o evento A como extrao de ums, o evento B a extrao de um rei. Qual a P de, ao extrair uma carta do baralho, aparecer um s ou um rei ? Resp.: 15,38% 2.SejaAoeventoconsistentenaextraodeseoeventoBextraodeumacartadecopas.QualaPde,ao extrairmos uma carta do baralho, aparecer um s ou carta de copas? Resp.: 30,7% 3. Seja A o evento que consiste na extrao de um s de um baralho com 52 cartas.Calcular a probabilidade do evento A e de seu complemento.Resp. a) 7,69% b) 92,30% 4.Extraem-se,com reposio, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a P de que ambas sejam de ouro ? Resp.:6,25% 5. Resolver o problemaanterior( no. 4) considerando o experimento, sem reposio Resp.: 5,88 % 6.Uma urna contm 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a probabilidade de se tirar uma bola marcada por um mltiplo de 3 ou de 5 ? Resp.: 46,7% 7.DepossedaletrasAAAMMTTEIC,colocadasemuma urnaeextraindoasdez letras,qualaprobabilidadedese obter a palavra MATEMTICA ?Resolver o exerccio com e sem reposio das letras retiradas. a) Extrao com reposioResp.:432/10.000.000.000 b) Extrao sem reposio Resp.:1/151.200 8.Joga-se uma moeda trs vezes ( ou trs moedas uma vez). Calcular: a) A probabilidade de se obterem exatamente 2 caras? Resp.: 3/8 b) A probabilidade de se obter pelo menos 2 caras ? Resp.: CAPTULO 2 VARIVEL ALEATRIA 2.1) VARIVEL ALEATRIADISCRETA(V.A.D.) a)DEFINIO: uma funo que associa a cada elemento de um espao amostral discreto um nmero real dita deVarivel Aleatria Discreta(V. A. D.)Ex.: 1) moeda S = {Cara,Coroa} 2) SejaX uma funo tal que: X(cara) = 1X(coroa) = 0 P(X=1) P(cara)= 1/2 P(X=0) P(COROA) = 1/2 P(X = x) =; X= 0, 1=0 ;p.qq. outro valor b)FUNO DE DISTRIBUIODE PROBABILIDADE TEOREMA: As quantidadesP(X=x) constituem um distribuio de probabilidadeno sentido de que: a) 1 ) ( 0 < < x P ) 1 ) (x Pc)< xx jx X P x P ) ( ) ( FunodeDistribuiodeprobabilidadesdeX.P(X)podeserexpressaporumatabela, grfico oufrmula. c)FUNO DEREPARTIO - Probabilidade Acumulada Se X umavarivel aleatria discreta. Define-se Funo de Repartio da VarivelAleatria X, no ponto X, como sendoa Probabilidade de que X assuma um valor menor ou iguala X, isto : ) ( ) ( x X P X F A funo de probabilidade acumulada: FX(x) = P(Xx) = ) (x xiix pPDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 11 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 11 Propriedades: 1.) ( ) ( ) ( x F de clculo X P X FiX Xi 2.0 ) ( F3.1 ) ( + F4.) ( ) ( ) ( a F b F b X a P 12,5;< 12,5.Adotando = 0,05. 3.Dada a distribuio amostral Classes5 |--- 1010 |--- 15 15|---- 2020|---- 2525|---- 30 fi 35832 Testar a hiptese de que a mdia da populao 20 contra H,:20, sendo = 2,5%. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 59 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 59 4. As estaturas de 20 recm-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados so em cm.:41 50 524949545047524950 52 50474951465 0 4950 a)Suponha inicialmenteque a populao das estaturas normalcom varincia 2 cm2; teste a hiptese de quea mdia desta normal 50 cm ( = 0,05 ) ( teste unicaudal ). b)Faa o mesmo teste para a mdia, mas agora desconhecendo a varincia ( teste unicaudal ); 5.15animaisforamalimentadoscomumacertadietadurante3semanaseverificou-seosseguintes aumentos depesos: 2530 32 24 40 3437 33 3428 303238 2931Testar a hiptese de que a mdia 30,sendo= 10% ( teste bicaudal ). Testes para a Varincia Populacional 6. Um laboratrio fez oito determinaes da quantidade de impurezas em pores de certo composto.Osvalores eram:12,4;12,6;12,0;12,0;12,1;12,3;12,5e12,7 mg. a) Estimar a varincia de impurezas entre pores.b) Testar a hiptese de que a varincia 1, ao nvel de = 0,05 e = 0,10, contra H,: 2 calc calc 0705 , 11 5 0 1 6 . . % 52% 5 , 52 critento l g95% RC Como 5% 11,0705 Como 2 2crit calc < ,noserejeitaH0,isto,aonvelde5%,podemosconcluirqueodado perfeito, honesto.10.3Tabelas de Contingncia Sotabelasdeduplaentradaconstrudascomopropsitodeestudararelaoentreasduas variveisdeclassificao.Emparticular,pode-sedesejarsaberseasduasvariveisso relacionadasdealgummodo.Pormeiodoteste 2 possvelverificarseasvariveisso independentes.Ser=nmerodelinhasec=nmerodecolunas,entoonmerodegrausde liberdade ) 1 )( 1 ( c r= (l -1)(c - 1). PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 63 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 63 10.4- EXEMPLO NoCongressoAmericano,gruposdeDemocrataseRepublicanosvotaramemumprojetode interessenacionalcomoestnatabelaabaixo.Aonvelde5%,testarahiptesedenohaver diferena entre os dois partidos, com relao a esse projeto.Partido\VotosA favorContraIndecisosTotal Democratas257837 Republicanos1186125 Total Resp.:2 ) ! 3 )( 1 2 ( % 5 9915 , 5 0881 , 92 2 crit calc Rejeita-seH0, logoospolticosnovotaramindependentementedaorientaodeseus partidos. Observao Quando=1, o teste no to eficiente como nos outros casos. Yates sugeriu que fosse feita uma correo de continuidade: { } { } ii ini ii ieo eEE O21225 , 0 | | 5 , 0 | | PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 64 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 64 EXERCCIOS - SRIE I - CAPTULO 10 pgina 226 1.Umamoedalanada200vezeseverifica-se110carase90coroas.Testarahonestidadeda moeda, sendo = 0,10. 2.Um dado lanado 180 vezes e as seguintes freqncias so observadas: EventosSair o 1Sair o 2Sair o 3Sair o 4Sair o 5Sair o 6 Freqncias312835262931 Testara hiptese do dado no ser viciado adotando = 0,05 e = 0,025 3.Em 240 lances deum par de dados, observaram-se 17 somas4e 42 somas 7. Verificar se os dados so honestos adotando o nvel de significncia 0,01. 4. O ltimo algarismo do CIC/CPF de 40 pessoas resultou: 280 457 3 7 7 4321 09659 1 9 803 321 987 6601 2 4937 6 4Testar se razovel supor esses nmeros aleatrios, = 5%. 5.Onmerodepessoasdecertaraaquepossua4tiposdesangueestarianaspropores0,18; 0,48;0,20;0,14.Dadasasfreqnciasobservadasde180;360;130;e100paraumaoutraraa, coloque prova a hiptese da igualdade das distribuies . Adote = 2,5 %. 6.Onmerodelivrosemprestadosporumabiblioteca,duranteumadeterminadasemana,est indicandoaseguir.Testarahiptesedeonmerodelivrosemprestadonodependerdodiada semana, sendo = 0,01.

Dia da semanaSegTerQuaQuiSex N delivros emprestados110135120146114 . EXERCCIOS - SRIE II - CAPTULO 10 pgina 231 1.Testar ( = 5%) se h alguma relao entre as notas escolares e o salrio. NOTAS ESCOLARES ALTAMDIABAIXATOTAL % fO fe fOfefOfefOfe ALTO18175 MDIO263816 BAIXO6159 TOTAL % S A L R I O S 2.A tabela apresenta os resultados de um experimento destinado a investigar o efeito da vacinao de animais contra determinada doena.Testar a homogeneidade dos resultados utilizando: a)= 5%; b)= 1%. Contraram a doena No contraram a doena Vacinados1442 No vacinados1628 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 65 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 65 3.Determine o valor do coeficiente de contingncia considerando os dados: ArenaPMDB Homens5072 Mulheres2935 4.Verificar se h associao entre os nveis de renda e os municpios onde foram pesquisados 400 moradores.Adote= 1% Nveis de renda MunicpiosABCD 1 28 42 30 24 24478 78 76 5. O dados abaixo so o resultado de um questionrio aplicado a 500 eleitores. Partidos Opinio a respeito Da pena de morte EsquerdaCentroDireitaTotal fO fe fO fe fO fe Aprovam355080 No aprovam458060 Sem opinio207060 TotaL Os dados sugerem que a opinio em relao pena de morte seja independente do partido?Use= 5%. EXERCCIOS - SRIE III - CAPTULO 10 pgina247.1.Para cada uma das situaes aplique o teste dos sinais e o teste de Wilcoxon.Adote = 2,5%. a) Indivduos submetidos a um programa de dieta. Peso (kg) pr-dieta Peso (kg) ps-dieta Continuao 55504850 63654951 78789081 81799385 68709090 58575658 60586664 60626768 75 707370 858174 70 90 80 4853 50 60 6865 58557270 8375 86 83 4752 8081 b)Veculos com um novo aditivo. Km/l AntesDepoisAntesDepois 8,79,34,85,5 9,89,26,76,8 10,09,58,38,5 9,69,69,59,0 8,58,810,510,0 5,86,512,513,0 6,37,012,512,0 12,511,59,010,0 8,88,914,012,0 7,38,013,011,0 12,511,09,510,5 13,814,08,09,3 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 66 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 66 2. Use o teste de Mann-Whitney para determinar se a mdia do grupo X maior do que a mdia do grupo Y. Adote = 1%. X:63657048508188993547758561 Y:9050607040388947516587 3.Aplique o teste da mediana nos dados do Exerccio 2. Adote = 1%.Compare as concluses. 4.Sodadasasduraes(emkm)deduasmarcasdeamortecedores.Apliqueumtestepara verificar a igualdade das quilometragens.Use = 5%. MarcaAMarcaB 26.56033.400 21.90029.600 28.80025.500 27.70027.900 31.80024.500 24.50023.800 27.80027.800 30.60030.100 25.60028.860 24.60027.700 25.40024.450 35.50032.300 26.30034.300 27.900 28.400 5.Testaram-sequatrotiposdelmpadasparadeterminarsehaviadiferenaentresuasvidasmdias.Adote = 5% para realizar o teste estatstico que confirma, ou no, a igualdade da durao. MARCA A7046041.038881924672723591 MARCA B752709717921761991805981 MARCA C8736661.0219928169189781.203 MARCA D690850824856915734799700 6.Verificar se h diferena entre as vendas mdias dos shoppings.Use = 2,5%. (Em $ 1.000.000) A3,24,85,02,71,86,07,05,5 B6,21,31,72,05,02,3 C5,04,03,02,01, 71,04,5 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 67 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 67 CAPTULO 11 -ANLISE DA VARINCIA -COMPARAO DE VRIASMDIAS - (ANOVA) 11.1 INTRODUO Trata-se de um mtodo estatstico, desenvolvido por Fisher, queatravs de testes de igualdades de mdias, verifica se fatores produzem mudanas sistemticas em alguma varivel de interesse.Os fatores propostos podem ser variveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a varivel dependente deve ser quantitativa (intervalar) e observada dentro das classesdos fatores - os tratamentos. Ex.:pode-seestarinteressadonoconsumodecombustveisdosautomveis.Poder-se-ia admitir que a marca do veculo, idade, potncia etc. como fatores. Por meio da anlise da varincia possvel verificarse asmarcas, idade, potncia,..., ou uma combinao desses fatores produzem efeitosapreciveissobreoconsumo,ouseconcluirquetaisfatoresnotminflunciasobreo consumo. 11.1.1 HIPTESES DO MODELO Htrssuposiesbsicasquedevemsersatisfeitasparaquesepossaaplicaraanliseda varincia. 1.As amostras devem ser aleatrias e independentes. 2.As amostras devem ser extradas de populaes normais. 3.As populaes devem ter varincias iguais. 11.2 - CLASSIFICAO NICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR. Admite-seumnicofator(varivelindependente)quesubdividoemtratamentos(nveisdo fator). A varivel de estudo (varivel dependente) medida atravs de amostras de cada tratamento. Eis a configurao desse tipo de experimento: 11.3 -CLASSIFICAO NICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR. Tratamentos Ementos da amostra 1 2 3 ....... 1X11 X21 X31 Xk1 2X12 X22 X32 Xk2 3X13 X23 X33Xk3 ... ni X1n1 X2n2x3n3 xknk SomasTOTAL Mdias 1x2x3xkx x

PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 68 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 68 11.4 Quadro de Anlise de Varincia Fonte de VariaoSoma de QuadradosGraus de LiberdadeQuadros MdiosTeste F Entre Tratamentos (colunas) eQ K 1 12KQSee Dentrodas Amostras (Linhas/Residual) e t rQ Q Q n - k K nQ QSe tr2 22recakSSF Total tQ n - 1 Ho: k ...3 2 1 A hiptese alternativa de que pelo menos um parde mdias seja diferente: H1: q p paraq p AaceitaodeHorevelarqueofatorconsideradonoacarretamudanassignificativasna varivel de estudo. Por outro lado, a rejeio de Ho indicar, com risco , que o fator considerado exerce influncia sobre a varivel de estudo. Ftabeladocom(k-1)g.l.nonumeradore(n-k)nodenominador,fixandocertonvel de significncia. Se tab calF F , ento aceita-se Ho e conclui-se com risco que o fator considerado no causa efeito sobreavarivelemestudo.Poroutrolado,se tab calF F > ,rejeita-seHo,concluindo-sepela diferena das mdias e conseqente influncia do fator sobre a varivel analisada. 11.5 CLASSIFICAO DE DOIS CRITRIOS OU EXPERIMENTOS DE DOIS FATORES Admitem-sedoisfatores(variveisindependentes).Avariveldeestudo(variveldependente) observadaemcadacela,combinaodostratamentosdofator1,edosblocosdofator2.Tem-se uma tabela de k colunas e L linhas. Ou seja,K . L = nobservaes. 11.6 -Primeiro critrio (colunas) = tratamentos.FATOR (1) Tratamentos Ementos da FATOR(1) Amostra - FATOR(2) 1 2 3

....... K X11 X21 X31 Xk1 X12 X22 X32 Xk2 X13 X23 X33Xk3 X1n1 X2n2x3n3 xknk TOTAL Segundo Critrio (linhas) Blocos 1x2x3xkx x PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 69 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 69 11.7 Quadro de Anlise de Varincia QAV Fonte de VariaoSoma de QuadradosGrausde Liberdade Quadros MdiosTeste F Entre colunasTratamentos FATOR 1 ( )CLxQIijEC11]1

2 K 1 12KQSECC Entre linhas Blocos/Dentrodas Amostras/Residual) FATOR 2 ( )CKxQIijEL11]1

2 L - k 12LQSELL Residual EL EC t rQ Q Q Q (K-1(L-1) ) 1 )( 1 (2 L KQSrr Total C x Qi jij t 2 n - 1 22rC CcalSSF 22rL LcalSSF 11.8- EXPERIMENTO DE DOIS FATORES COM REPETIO Nesse caso haver mais de um valor correspondente a um tratamento e um bloco. Admite-se que haja R valores para cada posio. Tem-se K colunas (tratamentos); L linhas(blocos) e R observaes para cada interao. 11.9 Quadro de Anlise de Varincia QAV Fonte de VariaoSoma de QuadradosGrausde Liberdade Quadros MdiosTeste F Entre colunas ECQK 1 12KQSECC Entre linhas ELQ L - k 12LQSELL Devida InteraoQi (L-1)(K-1) ) 1 )( 1 (2 L KQSii ResidualQr LK(R-1) ) 1 (2R LKQSrr Total C x Qi jij t 2 n - 1 1 (2nQStt 22rC CcalSSF 22rL LcalSSF 22rI IcalSSF Os Fcal da ltima coluna podem ser usados para testar as hipteses nulas: :COH Todas as mdias de tratamento(colunas) so iguais; :LOHTodas as mdias de blocos (linhas) so iguais; :IOH No h interaes entre tratamentos e blocos. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 70 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 70 EXERCCIOS - SRIE 1 - CAPTULO 11 pgina 282 1.Quatro analistas determinaram o rendimento de dado processo, obtendo: Analistas ________________________________________ 1234 ________________________________________ 26173620 27203318 24223117 25212922 2921 2823 _______________________________________ Determine: a)as mdias para os diferentes analistas; b)a mdia total; c)a variao total; d)a variao entre tratamentos; e)a variao dentro dos tratamentos (residual); f)se h diferena entre as mdias, adote = 5%; g)se possvel, identifique os pares de mdias diferentes, usando o teste de Scheff. 2.Uma companhia deseja testar Quatro tipos diferentes de vlvulas A, B, C, D. .As vidas mdias emhorasconstamdatabelaquesegue,emquecadatipofoitestadoaleatoriamenteemseis aparelhos idnticos.Teste se h diferena significativa entre as vlvulas, ao nvel de 5%. A535856605155 B526052585054 C515755535450 D495452505351 3.Sofeitascincomisturasdamesmaligametlicaeparacadamisturaseroefetuadasseis determinaes da densidade.Os resultados so: Densidades Mistura A3,63,53,73,13,13,2 Mistura B3,33,53,43,23,43,4 Mistura C3,53,33,43,43,33,2 Mistura D3,53,43,03,33,33,8 Mistura E3,73,43,63,53,63,4 H evidncia de que certas misturas tenham densidade mdia maior do que outra? = 5%. 4.Os dados a seguir representam, em segundos',' o tempo gasto por cinco operrios para realizar certatarefa,usandotrsmquinasdiferentes.Considerando =5%,verifiqueseh diferenas entre as mquinas e entre os operrios.Mquinas OperriosA B C 1405942 23955 51 34755 45 44550 40 55252 41 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 71 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 71 5. Plantam-se quatro tipos diferentes de sementesde caf emcinco blocos.Cada bloco dividido em quatro lotes, pelos quais se distribuem, ento, aleatoriamente, os quatro tipos de sementes.Ao nvel de significncia de 0,05, teste se a produo, indicada na tabela, varia significativamente: a)devido ao solo (isto , os cinco blocos); b)devido variedade do caf. Tipos de caf IIIIIIIV A15121014 B19151211 BlocosC18141512 D16111216 E17161114 6 A seguir esto anotadas as quantidade vendidas de certo artigo, considerando-se trs preos de venda e trs tipos de distribuidores: Preos DistribuidoresP1 = 54P2 = 49 P3 = 44 Farmcias78 - 76108 -106124 - 122 74 - 77110 -104123 - 125 Drogarias78 - 78108 -110126 - 125 80 - 77111 -107122 - 128 Outros80 - 78110 -106128 - 130 79 - 81108 -111126 - 129 a)Testar se a distribuio interfere nas quantidades vendidas; b)testar se o preo interfere nas quantidades vendidas; c)testar o efeito da interao. Observao:Adote = 5% para os trs testes. 7.Trs tcnicos fazem trs determinaes de dureza em cada um de quatro blocos de certo metal.Ao nvel de 5% determine se a)as durezasmdias dos blocos so constantes; b)as determinaes dos tcnicos so iguais; c)h alguma interao entre tcnicos e blocos. Blocos Tcnicos123 4 x516513514 517513513512508511506505506 y529517519 513510511509512513508508508 z518520518 517515516506508509507506506 8.Um experimento foi executado por seismquinas e dez operrios, demodo que cada operrio use cadamquina apenas umavez.Complete o quadro a seguir efaa as concluses ao nvel de 5%. Fonte de variao Soma dos quadrados G.L. Quadrados mdiosTeste F Entre mquinas904 Entre operrios 2.334 Resduo Total5.832 8.ApliquearegradeScheffparadescobrirasmdiasdiferentes,considerandoosdadosdo Exerccio 7. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 72 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 72 11.10 TESTES DA ANOVA Omtododeanlisedevarinciaindicaaaceitaoourejeiodahiptesedeigualdadedas mdias.SeHoforrejeitada,pelomenosumadasmdiasdiferentedasdemais.Aanliseda varinciapermiteafirmarque,aonvelde5%designificncia,existepelomenosumamdiade tratamentos diferentes. Surge, ento, a questo: Quais mdias devem ser consideradas diferentes? Existem alguns testes para a soluo dessa questo. 1) teste de Tukey(Snia Vieira- pg. 236)rR M Qq s m d. . .. . onde: q um valor obtido em uma tabela de Student, ao nvel de significncia . Q.M.R. = Quadrado Mdio do Resduo. R = o nmero de elementos submetidos a cada tratamento. 2) teste de SCHEFF(Fonseca/Martins-pg, 279): a) Para o caso do modelo de classificao nica: )] ( ); 1 [(1 1)( 1 ( 9 | |2K n K FN nK S X XB Ar B A + > Cap 12 - CORRELAO E REGRESSO Prof. Armando Andreazza CORRELAO:Estudaarelaoentreduasvariveiscomoauxliodeumgrfico(chamado diagrama de disperso) e de ummedida(chamada coeficiente de correlao linear) REGRESSO:Estudaasrelaeslinearesentreduasvariveiscomoauxliodaequaoedo grfico de uma linha reta, chamada reta de regresso. INTERVALO DE VARIAO E DE PREDIO: Este mtodo analisa as diferenas existentes entre os valores preditos de uma varivel e os valores efetivamente observados. REGRESSO MLTIPLA: Estemtodo procura uma equaolinear que relacione trs ou mais variveis.O coeficiente de determinao mltipla apresentado como uma medida de quo bem os pontos amostrais se ajustam, ou aderem, equao linear. CORRELAO: Existe uma CORRELAO entre duas variveis quando uma delas est, de alguma forma, relacionada coma outra. Vamos determinar (para dados emparelhados ou bivariados)se h correlao entre a varivel X e a varivel Y. 1 -EQUAO DOS MNIMOS QUADRADOS UmamedidadaquantidadedoajustamentodacurvaCaosdadosapresentados(aderncia) proporcionada pela quantidade 2 2221...nD D D + + + D, se ela pequena, o ajustamento BOM; se grande o ajustamento MAU. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 73 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 73 DEFINIO: de todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, que tem a propriedade deapresentaromnimovalorde: 2 2221...nD D D + + + ,denominadaamelhorcurvade ajustamento. bX a YEst+ Para calcular o valor dos coeficientesutilizamos as frmulas abaixo: Coeficiente Linear:a Coeficiente Angular(declividade):b

Osvaloresdeseusparmetrosaebsodeterminados,pelomtododosmnimos quadrados pela resoluo do seguinte sistema deequao: bN XY- X. YN X X)2 2(

a Y-b XN Ex.1) Y = f(x)ouP = f (L/a), que se l: O preo (P) uma funo f(x) dolucro-por-ao (L/a). Porestametodologia,procede-se,emprimeirolugar,adefiniodafunoP/Ldomercado,no momento em que se est determinando opreo de lanamento da ao. Para tanto levanta-se os lucros/ao e os preos para o conjuntode aes pertencentes ao setor ou aomercadocomoumtodoe,porajustederegresso,defineafunoajustantedemenorerro padro deestimativa. A ttulo de exemplo, tem-se os seguintes preos mdios ( P) e as relaes do lucro por ao (LPa) levantadosdaRevistaBolsa(n624),relativosaempresaspertencentesaondiceBOVESPA, selecionadasao acaso. EMPRESAAO (Lpa=X) (P=Y)( Lpa)2 P. (Lpa) (P)2 BANESPA PN1,9310,12 BANCO NACIONON1,377,50CEMIGPN0,100,95 SOUZA CRUZON4,3237,00 DOCAS DE SANON2,1420,90 FERRO BRASILE PN0,732,30PETROBRSPN1,55 29,91 UNIPARPB1,74 17,00TOTAIS( ) 2- Admitindo-se que a funo de melhores ajustes seja uma reta do tipo: P = a + b (Lpa) < ----------> Y = a + bXPreo = f( Lucro por Ao) Construa o grfico dos dados acima. 3 - CORRELAO de Pearson ( r ou R):

] Y) ( - Y ][N X) ( - X [X.2 2 2 2 NY XY NR PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 74 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 74 Caractersticas de R: 1. O valorde r varia de-1a+1: 1 1 + R 2. Um relacionamento positivo ( R +) entre duas variveis indica que os valores altos ou baixos de uma das variveis, correspondem valores altos ou baixos da outra.3.Se R = + 1indica um relacionamento perfeito e posotivo. 4.Se R = - 1 indica um relacionamento negativo e perfeito 5.Um relacionamento negativo ( R -) entre duas variveisindica que os valores altos ou baixos de uma das variveis, correspondem valores altos ou baixos da outra. 6. Se R = 0indica total ausncia de relacionamento entre as variveis. 4 Coeficiente de Determinao( R2):( R ) 2 ( % )

y em total inciay em licada inciaRvarexp var2

5 - DADOS POR POSTOS: O COEFICIENTEr DESPEARMAN. AcorrelaoporpostosdeSpearmanumatcnicano-paramtricaparaavaliarograude relacionamento entre observaes emparelhadas de duas variveis, quando os dados se dispem em postos. ) 1 (6122 n ndRsp Ex.:1. Dois provadores devem julgar 12 vinhos. Cada um atribuir postos denotando a preferncia, desde1(maisalta)at12(maisbaixa).CalcularcoeficientedecorrelaodeSpearmenparaos dados da tabela abaixo: VinhoJuizJuizDiferena(d)Diferena(d2) 113 254 321 475 542 689 737 866 998 101210 111111 121012 Resp.: Rsp = .............. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 75 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 75 Ex. 2) Calcular o coeficiente de correlao de Spearman entre o peso e a altura de 10 estudantes do sexo masculino selecionados ao acaso.

POSIES PESOS(kg)ALTURA(cm)PESOSALTURASd d2 80175 60170 75174 56163 60165 78175 80180 73170 80170 82168 Resp.: rsp=................

6 Um Teste de Significncia de Rsp. Ovalordocoeficientedecorrelaoamostralpodeserusadocomoestimativadoverdadeiro coeficiente de correlao, , da populao.A meno de r como valor isolado pode dar a impresso errnea de que se trata do valor efetivo. Por isso, em geral maisconveniente incluir um intervalo de confiana para o verdadeiro valor de juntamente com a estatstica amostral. Emoutroscasospodesenecessrioavaliarumaavaliaosobreovalor.Amaneiramais simplesconstruirumintervalodeconfianaparareobservarseovaloralegadoestouno includo no intervalo. Em caso afirmativo, aceita-seHo; em caso negativo, rejeita-se Ho e aceita-se a alternativa. Por exemplo, suponhamos Ho: = 0,3 eH1: 0,3.Se obtivermos umintervalo de confiana de + 0,05 a + 0,26, rejeitaremosH0 porque +0,3 no est no intervalo. Teste de Significncia(Ho: =0) O processo pode ser calculado pela frmula: ) 2 /( ) 1 (02 n rrt Ex.: Uma amostra de 24 observaes dr =0,50. Queremos saber se r significativo ao nvel de 0,01. A estatstica teste : 42 , 5) 2 24 /( ) 50 , 0 1 (0 50 , 02 t Ovalorbilateraldet,comn2grausdeliberdadeparaonvel0,012,819.Portanto,assim, concluir que r0 ou seja Rejeita-se Ho. Concluso: ACEITA-SE HO: No h relao entre as variveis REJEITA-SE HO: H relao significativa entre as variveis. populao ramostra PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 76 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 76 7 -CLCULO DA CORRELAO DE PEARSON: r( USANDO A HP-12C):( teclas daHP-12Cestaro entre colchetes): 1) Introduo dos dados:1 par de dados (X,Y) varivel Y----> [ ENTER ] varivel X----> [ A] 2 par de dados (X,Y)...... 3 par de dados (X,Y)....... ........... n par de dados (X,Y)2)[ ].... [ $, ] g y > r 3)[ X Y ] R 4)0 [ ].... [ $, ] g y > ra (Coef. Linear ou interseco do eixo YY) 5)STO 0 6)0 [ ][ $, g x r][CHS] 7)RCL 08) ] [ Y] [X b (CoeficienteAngular ou declividade) ) VALOR PROJETADO:yEX..:Se o lucro por ao for5,00 ( ouLpa = 5)9) digite 5 10) [ ].... [ $, ] g y > r Valor esperado ( projetado ) Ex.: 2 . Sejam as seguintes empresas: EmpresaCdigoLpa Preo Mdio BRASILBB 43,508,09 CEMIGCMI41,3545,26 ERICSSONERI42,5030,17 IPIRANGAPTI44,7016,56 MARCOPOLOPOM42,40215,00 TELEBRASTEL45,70112,45 TELESPTLS32,30324,00 KLABINKLA45,201,02 VARIGVAG41,402,01 1) Qual o valor da Correlao ( R ):............................................................................ 2) H correlao entre o preo de mercado e o lucro por ao ? ............................... 3) Estabelea a equao da anlise de regresso:........................................................ 3)Qual o valor do Preo de a ao se o Lucro por Ao for R$ 5,00?....................... PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 77 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 77 Ex. 3)Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitao pluviomtrica(mm) e o volume de produo de leite tipo C, em determinada regio do pas: ANOSPROD. DE LEITE NDICE PLUVIOMTRICO 19902223 912521 923128 932927 942723 953128 963227 972822 983026 993025 a)Ajustar os dados atravs de um modelo linear:Y = a + bX. b)Admitindo-se, em 2000, um ndice de pluviosidade de 24 mm,qual dever ser o volume esperado de produo do leite tipo C? Resp.:a =b =r =R2 =..................... 4)Dez alunos foram submetidos a um teste de Estatstica de Matemtica, obtendo asnotas: ALUNOSEstatstica(X)Matemtica(Y) A76 B69 C810 D109 E32 F43 G89 H75 I66 J23 a)calcular a varincia de X e Y.Resp.: cov(X,Y) =5,9 b)Determinar as varincias de X e de Y. Resp.: 62xS 72yS c)Determinar o coeficiente de Correlao de X e Y. Resp.:r = 0,91 d) Se for ajustada uma reta aos valores de X e Y( tomando Y como varivel dependente), qual o valor do coeficiente angular b e do coeficiente linear a ? Resp.: b = 0,98 a = 0,12e) Representar graficamente a reta:Y = 0,12 + 0,98 X PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 78 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 78 CAP. 13 -CONTROLE DE QUALIDADE A qualidade deum produtopode ser medidas de vrias maneiras, porm,quando h uma produo em grande escala, a qualidade pode, geralmente, ser medida por uma simples caracterstica do produto. Por um exemplo: a espessura de um parafuso. Nestes casos, haver sempre certa variao, mesmo que os processos de produo sejam constantes. Esta variao pode ser atribuda a duas principais causas: 1)CAUSA ALEATRIAS: so aquelas provenientes do processo de produo. Elas exercem um pequeno efeito na qualidade do produto no provocando maiores conseqncias. Quando num processo da produo somente esta causa est sendo notada dizemos que o processo est sob controle estatstico. 2)CAUSAS RELEVANTES: Quando a variabilidade torna-se anormal, isto , as caractersticas do produto se alteram sensivelmente, diz-se que as causas so relevantes. OBJETIVO DE CONTROLE DE QUALIDADE: determinar as causas relevantes de variaes de qualidade to logo elas ocorram no processo de produo. GRFICOS DE CONTROLE SejaXumavarivelaleatriacontinuatalqueconheamosovalordasuamdia()e desvio-padro (). Ento, X tem uma distribuio normal) , (2 N X.Se escolhemos amostras de tamanho n e calcularmos suasmdias,j deduzimos quextem distribuio normal demdia e varincian2, ou seja,X ( N ,n2), e que nxZ a distribuio normal reduzida de . Observando uma tabela de curva normal padronizada, notamos que: 68,26% dosvaloresde x estonointervalot 95,44% dos valores de x estonointervalot 2 99,73%dosvaloresde x estonointervalot 3 Seanalisarmosoterceirointervalo,podemosafirmar quesmuitoraramenteeunicamentedevidoao acaso,teremosumvalordexcaindoforadointervalo-n3t .Ento,seobtivermosumvalordexforadesseslimites,devemossuspeitarquealgumacausarelevanteestpresenteetomarasdevidas providnciasd para sua localizao e efetuarmos a correo. Osgrficosmaisutilizadossoosdamdia,dodesvio-padro,daamplitudeeoda fraodeficiente.Omaisaplicadoogrficodamdia,contudo,emcertasvariaes importantes conveniente construirmos os dois grficos o da mdia e o desvio-padro. Ogrficodaamplitudeutilizadoemlugardodesvio-padropelasuafacilidadede clculos.O grfico da frao deficiente mais utilizado para controle de qualidade de atributos ( de qualidades e produto). Geralmente, quando a varivel discreta. FASES DO CONTROLE DE QUALIDADE: 1)Especificao 2)Fabricao 3)Inspeo O Controle Estatstico de Qualidade atua em todo processo produtivo. Inspeo - Qualidade do Produto Produtos Acabado. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 79 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 79 GRFICO DA MDIA: 1.Estimar e , usandoN = 100 elementos(tamanho),n= 5 itensek = 20 amostras. X M Lkxx x xkXkxX onekiiki + + + . . ) ... (1112 1 3.Estimativa do desvio-padro- pela amplitude amostral: 3.1 - ) ( ) (minamplitude Range X X Rmx 3.2 -kR R RRk+ + +...2 1 3.3-2dR 3.4d2 = 2,326 ( Valor Tabelado, conformetabela abaixo). TABELA I FATORES PARA CLCULO DOS LIMITES EM GRFICOS DE CONTROLE-(Sistema Norte-Americano) Grfico de AmplitudeGrfico do Desvio-PadroGrfico da mdia Limites de controleLinha Mdia Limites de ControleLinhaMdia Limites de Controle Tamanho da Amostra nAA1 A2 .d2 .d3 D1 D2 D3 D4 C2 1/c2 B1 B2 B3 B4 41,5001,8800,7292,0590,8803,6803,260,561,7701,8403,26 51,3421,5960,5772.3260,8604,9102.110,841.1801,7502,08 100,9491,0280,3083,0780,790,685,460,221,770,921,080,21,580,281,71 Reproduo parcial do ASTM Manual on ControlofMaterials, 1951. Frmula para clculo do A2577 , 05 326 , 23 3222 An dA TABELA II - FRMULAS PARA CLCULO DOS LIMITES EMGRFICOS DE CONTROLE - Sistema Norte-Americano Norma conhecidaNorma desconhecidaGrfico de Controle da Linha Mdia Limites de Controle Linha Mdia Limites de Controle Mdia, por . A t x s A x .1tMdia, por R-------x R A x .2tDesvio-Padroc2.B1. ;B2. s B3.s ; B4.s Amplituded2. D1. ; D1. RR D R D . ; .4 3 Fonte:Estas tabelas encontram-se no Livro: LOURENO FILHO, Rui de C. B..Controle Estatstica de Qualidade.LTC:Rio de Janeiro.1981. PARANTHAMAN, D. Controle da qualidade. So Paulo: McGraw-Hill,1990. PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 80 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 80 LIMITES DE CONTROLE por Amplitude FRMULAS I - NORMA CONHECIDA:e L.S.C. = + n 3 OBS.: LIMITE SUPERIOR CONTROLEL.S.C. L.I.C.= - n 3 LIMITE INFERIOR DE CONTROLEL.I.C. FRMULAS II - NORMA DESCONHECIDA: e R A X C S L . . . .2+ onde A2 = 0,577 R A X C I L . . . .2 EXEMPLO 1 Verificar se o processo de fabricao de eixos, definido pela norma: mdia do processo=5,60edesvio-padro=0,05.Vinteamostras(k=20),com5itens(n=5),foramextradosde hora em hora. Utilizar o grfico da mdia, por . Calcular os limites(tabela II)e traar o grfico. 1- L.S.C.= + A . 2- L.I.C. = -A . PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 81 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 81 EXEMPLO 2 -Valores Observados de 20 amostras de 5 itens na fase inicial do controle de um processode fabricao. Calcular os Limites de Controle e construir o grfico, utilizando os dados da Tabela 2AMOSTRAX1 X2 X3 X4 X5XR 1143137145137138140,08 2141142147140140 3142137145140132 4137147142137135 5137146142142140 6145144146148149 7137145144137140 8144142143135144 9140132144145141 10132135136130141 11137142142145143 12142142143140135 13136142140139137 14142144140138143 15139146143140139 16140145142139137 17134147143141142 18138145141137141 19140145143144138 20145145137138140 Calcular a mdia das mdias ea Amplitude(Range)mdia X RResp.: L.S.C= 140,76+ 0,577 . 8,70=145,78 L.I.C.=140,76 0,577 . 8,70=135,74 Exemplo 3- (Livro Fonseca eMartins - capa vermelha - pg 256) Admitindo-sequeumprocessodefabricaodeparafusosestejasujeitoaumamdiade0,9996 polegadas para sua espessura com umdesvio-padro de 0,0106 polegadas.Construir o grfico de controle para verificar se as seguintes amostras esto dentro dos limites, ou seja, se o processo est sob controle: AMOSTRAS: N 1N 2N 3N 4N 5 1,0051,0120,9900,9931,006 1,0131,0110,9990,9940,997 0,9970,9821,0041,0060,994 1,0030,9931,0171,0021,019 1,9871,0001,0150,9981,000 Resp.: LCS =1,0138LCI =0,9854 9996 , 0 X PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 82 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 82 Exemplo 4 Foram colhidas 10 amostras de 5 elementos cada uma, de acordo com os abaixo: AMOSTRAS DADOS 19,98910,00410,0009,99410,005 210,03010,0029,9929,99410,001 310,00510,0069,99010,0359,995 49,99710,0459,9109,99810,001 510,001 9,998 10,02510,0089,925 610,00410,007 9,9959,99610,002 790,9989,97810,00610,0109,935 810,0039,99510,00810,0109,925 910,0509,9999,9999,98510,040 10 9,99710,00310,01410,01110,025 a) estimar e; b)construir o grfico de controle; c)pode-se dizer que o processo est sob controle? Exemplo 5.Admita que o processo de produodom produto do exerccio N 4 esteja sujeita a uma mdia 10 e desvio-padro 0,1. a)construir o grfico de controle para esses valores; b)quais as concluses? PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 83 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 83 TABELA 1 DISTRIBUIONORMAL PADRO Distribuio Z Z 00,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,000,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359 0,100,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753 0,200,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141 0,300,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517 0,400,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879 0,500,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224 0,600,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549 0,700,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852 0,800,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133 0,900,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389 1,000,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621 1,100,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830 1,200,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015 1,300,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177 1,400,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319 1,500,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441 1,600,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545 1,700,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633 1,800,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706 1,900,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767 2,000,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817 2,100,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857 2,200,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890 2,300,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916 2,400,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936 2,500,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952 2,600,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964 2,700,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974 2,800,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981 2,900,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986 3,000,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990 3,100,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993 3,200,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995 3,300,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997 3,400,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998 3,500,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998 3,600,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999 3,700,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999 3,800,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999 3,901,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000 4,001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 84 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 84 Tabela 2 Distribuio de 2 Nvel de significncia gl0,100,050,0250,0100,005 12,70553,84155,02396,63497,8794 24,60525,99157,37789,210410,5965 36,25147,81479,348411,344912,8381 47,77949,487711,143313,276714,8602 59,236311,070512,832515,086316,7496 610,644612,591614,449416,811918,5475 712,017014,067116,012818,475320,2777 813,361615,507317,534520,090221,9549 914,683716,919019,022821,666023,5893 1015,987218,307020,483223,209325,1881 1117,275019,675221,920024,725026,7569 1218,549321,026123,336726,217028,2997 1319,811922,362024,735627,688229,8193 1421,064123,684826,118929,141231,3194 1522,307124,995827,488430,578032,8015 1623,541826,296228,845331,999934,2671 1724,769027,587130,191033,408735,7184 1825,989428,869331,526434,805237,1564 1927,203630,143532,852336,190838,5821 2028,412031,410434,169637,566339,9969 2129,615132,670635,478938,932241,4009 2230,813333,924536,780740,289442,7957 2332,006935,172538,075641,638344,1814 2433,196236,415039,364142,979845,5584 2534,381637,652540,646544,314046,9280 2635,563238,885141,923145,641648,2898 2736,741240,113343,194546,962849,6450 2837,915941,337244,460848,278250,9936 2939,087542,556945,722349,587852,3355 3040,256043,773046,979250,892253,6719 4051,805055,758559,341763,690866,7660 5063,167167,504871,420276,153879,4898 6074,397079,082083,297788,379491,9518 7085,527090,531395,0231100,4251104,2148 8096,5782101,8795106,6285112,3288116,3209 90107,5650113,1452118,1359124,1162128,2987 100118,4980124,3421129,5613135,8069140,1697 150172,5812179,5806185,8004193,2075198,3599 200226,0210233,9942241,0578249,4452255,2638 1.0001.057,72401.074,67941.089,53071.106,96901.118,9475 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 85 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 85 Tabela 3.Distribuio F de Snedecor = 5% Colunas: Graus de Liberdade Numerador Linhas: Graus de Liberdade Denominador 1234567891011121520 140524999540456245764585959285981602260566083610761576209 298,5099,0099,1699,2599,3099,3399,3699,3899,3999,4099,4199,4299,4399,45 334,1230,8229,4628,7128,2427,9127,6727,4927,3427,2327,1327,0526,8726,69 421,2018,0016,6915,9815,5215,2114,9814,8014,6614,5514,4514,3714,2014,02 516,2613,2712,0611,3910,9710,6710,4610,2910,1610,059,969,899,729,55 613,7510,929,789,158,758,478,268,107,987,877,797,727,567,40 712,259,558,457,857,467,196,996,846,726,626,546,476,316,16 811,268,657,597,016,636,376,186,035,915,815,735,675,525,36 910,568,026,996,426,065,805,615,475,355,265,185,114,964,81 1010,047,566,555,995,645,395,205,064,944,854,774,714,564,41 119,657,216,225,675,325,074,894,744,634,544,464,404,254,10 129,336,935,955,415,064,824,644,504,394,304,224,164,013,86 139,076,705,745,214,864,624,444,304,194,104,023,963,823,66 148,866,515,565,044,694,464,284,144,033,943,863,803,663,51 158,686,365,424,894,564,324,144,003,893,803,733,673,523,37 168,536,235,294,774,444,204,033,893,783,693,623,553,413,26 178,406,115,194,674,344,103,933,793,683,593,523,463,313,16 188,296,015,094,584,254,013,843,713,603,513,433,373,233,08 198,185,935,014,504,173,943,773,633,523,433,363,303,153,00 208,105,854,944,434,103,873,703,563,463,373,293,233,092,94 218,025,784,874,374,043,813,643,513,403,313,243,173,032,88 227,955,724,824,313,993,763,593,453,353,263,183,122,982,83 237,885,664,764,263,943,713,543,413,303,213,143,072,932,78 247,825,614,724,223,903,673,503,363,263,173,093,032,892,74 257,775,574,684,183,853,633,463,323,223,133,062,992,852,70 267,725,534,644,143,823,593,423,293,183,093,022,962,812,66 277,685,494,604,113,783,563,393,263,153,062,992,932,782,63 287,645,454,574,073,753,533,363,233,123,032,962,902,752,60 297,605,424,544,043,733,503,333,203,093,002,932,872,732,57 307,565,394,514,023,703,473,303,173,072,982,912,842,702,55 407,315,184,313,833,513,293,122,992,892,802,732,662,522,37 507,175,064,203,723,413,193,022,892,782,702,632,562,422,27 607,084,984,133,653,343,122,952,822,722,632,562,502,352,20 707,014,924,073,603,293,072,912,782,672,592,512,452,312,15 806,964,884,043,563,263,042,872,742,642,552,482,422,272,12 906,934,854,013,533,233,012,842,722,612,522,452,392,242,09 1006,904,823,983,513,212,992,822,692,592,502,432,372,222,07 5006,694,653,823,363,052,842,682,552,442,362,282,222,071,92 10006,664,633,803,343,042,822,662,532,432,342,272,202,061,90 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 86 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 86 TABELA4 - Distribuio tdeStudent W. S. GOSSET tdeStuden Duas caudas0,200,100,050,020,0100,0010 Uma cauda0,100,050,030,010,0050,0005 13,0786,31412,70631,82163,656636,578 21,8862,9204,3036,9659,92531,600 31,6382,3533,1824,5415,84112,924 41,5332,1322,7763,7474,6048,610 51,4762,0152,5713,3654,0326,869 61,4401,9432,4473,1433,7075,959 71,4151,8952,3652,9983,4995,408 81,3971,8602,3062,8963,3555,041 91,3831,8332,2622,8213,2504,781 101,3721,8122,2282,7643,1694,587 111,3631,7962,2012,7183,1064,437 121,3561,7822,1792,6813,0554,318 131,3501,7712,1602,6503,0124,221 141,3451,7612,1452,6242,9774,140 151,3411,7532,1312,6022,9474,073 161,3371,7462,1202,5832,9214,015 171,3331,7402,1102,5672,8983,965 181,3301,7342,1012,5522,8783,922 191,3281,7292,0932,5392,8613,883 201,3251,7252,0862,5282,8453,850 211,3231,7212,0802,5182,8313,819 221,3211,7172,0742,5082,8193,792 231,3191,7142,0692,5002,8073,768 241,3181,7112,0642,4922,7973,745 251,3161,7082,0602,4852,7873,725 261,3151,7062,0562,4792,7793,707 271,3141,7032,0522,4732,7713,689 281,3131,7012,0482,4672,7633,674 291,3111,6992,0452,4622,7563,660 301,3101,6972,0422,4572,7503,646 311,3091,6962,0402,4532,7443,633 321,3091,6942,0372,4492,7383,622 331,3081,6922,0352,4452,7333,611 341,3071,6912,0322,4412,7283,601 351,3061,6902,0302,4382,7243,591 361,3061,6882,0282,4342,7193,582 371,3051,6872,0262,4312,7153,574 381,3041,6862,0242,4292,7123,566 391,3041,6852,0232,4262,7083,558 401,3031,6842,0212,4232,7043,551 411,3031,6832,0202,4212,7013,544 421,3021,6822,0182,4182,6983,538 431,3021,6812,0172,4162,6953,532 441,3011,6802,0152,4142,6923,526 451,3011,6792,0142,4122,6903,520 461,3001,6792,0132,4102,6873,515 471,3001,6782,0122,4082,6853,510 481,2991,6772,0112,4072,6823,505 491,2991,6772,0102,4052,6803,500 501,2991,6762,0092,4032,6783,496 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 87 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 87 Tabela 5.Dgitos aleatrios 03991104619371616894989537323139528724848247425593 38555955543288659780099581806581616187115334244276 17546737049205246215159170625307586161208264122820 32643528619581906831196409941390767042351357417200 69572687773951035905852443515940188281932959388627 24122665912769906494031521912134414821578688755087 61196302319269261773221097850863439753634498916822 30532217041027412202942052038067049090709339945547 03788975997586720717820371026879495041465216290286 48228633798578347619874813722091704305520473721031 88618191614129067312748571595748545352471861913674 71299238530587001119927842634075122117247462773707 27954589098244499005049217370192904131413239219763 80863005142024781759451972533269902637427846422501 33564607804846085558151911878294972115986209536787 90899757546083325983012914134919152000231230280783 78038702674352906318383847476136024008677637841605 55986664858872256736661644943194458742840504149807 87539088239481331900541558343654158342434697835482 16818603117445790561728481183475051930294766564382 34677583007491064345193258154060365946533507533949 45305075216131831855144137095183799424025662334442 59747672777650334513396637754432960074053640983232 1652069676116549989302181 681611932253845 5762052606 6865227376 92852 5586688448 03584 11220 9474707399 37408 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 88 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 88 TABELA 6 - DISTRIBUIO LOG-NORMALe grficoDISTRIBUIO LOG-NORMAL Mdia2,6da distribuio normal Y=ln(X) Distribuio Log-normal Desvio P.0,8da distribuio normal Y=ln(X)E[X] 18,54 Step1 Var(X) 308,19 XP(X) Desvio P. 17,56 00,0000 10,002536 20,014558 30,028568 40,039442 50,046337 60,049891 70,050999 80,050442 90,048813 100,046538 110,043911 120,041129130,038323140,035577150,032943 Mdia=2,6 Desvio Padro=0,8 160,03045 E[X]=18,54 e Desvio P.=17,56 170,028114180,025938190,023923200,022063210,02035220,018775230,01733240,016004250,014789260,013674270,012652280,011715290,010856300,010067310,009343320,008677330,008065340,007502350,006984360,006506370,006066380,005659390,005284400,004937 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 89 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 89 TABELA 7 GRFICO DA DISTRIBUIO NORMAL DISTRIBUIO NORMAL Funo densidade de probabilidade Mdia 404040 D.Padro 81015 Mdia 440004040 D.Padro 81015 00,00000,00000,0008 2,50,00000,00000,0012 50,00000,00010,0017 7,50,00000,00020,0025 100,00000,00040,0036 12,50,00010,00090,0050 150,00040,00180,0066 17,50,00100,00320,0086 200,00220,00540,0109 22,50,00460,00860,0135 250,00860,01300,0161 27,50,01470,01830,0188 300,02280,02420,0213 32,50,03210,03010,0235 350,04100,03520,0252 37,50,04750,03870,0262 400,04990,03990,0266 42,50,04750,03870,0262 450,04100,03520,0252 47,50,03210,03010,0235 500,02280,02420,0213 52,50,01470,01830,0188 550,00860,01300,0161 57,50,00460,00860,0135 600,00220,00540,0109 62,50,00100,00320,0086 650,00040,00180,0066 67,50,00010,00090,0050 700,00000,00040,0036 72,50,00000,00020,0025 750,00000,00010,0017 77,50,00000,00000,0012 800,00000,00000,0008 PDF criado com verso de teste do pdfFactory Pro. Para comprar, acessewww.divertire.com.br/pdfFactoryPROBABILIDADE E ESTATSTICA-PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 90 ESTATSTICA GERALaAPLICADA- PROF ARMANDO ANDREAZZA- 2005 90 BIBLIOGRAFIA - armando@via-rs.net - www.andreazza.com (Livros da biblioteca particular do Prof. Armando Andreazza) 1.FONSECA, Jairo S., Martins Gilberto.Curso De Estatstica So Paulo: Ed. Atlas -1998 (LIVRO TEXTO E UTILIZADO COMO BASE DOS EXERCCIOS) 2.BUSSAB, MORETTIN Estatstica Bsica Ed. Atual 1986 3.SPIEGEL, Murray R. Probabilidade e Estatstca Ed. Makron Books-1994 4.RUY LOURENO FILHO Controle Estatstico De Qualidade LTC-1981 5.PARANTHAMAN TTTI Controle Da QualidadeEd. Makron 1990. 6.TOLEDO,GERALDO Luciano- Estatstica Bsica. So Paulo,Atlas,1978. 7.BONINI, EDMUNDO Eboli.- Teoria E Exerccios. L.P.M.So Paulo, 1972. 8.WONNCACOTT, Ronald J. - Fundamentos De Estatstica. Rio de Janeiro:Ltc, 1985. 9.WONNCACOTT, RONALD J. - Econometria. Rio De Janeiro:Ltc, 1978. 10.PARADINE, CHARLES G. - Mtodos Estatsticos Para Tecnologistas. 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